CN101334431A - 电网谐波的频谱插值校正分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于数字信号处理技术领域，具体为一种电网谐波的频谱插值校正分析方法。本发明通过分析频谱泄漏的产生原因，提出了用插值校正的方法来消除相位的变化从而校正频谱。该方法利用加窗插值频谱分析的方法估计出该变化的相位，并利用估计的结果构造出一个相应的反相位函数，在时域上将这个构造的反相位函数与由傅立叶反变换产生的离散序列相乘，并将这个相乘的离散新序列再通过一次傅立叶变换，即可达到频谱校正的效果。分析、仿真和实验的结果在验证本发明的方法有效性的同时，表明了该方法有效提高了不同步采样时电网谐波频谱分析的精度。

Description

电网谐波的频谱插值校正分析方法

技术领域

本发明属于数字信号处理技术领域，具体涉及一种对非同步采样的电网谐波频谱的插值校正分析方法。

背景技术

在当今的众多科学学科中，从电网谐波的频谱来分析采样电网信号是一种常用的基础方法。通常，这一过程是通过离散傅立叶变换DFT来完成的，而DFT的快速算法FFT更是提高了完成这一过程的效率。但是，采样的频率和截断数据的长度(或时间)是需要谨慎选取的，如果稍有偏差，就会产生众所周知的频谱混叠以及频谱泄漏^[1]。我们知道可以通过增加采样频率和抗混叠滤波器来以解决频谱混叠问题。可是需要处理的数据总是具有有限长的离散序列，因此由于数据截断引起的频谱泄漏则是不可避免的^[2]-[9]。

长期以来，针对处理频谱泄漏的特殊方法^[2]-[14]不断出现和更新。最早是通过增加截断的数据长度来降低旁瓣或在截断数据后补零^[1]，这些方法都增加了计算量；或者通过改变信号的采样率^[2]，例如用过采样器来进行补数据点^[1]。通过分析不难发现，这些方法对电网谐波而言，都是希望实现对数据进行整数倍周期的截断，即同步采样。但同步采样在实际应用中是不可能实现的，其原因是：

1、周期本身的测量误差，因为在实际应用中，同步算法要求已知信号周期，以选取合适的采样周期。了解信号周期，必需通过测量，而测量误差则是不可避免的，在此意义上，实际中同步采样是不可能实现的。

2、硬件同步环节的偏差，该偏差主要是由于同步环节中过零比较器中过零点的不确定性造成。该问题在超低频(低于10Hz)信号参数的测试中显得特别突出，因为微小的偏差，将引起十分可观的周期误差。

3、周期本身的波动，即测周期时的周期与采样数据时周期的微小差异，例如电网的周期。

总之，正如文献[14]所论述的那样，无论是用硬件或者软件，与给定的理想要求总存在一定的周期误差。而周期的误差是导致频谱泄漏不可避免的根本原因。

对于采样数据加窗函数的方法，虽然实现容易并且不增加计算量，但是却牺牲了频谱的精度^[5]~[8]。因此为了提高窗函数法频谱分析的精度，文献中进一步提出了加窗插值法^[9][10]，它们通过线性插值来估算出原始信号的频率，幅度及相位信息，并对泄漏的频谱直接进行修正。加窗插值法在一定程度上改善了信号频谱的精度，但仍然存在频谱泄漏。主要表现在基频及各次谐波附近频率点上衰减较慢。

发明内容

本发明的目的在于提供一种针对非同步采样的电网谐波信号的频谱分析新方法。本发明提出的插值校正分析方法，采用插值法估计截断信号与原始信号的相位变化关系，再通过构造相位函数达到校正频谱的目的。

一个电网信号可以表示为：

$\tilde{x}\left(t\right)=\underset{r=0}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{A}_r\cos (2\mathrm{\πrft}+{\mathrm{\φ}}_r)---\left(1\right)$

