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Verfahren zur Erzeugung einer mit dem Logarithmus der Zeit zunehmenden Spannung Bekanntlich gelingt es nur mit Hilfe vergleichsweise komplizierter Schaltungen, eine mit dem Logarithmus der Zeit ansteigende Spannung zu erzeugen. Zudem lässt auch die Genauigkeit derartiger Schaltelemente trotz grossen Aufwandes oft zu wünschen übrig.
Da aber der Logarithmus sehr häufig gebraucht wird, besteht für die Verwendung in Analogierechengeräten ein Bedarf nach einem geeigneten Schaltelement, das bei mässigem Auf- wand mit einem Fehler von möglichst unter 1% eine mit dem Logarithmus der Zeit ansteigende Spannung liefert. Diesem Wunsche kommt die im folgenden näher beschriebene Anordnung entgegen.
Der Erfindungsgedanke beruht auf folgender mathematisch ableitbaren Tatsache: Befindet sich eine zylinderförmige Wärmequelle der Länge L in einem unendlich ausgedehnten, wärmeleitenden Medium und entwickelt diese von der Zeit t = 0 an eine pro Zeit- und Längeneinheit konstante Wärmemenge, so zeigt die Rechnung (H. S. Carslaw und J. C. Jaeger: Conduction of Heat in Solids, 1959, µ 13.7, 11 und IV), dass nach einer gewissen Anlaufzeit die Temperatur der Quelle mit dem Logarithmus der Zeit ansteigt.
Praktisch kann dieser Gedanke in folgender Weise verwirklicht werden: In ein wärmeleitendes, jedoch elektrisch isolierendes Medium, z. B. Kunstharz oder auch eine Flüssigkeit nicht zu niedriger Viskosität, wird ein dünner Gold- oder Platindraht eingeführt, bei vergiessbaren Kunstharzen z. B. durch Umgiessen des Drahtes mit dem geschmolzenen Harz. Dieser Draht dient erfindungsgemäss sowohl als Wärmequelle wie als Thermometer. Er wird zu diesem Zweck von einem konstanten elektrischen Strom vom Zeitpunkt t = 0 an geheizt und gleichzeitig als Widerstandsthermometer geschaltet, das heisst, die Spannung an seinen Enden abgegriffen. Verwendet man z. B.
Platin-Drähte von 10 ss Durchmesser und ein Araldit -Kunstharz als umgebendes Medium, so beträgt die Anlaufzeit, nach deren Ablauf das logarithmische Gesetz bis auf 1 O/o genau befolgt wird, etwa 0,0005 sec. Durch noch dünnere Drähte lässt sich die Anlaufzeit jedoch weiter erniedrigen. Die Anlaufzeit ist nämlich bei sonst gleichen Verhältnissen proportional zur 2. Potenz des Drahtdurchmessers. Auch kann das Verhältnis der Wärmekapazität co - eo des Drahtes zu der des umgebenden Mediums c . o so gewählt werden, dass sich eine besonders kurze Einlaufzeit ergibt. Dies ist dann der Fall, wenn dieses Verhältnis
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' zwischen 1 und 1,5 liegt.
Nach Ablauf der Anlaufzeit erhöht sich die Drahttemperatur proportional mit dem Logarithmus der Zeit. Da bei den in Frage kommenden kleinen Temperaturerhöhungen des Drahtes von höchstens einigen Graden die Zunahme seines elektrischen Widerstandes der Temperaturerhöhung proportional ist; wächst bei konstantem Belastungsstrom die an den Drahtenden abgegriffene Spannung mit dem Logarithmus der Zeit an. Natürlich ist es in vielen Fällen angezeigt, diese primär abgegriffene Spannung noch in bekannter Weise zu verstärken.
Durch entsprechende Wahl der Dimensionen und der Eigenschaften des Mediums, in das der Draht eingebettet ist, lässt sich erreichen, dass die Zeit, bis zu der der Temperaturanstieg im Draht dem logarithmischen Gesetz folgt, zwischen 0,0001 sec und mehreren Stunden liegt. Werden lange Zeiten gewünscht, so empfiehlt es sich allerdings, den Draht in einen festen Körper einzubetten, da in Flüssig-
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keiten, besonders, wenn ihre Viskosität niedrig ist. durch freie thermische Konvektion Fehler entstehen können.
