CN101655992B - 一种三角网格模型的重建方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种三角网格模型的重建方法，属于计算机图形学领域。本发明方法为：1)将输入模型参数化到一立方体表面，然后利用立方体参数化坐标和模型的拓扑连接关系绘制立方体；2)对跨越所绘制立方体两个或三个面的三角形，提取其边与立方体棱边的交点及其那所含顶点的属性值，并根据所提取点的属性值以及模型的拓扑连接关系生成一标准立方体；3)利用标准立方体的参数化坐标作为空间坐标，构建模型的几何图像和差分几何图像；4)利用差分几何图像对重采样模型进行约束，重建模型。本发明很好地保持了采样前的模型细节，并生成了规则的几何模型，有利于模型的加速绘制，当进行模型的变体插值时，对生成的中介模型也能保持平滑的几何细节。

Description

一种三角网格模型的重建方法

技术领域

本发明属于计算机真实感图形学、虚拟现实、几何造型、计算机动画相结合的领域，具体涉及一种使用差分几何图像生成重采样模型的方法。

背景技术

几何体通常由不规则三角网格表示。网格重建可以使用规则或半规则的连接性对几何体进行近似。使用规则或半规则网格自身的隐式连接关系，可以改善模型的几何压缩，同时可以减少表面切线方向几何采样的不均匀性，从而降低整体的熵值(参考：Khodakovsky，A.，

P.，Sweldens，W.：Progressive geometry compression.In：Akeley，K.(ed.)Siggraph2000，Computer Graphics Proceedings，pp.271-278.ACM，New York(2000))。

为了得到规则的网格模型，Gu et al.于2002年提出了几何图像(Geometry Image或GIM)的概念(参考：Gu，X.，Gortler，S.J.，Hoppe，H.：Geometry images.ACM Trans.Graph.21(3)，355-361(2002))，来构建极为规则的网格。Sander et al.将其扩展到多chart GIM(参考：Sander，P.V.，Wood，Z.J.，Gortler，S.J.，Snyder，J.，Hoppe，H.：Multi-chart geometry images.In：Proceedings of the Eurographics，ACM SIGGRAPH Symposium on Geometry Processing，pp.146-155.Eurographics Association(2003))，Losasso et al.和Praun et al.等将其扩展到球面GIM(参考文献：Losasso，F.，Hoppe，H.，Schaefer，S.，Warren，J.：Smooth geometry images.In：Proceedings of the Eurographics/ACM SIGGRAPH Symposium on Geometry Processing，pp.138-145.Eurographics Association(2003)和文献：Praun，E.，Hoppe，H.：Sphericalparametrization and remeshing.ACM Trans.Graph.22(3)，340-349(2003))。Tarini et al.将其扩展到多立方体映射GIM(参考：Tarini，M.，Hormann，K.，Cignoni，P.，Montani，C.：Polycubemaps.ACM Trans.Graph.23(3)，853-860(2004))。

但是只使用GIM来重构模型会带来局部信息的丢失。换句话说，按重构模型顶点位置计算出来的法向量和曲率信息与采样得到的法向量和曲率不一致，这是由于采样后的固定的连接方式(即在GIM图像中通过连接四个像素构成的正方形的对角线作为重建网格后三角形的一条边)导致的。尽管我们的眼睛不容易察觉到曲率的变化，却能够感受到法向的混淆。为解决这个问题，我们可以记录法向映射图中的信息来做为顶点的法向进行显示。但是，对于那些自动按模型顶点位置计算法向而不是按照模型记录的法向来进行绘制的3D软件来说仍然不能正确显示。

随着几何造型技术的发展，解决这个被忽视的问题日益迫切。在GIM和封装了几何模型局部信息的差分坐标的基础上(参考：Sorkine，O.，Cohen-Or，D.，Toledo，S.：High-passquantization for mesh encoding.In：SGP’03：Proceedings of the 2003Eurographics，ACMSIGGRAPH Symposium on Geometry Processing，pp.42-51.Eurographics Association，Aire-la-Ville(2003))，我们提出了新的差分几何图像(Differential Geometry Image或DGIM)的概念，将差分坐标扩展到图像上，与GIM有相似的结构。

