CN101625397A - 一种电池剩余电量的混合快速估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种电池剩余电量的混合快速估计方法。现有方法不能满足在线检测要求，并且精度差。本发明方法首先开路电压法估计出电池的初始剩余电量，然后交替使用扩展卡尔曼滤波方法和安时法进行电池剩余电量的估计，当剩余电量较低时直接使用扩展卡尔曼滤波方法进行剩余电量的估计。本发明方法可以方便地进行电池剩余电量的快速估计，收敛速度快、估计精度较高。

Description

一种电池剩余电量的混合快速估计方法

技术领域

本发明属于电池技术领域，涉及一种电池剩余电量的混合快速估计方法。

背景技术

电池作为备用电源已在通讯、电力系统、军事装备等领域得到了广泛的应用。同传统燃油汽车相比，电动汽车可实现零排放，因此是未来汽车的主要发展方向。在电动汽车中电池直接作为主动能量供给部件，因此其工作状态的好坏直接关系到整个汽车的行驶安全性和运行可靠性。为确保电动汽车中的电池组性能良好，延长电池组使用寿命，须及时、准确地了解电池的运行状态，对电池进行合理有效的管理和控制。

电池荷电状态(State of Charge，以下简称SOC)的精确估算是电池能量管理系统中最核心的技术。电池的SOC无法用一种传感器直接测得，它必须通过对一些其他物理量的测量，并采用一定的数学模型和算法来估计得到。

目前常用的电池SOC估计方法有开路电压法、安时法等。开路电压法进行电池SOC估计时电池必须静置较长时间以达到稳定状态，而且只适用于电动汽车在停车状态下的SOC估计，不能满足在线检测要求。安时法易受到电流测量精度的影响，在高温或电流波动剧烈情况下，精度很差。

发明内容

本发明的目的就是克服现有技术的不足，提出一种电池剩余电量的混合估计方法，可以适用于所有电池，且估计速度快，估计精度较高。

本发明的电池剩余电量混合快速估计方法，具体步骤是：

步骤(1).用状态方程和观测方程表示电池的各个时刻的荷电状态：

状态方程： $z_{k+1}=f(z_k,i_k)+w_k=z_k-\left(\frac{{\mathrm{\η}}_i\mathrm{\Δt}}{Q_n}\right)i_k+w_k$

观测方程： $y_k=g(z_k,i_k)+v_k=K_0-{\mathrm{Ri}}_k-\frac{K_1}{z_k}-K_2{z}_k+K_3{\ln z}_k+K_4\ln (1-z_k)+v_k$

其中z为电池的荷电状态(State of Charge，SOC)，即剩余电量；η_i为电池的放电比例系数，反映的是放电速率、温度、自放电、老化等因素对电池SOC的影响程度；Δt为测量时间间隔，w_k为处理噪声，i_k为放电电流，Q_n是电池在室温25℃条件下、以1/30倍额定电流的放电速率放电时所能得到的额定总电量，K₀、K₁、K₂、K₃、K₄为常数，p＝[K₀ R K₁ K₂ K₃ K₄]^T，p为电池观测模型的参数，是一个列向量，对同类型的电池它们是不变的；R为电池的内阻，v_k为观测噪声；k为测量时刻。设定处理噪声w_k的方差∑_w和观测噪声v_k的方差∑_v分别为：∑_w＝10^-5，∑_v＝10^-2；

放电比例系数η_i的确定方法为：

(a)将完全充满电的电池以不同放电速率C_i(0＜C_i≤C，C为电池的额定放电电流)恒流放电N(N＞10)次，计算相应放电速率下的电池总电量Q_i，1≤i≤N。

(b)根据最小二乘方法拟合出Q_i与C_i间的二次曲线关系，即在最小均方误差准则下求出同时满足 $Q_i=a{C}_i^2+b{C}_i+c,$ a，b，c为最优系数。

