AT503021B1 - Supporting structure for curved envelope geometries in building, has support elements combined to form polygons and comprising longitudinal axis, where cross section of elements normal to axis has relative twist angle of zero degree - Google Patents
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Abstract
Description
2 AT 503 021 B12 AT 503 021 B1
Die Erfindung betrifft eine Tragstruktur für gekrümmte Hüllgeometrien von Bauwerken bestehend aus Trägerelementen, die jeweils zu die Hüllgeometrie aufspannende N-Ecken (N=3,4,...), die jeweils ein planares Flächenelement umgrenzen, zusammengesetzt sind, und die Trägerelemente aneinandergrenzender N-Ecke jeweils einen gemeinsamen Knotenbereich bilden, in 5 dem die Trägerelemente Zusammenstößen, und in zumindest einem Abschnitt der Hüllgeometrie die Ebene eines Flächenelements und die jeweiligen Ebenen der Flächenelemente zweier in nicht-parallelen Raumrichtungen angrenzenden N-Ecken in unterschiedlichen Ebenen liegen, gemäß dem Oberbegriff von Anspruch 1. io Die Erfindung bezieht sich des Weiteren auf ein Verfahren zur Festlegung einer Tragstruktur für gekrümmte Hüllgeometrien in Bauwerken bestehend aus Trägerelementen, bei dem eine vorgegebene, gekrümmte Hüllgeometrie durch ein lückenloses Netz von N-Ecken (N=3,4,...), die jeweils ein planares Flächenelement definieren, approximiert wird, wobei jeweils aneinandergrenzende N-Ecke einen gemeinsamen Knotenpunkt aufweisen, und in zumindest einem Abis schnitt der Hüllgeometrie die Ebene eines Flächenelements und die jeweiligen Ebenen der Flächenelemente zweier in nicht-parallelen Raumrichtungen angrenzenden N-Ecken in unterschiedlichen Ebenen liegen, gemäß dem Oberbegriff von Anspruch 6.The invention relates to a support structure for curved envelope geometries of structures consisting of support elements, which in each case to the envelope geometry spanning N-corners (N = 3,4, ...), each defining a planar surface element, are composed, and the support elements of adjacent N Corner each forming a common node region, in which the carrier elements collide, and lie in at least a portion of the envelope geometry, the plane of a surface element and the respective planes of the surface elements of two adjacent in non-parallel spatial directions N-corners in different planes, according to the preamble of claim 1. The invention further relates to a method for establishing a support structure for curved envelope geometries in structures consisting of support elements, in which a predetermined, curved envelope geometry through a gap-free network of N-corners (N = 3,4 ,. ..), each defining a planar surface element def In each case adjacent N-corner have a common node, and in at least one Abis cut the envelope geometry, the plane of a surface element and the respective planes of the surface elements of two adjacent in non-parallel spatial directions N-corners lie in different planes, according to the preamble of claim 6.
Gekrümmte Hüllgeometrien dieser Art werden im Bauwesen zur Verwirklichung von Freiformflä-20 chen verwendet, bei denen die Krümmung in zwei unterschiedlichen Raumrichtungen unterschiedlich ist, etwa bei Kuppelbauten, oder auch komplexeren Flächenformen. Freiformflächen dieser Art werden auch als nicht-abwickelbare Flächen bezeichnet, und im Zuge der architektonischen Planung zunächst im Computermodell als stetige Flächen entworfen. In der baulichen Umsetzung sind die stetigen Freiformflächen durch eine Vielzahl einzelner Flächenelemente zu 25 approximieren, die in einer Tragstruktur gehalten sind. So ist es etwa möglich, auch komplexe Freiformflächen mit z.B. mehrschichtigen ebenen Glaselementen zu verwirklichen, die oberhalb, zwischen oder unterhalb einer Tragstruktur aus z.B. Stahl befestigt sind. Die Tragstruktur wird dabei aus einzelnen Trägerelementen gebildet, die jeweils zu N-Ecken, also etwa Dreiecke, Vierecke, Sechsecke usw., zusammengesetzt sind. Die N-Ecke spannen die Stützstruktur auf, 30 wobei die Trägerelemente in Knotenbereichen Zusammenstößen, wo sie miteinander befestigt sind.Curved envelope geometries of this type are used in the construction industry for the realization of freeform surfaces in which the curvature is different in two different spatial directions, for example in domed buildings, or even more complex surface forms. Free-form surfaces of this type are also referred to as non-developable surfaces, and in the course of architectural planning initially designed in the computer model as continuous surfaces. In the structural implementation, the continuous freeform surfaces are approximated by a plurality of individual surface elements 25, which are held in a supporting structure. For example, it is also possible to use complex freeform surfaces with e.g. multilayer flat glass elements, which are above, between or below a supporting structure of e.g. Steel are attached. The support structure is formed from individual support elements, which are each to N-corners, so as triangles, squares, hexagons, etc., are composed. The N-corner spans the support structure, with the support members colliding in node areas where they are secured together.
Eine Möglichkeit der Approximation von Freiformflächen durch einzelne Flächenelemente besteht dabei darin, die Freiformfläche durch gekrümmte Flächenelemente anzunähern, die aber 35 aus Kostengründen jeweils von ebenen Trägerelementen gehalten sind. Ein Beispiel hierfür ist etwa die blasenförmige Konstruktion des „Kunsthauses Graz“, wo für die Flächenelemente plastisch verformbares Material, und zwar „Plexiglas“, verwendet wurde, dem durch thermische Verformung die für die einzelnen Flächenelemente benötigte Krümmung verliehen wurde. Die Tragstruktur wurde in bautechnischer Hinsicht durch Trägerelemente aus Formrohre verwirk-40 licht, wobei die jeweils benötigten Raumkurven der Trägerelemente über eine Verdrehung im Knotenbereich aneinander anschließender Formrohre erzeugt wurden.One possibility of approximation of free-form surfaces by individual surface elements consists in approximating the free-form surface by curved surface elements, which, however, are each held by planar support elements for cost reasons. An example of this is, for example, the bubble-shaped construction of the "Kunsthaus Graz", where plastically deformable material, namely "Plexiglas", was used, which was given the required curvature for the individual surface elements by thermal deformation. The supporting structure was structurally realized by carrier elements made of molded tubes, the respectively required space curves of the carrier elements being generated by means of a rotation in the nodal region of adjoining molding tubes.
Eine solche Vorgangsweise weist aber einige Nachteile auf. So unterliegt etwa die Materialwahl für die Flächenelemente aufgrund der notwendigen Verformbarkeit Einschränkungen. Konkret 45 entstand z.B. beim genannten Beispiel des „Kunsthauses Graz“ die Notwendigkeit, aufgrund der thermischen Verformung des gereckten Plexiglases eine zusätzliche, brandbeständige Schicht zu schaffen, um die schlechten Brandeigenschaften des Plexiglases zu neutralisieren. Weiters hat sich nach der Realisierung gezeigt, dass das thermische Verhalten durch den sehr hohen Wärmeausdehnungskoeffizient (ca. das 6-fache von jenem von Stahl) des gereckten so Plexiglases unter Sonneneinstrahlung zum „Durchhängen“ der Plexiglasplatten führt, und daher eigene Stützungen vorgesehen werden mussten, um den Formerhalt zu gewährleisten. Auch über unregelmäßige Spiegelungen in der Plexiglashaut kann man permanente Formänderungen in Form von Beulen und Dellen wahrnehmen. 55 Ein weiterer, prinzipieller Nachteil einer Verwirklichung von Freiformflächen mittels einzelner, 3 AT 503 021 B1 gekrümmter Flächenelemente ergibt sich auch in allen Fällen, wo ein mehrschichtiger Aufbau der Gebäudehülle gefordert ist, um etwa notwendige Gebäudeinfrastruktur wie Rohrleitungen und dergleichen unterzubringen. Der Nutzer nimmt nur die optisch sichtbaren Schichten wahr, also die innere und äußere Gebäudehülle, für die Funktionalität des Gebäudes sind aber eine 5 Vielzahl von bauphysikalischen Schichten zwischen den optisch sichtbaren Schichten unter Beibehaltung der Form der äußeren Gebäudehülle vorzusehen. Für diese Infrastruktur sind ebene Zwischenschichten notwendig, die mühsam zwischen den optisch sichtbaren, gekrümmten Freiformflächen eingebracht werden müssen. Dieses Konzept wird etwa auch in den Gebäuden von Frank O'Gehry verfolgt, wodurch seine komplexen Bauformen erst wirtschaftlich io baubar wurden.However, such a procedure has some disadvantages. For example, the choice of material for the surface elements is subject to restrictions due to the necessary deformability. Specifically, 45 was produced e.g. in the example of the "Kunsthaus Graz" mentioned above, the necessity of creating an additional, fire-resistant layer due to the thermal deformation of the stretched plexiglass in order to neutralize the poor fire properties of the plexiglass. Furthermore, it has been shown after the realization that the thermal behavior due to the very high coefficient of thermal expansion (about 6 times that of steel) of the stretched so Plexiglas under sunlight leads to "sagging" of the Plexiglas plates, and therefore own supports had to be provided to ensure the shape retention. Even irregular reflections in the Plexiglas skin make it possible to perceive permanent changes in shape in the form of bumps and dents. Another fundamental disadvantage of realizing free-form surfaces by means of individual curved surface elements results in all cases where a multi-layered construction of the building envelope is required in order to accommodate any necessary building infrastructure such as pipelines and the like. The user perceives only the optically visible layers, ie the inner and outer building envelope, but for the functionality of the building, a plurality of physical building layers are to be provided between the optically visible layers while maintaining the shape of the outer building shell. For this infrastructure, planar intermediate layers are necessary, which must be tediously inserted between the optically visible, curved free-form surfaces. This concept is also being pursued in the buildings of Frank O'Gehry, as a result of which his complex designs have become commercially viable.
Ein weiterer, prinzipieller Nachteil ergibt sich in der Praxis auch aus den beachtlichen Datenmengen, die im Zuge der Planung zu bearbeiten und etwa zwischen Architekt und Fachplanern auszutauschen sind. Zur Beschreibung einer Freiformfläche muss die räumliche Position und 15 die Formgebung von Träger- und Flächenelementen in einem räumlichen Koordinatensystem wiedergegeben werden, wobei aufgrund der mitunter unterschiedlichen Form eines jeden einzelnen Träger- und Flächenelements kaum Möglichkeiten der Datenreduktion bestehen. In der Praxis sind somit „Punktwolken“, also einzelne Datenpunkte in großer Anzahl, zu verarbeiten, was insbesondere bei der Verwendung unterschiedlicher CAD- oder FEM-Softwarepakete, etwa 20 bei der Datenübergabe zwischen einzelnen Fachplanern wie z.B. vom Architekt zum Tragwerksplaner, Probleme verursacht. Wird eine Freiformfläche stattdessen mithilfe planarer Flächenelemente verwirklicht, können für die einzelnen Flächenelemente lokale Koordinatensysteme definiert werden, in denen etwa die Randpunkte des Flächenelements bereits durch zwei Koordinaten, etwa einer x- und y-Koordinate, eindeutig definierbar sind, und sich durch die 25 Flächennormale auf das Flächenelement zwanglos eine z-Koordinate festlegen lässt. Diese lokalen Koordinatensysteme sind zum globalen Koordinatensystem der Gesamtstruktur eindeutig definiert. Dies ermöglicht einen einfachen Datenaustausch etwa mithilfe einer Ausgabedatei, die die Position der Normalen der Stützstruktur im Knotenbereich und die zugeordneten lokalen Koordinaten der ebenen Flächenelemente wiedergibt. 30Another fundamental disadvantage also arises in practice from the considerable amounts of data that have to be processed in the course of planning and, for example, exchanged between architect and specialist planners. To describe a freeform surface, the spatial position and the shape of carrier and surface elements in a spatial coordinate system must be reproduced, with hardly any possibilities of data reduction due to the sometimes different shape of each individual carrier and surface element. In practice, "point clouds", ie individual data points in large numbers, have to be processed, which is particularly the case when using different CAD or FEM software packages, for example when transferring data between individual specialist planners, such as, for example, from architect to structural engineer, causes problems. If a freeform surface is instead realized by means of planar surface elements, local coordinate systems can be defined for the individual surface elements in which, for example, the boundary points of the surface element are already clearly definable by two coordinates, such as an x and y coordinate, and by the surface normal on the surface element can informally set a z-coordinate. These local coordinate systems are uniquely defined to the global coordinate system of the forest. This allows a simple data exchange, for example, by means of an output file that displays the position of the normals of the support structure in the node area and the associated local coordinates of the planar area elements. 30
Ein weiterer Vorteil der Verwendung planarer Flächenelemente besteht in der uneingeschränkten Materialwahl für die Flächen- und stabförmigen Elemente, da keine speziellen elastischen Eigenschaften oder plastische Verformbarkeit gefordert sind. Zudem ist der Zuschnitt planarer Flächenelemente einfacher zu bewerkstelligen als im Falle gekrümmter Flächenelemente. Das 35 senkt erheblich die gesamten Baukosten für Bauformen mit Freiformflächen.Another advantage of using planar surface elements is the unrestricted choice of material for the surface and rod-shaped elements, since no special elastic properties or plastic deformability are required. In addition, the cutting of planar surface elements is easier to accomplish than in the case of curved surface elements. This considerably reduces the overall construction costs for designs with free-form surfaces.
