CN101359914B - 一种准循环ldpc码的逐块构造方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种准循环LDPC码的逐块构造方法，本发明逐块构造准循环LDPC码校验矩阵中的每个块矩阵，采用一定的约束条件，使得当前构造的块矩阵与已有的块矩阵之间不存在长度为4和6的环，最终构造出最小环长为8的(3，L)准循环低密度奇偶校验码。

Description

一种准循环LDPC码的逐块构造方法

技术领域

本发明属于无线通信技术领域的LDPC码构造，尤其涉及逐块构造准循环LDPC码校验矩阵的方法。

背景技术

低密度奇偶校验(LDPC)码最早由Gallager在20世纪60年代提出，1996年Mackay重新发现LDPC码在迭代译码下具有接近香农限的性能，从而引起了人们对LDPC码的广泛研究。

LDPC码按照构造校验矩阵方法的不同可以分为基于随机校验矩阵及基于结构化校验矩阵的LDPC码。随机校验矩阵方面Gallager和Mackay分别提出了各自的构造方案，此外Chung等人在Richardson建立的密度进化理论的基础上利用计算机搜索最优度分布，得到了距香农限0.0045dB的随机构造LDPC码。Xiao-yu Hu采用逐条构造(Progressive-Edge Growth)LDPC码对应Tanner图中边的方法，使得构造出LDPC码的环长最大，从性能方面，是目前公认最好的基于随机校验矩阵的LDPC码。基于随机校验矩阵的LDPC码在分组长度足够长时，在加性高斯白噪声信道中具有接近香农限的性能，但编码复杂度很高。为了实现快速编码，研究者利用不同的代数方法，构造具有循环或者准循环性质的结构化校验矩阵来降低编码复杂度。按照采取代数方法的不同，结构化校验矩阵的构造主要有以下几个方面的最新进展，第一类是Lin提出的基于有限几何的LDPC码，将欧式空间和投影空间中的点和线映射为校验矩阵对应Tanner图中的变量节点和校验节点。第二类是基于循环置换矩阵的LDPC码，该方法将行重为L，列重为J的规则(J，L)LDPC码校验矩阵的构造简化为JL个循环置换矩阵的选取，基于循环置换矩阵的LDPC码存在着环路，Fossorier给出了基于循环置换矩阵的最小环长为g的QC-LDPC码校验矩阵的随机构造法，该算法需要进行全搜索，因此复杂度极高。第三类是基于组合设计的LDPC码，主要有基于平衡不完全区组设计的LDPC码设计，上述结构化校验矩阵的LDPC码能够实现快速编码，但由于损失了一定的随机性，在分组长度较长时，性能劣于基于随机校验矩阵的LDPC码。

基于随机校验矩阵的LDPC码编码复杂度很高，不利于硬件的实现。而基于结构化校验矩阵的LDPC码，虽然能够实现快速编码，但由于损失了一定的随机性，在分组长度较长时，性能又劣于基于随机校验矩阵的LDPC码。因此如何提高准循环LDPC码的性能是一个大家都很关注的问题。

发明内容

本发明的目的在于克服上述现有技术不足，提供一种准循环LDPC码的逐块构造方法，该方法利用较低的复杂度构造出不含8以下环路的准循环LDPC码，在实现快速编码的同时，提高准循环LDPC码的性能。

为达到上述目的，本发明的技术方案是这样实现的：

a.当给定块矩阵的阶数p来构造准循环LDPC码时，

第一步，初始化计数器K＝0；

第二步，对于给定的阶数p，从伽罗华域GF(p)中随机选取L个整数作为校验矩阵H第一行块矩阵的移位阶数p_0，j；

第三步，顺序的逐块构造校验矩阵H中剩余的2L个块矩阵，行间顺序为先第二行后第三行，行内顺序为从左至右，在构造每个块矩阵的时候，不直接构造每个块矩阵的移位阶数p_i，j，其中1≤i≤2，0≤j＜L，而是首先生成当前块矩阵与上一行同列的块矩阵之间移位阶数的差，并由这2L个差组成校验矩阵H的等效矩阵D，即D(i，j)＝p_i+1，j-p_i，j，其中0≤i≤1，0≤j＜L，顺序的构造等效矩阵D的元素，在逐个构造等效矩阵D的第一行元素第j列元素D(0，j)时，令排除集合