(c)在放电电流为i_k时，对应的放电比例系数η_i为：

${\mathrm{\η}}_i=\frac{Q_n}{{\mathrm{ai}}_k^2+{\mathrm{bi}}_k+c}$

此处，最优系数a，b，c对于同一类型的电池只需确定一次，确定后可作为已知常数直接用于所有同类型电池的剩余电量估计。

电池的内阻R以及常数K₀、K₁、K₂、K₃、K₄的确定方法为：

(d)在室温25℃条件下、以1/30倍额定电流对充满电的电池进行恒定电流放电直至电量耗尽；

(e)在放电过程中以时间间隔Δt测量电池在s时刻的端电压y_s，s＝0，1，2，...M，其中s＝0对应电池充满后的起始放电时刻，s＝M对应电池电量耗尽的终止时刻。

(f)计算s时刻的剩余电量z_s＝1-s/M。

(g)记 $Y=\left[\begin{array}{c}{y}_0\\ y_1\\ .\\ .\\ .\\ y_M\end{array}\right],$ $H=\left[\begin{array}{cccccc}1& -\frac{C}{30}& -\frac{1}{z_0}& -z_0& \ln z_0& \ln (1-z_0)\\ 1& -\frac{C}{30}& -\frac{1}{z_1}& -z_1& \ln z_1& \ln (1-z_1)\\ .& .& .& .& .& .\\ .& .& .& .& .& .\\ .& .& .& .& .& .\\ 1& -\frac{C}{30}& -\frac{1}{z_M}& -z_M& \ln z_M& \ln (1-z_M)\end{array}\right],$ $p=\left[\begin{array}{c}{K}_0\\ R\\ K_1\\ K_2\\ K_3\\ K_4\end{array}\right]$

则p＝(H^TH)^-1H^TY，也就得到内阻R以及常数K₀、K₁、K₂、K₃、K₄。

对同一类型的电池，这些参数只需确定一次，确定后可作为已知常数直接用于所有同类型电池的剩余电量估计。

步骤(2).将电池静置较长时间后，测量初始时刻k＝0时电池两端的开路电压U₀，计算电池的初始剩余电量z₀：z₀＝h(U₀)。其中h为电池的开路电压到电池剩余电量的映射函数。设定z₀的方差P₀为10^-2。

映射函数h的确定方法为：

(a)将电池充满电，在室温25℃条件下、以C/30(C为额定电流)的放电速率对电池进行恒流放电r·Δt(r为放电次数，r＝1，2，...)时间后，将电池开路。在电池静置较长时间后，测量电池两端的开路电压U_r。然后在室温25℃条件下、以C/30(C为额定电流)的放电速率对电池进行恒流放电直至完全放电，测得此时的放电时间为T_r，计算得到相应的电池剩余总电量z_r为 $z_r=\frac{C}{30}{T}_r/Q_n.$

(b)选取多项式函数h(x)＝a₀+a₁x+a₂x²+...+a_Kx^K，(1≤K≤5)，根据所测得的U_r及计算得到的z_r，采用最小二乘法拟合得出多项式函数的最优系数{a₀，a₁，...，a_K}，即得到映射函数h。

对同一类型的电池，映射函数h只需确定一次。

步骤(3).电池实际工作过程中，在时刻k＝1，2，3，...，测量电池两端的端电压y_k及电池的供电电流i_k。

步骤(4).根据所测得的y_k及i_k，交替使用扩展卡尔曼滤波方法及安时法进行电池剩余电量的估计，直至电池剩余电量少于P％，其中15≤P≤20；其中扩展卡尔曼滤波方法所连续利用的测量数据点数为S点(S＞200)，安时法所连续利用的测量数据点数为R点(R＞S)。

