CN1889367A - 构造稀疏生成矩阵的方法及低密度分组校验码的编码方法 - Google Patents

Abstract

公开了一种构造生成矩阵的方法，包括以下步骤：a)随机生成k行n－k列的稀疏矩阵P；b)从所述稀疏矩阵P得到生成矩阵G＝[I_k P]，校验矩阵H＝[P^T I_n－k]，其中I_k是k行k列的单位矩阵，P^T是P的转置矩阵；c)对所述校验矩阵H进行初等变换，使其满足预定的列重分布，得到变换后的校验矩阵H’；d)检验变换后的校验矩阵H’中是否存在短环；e)如果存在短环，则记录矩阵H’中短环所对应的行数和列数，进而找到随机矩阵P中与矩阵H’中的所述行数和列数相对应的行数和列数；f)调整P矩阵中的所述行数和列数所对应的码重分布；g)重复上述步骤b)至f)，使得校验矩阵H’中不存在短环。

Description

构造稀疏生成矩阵的方法及低密度分组校验码的编码方法

技术领域

本发明涉及通信领域的信道编码，具体涉及一种构造稀疏生成矩阵的方法以及相应的低密度分组校验码的编码方法。

背景技术

低密度分组校验码(Low Density Parity-Check Code，LDPC Code)是近十年来重新发现的一种强有力的前向纠错编码方法，在长码构造条件下已经逼近香农限，因而被认为是Turbo码的有效替代技术，很有可能被用于下一代移动通信和深空通信。

Gallager在1962年提出了低密度分组校验码。LDPC码是基于监督矩阵定义的一种码，它具有以下特性：每列包含很小的固定数目j＞＝3的1，每行包含很小的固定数目k＞j的1。Gallager证明：这些码字的典型最小距离随码长的增加线性增加，而且BSC信道下译码错误的典型概率随码长指数减小。Gallager的博士论文还给出了LDPC码的构造方法，迭代译码算法及其性能分析。由于当时计算机水平发展有限，硬件实现困难，LDPC被长期的遗忘了。直到1995年，Mackay和Neal重新发现LDPC码与Turbo码相比有着同样的优秀性能，而且在长码长的情况下还超过了Turbo码。因而，LDPC码成为新的研究热点，得到大家的广泛关注。

目前，对LDPC码的研究主要集中在如下几个方向。第一，考虑LDPC码在非GF(2)上的构造，也就是在多元域上的编码问题，如GF(4)，GF(8)等。Mackay和Davey等在此方向作了很多探索和尝试(Matthew C.Davey，PHD Thesis：Error-correction using Low-Density Parity-Check Code，Gonville and Caius College，Cambridge，1999)，取得了很好的成果。精心构造的多元域上的校验矩阵，可以使性能有极大提高。第二，Gallager提出的LDPC码，其校验矩阵的列重和行重是固定的，这通常被称为规则的LDPC码(或者Gallager码)；Luby，Mitzenmacher，Shokrollahi和Spielman首先提出构造不规则的二元LDPC码(Michael G.Luby，MichaelMitzenmacher，M.Amin Shokrollahi，and Daniel A.Spielman，“Improved Low-Density Parity-Check Codes Using IrregularGraphs”IEEE TRANSACTIONS ON INFORMATION THEORY，VOL.47，NO.2，FEBRUARY 2001：585-598)。Luby在1998年提出，放松对行列重量的限制，构造不规则的LDPC码，也就是每列(每行)重量不相同。研究结果表明，这对于最初的Gallager码，非规则LDPC码的性能也有了极大提高。目前这两个研究方向正在不断的优化组合，来寻找性能更优的非GF(2)上的不规则LDPC码。

LDPC码的译码方法简单，然而编码方法确相对比较复杂。通常的编码方法是先构造一个监督矩阵，然后再进行编码。假设要传输N比特(0，1序列)的数据块通过信道。为了能纠正错码，假设需要M个校验式。一个有效的数据块(或者码字)必须满足：

