WO2020034402A1 - 基于轴不变量的多轴机器人结构参数精测方法 - Google Patents
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- B25J9/02—Programme-controlled manipulators characterised by movement of the arms, e.g. cartesian coordinate type
- B25J9/023—Cartesian coordinate type
Definitions
- the invention relates to a method for precisely measuring the structural parameters of a multi-axis robot, and belongs to the technical field of robots.
- Multi-axis system modeling needs to fully parameterize the system topology, coordinate system, structural parameters and mass inertia in order to ensure the accuracy, reliability and real-time performance of the system.
- a fully parameterized kinematics and dynamics model is an important aspect of machine intelligence and the basis for system adaptability and inheritance.
- errors in the design structural parameters will inevitably be caused during machining and assembly. Therefore, the problem of accurate measurement of Engineering Structure Parameters of multi-axis robot systems needs to be solved.
- the technical problem to be solved by the present invention is to provide a precise measurement method for structural parameters of a multi-axis multi-axis robot based on an axis invariant, so as to avoid the problem of excessive measurement error of the structural parameters of the multi-axis robot caused by taking Cartesian Cartesian coordinate system as a reference.
- the present invention adopts the following technical solutions:
- the multi-axis robot system includes a sequence of rods and joints.
- the joint sequence in the tree chain is converted into a corresponding axis sequence and its parent axis.
- Sequence, the axis of the axis sequence is a translation axis or a rotation axis;
- the axis set is used to describe the multi-axis robot system correspondingly.
- the natural joint space is based on the natural coordinate system F.
- the origin of the natural coordinate system F is located on the joint axis and the coordinate system directions are consistent when the system is reset ;
- A is the axis sequence
- F is the rod reference system sequence
- B is the rod body sequence
- K is the motion pair type sequence
- NT is the sequence of the constrained axis, that is, non-tree
- F is Cartesian Cartesian coordinate system sequence.
- the fixed axis invariant is formed by the axis invariant and the position vector of the origin on the axis.
- the structure parameter of the multi-axis system is the fixed axis invariant.
- a laser tracker or other measuring equipment is used to measure the end point of the robot arm to determine the invariance of the fixed axis of each axis.
- the measurement process is always performed in sequence from the root member to the blade member.
- Measurement steps include
- the measuring prism is consolidated with the rod l to be measured, and the position of the center l S of the prism is measured by a laser tracker i to obtain a corresponding position vector.
- a unit vector consolidated with the rod 1 to be measured is obtained
- the determination process of the dual vector attitude is:
- the fixed axis invariance is determined by the laser trackball fixed at the end of the robotic arm.
- each joint rotates 3 times, and 3 points are measured to obtain two vectors.
- the two trackballs at the end are tracked separately, Two laser tracking balls, each joint rotates once, get two vectors, and then use the precise measurement method to determine the fixed axis invariant.
- the method of this method is based on the natural coordinate system, and can accurately measure the fixed axis invariant in engineering.
- the repeatability of joints can be achieved, and the problem of excessive measurement error of structural parameters caused by Cartesian Cartesian coordinate system is avoided, which lays the foundation for the development of precision multi-axis robot systems.
- the present invention proposes and proves a method for precise measurement of structural parameters of a multi-axis system based on an axis invariant, which is characterized by: directly applying a structural parameter based on a fixed axis invariant obtained by precise measurement by a laser tracker or other measuring equipment to ensure accurate modeling Sex.
- the kinematics of a multi-axis system based on axis invariants unifies the classic kinematic principles of four-dimensional complex numbers and quaternions; it improves the compactness of the real-time kinematics system of multi-axis systems; thus, it improves the computing efficiency of kinematics systems.
- Figure 3 Schematic diagram of radial projection and natural zero position
- Figure 4 Schematic diagram of fixed axis rotation
- FIG. 6 is a schematic diagram of determining an origin of a fixed axis invariant.
- Natural coordinate axis The unit reference axis with a fixed origin that is coaxial with the motion axis or measurement axis is called the natural coordinate axis, also known as the natural reference axis.
- Natural coordinate system As shown in Figure 1, if the multi-axis system D is at zero position, all Cartesian body coordinate systems have the same direction, and the origin of the body coordinate system is on the axis of the motion axis, then the coordinate system is a natural coordinate system. , Referred to as the natural coordinate system.
- the advantages of the natural coordinate system are: (1) the coordinate system is easy to determine; (2) the joint variables at the zero position are zero; (3) the system attitude at the zero position is consistent; (4) it is not easy to introduce a measurement error.
- the coordinate axis is a reference direction with a zero position and a unit scale. It can describe the position of translation in that direction, but it cannot fully describe the rotation angle around the direction, because the coordinate axis itself does not have a radial reference direction, that is There is a zero position that characterizes rotation. In practical applications, the radial reference of this shaft needs to be supplemented. For example: in Cartesian F [l] , to rotate around lx, you need to use ly or lz as the reference zero.
- the coordinate axis itself is 1D, and three orthogonal 1D reference axes constitute a 3D Cartesian frame.
- the axis invariant is a 3D spatial unit reference axis, which is itself a frame. It has its own radial reference axis, the reference mark.
- the spatial coordinate axis and its own radial reference axis determine the Cartesian frame.
- the spatial coordinate axis can reflect the three basic reference attributes of the motion axis and the measurement axis.
- [2] is a 3D reference axis, which not only has an axial reference direction, but also has a radial reference zero position, which will be explained in section 3.3.1.
- the axis invariant For axis invariants, its absolute derivative is its relative derivative. Since the axis invariant is a natural reference axis with invariance, its absolute derivative is always a zero vector. Therefore, the axis invariant is invariant to time differentiation. Have:
- the basis vector e l is any vector consolidated with F [l] .
- the basis vector With Any vector of consolidation, Is F [l] and Common unit vector, so Is F [l] and Shared basis vector. So the axis is invariant Is F [l] and Common reference base.
- Axis invariants are parameterized natural coordinate bases and primitives for multi-axis systems. The translation and rotation of a fixed axis invariant are equivalent to the translation and rotation of a fixed coordinate system.
- optical measurement equipment such as laser trackers can be applied to achieve accurate measurement of invariants of fixed axes.
