CN108927825A - 基于轴不变量的多轴机器人结构参数精测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于轴不变量的多轴机器人结构参数精测方法。建立多轴机器人系统，多轴机器人系统包含杆件序列与关节序列，将树链中的关节序列转换成对应的轴序列及其父轴序列，轴序列的轴为平动轴或转动轴；使用轴集合来对应描述所述多轴机器人系统，以自然坐标系为基础，自然关节空间是以自然坐标系统为参考，自然坐标系统的原点位于关节轴线且在系统复位时坐标系方向一致；通过轴不变量与轴上原点的位置矢量构成固定轴不变量。应用激光跟踪仪或其他测量设备测量杆件上的测点，测量过程总是由根杆件至叶杆件依次进行，保证建模的准确性。

Description

基于轴不变量的多轴机器人结构参数精测方法

技术领域

本发明涉及一种多轴机器人结构参数精测方法，属于机器人技术领域。

背景技术

多轴系统建模需要实现系统拓扑、坐标系、结构参量及质惯量的完全参数化，才能保证系统实现的准确性、可靠性及实时性。完全参数化的运动学及动力学模型是机器智能的重要方面，也是系统适应性及继承性的基础。对于多轴机器人系统，在机加工及装配过程中会不可避免地导致设计结构参数存在误差，因此需要解决多轴机器人系统的工程结构参数(Engineering Structure Parameters)精确测量的问题。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是提供一种基于轴不变量的多轴多轴机器人结构参数精测方法，避免以笛卡尔直角坐标系为参考导致的多轴机器人结构参数测量误差过大问题。

为解决上述技术问题，本发明采用以下技术方案：

一种基于轴不变量的多轴机器人结构参数精测方法，其特征是，

建立多轴机器人系统D＝{T,A,B,K,F,NT}，多轴机器人系统包含杆件序列与关节序列，将树链中的关节序列转换成对应的轴序列及其父轴序列，所述轴序列的轴为平动轴或转动轴；

使用轴集合来对应描述所述多轴机器人系统，以自然坐标系为基础，自然关节空间是以自然坐标系统F为参考，自然坐标系统F的原点位于关节轴线且在系统复位时坐标系方向一致；

其中：为有向Span树，A为轴序列，F为杆件参考系序列，B为杆件体序列，K为运动副类型序列，NT为约束轴的序列即非树；F为笛卡尔直角坐标系序列。为取轴序列的成员；转动副R，棱柱副P，螺旋副H，接触副O；

通过轴不变量与轴上原点的位置矢量构成固定轴不变量，多轴系统结构参数为固定轴不变量构型空间表示为

其中，运动副 －沿轴的线位置，－绕轴的角位置；关节变量q_l；为零位时由原点至原点O_l的平动矢量；

应用激光跟踪仪或其他测量设备测量杆件l上的测点l_S′及l_S，测量过程总是由根杆件至叶杆件依次进行；

应用激光跟踪仪或其他测量设备测量机械臂末端点确定各轴固定轴不变量，测量过程总是由根杆件至叶杆件依次进行。

测量步骤包括

首先，获得杆件l转动角度后的测点位置为及

然后，获得杆件l转动角度后的测点位置为及

最后，计算得到单位位置矢量及

当系统处于零位时，固定轴不变量由激光跟踪仪或3D坐标机测量得到。

为零位时由原点至原点O_l的平动矢量，且记表示位置结构参数；相对公共参考系F^[i]进行固定轴不变量的测量；

将测量棱镜与被测杆件l固结，通过激光跟踪仪i跟踪测量棱镜中心l_S的位置，得到对应的位置矢量从而，获得与被测杆件l固结的单位矢量

轴不变量的计算步骤为：

首先，应用欧拉四元数公式确定欧拉四元数中的及

其次，将欧拉四元数乘法运算用其共轭矩阵运算替代，得

接着，根据代入式得

最后，由双矢量姿态式，得

双矢量姿态式的确定过程为：

由初始单位矢量至目标单位矢量的姿态，等价于绕轴转动角度其中：则有双矢量姿态式为：

由上式得

其中：| |用于防止数值计算时的溢出。

确定固定轴不变量原点过程为：

将测点l_S′及l_S的中点至轴作垂线得到的交点定义为轴的固定点O_l。S'、S、S^*为杆件l中的点。则有

由(18)得

上式中，旋转变换阵

由式(19)得

考虑固定点O_l是中点的投影，即有

由及式(20)得

将式(21)代入式(19)得ⁱr_l，

或

由上可知，条件比正交基e_l更容易满足。该方法有助于精确测量包含加工及装配误差的轴不变量。

工程测量时，由系统根部杆件开始，直至所有的叶；每测量一个杆件后，即将其制动；选定所有杆件被制动后的状态为零位状态，由关节传感器测量的关节变量记为称为机械零位；且有