在时刻k，利用扩展卡尔曼滤波方法进行电池剩余电量估计的过程为：

(a)计算状态方程对状态变量的偏导数A_k-1：

$A_{k-1}=\frac{\∂f(z_k,i_k)}{{\∂z}_k}{|}_{z_k={\hat{z}}_{k-1}}=1$

(b)根据状态方程计算状态的估计值z_k ^-： $z_k^{-}=z_{k-1}-{\mathrm{\η}}_i{i}_{k-1}\mathrm{\Δt}/Q_n$

(c)计算状态估计值的协方差P_k ^-： $P_k^{-}{=A}_{k-1}{P}_{k-1}{A}_{k-1}^T+{\mathrm{\Σ}}_w=P_{k-1}+{\mathrm{\Σ}}_w$

(d)根据观测方程计算观测的估计值

${\hat{y}}_k=K_0-{\mathrm{Ri}}_k-K_1/z_k^{-}-K_2{z}_k^{-}+K_3\ln z_k^{-}+K_4\ln (1-z_k^{-})$

(e)计算观测方程对状态变量的偏导数C_k：

$C_k=\frac{\∂h(z_k,i_k)}{{\∂z}_k}{|}_{z_k={\hat{z}}_k^{-}}=\frac{K_1}{{\left({\hat{z}}_k^{-}\right)}^2}-K_2+\frac{K_3}{{\hat{z}}_k^{-}}-\frac{K_4}{1-{\hat{z}}_k^{-}}$

(f)计算卡尔曼滤波增益L_k：

$L_k=\frac{P_k^{-}{C}_k^T}{C_k{P}_k^{-}{C}_k^T+{\mathrm{\Σ}}_v}=\frac{P_k^{-}{C}_k}{{\left(C_k\right)}^2{P}_k^{-}+{\mathrm{\Σ}}_v}$

(g)计算荷电状态z_k及其方差P_k：

$z_k=z_k^{-}+L_k(y_k-{\hat{y}}_k)$

$P_k=(1-L_k{C}_k)P_k^{-}$

在时刻k，利用安时法进行电池剩余电量估计的方法为：

z_k＝z_k-1-η_ii_k-1Δt/Q_n。

步骤(5)当电池剩余电量少于P％时，一直使用上述步骤(4)中的扩展卡尔曼滤波方法进行电池剩余电量的估计。

根据本发明的第一方面，公开了一种电池剩余电量的混合快速估计方法中扩展卡尔曼滤波方法所采用的状态方程和观测方程。其中观测方程中电池模型参数通过最小二乘法确定。

根据本发明的第二方面，公开了一种电池剩余电量的混合快速估计方法中初始剩余电量的估计方法。初始剩余电量采用开路电压法确定。

根据本发明的第三方面，公开了一种电池剩余电量的混合快速估计方法所依赖的测量物理量。主要包括电池的端电压和供电电流。

根据本发明的第四和第五方面，公开了一种电池剩余电量的混合快速估计方法的具体流程。当电池剩余电量大于P％时，采用扩展卡尔曼滤波方法和安时法交替进行的方式进行电池剩余电量的估计；当电池剩余电量小于P％时，采用扩展卡尔曼滤波方法进行电池剩余电量的估计。

本发明可以方便地进行电池SOC的快速估计，该方法收敛速度快，估计精度高，而且适用于各种电池SOC的快速估计。

具体实施方式

电池剩余电量的混合快速估计方法的具体步骤是：

步骤(1).用状态方程和观测方程表示电池的各个时刻的荷电状态：

状态方程： $z_{k+1}=f(z_k,i_k)+w_k=z_k-\left(\frac{{\mathrm{\η}}_i\mathrm{\Δt}}{Q_n}\right)i_k+w_k$

观测方程： $y_k=g(z_k,i_k)+v_k=K_0-{\mathrm{Ri}}_k-\frac{K_1}{z_k}-K_2{z}_k+K_3{\ln z}_k+K_4\ln (1-z_k)+v_k$