其中，M为考虑谐波的最高次数，f是信号基频，A_r和φ_r分别是第r次谐波的幅值和相位，t为时间参数。式(1)同样可以表示成为：

$\tilde{x}\left(t\right)=\underset{r=0}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{A}_r\frac{e^{j(2\mathrm{\πrft}+{\mathrm{\φ}}_r)}+e^{-j(2\mathrm{\πrft}+{\mathrm{\φ}}_r)}}{2}---\left(2\right)$

为简化计算，让我们来考虑式(2)的正半部分，即

$x\left(t\right)=\underset{r=0}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\frac{A_r}{2}{e}^{j(2\mathrm{\πrft}+{\mathrm{\φ}}_r)}---\left(3\right)$

在满足奈奎斯特的条件下对式(3)信号在时域进行采样，可以得到：

$x_i=x\left(\mathrm{i\Δt}\right)=\underset{r=0}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\frac{A_r}{2}{e}^{j(2\mathrm{\πrfi\Δt}+{\mathrm{\φ}}_r)},i=\mathrm{0,1},\·\·\·N-1---\left(4\right)$

式中，Δt是采样间隔，N是总的采样点数，采样总时间为NΔt。记 ${\stackrel{\·}{W}}_N=\exp (-j2\mathrm{\π}/N),$ 那么对采样信号式(4)应用DFT(离散傅立叶变换)就可以得到频谱：

$X_k=X\left(\mathrm{k\Δf}\right)=\underset{i=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}x\left(\mathrm{i\Δt}\right)e^{-j2\mathrm{\π}\frac{\mathrm{ik}}{N}},k=\mathrm{0,1},\·\·\·N-1---\left(5\right)$

其中，Δf＝1/NΔt，是频率间隔。式(5)在频谱上的各次谐波表现为一系列幅值较大的谱线，对应的真实频率f_r＝rf可以表示为^[9]：

$f_r=\mathrm{rf}=\frac{D_r}{\mathrm{N\Δt}}=D_r\mathrm{\Δf}=(D_{\mathrm{rz}}+{\mathrm{\δ}}_r)\mathrm{\Δf},\mathrm{\Δf}=\frac{1}{\mathrm{N\Δt}}---\left(6\right)$

式(6)中D_r是在采样时间NΔt内所包含的信号周期的个数。在理想的同步采样时，D_r是一个整数。在非同步采样情况时，D_r不是一个整数。此时用D_rz来表示最接近D_r的整数，用δ_r来表示余下的小数部分。众所周知，该小数部分就是产生频谱泄漏的根源部分^[4]。这意味着将频谱的泄漏减少到最小，需要尽可能的减少δ_r。

式(5)可以重写成：

$X_k=\underset{i=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}x\left(\mathrm{i\Δt}\right)e^{-j2\mathrm{\π}\frac{\mathrm{ik}}{N}}$

$=\frac{1}{2}\underset{i=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{r=0}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{A}_r{e}^{j(2\mathrm{\πrfi\Δt}+{\mathrm{\φ}}_r)}{e}^{-j2\mathrm{\π}\frac{\mathrm{ik}}{N}}---\left(7\right)$

$=\frac{1}{2}\underset{r=0}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{A}_r{e}^{j{\mathrm{\φ}}_r}\underset{i=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{e}^{j\frac{2\mathrm{\π}}{N}(D_r-k)i}$

将式(6)中的D_r＝D_rz+δ_r代入式(7)有：

$X_k=\frac{1}{2}\underset{r=0}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{A}_r{e}^{j{\mathrm{\φ}}_r}\underset{i=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{e}^{j\frac{2\mathrm{\π}}{N}(D_{\mathrm{rz}}-k)i}{e}^{j\frac{2\mathrm{\π}}{N}{\mathrm{\δ}}_{r}i}---\left(8\right)$