至此，获得了系统结构参数固定轴不变量及机械零位

将多轴系统控制量记为同时，以非自然坐标系为参考的关节变量存在参考零位关节变量q_l与控制量q^Δ、机械零位及参考零位关系如下

应用激光跟踪仪或其他测量设备测量机械臂末端点确定各轴固定轴不变量：

通过固定在机械臂末端的激光跟踪球确定固定轴不变量，当末端一个跟踪球时，每个关节转3次，测量3个点,得到两个矢量，或者末端两个跟踪球时，分别跟踪两个激光跟踪球，每个关节转动一次，得到两个矢量，然后利用精测方法确定固定轴不变量。

本发明所达到的有益效果：

本方法的方法，以自然坐标系为基础，在工程上可以精确测量固定轴不变量可以达到关节的重复精度，避免了以笛卡尔直角坐标系为参考导致的结构参数测量误差过大问题，为精密多轴机器人系统的研制奠定了基础。

本发明提出并证明了基于轴不变量的多轴系统结构参数精密测量方法，特征在于：直接应用激光跟踪仪或其他测量设备精密测量获得的基于固定轴不变量的结构参数，保证建模的准确性。

基于轴不变量的多轴系统运动学统一了四维复数及四元数的经典运动学原理；提高了多轴系统实时运动学系统的紧凑性；从而，提升了运动学系统的计算效能。

附图说明

图1自然坐标系与轴链；

图2固定轴不变量；

图3径向投影及自然零位示意图；

图4定轴转动示意图；

图5轴不变量精测原理图；

图6固定轴不变量的原点确定示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步描述。以下实施例仅用于更加清楚地说明本发明的技术方案，而不能以此来限制本发明的保护范围。

定义1自然坐标轴：称与运动轴或测量轴共轴的，具有固定原点的单位参考轴为自然坐标轴，亦称为自然参考轴。

定义2自然坐标系：如图1所示，若多轴系统D处于零位，所有笛卡尔体坐标系方向一致，且体坐标系原点位于运动轴的轴线上，则该坐标系统为自然坐标系统，简称自然坐标系。

自然坐标系优点在于：(1)坐标系统易确定；(2)零位时的关节变量为零；(3)零位时的系统姿态一致；(4)不易引入测量累积误差。

由定义2可知，在系统处于零位时，所有杆件的自然坐标系与底座或世界系的方向一致。系统处于零位即时，自然坐标系绕轴矢量转动角度将转至F^[l]；在下的坐标矢量与在F^[l]下的坐标矢量恒等，即有

由上式知，或不依赖于相邻的坐标系及F^[l]；故称或为轴不变量。在不强调不变性时，可以称之为坐标轴矢量(简称轴矢量)。或表征的是体与体l共有的参考单位坐标矢量，与参考点及O_l无关。体与体l即为杆件或轴。

轴不变量与坐标轴具有本质区别：

(1)坐标轴是具有零位及单位刻度的参考方向，可以描述沿该方向平动的位置，但不能完整描述绕该方向的转动角度，因为坐标轴自身不具有径向参考方向，即不存在表征转动的零位。在实际应用时，需要补充该轴的径向参考。例如：在笛卡尔系F^[l]中，绕lx转动，需以ly或lz为参考零位。坐标轴自身是1D的，3个正交的1D参考轴构成3D的笛卡尔标架。

(2)轴不变量是3D的空间单位参考轴，其自身就是一个标架。其自身具有径向参考轴，即参考零位。空间坐标轴及其自身的径向参考轴可以确定笛卡尔标架。空间坐标轴可以反映运动轴及测量轴的三个基本参考属性。

已有文献将无链指标的轴矢量记为并称之为欧拉轴(Euler Axis)，相应的关节角称为欧拉角(Euler Angle)。本申请之所以不再沿用欧拉轴，而称之为轴不变量，是因为轴不变量具有以下属性：