，并将S＝GF(p)-E定义为候选集合，如果候选集合非空，则从候选集合中随机选取一个元素作为当前D(0，j)的值，如果候选集合为空，则令计数器K＝K+1，检测如果K≤100，跳回第二步，否则，构造失败并结束，在逐个构造效矩阵D的第二行第j列元素D(1，j)时，令排除集合E＝{D(1，i)+D(0，k)-D(0，j))mod p}∪{(D(1，i)+D(0，i)-D(0，k))mod p}，其中0≤i＜j 0≤k＜L，将S＝GF(p)-E定义为候选集合，如果候选集合非空，从候选集合中随机选取一个元素作为当前D(1，j)的元素，如果候选集合为空，则令计数器K＝K+1，检测如果K≤100，跳回第二步，否则，构造失败并结束；

最终如果构造失败，则说明给定的p不能构造出最小环长为8的(3，L)准循环LDPC码，如果构造成功，则利用等效矩阵D与校验矩阵H的关系以及校验矩阵第一行的元素求得整个校验矩阵H；

b.当未给定块矩阵的阶数p，并需要求出能够构造出最小环长为8的(3，L)准循环LDPC码的最小p时，

第一步，设定p＝L；

第二步，利用a中的步骤对该p进行最小环长为8的(3，L)准循环LDPC码的构造，如果构造成功，则返回p，如果构造不成功，则令p＝p+1，继续利用a中的步骤对该阶数p进行构造，直到使得构造成功为止。

本发明给出了一种低复杂度的最小环长为8的(3，L)准循环LDPC码的逐块构造。与Fossorier的最随机构造法相比，本发明将构造复杂度由指数级变为了多项式级，极大的降低了校验矩阵的构造复杂度，并且与其他的准循环LDPC码相比，增大了最小环长，因此性能要好，仿真结果也证明了这一点。

附图说明

图1为基于循环置换矩阵的准循环LDPC码中4环的直观描述图；

图2为基于循环置换矩阵的准循环LDPC码中6环的直观描述图；

图3(a)为当前循环置换矩阵与已有循环置换矩阵之间形成6环，且当前列为6环长边的示意图。

(b)为当前循环置换矩阵与已有循环置换矩阵之间形成6环，且当前列为6环短边的示意图。

图4为本发明构造LDPC码与Mackay随机构造码的性能比较图。

图中ser表示误帧率，ber表示误比特率。

图5为本发明构造LDPC码与基于投影几何的准循环LDPC码性能比较图。

图6为本发明构造LDPC码与Xiao-yu Hu的PEG-LDPC码的性能比较图。

表1为K＝1，K＝10，K＝100时本发明与Fossorier随机构造法查找到能够构造出最小环长为8的(3，L)准循环LDPC码的最小p比较。

表2为本发明与Fossorier随机构造法构造复杂度比较。

下面结合附图对本发明的内容作进一步详细说明。

具体实施方式

参见图1所示，来说明基于循环置换矩阵的准循环LDPC码中4环形成的充分必要条件，实线代表所连两个循环置换矩阵移位阶数的差。图中4个块矩阵间形成4环当且仅当a＝b mod p。

参见图2所示，来说明基于循环置换矩阵的准循环LDPC码中6环形成的充分必要条件，实线代表所连两个循环置换矩阵移位阶数的差。图中4个块矩阵间形成6环当且仅当a＝(b+c)modp，并且直观的将a定义为6环的长边，将b和c定义为短边。