Eine Verwendung des eben beschriebenen Schaltelementes in einem Anwendungsbeispiel des erfindungsgemässen Verfahrens zur Messung der Wärmeleitfähigkeit von Flüssigkeiten oder Gasen zeigt Fig. 1. Der dünne Draht 1 des Schaltelementes sei von einem wärmeleitenden Medium A mit bekannter Wärmeleitzahl 7.A umgeben und als Widerstandsthermometer in eine Wheatstonesche Brücke 2 geschaltet. Zur Erzielung grösster Messempfindlichkeit seien die elektrischen Widerstände RA in den vier Brückenzweigen alle gleich gross.
Ein gleicher Draht 3 befindet sich in einem Medium B eingebettet, dessen Wärmeleitzahl 4 gemessen werden soll, und ist ebenfalls in eine Wheatstonebrücke 4, bestehend aus den vier gleichen elektrischen Widerständen Rt;, geschaltet.
Werden vom Zeitpunkt t = 0 an durch Schliessen des Schalters 5 die beiden Drähte 1 und 3 durch den gleichen elektrischen Strom von der Stromquelle 6 her geheizt, und dadurch eine pro Zeit- und Längeneinheit konstante Wärmemenge q darin entwickelt, so ändern sich die Temperaturen T und damit auch die elektrischen Widerstände R der beiden Drähte nach einer gewissen Anlaufzeit logarithmisch mit der Zeit, und in den Brückendiagonalen entstehen die ebenfalls mit dem Logarithmus der Zeit veränderlichen Ausgleichsspannungen:
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Durch ein Koordinaten-Registriergerät 7 mit gleicher Spannungsempfindlichkeit auf beiden Koor- dinatenachsen werden diese Spannungen in der Form
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aufgezeichnet, was eine Gerade mit der Steigung iA/hss darstellt. Nach der Beziehung
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erhält man die Wärmeleitzahl i. des unbekannten Mediums durch einfaches Messen der Steigung tg a dieser registrierten Geraden und durch Kenntnis der Wärmeleitzahl 7A des Schaltelementes. In dieser Art ist die Wärmeleitzahlmessung eine Relativmethode. Durch geeignete Wahl von Empfindlichkeit und Aufzeichnungsgeschwindigkeit des Registriergerätes kann erreicht werden, dass z.
B. bei hoher Empfindlichkeit und Geschwindigkeit schon kurze Heizzeiten von etwa 0,01 sec zur Aufzeichnung eines genügend langen Geradenstückes ausreichen, während bei ge- ringerer Empfindlichkeit Messzeiten bis etwa 10 sec notwendig werden.
Sind die Wärmeleitzahlen von Schaltelement und unbekanntem Medium stark verschieden, so wird die Steigung der registrierten Geraden auch stark verschieden von 1 sein. Zum genauen Ausmessen ist jedoch eine Steigung nahe bei 1 vorteilhaft, und dies kann durch Ändern der Empfindlichkeit bezüglich einer Koordinate des Registriergerätes erreicht werden.
Ist z. B. das unbekannte Medium B schlechter wärmeleitend als das Schaltelement A, so erfolgt im Draht 3 ein stärkerer Temperaturanstieg als im Draht 1 und damit ein stärkeres Ansteigen der Ausgleichsspannung U,. in der Brücke 4. Damit wird aber die Steigung der registrierten Geraden tg a = UYJU, grösser als 1. Reduziert man jedoch die Spannungsempfindlichkeit des Registriergerätes bezüglich der y-Koordinate, so wird dadurch die Steigung der Geraden erniedrigt und kann in die Nähe von 1 gebracht werden. Die Wärmeleitzahl errechnet man dann aus der Beziehung
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AA Skalenteile pro Spannungseinheit auf y-Skala B tg a .
Skalenteile pro Spannungseinheit auf x-Skala Der stärkere Temperaturanstieg im schlechter leitenden Medium ist in vielen Fällen unerwünscht, z. B. bei Flüssigkeiten und Gasen, wo nämlich grosse Temperaturunterschiede ein rascheres Einsetzen der thermischen Konvektion und damit eine Verfälschung der gemessenen Wärmeleitzahl bewirken. Dies kann jedoch vermieden werden bei Anwendung von zwei Drähten 1 und 3 mit verschiedenem elektrischem Widerstand, sei es durch Verwendung zweier verschiedener Materialien, verschiedener Draht-Durch- messer oder verschiedener Längen.