【1】给定旋转变换阵因其是实矩阵，其模是单位的，故其有一个实特征值λ₁及两个互为共轭的复特征值λ₂＝e^iφ及λ₃＝e^-iφ；其中：i为纯虚数。因此，|λ₁|·||λ₂||·||λ₃||＝1，得λ₁＝1。轴矢量是实特征值λ₁＝1对应的特征矢量，是不变量；

【2】是3D参考轴，不仅具有轴向参考方向，而且具有径向参考零位，将在3.3.1节予以阐述。

【3】在自然坐标系下：即轴不变量是非常特殊的矢量，它对时间的导数也具有不变性，且有非常优良的数学操作性能；

对轴不变量而言，其绝对导数就是其相对导数。因轴不变量是具有不变性的自然参考轴，故其绝对导数恒为零矢量。因此，轴不变量具有对时间微分的不变性。有：

【4】在自然坐标系统中，通过轴矢量及关节变量可以直接描述旋转坐标阵没有必要为除根之外的杆件建立各自的体系。同时，以唯一需要定义的根坐标系为参考，可以提高系统结构参数的测量精度；

【5】应用轴矢量的优良操作，将建立包含拓扑结构、坐标系、极性、结构参量及力学参量的完全参数化的统一的多轴系统运动学及动力学模型。

因基矢量e_l是与F^[l]固结的任一矢量，基矢量是与固结的任一矢量，又是F^[l]及共有的单位矢量，故是F^[l]及共有的基矢量。因此，轴不变量是F^[l]及共有的参考基。轴不变量是参数化的自然坐标基，是多轴系统的基元。固定轴不变量的平动与转动与其固结的坐标系的平动与转动等价。

在系统处于零位时，以自然坐标系为参考，测量得到坐标轴矢量在运动副运动时，轴矢量是不变量；轴矢量及关节变量唯一确定运动副的转动关系。

因此，应用自然坐标系统，当系统处于零位时，只需确定一个公共的参考系，而不必为系统中每一杆件确定各自的体坐标系，因为它们由轴不变量及自然坐标唯一确定。当进行系统分析时，除底座系外，与杆件固结的其它自然坐标系只发生在概念上，而与实际的测量无关。自然坐标系统对于多轴系统(MAS)理论分析及工程作用在于：