Die Umsetzung einer vom Architekten geforderten Freiformfläche in eine baulich ausführbare Bauform mithilfe von planaren Flächenelementen, die die Freiformfläche möglichst gut approximieren, ist allerdings mit Schwierigkeiten verbunden. Die Aufgabe besteht dabei darin, eine 40 technisch und wirtschaftlich realistische Verteilung von Trägerelementen zu finden, die nach dem Einsetzen der ebenen Flächenelemente die vorgegebene Freiformfläche lückenlos und mit dem Anschein eines ästhetisch stetigen Verlaufs wiedergibt.The implementation of a freeform surface demanded by the architect into a structurally executable design with the aid of planar surface elements which approximate the freeform surface as well as possible is, however, associated with difficulties. The object is to find a technically and economically realistic distribution of support elements that reproduces the given free-form surface without gaps and with the appearance of an aesthetically continuous course after insertion of the planar surface elements.
Gemäß dem Stand der Technik wählt man hierzu zumeist eine Tragstruktur, bei der die Träger-45 elemente in Form von Dreiecken angeordnet sind, da die Modellierung von Freiformflächen mithilfe eines lückenlosen Netzes von Dreiecken, in denen jeweils planare Flächenelemente gehalten sind, mathematisch gut lösbar und bautechnisch vergleichsweise einfach zu verwirklichen ist. so Die Verwendung von Dreiecken als elementare Grundstruktur der Tragstruktur hat aber auch Nachteile. Insbesondere gelingt es nicht, mithilfe von Dreiecken eine Verteilung der Trägerelemente zu finden, bei der die Trägerelemente im Zuge der Montage zwischen zwei Knotenbereichen keiner Torsion im geometrischen Sinne, also einer Verdrehung der Längsachse etwa im Knotenbereich, unterworfen werden müssen. Nur Trägerelemente mit kreisförmigem Quer-55 schnitt können „torsionsfrei“, im geometrischen Sinn, aneinandergereiht werden. Bei der 4 AT 503 021 B1In accordance with the state of the art, this is usually done by selecting a support structure in which the support elements are arranged in the form of triangles, since the modeling of free-form surfaces can be achieved mathematically and with the help of a gapless network of triangles in which planar surface elements are held structurally comparatively easy to implement. However, the use of triangles as elementary basic structure of the support structure also has disadvantages. In particular, it is not possible, by means of triangles, to find a distribution of the carrier elements in which the carrier elements do not have to be subjected to torsion in the geometrical sense during the assembly between two nodal regions, ie a rotation of the longitudinal axis approximately in the nodal region. Only support elements with a circular cross-section can be strung together "torsion-free", in the geometric sense. With the 4 AT 503 021 B1
Verwendung von nicht kreisförmigen Querschnitten entsteht bisher in der Tragstruktur eine Torsion (im geometrischen Sinne) im Kontenbereich. Dies führt zu ästhetisch und statisch unbefriedigenden Knotenbereichen. Vielmehr ergibt sich daraus auch das Problem, dass Mehrschichtstrukturen nicht oder nur mit erheblichem, zusätzlichem Aufwand zu verwirklichen sind. 5 Es muss daher für jede Schicht ein eigenes Tragsystem vorgesehen werden, was die Materialkosten und den Montageaufwand wiederum um ein Vielfaches erhöht.Use of non-circular cross-sections so far created in the support structure a twist (in the geometric sense) in the account area. This leads to aesthetically and statically unsatisfactory nodal areas. Rather, this results in the problem that multi-layer structures are not or only with considerable additional effort to realize. 5 Therefore, a separate support system must be provided for each layer, which in turn increases the material costs and assembly costs many times over.
Es ist daher das Ziel der Erfindung, eine bauliche Umsetzung von Freiformflächen zu finden, die die technischen und ökonomischen Anforderungen verringert und ästhetische Ansprüche be-io friedigt. Insbesondere sollen Montageaufwand und -kosten möglichst gering gehalten werden. Ein weiteres Ziel der Erfindung ist es, dass die Tragstruktur zur Approximation von Freiformflächen auch die Möglichkeit eines problemlosen Mehrschichtaufbaus bietet, also die parallel versetzte Montage mehrerer, ebener Flächenelemente. Diese Ziele werden durch die Maßnahmen von Anspruch 1 erreicht. 15It is therefore the object of the invention to find a structural implementation of free-form surfaces, which reduces the technical and economic requirements and satisfies aesthetic demands. In particular, assembly costs and costs should be kept as low as possible. Another object of the invention is that the support structure for the approximation of free-form surfaces also offers the possibility of a problem-free multi-layer structure, ie the parallel offset assembly of several flat surface elements. These objects are achieved by the measures of claim 1. 15
Anspruch 1 bezieht sich dabei zunächst auf eine Tragstruktur für gekrümmte Hüllgeometrien eines Bauwerks bestehend aus Trägerelementen, die jeweils zu die Hüllgeometrie aufspannende N-Ecken (N=3, 4,...), die jeweils ein planares Flächenelement umgrenzen, zusammengesetzt sind, und die Trägerelemente aneinandergrenzender N-Ecke jeweils einen gemeinsamen Kno-20 tenbereich bilden, in dem die Trägerelemente Zusammenstößen, und in zumindest einem Abschnitt der Hüllgeometrie die Ebene eines Flächenelements und die jeweiligen Ebenen der Flächenelemente zweier in nicht-parallelen Raumrichtungen angrenzenden N-Ecken in unterschiedlichen Ebenen liegen. Die Eigenschaft, dass die Ebene eines Flächenelements und die jeweiligen Ebenen der Flächenelemente zweier in nicht-parallelen Raumrichtungen angrenzen-25 den N-Ecken in unterschiedlichen Ebenen liegen, gibt dabei die Tatsache wieder, dass die Tragstruktur zur Verwirklichung von Freiformflächen vorgesehen ist, bei denen die Krümmung der zu approximierenden Freiformfläche in zwei unterschiedlichen Raumrichtungen unterschiedlich ist. Erfindungsgemäß ist dabei vorgesehen, dass die Trägerelemente in diesem Abschnitt jeweils 4- oder 6-Ecke bilden, und die Trägerelemente jeweils eine Längsachse aufweisen, die 30 sich geradlinig zwischen jeweils zwei Knotenbereichen erstreckt und parallel zur gedachten Schnittlinie der ihm zugeordneten Flächenelementebenen verläuft, wobei der Querschnitt der Trägerelemente normal zu deren Längsachse entlang der gesamten Längsachse des Trägerelements jeweils den relativen Drillwinkel von 0° aufweist. Die „zugeordneten Flächenelementebenen“ eines Trägerelements sind dabei die Ebenen jener Flächenelemente, die vom jeweili-35 gen Trägerelement getragen werden.Claim 1 relates initially to a support structure for curved envelope geometries of a building consisting of support elements, which in each case to the envelope geometry spanning N-corners (N = 3, 4, ...), each defining a planar surface element, are composed, and the support elements of adjacent N-corner each form a common Kno-20 thbereich in which the support elements collide, and in at least a portion of the envelope geometry, the plane of a surface element and the respective planes of the surface elements of two adjacent in non-parallel spatial directions N-corners in different Layers lie. The fact that the plane of a surface element and the respective planes of the surface elements of two non-parallel spatial directions are adjacent to the N-corners in different planes reflects the fact that the support structure is intended for the realization of free-form surfaces in which the curvature of the free-form surface to be approximated differs in two different spatial directions. According to the invention, it is provided that the carrier elements each form 4- or 6-corner in this section, and the carrier elements each have a longitudinal axis which extends in a straight line between two node regions and extends parallel to the imaginary cutting line of the surface element planes assigned to it Cross-section of the support elements normal to their longitudinal axis along the entire longitudinal axis of the support member each having the relative drill angle of 0 °. The "associated surface element planes" of a carrier element are the planes of those surface elements which are carried by the respective carrier element.
Die Wahl von Vier- oder Sechsecken als elementare Grundform der Tragstruktur im Gegensatz zu der im Stand der Technik bekannten Dreiecksnetzstruktur ist von entscheidender Bedeutung, da die Anmelder erkannt haben, dass eine Vier- oder Sechseck-Netzstruktur zur Approxi-40 mation von Freiformflächen über bemerkenswerte mathematische Eigenschaften verfügt, die für eine bauliche Umsetzung von Freiformflächen von großem Vorteil sind. Insbesondere kann für Vier- oder Sechseck-Netzstrukturen eine Form der geometrischen Approximation von Freiformflächen gefunden werden, die eine Parallelverschiebbarkeit der Flächenelemente gewährleistet, wobei die jeweils parallel verschobenen Flächenelemente Begrenzungslinien aufweisen, die zu 45 den entsprechenden ursprünglichen Begrenzungslinien parallel sind, und wiederum eine lückenlose Gesamtfläche ergeben, wie im Folgenden noch gezeigt werden wird. Die praktischen Konsequenzen einer Parallelverschiebbarkeit („Offset“) und deren Bedeutung für die Bautechnik wurden im Stand der Technik noch nicht erkannt. so Außerdem können die Baukosten mithilfe einer Vier- oder Sechseck-Netzstruktur im Vergleich zu Dreiecksnetzstrukturen verringert werden, da der Zuschnitt von dreieckigen Flächenelementen höheren Aufwand verursacht, als jener für z.B. viereckige Flächenelemente. Des Weiteren erfordert eine Tragstruktur aus Vierecks- oder sechsecksförmigen Grundformen niedrigeren Materialbedarf, da die Anmelder zeigen konnten, dass etwa bei äquivalenten Approximationen 55 von Freiformflächen mithilfe von Dreiecks- und Vierecksnetzstrukturen die Verwirklichung mithil- 5 AT 503 021 B1 fe von Vierecksnetzstrukturen eine geringere Anzahl von Trägerelementen benötigt, als jene mit dreiecksförmigen Grundformen.The choice of hexagons or hexagons as a basic elemental form of the support structure, in contrast to the triangular mesh structure known in the art, is of critical importance, as the Applicants have recognized that a four- or six-hex network structure for approximating free-form surfaces is noteworthy has mathematical properties that are for a structural implementation of freeform surfaces of great advantage. In particular, for quadrilateral or hexagonal mesh structures, a shape of the geometric approximation of free-form surfaces can be found which ensures parallel displacement of the surface elements, with the respective parallel displaced surface elements having boundary lines parallel to the corresponding original boundary lines, and again a gapless total surface result, as will be shown below. The practical consequences of a parallel shiftability ("offset") and their significance for the construction technique have not yet been recognized in the prior art. In addition, building costs can be reduced by using a four or hex network structure compared to triangular mesh structures, since the trimming of triangular area elements causes more expense than that for e.g. square surface elements. Furthermore, a supporting structure of quadrangular or hexagonal basic shapes requires less material, since the Applicants were able to show that, for example, with equivalent approximations 55 of free-form surfaces using triangular and quadrangular network structures, the realization of quadrangular network structures has a smaller number of Carrier elements needed than those with triangular basic shapes.