- the cylindrical pair can be applied to simplify the MAS kinematics and dynamics analysis.
- Invariant A quantity that does not depend on a set of coordinate systems for measurement is called an invariant.
- Natural coordinates take the natural coordinate axis vector as the reference direction, the angular position or line position relative to the zero position of the system, and record it as q l , which is called natural coordinates;
- natural motion vector will be determined by the natural axis vector And the vector determined by natural coordinates q l Called the natural motion vector. among them:
- the natural motion vector realizes the unified expression of axis translation and rotation.
- a vector to be determined by the natural axis vector and the joint such as Called the free motion vector, also known as the free spiral.
- the axis vector Is a specific free spiral.
- joint space The space represented by the joint natural coordinates q l is called joint space.
- the Cartesian space that expresses the position and pose (posture for short) is called a shape space, which is a double vector space or a 6D space.
- Natural joint space using the natural coordinate system as a reference, through joint variables Means that there must be when the system is zero The joint space is called natural joint space.
- Axis vector Is the natural reference axis of the natural coordinates of the joint. Because Is an axis invariant, so Is a fixed axis invariant, which characterizes the motion pair The structural relationship is determined by the natural coordinate axis. Fixed axis invariant Is a link Natural description of structural parameters.
- Natural coordinate axis space The fixed axis invariant is used as the natural reference axis, and the space represented by the corresponding natural coordinate is called the natural coordinate axis space, which is referred to as the natural axis space. It is a 3D space with 1 degree of freedom.
- any motion pair in the loop can be selected, and the stator and the mover constituting the motion pair can be separated; thus, a loop-free tree structure is obtained.
- the Span tree represents a span tree with directions to describe the topological relationship of the tree chain movement.
- I is a structural parameter; A is an axis sequence; F is a bar reference sequence; B is a bar body sequence; K is a motion pair type sequence; NT is a sequence of constrained axes, that is, a non-tree.
- Axis sequence a member of.
- Rotary pair R, prism pair P, spiral pair H, and contact pair O are special examples of cylindrical pair C.
- the motion chain is identified by a partial order set ().
- O () represents the number of operations in the calculation process, and usually refers to the number of floating-point multiplications and additions. It is very tedious to express the calculation complexity by the number of floating-point multiplication and addition. Therefore, the main operation times in the algorithm cycle are often used;
- l l k is the kinematic chain from axis l to axis k, and the output is expressed as And
- the cardinality is written as
- l l k execution process execution If Then execute Otherwise, end.
- the computational complexity of l l k is O (
- l L means to obtain a closed subtree composed of axis l and its subtrees, Is a subtree without l; recursively execute l l with a computational complexity of
- ⁇ means attribute placeholder; if the attribute p or P is about position, then Should be understood as a coordinate system To the origin of F [l] ; if the attribute p or P is about direction, then Should be understood as a coordinate system To F [l] .
- attribute variables or constants with partial order include the indicators indicating partial order in the name; either include the upper left corner and lower right corner indexes, or include the upper right corner and lower right corner indexes; Their directions are always from the upper left corner indicator to the lower right corner indicator, or from the upper right corner indicator to the lower right corner indicator.
- the description of the direction is sometimes omitted. Even if omitted, those skilled in the art can also use symbolic expressions. It is known that, for each parameter used in this application, for a certain attribute symbol, their directions are always from the upper left corner index to the lower right corner index of the partial order index, or from the upper right corner index to the lower right corner index.
- the symbol specifications and conventions of this application are determined based on the two principles of the partial order of the kinematic chain and the chain link being the basic unit of the kinematic chain, reflecting the essential characteristics of the kinematic chain.
- the chain indicator represents the connection relationship, and the upper right indicator represents the reference system.
- This symbolic expression is concise and accurate, which is convenient for communication and written expression.
- they are structured symbol systems that contain the elements and relationships that make up each attribute quantity, which is convenient for computer processing and lays the foundation for computer automatic modeling.
- the meaning of the indicator needs to be understood through the background of the attribute, that is, the context; for example: if the attribute is a translation type, the indicator at the upper left corner indicates the origin and direction of the coordinate system; if the attribute is a rotation type, the indicator at the top left The direction of the coordinate system.
- rotation vector / angle vector I is a free vector, that is, the vector can be freely translated
- the angular position that is, the joint angle and joint variables, are scalars
- T means transpose of ⁇ , which means transpose the collection and do not perform transpose on the members; for example:
- Projection symbol ⁇ represents vector or tensor of second order group reference projection vector or projection sequence, i.e. the vector of coordinates or coordinate array, that is, the dot product projection "*"; as: position vector
- the projection vector in the coordinate system F [k] is written as
- Is a cross multiplier for example: Is axis invariant Cross product matrix; given any vector
- the cross product matrix is
- the cross product matrix is a second-order tensor.
- i l j represents a kinematic chain from i to j
- l l k is a kinematic chain from axis l to k
- n represents the Cartesian Cartesian system, then Is a Cartesian axis chain; if n represents a natural reference axis, then For natural shaft chains.
- the adjacent members l and Axis vectors have the same coordinates; on the other hand, the axis vectors By origin direction Outside, axis vector Point from the origin O l to the outside of O l , they have the same coordinates, that is, the axis invariant It has a total order relationship, and there is no difference between its positive order and reverse order. therefore
- the projection scalar is the coordinate Zero vector Pair of axes vector
- the projection vector is Zero vector Zero axis vector
- the projection vector is Zero vector Radial projection transformation And system zero projection transformation
- Axis vector Relative to rod And ⁇ l or natural coordinate system And F [l] is fixed, so this rotation is called fixed axis rotation.
- the projection vector is Zero vector after rotation
- the moment vector is
- the axial component is Rodrigues vector equation with chain index
- Equation (7) shows: On the one hand, in adjacent natural coordinate systems, Axis vectors have the same coordinates; on the other hand, the axis vectors By origin direction Outside, axis vector Point from O l to the outside of O l , they have the same coordinates, that is, the axis invariant It has a total order relationship, and there is no difference between its positive order and reverse order. therefore
- Negative value and opposite joint angle Can be obtained in reverse order
- negative values and inversion of topological (connection) order are two different concepts.