其中z为电池的荷电状态(State of Charge，SOC)，即剩余电量；η_i为电池的放电比例系数，反映的是放电速率、温度、自放电、老化等因素对电池SOC的影响程度；Δt是测量时间间隔，w_k为处理噪声，Q_n是电池在室温25℃条件下、以1/30倍额定电流的放电速率放电时所能得到的额定总电量。K₀、K₁、K₂、K₃、K₄为常数，p＝[K₀ R K₁ K₂ K₃ K₄]^T，p为电池观测模型的参数，是一个列向量，对同类型的电池它们是不变的；R为电池的内阻，v_k为观测噪声。设定处理噪声w_k的方差∑_w和观测噪声v_k的方差∑_v分别为：∑_w＝10^-5，∑_v＝10^-2。

放电比例系数η_i的确定方法为：

(a)将完全充满电的电池以不同放电速率C_i(0＜C_i≤C，C为电池的额定放电电流)恒流放电N(N＞10)次，计算相应放电速率下的电池总电量Q_i，1≤i≤N。

(b)根据最小二乘方法拟合出Q_i与C_i间的二次曲线关系，即在最小均方误差准则下求出同时满足 $Q_i=a{C}_i^2+b{C}_i+c,$ a，b，c为最优系数。

(c)在放电电流为i_k时，对应的放电比例系数η_i为：

${\mathrm{\η}}_i=\frac{Q_n}{{\mathrm{ai}}_k^2+{\mathrm{bi}}_k+c}$

此处，最优系数a，b，c对于同一类型的电池只需确定一次，确定后可作为已知常数直接用于所有同类型电池的剩余电量估计。

电池的内阻R以及常数K₀、K₁、K₂、K₃、K₄的确定方法为：

(d)在室温25℃条件下、以1/30倍额定电流对充满电的电池进行恒定电流放电直至电量耗尽；

(e)在放电过程中以时间间隔Δt测量电池在s时刻的端电压y_s，s＝0，1，2，...M，其中s＝0对应电池充满后的起始放电时刻，s＝M对应电池电量耗尽的终止时刻。

(f)计算s时刻的剩余电量z_s＝1-s/M。

(g)记 $Y=\left[\begin{array}{c}{y}_0\\ y_1\\ .\\ .\\ .\\ y_M\end{array}\right],$ $H=\left[\begin{array}{cccccc}1& -\frac{C}{30}& -\frac{1}{z_0}& -z_0& \ln z_0& \ln (1-z_0)\\ 1& -\frac{C}{30}& -\frac{1}{z_1}& -z_1& \ln z_1& \ln (1-z_1)\\ .& .& .& .& .& .\\ .& .& .& .& .& .\\ .& .& .& .& .& .\\ 1& -\frac{C}{30}& -\frac{1}{z_M}& -z_M& \ln z_M& \ln (1-z_M)\end{array}\right],$ $p=\left[\begin{array}{c}{K}_0\\ R\\ K_1\\ K_2\\ K_3\\ K_4\end{array}\right]$

则p＝(H^TH)^-1H^TY，也就得到内阻R以及常数K₀、K₁、K₂、K₃、K₄。

对同一类型的电池，这些参数只需确定一次，确定后可作为已知常数直接用于所有同类型电池的剩余电量估计。

步骤(2).将电池静置较长时间后，测量初始时刻k＝0时电池两端的开路电压U₀，计算电池的初始剩余电量z₀：Q₀＝h(U₀)。其中h为电池的开路电压到电池剩余电量的映射函数。设定z₀的方差P₀为10^-2。

映射函数h的确定方法为：

(h)将电池充满电，在室温25℃条件下、以C/30(C为额定电流)的放电速率对电池进行恒流放电r·Δt(r为放电次数，r＝1，2，...)时间后，将电池开路。在电池静置较长时间后，测量此时电池两端的开路电压U_r。然后在室温25℃条件下、以C/30(C为额定电流)的放电速率对电池进行恒流放电直至完全放电，测得此时的放电时间为T_r，计算得到相应的电池剩余总电量z_r为 $z_r=\frac{C}{30}{T}_r/Q_n.$