Durch die aufgrund der Wahl von Vier- oder Sechsecken als Grundform der Tragstruktur ermöglichte Parallelverschiebbarkeit besteht die Möglichkeit, ein weiteres erfindungsgemäßes Merkmal hinsichtlich der Trägerelemente vorzusehen, nämlich Trägerelemente, die zwischen den Knotenbereichen geradlinig und ohne Torsion (im geometrischen Sinn) verlaufen. Das wird durch das Merkmal zum Ausdruck gebracht, dass die Trägerelemente jeweils eine Längsachse aufweisen, die sich geradlinig zwischen jeweils zwei Knotenbereichen erstreckt und parallel zur gedachten Schnittlinie der ihm zugeordneten Flächenelementebenen verläuft, und der Querschnitt der Trägerelemente normal zu deren Längsachse entlang der gesamten Längsachse des Trägerelements jeweils einen relativen Drillwinkel von 0° aufweist. Bei einem Trägerelement, das im geometrischen Sinn einer Torsion unterworfen ist, weist im Gegensatz dazu der Querschnitt entlang der Längsachse eine Verdrehung auf, die somit einen Drillwinkel ungleich 0° besitzt. Durch dieses erfindungsgemäße Merkmal können die Trägerelemente quer zur Ebene der Flächenelemente höher ausgeführt werden, sodass ein Mehrschichtaufbau an ein und derselben Tragstruktur ermöglicht wird. Die Trägerelemente können dabei ausreichend hoch ausgeführt werden, um Raum für Gebäudeinfrastruktur zwischen den begrenzenden Außenschichten zu schaffen. Durch die höher ausführbaren Trägerelemente und die Verwendung von vier- oder sechseckigen Flächenelementen wird außerdem der Einbau von haustechnischen Einrichtungen und einem bauphysikalischen Mehrschichtaufbau erleichtert. Des Weiteren erleichtert die Verwendung geradliniger Trägerelemente ohne Torsion (im geometrischen Sinn) und Biegung die Montage, was die Montagekosten verringert.Due to the parallel displaceability made possible by the choice of four- or hexagons as the basic form of the support structure, it is possible to provide a further feature according to the invention with regard to the support elements, namely support elements which extend in a straight line between the nodal regions and without torsion (in the geometric sense). This is expressed by the feature that the support members each have a longitudinal axis extending straight between each two nodal regions and parallel to the imaginary cutting line of its associated surface planes, and the cross section of the support members normal to its longitudinal axis along the entire longitudinal axis of the Carrier element each having a relative drill angle of 0 °. In a carrier element, which is subjected to a torsion in the geometric sense, in contrast, the cross section along the longitudinal axis on a rotation, which thus has a twist angle not equal to 0 °. By means of this feature according to the invention, the carrier elements can be made higher transversely to the plane of the surface elements, so that a multi-layer structure on one and the same carrying structure is made possible. The support elements can be made sufficiently high to create space for building infrastructure between the delimiting outer layers. Due to the higher executable support elements and the use of four- or hexagonal surface elements also the installation of building services and a building physical multilayer structure is facilitated. Furthermore, the use of linear support elements without torsion (in the geometric sense) and bending facilitates assembly, which reduces assembly costs.
Eine Möglichkeit zur Sicherstellung der Parallelverschiebbarkeit planarer Flächenelemente in einer eine Freiformfläche approximierenden Tragstruktur besteht gemäß Anspruch 2 darin, dass die Winkelsumme jeweils gegenüberliegender Winkel im Schnittpunkt der gedachten Schnittlinien von vier in einem Knotenbereich aneinandergrenzender Flächenelementebenen gleich ist. Dabei ist zu bemerken, dass das Resultat einer geometrischen Approximation einer vom Architekten vorgegebenen Freiformfläche zunächst eine Netz aus Linien ist, wobei die Vierecke durch einen viereckigen Polygonzug dargestellt werden, die im Folgenden auch als „Masche“ bezeichnet wird, und jeweils zwei aneinandergrenzende Polygonzüge eine gemeinsame Begrenzungslinie aufweisen, und jeweils vier aneinandergrenzende Polygonzüge einen gemeinsamen Knotenpunkt aufweisen, in dem sich die jeweils gemeinsamen Begrenzungslinien schneiden, wie noch näher beschrieben werden wird. In der baulichen Umsetzung sind freilich entlang der gemeinsamen Begrenzungslinien die Trägerelemente anzusetzen, sodass die in den Trägerelementen gehaltenen Flächenelemente in der Regel nicht mehr physisch Zusammenstößen, um eine gemeinsame Begrenzungslinie zu teilen, sondern voneinander beabstan-det sind. Dennoch kann eine gedachte Schnittlinie gebildet werden, die durch die gedachte Erweiterung der jeweiligen Flächenelementebenen definiert wird. Diese gedachte Schnittlinie entspricht der oben genannten, gemeinsamen Begrenzungslinie der Polygonzüge der geometrischen Approximation. Der Schnittpunkt der gedachten Schnittlinien von vier in einem Knotenbereich aneinandergrenzenden Flächenelementebenen entspricht dabei dem oben genannten Knoten von vier Polygonzügen. In den Knotenpunkten ergeben sich zwischen den vier aneinandergrenzenden Polygonzügen vier Winkel, wobei gemäß Anspruch 2 die Tragstruktur so auszuführen ist, dass die Summe von jeweils zwei gegenüberliegenden Winkeln gleich ist. Das ist eine hinreichende Bedingung für die Parallelverschiebbarkeit der in der Tragstruktur gehaltenen Flächenelemente, und die Trägerelemente können ohne Torsion (im geometrischen Sinn) angeordnet werden, wie noch näher ausgeführt werden wird. In diesem Fall wird das einer solchen Tragstruktur zu Grunde liegende Polygonnetz auch als „konisches Netz“ bezeichnet, wie ebenfalls noch näher erläutert werden wird.One possibility for ensuring the parallel displacement of planar surface elements in a supporting structure approximating a free-form surface is that the angle sum of respectively opposite angles at the point of intersection of the imaginary cut lines is equal to four surface plane adjoining surface areas. It should be noted that the result of a geometric approximation of a free-form surface specified by the architect is first a network of lines, the quadrilaterals being represented by a quadrangular polygon, hereinafter also referred to as "mesh", and two adjoining polygonal ones, respectively have common boundary line, and each have four adjacent polygons a common node in which intersect the respective common boundary lines, as will be described in more detail. In the structural implementation of course, the support elements are to be set along the common boundary lines, so that the surface elements held in the support elements usually no longer physically collide to divide a common boundary line but are spaced apart from each other. Nevertheless, an imaginary cutting line can be formed, which is defined by the imaginary extension of the respective surface element planes. This imaginary line of intersection corresponds to the abovementioned common boundary line of the geometric approximations of the polygons. The point of intersection of the imaginary lines of intersection of four surface-level planes adjacent to each other in a nodal area corresponds to the above-mentioned node of four polygons. In the nodes, four angles result between the four adjacent polygons, wherein according to claim 2, the support structure is to be designed so that the sum of two opposite angles is equal. This is a sufficient condition for the parallel displaceability of the surface elements held in the support structure, and the support elements can be arranged without torsion (in the geometric sense), as will be explained in more detail. In this case, the underlying basis of such a support structure polygon mesh is also referred to as a "conical mesh", as will also be explained in more detail.
Eine weitere Möglichkeit zur Sicherstellung der Parallelverschiebbarkeit planarer Flächenelemente in einer eine Freiformfläche approximierenden Tragstruktur besteht gemäß Anspruch 3 darin, dass die Winkelsumme jeweils gegenüberliegender Winkel zwischen den Flächennorma- 6 AT 503 021 B1 len zweier aneinandergrenzender Flächenelementebenen von vier in einem Knotenbereich aneinandergrenzender Flächenelementebenen gleich ist. In diesem Fall wird das einer solchen Tragstruktur zu Grunde liegende Polygonnetz auch als „dual-isothermes Netz“ bezeichnet, wie ebenfalls noch näher erläutert werden wird. 5A further possibility for ensuring the parallel displacement of planar surface elements in a supporting structure approximating a free-form surface consists in that the angle sum of respectively opposing angles between the surface normals of two adjoining surface element planes is equal to four surface element planes adjoining one another in a nodal region. In this case, the underlying basis of such a support structure polygonal network is also referred to as a "dual-isothermal network", as will also be explained in more detail. 5
Gemäß Anspruch 4 ist vorgesehen, dass die Trägerelemente eine rechteckige Querschnittsform aufweisen, oder in eine rechteckige Querschnittsform einschreibbar sind. Die Längsachse dieser Trägerelemente verläuft dabei zwischen jeweils zwei Knotenbereichen, und die Querachse steht entlang der gesamten Längserstreckung des Trägerelements sowohl normal auf die io Längsachse, als auch normal auf die gedachte Schnittlinie der ihm zugeordneten Flächenelementebenen. Die Längsachse muss dabei nicht unbedingt eine Symmetrieachse des Trägerelements sein, entscheidend ist stattdessen, dass entlang des Trägerelements geradlinig zwischen zwei Knotenbereichen und parallel zur gedachten Schnittlinie der ihm zugeordneten Flächenelementebenen verläuft. Rechtecksquerschnitte haben auch einen ästhetischen Vorteil, 15 da sie schlanker erscheinen als etwa kreisförmige Querschnitte, und auch schlanker ausgeführt werden können, da für die Biegebeanspruchung aufgrund der entlang der Querachse wirkenden Belastung durch die Flächenelemente nur die Trägerhöhe normal zur gedachten Schnittlinie der ihm zugeordneten Flächenelementebenen ausschlaggebend ist. Des Weiteren können aber je nach technischer Anforderung auch andere Formen der Trägerelemente vorteilhaft sein, 20 etwa Trägerelemente mit einer I-förmige Querschnittsform.According to claim 4 it is provided that the carrier elements have a rectangular cross-sectional shape, or in a rectangular cross-sectional shape are inscribed. The longitudinal axis of these support elements extends between each two node areas, and the transverse axis is along the entire longitudinal extent of the support member both normal to the longitudinal axis io, as well as normal to the imaginary line of intersection of its associated surface element planes. The longitudinal axis does not necessarily have to be an axis of symmetry of the carrier element, but instead it is decisive that there is a straight line along the carrier element between two node regions and parallel to the imaginary cutting line of the surface element planes assigned to it. Rectangular cross-sections also have an aesthetic advantage, 15 because they appear slimmer than approximately circular cross-sections, and can also be made slimmer, since only the support height normal to the imaginary cutting line of its associated surface element levels is decisive for the bending stress due to the load acting through the surface elements along the transverse axis is. Furthermore, however, depending on the technical requirement, other forms of the carrier elements may also be advantageous, such as carrier elements with an I-shaped cross-sectional shape.
Gemäß Anspruch 5 ist vorgesehen, dass an den Trägerelementen zumindest zwei Flächenelemente gehalten sind. Hierbei wird der Vorteil der erfindungsgemäßen Merkmale ausgenützt, dass ein Mehrschichtaufbau durch parallel zueinander versetzte Flächenelemente an ein und 25 derselben Tragstruktur leicht möglich ist. Zwischen den gemäß Anspruch 5 vorgesehenen, zumindest zwei Flächenelementebenen wird Raum für Einrichtungen zusätzlicher Gebäudeinfrastruktur geschaffen, wie etwa Rohrleitungen oder bauphysikalische Schichten. Des Weiteren kann der Zwischenschichtbereich Aufgaben für die klimatechnischen Eigenschaften der Bauform erfüllen, wie etwa eine Zirkulation von Luftmassen zur Hinterlüftung und thermischen 30 Isolierung.According to claim 5 it is provided that at least two surface elements are held on the support elements. Here, the advantage of the features according to the invention is utilized that a multi-layer structure by parallel offset surface elements to one and 25 the same support structure is easily possible. Between the at least two surface element planes provided according to claim 5, space is created for facilities of additional building infrastructure, such as pipelines or building physical layers. Furthermore, the interlayer region can fulfill tasks for the air conditioning properties of the design, such as a circulation of air masses for ventilation and thermal insulation.