(1)系统的结构参数测量需要以统一的参考系测量；否则，不仅工程测量过程烦琐，而且引入不同的体系会引入更大的测量误差。

(2)应用自然坐标系统，除根杆件外，其它杆件的自然坐标系统由结构参量及关节变量自然确定，有助于MAS系统的运动学与动力学分析。

(3)在工程上，可以应用激光跟踪仪等光学测量设备，实现对固定轴不变量的精确测量。

(4)由于运动副R及P、螺旋副H、接触副O是圆柱副C的特例，可以应用圆柱副简化MAS运动学及动力学分析。

定义3不变量：称不依赖于一组坐标系进行度量的量为不变量。

定义4转动坐标矢量：绕坐标轴矢量转动到角位置的坐标矢量为

定义5平动坐标矢量：沿坐标轴矢量平动到线位置的坐标矢量为

定义6自然坐标：以自然坐标轴矢量为参考方向，相对系统零位的角位置或线位置，记为q_l，称为自然坐标；称与自然坐标一一映射的量为关节变量；其中：

定义7机械零位：对于运动副在初始时刻t₀时，关节绝对编码器的零位不一定为零，该零位称为机械零位；

故关节的控制量为

定义8自然运动矢量：将由自然坐标轴矢量及自然坐标q_l确定的矢量称为自然运动矢量。其中：

自然运动矢量实现了轴平动与转动的统一表达。将由自然坐标轴矢量及关节确定的矢量，例如称为自由运动矢量，亦称为自由螺旋。显然，轴矢量是特定的自由螺旋。

定义9关节空间：以关节自然坐标q_l表示的空间称为关节空间。

定义10位形空间：称表达位置及姿态(简称位姿)的笛卡尔空间为位形空间，是双矢量空间或6D空间。

定义11自然关节空间：以自然坐标系为参考，通过关节变量表示，在系统零位时必有的关节空间，称为自然关节空间。

如图2所示，给定链节原点O_l受位置矢量约束的轴矢量为固定轴矢量，记为其中：

轴矢量是关节自然坐标的自然参考轴。因是轴不变量，故称为固定轴不变量，它表征了运动副的结构关系，即确定了自然坐标轴。固定轴不变量是链节结构参数的自然描述。

定义12自然坐标轴空间：以固定轴不变量作为自然参考轴，以对应的自然坐标表示的空间称为自然坐标轴空间，简称自然轴空间。它是具有1个自由度的3D空间。

如图2所示，及不因杆件Ω_l的运动而改变，是不变的结构参考量。确定了轴l相对于轴的五个结构参数；与关节变量q_l一起，完整地表达了杆件Ω_l的6D位形。给定时，杆件固结的自然坐标系可由结构参数及关节变量唯一确定。称轴不变量固定轴不变量关节变量及为自然不变量。显然，由固定轴不变量及关节变量构成的关节自然不变量与由坐标系至F[l]确定的空间位形具有一一映射关系，即

给定多轴系统D＝{T,A,B,K,F,NT}，在系统零位时，只要建立底座系或惯性系，以及各轴上的参考点O_l，其它杆件坐标系也自然确定。本质上，只需要确定底座系或惯性系。

给定一个由运动副连接的具有闭链的结构简图，可以选定回路中任一个运动副，将组成该运动副的定子与动子分割开来；从而，获得一个无回路的树型结构，称之为Span树。T表示带方向的span树，以描述树链运动的拓扑关系。

I为结构参数；A为轴序列，F为杆件参考系序列，B为杆件体序列，K为运动副类型序列，NT为约束轴的序列即非树。为取轴序列的成员。转动副R，棱柱副P，螺旋副H，接触副O是圆柱副C的特例。

描述运动链的基本拓扑符号及操作是构成运动链拓扑符号系统的基础，定义如下：

【1】运动链由偏序集合(]标识。

【2】A^[l]为取轴序列A的成员；因轴名l具有唯一的编号对应于A^[l]的序号，故A^[l]计算复杂度为O(1)。

【3】为取轴l的父轴；轴的计算复杂度为O(1)。计算复杂度O()表示计算过程的操作次数，通常指浮点乘与加的次数。以浮点乘与加的次数表达计算复杂度非常烦琐，故常采用算法循环过程中的主要操作次数；比如：关节位姿、速度、加速度等操作的次数。

【4】为取轴序列的成员；计算复杂度为O(1)。

【5】^ll_k为取由轴l至轴k的运动链，输出表示为且基数记为|^ll_k|。^ll_k执行过程：执行若则执行否则，结束。^ll_k计算复杂度为O(|^ll_k|)。

【6】^ll为取轴l的子。该操作表示在A中找到成员l的地址k；从而，获得轴l的子A^[k]。因不具有偏序结构，故^ll的计算复杂度为

【7】^lL表示获得由轴l及其子树构成的闭子树，^l _L为不含l的子树；递归执行^ll，计算复杂度为

【8】支路、子树及非树弧的增加与删除操作也是必要的组成部分；从而，通过动态Span树及动态图描述可变拓扑结构。在支路^ll_k中，若则记 即表示在支路中取成员m的子。

定义以下表达式或表达形式：

轴与杆件具有一一对应性；轴间的属性量及杆件间的属性量具有偏序性。

约定：表示属性占位；若属性p或P是关于位置的，则应理解为坐标系的原点至F^[l]的原点；若属性p或P是关于方向的，则应理解为坐标系至F^[l]。

及应分别理解为关于时间t的函数及且及是t₀时刻的常数或常数阵列。但是正体的及应视为常数或常数阵列。

本申请中约定：在运动链符号演算系统中，具有偏序的属性变量或常量，在名称上包含表示偏序的指标；要么包含左上角及右下角指标，要么包含右上角及右下角指标；它们的方向总是由左上角指标至右下角指标，或由右上角指标至右下角指标，本申请中为叙述简便，有时省略方向的描述，即使省略，本领域技术人员通过符号表达式也可以知道，本申请中采用的各参数，对于某种属性符，它们的方向总是由偏序指标的左上角指标至右下角指标，或由右上角指标至右下角指标。例如：可简述为(表示由k至l)平动矢量；表示(由k至l的)线位置；表示(由k至l的)平动矢量；其中：r表示“平动”属性符，其余属性符对应为：属性符φ表示“转动”；属性符Q表示“旋转变换矩阵”；属性符l表示“运动链”；属性符u表示“单位矢量”；属性符w表示“角速度”；角标为i表示惯性坐标系或大地坐标系；其他角标可以为其他字母，也可以为数字。