(i)选取合适的多项式函数h(x)＝a₀+a₁x+a₂x²+...+a_Kx^K，(1≤K≤5)，根据所测得的U_r及z_r，采用最小二乘法拟合得出多项式函数的最优系数{a₀，a₁，...，a_K}，即得到映射函数h。

对同一类型的电池，映射函数h只需确定一次。

步骤(3).电池实际工作过程中，在时刻k＝1，2，3，...，测量电池两端的端电压yk及电池的供电电流i_k。

步骤(4).根据所测得的y_k及i_k，交替使用扩展卡尔曼滤波方法及安时法进行电池剩余电量的估计，直至电池剩余电量少于P％；其中扩展卡尔曼滤波方法所连续利用的测量数据点数为S点(S＞200)，安时法所连续利用的测量数据点数为R点。

在时刻k，利用扩展卡尔曼滤波方法进行电池剩余电量估计的过程为：

(a)计算状态方程对状态变量的偏导数A_k-1：

$A_{k-1}=\frac{\∂f(z_k,i_k)}{{\∂z}_k}{|}_{z_k={\hat{z}}_{k-1}^{+}}=1$

(b)根据状态方程计算状态的估计值z_k ^-： $z_k^{-}=z_{k-1}-{\mathrm{\η}}_i{i}_{k-1}\mathrm{\Δt}/Q_n$

(c)计算状态估计值的协方差P_k ^-： $P_k^{-}{=A}_{k-1}{P}_{k-1}{A}_{k-1}^T+{\mathrm{\Σ}}_w=P_{k-1}+{\mathrm{\Σ}}_w$

(d)根据观测方程计算观测的估计值

${\hat{y}}_k=K_0-{\mathrm{Ri}}_k-K_1/z_k^{-}-K_2{z}_k^{-}+K_3\ln z_k^{-}+K_4\ln (1-z_k^{-})$

(e)计算观测方程对状态变量的偏导数C_k：

$C_k=\frac{\∂h(z_k,i_k)}{{\∂z}_k}{|}_{z_k={\hat{z}}_k^{-}}=\frac{K_1}{{\left({\hat{z}}_k^{-}\right)}^2}-K_2+\frac{K_3}{{\hat{z}}_k^{-}}-\frac{K_4}{1-{\hat{z}}_k^{-}}$

(f)计算卡尔曼滤波增益L_k：

$L_k=\frac{P_k^{-}{C}_k^T}{C_k{P}_k^{-}{C}_k^T+{\mathrm{\Σ}}_v}=\frac{P_k^{-}{C}_k}{{\left(C_k\right)}^2{P}_k^{-}+{\mathrm{\Σ}}_v}$

(g)计算状态z_k及其方差P_k：

$z_k=z_k^{-}+L_k(y_k-{\hat{y}}_k)$

$P_k=(1-L_k{C}_k)P_k^{-}$

在时刻k，利用安时法进行电池剩余电量估计的方法为：

z_k＝z_k-1-η_ii_k-1Δt/Q_n。

步骤(5)当电池剩余电量少于P％时，一直使用扩展卡尔曼滤波方法进行电池剩余电量的估计。

整个估计过程是在线完成的，即在电池实际工作过程中同步完成各时刻电池剩余电量的估计。本发明方法混合应用了开路电压法、扩展卡尔曼滤波方法及安时法进行电池剩余电量的估计。在整个电池剩余电量估计过程中，较长时间内使用安时法进行电池剩余电量的估计，主要利用的是安时法快速估计的特点；另一方面，扩展卡尔曼滤波方法和安时法交替进行，可以利用扩展卡尔曼滤波方法的高精确性对安时法的估计结果进行修正，从而保证了电池剩余电量的估计精度。在剩余电量较低时直接采用扩展卡尔曼滤波方法进行剩余电量的估计进一步保证了估计精度。