Anspruch 6 bezieht sich auf ein Verfahren zur Festlegung einer Tragstruktur für gekrümmte Hüllgeometrien in Bauwerken bestehend aus Trägerelementen, bei dem eine vorgegebene, gekrümmte Hüllgeometrie durch ein lückenloses Netz von N-Ecken (N=3,4,...), die jeweils eine 35 planare Masche definieren, approximiert wird, wobei jeweils aneinandergrenzende N-Ecke einen gemeinsamen Knotenpunkt aufweisen, und in zumindest einem Abschnitt der Hüllgeometrie die Maschenebene eines N-Ecks und die jeweiligen Maschenebenen zweier in nichtparallelen Raumrichtungen angrenzenden N-Ecke in unterschiedlichen Ebenen liegen. Erfindungsgemäß ist vorgesehen, dass die Approximation der vorgegebenen, gekrümmten Bauform 40 mithilfe eines ersten, lückenlosen Netzes von 4- oder 6-Ecken erfolgt, die durch Parallelverschiebung in einer Richtung normal zur Maschenebene des jeweiligen 4- oder 6-Ecks in ein weiteres, lückenloses Netz von 4- oder 6-Ecken überführbar sind, wobei jeweils zwei aneinandergrenzende N-Ecke eine gemeinsame Begrenzungslinie aufweisen, die den Verlauf der Längsachse eines diesen N-Ecken zugeordneten Trägerelements festlegt, und die Abmessung 45 eines Trägerelements senkrecht zu dieser Begrenzungslinie durch den Abstand der entsprechenden Begrenzungslinie des ersten Netzes zu jener des weiteren, parallel verschobenen Netzes festgelegt wird. Eine Parallelverschiebung eines Netzes von z.B. 4-Ecken bedeutet dabei, dass jede Masche eines 4-Ecks des ersten Netzes in einer Richtung normal zur Maschenebene des jeweiligen 4-Ecks parallel verschoben wird. Erfindungsgemäß muss das auf so diese Art parallel verschobene Netz von 4-Ecken wieder ein lückenloses Netz von 4-Ecken mit jeweils planaren Maschenebenen ergeben. Das hat den Vorteil, dass der Abstand einer Begrenzungslinie zweier aneinandergrenzender 4-Ecke des ersten Netzes zu der durch Parallelverschiebung aus ihr hervorgegangene Begrenzungslinie des weiteren, parallel verschobenen Netzes zur Festlegung der Abmessung eines Trägerelements senkrecht zu dieser Begren-55 zungslinie herangezogen werden kann. Da der Verlauf der Längsachse dieses Trägerelements 7 AT 503 021 B1 erfindungsgemäß ebenfalls durch diese Begrenzungslinie festgelegt wird, also parallel zu ihr verläuft, ergeben sich somit durch die erfindungsgemäße Festlegung des Tragrahmens gerade Trägerelemente ohne Torsion (im geometrischen Sinn). 5 Anspruch 7 bezieht sich wiederum auf die Festlegung einer Tragstruktur mithilfe eines ihm zu Grunde liegenden, konischen Netzes, indem die Winkelsumme jeweils gegenüberliegender Winkel zwischen den Begrenzungslinien von vier aneinandergrenzenden 4-Ecken in deren gemeinsamen Knotenpunkt gleich ist. io Anspruch 8 bezieht sich auf die weitere Möglichkeit der Festlegung eines Tragrahmens mithilfe eines ihm zu Grunde liegenden, dual-isothermen Netzes, indem die Winkelsumme jeweils gegenüberliegender Winkel zwischen den Flächennormalen zweier aneinandergrenzender Maschenebenen von vier in einem Knoten aneinandergrenzender Flächenelementebenen gleich ist. 15Claim 6 refers to a method for establishing a support structure for curved envelope geometries in structures consisting of support elements, in which a predetermined, curved envelope geometry through a gap-free network of N-corners (N = 3,4, ...), each one 35 define planar mesh, is approximated, wherein in each case adjacent N-corner have a common node, and lie in at least a portion of the envelope geometry, the mesh plane of an N-corner and the respective mesh planes of two adjacent in non-parallel spatial directions N-corner in different planes. According to the invention, the approximation of the predetermined, curved design 40 is effected by means of a first, continuous network of 4 or 6 corners, which are parallel in a direction normal to the mesh plane of the respective 4- or 6-corner in a further, gapless Network of 4- or 6-corners are convertible, each having two adjacent N-corner have a common boundary line, which determines the course of the longitudinal axis of these N-corners associated support member, and the dimension 45 of a support member perpendicular to this boundary line by the distance the corresponding boundary line of the first network is set to that of the other, parallel shifted network. A parallel shift of a network of e.g. 4 corners means that each mesh of a 4-corner of the first mesh is shifted parallel in a direction normal to the mesh plane of the respective 4-edge. According to the invention, the network of 4 corners, which has been shifted in parallel in this way, must again provide a gap-free network of 4 corners, each with planar mesh planes. This has the advantage that the distance between a boundary line of two adjoining 4-corner of the first network can be used to the parallel line from her resulting boundary line of further, parallel shifted network for determining the dimension of a support member perpendicular to this Begren-55 line. Since the course of the longitudinal axis of this support element 7 is also defined by this boundary line, ie parallel to it, thus by the inventive determination of the support frame straight support elements without torsion (in the geometric sense). Claim 7 again relates to the definition of a support structure with the aid of a conical network on which it is based, in that the angle sum of respectively opposite angles between the boundary lines of four adjoining 4 corners in their common node is the same. Claim 8 relates to the further possibility of defining a support frame by means of an underlying dual-isothermal network in that the angle sum of respectively opposite angles between the surface normals of two adjoining mesh planes is equal to four surface plane adjoining elements in a node. 15
Anspruch 9 zielt wiederum auf einen Mehrschichtaufbau der gekrümmten Bauform ab, indem in einem Abschnitt der Tragstruktur zumindest ein zweites, lückenloses Netz von 4-Ecken, die jeweils eine planare Maschenebene definieren, festgelegt wird, wobei die 4-Ecke des zweiten Netzes durch Parallelverschiebung der 4-Ecke des ersten Netzes in einer Richtung normal zur 20 Maschenebene des jeweiligen 4-Ecks gebildet werden.Claim 9 in turn aims at a multi-layer structure of the curved design by at least a second, continuous network of 4-corners, each defining a planar mesh plane is set in a portion of the support structure, wherein the 4-corner of the second network by parallel displacement of 4 corner of the first network are formed in a direction normal to the 20 mesh plane of the respective 4-corner.
Bevorzugte Ausführungsformen der Erfindung werden im Folgenden anhand der beiliegenden Zeichnungen näher erläutert. Es zeigen hierbei die 25 Fig. 1 eine Darstellung zweier paralleler Vierecksnetze mit jeweils planaren Maschenebenen, Fig. 2 eine Darstellung eines Abschnittes einer erfindungsgemäßen Tragstruktur in der architektonischen Anwendung,Preferred embodiments of the invention are explained in more detail below with reference to the accompanying drawings. 1 shows an illustration of two parallel quadrilateral meshes with planar mesh planes, FIG. 2 shows a representation of a section of a support structure according to the invention in the architectural application,
Fig. 3 die Konstruktion eines parallel verschobenen Netzes N0 aus einem Basisnetz N und dem Parallelnetz p(N) in zweidimensionaler Ansicht, 30 Fig. 4 die Konstruktion eines parallel verschobenen Netzes N0 aus einem Basisnetz N und dem Parallelnetz p(N) in dreidimensionaler Ansicht,3 shows the construction of a network N0 shifted in parallel from a basic network N and the parallel network p (N) in two-dimensional view, FIG. 4 shows the construction of a network N0 shifted in parallel from a basic network N and the parallel network p (N) in a three-dimensional view .
Fig. 5a eine Darstellung eines konischen Knotens,5a a representation of a conical node,
Fig. 5b eine Darstellung von zwei benachbarten konischen Knoten,5b is an illustration of two adjacent conical nodes,
Fig. 6a eine Darstellung einer Schramm'schen Kreispackung auf der Kugel und das isotherme 35 Netz p(N),FIG. 6 a shows a Schramm circle packing on the sphere and the isothermal network p (N), FIG.
Fig. 6b eine Darstellung eines dual-isothermen Knotens,6b is a representation of a dual-isothermal node,
Fig. 6c eine Darstellung zur geforderten Winkelbeziehung in dual-isothermen Netzen,6c is a representation of the required angular relationship in dual-isothermal networks,
Fig. 7 ein Vierecksnetz (im Hintergrund) und ein verfeinertes Vierecksnetz mit jeweils planaren Maschenebenen (im Vordergrund), 40 Fig. 8 ein Beispiel einer architektonischen Anwendung des Vierecksnetzes gemäß Fig. 7,FIG. 7 shows a quadrilateral mesh (in the background) and a refined quadrilateral mesh with in each case planar mesh planes (in the foreground). FIG. 8 shows an example of an architectural application of the quadrilateral mesh according to FIG.
Fig. 9-12 ein Ausführungsbeispiel zur Festlegung von Trägerelementen anhand eines gemäß dem erfindungsgemäßen Verfahren generierten Vierecksnetzes,9-12 an exemplary embodiment for fixing carrier elements on the basis of a quadrilateral mesh generated according to the method according to the invention,
Fig. 13 eine schematische, zweidimensionale Darstellung der rechteckigen Querschnittsform des Bauraums im Knotenbereich, 45 Fig. 14 eine schematische, dreidimensionale Darstellung der rechteckigen Querschnittsform des Bauraums im Knotenbereich,13 is a schematic, two-dimensional representation of the rectangular cross-sectional shape of the installation space in the nodal area, FIG. 14 is a schematic, three-dimensional representation of the rectangular cross-sectional shape of the installation space in the nodal area,
Fig. 15 a-d mögliche architektonische Anwendungen einer Tragstruktur,15a-d possible architectural applications of a supporting structure,
Fig. 16 eine schematische Darstellung zur Erläuterung der Konstruktion der Trägerelemente,16 is a schematic diagram for explaining the construction of the carrier elements,
Fig. 17 Trägerelemente, die in einem Knotenbereich eines dual-isothermen Netzes zusammen-50 laufen,17 shows carrier elements which run together in a node region of a dual-isothermal network, FIG.
Fig. 18 eine Darstellung eines Mehrschichtaufbaus am Beispiel eines dual-isothermen Netzes, Fig. 19a-b eine Darstellung der geometrischen Stützstruktur eines hexagonalen Netzes mit Stütztrapezen konstanter Höhe, und die18 shows a representation of a multi-layer structure using the example of a dual-isothermal network, FIGS. 19a-b shows a representation of the geometric support structure of a hexagonal network with constant height support troughs, and FIGS
Fig. 20a-c in der Fig. 20b ein Offset-Paar N, N0 mit konstantem Eckenabstand und konstantem 55 Flächenabstand, das aus der Stützstruktur von Fig. 20a gewonnen wurde, und aus dem das 8 AT 503 021 B1 dazugehörige, ebene Flächentragsystem in Diagrammform in der Fig. 20c gezeigt ist.FIGS. 20a-c in FIG. 20b show a constant corner spacing constant-pitch offset pair N, N0 obtained from the support structure of FIG. 20a, and the plane support system of FIG Diagram form shown in Fig. 20c.