通过使用DGIM对重构模型进行限制以精确保持局部形状信息，我们可以重新生成新的模型，其显示效果具有明显的改善。这里，我们使用“重新生成”来表明基于DGIM的网格重构过程，用于叙述的方便。

Michael Floater在他的文章中清晰地叙述了参数化的概念(参考：Floater，M.S.：Parametrization and smooth approximation of surface triangulations.Comput.Aided Geom.Des.14(4)，231-250(1997))。此后，许多平面参数化方法被提出【如MIPS(参考：Hormann，K.，Greiner，G.：MIPS：An efficient global parametrization method.In：Laurent，P.J.，Sablonnière，P.，Schumaker，L.L.(eds.)Curve and Surface Design：Saint-Malo 1999，Innovations in AppliedMathematics，pp.153-162.Vanderbilt University Press，Nashville(2000))，LSCM(参考：Lévy，B.，Petitjean，S.，Ray，N.，Maillot，J.：Least-squares conformal maps for automatic texture atlasgeneration.ACM Trans.Graph.21(3)，362-371(2002))，MVC(参考：Floater，M.S.：Mean valuecoordinates.Comput.Aided Geom.Des.20(1)，19-27(2003))，ABF++(参考：Sheffer，A.，Lévy，B.，Mogilnitsky，M.，Bogomyakov，A.：Abf++：fast and robust angle based flattening.ACMTrans.Graph.24(2)，311-330(2005))】。对于封闭0亏格流形网格来说，使用球面域作为参数化域更加自然，因为模型与球拓扑同构。其最大挑战在于避免参数化域的重叠以保证一对一的映射，以及构建一个的均匀的参数化以保证表面各处的采样的精度。Praun et al.提出了一种方法能够达到这个目标(参考：Praun，E.，Hoppe，H.：Spherical parametrization andremeshing.ACM Trans.Graph.22(3)，340-349(2003))。Sheffer et al.给出了构建球面三角化的角度的充要条件(参考：Sheffer，A.，Gotsman，C.，Dyn，N.：Robust spherical parameterizationof triangular meshes.Computing 72(1-2)，185-193(2004))。同时文献Gotsman，C.，Gu，X.，Sheffer，A.：Fundamentals of spherical parameterization for 3D meshes.In：SIGGRAPH’03：ACM SIGGRAPH 2003Papers，pp.358-363.ACM，New York(2003)和文献Saba，S.，Yavneh，I.，Gotsman，C.，Sheffer，A.：Practical spherical embedding of manifold triangle meshes.In：SMI’05：Proceedings of the International Conference on Shape Modeling and Applications2005，pp.258-267.IEEE Computer Society，Washington(2005)中分别给出了理论和实践上高效的球面参数化的数值计算方法，但是不能像Praun的方法那样达到表面各处的采样的充足性。Friedel et al引入了一种基于能量最小化的构建球面参数化的方法(参考：Friedel，I.，

P.，Desbrun，M.：Unconstrained spherical parameterization.In：SIGGRAPH’05：ACMSIGGRAPH 2005Sketches，p.134.ACM，New York(2005))，对Saba，S.，Yavneh，I.，Gotsman，C.，Sheffer，A.：Practical spherical embedding of manifold triangle meshes.In：SMI’05：Proceedings of the International Conference on Shape Modeling and Applications 2005，pp.258-267.IEEE Computer Society，Washington(2005)中的方法进行了改进，但是仍然不能像Praun的方法那样在表面各处都可以达到足够的采样。