本申请的符号规范与约定是根据运动链的偏序性、链节是运动链的基本单位这两个原则确定的，反映了运动链的本质特征。链指标表示的是连接关系，右上指标表征参考系。采用这种符号表达简洁、准确，便于交流与书面表达。同时，它们是结构化的符号系统，包含了组成各属性量的要素及关系，便于计算机处理，为计算机自动建模奠定基础。指标的含义需要通过属性符的背景即上下文进行理解；比如：若属性符是平动类型的，则左上角指标表示坐标系的原点及方向；若属性符是转动类型的，则左上角指标表示坐标系的方向。

(1)l_S－杆件l中的点S；而S表示空间中的一点S。

(2)－杆件k的原点O_k至杆件l的原点O_l的平动矢量；

在自然坐标系F^[k]下的坐标矢量，即由k至l的坐标矢量；

(3)－原点O_k至点l_S的平动矢量；

在F^[k]下的坐标矢量；

(4)－原点O_k至点S的平动矢量；

在F^[k]下的坐标矢量；

(5)－连接杆件及杆件l的运动副；

－运动副的轴矢量；

及分别在及F^[l]下的坐标矢量；是轴不变量，为一结构常数；

为转动矢量，转动矢量/角矢量是自由矢量，即该矢量可自由平移；

(6)－沿轴的线位置(平动位置)，

－绕轴的角位置，即关节角、关节变量，为标量；

(7)左下角指标为0时，表示机械零位；如：

－平动轴的机械零位，

－转动轴的机械零位；

(8)0－三维零矩阵；1－三维单位矩阵；

(9)约定：“\”表示续行符；表示属性占位；则

幂符表示的x次幂；右上角角标∧或表示分隔符；如：或为的x次幂。表示□的转置，表示对集合转置，不对成员执行转置；如：

为投影符，表示矢量或二阶张量对参考基的投影矢量或投影序列，即坐标矢量或坐标阵列，投影即是点积运算“·”；如：位置矢量在坐标系F^[k]中的投影矢量记为

为叉乘符；如：是轴不变量的叉乘矩阵；给定任一矢量的叉乘矩阵为叉乘矩阵是二阶张量。

叉乘符运算的优先级高于投影符的优先级。投影符的优先级高于成员访问符或成员访问符优先级高于幂符

(10)单位矢量在大地坐标系的投影矢量单位零位矢量

(11)－零位时由原点至原点O_l的平动矢量，且记表示位置结构参数。

(12)ⁱQ_l，相对绝对空间的旋转变换阵；

(13)以自然坐标轴矢量为参考方向，相对系统零位的角位置或线位置，记为q_l，称为自然坐标；关节变量自然关节坐标为φ_l；

(14)对于一给定有序的集合r＝[1,4,3,2]^T，记r^[x]表示取集合r的第x行元素。常记[x]、[y]、[z]及[w]表示取第1、2、3及4列元素。

(15)ⁱl_j表示由i到j的运动链；^ll_k为取由轴l至轴k的运动链；

给定运动链若n表示笛卡尔直角系，则称为笛卡尔轴链；若n表示自然参考轴，则称为自然轴链。

(16)Rodrigues四元数表达形式：

欧拉四元数表达形式：

不变量的四元数(也称为轴四元数)表达形式

1.固定轴不变量的精确测量原理

因为多轴系统的机加工及装配过程(Machining and Assembly Processes)会不可避免地导致设计结构参数(Design Structure Parameters)存在误差，所以需要解决多轴系统的工程结构参数(Engineering Structure Parameters)精确测量的问题。下面，阐述应用自动激光跟踪仪(Automatic Laser Tracking System)精确测量多轴系统的工程结构参数的方法。

在相邻自然坐标系下，相邻杆件l和的轴矢量具有相同的坐标；另一方面，轴矢量由原点指向的外侧，轴矢量由原点O_l指向O_l外侧，它们具有相同的坐标，即轴不变量具有全序关系，它的正序与逆序无区别。因此