Im Folgenden soll gezeigt werden, wie mithilfe des erfindungsgemäßen Verfahrens eine erfindungsgemäße Tragstruktur 8 von der beginnenden Planung einer Freiformfläche bis zur reali-5 sierten Bauform umgesetzt werden kann. Ausgangspunkt ist dabei ein computergeneriertes Modell einer Freiformfläche, wobei der Architekt auf ästhetische und wohlproportionierte Formgebungen zu achten hat. Die architektonische Planung der Freiformfläche wird dabei auch deren Aufbau aus einzelnen Flächenelementen 5 und die Gestaltung der Tragstruktur 8 mit einbeziehen. Für den Architekten wird sich dabei die Frage der Gestaltung der einzelnen Flä-io chenelemente 5 in Art, Größe und Form in erster Linie im Zusammenhang mit dem visuellen Eindruck der Gesamtstruktur stellen, wobei freilich auf die technische und wirtschaftliche Umsetzbarkeit zu achten ist. Die Freiformfläche ist dabei aus einzelnen Flächenelementen 5 aufzubauen, die die Freiformfläche lückenlos zusammensetzen. 15 Im Computermodell ist daher zunächst die Aufgabe zu lösen, eine vorgegebene, stetige Freiformfläche so in N-Ecke zu unterteilen, dass die Freiformfläche lückenlos wiedergegeben wird. Die Begrenzungslinien 2 der N-Ecke sind dabei Polygonzüge, die einen Flächeninhalt begrenzen, die als Masche 1 bezeichnet wird. Die Maschenebene soll planar sein, und stellt die Ebene des zukünftigen Flächenelements 5, etwa einer Glasplatte, dar. Im Folgenden wird daher der 20 Begriff „Masche“ 1 im Zusammenhang mit der geometrischen Approximation einer Freiformfläche durch ein Netz aus N-Ecken verwendet, und der Begriff „Flächenelement“ 5 im Zusammenhang mit dem physischen Abdeckelement in der baulichen Umsetzung, das in die Trägerelemente 4 eingesetzt wird und sich in der entsprechenden Maschenebene des geometrischen Modells erstreckt. 25In the following, it shall be shown how a support structure 8 according to the invention can be implemented from the beginning planning of a free-form surface to the real-sized design with the aid of the method according to the invention. The starting point is a computer-generated model of a free-form surface, whereby the architect has to pay attention to aesthetic and well-proportioned shapes. The architectural design of the freeform surface will also include their structure of individual surface elements 5 and the design of the support structure 8. For the architect, the question of the design of the individual façade elements 5 in type, size and shape will primarily arise in the context of the visual impression of the overall structure, although of course attention must be paid to the technical and economic feasibility. The freeform surface is to be built up of individual surface elements 5, which compose the freeform surface gapless. In the computer model, therefore, the task to be solved first is to subdivide a given, continuous freeform surface into an N-corner in such a way that the freeform surface is reproduced without any gaps. The boundary lines 2 of the N-corner are polygons that limit a surface area, which is referred to as mesh 1. The mesh plane should be planar, and represents the plane of the future surface element 5, such as a glass plate. In the following, therefore, the term "mesh" 1 is used in connection with the geometric approximation of a freeform surface through a network of N corners, and the term "surface element" 5 in the context of the physical cover element in the structural implementation, which is inserted into the support elements 4 and extends in the corresponding mesh plane of the geometric model. 25
Wie hinlänglich bekannt ist, kann nur die Ebene oder eine einfach gekrümmte Fläche in eine Vielzahl gleicher Dreiecke, Vierecke und Vielecke unterteilt werden. Sobald die Fläche zur Raumbildung eine zweite Krümmung aufweist, also zur Freiformfläche wird, ist ein Maschennetz aus z.B. gleichen Dreiecken nur mehr in einigen wenigen Sonderfällen möglich. Die Art und 30 Weise der Unterteilung etwa einer Kugel, also einer geometrisch vergleichsweise einfach zu beschreibenden Form, gehört zu den ältesten ingenieurstechnischen Aufgaben. Eine mögliche Lösung für die Kugel sind z.B. die geodäsischen Kuppeln von Buckminster Füller, die ein Beispiel für eine Flächenaufteilung einer Kugel mit gleichen Sechsecken sind. Ungleich schwieriger ist das Auffinden geeigneter Lösungen zur Approximation komplexerer Freiformflächen, wie sie 35 angesichts der beliebig geformten, mehrfach gekrümmten Flächen zeitgenössischer Architektur gefordert werden.As is well known, only the plane or a single curved surface can be divided into a plurality of equal triangles, quadrilaterals and polygons. As soon as the area for forming the space has a second curvature, ie becomes a free-form area, a mesh network of e.g. same triangles only possible in a few special cases. The type and manner of subdividing a sphere, that is, a geometrically comparatively easy to describe shape, is one of the oldest engineering tasks. One possible solution for the sphere is e.g. Buckminster fillers geodesic domes, which are an example of a surface division of a sphere with equal hexagons. It is much more difficult to find suitable solutions for the approximation of more complex free-form surfaces, as they are required in view of the arbitrarily shaped, multiply curved surfaces of contemporary architecture.
Gegenstand der Erfindung sind hierbei Annäherungen von Freiformflächen durch Vier- oder Sechsecksnetze mit ebenen Maschen 1. Im Folgenden wird zunächst auf Vierecksnetzstruktu-40 ren eingegangen. Ein solches Vierecksnetz ist aus ebenen Vierecken lückenlos so aufgebaut, dass längs jeder inneren Kante des Netzes genau zwei Vierecke Zusammenstößen. In einer inneren Ecke des Netzes stoßen im Allgemeinen genau vier Vierecke zusammen; eine solche Ecke wird im Folgenden als Knoten X bezeichnet und heißt regulär, andernfalls nennt man den Knoten X singulär. Durch Kanten bzw. Begrenzungslinien 2 von Randpolygonen geht nur eine 45 Vierecksmasche 1. An regulären Ecken von Randpolygonen stoßen nur eine oder zwei Maschen 1 zusammen. Wenn im Folgenden von einem „Netz“ ohne andere Spezifikation die Rede ist, ist immer ein Vierecksnetz mit ebenen Maschen 1 gemeint.The invention relates to approximations of free-form surfaces by four- or six-cornered nets with flat meshes 1. In the following, quadrangular network structures will first be discussed. Such a quadrilateral mesh is made up of flat quadrilaterals in such a way that exactly two quadrilaterals collide along each inner edge of the mesh. In an inner corner of the net, in general, exactly four squares collide; such a corner is referred to below as node X and is called regular, otherwise the node X is called singular. By edges or boundary lines 2 of edge polygons is only a 45 square mesh 1. At regular corners of Randpolygonen encounter only one or two stitches 1 together. In the following, when we speak of a "net" without any other specification, we always mean a quadrilateral net with flat stitches 1.
Im Folgenden soll nun erläutert werden, wie im Rahmen der Erfindung ein Vierecksnetz N als so Approximation einer Fläche F, meist einer Freiformfläche, gefunden werden kann, das in der baulichen Verwirklichung über die erfindungsgemäßen Vorteile verfügt.In the following, it will now be explained how within the scope of the invention a quadrilateral mesh N can be found as the approximation of a surface F, usually a free-form surface, which has the advantages according to the invention in the structural realization.
Dabei ist im Folgenden ein Vierecksnetz N immer als Approximation einer Fläche F, meist einer Freiformfläche, gedacht. Man kann ein Netz so verfeinern, dass die Seitenflächen immer kleiner 55 werden, und immer näher an F rücken. Als Grenzlage ergibt sich dadurch ein Kurvennetz K auf 9 AT 503 021 B1 F. Erhält man bei der Verfeinerung die Ebenheit der Maschen 1, so ergibt sich in der Grenze ein so genanntes konjugiertes Kurvennetz K auf F.In the following, a quadrilateral mesh N is always intended as an approximation of a surface F, usually a free-form surface. You can refine a mesh so that the side surfaces get smaller and smaller and get closer and closer. As a limit position, this results in a curve network K on 9 AT 503 021 B1 F. If the evenness of the meshes 1 is obtained, the result is a so-called conjugate curve network K on the boundary.
Wichtige Methoden zur Erzeugung von Vierecksnetzen mit ebenen Maschen 1 und insbesondere von solchen, welche für die Architektur vorteilhafte Eigenschaften besitzen, beruhen auf dem Konzept paralleler (parallelbezogener) Netze. Parallele Netze Μ, N sind solche, bei denen die Maschen 1 des einen Netzes M unter Erhaltung aller Nachbarschaftsbeziehungen auf die Maschen 1 des anderen Netzes N so abgebildet werden können, dass die Ebenen entsprechender Maschen 1 parallel sind. Da bei dieser Transformation bzw. Parallelverschiebung Maschen 1 mit einer gemeinsamen Kante 2 wieder auf Maschen 1 mit einer gemeinsamen Kante 2 abgebildet werden, sind wegen der Parallelität entsprechender Maschenebenen auch entsprechende Kanten 2 in den Netzen M und N parallel (siehe Fig. 1). Es kann Vorkommen, dass alle Maschen 1 des einen Netzes, etwa M, konvex sind, es aber im parallelen Netz N Maschen 1 mit Selbstüberschneidungen gibt.Important methods for generating square meshes 1, and in particular those having properties which are advantageous for the architecture, are based on the concept of parallel (parallel) networks. Parallel meshes Μ, N are those in which the meshes 1 of the one mesh M can be mapped to the meshes 1 of the other mesh N while preserving all neighborhood relationships, so that the planes of corresponding meshes 1 are parallel. Since meshes 1 with a common edge 2 are again imaged on meshes 1 with a common edge 2 in this transformation or parallel displacement, corresponding edges 2 in the meshes M and N are parallel because of the parallelism of corresponding mesh planes (see FIG. 1). There may be occurrences that all meshes 1 of the one mesh, say M, are convex, but in the parallel mesh there are N meshes 1 with self-intersections.
Man kann von einem Netz M ausgehen und durch Parallelverschiebung der Seitenflächen unter Einhaltung der Eckenbedingungen neue Netze N konstruieren. Die dabei auftretenden Freiheitsgrade lassen sich für das Design nutzen. Die Fig. 1 illustriert eine Konstruktionsmethode welche zuerst den Parallelbezug von zwei Polygonen (fett) herstellt; der Rest von N (rechte Abbildung in der Fig. 1) ergibt sich zwangläufig durch Parallelenziehen zu entsprechenden Kanten von M (linke Abbildung in der Fig. 1). Für die Konstruktion spezieller Netze sind jene Netze N von Bedeutung, zu denen es ein paralleles Netz p{N) gibt, welches eine konvexe Fläche S (z.B. eine Kugel) approximiert. Dies regula-risiert das Netz N in dem Sinn, dass zu kleine Eckenwinkel in den Maschen 1 und damit zu schmale Vierecke vermieden werden. Der tiefere Grund hierfür liegt darin, dass unter Verfeinerung im oben angegebenen Sinn und unter Beibehaltung der ebenen Maschen 1 von N und p{N) folgendes passiert: N hat als Grenzlage ein Kurvennetz K auf einer Fläche F, p(N) hat als Grenzlage ein Kurvennetz p(K) auf der Fläche S. Die Netze K und p(K) sind parallel aufeinander bezogen und daher ist K das Netz der Relativkrümmungslinien von F in Bezug auf die „Relativsphäre“ S. Falls S eine Kugel ist, ist K das Netz der gewöhnlichen Krümmungslinien und daher rechtwinklig. Das Netz der Krümmungslinien beschreibt die Richtungen stärkster und schwächster Normalkrümmung einer Fläche. Es ist geeignet, dem Betrachter eine gute Vorstellung von der Form zu vermitteln, was die Bedeutung für die Architektur erhöht. Im Folgenden wird ein Netz N mit einem parallelen Netz p(N), welches eine konvexe Fläche S approximiert, auch allgemeines Krümmungsnetz genannt.One can start from a net M and construct new nets N by parallel displacement of the side surfaces in compliance with the corner conditions. The resulting degrees of freedom can be used for the design. Fig. 1 illustrates a construction method which first establishes the parallel relation of two polygons (bold); the remainder of N (right-hand illustration in FIG. 1) is necessarily given by drawing parallel to corresponding edges of M (left-hand illustration in FIG. 1). For the construction of special nets, those nets N are important, to which there is a parallel network p {N) which approximates a convex surface S (for example a sphere). This regulates the net N in the sense that too small corner angles in the stitches 1 and thus narrow squares are avoided. The deeper reason for this is that, with refinement in the sense given above and maintaining the flat meshes 1 of N and p {N), the following happens: N has a curve network K on a surface F, p (N) has a boundary position a curve mesh p (K) on the surface S. The meshes K and p (K) are parallel to each other, and therefore K is the mesh of the relative curvature lines of F with respect to the "relative sphere" S. If S is a sphere, then K is the network of ordinary curvature lines and therefore rectangular. The network of curvature lines describes the directions of strongest and weakest normal curvature of a surface. It is appropriate to give the viewer a good idea of the form, which enhances the importance of the architecture. In the following, a network N with a parallel network p (N), which approximates a convex surface S, is also called a general curvature network.