- multi-axis system theory Used as a reference axis for joint actuators and sensors. It is a system reference specification. Heng holds, that is, the axis vector Is invariant.
- Equation (10) is about with Multivariable linear equation is an axis invariant Second-order polynomial. Given a natural zero vector As Zero reference, and Respectively the zero vector and the radial vector. Equation (10) is Symmetry Represents zero-axis tensor, antisymmetric part Represents the radial axial tensor, and the axial outer product tensor, respectively Orthogonal to determine the three-dimensional natural axis space; Equation (10) contains only one sine and cosine operation, 6 product operations, and 6 sum operations, and the calculation complexity is low; And joint variables The coordinate system and polarity are parameterized.
- Axis vector With second-order nilpotency Is a first-order radial transformation or a first-order moment transformation, which is antisymmetric; and Second and third-order radial transformations, respectively; Periodic.
- the natural joint space of the multi-axis system D ⁇ T, A, B, K, F, NT ⁇ is based on the natural coordinate system F.
- the origin of the natural coordinate system F is located on the joint axis and the coordinate system directions are the same when the system is reset. .
- A is the axis sequence
- F is the rod reference frame sequence
- B is the rod body sequence
- K is the motion pair type sequence
- NT is the sequence that constrains the axis, that is, non-tree.
- F is the Cartesian Cartesian coordinate system sequence.
- Axis sequence a member of.
- Rotary pair R, prism pair P, spiral pair H, and contact pair O are special examples of cylindrical pair C.
- the structure parameters of the multi-axis system are The configuration space is expressed as
- sports pair Joint rotation angle vector Position vector Position vector
- joint variable q l Zero point from origin Translation vector to origin O l ;
- the measurement of the fixed-axis invariant is shown in FIG. 5.
- the laser tracker is used to measure the measurement points l S ′ and l S on the rod l. First, get the shaft l to rotate The position of the measuring point after the angle is and Then, get the shaft l turned The position of the measuring point after the angle is and Finally, the unit position vector is calculated and The measurement process is always performed sequentially from the root member to the leaf member.
- the invariant of the fixed axis is determined by the laser track ball fixed at the end of the robot arm.
- Each joint is rotated 3 times, and 3 points are measured to obtain two vectors, or when two trackballs at the end are tracked respectively, two laser trackballs are rotated.