Karni et al.应用光谱方法将网格几何体投影到3D数据的拉普拉斯矩阵的正交基上来获得压缩的模型表示(参考：Karni，Z.，Gotsman，C.：Spectral compression of mesh geometry.In：SIGGRAPH’00：Proceedings of the 27th Annual Conference on Computer Graphics andInteractive Techniques，pp.279-286.ACM，New York(2000))。Sorkine et al.首先明确提出差分坐标的概念(参考：Sorkine，O.，Cohen-Or，D.，Toledo，S.：High-pass quantization for meshencoding.In：SGP’03：Proceedings of the 2003Eurographics，ACM SIGGRAPH Symposium onGeometry Processing，pp.42-51.Eurographics Association，Aire-la-Ville(2003))，用于保存网格编码中的高频信息。Sorkine et al.使用网格的拉普拉斯矩阵基于handle的变换来编辑感兴趣的区域(ROI)(参考：Sorkine，O.，Cohen-Or，D.，Lipman，Y.，Alexa，M.，

C.，Seidel，H.P.：Laplacian surface editing.In：SGP’04：Proceedings of the 2004Eurographics/ACMSIGGRAPH Symposium on Geometry Processing，pp.175-184.ACM，New York(2004))。Sorkine也在技术报告中总结了差分表示法和拉普拉斯处理框架(参考：Sorkine，O.：Laplacian mesh processing.Ph.D.thesis，School of Computer Science，Tel Aviv University(2006))。Cohen-Or et al.讨论了差分坐标的重要性质，并展示了用于表面重构的应用(参考：Cohen-Or，D.，Sorkine，O.：Encoding meshes in differential coordinates.In：(SCCG06)Proceedings of the 22nd Spring Conference on Computer Graphics.ACM，New York(2006))。

发明内容

本发明的目的在于提供一种三角网格模型的重建方法，其模型主要为0亏格封闭流形模型。本发明首次将差分坐标扩展到图像上，称为差分几何图像(DGIM)，给出了使用DGIM对用GIM重采样的模型进行重新生成的方法，经调整的模型精确地保持了模型的局部特性。此外，还对GIM重建过程中的一些步骤进行了改进。

本发明的技术方法为：

一种三角网格模型的重建方法，其步骤为：

1)将输入的模型参数化到一立方体表面，得到模型的立方体参数化坐标；

2)利用立方体参数化坐标和输入模型的拓扑连接关系绘制立方体；

3)对跨越所绘制立方体两个或三个面的三角形，提取其边与立方体棱边的交点的属性值，以及其内所包含的立方体顶点的属性值；所述属性值包括位置坐标和差分坐标；

4)根据提取的交点、顶点的属性值以及输入模型的拓扑连接关系，生成一标准立方体；

5)利用所述标准立方体的参数化坐标作为空间坐标，转化为0和1之间的位置坐标和差分坐标作为颜色，构建模型的几何图像和差分几何图像；同时将差分坐标转化到0和1之间时，分别记录x，y和z方向上差分坐标的最大值和最小值，即6个极值；

6)对模型的几何图像进行重采样，生成网格模型；

7)对模型的差分几何图像进行重采样，并利用记录的差分坐标的6个极值，得到目标模型的顶点差分坐标值；

8)根据步骤7)的顶点差分坐标值和步骤6)所生成的网格模型的位置坐标重新计算出目标模型顶点的位置坐标；

9)根据步骤8)中计算出的顶点位置坐标并利用步骤6)所生成的网格模型的拓扑连接关系，得到调整后的目标模型。

所述立方体参数化坐标建立方法为：首先将输入的模型进行球面参数化，然后利用球心映射方法将输入模型的球面坐标映射到单位立方体表面；所述输入的模型为0亏格封闭流形模型。

所述属性值的提取方法为：通过对原三角形三个顶点的线性插值得到原三角形边与立方体棱边的交点的属性值，以及原三角形内所包含的立方体顶点的属性值；所述属性值还包括法向值。

所述构建模型的几何图像和差分几何图像的方法为：对所绘制立方体的每个表面光栅化为n*n，n的大小与重建网格的疏密程度成正比，然后使用帧缓存或帧缓存对象读取图像，构建模型的几何图像和差分几何图像。