在多轴系统理论中，因轴矢量用作关节执行器及传感器的参考轴，是系统参考规范，故式恒成立，即轴矢量是不变量。

2.基于轴不变量的零位轴系

如图3所示，给定运动副的轴矢量及具有单位长度的零位(Zero position)矢量且S位于单位球面上；称轴矢量向零位矢量方向转动90°后的单位矢量为自然零轴(Natural zero axis)矢量，记为由轴矢量及自然零轴按右手系可以确定自然径向轴(Radial axis)矢量将系统初始时刻的自然零轴及径向轴分别记为及并分别称为系统零位轴矢量及系统零位径向轴矢量。

则有：零位矢量对轴矢量投影标量即坐标为零位矢量对轴矢量投影矢量为零位矢量对零位轴矢量投影矢量为故得零位矢量的径向投影变换及系统零位投影变换分别为

轴矢量对的矩矢量(Moment Vector)为零位矢量表达为

3.基于轴不变量的定轴转动

如图4所示，给定轴矢量及与其固结的单位矢量在转动前，对于单位矢量 对系统零位轴的投影矢量为对系统径向轴的矩矢量为径向矢量为

轴矢量相对于杆件及Ω_l或自然坐标系及F^[l]是固定不变的，故称该转动为定轴转动。单位矢量绕轴转动后，转动后的零位矢量对系统零位轴的投影矢量为转动后的零位矢量对系统径向轴的矩矢量为轴向分量为故得具有链指标的Rodrigues矢量方程

因矢量是任意的且得具有链指标的Rodrigues转动方程

若由式(4)，得若即坐标系与F^[l]的方向一致，由式(4)可知：反对称部分必有因此，系统零位是自然坐标系与F^[l]重合的充分必要条件，即初始时刻的自然坐标系方向一致是系统零位定义的前提条件。利用自然坐标系可以很方便地分析MAS系统运动学和动力学。

当给定角度后，其正、余弦及其半角的正、余弦S_l、C_l均是常数；为方便表达，记

显然：是自然轴上的坐标，是系统零位轴上的坐标。固结于体自然坐标系F^[l]的单位矢量与一一映射，即等价。自然零位轴及自然坐标轴分别是四维复数空间的实轴及三个虚轴。式(4)中，右式前两项是关于角的对称矩阵，故有最后一项是关于角度的反对称矩阵，故有因此，由及唯一确定，即由矢量及标量唯一确定。

式(4)中任意项的链序保持一致。由式(4)得

同时，由式(4)得

即

式(7)表明：一方面，在相邻自然坐标系下，相邻杆件l和的轴矢量具有相同的坐标；另一方面，轴矢量由原点指向的外侧，轴矢量由O_l指向O_l外侧，它们具有相同的坐标，即轴不变量具有全序关系，它的正序与逆序无区别。因此

若由式(7)得将之代入式(4)得

即有

由式(6)及式(9)可知：对轴矢量数值取负与对关节角取逆序都可得到的逆。轴矢量是自由矢量，其方向总由坐标系原点指向的外侧；显然，数值取负与拓扑(连接)次序取反是两个不同的概念。在多轴系统理论中，因轴矢量用作关节执行器及传感器的参考轴，是系统参考规范，故式恒成立，即轴矢量是不变量。

4.定轴转动的幂零多项式

根据式(4)建立多重线性方程：

式(10)是关于和的多重线性方程，是轴不变量的二阶多项式。给定自然零位矢量作为的零位参考，则及分别表示零位矢量及径向矢量。式(10)即为对称部分表示零位轴张量，反对称部分表示径向轴张量，分别与轴向外积张量正交，从而确定三维自然轴空间；式(10)仅含一个正弦及余弦运算、6个积运算及6个和运算，计算复杂度低；同时，通过轴不变量及关节变量实现了坐标系及极性的参数化。

轴矢量具有二阶幂零特性，为一阶径向变换或一阶矩变换，具有反对称性；相应地，及分别为二阶及三阶径向变换；具有周期性。

5.固定轴不变量的精确测量方法

多轴系统D＝{T,A,B,K,F,NT}的自然关节空间是以自然坐标系统F为参考的，自然坐标系统F的原点位于关节轴线且在系统复位时坐标系方向一致。

其中：为有向Span树，A为轴序列，F为杆件参考系序列，B为杆件体序列，K为运动副类型序列，NT为约束轴的序列即非树。F为笛卡尔直角坐标系序列。为取轴序列的成员。转动副R，棱柱副P，螺旋副H，接触副O是圆柱副C的特例。