- Each joint is rotated once to obtain two vectors, and then determined by precise measurement.
- the fixed shaft is invariant, and the measurement process is always performed sequentially from the root member to the leaf member.
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Abstract
一种基于轴不变量的多轴机器人结构参数精测方法，建立多轴机器人系统，多轴机器人系统包含杆件序列与关节序列，将树链中的关节序列转换成对应的轴序列及其父轴序列，轴序列的轴为平动轴或转动轴；使用轴集合来对应描述该多轴机器人系统，以自然坐标系为基础，自然关节空间是以自然坐标系统为参考，自然坐标系统的原点位于关节轴线且在系统复位时坐标系方向一致；通过轴不变量与轴上原点的位置矢量构成固定轴不变量；应用激光跟踪仪或其他测量设备测量杆件上的测点，测量过程总是由根杆件至叶杆件依次进行，保证建模的准确性。
Description
本发明涉及一种多轴机器人结构参数精测方法，属于机器人技术领域。
多轴系统建模需要实现系统拓扑、坐标系、结构参量及质惯量的完全参数化，才能保证系统实现的准确性、可靠性及实时性。完全参数化的运动学及动力学模型是机器智能的重要方面，也是系统适应性及继承性的基础。对于多轴机器人系统，在机加工及装配过程中会不可避免地导致设计结构参数存在误差，因此需要解决多轴机器人系统的工程结构参数(Engineering Structure Parameters)精确测量的问题。
发明内容
本发明所要解决的技术问题是提供一种基于轴不变量的多轴多轴机器人结构参数精测方法，避免以笛卡尔直角坐标系为参考导致的多轴机器人结构参数测量误差过大问题。
为解决上述技术问题，本发明采用以下技术方案：
一种基于轴不变量的多轴机器人结构参数精测方法，其特征是，
建立多轴机器人系统D＝{T,A,B,K,F,NT}，多轴机器人系统包含杆件序列与关节序列，将树链中的关节序列转换成对应的轴序列及其父轴序列，所述轴序列的轴为平动轴或转动轴；
使用轴集合来对应描述所述多轴机器人系统，以自然坐标系为基础，自然关节空间是以自然坐标系统F为参考，自然坐标系统F的原点位于关节轴线且在系统复位时坐标系方向一致；
其中：
为有向Span树，A为轴序列，F为杆件参考系序列，B为杆件体序列，K为运动副类型序列，NT为约束轴的序列即非树；F为笛卡尔直角坐标系序列。
为取轴序列
的成员；转动副R，棱柱副P，螺旋副H，接触副O；
通过轴不变量与轴上原点的位置矢量构成固定轴不变量，多轴系统结构参数为固定轴不变量
构型空间表示为
其中，运动副
－沿轴
的线位置，
－绕轴
的角位置；关节变量q
l；
为零位时由原点
至原点O
l的平动矢量；
应用激光跟踪仪或其他测量设备测量杆件l上的测点l
S′及l
S，测量过程总是由根杆件至叶杆件依次进行；
应用激光跟踪仪或其他测量设备测量机械臂末端点确定各轴固定轴不变量，测量过程总是由根杆件至叶杆件依次进行。
测量步骤包括
首先，获得杆件l转动
角度后的测点位置为
及
然后，获得杆件l转动
角度后的测点位置为
及
最后，计算得到单位位置矢量
及
当系统处于零位时，固定轴不变量
由激光跟踪仪或3D坐标机测量得到。
将测量棱镜与被测杆件l固结，通过激光跟踪仪i跟踪测量棱镜中心l
S的位置，得到对应的位置矢量
从而，获得与被测杆件l固结的单位矢量
轴不变量
的计算步骤为：
首先，应用欧拉四元数公式
确定欧拉四元数中的
及
其次，将欧拉四元数乘法运算用其共轭矩阵运算替代，得
接着，根据
代入式
得
最后，由双矢量姿态式，得
双矢量姿态式的确定过程为：
由初始单位矢量
至目标单位矢量
的姿态，等价于绕轴
转动角度
其中：
则有双矢量姿态式为：
由上式得
其中：
||用于防止数值计算时的溢出。
确定固定轴不变量原点过程为：
将测点l
S′及l
S的中点
至轴
作垂线得到的交点定义为轴
的固定点O
l。S'、S、S
*为杆件l中的点。则有
由(18)得
上式中，旋转变换阵
由式(19)得
考虑固定点O
l是中点
的投影，即有
由
及式(20)得
将式(21)代入式(19)得
ir
l，
或
由上可知，条件
比正交基e
l更容易满足。该方法有助于精确测量包含加工及装配误差的轴不变量。
工程测量时，由系统根部杆件开始，直至所有的叶；每测量一个杆件后，即将其制动；选定所有杆件被制动后的状态为零位状态，由关节传感器测量的关节变量记为
称为机械零位；且有
至此，获得了系统结构参数固定轴不变量
及机械零位
将多轴系统控制量记为
同时，以非自然坐标系为参考的关节变量存在参考零位
关节变量q
l与控制量q
Δ、机械零位
及参考零位
关系如下
应用激光跟踪仪或其他测量设备测量机械臂末端点确定各轴固定轴不变量：
通过固定在机械臂末端的激光跟踪球确定固定轴不变量，当末端一个跟踪球时，每个关节转3次，测量3个点,得到两个矢量，或者末端两个跟踪球时，分别跟踪两个激光跟踪球，每个关节转动一次，得到两个矢量，然后利用精测方法确定固定轴不变量。
本发明所达到的有益效果：
本方法的方法，以自然坐标系为基础，在工程上可以精确测量固定轴不变量
可以达到关节的重复精度，避免了以笛卡尔直角坐标系为参考导致的结构参数测量误差过大问题，为精密多轴机器人系统的研制奠定了基础。
本发明提出并证明了基于轴不变量的多轴系统结构参数精密测量方法，特征在于：直接应用激光跟踪仪或其他测量设备精密测量获得的基于固定轴不变量的结构参数，保证建模的准确性。
基于轴不变量的多轴系统运动学统一了四维复数及四元数的经典运动学原理；提高了多轴系统实时运动学系统的紧凑性；从而，提升了运动学系统的计算效能。
图1自然坐标系与轴链；
图2固定轴不变量；
图3径向投影及自然零位示意图；
图4定轴转动示意图；
图5轴不变量精测原理图；
图6固定轴不变量的原点确定示意图。