                         Hx＝0

其中，矢量x是码字，它是一个N比特的列矢量，0是一个有N个0的列矢量，而矩阵H是一个M*N的校验矩阵(M行N列)，这里M小于N。这里所有用到的算法都是GF(2)上的模2运算，加和减都是异或运算，乘是与运算。假设H的每行是线性独立的。这样将有2^N-M个有用的码字。我们要用一个这样的码字来唯一表示有N-M个比特的一个源数据块。编码问题就在于定义并计算一个从N-M个比特的源数据块到N比特的有效码字的映射。出于理论研究的简单化考虑，我们将仅仅考虑系统位的映射，这样N-M个比特的源数据块将被直接映射成一个N比特码字的子集，便于在接收端能直接译码。

目前主要有以下编码方法：

【密集编码方法】

先把矩阵H分割成一个M*M的左方阵A和一个M*N的右矩阵B。如果A是奇异矩阵，就需要重新排列H矩阵的列向量。用同样的方法把码字X分割成M个校验比特C和N-M个系统比特S。

奇偶校验方程Hx＝0变为下式：

$\left[A\right|B\left]\right[\frac{C}{S}]=0$

由此，我们得到：

                AC+BS＝0

因此，

                C＝A^-1BS

我们可以预先计算出D＝A^-1B，然后通过把源数据块S乘以这个矩阵D得到校验码C。这个编码算法的计算复杂度与M(N-M)成正比。由于C通常是密集矩阵而非稀疏矩阵，所以我们称这种编码方式是密集编码方法。

【混合编码方法】

假设矩阵H＝[A|B]是稀疏的，则矩阵A和B也是稀疏的。对于LDPC码来说，B中每行1的个数至少在平均数上是个常数，且独立于N。

采用用以下两个步骤来更快的计算C＝A^-1BS：

1)计算Z＝BS，这个计算时间将正比于M，这里利用了B是稀疏矩阵的性质。

2)计算C＝A^-1Z，这个计算时间将正比于M²。

总的计算复杂度正比于M²。当M小于N-M时(码率大于1/2)，这个算法比上面密集算法的M(N-M)计算复杂度低。下面我们讨论如何利用A矩阵的稀疏性。

【LU分解法】

LU分解法的基本思想是：如果A矩阵是非奇异的，则可将A矩阵分解为一个上三角矩阵U和下三角矩阵L的乘积，其中L和U也是M行M列的稀疏矩阵。其基本步骤是：

1)对H矩阵进行LU分解，得到重排后的H，B，L，U

2)计算Z＝BS

3)通过用前向消元法解方程LY＝Z，得到Y，其中Y是M维的列向量。

4)再通过用后向消元法解方程UC＝Y，得到C。

以上几种编码方法都需要比较复杂的稀疏矩阵的数学运算，比较繁琐，而且也不利于用硬件电路实现。

发明内容

本发明的主要目的是提供一种高效的LDPC编码方法。本发明尤其对下一代移动通信和深空通信等使用纠错技术的场所有重要的实用价值。

本发明主要是通过直接构造稀疏生成矩阵G简化编码方法。在接收端，由稀疏生成矩阵G可以直接得到一个稀疏监督矩阵(校验矩阵)H。再对这个稀疏监督矩阵H进行初等行变换，可以得到满足和积算法迭代收敛的校验矩阵H’。

首先我们构造一个系统码形式的生成矩阵G。对于对于[n，k]LDPC码，我们假设构造的生成矩阵为G＝[I_kP]。

对于[n，k]线性分组码，有 ${H\stackrel{\→}{c}}^T=0^T,$ 其中H是(n-k)行n列的校验矩阵， 和O^T都是n维的列向量。

$\stackrel{\→}{c}=\stackrel{\→}{m}G$

G矩阵被称为生成矩阵。G是k行n列的矩阵，

是n维行向量，表示编码码字。 是k维行向量，表示信息码字。

根据线性分组码的基本理论，对于[n，k]系统分组码，监督矩阵H和生成矩阵G有如下关系：

H＝[P^TI_n-k]G＝[I_kP]