Erfindungsgemäß wird das Konzept der Parallelverschiebbarkeit eines Netzes N, M zur Erzeugung eines sogenannten „Offsets“ zur Festlegung einer Tragstruktur und zur Verwirklichung mehrschichtiger Aufbauten von Schalen in der Architektur benutzt. Ein Offset N0 zu einem Vierecksnetz N soll dabei ein paralleles Vierecksnetz sein, wobei je nach Anwendung gewisse Anforderungen an die Abstände entsprechender Maschen 1, Kanten 2 oder Knoten X gestellt werden.According to the invention, the concept of parallel displacement of a net N, M is used to create a so-called "offset" for defining a supporting structure and for realizing multilayer structures of shells in architecture. An offset N0 to a quadrilateral network N is intended to be a parallel quadrilateral network, whereby, depending on the application, certain requirements are placed on the spacings of corresponding meshes 1, edges 2 or nodes X.
Die Fig. 2 zeigt einen Ausschnitt aus einer erfindungsgemäßen Tragstruktur 8. Es treten hier zwei Offsets auf, welche an einer Netzmasche 1, die in der Fig. 2 als Flächenelement 5 ersichtlich ist, erklärt sind. Einerseits gibt es zum ebenen Viereck der Basismasche 1 ein in einer parallelen Ebene verlaufendes Viereck der zweiten Schicht (z.B. Glaskonstruktion), in der auch die Verspannungen 7 verlaufen. Mithilfe der Distanzelemente 6 wird noch eine dritte Ebene in etwas größerem Abstand definiert, die durch die Verbindungslinien zwischen den Endpunkten der Distanzelemente 6 angedeutet ist. Die Figur 2 zeigt auch eine typische Konstruktion der Trägerelemente 4, in die die Glasscheiben eingelegt sind. Geometrisch liegt bei diesen Trägerelementen 4 folgende Situation vor, wobei die Trägerelemente 4 im geometrischen Modell zunächst als zweidimensionale Stützvierecke, die im Folgenden auch als Stütztrapeze bezeichnet werden, erscheinen: Entsprechende (parallele) Kanten von Basisnetz N und Offsetnetz N0 10 AT 503 021 B1 sind durch ebene Vierecke (Stützvierecke) verbunden; die Strecke, die entsprechende Knoten X und X0 von Basis und Offset verbindet, ist eine gemeinsame Kante n(X) der vier in diesen Knoten zusammenlaufenden Stützvierecke. Die gemeinsame Kante n(X) kann man sich als Gegenstück zur Flächennormalen einer glatten Fläche vorstellen. Die Menge aller Stützvierecke 5 wird im Folgenden als Stützstruktur bezeichnet. Bei der Konstruktion von Offsets und Stützstrukturen ist es günstig, orientierte Netze zu benutzen, bei denen man zwischen zwei Seiten (einer Außenhaut und einer Innenhaut) unterscheidet. Damit werden auch die Normalen n(X) einheitlich (nach außen oder nach innen) orientiert. Die Knotenbereiche 3 der baulichen Umsetzung befinden sich an den Positionen der Knoten X des geometrischen Modells. 102 shows a section of a support structure 8 according to the invention. Two offsets occur here, which are explained on a net mesh 1, which can be seen as a surface element 5 in FIG. 2. On the one hand, there is a quadrangle of the second layer (e.g., glass construction) running in a parallel plane to the planar quadrangle of the base mesh 1, in which also the tensions 7 extend. By means of the spacer elements 6, a third plane is defined at a slightly greater distance, which is indicated by the connecting lines between the end points of the spacer elements 6. Figure 2 also shows a typical construction of the support elements 4, in which the glass sheets are inserted. Geometrically, the following situation exists with these carrier elements 4, wherein the carrier elements 4 in the geometric model first appear as two-dimensional support quadrilaterals, which are also referred to below as support trapezoids: Corresponding (parallel) edges of base network N and offset network NO 10 AT 503 021 B1 connected by flat squares (supporting quadrilaterals); the link connecting corresponding nodes X and X0 of base and offset is a common edge n (X) of the four support quadrilaterals converging in these nodes. The common edge n (X) can be thought of as a counterpart to the surface normal of a smooth surface. The amount of all support quadrilaterals 5 is referred to below as a support structure. In the construction of offsets and support structures, it is convenient to use oriented meshes that distinguish between two sides (a skin and an inner skin). Thus, the normals n (X) are uniformly oriented (outwards or inwards). The node areas 3 of the structural implementation are located at the positions of the nodes X of the geometric model. 10
Es sei nun ein Vierecksnetz N mit ebenen Maschen 1 auf ein ebensolches Netz p(N) parallelbezogen, wobei p{N) eine konvexe Fläche S approximiert. Innerhalb von S kann ein Punkt Z gewählt werden, der die Rolle eines Mittelpunkts spielt und die Verteilung der Abstände der Offsets regelt. Die Konvexität von S ist nicht unbedingt notwendig, wohl aber, dass ein Punkt Z 15 existiert, von dem aus alle Flächen von p(N) sichtbar sind. Nun werden Offsets N0 von N bezüg lich p(N) folgendermaßen konstruiert: Jede Maschenebene Q des Netzes N wird im Sinne der gegebenen Orientierung in eine Neulage Q0 parallel verschoben. Der Abstand von O zu Q0 muss dabei gleich dem Abstand von Z zu p(Q) sein. Hierbei bezeichnet p(Q) die Ebene jener Masche 1 des Parallelnetzes ρ(Λ/), welche zu Q gehört (siehe Fig. 3). In Anlehnung an die 20 Minkowski-Summe konvexer Polyeder kann man das dadurch entstehende Offsetnetz N0 alsNow consider a quadrilateral mesh N with plane meshes 1 parallel to a similar mesh p (N), where p {N) approximates a convex surface S. Within S, a point Z can be chosen, which plays the role of a center and regulates the distribution of the distances of the offsets. The convexity of S is not absolutely necessary, but there is a point Z 15, from which all surfaces of p (N) are visible. Now, offsets N0 of N with respect to p (N) are constructed as follows: Each mesh plane Q of the net N is shifted parallel to a new position Q0 in the sense of the given orientation. The distance from O to Q0 must be equal to the distance from Z to p (Q). Here, p (Q) denotes the plane of that mesh 1 of the parallel network ρ (Λ /) belonging to Q (see Fig. 3). Based on the 20 Minkowski sum of convex polyhedra, one can use the resulting offset network N0 as
Summe von N und p{N) ansehen; wir schreiben kurz N0= N Θ p(N). Man kann bei der Summenbildung alle Abstände mit einem einheitlichen Faktor λ multiplizieren (oder vorher eine Skalierung von p(N) vornehmen). Schreibt man die Skalierung von p(N) mit Faktor λ als λ·ρ(Λ/), so sind die mit Z und p(N) konstruierbaren Offsets die Netze N0= N θ λ·ρ(Λ/). 25Look at the sum of N and p {N); we briefly write N0 = N Θ p (N). In summation, all distances can be multiplied by a uniform factor λ (or preceded by a scaling of p (N)). If one writes the scaling of p (N) with factor λ as λ · ρ (Λ /), then the offsets constructable with Z and p (N) are the nets N0 = N λ · ρ (Λ /). 25
Es ist zu beachten, dass die Abstände entsprechender Knoten X und X0 von Basis und Offset durch die Abstände von Z zu den Knoten des Parallelnetzes p(N) gegeben sind, und Analoges gilt für entsprechende Kanten. 30 Offensichtlich sind bei dieser Offset-Konstruktion noch gewisse Freiheiten bei der Verteilung der Abstände möglich. Diese liegen in der Wahl des Zentrums Z. Haben zum Beispiel alle Maschenebenen von p{N) denselben Abstand zu Z, so erhält man Offsets in konstantem Flächenabstand. Dabei darf aber das Ausgangsnetz N nicht beliebig sein, sondern muss schon auf ein passendes Netz ρ(Λ/) parallelbezogen sein. 35It should be noted that the distances of corresponding nodes X and X0 from base and offset are given by the distances from Z to the nodes of the parallel network p (N), and the same applies to corresponding edges. Obviously, with this offset construction, some freedom in the distribution of distances is still possible. These lie in the choice of the center Z. For example, if all the mesh planes of p {N) have the same distance to Z, we obtain offsets in constant area spacing. However, the output network N must not be arbitrary, but must already be parallel-related to a suitable network ρ (Λ /). 35
Falls entsprechende Vierecksflächen von Basis und Offset einen konstanten Abstand besitzen sollen, muss das parallele Netz p(N) Vierecksflächen in konstantem Abstand zu Z haben. Deshalb muss p(N) einer Kugel S mit Mitte Z berührend umschrieben sein, d.h. alle Maschenebenen von p(N) müssen die Kugel S berühren. Für den Radius der Kugel S kann etwa der Wert 1 40 angenommen werden.If corresponding quadrilateral faces of base and offset are to have a constant spacing, the parallel mesh p (N) must have quadrilateral faces at a constant distance from Z. Therefore, p (N) must be circumscribed to a sphere S center Z, i. all mesh planes of p (N) must touch the ball S. For the radius of the sphere S, the value 1 40 can be assumed.
Jedes zu einem solchen Netz p(N) parallele Netz N wird im Folgenden konisches Netz genannt. Diese Bezeichnung rührt von folgender geometrischen Kennzeichnung her: Die in einem regulären inneren Knotenpunkt X von N zusammenstoßenden vier Netzebenen berühren eine Kugel 45 Sx vom Radius 1, die man aus der eingeschriebenen Kugel S von p(N) durch geeignete Parallelverschiebung erhält. Daher berühren diese vier Ebenen durch X auch jenen Drehkegel mit Spitze X, der der Kugel Sx berührend umschrieben ist (siehe Fig. 5a und 5b). Im Folgenden wird in diesem Fall auch von einem konischen Knoten X gesprochen. Die Drehachse n(X) des Kegels enthält die dem Knoten X entsprechenden Knoten X0 der Offsets N0- N Θ dp(N) im Ab-50 stand d.Each network N parallel to such a network p (N) is referred to below as a conical network. This designation is based on the following geometric identification: The four lattice planes colliding in a regular inner node X of N touch a sphere 45 Sx of radius 1, which is obtained from the inscribed sphere S of p (N) by suitable parallel displacement. Therefore, these four planes through X also touch that cone with tip X, which is circumscribed by the sphere Sx (see FIGS. 5a and 5b). In the following, we also speak of a conical node X in this case. The axis of rotation n (X) of the cone contains the node X0 corresponding to the node X of the offsets N0-N Θ dp (N) in the Ab-50 state d.
Konische Netze haben also die praktische Eigenschaft, Offsets in konstantem Flächenabstand zu besitzen. Da p(N) eine Kugel S approximiert, sind konische Netze auch als Näherungen von Krümmungslinien-Netzen zu betrachten. Zur Berechnung eignet sich neben der Konstruktion 55 aus p(N) vor allem folgende Optimierungsmethode. 1 1 AT 503 021 B1Conical nets thus have the practical property of having offsets at constant area spacing. Since p (N) approximates a sphere S, conical nets can also be considered as approximations of curvature-line nets. In addition to the construction 55 from p (N), the following optimization method is particularly suitable for the calculation. 1 1 AT 503 021 B1
Zur Verwirklichung der Erfindung wird ein Algorithmus vorgeschlagen, der folgendes leistet: • Input ist ein Vierecksnetz N, dessen Maschen nicht zu stark von ebenen Maschen abweichen. Solche Netze können automatisch oder interaktiv aus konjugierten Kurvennetzen der 5 unterliegenden Fläche F generiert werden. • Output ist ein Vierecksnetz mit ebenen Maschen, welches möglichst nahe an F liegt.In order to realize the invention, an algorithm is proposed which does the following: Input is a quadrilateral mesh N whose meshes do not deviate too much from flat meshes. Such networks can be generated automatically or interactively from conjugate curve networks of the underlying surface F. • Output is a quadrilateral mesh with flat mesh that is as close to F as possible.