所述步骤6)中，对模型的几何图像进行重采样，然后只采用采样得到的四边形的主对角线或次对角线中的一种划分四边形，得到三角网格，生成网格模型。

所述步骤8)中，目标模型顶点位置坐标的计算方法为：通过求解以模型顶点坐标所构成向量为参数的优化函数的最小值，得到模型的顶点位置坐标。

所述以模型顶点坐标所构成向量为参数的优化函数表达式为： $\tilde{x}=\arg {\min }_x({\left|\right|\mathrm{Lx}-{\mathrm{\δ}}^{\left(x_0\right)}\left|\right|}^2+\mathrm{\Σ}{\mathrm{\ω}}^2{|x-x_0|}^2);$ 其中，x₀代表几何图像重采样模型顶点的x坐标所构成的向量，由几何图像的R分量转化得到，

为x₀的差分坐标，由差分几何图像的R分量转化得到，ω为权值，L为网格的拓扑拉普拉斯矩阵；同理将x用y或z来代替，相应地y₀由图像的G分量转化得到、z₀由图像的B分量转化得到。

根据步骤6)所生成的网格模型的连接关系得到所述拓扑拉普拉斯矩阵L，所述拓扑拉普拉斯矩阵L为一奇异阵。

所述步骤7)中，目标模型的顶点差分坐标生成方法为：根据x坐标方向上差分坐标的最大值和最小值，对所述差分几何图像x坐标方向的顶点坐标进行等比例缩放，得到所述目标模型的x坐标方向的顶点差分坐标；同理得到y、z坐标方向的顶点差分坐标。

本发明的积极效果为：

在对原三角网格模型重采样后，通过差分几何图像的限定，既保证了重新生成网格模型的规则性，又保持了原模型的细节特征，有利于模型的加速绘制；本方法可应用于模型的变体插值，使得生成的中介模型也能较好地保持平滑的几何细节。

附图说明

图1是使用差分几何图像重构光滑规则网格的过程示意图

(a)原始模型，

(b)几何图像重采样生成的模型，

(c)差分几何图像调整后生成的模型。

图2是使用差分几何图像前后的重采样模型效果对比

(a)传统的使用GIM生成的模型，(b)使用DGIM生成的模型。

图3(a)～图3(d)是参数化过程示意图。

图4(0)～图4(5)是球面参数化转化为立方体参数化时三角形种类的示意图。

图5是对立方体边界处理的前后对比示意图

(a)对立方体边界处理的前的效果图，(b)对立方体边界处理的后的效果图。

图6是模型的几何图像，法向映射，差分几何图像的效果图

(a)模型的几何图像效果图、(b)模型的法向映射效果图

(c)模型的差分几何图像效果图、(d)模型。

图7是重建网格连接方式对比，

(a)现有方法重建网格连接方式，(b)为本方法所采用的重建网格连接方式。

图8是重采样模型中的规则网格结构示意图。

图9是使用差分几何图像重构模型与其它方式的效果对比示意图

(a)原始模型图，(b)GIM生成的模型图，

(c)法向映射图和GIM生成的模型图，(d)DGIM重新生成的模型图。

图10是差分几何图像重构模型与未纠正前及原始法向的分布对比示意图

(a)原始模型及其局部放大图，(b)几何图像重采样生生成的模型及其局部放大图，

(c)差分几何图像调整后生成的模型及其局部放大图。

图11是使用不同采样率并利用差分几何图像生成的多分辨率光滑规则模型示意图。

图12给出使用差分几何图像调整的模型用于变体插值的结果示意图。

具体实施方式

下面通过实例，结合附图进一步说明本发明，但不以任何方式限制本发明的范围。

本发明为生成规则网格模型的方法主要分为4个步骤：对模型进行参数化，构建几何图像和差分几何图像，重采样生成网格模型，使用差分几何图像调整重建的模型.