多轴系统结构参数为构型空间表示为

其中，运动副关节转动角度矢量 位置矢量；关节变量q_l；为零位时由原点至原点O_l的平动矢量；

固定轴不变量的测量如图5所示，应用激光跟踪仪测量杆件l上的测点l_S′及l_S。首先，获得轴l转动角度后的测点位置为及然后，获得轴l转动角度后的测点位置为及最后，计算得到单位位置矢量及测量过程总是由根杆件至叶杆件依次进行。

当系统处于零位时，固定轴不变量可由激光跟踪仪或3D坐标机测量得到。为零位时由原点至原点O_l的平动矢量，且记表示位置结构参数。相对公共参考系F^[i]进行固定轴不变量的测量，可以消除测量误差的累积效应。为考虑加工及装配误差，经常将测量棱镜与被测杆件l固结，通过激光跟踪仪i跟踪测量棱镜中心l_S的位置，得到对应的位置矢量从而，获得与被测杆件l固结的单位矢量

定义欧拉四元数：

设定：称为Euler-Rodrigues四元数或欧拉四元数；显然，它是模为1的四元数，又称为规范四元数。

由于四元数乘法运算可用其共轭矩阵运算替代，故有

基于双矢量的定姿四元数确定：

由初始单位矢量至目标单位矢量的姿态，等价于绕轴转动角度其中：则有双矢量姿态(Double Vector Attitude)确定过程：

由式(14)得

由式(12)，得

其中：| |用于防止数值计算时的溢出。由式(16)可知在许多软件(例如Coin3D)中，双矢量定姿算法对用户来说非常不方便，因为它们要求初始矢量至目标矢量的角度范围仅为[0,π)。由双矢量姿态确定过程表明：欧拉四元数本质上统一(Unify)了双矢量叉乘与点乘运算，表达了覆盖(-π,π]的整周(Complete Cycle)转动。

轴不变量计算过程：

首先，应用式(12)，确定及其次，因为已知量，应用式(13)得接着，将代入式(16)，得最后，由式(14)，得如图6所示，将测点l_S′及l_S的中点至轴作垂线得到的交点定义为轴的固定点O_l。S'、S、S^*为杆件l中的点。

则有

由(18)得

上式中，旋转变换阵

由式(19)得

考虑固定点O_l是中点的投影，即有

由式(10)及式(20)得

将式(21)代入式(19)得ⁱr_l，

或

由上可知，条件比正交基e_l更容易满足。该方法有助于精确测量包含加工及装配误差的轴不变量。

在工程测量时，通常由系统根部杆件开始，直至所有的叶；每测量一个杆件后，即可将之制动。选定所有杆件被制动后的状态为零位状态，由关节传感器测量的关节变量记为称为机械零位。且有

在工程测量时，也可以应用激光跟踪仪或其他测量设备测量机械臂末端点确定各轴固定轴不变通过固定在机械臂末端的激光跟踪球确定固定轴不变量，当末端一个跟踪球时，每个关节转3次，测量3个点,得到两个矢量，或者末端两个跟踪球时，分别跟踪两个激光跟踪球，每个关节转动一次，得到两个矢量，然后利用精测方法确定固定轴不变量，测量过程总是由根杆件至叶杆件依次进行。

至此，获得了系统结构参数及机械零位将多轴系统控制量记为同时，以非自然坐标系为参考的关节变量存在参考零位式(11)中的关节变量q_l与控制量q^Δ、机械零位及参考零位关系如下

多轴系统正运动学计算：给定结构参数关节变量q_l、关节速度及关节加速度完成期望的位形、速度、加速度及偏速度的计算。

由上可知，以自然坐标系为基础，工程上可以精确测量固定轴不变量可以达到关节的重复精度，避免了以笛卡尔直角坐标系为参考导致的结构参数测量误差过大问题，为精密多轴系统的研制奠定了基础。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明技术原理的前提下，还可以做出若干改进和变形，这些改进和变形也应视为本发明的保护范围。

Claims (9)

1.一种基于轴不变量的多轴机器人结构参数精测方法，其特征是，

建立多轴机器人系统D＝{T,A,B,K,F,NT}，多轴机器人系统包含杆件序列与关节序列，将树链中的关节序列转换成对应的轴序列及其父轴序列，所述轴序列的轴为平动轴或转动轴；