式(8)中δ_r的值域可以表示为[-0.5，+0.5]，如果用|X(D_rz+1)|和|X(D_rz-1)|分别表示式(8)中最大谱线相邻谱线幅值，且|X(D_rz+1)|＞|X(D_rz-1)|，即δ_r值为正，反之则负。将式(8)中

记为L函数。即：

$L({\mathrm{\δ}}_r,i)=e^{j\frac{2\mathrm{\π}}{N}{\mathrm{\δ}}_{r}i}---\left(9\right)$

设想如果用某一方法可以获得δ_r的估计

那么据此可以构造出L函数的反相位函数：

$L(-{\widehat{\mathrm{\δ}}}_r,i)=e^{-j\frac{2\mathrm{\π}}{N}{\widehat{\mathrm{\δ}}}_{r}i}---\left(10\right)$

此时，再将信号在正半频域内的频谱通过IDFT(离散傅立叶反变换)进行反变换，就得到了正半频域内信号在时域上的新离散序列X_new(i)，即：

$x_{\mathrm{new}}\left(i\right)=\mathrm{IDFT}\left(X_k\right)=\underset{r=0}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\frac{A_r}{2}{e}^{j(2\mathrm{\πrfi\Δt}+{\mathrm{\φ}}_r)}---\left(11\right)$

将式(10)与(11)相乘，得到：

$x_{\mathrm{new}}{\left(i\right)}^{\′}=x_{\mathrm{new}}\left(i\right)\·L\left(i\right)$

$=\underset{r=0}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{A}_r{e}^{j(\frac{2\mathrm{\π}}{N}(\mathrm{Nrf\Δt}-{\widehat{\mathrm{\δ}}}_r)i+{\mathrm{\φ}}_r)}---\left(12\right)$

$=\underset{r=0}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\frac{A_r}{2}{e}^{j(\frac{2\mathrm{\π}}{N}(D_r-{\widehat{\mathrm{\δ}}}_r)i+{\mathrm{\φ}}_r)}$

式(12)表明，如果式(12)中估计

能使

那么式(12)近似消除由于采样不同步而引入的频谱泄漏误差。如果则意味着可以完全消除由于采样不同步而引入的频谱泄漏误差。

式(12)相当于参考空间的旋转^[10]，其过程如附图1表示。经过这样的空间旋转，将原始信号中由于不同步采样引入非整数周期部分的影响在通过一次DFT(离散傅立叶变换)就可以自身抵消，从而就达到减少或消除频谱泄漏误差的目的。

相位偏差δ_r的估计采用加窗插值法。对形如式(1)表示的信号

进行加窗DFT(离散傅立叶变换)，可以得到的离散频谱为X_w(kΔf)，表达式为：

X_w(kΔf)＝DFT[x(iΔt)w(iΔt)]          (13)

根据式(6)可知，当采样不同步时，其离散频谱不会出现在信号

频率和其整数倍的频率上，即存在所谓的频谱泄漏误差。那么如果假设各次谐波最大幅值为|X_w(D_rz)|，并取其相邻两根谱线|X_w(D_rz+1)|和|X_w(D_rz-1)|，则可采用下面的双峰插值法来估计δ_r，

${\mathrm{\δ}}_r=(P+\frac{1}{2})\frac{\left|X_w\left(D_{\mathrm{rz}}\right)\right|\left\{\right|X_w(D_{\mathrm{rz}}+1)|-|X_w(D_{\mathrm{rz}}-1)\left|\right\}}{\left\{\right|X_w\left(D_{\mathrm{rz}}\right)|+|X_w(D_{\mathrm{rz}}+1)\left|\right\}\left\{\right|X_w\left(D_{\mathrm{rz}}\right)|+|X_w(D_{\mathrm{rz}}-1)\left|\right\}}---\left(14\right)$