1.对模型进行参数化

首先，我们使用Praun的方法对0亏格封闭流形模型生成球面参数化(参考：Praun，E.，Hoppe，H.：Spherical parametrization and remeshing.ACM Trans.Graph.22(3)，340-349(2003))。然后，使用简单的球心映射将其球面坐标映射到单位立方体表面。使用这些参数化后的立方体表面坐标和原模型的拓扑连接关系来绘制立方体，如附图3(c)所示。为了让立方体的八个顶点都确保为直角，如图3(d)所示，需要将那些跨越两个或三个面的三角形进行分解。立方体参数化后的三角形可以如图4所示分成6类(类型0～5)，其中类型5为最简单的情况，即三角形的三个顶点都在同一个面上，无需做任何特殊处理。在图4中，A，B和C为三角形的三个顶点，D，E，F为AB，BC，和CA与棱边的交点(如果相交的话)，P在三角形所包括的立方体的顶点(如果该三角形包括立方体顶点)。我们记录下所有这些点，并将三角形按面进行分解。如，对于类型2，我们用四边形BCEF和三角形AFE来代替三角形ABC，对于类型3，我们绘制四边形APDC(P此时与F重合)和三角形PBD。事实上，类型2和类型4是跨越三角形最可能的类型。点D，E，F和P的属性值，包括位置，法向，差分坐标值可由原三角形ABC三个顶点的线性插值得到。最终，我们利用原模型的接关系和经过上述处理的操作生成一个完全标准的立方体，其结果如图5所示。

2.构建几何图像和差分几何图像

使用立方体参数化坐标作为空间坐标(包括上节那些为构建直角而添加的坐标)，并分别使用转化为0和1之间的位置坐标，法向量和差分坐标作为颜色，以平滑方式来绘制就可以分别得到几何图像(GIM)，法向映射图(Normal Map)和差分几何图像(DGIM)。

将位置坐标和法向坐标转化到0和1之间比较容易，只要将对应的坐标向量单位化就可以实现.将差分坐标(其定义在第4节给出)转到0和1之间以扩展到图像上有一点棘手，因为对于差分坐标来说，即使将模型放缩到一单位立方体里，仍然无法保证差分坐标的值在某个给定的范围内。但是，注意到模型的顶点是有限的，因而其差分坐标也肯定会在一个有限的范围内变化。这样，我们分别记录x，y和z方向上差分坐标的最大值和最小值，得到6个极值，利用这些值将所有的差分坐标线性映射到0和1的范围之内，并做为颜色来绘制图像。注意，6个极值可能不仅限于属于两个顶点的差分坐标(可能是六个不同顶点)，因为是分别代表不同轴上的差分坐标，但这并不影响映射。利用这6个极值我们也可将图像中的像素还原为原始的差分坐标。

每个表面可以光栅化为n*n，n的大小与重建网格的疏密程度成正比。图像可以使用帧缓存或帧缓存对象(FrameBuffer Object或FBO)读取。图6给出了恐龙模型的GIM，法向映射图和DGIM的对比图。对于DGIM来说，图像显得有些单调，因为差分坐标的变化范围可能很大，而大部分值都集中在一个小的中间范围内，这意味着对大多数像素来说R，G，B的值比较接近。

3.重采样生成网格模型

使用GIM重建模型模型可以只用GIM进行重建。Gu et al.建议对每个2×2的四边形网格点使用两个三角形来代替(参考：Gu，X.，Gortler，S.J.，Hoppe，H.：Geometry images.ACMTrans.Graph.21(3)，355-361(2002))，根据GIM的颜色选取对角线中较短的那条作为划分。这种方法可以避免生成过多的狭长的三角形，但是实际在某种程度上破坏了网格的规则性，如图7(a)中ABCD四个点的度数各不相同。这里我们稍做改动，只使用一种对角线(主对角线或次对角线)来统一划分2×2的矩形，其优点如下：

1)所有的顶点的度均为6，见附图7(b)，意味着网格完全规则(图8)。

2)固定的连接方式使得对于给定的分辨率n来说，拉普拉斯矩阵也是固定的，将简化重新生成模型的计算过程。

3)由于使用此方式的所有的重建模型有相同的拓扑结构，我们可以直接进行变体操作。通过改变分辨率，我们还可以得到不同分辨率的变体模型。

对于立方体的顶点，我们需要做一些特殊的处理。我们只用在立方体顶点处三个面的顶角像素连接成一个三角形即可。

4.使用差分几何图像调整重建的模型.