有了上述4环即6环的直观表示，我们逐块的构造(3，L)准循环LDPC码的校验矩阵，如果能够使得当前构造的块矩阵与已有的块矩阵之间不形成4环以及6环，则如果所有块矩阵构造完毕，那么将最终得到最小环长为8的准循环LDPC码。由于基于循环置换阵的LDPC码中的环路实际上只与相同列不同行的循环置换矩阵之间的移位阶数的差有关系，因此我们可以将校验矩阵的构造等价于第一行子矩阵的移位阶数矢量和一个2×L的等效矩阵D的构造，D的每个元素代表H中下一行与该行相应列上循环置换矩阵移位阶数的差，即D(i，j)＝p_i+1，j-p_i，j，校验矩阵第一行的循环置换阶数的选取与环路的形成无关，因此可以从取值范围中任意选取。接下来逐个构造等效矩阵D的第一行元素时，相当于构造校验矩阵H的第二行元素，根据图2，6环需要3个行列均不同的块来描述，因此此时只需要考虑虑当前循环置换矩阵与已有循环置换矩阵形成4环的情况，因此由4环形成的条件我们只需要D(0，j)≠D(0，i)，0≤i≤j-1就使得当前块矩阵与已有的块矩阵之间无4环。进而得到定理一。

定理一：在构造效矩阵D的第一行第j列元素时，令排除集合

从候选集合S＝GF(p)-E中随机选取一个作为D(0，j)时，由D(0，j)构造的校验矩阵H的第二行第j列循环置换矩阵与已有循环置换矩阵之间无4环及6环。

参见图3所示，我们说明如何构造校验矩阵第三行元素，即如何构造等效矩阵D的第二行元素，使得当前构造的块矩阵与已经存在的块矩阵之间不存在4环与6环。我们首先分析形成6环时的情况，所示我们考虑构造D的第二行第j列元素D(1，j)，此时需要考虑6环，通过对6环的表现形式的分析中得到，6环由一条长边和两条短边构成，因此当前循环置换矩阵与已有循环置换矩阵之间形成6环有两种情形：

情形1：当前列作为长边a，如图3(a)所示，有了长边只需要确定两条短边，分别是第二行与第三行之间的短边b以及第一行与第二行之间的短边c，短边b只能在第j列的左边选取，因此有j-1种选择，而短边c的选取则是除去长边a所在的第j列以及短边b所在列的其他列。由图2中6环形成时所需要的充分必要条件得到当且仅当a＝(b+c)modp，根据等效矩阵D与校验矩阵的关系，等价于D(1，j)+D(0，j)＝(D(1，i)+D(0，k))modp，其中0≤i＜j，k≠i，k≠j，很容易发现k＝i时描述的情况变为第一行与第三行之间第j列与b所在的第i列形成4环时需要满足的条件，而当k＝j时描述的是第二行与第三行之间第j列与b所在的第i列形成4环时需要满足的条件，所以仅仅限定0≤i＜j，满足D(1，j)+D(0，j)＝(D(1，i)+D(0，k))modp的所有D(1，j)使得当前循环置换矩阵与已有的循环置换矩阵之间形成4环以及该列作为长边时的所有6环。此时需要检测6环(包含了4环)的个数为(j-1)L。

情形2：当前列作为短边b，如图3(b)所示，有了短边需要确定一条长边和另一条短边，分别是第一行与第三行之间的长边a以及第一行与第二行之间的短边c，长边a只能在第j列的左边选取，因此有j-1种选择，而短边c的选取则是除去长边a所在的第j列以及短边b所在列的其他列。同样的当且仅当D(1，i)+D(0，i)＝(D(1，j)+D(0，k))modp，其中0≤i＜j，k≠i，k≠j，如同情形1，限定0≤i＜j，使等式成立的所有D(1，j)使得当前循环置换矩阵与已有的循环置换矩阵之间形成4环以及该列作为长边时的所有6环。此时需要检测6环(包含了4环)的个数为(j-1)L。

上述两种情况求得了当前块矩阵与已有块矩阵之间形成4环以及6环时D(1，j)的取值，因此从取值范围中排除这些取值，然后随机产生一个作为当前的D(1，j)，将会使得当前生成的块矩阵与已有块矩阵之间无4环及6环，进而得到定理二；

定理二：在构造效矩阵D的第二行第j列元素时，将由E＝{D(1，i)+D(0，k)-D(0，j))mod p}∪{(D(1，i)+D(0，i)-D(0，k))mod p}在0≤i＜j 0≤k＜L时得到的所有D(1，j)构成排除集合，将排除集合中元素从GF(p)中去除得到候选集合，当候选集合非空时，随机选取一个作为D(1，j)时，由D(1，j)构造的校验矩阵H的第三行第j列循环置换矩阵与已有循环置换矩阵之间无4环及6环。