式(14)中，P是根据Rife and Vincent函数^[9]定义窗函数的阶数，则可以减少相位估计的误差。式(14)的具体的推算公式请参考文献^[9]。

综上，本发明的具体步骤为：

(1)对原始数据电网信号

做DFT(离散傅立叶变换)得到频谱

如式(5)。

(2)将正半频域的数据保留，并做IDFT(离散傅立叶反变换)得到X_new(i)，如式(11)。保留待用。

(3)将

与某一选择的窗函数相乘，做DFT(离散傅立叶变换)得到X_w(k)，如式(13)，并根据式(14)估计出

(4)根据式(12)构造L反相位函数，并将其与X_new(i)相乘，得到X_new(i)′如式(12)。

(5)最后对X_new(i)′做DFT(离散傅立叶变换)就可以得到校正频谱泄漏误差的频谱。

附图说明

图1为相位空间旋转示意图。

图2为本发明算法的解析图谱。

图3为基波以及3次和7次谐波频谱。其中，(a)为基频分量，(b)为3次谐波分量，(c)为7次谐波分量。

图4为电网信号采集团。

图5为实验结果。(a)为本发明算法分析结果，(b)为Labview频谱分析软件的结果。

具体实施方式

一、仿真结果

对含有高次谐波的信号进行仿真，形式如下：

$x\left(n\right)=\underset{r=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{A}_r\cos (2\mathrm{\π}\frac{{\mathrm{rf}}_0}{f_s}n+{\mathrm{\φ}}_r)+n\left(n\right)---\left(\text{15}\right)$

其中，M为9，即考虑9次谐波成份，f₀取50Hz，采样频率f_s取1600Hz，初始相位φ∈(-π，π)，数据截断范围512.5T。基波及8次谐波的幅值和初相选取如表1所示，SNR取20dB。

表1仿真选取参数设置

谐波次数	1	2	3	4	5	6	7	8	9
										幅值Ar	1	0.35	0.14	0.02	0.065	0.015	0.03	0.098	0.01
相位φr	60°	25°	-120°	0°	75°	-30°	0°	-150°	45°

1.首先对信号x(n)做离散傅立叶变换得到频谱X(k)；

2.将正半频域的频谱X(k)，即k＝N/2…N-1，做N点傅立叶反变换，得到X_new(i)；

3.将信号x(n)与P＝1的Hanning(汉宁)窗函数相乘后，做离散傅立叶变换，得到X_w(k)，并根据式(14)估计出

4.得到估计后，构造L反相位函数，并与步骤2中的X_new(i)相乘，得到X_new(i)；

5.最后应用离散傅立叶变换于X_new(i)，就得到了解析的频谱。

仿真结果将本发明算法与加窗插值法进行了比较。附图2首先给出了本发明方法解析出的信号频谱，可以看出基波及各次谐波谱线均可以高分辨的识别，噪声控制也都在-60dB以下。附图3a)、b)、c)分别给出了在基频处以及3次和7次谐波的比较，可以看出，本方法对于含高次谐波分量的周期信号，仍然能够很好的解决频谱泄漏的问题。

表4给出了两种方法基波以及各次谐波频谱相比同步采样情况下的频谱的误差的比较，可以看出，随着高次谐波的引入，插值校正法的误差越来越大，而本发明给出的方法误差很小，几乎保持同一数量级。

表4各次谐波峰值误差

二、实验结果

为了验证本发明提出算法的有效性，本发明将其应用于实际的电网信号谐波分析中。实验中通过一个变压器采集电网的周期信号，将此未知信号直接输入美国国家仪器公式生产的NI PCI-MIO-16E-1信号采集卡，通过Labview得到采集卡中的数据，再利用MATLAB软件进行数据处理。其采样频率选取为1500Hz，采样点数为8192。附图4给出了采集到的电网周期信号由128个点组成的波形。附图5是频谱分析结果图。其中图5a)是本发明算法频谱的分析结果。本发明算法采取P＝1阶的Hanning(汉宁)窗，对于8192个数据做一次性分析。图5b)是Labview频谱分析软件的分析结果，它的FFT分析采用的也是Hanning(汉宁)窗。可以看出本发明方法的频谱清晰更高，对噪声的抑制作用更强。