Wird z. B. im schlechter leitenden Medium B ein Draht von höherem elektrischem Widerstand RR gewählt, so reduziert sich die elektrische Heiz- leistung qs pro Längeneinheit im Draht 3 nach dem Gesetz
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wenn U die über beiden Drähten gemeinsam angelegte Spannung und La die Drahtlänge bedeutet.
Zufolge der kleineren im Draht entwickelten Wärmemenge pro Zeit- und Längeneinheit erfolgt aber dessen Temperaturanstieg langsamer, und die Steigung der registrierten Geraden kann somit gegen 1 gebracht werden. Die Wärmeleitzahl ermittelt man dann aus der Beziehung
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In einigen Fällen wird es von Vorteil sein, sowohl verschiedene Empfindlichkeiten auf den beiden Koordinatenachsen des Gerätes einzustellen, als auch
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die elektrischen Widerstände der beiden Drähte verschieden zu machen.
Auch ohne Kenntnis der Wärmeleitzahl 2:A im Schaltelement kann die Wärmeleitzahl ).B eines unbekannten Mediums nach der Absolutmethode ermittelt werden. Zu diesem Zwecke wird das Schaltelement z. B. mit Hilfe einer elektronischen Uhr geeicht, das heisst, der Zusammenhang zwischen der am Draht abgegriffenen Spannung und der absoluten Zeit bei Entwicklung einer bestimmten Wärmemenge pro Zeit- und Längeneinheit im Draht festgelegt.
Zur Messung der unbekannten Wärmeleitzahl bedient man sich dann derselben elektrischen Schaltung wie beim Relativverfahren. Die am Schaltelement abgegriffene Spannung wird z. B. auf die x-Koordinatenachse des Registriergerätes gegeben. Mit der bekannten Spannungsempfindlichkeit bezüglich dieser Achse [Skalenteile pro Spannungseinheit] und der Eichkurve des Schaltelementes kann man die Empfindlichkeit auch ausdrücken durch die Anzahl Skalenteile pro ein bestimmtes Verhältnis In (t2tl) zweier aufeinanderfolgender Zeiten t1 und t.., und pro Einheit der Wärmeproduktion qo im Draht.
Die am Draht im unbekannten Medium B abge- griffene Spannung ist dem Temperaturanstieg dieses Drahtes proportional und wird auf die y-Koordina- tenachse des Registriergerätes gegeben. Mit der ebenfalls bekannten Empfindlichkeit bezüglich dieser Achse ergibt sich die Empfindlichkeit in Anzahl Skalenteile pro Temperatureinheit.
Die absolute Berechnung der Wärmeleitzahl erfolgt nach der Beziehung
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aus den zu zwei verschiedenen Zeiten t1 und t2 gemessenen Temperaturen Tl und T2 sowie aus der im Messdraht des unbekannten Mediums entwickelten Wärmemenge pro Zeit- und Längeneinheit. Bei der registrierten Geraden nach Fig. 2 kann man die Strecken 4y und 4x mit den nun geeichten Empfindlichkeiten bezüglich der beiden Koordinatenachsen in Temperatureinheiten und logarithmischen Zeitverhältnis bei der Einheit der Wärmeproduktion ausmessen und damit den Quotienten
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4x In (t2/11) . qa 1 Skalenteile/dT - prop. - 4y T2-T,, tg a Skalenteile/ln (t,/t,) # 4o ermitteln.
Durch Multiplikation dieses Ausdrucks mit dem Verhältnis der bei der Messung in beiden Drähten entwickelten Wärmemengen pro Zeit- und Längeneinheit erhält man den Ausdruck
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zur absoluten Berechnung der Wärmeleitzahl. Das Verhältnis der Wärmemengen qBl qA wird ohne direkte Messung aus dem Verhältnis der bekannten elektrischen Widerstände RAIRss und Drahtlängen LA/LB nach
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errechnet. Damit ist die absolute Bestimmung der Wärmeleitzahl nach
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1 . 1 Empfindlichkeit der y-Achse RALA B 4,-1 tg a . Empfindlichkeit der x-Achse # RBLB auf die einfache Messung der Steigung tg a zurück- geführt, während die übrigen Grössen eine apparative Konstante darstellen.