有了上述两个定理，可以由给定的p逐块构造(3，L)准循环LDPC码，当构造到某个位置，出现候选集合为空集的时候，则认为该p不能构造出最小环长为8的(3，L)准循环LDPC码。逐块构造法同时也可以来查找不同行重L，能够构造出最小环长为8的(3，L)准循环LDPC码的最小p，与Fossorier随机构造法来查找p一样，均先将p设的相对小(p＝L时，肯定构造不出满足最小环长为8的LDPC码)，然后利用逐块构造法对该p进行(3，L)准循环LDPC码的构造，如果构造失败，则增大p，直到构造成功为止。我们将本发明与随机构造法查找到的对应不同行重的最小p比较在表中的前两行，发现它们之间有较大的差距，经过分析，我们发现差距造成的主要原因是因为从候选集合中随机选取任意元素，这意味着我们认为选取任何元素都不会改变构造结果，即如果该p存在最小环长为8的(3，L)准循环LDPC码，则不会因为随机选取使得构造失败，实际上选取不同的元素有可能改变构造结果，因此对上述发明做了改进，对每个p，构造失败时，不是立即增大p，而是重复构造，直到重复构造某个整数仍然构造失败时，才增大p，表1中列出了K取10和K取100查找的最小p，我们发现当K＝100时，查找到的最小p差距已经非常小了。下面将分析一下本发明与随机构造法的复杂度。

首先我们分析一下本发明与随机构造法的复杂度，由于4环可以包含在6环中，因此我们将需要检测6环的个数来作为复杂度比较的主要因素，在这里我们不考虑集合操作的复杂度。首先看全搜索时，最坏情况下我们要搜索p^3L(J＝3)个校验矩阵，如前所述，6环由一条长边和两条短边构成，对于(3，L)准循环LDPC码，首先选择一条长边共有L种选择，接着选择第一行和第二行循环置换矩阵之间的一条短边，也有L种选择，最后选择第二行与第三行循环置换矩阵之间的另外一条短边，同样有L种选择，这里没有去除三条边中任意两条位于一列的情况，因为此时检测的实际上是4环，但是要去除三条边都位于一列的情况。因此每列作为长边时共需要检测L²-1个6环(4环包括在内)，所以全搜索一个矩阵需要检测环(4环和6环)的个数为L(L²-1)。分析图2时得出当构造第j列时需要检测2L(j-1)个6环，因此如果构造成功，需要检测的6环个数为

综上所述，将对于一个p构造最小环长为8的(3，L)准循环LDPC码校验矩阵时可能的复杂度总结在表2，从表中可以看出，无论是构造失败还是构造成功，本发明复杂度都远远小于随机构造法中的全搜索，并且对于某个p，本发明构造失败时，不立刻增大p，重复构造K次时，无论构造成功还是失败，本发明复杂度只是仍然是O(L²)数量级，远远小于随机构造法构造复杂度。随着L的增大复杂度降低的越明显，随机构造法随着L的增大程指数级增大，并且由于随着L的增大，构造出环长为8的准循环LDPC码的循环置换矩阵最小p也增大，可见，随着L的增大，指数项的底数在增大，复杂度增大的非常快，而本发明的构造复杂度仅仅为O(L²)数量级。

最后对本发明构造出的准循环LDPC码性能进行了仿真，仿真均采用BPSK调制，信道为加性高斯白噪声信道，译码算法为置信传播(BP)译码算法，最大迭代次数为100。

参照图4所示，比较Mackay的(252，504)以及(504，1008)LDPC码与本文构造LDPC的性能，根据

忽略最后一项，首先确定了行重L＝6，接着由分组长度n＝Lp得到两种分组长度的(3，6)准循环LDPC码的循环置换矩阵阶数p分别为84和168。通过本发明查找到循环置换矩阵阶数数为84和168的(3，6)准循环LDPC码的校验矩阵，通过仿真结果我们发现本文算法构造的LDPC在性能上要优于随机构造码，分组长度为504时码率为0.5左右，误码率为10^-5数量级时，本发明LDPC码比mackay的随机构造码性能好0.3dB左右，分组长度为1008时本发明LDPC码比mackay的随机构造码性能好0.1dB左右。