传统的使用GIM生成模型的方法会导致局部形状信息的丢失，如图2(a)所示。我们可以使用DGIM来修正这个问题。首先，我们使用DGIM以及记录的六个极值(见第2节)得到新的目标模型顶点的差分坐标值，然后利用这些重采样的目标模型顶点差分坐标值和第3节中重建模型的位置坐标重新生成位置坐标，构建出新的目标模型。

差分坐标的定义如下：设M＝(V，E，F)为给定的三角形网格，共有n个顶点，其中，V是顶点的集合，E是边的集合，F是面片的集合。M中的每个顶点i都有一个笛卡尔坐标，表示为v_i＝(x_i，y_i，z_i)。v_i的差分坐标(或δ坐标)定义为：

${\mathrm{\δ}}_i=\{{\mathrm{\δ}}_i^{\left(x\right)},{\mathrm{\δ}}_i^{\left(y\right)},{\mathrm{\δ}}_i^{\left(z\right)}\}=v_i-\frac{1}{d_i}\underset{j\∈N\left(i\right)}{\mathrm{\Σ}}{v}_j---\left(1\right)$

其中，N(i)＝{j|(i，j)∈E}为顶点i的邻接顶点的集合，d_i＝|N(i)|为集合N(i)中的元素个数，即点i的度。这种表示方式从差分几何的观点可以看作是连续的Laplace-Beltrami算子的离散化。它代表了模型的局部信息：差分坐标向量的方向近似于局部法向方向，其模值与局部的平均曲率成正比(单位模法向放大均值曲率倍数后称为均值曲率法向)(参考：Sorkine，O.：Laplacian mesh processing.Ph.D.thesis，School of Computer Science，Tel AvivUniversity(2006))。直观地说，这意味着δ坐标封装了表面的局部形状。

绝对笛卡尔坐标向量到δ坐标的变换可以表示为矩阵的形式。设A为网格的邻接矩阵：

$A_{\mathrm{ij}}=\left\{\begin{array}{cc}1& (i,j)\∈E\\ 0& \mathrm{other}\end{array}\right.$

并设D为对角阵，其中，D_ii＝d_i。则从绝对坐标到相对坐标的变换可表示为：

L＝I-D^-1A。设Ls＝DL＝D-A，那么

${\left(L_s\right)}_{\mathrm{ij}}=\left\{\begin{array}{cc}{d}_i& i=j\\ -1& (i,j)\∈E\\ 0& \mathrm{otherwise}\end{array}\right.$

我们有L_sx＝Dδ^(x)，L_sy＝Dδ^(y)以及L_sz＝Dδ^(z)，其中，x是一个n维向量，包含了所有顶点的x坐标，y，z同理。矩阵Ls(或L)称为网格的拓扑拉普拉斯矩阵，是奇异阵，因为每一行元素的代数和为0。

拉普拉斯矩阵L可由第3节中重建的模型得到，对于给定的采样大小，L是固定不变的，这是因为使用我们第3节所述的连接方式的缘故。只给定一组差分坐标δ，并不能恢复出全局坐标，因为L是奇异阵。Sorkine et al.使用一些原始模型的顶点做为限制来生成原始模型。我们不能这样做，因为所有的顶点都已经进行过重采样，并没有理由保证某个采样顶点的位置比其它顶点更精确。所以，我们求解如下优化问题：

寻找一个向量x，使下式最小：

$\tilde{x}=\arg {\min }_x({\left|\right|\mathrm{Lx}-{\mathrm{\δ}}^{\left(x_0\right)}\left|\right|}^2+\mathrm{\Σ}{\mathrm{\ω}}^2{|x-x_0|}^2)---\left(2\right)$