使用轴集合来对应描述所述多轴机器人系统，以自然坐标系为基础，自然关节空间是以自然坐标系统F为参考，自然坐标系统F的原点位于关节轴线且在系统复位时坐标系方向一致；

其中：为有向Span树，A为轴序列，F为杆件参考系序列，B为杆件体序列，K为运动副类型序列，NT为约束轴的序列即非树；F为笛卡尔直角坐标系序列；为取轴序列的成员；转动副R，棱柱副P，螺旋副H，接触副O；

通过轴不变量与轴上原点的位置矢量构成固定轴不变量，多轴系统结构参数为固定轴不变量构型空间表示为

其中，运动副 －沿轴的线位置，－绕轴的角位置；关节变量q_l；为零位时由原点至原点O_l的平动矢量；

应用激光跟踪仪或其他测量设备测量杆件l上的测点l_S′及l_S，测量过程总是由根杆件至叶杆件依次进行；

应用激光跟踪仪或其他测量设备测量机械臂末端点确定各轴固定轴不变量，测量过程总是由根杆件至叶杆件依次进行。

2.根据权利要求1所述的基于轴不变量的多轴机器人结构参数精测方法，其特征是，

测量步骤包括

首先，获得杆件l转动角度后的测点位置为及

然后，获得杆件l转动角度后的测点位置为及

最后，计算得到单位位置矢量及

3.根据权利要求1所述的基于轴不变量的多轴机器人结构参数精测方法，其特征是，

当系统处于零位时，固定轴不变量由激光跟踪仪或3D坐标机测量得到。

4.根据权利要求3所述的基于轴不变量的多轴机器人结构参数精测方法，其特征是，

为零位时由原点至原点O_l的平动矢量，且记表示位置结构参数；相对公共参考系F^[i]进行固定轴不变量的测量；

将测量棱镜与被测杆件l固结，通过激光跟踪仪i跟踪测量棱镜中心l_S的位置，得到对应的位置矢量从而，获得与被测杆件l固结的单位矢量

5.根据权利要求1所述的基于轴不变量的多轴机器人结构参数精测方法，其特征是，

轴不变量的计算步骤为：

首先，应用欧拉四元数公式确定欧拉四元数中的及

其次，将欧拉四元数乘法运算用其共轭矩阵运算替代，得

接着，根据代入式得

最后，由双矢量姿态式，得

6.根据权利要求5所述的基于轴不变量的多轴机器人结构参数精测方法，其特征是，

双矢量姿态式的确定过程为：

由初始单位矢量至目标单位矢量的姿态，等价于绕轴转动角度其中：则有双矢量姿态式为：

由上式得

其中：| |用于防止数值计算时的溢出。

7.根据权利要求4所述的基于轴不变量的多轴机器人结构参数精测方法，其特征是，

确定固定轴不变量原点过程为：

将测点l_S′及l_S的中点l_S*至轴作垂线得到的交点定义为轴的固定点O_l；S'、S、S*为杆件l中的点；则有

由(18)得

上式中，旋转变换阵

由式(19)得

考虑固定点O_l是中点l_S*的投影，即有

由及式(20)得

将式(21)代入式(19)得ⁱr_l，

或

由上可知，条件比正交基e_l更容易满足；该方法有助于精确测量包含加工及装配误差的轴不变量。

8.根据权利要求1所述的基于轴不变量的多轴机器人结构参数精测方法，其特征是，

工程测量时，由系统根部杆件开始，直至所有的叶；每测量一个杆件后，即将其制动；选定所有杆件被制动后的状态为零位状态，由关节传感器测量的关节变量记为称为机械零位；且有

至此，获得了系统结构参数固定轴不变量及机械零位将多轴系统控制量记为同时，以非自然坐标系为参考的关节变量存在参考零位关节变量q_l与控制量q^Δ、机械零位及参考零位关系如下

9.根据权利要求1所述的基于轴不变量的多轴机器人结构参数精测方法，其特征是，

应用激光跟踪仪或其他测量设备测量机械臂末端点确定各轴固定轴不变量：

通过固定在机械臂末端的激光跟踪球确定固定轴不变量，当末端一个跟踪球时，每个关节转3次，测量3个点,得到两个矢量，或者末端两个跟踪球时，分别跟踪两个激光跟踪球，每个关节转动一次，得到两个矢量，然后利用精测方法确定固定轴不变量。