下面结合附图对本发明作进一步描述。以下实施例仅用于更加清楚地说明本发明的技术方案，而不能以此来限制本发明的保护范围。
定义1自然坐标轴：称与运动轴或测量轴共轴的，具有固定原点的单位参考轴为自然坐标轴，亦称为自然参考轴。
定义2自然坐标系：如图1所示，若多轴系统D处于零位，所有笛卡尔体坐标系方向一致，且体坐标系原点位于运动轴的轴线上，则该坐标系统为自然坐标系统，简称自然坐标系。
自然坐标系优点在于：(1)坐标系统易确定；(2)零位时的关节变量为零；(3)零位时的系统姿态一致；(4)不易引入测量累积误差。
由定义2可知，在系统处于零位时，所有杆件的自然坐标系与底座或世界系的方向一致。系统处于零位即
时，自然坐标系
绕轴矢量
转动角度
将
转至F
[l]；
在
下的坐标矢量与
在F
[l]下的坐标矢量
恒等，即有
由上式知，
或
不依赖于相邻的坐标系
及F
[l]；故称
或
为轴不变量。在不强调不变性时，可以称之为坐标轴矢量(简称轴矢量)。
或
表征的是体
与体l共有的参考单位坐标矢量，与参考点
及O
l无关。体
与体l即为杆件或轴。
轴不变量与坐标轴具有本质区别：
(1)坐标轴是具有零位及单位刻度的参考方向，可以描述沿该方向平动的位置，但不能完整描述绕该方向的转动角度，因为坐标轴自身不具有径向参考方向，即不存在表征转动的零位。在实际应用时，需要补充该轴的径向参考。例如：在笛卡尔系F
[l]中，绕lx转动，需以ly或lz为参考零位。坐标轴自身是1D的，3个正交的1D参考轴构成3D的笛卡尔标架。
(2)轴不变量是3D的空间单位参考轴，其自身就是一个标架。其自身具有径向参考轴，即参考零位。空间坐标轴及其自身的径向参考轴可以确定笛卡尔标架。空间坐标轴可以反映运动轴及测量轴的三个基本参考属性。
已有文献将无链指标的轴矢量记为
并称之为欧拉轴(Euler Axis)，相应的关节角称为欧拉角(Euler Angle)。本申请之所以不再沿用欧拉轴，而称之为轴不变量，是因为轴不变量具有以下属性：
【1】给定旋转变换阵
因其是实矩阵，其模是单位的，故其有一个实特征值λ
1及两个互为共轭的复特征值λ
2＝e
iφ及λ
3＝e
-iφ；其中：i为纯虚数。因此，|λ
1|·||λ
2||·||λ
3||＝1，得λ
1＝1。轴矢量
是实特征值λ
1＝1对应的特征矢量，是不变量；
【2】是3D参考轴，不仅具有轴向参考方向，而且具有径向参考零位，将在3.3.1节予以阐述。
【3】在自然坐标系下：
即轴不变量
是非常特殊的矢量，它对时间的导数也具有不变性，且有非常优良的数学操作性能；
对轴不变量而言，其绝对导数就是其相对导数。因轴不变量是具有不变性的自然参考轴，故其绝对导数恒为零矢量。因此，轴不变量具有对时间微分的不变性。有：
【4】在自然坐标系统中，通过轴矢量
及关节变量
可以直接描述旋转坐标阵
没有必要为除根之外的杆件建立各自的体系。同时，以唯一需要定义的根坐标系为参考，可以提高系统结构参数的测量精度；
【5】应用轴矢量
的优良操作，将建立包含拓扑结构、坐标系、极性、结构参量及力学参量的完全参数化的统一的多轴系统运动学及动力学模型。
因基矢量e
l是与F
[l]固结的任一矢量，基矢量
是与
固结的任一矢量，又
是F
[l]及
共有的单位矢量，故
是F
[l]及
共有的基矢量。因此，轴不变量
是F
[l]及
共有的参考基。轴不变量是参数化的自然坐标基，是多轴系统的基元。固定轴不变量的平动与转动与其固结的坐标系的平动与转动等价。
在系统处于零位时，以自然坐标系为参考，测量得到坐标轴矢量
在运动副
运动时，轴矢量
是不变量；轴矢量
及关节变量
唯一确定运动副
的转动关系。
因此，应用自然坐标系统，当系统处于零位时，只需确定一个公共的参考系，而不必为系统中每一杆件确定各自的体坐标系，因为它们由轴不变量及自然坐标唯一确定。当进行系统分析时，除底座系外，与杆件固结的其它自然坐标系只发生在概念上，而与实际的测量无关。自然坐标系统对于多轴系统(MAS)理论分析及工程作用在于：
(1)系统的结构参数测量需要以统一的参考系测量；否则，不仅工程测量过程烦琐，而且引入不同的体系会引入更大的测量误差。
(2)应用自然坐标系统，除根杆件外，其它杆件的自然坐标系统由结构参量及关节变量自然确定，有助于MAS系统的运动学与动力学分析。
(3)在工程上，可以应用激光跟踪仪等光学测量设备，实现对固定轴不变量的精确测量。
(4)由于运动副R及P、螺旋副H、接触副O是圆柱副C的特例，可以应用圆柱副简化MAS运动学及动力学分析。
定义3不变量：称不依赖于一组坐标系进行度量的量为不变量。
定义4转动坐标矢量：绕坐标轴矢量
转动到角位置
的坐标矢量
为
定义5平动坐标矢量：沿坐标轴矢量
平动到线位置
的坐标矢量
为
定义6自然坐标：以自然坐标轴矢量为参考方向，相对系统零位的角位置或线位置，记为q
l，称为自然坐标；称与自然坐标一一映射的量为关节变量；其中：
定义7机械零位：对于运动副
在初始时刻t
0时，关节绝对编码器的零位
不一定为零，该零位称为机械零位；
故关节
的控制量
为
定义8自然运动矢量：将由自然坐标轴矢量
及自然坐标q
l确定的矢量
称为自然运动矢量。其中：
自然运动矢量实现了轴平动与转动的统一表达。将由自然坐标轴矢量及关节确定的矢量，例如
称为自由运动矢量，亦称为自由螺旋。显然，轴矢量
是特定的自由螺旋。
定义9关节空间：以关节自然坐标q
l表示的空间称为关节空间。
定义10位形空间：称表达位置及姿态(简称位姿)的笛卡尔空间为位形空间，是双矢量空间或6D空间。
定义11自然关节空间：以自然坐标系为参考，通过关节变量
表示，在系统零位时必有
的关节空间，称为自然关节空间。
如图2所示，给定链节
原点O
l受位置矢量
约束的轴矢量
为固定轴矢量，记为
其中：
轴矢量
是关节自然坐标的自然参考轴。因
是轴不变量，故称
为固定轴不变量，它表征了运动副
的结构关系，即确定了自然坐标轴。固定轴不变量
是链节
结构参数的自然描述。
定义12自然坐标轴空间：以固定轴不变量作为自然参考轴，以对应的自然坐标表示的空间称为自然坐标轴空间，简称自然轴空间。它是具有1个自由度的3D空间。
如图2所示，
及
不因杆件Ω
l的运动而改变，是不变的结构参考量。
确定了轴l相对于轴
的五个结构参数；与关节变量q
l一起，完整地表达了杆件Ω
l的6D位形。给定
时，杆件固结的自然坐标系可由结构参数