此处，x₀代表GIM重采样模型顶点的x坐标所构成的向量，由GIM的R分量转化得到。

则代表由差分坐标图像调整后模型顶点最终的x坐标构成的向量，

为x₀的差分坐标，由DGIM的R分量转化得到。权值ω＞0，可以用来调节限制条件的重要性，在我们的实验中取1.0，可以取得很好的效果。式(2)可由Sorkine文章中公式的原理而得(参考：Sorkine，O.，Cohen-Or，D.，Lipman，Y.，Alexa，M.，

C.，Seidel，H.P.：Laplacian surfaceediting.In：SGP’04：Proceedings of the 2004Eurographics/ACM SIGGRAPH Symposium onGeometry Processing，pp.175-184.ACM，New York(2004))，其求解过程也与Sorkine的方法相似。将x用y和z来代替，相应地由图像的G和B分量来推得，我们可以计算所有顶点的坐标来重新生成模型。从图2(b)可以看出，重新生成的模型适当地保持了模型的局部性质，进而也减少了生成狭长三角形的可能性。上述优化问题需要求解稀疏矩阵方程组，使用Taucs库来求解(参考：Toledo，S.：Taucs：A Library of Sparse Linear Solvers，version 2.2.Available online at http://www.tau.ac.il/～stoledo/taucs/(Sept.2003))。

以兔子模型为例，执行本发明的方法重新生成模型的结果如图9所示。图9中给出了原始模型图9(a)，GIM生成的模型图9(b)，使用法向映射图和GIM生成的模型图9(c)，以及由DGIM重新生成的模型图9(d)的效果对比。仅由GIM生成的模型看起来比较粗糙，因为由顶点位置计算出来的局部形状并不正确。相比之下，由DGIM重新生成的模型较好地保持了局部形状。此外，我们的模型无需保存法向信息，因此存储的模型有较小的数据量。将图9中最右侧模型与最左侧模型相比，尽管重新生成的模型有相似的视觉效果，我们需要注意重新生成的模型网格是完全规则的(见图1(c))。

图10给出了法向量的分布对比。所有的法向都是根据顶点的位置计算出来的，用短线表示。可以看到，仅由GIM重采样生成的模型法向量分布比较凌乱，如图10(b)。由DGIM重新生成以后的模型，法向量的分布是正确的，如图10(c)。重采样生成的模型的法向量误差与原始模型的法向量的误差比较难以衡量，因为模型的顶点数发生了变化。我们使用法向映射图做为参考，并以128×128×6的分辨率进行采样，因为这样生成的顶点数与原始模型的顶点数较为接近，比较有代表性。经统计，由GIM生成的模型法向平均有11～22度的偏离，而由DGIM重新生成的模型仅有3～8度的偏离。

通过改变采样频率，我们发现使用128×128×6的采样率就已经可以得到足够的模型细节了，其顶点数与原始模型的顶点数较为接近。表1给出了优化函数的计算时间，从表中可以看出其计算时间主要与采样频率相关。图11给出了使用不同分辨率通过DGIM重新生成的牛的模型。生成的多分辨模型可用于动态LOD的加速(参考：Ji，J.，Wu，E.，Li，S.，Liu，X.：Dynamic LOD on GPU.In：CGI’05：Proceedings of the Computer Graphics International2005，pp.108-114.IEEE Computer Society，Washington(2005))，无需指定法向量，会提高绘制效率。

表1优化函数计算时间统计

模型	顶点数	面片数	采样率	计算时间(秒)
					兔子	34817	69630	32×32×6128×128×6	3.14730.328
牛	11610	23216	32×32×664×64×6	3.06241.938
					怪兽	100002	200000	32×32×6128×128×6	3.594773.578
马	48476	96948	48×48×696×96×6	13.094226.375
					暴龙	100002	200000	80×80×6256×256×6	104.92213154.89
维纳斯头像	50002	100000	128×128×6192×192×6	753.4684021.984

图12给出了变体模型的结果。所有的模型均用3D exploration软件打开。左上角和右下角的两个模型为输入模型。使用DGIM重新生成的模型，其变体模型也较好地保持了局部形状。