Der Algorithmus arbeitet mit einer numerischen Optimierung, welche iterativ abläuft. Sie erfolgt io durch schrittweise Verlagerung der Knoten X unter Erhalt der Konnektivität. Am Beginn der Iteration wird durch ein Penalty-Verfahren folgende Zielfunktion f=fpianar+wifgiatt+w2fnahe minimiert. Die Bedeutung dieser Funktionen ist die folgende: Da ein Viereck genau dann eben und konvex ist, wenn für die Summe der Innenwinkel αι + α2 + α3 + α4 = 2π gilt, wird fpianar als Summe von Termen (c^ + α2 + α3 + α4 - 2tt)2 angesetzt, wobei sich die Summe über alle Vierecke des Net-15 zes erstreckt. Die Funktion fgiatt soll kleine Werte für glatte und ästhetische Netze annehmen, wobei im Prinzip jede bekannte Glättungsfunktion verwendet werden kann. Die Funktion fnahe hält das Netz während der Optimierung nahe an der gegebenen Referenzfläche F oder auch am Input-Netz N. Am einfachsten wird die Summe der Abstände entsprechender Knoten X des aktuellen und des verbesserten Netzes eingesetzt. Besser bewährt sich allerdings die bekannte 20 Tangentialdistanz-Methode. Die Gewichte ι/ι^ und w2 müssen im Laufe der Optimierung verkleinert werden, um den Einfluss des Planaritäts-Terms fplanar zu erhöhen. Um eine numerisch hochwertige Ebenheit der Maschen 1 zu erhalten, verwendet man im Anschluss an das Penalty-Verfahren eine Lagrange-Newton-Iteration, welche die Zielfunktion Wi fgiatt+w2fnahe unter einer Menge von Nebenbedingungen minimiert. Die Nebenbedingungen sind die Gleichungen αι + a2 25 + α3 + α4 = 2π für die einzelnen Vierecksmaschen 1.The algorithm works with a numerical optimization, which runs iteratively. It is done by gradually shifting nodes X while preserving connectivity. At the beginning of the iteration, a penalty procedure minimizes the following objective function f = fpianar + wifgiatt + w2fnear. The meaning of these functions is the following: Since a quadrangle is plane and convex if and only if αι + α2 + α3 + α4 = 2π holds for the sum, then fpianar is the sum of terms (c ^ + α2 + α3 + α4 2tt) 2, the sum extending over all quadrangles of the Net-15 zes. The fgiatt function is intended to take small values for smooth and aesthetic meshes, and in principle any known smoothing function can be used. The function close keeps the network close to the given reference surface F or to the input network N during the optimization. The simplest way is to use the sum of the distances of corresponding nodes X of the current and the improved network. However, the well-known 20 tangential distance method works better. The weights ι / ι ^ and w2 must be reduced in the course of the optimization in order to increase the influence of the planarity term fplanar. In order to obtain a numerically high-grade flatness of the meshes 1, following the penalty method, a Lagrangian-Newton iteration is used which minimizes the target function Wi fatt + w2-near under a set of constraints. The secondary conditions are the equations αι + a2 25 + α3 + α4 = 2π for the individual square meshes 1.
Der Algorithmus kann nur dann sinnvoll eingesetzt werden, wenn das Input-Netz die Geometrie eines konjugierten Kurvennetzes reflektiert, also insbesondere aus einem solchen gewonnen wurde. Damit es leichter fällt, einen Input zu haben, der diese Anforderungen erfüllt, kann man 30 die vorgeschlagene Optimierungsmethode mit einem Unterteilungsalgorithmus, der auf Vierecksnetzen arbeitet, kombinieren. Man gibt ein grobes und einfaches Vierecksnetz mit (fast) ebenen Maschen 1 vor (siehe Beispiel im Hintergrund von Fig. 7), und wechselt dann zwischen Unterteilung und Optimierung ab. Das Netz im Vordergrund von Fig. 7 wurde mit einem solchen Verfahren generiert, das auch als Basis eines konkreten Designs einer Haltestelle für öffentliche 35 Verkehrsmittel gemäß Fig. 8 ist.The algorithm can only be used meaningfully if the input network reflects the geometry of a conjugate curve network, ie in particular has been obtained from such a network. To make it easier to have an input that meets these requirements, one can combine the proposed optimization method with a subdivision algorithm operating on quadrilateral networks. Provide a coarse and simple quadrilateral mesh with (nearly) flat meshes 1 (see example in the background of Fig. 7) and then switch between partitioning and optimization. The network in the foreground of FIG. 7 was generated by such a method, which is also the basis of a concrete design of a stop for public transport according to FIG.
Des Weiteren ist in die Optimierung noch folgende Kennzeichnung eines konischen Knotens X einzubauen: Die vier um einen konischen Knoten X der Reihe nach auftretenden Eckenwinkel u>i, ω2, ω3, ω4 erfüllen die Gleichung 40 u>i + ω3 = ω2 + ω4. (K)Furthermore, the following labeling of a conical node X is to be incorporated into the optimization: The four corner angles u> i, ω2, ω3, ω4 occurring around a conical node X satisfy the equation 40 u> i + ω3 = ω2 + ω4. (K)
Im Penalty-Verfahren wird zur Funktion fp,anar pro Knoten X ein Term (ω1 + ω3 - ω2 - ω4)2 addiert. In der Optimierung mit Nebenbedingungen kommt pro Knoten X die Nebenbedingung (K) hinzu. 45 Das Netz im Vordergrund der Fig. 7 wurde durch ein Alternieren zwischen Catmull-Clark-Unterteilung und Optimierung unter Hinzunahme der Bedingung (K) pro Knoten X berechnet.In the penalty method, a term (ω1 + ω3 - ω2 - ω4) 2 is added to the function fp, anar per node X. In the optimization with constraints, the constraint (K) is added per node X. The mesh in the foreground of FIG. 7 was calculated by alternating between Catmull-Clark subdivision and optimization with the addition of condition (K) per node X.
Will man Trägerelemente 4 mit konstanten Profilen für einen Tragrahmen 8 verwenden und dies mit optimierten Knoten X (4 Ebenen durch eine Achse) durchführen, so sind Offsets in konstan-50 tem Kantenabstand (Höhe der Trägerelemente 4) nötig. Dies ist eine stärkere Einschränkung als die Forderung nach konstantem Flächenabstand oder nach konstantem Eckenabstand, und daher kann man mit solchen Netzen nicht mehr beliebige Formen approximieren. Trotzdem gibt es eine Vielfalt derartiger Netze, welche man auf folgende Weise erhält: Wegen des konstanten Abstandes der Kanten 2 von Basisnetz N und Offsetnetz N0 muss es ein Parallelnetz p(N) 55 geben, dessen Kanten 2 durchwegs denselben Abstand von Z haben. Also berühren alle 12 AT 503 021 B1If you want to use carrier elements 4 with constant profiles for a support frame 8 and this with optimized node X (4 levels by an axis), so offsets in konstan-50 tem edge distance (height of the support elements 4) are necessary. This is a stronger constraint than the requirement for constant area spacing or constant corner spacing, and therefore one can no longer approximate arbitrary shapes with such meshes. Nevertheless, there are a variety of such networks, which are obtained in the following way: Because of the constant spacing of the edges 2 of the basic network N and the offset network N0, there must be a parallel network p (N) 55 whose edges 2 are the same distance from Z throughout. So touch all 12 AT 503 021 B1
Kanten von p(N) eine Kugel S mit Mitte Z. Jede Vierecksmasche von p{N) liegt in einer Ebene E, deren Schnittkreis mit S alle Seiten der Masche 1 berührt. Also hat jede Masche 1 von p(N) einen auf der Kugel S liegenden Inkreis. Angrenzende Maschen 1 erzeugen berührende Inkreise. Insgesamt bildet daher die Menge der Inkreise eine Kreispackung auf der Kugel (siehe 5 Fig. 6a). Es ist eine sogenannte Schramm'sche Kreispackung, da jeweils vier gemeinsame Berührtangenten durch einen gemeinsamen Punkt (Knoten X von p(N)) gehen. Das Netz p(N) ist als ein isothermes Netz bekannt.Edges of p (N) is a sphere S with center Z. Each square mesh of p {N) lies in a plane E whose intersection circle contacts all sides of the mesh 1 with S. So every stitch 1 of p (N) has an inscribed circle lying on the sphere S. Adjacent meshes 1 create touching incursions. Overall, therefore, the amount of incircle forms a circle pack on the sphere (see Fig. 6a). It is a so-called Schramm circle packing, since four common touch tangents go through a common point (node X of p (N)). The network p (N) is known as an isothermal network.
Netze N, die auf ein solches Vierecksnetz p(N) parallelbezogen sind, werden dual-isotherme io Netze genannt, weil sie die Laguerre-geometrischen (und damit in gewissem Sinne dualen) Gegenstücke zu den isothermen Netzen darstellen. Hieraus folgt aber auch, dass mit solchen Netzen nur jene Flächen approximiert werden können, bei denen das Gauss-Bild der Krümmungslinien ein isothermes Netz ist. Dies bedeutet eine gewisse Einschränkung im Design. Die Klasse von Flächen beinhaltet insbesondere die Minimalflächen. Netze mit konstantem Kanten-15 abstand, welche Minimalflächen approximieren, sind im Stand der Technik bekannt, ohne dass aber die vorliegende Eigenschaft der Offsets und ihre Bedeutung für die Architektur erkannt wurden. Wichtig für die praktische Umsetzung ist die bekannte Konstruktion der Netze p(N), welche auch Koebe-Polyeder genannt werden. 20 Eine Kennzeichnung dual-isothermer Netze kann auch durch Winkelbedingungen erfolgen. In jeder Ecke des Netzes liegen die dort ausgehenden Kanten 2 auf einem Drehkegel. Der längs einer Kante 2 auftretende Winkel zwischen den Flächen (Winkel zwischen den Normalen, gemessen im Intervall (0, π)) wird im Folgenden als Flächenwinkel längs dieser Kante 2 bezeichnet, wobei ψ!, cp2, cp3, cp4 die längs der Kanten 2 um einen Knoten X auftretenden Flächenwinkel 25 seien, so gilt (siehe dazu auch Fig. 6b) <P1 + Cp3 = <p2 + (p4. (D1)Nets N, which are parallel to such a quadrilateral network p (N), are called dual-isothermal io networks because they represent the Laguerre-geometric (and thus in a sense dual) counterpart to the isothermal nets. However, it also follows that with such nets only those surfaces can be approximated in which the Gaussian image of the curvature lines is an isothermal network. This means a certain limitation in the design. The class of surfaces includes in particular the minimal surfaces. Constant edge meshes approximating minimal surfaces are known in the art, but without recognizing the present offset property and its importance to the architecture. Important for the practical implementation is the well-known construction of the nets p (N), which are also called Koebe polyhedra. An identification of dual-isothermal networks can also be done by angle conditions. In each corner of the network, the outgoing edges 2 are on a turntable. The angle between the surfaces occurring along an edge 2 (angle between the normals, measured in the interval (0, π)) is referred to below as the surface angle along this edge 2, where ψ !, cp2, cp3, cp4 along the edges of the second (see also Fig. 6b) <P1 + Cp3 = <p2 + (p4. (D1)
In jedem Knoten eines dual-isothermen Netzes muss diese Bedingung erfüllt sein. Es gibt aber 30 noch weitere Winkelbedingungen, die den Kanten 2 des Netzes zugeordnet sind. Seien A und B die Endpunkte einer Kante 2, und mögen die dort auftretenden Winkel zu den in A und B einmündenden Nachbarkanten 2 zu beiden Seiten dieser Kante 2 mit cif, ar, ßf, ßr bezeichnet sein (siehe Fig. 6c). Dann gilt zwischen diesen Winkeln die Beziehung 35 tan(aV2) tan(ß,/2) = tan(a/2) · tan(ßY/2). (D2)In every node of a dual-isothermal network, this condition must be met. But there are still other angular conditions associated with the edges 2 of the network. Let A and B be the endpoints of an edge 2, and let the angles appearing there to the neighboring edges 2 leading in A and B on both sides of this edge 2 be denoted by cif, ar, ßf, ßr (see Fig. 6c). Then, between these angles, the relationship 35 tan (aV2) tan (β, / 2) = tan (a / 2) · tan (βY / 2) holds. (D2)
Die Gültigkeit von (D1) in jedem Knoten X und die Gültigkeit von (D2) in jeder Kante 2 eines Vierecksnetzes mit ebenen Maschen 1 sind notwendig und hinreichend für das Vorliegen eines dual-isothermen Netzes. 40The validity of (D1) in each node X and the validity of (D2) in each edge 2 of a square-meshed quad mesh 1 are necessary and sufficient for the existence of a dual-isothermal network. 40
Fig. 14 zeigt einen Knotenbereich 3 eines dual-isothermen Netzes, ausgebildet durch Trägerelemente 4 mit rechteckigem Querschnitt. Die Längsachsen der Trägerelemente 4 bilden mit der Knotenachse A (Achse des oben genannten Drehkegels) denselben Winkel. Im Falle durchwegs elliptischer (lokal konvexen) Knoten X im geometrischen Modell (alle Kanten 2 auf 45 demselben Halbkegel) kann man die Glasscheiben dann direkt auf den Rändern der Trägerelemente 4 ansetzen, da diese Ränder selbst ebene Vierecksmaschen 1 begrenzen.14 shows a node region 3 of a dual-isothermal network, formed by carrier elements 4 with a rectangular cross-section. The longitudinal axes of the carrier elements 4 form the same angle with the node axis A (axis of the above-mentioned turntable). In the case of consistently elliptical (locally convex) node X in the geometric model (all edges 2 on 45 the same half-cone) can then apply the glass directly on the edges of the support elements 4, since these edges themselves limit planar square mesh 1.