及关节变量
唯一确定。称轴不变量
固定轴不变量
关节变量
及
为自然不变量。显然，由固定轴不变量
及关节变量
构成的关节自然不变量
与由坐标系
至F
[l]确定的空间位形
具有一一映射关系，即
给定多轴系统D＝{T,A,B,K,F,NT}，在系统零位时，只要建立底座系或惯性系，以及各轴上的参考点O
l，其它杆件坐标系也自然确定。本质上，只需要确定底座系或惯性系。
给定一个由运动副连接的具有闭链的结构简图，可以选定回路中任一个运动副，将组成该运动副的定子与动子分割开来；从而，获得一个无回路的树型结构，称之为Span树。T表示带方向的span树，以描述树链运动的拓扑关系。
I为结构参数；A为轴序列，F为杆件参考系序列，B为杆件体序列，K为运动副类型序列，NT为约束轴的序列即非树。
为取轴序列
的成员。转动副R，棱柱副P，螺旋副H，接触副O是圆柱副C的特例。
描述运动链的基本拓扑符号及操作是构成运动链拓扑符号系统的基础，定义如下：
【1】运动链由偏序集合(]标识。
【2】A
[l]为取轴序列A的成员；因轴名l具有唯一的编号对应于A
[l]的序号，故A
[l]计算复杂度为O(1)。
【3】
为取轴l的父轴；轴
的计算复杂度为O(1)。计算复杂度O()表示计算过程的操作次数，通常指浮点乘与加的次数。以浮点乘与加的次数表达计算复杂度非常烦琐，故常采用算法循环过程中的主要操作次数；比如：关节位姿、速度、加速度等操作的次数。
【4】
为取轴序列
的成员；
计算复杂度为O(1)。
【5】
ll
k为取由轴l至轴k的运动链，输出表示为
且
基数记为|
ll
k|。
ll
k执行过程：执行
若
则执行
否则，结束。
ll
k计算复杂度为O(|
ll
k|)。
【6】
ll为取轴l的子。该操作表示在
中找到成员l的地址k；从而，获得轴l的子A
[k]。因
不具有偏序结构，故
ll的计算复杂度为
【7】
lL表示获得由轴l及其子树构成的闭子树，
为不含l的子树；递归执行
ll，计算复杂度为
【8】支路、子树及非树弧的增加与删除操作也是必要的组成部分；从而，通过动态Span树及动态图描述可变拓扑结构。在支路
ll
k中，若
则记
即
表示在支路中取成员m的子。
定义以下表达式或表达形式：
轴与杆件具有一一对应性；轴间的属性量
及杆件间的属性量
具有偏序性。
约定：“□”表示属性占位；若属性p或P是关于位置的，则
应理解为坐标系
的原点至F
[l]的原点；若属性p或P是关于方向的，则
应理解为坐标系
至F
[l]。
本申请中约定：在运动链符号演算系统中，具有偏序的属性变量或常量，在名称上包含表示偏序的指标；要么包含左上角及右下角指标，要么包含右上角及右下角指标；它们的方向总是由左上角指标至右下角指标，或由右上角指标至右下角指标，本申请中为叙述简便，有时省略方向的描述，即使省略，本领域技术人员通过符号表达式也可以知道，本申请中采用的各参数，对于某种属性符，它们的方向总是由偏序指标的左上角指标至右下角指标，或由右上角指标至右下角指标。例如：
可简述为(表示由k至l)平动矢量；
表示(由k至l的)线位置；
kr
l表示(由k至l的)平动矢量；其中：r表示“平动”属性符，其余属性符对应为：属性符φ表示“转动”；属性符Q表示“旋转变换矩阵”；属性符l表示“运动链”；属性符u表示“单位矢量”；属性符ω表示“角速度”；角标为i表示惯性坐标系或大地坐标系；其他角标可以为其他字母，也可以为数字。
本申请的符号规范与约定是根据运动链的偏序性、链节是运动链的基本单位这两个原则确定的，反映了运动链的本质特征。链指标表示的是连接关系，右上指标表征参考系。采用这种符号表达简洁、准确，便于交流与书面表达。同时，它们是结构化的符号系统，包含了组成各属性量的要素及关系，便于计算机处理，为计算机自动建模奠定基础。指标的含义需要通过属性符的背景即上下文进行理解；比如：若属性符是平动类型的，则左上角指标表示坐标系的原点及方向；若属性符是转动类型的，则左上角指标表示坐标系的方向。
(1)l
S－杆件l中的点S；而S表示空间中的一点S。
(2)
－杆件k的原点O
k至杆件l的原点O
l的平动矢量；
kr
l－
在自然坐标系F
[k]下的坐标矢量，即由k至l的坐标矢量；
(3)
－原点O
k至点l
S的平动矢量；
(4)
－原点O
k至点S的平动矢量；
kr
S－
在F
[k]下的坐标矢量；
(5)
－连接杆件
及杆件l的运动副；
(6)
－沿轴
的线位置(平动位置)，
(7)左下角指标为0时，表示机械零位；如：
(8)0－三维零矩阵；1－三维单位矩阵；
(9)约定：“\”表示续行符；“□”表示属性占位；则
幂符
表示□的x次幂；右上角角标∧或
表示分隔符；如：
或
为
的x次幂。
[□]
Τ表示□的转置，表示对集合转置，不对成员执行转置；如：
|□为投影符，表示矢量或二阶张量对参考基的投影矢量或投影序列，即坐标矢量或坐标阵列，投影即是点积运算“·”；如：位置矢量
在坐标系F
[k]中的投影矢量记为
叉乘符运算的优先级高于投影符
|□的优先级。投影符
|□的优先级高于成员访问符□
[□]或□
[□]，成员访问符□
[□]优先级高于幂符
(11)单位矢量在大地坐标系的投影矢量
单位零位矢量
(11)
－零位时由原点
至原点O
l的平动矢量，且记
表示位置结构参数。
(12)
iQ
l，相对绝对空间的旋转变换阵；
(13)以自然坐标轴矢量为参考方向，相对系统零位的角位置或线位置，记为q
l，称为自然坐标；关节变量
自然关节坐标为φ
l；
(14)对于一给定有序的集合r＝[1,4,3,2]
T，记r
[x]表示取集合r的第x行元素。常记[x]、[y]、[z]及[w]表示取第1、2、3及4列元素。
(15)
il
j表示由i到j的运动链；
ll
k为取由轴l至轴k的运动链；
给定运动链
若n表示笛卡尔直角系，则称
为笛卡尔轴链；若n表示自然参考轴，则称
为自然轴链。
(16)Rodrigues四元数表达形式：
欧拉四元数表达形式：
不变量的四元数(也称为轴四元数)表达形式
1.固定轴不变量的精确测量原理
因为多轴系统的机加工及装配过程(Machining and Assembly Processes)会不可避免地导致设计结构参数(Design Structure Parameters)存在误差，所以需要解决多轴系统的工程结构参数(Engineering Structure Parameters)精确测量的问题。下面，阐述应用自动激光跟踪仪(Automatic Laser Tracking System)精确测量多轴系统的工程结构参数的方法。