所有的测试都在PC机上进行，其配置为双核的2.13Ghz的CPU，显卡为nVidia GeForce8500的独立显卡，1G内存。

Claims (9)

1.一种三角网格模型的重建方法，其步骤为：

1)将输入的模型参数化到一立方体表面，得到模型的立方体参数化坐标；所述模型为0亏格封闭流形模型；

2)利用立方体参数化坐标和输入模型的拓扑连接关系绘制立方体；

3)对跨越所绘制立方体两个或三个面的三角形，提取其边与立方体棱边的交点的属性值，以及其内所包含的立方体顶点的属性值；所述属性值包括位置坐标和差分坐标；

4)根据提取的交点、顶点的属性值以及输入模型的拓扑连接关系，生成一标准立方体；

5)利用所述标准立方体的参数化坐标作为空间坐标，转化为0和1之间的位置坐标和差分坐标作为颜色，构建模型的几何图像和差分几何图像；同时将差分坐标转化到0和1之间时，分别记录x，y和z方向上差分坐标的最大值和最小值，即6个极值；

6)对模型的几何图像进行重采样，生成网格模型；

7)对模型的差分几何图像进行重采样，并利用记录的差分坐标的6个极值，得到目标模型的顶点差分坐标值；

8)根据步骤7)的顶点差分坐标值和步骤6)所生成的网格模型的位置坐标重新计算出目标模型顶点的位置坐标；

9)根据步骤8)中计算出的顶点位置坐标并利用步骤6)所生成的网格模型的拓扑连接关系，得到调整后的目标模型。

2.如权利要求1所述的方法，其特征在于所述立方体参数化坐标建立方法为：首先将输入的模型进行球面参数化，然后利用球心映射方法将输入模型的球面坐标映射到单位立方体表面。

3.如权利要求1或2所述的方法，其特征在于所述属性值的提取方法为：通过对原三角形三个顶点的线性插值得到原三角形边与立方体棱边的交点的属性值，以及原三角形内所包含的立方体顶点的属性值；所述属性值还包括法向值。

4.如权利要求1所述的方法，其特征在于所述构建模型的几何图像和差分几何图像的方法为：对所绘制立方体的每个表面光栅化为n*n，n的大小与重建网格的疏密程度成正比，然后使用帧缓存或帧缓存对象读取图像，构建模型的几何图像和差分几何图像。

5.如权利要求1所述的方法，其特征在于所述步骤6)中，对模型的几何图像进行重采样，然后只采用采样得到的四边形的主对角线或次对角线中的一种划分四边形，得到三角网格，生成网格模型。

6.如权利要求1所述的方法，其特征在于所述步骤8)中，目标模型顶点位置坐标的计算方法为：通过求解以模型顶点坐标所构成向量为参数的优化函数的最小值，得到模型的顶点位置坐标。

7.如权利要求6所述的方法，其特征在于所述以模型顶点坐标所构成向量为参数的优化函数表达式为：其中，x₀代表几何图像重采样模型顶点的x坐标所构成的向量，由几何图像的R分量转化得到，

为x₀的差分坐标，由差分几何图像的R分量转化得到，ω为权值，L为网格的拓扑拉普拉斯矩阵；同理将x用y或z来代替，相应地y₀由图像的G分量转化得到、z₀由图像的B分量转化得到。

8.如权利要求7所述的方法，其特征在于根据步骤6)所生成的网格模型的连接关系得到所述拓扑拉普拉斯矩阵L，所述拓扑拉普拉斯矩阵L为一奇异阵。

9.如权利要求1所述的方法，其特征在于所述步骤7)中，目标模型的顶点差分坐标生成方法为：根据x坐标方向上差分坐标的最大值和最小值，对所述差分几何图像x坐标方向的顶点坐标进行线性映射，得到所述目标模型的x坐标方向的顶点差分坐标；同理得到y、z坐标方向的顶点差分坐标。

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