Will man einen festen Abstand zwischen entsprechende Knoten X und X0 von Basis und Offset erreichen, so müssen die Knoten des Parallelnetzes p{N) auf einer Kugel S liegen. Da jede so viereckige Masche 1 von p(N) in einer Ebene E liegt, liegen die Ecken der Masche 1 auf dem Schnittkreis von E und S. Jede viereckige Masche 1 von ρ(Λ/) ist also ein Kreisviereck, d.h. es hat einen Umkreis. Durch paralleles Verschieben der Seiten eines Kreisvierecks entstehen wieder die Seiten eines Kreisvierecks. Da die Seiten jeder Masche 1 von N zu den entsprechenden Seiten der entsprechenden Masche 1 von p(N) parallel sind, muss auch jedes Viereck 55 in N ein Kreisviereck sein, d.h., einen Umkreis besitzen. Daher wird N auch als zirkuläres Netz 1 3 AT 503 021 B1 bezeichnet. Da p{N) eine Kugel approximiert, sind auch die zirkulären Netze als Näherungen von Krümmungslinien-Netzen anzusehen. Ihre Offsets N0= N Θ dp(N) im Abstand d haben Knoten X, die im Abstand d zu den entsprechenden Knoten von N liegen. 5 Zur Berechnung von zirkulären Netzen eignet sich die Optimierungsmethode wie oben beschrieben. Man hat nur die Planaritätsbedingung αι + α2 + α3 + α4 = 2π pro Masche 1 durch die beiden Bedingungen + α3 = π und α2 + α4 = π zu ersetzen, welche ein konvexes Kreisviereck kennzeichnen. io Es gibt auch Netze N, deren Offsets sowohl konstanten Flächenabstand als auch konstanten Eckenabstand besitzen. Sie sind auf Netze p(N) parallelbezogen, deren Flächen eine Kugel Si mit Mitte Z berühren, und deren Ecken auf einer konzentrischen Kugel S2 liegen. Dies ist genau dann der Fall, wenn die viereckigen Maschen 1 von p(N) Umkreise mit festem Radius besitzen. Man konstruiert ein solches Kreismuster aus einem sphärischen Rhombennetz. In der Fig. 20b 15 ist ein solches Offset-Paar N, N0 mit konstantem Eckenabstand und konstantem Flächenabstand dargestellt, das aus der Stützstruktur von Fig. 20a gewonnen wurde. Die Fig. 20c zeigt das dazugehörige, ebene Flächentragsystem in Diagrammform.If one wants to achieve a fixed distance between corresponding nodes X and X0 of base and offset, then the nodes of the parallel network p {N) must lie on a sphere S. Since each such quadrilateral mesh 1 of p (N) lies in a plane E, the vertices of mesh 1 lie on the intersection of E and S. Thus, each quadrilateral mesh 1 of ρ (Λ /) is a circular quadrilateral, i. it has a radius. By shifting the sides of a circular quadrangle in parallel, the sides of a circular quadrangle are created again. Since the sides of each mesh 1 of N are parallel to the corresponding sides of the corresponding mesh 1 of p (N), each quad 55 in N must also be a quadrilateral, i.e., have a perimeter. Therefore, N is also referred to as a circular network 1 3 AT 503 021 B1. Since p {N) approximates a sphere, the circular nets are also to be regarded as approximations of curvature-line nets. Their offsets N0 = N Θ dp (N) at distance d have nodes X which are at a distance d from the corresponding nodes of N. 5 For calculating circular networks, the optimization method is as described above. One has only to replace the planarity condition αι + α2 + α3 + α4 = 2π per mesh 1 by the two conditions + α3 = π and α2 + α4 = π, which characterize a convex circular quadrilateral. io There are also nets whose offsets have both constant area spacing and constant corner distance. They are parallel to nets p (N) whose surfaces touch a sphere Si with center Z, and their corners lie on a concentric sphere S2. This is the case if and only if the square meshes have 1 of p (N) orbits of fixed radius. One constructs such a circular pattern from a spherical rhombus net. In Fig. 20b 15 is shown such an offset pair N, N0 with constant corner distance and constant area spacing, which was obtained from the support structure of Fig. 20a. Fig. 20c shows the associated, planar surface support system in diagram form.
Die Ausführungen über parallelbezogene Netze, deren Offsets und Stützstrukturen gelten für 20 beliebige Netze mit ebenen Maschen 1, auch wenn die Maschen A/-Ecke sind. Sie werden allerdings für Dreiecksnetze trivial: Zwei Dreiecke mit parallelen Seiten sind ähnlich, und daher sind parallelbezogene Dreiecksnetze stets ähnlich. Hingegen ist erfindungsgemäß auch noch der Fall der Sechsecknetze (hexagonale Netze) von Interesse. So wie bei einer regulären Pflasterung mit Sechsecken (Bienenwabe) stoßen in einer regulären Ecke eines solchen Netzes drei 25 Maschen 1 (und drei Kanten 2) zusammen (Fig. 19a). Weil für die praktische Anwendung in der Regel nur konvexe Sechsecke interessant sind, lassen sich nur Flächen mit positiver Gauß'scher Krümmung durch Sechsecknetze mit ebenen Maschen 1 approximieren.The statements about parallel-related meshes, their offsets and support structures apply to any 20 meshes with flat meshes 1, even if the meshes are A / corner. However, they do become trivial for triangular meshes: two triangles with parallel sides are similar, and therefore parallel mesh triangular meshes are always similar. On the other hand, according to the invention, the case of the hexagonal nets (hexagonal nets) is also of interest. As with a regular hexagonal (honeycomb) pavement, in a regular corner of such a mesh, three 25 meshes 1 (and three edges 2) collide (Figure 19a). Because only convex hexagons are generally of interest for practical application, only surfaces with positive Gaussian curvature can be approximated by hexagonal nets with flat meshes 1.
Von besonderem Interesse sind wieder jene Netze, bei denen die Offsets spezielle Eigenschaf-30 ten haben. Ein Knoten X ist immer konisch (da drei Ebenen stets einen Drehkegel berühren) und daher hat man immer Offsets in konstantem Flächenabstand. Will man konstanten Kantenabstand erreichen, so muss es ein parallelbezogenes hexagonales Netz p(N) geben, dessen Kanten 2 eine Kugel berühren. Ein solches Netz kann man mittels bekannter Algorithmen für Koebe-Polyeder konstruieren. Die zugehörige Stützstruktur von N hat wieder die Eigenschaft, 35 dass die auftretenden Trapeze konstante Höhe besitzen. In einer erfindungsgemäßen Tragstruktur 8 sind daher Trägerelemente 4 mit konstantem Querprofil verwendbar. Die Längsachsen der Trägerelemente 4 münden unter gleichen Winkeln in die Knotenachsen A und die Flächenelemente 5 können direkt an den inneren Rändern der Tragstruktur 8 montiert werden. 40 Das Ergebnis ist jeweils ein Vierecksnetz mit ebenen Maschen 1, das eine Freiformfläche F approximiert. In der Fig. 9 ist ein solches Netz schematisch dargestellt, bei dem es sich etwa um ein konisches Netz handeln soll. In den nachfolgenden Fig. 10-12 soll nun beispielhaft gezeigt werden, wie anhand eines solchen Netzes eines geometrischen Modells der Verlauf der Trägerelemente 4 festgelegt werden kann. 45Of particular interest again are those networks in which the offsets have special properties. A node X is always conical (because three planes always touch a cone of rotation) and therefore you always have offsets at a constant area spacing. If one wants to achieve constant edge distance, then there must be a parallel-related hexagonal network p (N) whose edges 2 touch a sphere. Such a network can be constructed using known algorithms for Koebe polyhedra. The associated support structure of N again has the property that the trapezoids have a constant height. In a supporting structure 8 according to the invention, therefore, carrier elements 4 with a constant transverse profile can be used. The longitudinal axes of the carrier elements 4 open at equal angles in the node axes A and the surface elements 5 can be mounted directly on the inner edges of the support structure 8. The result is a quadrilateral mesh with flat meshes 1, which approximates a freeform surface F. In Fig. 9, such a network is shown schematically, which should be about a conical network. In the following FIGS. 10-12, it will now be shown by way of example how the course of the carrier elements 4 can be determined on the basis of such a network of a geometrical model. 45
Ausgangspunkt für die Konstruktion der Trägerelemente 4 ist ein Vierecksnetz N mit ebenen Maschen 1 (Fig. 9). In jedem Knotenpunkt X des Netzes gibt es eine gemeinsame Gerade (Knotenachse A), auf der die entsprechenden Knoten X der Offset-Netze liegen (Fig. 10). Bei einem konischen Netz N ist die Knotenachse A die Achse des Drehkegels, der von den angren-50 zenden Maschenebenen berührt wird. Bei einem dual-isothermen Netz N ist die Knotenachse A die Achse jenes Drehkegels, der die angrenzenden Kanten enthält.The starting point for the construction of the carrier elements 4 is a quadrilateral mesh N with flat meshes 1 (FIG. 9). In each node X of the network there is a common line (node axis A) on which the corresponding nodes X of the offset networks are located (FIG. 10). For a conical net N, the node axis A is the axis of the turntable which is contacted by the adjacent mesh planes. In a dual-isothermal network N, the node axis A is the axis of the turntable that contains the adjacent edges.
Das Vierecksnetz N und ein dazu gehöriges Offset-Netz N0 bestimmen eine geometrische Stützstruktur welche von ebenen Vierecken aufgebaut wird (Fig. 11). Jedes dieser Vierecke ist 55 ein Trapez, berandet von einer Kante XY von N, der entsprechenden parallelen Kante X0Yo vonThe quadrilateral network N and an associated offset network N0 determine a geometric support structure which is built up by flat quadrangles (FIG. 11). Each of these quadrilaterals 55 is a trapezoid bounded by an edge XY of N, the corresponding parallel edge X0Yo of
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