Claims (1)

1、一种电池剩余电量的混合快速估计方法，其特征在于该方法的具体步骤是：

步骤(1)用状态方程和观测方程表示电池的各个时刻的荷电状态：

状态方程： $z_{k+1}=f(z_k,i_k)+w_k=z_k-\left(\frac{{\mathrm{\η}}_i\mathrm{\Δt}}{Q_n}\right)i_k+w_k$

观测方程： $y_k=g(z_k,i_k)+v_k=K_0-R{i}_k-\frac{K_1}{z_k}-K_2{z}_k+K_3\ln z_k+K_4\ln (1-z_k)+v_k$

其中z为电池的荷电状态，即剩余电量；η_i为电池的放电比例系数；Δt是测量时间间隔，w_k为处理噪声；K₀、K₁、K₂、K₃、K₄为常数，p＝[K₀ R K₁ K₂ K₃ K₄]^T，p为电池观测模型的参数，是一个列向量；R为电池的内阻，v_k为观测噪声；设定处理噪声w_k的方差∑_w和观测噪声v_k的方差∑_v分别为：∑_w＝10^-5 ∑_v＝10^-2.

放电比例系数η_i的确定方法为：

(a)将完全充满电的电池以不同放电速率C_i恒流放电N(N＞10)次，，其中0＜C_i≤C，C为电池的额定放电电流；计算相应放电速率下的电池总电量Q_i，1≤i≤N；

(b)根据最小二乘方法拟合出Q_i与C_i间的二次曲线关系，即在最小均方误差准则下求出同时满足 $Q_i=a{C}_i^2+b{C}_i+c,$ a，b，c为最优系数；

(c)在放电电流为i_k时，对应的放电比例系数η_i为：

${\mathrm{\η}}_i=\frac{Q_n}{{\mathrm{ai}}_k^2+{\mathrm{bi}}_k+c}$

此处，最优系数a，b，c对于同一类型的电池只需确定一次，确定后可作为已知常数直接用于所有同类型电池的剩余电量估计；

电池的内阻R以及常数K₀、K₁、K₂、K₃、K₄的确定方法为：

(d)在室温25℃条件下、以1/30倍额定电流对充满电的电池进行恒定电流放电直至电量耗尽；

(e)在放电过程中以时间间隔Δt测量电池在s时刻的端电压y_s，s＝0，1，2，...M，其中s＝0对应电池充满后的起始放电时刻，s＝M对应电池电量耗尽的终止时刻；

(f)计算s时刻的剩余电量z_s＝1-s/M；

(g)记 $Y=\left[\begin{array}{c}{y}_0\\ y_1\\ .\\ .\\ .\\ y_M\end{array}\right],$ $H=\left[\begin{array}{cccccc}1& -\frac{C}{30}& -\frac{1}{z_0}& -z_0& \ln z_0& \ln (1-z_0)\\ 1& -\frac{C}{30}& -\frac{1}{z_1}& -z_1& \ln z_1& \ln (1-z_1)\\ .& .& .& .& .& .\\ .& .& .& .& .& .\\ .& .& .& .& .& .\\ 1& -\frac{C}{30}& -\frac{1}{z_M}& -z_M& \ln z_M& \ln (1-z_M)\end{array}\right],$ $p=\left[\begin{array}{c}{K}_0\\ R\\ K_1\\ K_2\\ K_3\\ K_4\end{array}\right]$

则p＝(H^TH)^-1H^TY，也就得到内阻R以及常数K₀、K₁、K₂、K₃、K₄；

对同一类型的电池，这些参数只需确定一次，确定后可作为已知常数直接用于所有同类型电池的剩余电量估计；

步骤(2)将电池静置较长时间后，测量初始时刻k＝0时电池两端的开路电压U₀，计算电池的初始剩余电量z₀：Q₀＝h(U₀)；其中h为电池的开路电压到电池剩余电量的映射函数；设定z₀的方差P₀为10^-2；映射函数h的确定方法为：