其中，P是(n-k)行k列的矩阵，P^T是P的转置矩阵，I_k是k行k列的单位矩阵。也就是监督矩阵H和生成矩阵G共享随机矩阵P，因此由构造的生成G很容易得到监督矩阵H。

然而在监督矩阵H中有列重为1的列向量存在，因而需要进行初等行变换。而根据一般的线性分组码理论，对监督矩阵进行初等行变换，不影响其生成矩阵。所以这样得到的校验矩阵H’所对应的生成矩阵仍然是G。按照目前的研究进展，存在一些满足最优性能的非规则LDPC码的列重分布。我们找到一些特殊的矩阵代数方法逼近这样的列重分布。然后再检验这样得到的校验矩阵H’是否存在短环。按照一般的译码理论，短环是导致LDPC译码不收敛的主要原因。如果存在，则需要重新调整生成矩阵G，进行新一轮的设计。如此最终得到需要的稀疏生成矩阵G和校验矩阵H’。

因此，在本发明的一个方面，提出了一种构造生成矩阵的方法，包括以下步骤：a)随机生成k行n-k列的稀疏矩阵P；b)从所述稀疏矩阵P得到生成矩阵G＝[I_kP]，校验矩阵H＝[P^TI_n-k]，其中I_k是k行k列的单位矩阵，P^T是P的转置矩阵；c)对所述校验矩阵H进行初等变换，使其满足预定的列重分布，得到变换后的校验矩阵H’；d)检验变换后的校验矩阵H’中是否存在短环；e)如果存在短环，则记录矩阵H’中短环所对应的行数和列数，进而找到随机矩阵P中与矩阵H’中的所述行数和列数相对应的行数和列数；f)调整P矩阵中的所述行数和列数所对应的码重分布，g)重复上述步骤b)至f)，使得校验矩阵H’中不存在短环。

在LDPC编码时，首先预设一种RAM表存储稀疏生成矩阵G，记录各个校验码的生成信息码地址索引，然后可以很方便的得到系统码方式的码字。而在接收端，则要预设一种RAM表存储与上述生成矩阵G相对应的稀疏校验矩阵H’，然后进行一般意义上的和积算法的译码运算。

此外，在本发明的另一方面，提出了一种利用上述方法构造的生成矩阵G对低密度分组校验码进行编码的方法，包括步骤： $\stackrel{\→}{c}=\stackrel{\→}{m}G,$ G是k行n列的生成矩阵，

是n维行向量，表示编码码字，

是k维行向量，表示信息码字。

本发明的方法不需要比较复杂的稀疏矩阵的数学运算，而且易于用硬件电路实现编码过程。

附图说明

图1是以二部图表示的LDPC码的实例；

图2是构造生成矩阵和校验矩阵的流程图；

图3是列重为p的校验矩阵H’的构造方法；

图4是多重列重的校验矩阵H’的构造方法。

具体的实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步详细说明。

图1给出了用二部图来表示低密度校验码的一个简单示例。LDPC码是一种基于稀疏校验矩阵的线性分组码。1981年，Tanner提出了用二部图来表示一个低密度的线性分组码，从此二部图成为了分析LDPC码的主要工具。设一个LDPC码，信息位长为K，码长为N，校验位为M＝N-K，则该码的校验矩阵H是一个大小为M*N的矩阵。校验矩阵H的二部图表述如下：二部图下边的N个节点代表N个码字，成为信息节点(massage node)；上边M个节点代表M个校验式，称为校验节点(check node)。当下边的信息节点和上边的校验节点存在于同一个校验式时，就用边(edge)将两者连接。将和每个节点相连的线的个数称为该节点的度(degree)。