在相邻自然坐标系下，相邻杆件l和
的轴矢量具有相同的坐标；另一方面，轴矢量
由原点
指向
的外侧，轴矢量
由原点O
l指向O
l外侧，它们具有相同的坐标，即轴不变量
具有全序关系，它的正序与逆序无区别。因此
在多轴系统理论中，因轴矢量
用作关节执行器及传感器的参考轴，是系统参考规范，故式
恒成立，即轴矢量
是不变量。
2.基于轴不变量的零位轴系
如图3所示，给定运动副
的轴矢量
及具有单位长度的零位(Zero position)矢量
且S位于单位球面上；称轴矢量
向零位矢量
方向转动90°后的单位矢量为自然零轴(Natural zero axis)矢量，记为
由轴矢量
及自然零轴
按右手系可以确定自然径向轴(Radial axis)矢量
将系统初始时刻的自然零轴
及径向轴
分别记为
及
并分别称为系统零位轴矢量及系统零位径向轴矢量。
则有：零位矢量
对轴矢量
投影标量即坐标为
零位矢量
对轴矢量
投影矢量为
零位矢量
对零位轴矢量
投影矢量为
故得零位矢量
的径向投影变换
及系统零位投影变换
分别为
轴矢量
对
的矩矢量(Moment Vector)为
零位矢量
表达为
3.基于轴不变量的定轴转动
如图4所示，给定轴矢量
及与其固结的单位矢量
在转动前，对于单位矢量
对系统零位轴
的投影矢量为
对系统径向轴
的矩矢量为
径向矢量为
轴矢量
相对于杆件
及Ω
l或自然坐标系
及F
[l]是固定不变的，故称该转动为定轴转动。单位矢量
绕轴
转动
后，转动后的零位矢量
对系统零位轴
的投影矢量为
转动后的零位矢量
对系统径向轴
的矩矢量为
轴向分量为
故得具有链指标的Rodrigues矢量方程
因矢量
是任意的且
得具有链指标的Rodrigues转动方程
若
由式(4)，得
若
即坐标系
与F
[l]的方向一致，由式(4)可知：反对称部分
必有
因此，系统零位是自然坐标系
与F
[l]重合的充分必要条件，即初始时刻的自然坐标系方向一致是系统零位定义的前提条件。利用自然坐标系可以很方便地分析MAS系统运动学和动力学。
当给定角度
后，其正、余弦
及其半角的正、余弦S
l、C
l均是常数；为方便表达，记
显然：
是自然轴
上的坐标，
是系统零位轴
上的坐标。固结于体自然坐标系F
[l]的单位矢量
与
一一映射，即等价。自然零位轴及自然坐标轴分别是四维复数空间的实轴及三个虚轴。式(4)中，右式前两项是关于角
的对称矩阵，故有
最后一项是关于角度
的反对称矩阵，故有
因此，
由
及
唯一确定，即
由矢量
及标量
唯一确定。
式(4)中任意项的链序保持一致。由式(4)得
同时，由式(4)得
即
式(7)表明：一方面，在相邻自然坐标系下，相邻杆件l和
的轴矢量具有相同的坐标；另一方面，轴矢量
由原点
指向
的外侧，轴矢量
由O
l指向O
l外侧，它们具有相同的坐标，即轴不变量
具有全序关系，它的正序与逆序无区别。因此
若
由式(7)得
将之代入式(4)得
即有
由式(6)及式(9)可知：对轴矢量
数值取负与对关节角
取逆序都可得到
的逆。轴矢量
是自由矢量，其方向总由坐标系原点
指向
的外侧；显然，数值取负与拓扑(连接)次序取反是两个不同的概念。在多轴系统理论中，因轴矢量
用作关节执行器及传感器的参考轴，是系统参考规范，故式
恒成立，即轴矢量
是不变量。
4.定轴转动的幂零多项式
根据式(4)建立多重线性方程：
式(10)是关于
和
的多重线性方程，是轴不变量
的二阶多项式。给定自然零位矢量
作为
的零位参考，则
及
分别表示零位矢量及径向矢量。式(10)即为
对称部分
表示零位轴张量，反对称部分
表示径向轴张量，分别与轴向外积张量
正交，从而确定三维自然轴空间；式(10)仅含一个正弦及余弦运算、6个积运算及6个和运算，计算复杂度低；同时，通过轴不变量
及关节变量
实现了坐标系及极性的参数化。
轴矢量
具有二阶幂零特性，
为一阶径向变换或一阶矩变换，具有反对称性；相应地，
及
分别为二阶及三阶径向变换；
具有周期性。
5.固定轴不变量的精确测量方法
多轴系统D＝{T,A,B,K,F,NT}的自然关节空间是以自然坐标系统F为参考的，自然坐标系统F的原点位于关节轴线且在系统复位时坐标系方向一致。
其中：
为有向Span树，A为轴序列，F为杆件参考系序列，B为杆件体序列，K为运动副类型序列，NT为约束轴的序列即非树。F为笛卡尔直角坐标系序列。
为取轴序列
的成员。转动副R，棱柱副P，螺旋副H，接触副O是圆柱副C的特例。
多轴系统结构参数为
构型空间表示为
其中，运动副
关节转动角度矢量
位置矢量；关节变量q
l；
为零位时由原点
至原点O
l的平动矢量；
固定轴不变量的测量如图5所示，应用激光跟踪仪测量杆件l上的测点l
S′及l
S。首先，获得轴l转动
角度后的测点位置为
及
然后，获得轴l转动
角度后的测点位置为
及
最后，计算得到单位位置矢量
及
测量过程总是由根杆件至叶杆件依次进行。
当系统处于零位时，固定轴不变量
可由激光跟踪仪或3D坐标机测量得到。
为零位时由原点
至原点O
l的平动矢量，且记
表示位置结构参数。相对公共参考系F
[i]进行固定轴不变量的测量，可以消除测量误差的累积效应。为考虑加工及装配误差，经常将测量棱镜与被测杆件l固结，通过激光跟踪仪i跟踪测量棱镜中心l
S的位置，得到对应的位置矢量
从而，获得与被测杆件l固结的单位矢量
定义欧拉四元数：
设定：
称
为Euler-Rodrigues四元数或欧拉四元数；显然，它是模为1的四元数，又称为规范四元数。
由于四元数乘法运算可用其共轭矩阵运算替代，故有
基于双矢量的定姿四元数确定：
由初始单位矢量
至目标单位矢量
的姿态，等价于绕轴
转动角度
其中：
则有双矢量姿态(Double Vector Attitude)确定过程：
由式(14)得
由式(12)，得
其中：||用于防止数值计算时的溢出。由式(16)可知
在许多软件(例如Coin3D)中，双矢量定姿算法对用户来说非常不方便，因为它们要求初始矢量至目标矢量的角度范围仅为[0,π)。由双矢量姿态确定过程表明：欧拉四元数本质上统一(Unify)了双矢量叉乘与点乘运算，表达了覆盖(-π,π]的整周(Complete Cycle)转动。