(h)将电池充满电，在室温25℃条件下、以C/30放电速率对电池进行恒流放电r·Δt时间后，将电池开路，其中C为额定电流，r＝1，2，...L；在电池静置较长时间后，测量此时电池两端的开路电压U_r；然后在室温25℃条件下、以C/20的放电速率对电池进行恒流放电直至完全放电，测得此时的放电时间为T_r，计算得到相应的电池剩余总电量z_r为 $z_r=\frac{C}{30}{T}_r/Q_n,$ 其中Q_n是电池在室温25℃条件下、以1/30倍额定电流的放电速率放电时所能得到的额定总电量；

(i)选取合适的多项式函数h(x)＝a₀+a₁x+a₂x²+…+a_Kx^K，1≤K≤5，根据所测得的U_r及z_r，采用最小二乘法拟合得出多项式函数的最优系数{a₀，a₁，…，a_K}，即得到映射函数h；

对同一类型的电池，映射函数h只需确定一次；

步骤(3)电池实际工作过程中，在时刻k＝1，2，3，…，测量电池两端的端电压y_k及电池的供电电流i_k；

步骤(4)根据所测得的y_k及i_k，交替使用扩展卡尔曼滤波方法及安时法进行电池剩余电量的估计，直至电池剩余电量少于P％；其中扩展卡尔曼滤波方法所连续利用的测量数据点数为S点，S＞200，安时法所连续利用的测量数据点数为R点；

在时刻k，利用扩展卡尔曼滤波方法进行电池剩余电量估计的过程为：

(a)计算状态方程对状态变量的偏导数A_k-1：

$A_{k-1}=\frac{\∂f(z_k,i_k)}{{\∂z}_k}{|}_{z_k={\hat{z}}_{k+1}^{+}}=1$

(b)根据状态方程计算状态的估计值z_k ^-： $z_k^{-}=z_{k-1}-{\mathrm{\η}}_i{i}_{k-1}\mathrm{\Δt}/Q_n$

(c)计算状态估计值的协方差P_k ^-： $P_k^{-}=A_{k-1}{P}_{k-1}{A}_{k-1}^T+{\mathrm{\Σ}}_w=P_{k-1}+{\mathrm{\Σ}}_w$

(d)根据观测方程计算观测的估计值

${\hat{y}}_k=K_0-R{i}_k-K_1/z_k^{-}-K_2{z}_k^{-}+K_3\ln z_k^{-}+K_4\ln (1-z_k^{-})$

(e)计算观测方程对状态变量的偏导数C_k：

$C_k=\frac{\∂h(z_k,i_k)}{\∂z_k}{|}_{z_k={\hat{z}}_k^{-}}=\frac{K_1}{{\left({\hat{z}}_k^{-}\right)}^2}-K_2+\frac{K_3}{{\hat{z}}_k^{-}}-\frac{K_4}{1-{\hat{z}}_k^{-}}$

(f)计算卡尔曼滤波增益L_k：

$L_k=\frac{P_k^{-}{C}_k^T}{C_k{P}_k^{-}{C}_k^T+{\mathrm{\Σ}}_v}=\frac{P_k^{-}{C}_k}{{\left(C_k\right)}^2{P}_k^{-}+{\mathrm{\Σ}}_v}$

(g)计算状态z_k及其方差P_k：

$z_k=z_k^{-}+L_k(y_k-{\hat{y}}_k)$

$P_k=(1-L_k{C}_k)P_k^{-}$

在时刻k，利用安时法进行电池剩余电量估计的方法为：

z_k＝z_k-1-η_ii_k-1Δt/Q_n；

步骤(5)当电池剩余电量少于P％时，一直使用上述步骤(4)中的扩展卡尔曼滤波方法进行电池剩余电量的估计。