LDPC码的译码采用和积(Sum-Product)算法，整个译码过程可以看作在Tanner的二部图上的BP算法的应用。以图1为例，我们把每一个校验节点A是信息节点x的父节点(parent)，每一个信息节点x是校验节点A的子节点(child)。图底下一排代表信息节点(9个)，上面的一排节点代表校验节点(6个)，每一个节点代表矩阵H中的一行校验式，称为一个校验比特。节点x₁，x₄，x₇和节点A₁相连，代表了第一行校验式。

每一次迭代中，x节点被激活之后把q_ij ^a作为其可信度传递给与之相连的A节点，a＝1/0。q_ij ^a是在除A_j外x_i参与的其他校验节点提供的信息上，x_i在状态a的可信度。节点A_j被激活之后把r_ij ^a作为其可信度传递给与之相连的x节点，a＝1/0。r_ij ^a是在信息节点x_i状态为a和校验式A_j中其他信息节点状态分布已知的条件下，校验式j满足的概率。在每次迭代中，所有节点的可信度都得到更新。每次迭代结束时，计算{x_i}的伪后验概率e_i ^a，做一次尝试判决，得到判决序列

直到判决序列

满足 $H\hat{x}=0,$ 或迭代次数达到我们预设的最大值，迭代终止。最大迭代次数可以设为平均次数的十倍。

但是，由于有短环(小环)的存在，译码有可能收敛到错误码字。小环指H二部图中周长小于等于8的环。如图1所示，其中的二部图中存在如下长度为8的小环：A₁->x₁->A₄->x₉->A₃->x₆->A₅->x₇->A₁，以及A₅->x₂->A₂->x₈->A₆->x₃->A₃->x₆->A₅等等。为了防止迭代译码收敛到错误的码字，需要在编码阶段构造的生成矩阵G所对应的校验矩阵H中没有小环。

图2是构造生成矩阵和校验矩阵的流程图。在图中，先构造稀疏随机P矩阵(S201)，得到生成矩阵G＝[I_kP](S202)，而后构造校验矩阵H＝[P^TI_n-k](S203)。其中，P是k行(n-k)列的矩阵，P^T是P的转置矩阵，I_k是k行k列的单位矩阵。接着，对H进行初等行变换得到H’，使其满足一定的列重分布(S204)。

用枚举或者遍历的方法检验H’中是否存在短环，也就是判断从校验矩阵的二部图中的一个节点出发到回到该节点所经过的周长是否大于8(S205)。如果不存在短环(S205：否)，说明迭代收敛，上述的G和H’就是我们所需要的生成矩阵和监督矩阵(S210)。如果有短环(S205：是)，说明迭代不收敛，需要记录H’中短环所对应的行数和列数(S206)，并根据新的校验矩阵H’和随机矩阵P之间的关系，进一步找到随机矩阵P中所对应的行数和列数(S207)。

然后，随机改变P中这些行数和列数所对应的码重分布(S208)。例如，将随即矩阵P中相应列和行的1改成0或者将0改成1。然后，再随机改变P中少量其它的码重分布，这样就得到了新的随机矩阵P’(S209)。接下来，流程转入步骤S202，进行新一轮的G和H’的设计，直到满足不存在短环的条件为止。

H＝[P^TI_n-k]中存在单位矩阵I_n-k，列重全为1，类似于规则LDPC，为了得到最好的性能，需要有不同的列重出现，亦即构造非规则的LDPC。这样需要对H进行初等行变换，以得到不同的列重。

例如，需要构造列重2，我们给出以下方法：

第一步：设集合A＝{R₁，R₂，…，R_C}，其中R_i是H中的第i个行向量；

第二步：将集合A随机划分为两个元素个数相等的集合B和C，满足：

A＝B∪C，且B∩C＝Φ(空)