轴不变量
计算过程：
首先，应用式(12)，确定
及
其次，因
为已知量，应用式(13)得
接着，将
代入式(16)，得
最后，由式(14)，得
如图6所示，将测点l
S′及l
S的中点
至轴
作垂线得到的交点定义为轴
的固定点O
l。S'、S、S
*为杆件l中的点。
则有
由(18)得
上式中，旋转变换阵
由式(19)得
考虑固定点O
l是中点
的投影，即有
由式(10)及式(20)得
将式(21)代入式(19)得
ir
l，
或
由上可知，条件
比正交基e
l更容易满足。该方法有助于精确测量包含加工及装配误差的轴不变量。
在工程测量时，通常由系统根部杆件开始，直至所有的叶；每测量一个杆件后，即可将之制动。选定所有杆件被制动后的状态为零位状态，由关节传感器测量的关节变量记为
称为机械零位。且有
在工程测量时，也可以应用激光跟踪仪或其他测量设备测量机械臂末端点确定各轴固定轴不变通过固定在机械臂末端的激光跟踪球确定固定轴不变量，当末端一个跟踪球时，每个关节转3次，测量3个点,得到两个矢量，或者末端两个跟踪球时，分别跟踪两个激光跟踪球，每个关节转动一次，得到两个矢量，然后利用精测方法确定固定轴不变量，测量过程总是由根杆件至叶杆件依次进行。
至此，获得了系统结构参数
及机械零位
将多轴系统控制量记为
同时，以非自然坐标系为参考的关节变量存在参考零位
式(11)中的关节变量q
l与控制量q
Δ、机械零位
及参考零位
关系如下
多轴系统正运动学计算：给定结构参数
关节变量q
l、关节速度
及关节加速度
完成期望的位形、速度、加速度及偏速度的计算。
由上可知，以自然坐标系为基础，工程上可以精确测量固定轴不变量
可以达到关节的重复精度，避免了以笛卡尔直角坐标系为参考导致的结构参数测量误差过大问题，为精 密多轴系统的研制奠定了基础。
以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明技术原理的前提下，还可以做出若干改进和变形，这些改进和变形也应视为本发明的保护范围。
Claims (9)
- 一种基于轴不变量的多轴机器人结构参数精测方法，其特征是，建立多轴机器人系统D＝{T,A,B,K,F,NT}，多轴机器人系统包含杆件序列与关节序列，将树链中的关节序列转换成对应的轴序列及其父轴序列，所述轴序列的轴为平动轴或转动轴；使用轴集合来对应描述所述多轴机器人系统，以自然坐标系为基础，自然关节空间是以自然坐标系统F为参考，自然坐标系统F的原点位于关节轴线且在系统复位时坐标系方向一致；其中：为有向Span树，A为轴序列，F为杆件参考系序列，B为杆件体序列，K为运动副类型序列，NT为约束轴的序列即非树；F为笛卡尔直角坐标系序列。
为取轴序列
的成员；转动副R，棱柱副P，螺旋副H，接触副O；
通过轴不变量与轴上原点的位置矢量构成固定轴不变量，多轴系统结构参数为固定轴不变量构型空间表示为
其中，运动副－沿轴
的线位置，
－绕轴
的角位置；关节变量q l；
为零位时由原点
至原点O l的平动矢量；
应用激光跟踪仪或其他测量设备测量杆件l上的测点l S′及l S，测量过程总是由根杆件至叶杆件依次进行；应用激光跟踪仪或其他测量设备测量机械臂末端点确定各轴固定轴不变量，测量过程总是由根杆件至叶杆件依次进行。 - 根据权利要求1所述的基于轴不变量的多轴机器人结构参数精测方法，其特征是，测量步骤包括首先，获得杆件l转动角度后的测点位置为
及
然后，获得杆件l转动角度后的测点位置为
及
最后，计算得到单位位置矢量及
- 根据权利要求1所述的基于轴不变量的多轴机器人结构参数精测方法，其特征是，当系统处于零位时，固定轴不变量由激光跟踪仪或3D坐标机测量得到。
- 根据权利要求3所述的基于轴不变量的多轴机器人结构参数精测方法，其特征是，为零位时由原点
至原点O l的平动矢量，且记
表示位置结构参数；相对公共参考系F [i]进行固定轴不变量的测量；
将测量棱镜与被测杆件l固结，通过激光跟踪仪i跟踪测量棱镜中心l S的位置，得到对应的位置矢量从而，获得与被测杆件l固结的单位矢量
- 根据权利要求1所述的基于轴不变量的多轴机器人结构参数精测方法，其特征是，轴不变量的计算步骤为：
首先，应用欧拉四元数公式确定欧拉四元数中的
及
其次，将欧拉四元数乘法运算用其共轭矩阵运算替代，得
接着，根据代入式
得
最后，由双矢量姿态式，得
- 根据权利要求5所述的基于轴不变量的多轴机器人结构参数精测方法，其特征是，双矢量姿态式的确定过程为：由初始单位矢量至目标单位矢量
的姿态，等价于绕轴
转动角度
其中：
则有双矢量姿态式为：
由上式得
其中：||用于防止数值计算时的溢出。
- 根据权利要求4所述的基于轴不变量的多轴机器人结构参数精测方法，其特征是，确定固定轴不变量原点过程为：将测点l S′及l S的中点至轴
作垂线得到的交点定义为轴
的固定点O l。S'、S、S *为杆件l中的点。则有
由(18)得
上式中，旋转变换阵
由式(19)得
考虑固定点O l是中点的投影，即有
由及式(20)得
将式(21)代入式(19)得 ir l，
或
由上可知，条件比正交基e l更容易满足。该方法有助于精确测量包含加工及装配误差的轴不变量。
- 根据权利要求1所述的基于轴不变量的多轴机器人结构参数精测方法，其特征是，工程测量时，由系统根部杆件开始，直至所有的叶；每测量一个杆件后，即将其制动；选定所有杆件被制动后的状态为零位状态，由关节传感器测量的关节变量记为称为机械零位；且有
至此，获得了系统结构参数固定轴不变量及机械零位
将多轴系统控制量记为
同时，以非自然坐标系为参考的关节变量存在参考零位
关节变量q l与控制量q Δ、机械零位
及参考零位
关系如下
- 根据权利要求1所述的基于轴不变量的多轴机器人结构参数精测方法，其特征是，应用激光跟踪仪或其他测量设备测量机械臂末端点确定各轴固定轴不变量：通过固定在机械臂末端的激光跟踪球确定固定轴不变量，当末端一个跟踪球时，每个关节转3次，测量3个点,得到两个矢量，或者末端两个跟踪球时，分别跟踪两个激光跟踪球，每个关节转动一次，得到两个矢量，然后利用精测方法确定固定轴不变量。
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