参考文献

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Claims (2)

1、一种电网谐波的频谱插值校正分析方法，其中电网信号表示为：

$\tilde{x}\left(t\right)=\underset{r=0}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{A}_r\cos (2\mathrm{\πrft}+{\mathrm{\φ}}_r)---\left(1\right)$

其中，M为考虑谐波的最高次数，f是信号基频，A_r和φ_r分别是第r次谐波的幅值和相位，t为时间参数；

其特征在于具体步骤如下：

(1)对电网信号

进行离散傅立叶变换，得到频谱

$X_k=X\left(\mathrm{k\Δf}\right)=\underset{i=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}x\left(\mathrm{i\Δt}\right)e^{-j2\mathrm{\π}\frac{\mathrm{ik}}{N}},k=\mathrm{0,1}\·\·\·N-1---\left(5\right)$

其中，Δf＝1/NΔt，是频率间隔；Δt是采样间隔，N为总的采样总数，NΔt为总采样时间；

(2)将正半频域的数据保留，并进离散傅立叶反变换，得到正半频域内信号在时域上的新离散序列x_new(i)，即：

$x_{\mathrm{new}}\left(i\right)=\mathrm{IDFT}\left(X_k\right)=\underset{r=0}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\frac{A_r}{2}{e}^{j(2\mathrm{\πrfi\Δt}+{\mathrm{\φ}}_r)}---\left(11\right)$

(3)将电网信号与一窗函数相乘，并进行离散傅立叶变换，得到离散频谱X_w：

X_w(kΔf)＝DFT[x(iΔt)w(iΔt)](13)

(4)采用双峰插值法估计

${\widehat{\mathrm{\δ}}}_r=(P+\frac{1}{2})\frac{\left|X_w\left(D_{\mathrm{rz}}\right)\right|\left\{\right|X_w(D_{\mathrm{rz}}+1)|-|X_w(D_{\mathrm{rz}}-1)\left|\right\}}{\left\{\right|X_w\left(D_{\mathrm{rz}}\right)|+|X_w(D_{\mathrm{rz}}+1)\left|\right\}\left\{\right|X_w\left(D_{\mathrm{rz}}\right)|+|X_w(D_{\mathrm{rz}}-1)\left|\right\}}---\left(14\right)$

式(14)中，P是根据Rife and Vincent函数

定义窗函数的阶数，

(5)构造L函数：

$L({\mathrm{\δ}}_r,i)=e^{j\frac{2\mathrm{\π}}{N}{\mathrm{\δ}}_{r}i}---\left(9\right)$

构造L函数的反相位函数：

$L(-{\widehat{\mathrm{\δ}}}_r,i)=e^{-j\frac{2\mathrm{\π}}{N}{\widehat{\mathrm{\δ}}}_{r}i}---\left(10\right)$

这里

为δ_r的估计值；

(6)将L反相位函数与x_new(i)相乘，得到x_new(i)’：

$x_{\mathrm{new}}{\left(i\right)}^{\′}=x_{\mathrm{new}}\left(i\right)\·L\left(i\right)$

$=\underset{r=0}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{A}_r{e}^{j(\frac{2\mathrm{\π}}{N}(\mathrm{Nrf\Δt}-{\widehat{\mathrm{\δ}}}_r)i+{\mathrm{\φ}}_r)}---\left(12\right)$

$=\underset{r=0}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\frac{A_r}{2}{e}^{j(\frac{2\mathrm{\π}}{N}(D_r-{\widehat{\mathrm{\δ}}}_r)i+{\mathrm{\φ}}_r)}$

(7)最后对x_new(i)’进离散傅立叶变换，即得到校正频谱泄漏误差的频谱。

2、根据权利要求1所述的方法，其特征在于所述的窗函数为P＝1的汉宁窗函数。

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