可以假设得到的B＝{b₁，b₂，…，b_c/2}，C＝{c₁，c₂，…，c_c/2}

第三步：进行初等行相加(模二加法)：c_i＝c_i+b_i，i∈[1，c/2]。亦即将H中的行向量b_i模二加法到c_i。这样得到的H’校验比特所对应的行向量中有c/2个列重为2。

比如，对于4阶的单位阵I₄，我们可以如下构造：

第一步：设集合A＝{R₁，R₂，R₃，R₄}，其中R_i是I₄中的第i个行向量；

第二步：将集合A随机划分为两个元素个数相等的集合B和C：

B＝{R₃，R₂}，C＝{R₃，R₄}

第三步：进行初等行相加(模二加法)：

R₃＝R₃+R₃，R₄＝R₄+R₂，

这样得到的H’为 $\left[\begin{array}{cccc}1& & & \\ & 1& & \\ 1& & 1& \\ & 1& & 1\end{array}\right],$ 有2个列向量列重为2。

图3是更一般的列重为p(p≥2)的校验矩阵H’的构造方法：

第一步：设集合A＝{R₁，R₂，…，R_C}，其中R_i是H中的第i个行向量(S301)；

第二步：将集合A随机划分为p个元素个数相等的集合B₁，B₂，…，B_p(S302)，满足：

        A＝B₁∪B₂∪…∪B_p，且i≠j，B_i∩B_j＝Φ(空)

可以假设得到的B_i中的第j个元素为b_ij，它是H中的某一个行向量，j∈[1，c/p](S303)；

第三步：对H进行进行初等行相加(模二加法)：b_ij＝b_ij+b_1j，i∈[2，p]，j∈[1，c/p]。亦即将H中的行向量b_1j模二加法到b_ij(S304)。这样得到的H’中的校验比特所对应的行向量中有c/p个列重为p(S305)。

图4是多重列重的校验矩阵H’的构造方法。对于非规则LDPC码的最优设计，列重可能存在多种可能，比如2，3，4都是很常见的。假设要构造t个列重p₁，p₂，…，p_t的分布，我们基于以上构造列重p的算法，进一步提出以下更一般化的构造多重列重的算法：

第一步：设集合A＝{R₁，R₂，…，R_C}，其中R_i是H中的第i个行向量(S401)；

第二步：将集合A随机划分为t个集合B₁，B₂，…，B_t(S402)，满足：

         A＝B₁∪B₂∪…∪B_t，且i≠j，B_i∩B_j＝Φ(空)

可以假设得到的B_i中的第j个元素为b_ij它是H中的某一个行向量。并假设Num(B_i)＝k_i，Num表示集合中元素的个数，那么有 $C=\underset{i=1}{\overset{t}{\mathrm{\Σ}}}{k}_i\left(S403\right);$

第三步：i∈[1，t]，令A＝B_i，c＝k_i，进行上述的列重为p_i的构造算法(S404)。这样得到的H’中的校验比特所对应的行向量中有k_i/p_i个列重为p_i，i∈[1，t](S405)。所以我们可以完成一般化的非规则LDPC码的构造，以逼近最优的码重分布。

在得到生成矩阵G和相应的H’之后，如下进行编码操作：

$\stackrel{\→}{c}=\stackrel{\→}{m}G$

G矩阵被称为生成矩阵。G是k行n列的矩阵， 是n维行向量，表示编码码字。 是k维行向量，表示信息码字。

在实际的工程应用中，我们用图2所示的方法并结合构造多重列重的算法，首先得到G和H’。在LDPC编码前，需要预设一种固定RAM表存储稀疏生成矩阵G的信息，记录各个校验码的生成信息码地址索引。在编码时，信息码字直接输出。