参照图5所示，比较码率0.77左右的两种LDPC码性能，一种是基于有限几何中投影几何的LDPC码，该LDPC码码长为1057，信息比特为813，求得码率为0.7692，因此根据

并令两边相等，略去与p有关的项，得到L＝13时，1-3/L≈0.7692，接着利用PG-LDPC码的码长为1057，求得p＝82时，通过本发明构造出的(3，13)QC-LDPC码分组长度为1066，最接近1057，接着对这两种码率0.77左右的PG-LDPC码与本文构造的QC-LDPC码在前述的仿真条件下进行性能仿真。图中可以看出，两者的误帧率基本相同，误码率方面，本发明构造的LDPC码要优于PG-LDPC码，10^-5数量级时，性能好0.1dB左右。

参照图6所示，比较了码率0.5左右，分组长度为1008的本发明构造LDPC码与Xiao-yu Hu的PEG-LDPC码的性能比较。分组长度N＝336时，两种方法构造LDPC码的性能基本一样，而当分组长度N＝1008时，误码率10^-5数量级时，本发明构造的LDPC码仅比目前公认最好的随机构造码性能差0.05dB。

通过上述仿真，发现本发明在性能上不仅优于Mackay的随机构造码，也优于基于有限几何中投影几何的准循环LDPC码，与目前公认最好的随机构造码相比，分组长度N-1008时，性能只差0.05dB，并且本发明构造的LDPC是准循环码，具有快速编码的优势，因此有巨大的使用价值。

Claims (1)

1.一种准循环LDPC码的逐块构造方法，其特征在于：

a.当给定块矩阵的阶数p来构造准循环LDPC码时，

第一步，初始化计数器K＝0；

第二步，对于给定的阶数p，从伽罗华域GF(p)中随机选取L个整数作为校验矩阵H第一行块矩阵的移位阶数p_0，j；

第三步，顺序的逐块构造校验矩阵H中剩余的2L个块矩阵，行间顺序为先第二行后第三行，行内顺序为从左至右，在构造每个块矩阵的时候，不直接构造每个块矩阵的移位阶数p_i，j，其中1≤i≤2，0≤j＜L，而是首先生成当前块矩阵与上一行同列的块矩阵之间移位阶数的差，并由这2L个差组成校验矩阵H的等效矩阵D，即D(i，j)＝p_i+1，j-p_i，j，其中0≤i≤1，0≤j＜L，顺序的构造等效矩阵D的元素，在逐个构造等效矩阵D的第一行元素第j列元素D(0，j)时，令排除集合

并将S＝GF(p)-E定义为候选集合，如果候选集合非空，则从候选集合中随机选取一个元素作为当前D(0，j)的值，如果候选集合为空，则令计数器K＝K+1，检测如果K≤100，跳回第二步，否则，构造失败并结束，在逐个构造效矩阵D的第二行第j列元素D(1，j)时，令排除集合E＝{D(1，i)+D(0，k)-D(0，j))modp}∪{(D(1，i)+D(0，i)-D(0，k))modp}，其中0≤i＜j0≤k＜L，将S＝GF(p)-E定义为候选集合，如果候选集合非空，从候选集合中随机选取一个元素作为当前D(1，j)的元素，如果候选集合为空，则令计数器K＝K+1，检测如果K≤100，跳回第二步，否则，构造失败并结束；

最终如果构造失败，则说明给定的p不能构造出最小环长为8的(3，L)准循环LDPC码，如果构造成功，则利用等效矩阵D与校验矩阵H的关系以及校验矩阵第一行的元素求得整个校验矩阵H；

b.当未给定块矩阵的阶数p，并需要求出能够构造出最小环长为8的(3，L)准循环LDPC码的最小p时，

第一步，设定p＝L；

第二步，利用a中的步骤对该P进行最小环长为8的(3，L)准循环LDPC码的构造，如果构造成功，则返回p，如果构造不成功，则令p＝p+1，继续利用a中的步骤对该阶数p进行构造，直到使得构造成功为止。

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