为得到校验码字，首先从RAM中读出其生成信息码地址索引，再按照这些地址索引从数据缓冲器中读出相应的信息码字，最后进行模2加法就是该校验码字。

而在接收端，同样需要预设一种固定的RAM表存储与稀疏监督矩阵H’的信息，记录各个编码比特(包括校验码和信息码)的校验式地址索引和每个校验式的编码比特地址索引，然后进行上述的和积算法的译码运算。

以上所述，仅为本发明中的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉该技术的人在本发明所揭露的技术范围内，可轻易想到的变换或替换，都应涵盖在本发明的包含范围之内。因此，本发明的保护范围应该以权利要求书的保护范围为准。

Claims (9)

1、一种构造生成矩阵的方法，包括以下步骤：

a)随机生成k行n-k列的稀疏矩阵P；

b)从所述稀疏矩阵P得到生成矩阵G＝[I_k P]，校验矩阵H＝[P^T I_n-k]，其中I_k是k行k列的单位矩阵，P^T是P的转置矩阵；

c)对所述校验矩阵H进行初等变换，使其满足预定的列重分布，得到变换后的校验矩阵H’；

d)检验变换后的校验矩阵H’中是否存在短环；

e)如果存在短环，则记录矩阵H’中短环所对应的行数和列数，进而找到随机矩阵P中与矩阵H’中的所述行数和列数相对应的行数和列数；

f)调整矩阵P中的所述行数和列数所对应的码重分布，

g)重复上述步骤b)至f)，使得校验矩阵H’中不存在短环。

2、根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述步骤c)包括：

c1)设集合A＝{R₁，R₂，…，R_c}，其中R_i是校验矩阵H中的第i个行向量；

c2)将集合A随机划分为两个元素个数相等的集合B和C，满足：

A＝B∪C，且B∩C＝Φ

其中B＝{b₁，b₂，…，b_k/2}，C＝{c₁，c₂，…，c_k/2}；

c3)进行初等行相加：c_i＝c_i+b_i，i∈[1，c/2]，得到变换后的校验矩阵H’。

3、根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述步骤c)包括：

c1)设集合A＝{R₁，R₂，…，R_c}，其中R_i是H中的第i个行向量；

c2)将集合A随机划分为t个集合B₁，B₂，…，B_t，满足：

A＝B₁∪B₂∪…∪B_t，且i≠j，B_i∩B_j＝Φ

其中，B_i中的第j个元素为b_ij，它是矩阵H中的一个行向量，B_i中元素的个数是k_i， $c=\underset{i=1}{\overset{t}{\mathrm{\Σ}}}{k}_i;$

c3)i∈[1，t]，令A＝B_i，c＝k_i，并执行以下步骤：

c31)将集合A随机划分为两个元素个数相等的集合B和C，满足：

A＝B∪C，且B∩C＝Φ

其中B＝{b₁，b₂，…，b_k/2}，C＝{c₁，c₂，…，c_k/2}；

c32)进行初等行相加(模二加法)：c_i＝c_i+b_i，i∈[1，c/2]，得到变换后的校验矩阵H’。

4、根据权利要求2或3所述的方法，其特征在于，所述初等相加是模2加法。

5、根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述短环是周长小于等于8的环。

6、根据权利要求1所述的方法，其特征在于，利用枚举或者遍历来判断矩阵H中是否存在短环。

7、一种利用权利要求1所述的方法构造的生成矩阵G对低密度分组校验码进行编码的方法，包括步骤：

$\stackrel{\→}{c}=\stackrel{\→}{m}G$

G是k行n列的生成矩阵，

是n维行向量，表示编码码字， 是k维行向量，表示信息码字。

8、根据权利要求7所述的方法，其特征在于，还包括步骤：

在编码之前在存储器中存储稀疏生成矩阵G的信息和校验码的生成信息码地址索引。

9、根据权利要求8所述的方法，其特征在于，还包括步骤：

从存储器中读出校验码的生成信息码地址索引；

按照所述地址索引从数据缓冲器中读出相应的信息码字；

进行模2加法以得到校验码字。

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