CN108959829B - 基于轴不变量的非理想关节机器人动力学建模方法 - Google Patents

基于轴不变量的非理想关节机器人动力学建模方法 Download PDF

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CN108959829B CN201810933654.8A CN201810933654A CN108959829B CN 108959829 B CN108959829 B CN 108959829B CN 201810933654 A CN201810933654 A CN 201810933654A CN 108959829 B CN108959829 B CN 108959829B
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Abstract

本发明公开了一种基于轴不变量的非理想关节机器人动力学与解算方法，对于非理想约束系统，建立了闭链刚体非理想约束系统的Ju‑Kane动力学方程。以关节空间自然轴链为基础的Ju‑Kane闭链刚体动力学克服了笛卡尔坐标轴链空间的局限：在基于笛卡尔坐标轴链的牛顿欧拉动力学中，非树运动副约束不能表达如齿条与齿轮、蜗轮与蜗杆等约束。而本申请的非树约束副的约束代数方程式可表达任一种约束类形，并且物理内涵明晰；降低了系统方程求解的复杂度；保证了约束方程的准确性。

Description

基于轴不变量的非理想关节机器人动力学建模方法
技术领域
本发明涉及一种非理想关节机器人动力学建模与解算方法，属于机器人技术领域。
背景技术
拉格朗日在研究月球天平动问题时提出了拉格朗日方法，是以广义坐标表达动力学方程的基本方法；同时，也是描述量子场论的基本方法。应用拉格朗日法建立动力学方程已是一个烦琐的过程，尽管拉格朗日方程依据系统能量的不变性推导系统的动力学方程，具有理论分析上的优势；但是在工程应用中，随着系统自由度的增加，方程推导的复杂性剧增，难以得到普遍应用。凯恩方程建立过程与拉格朗日方程相比，通过系统的偏速度、速度及加速度直接表达动力学方程。故凯恩动力学方法与拉格朗日方法相比，由于省去了系统能量的表达及对时间的求导过程，极大地降低了系统建模的难度。然而，对于高自由度的系统，凯恩动力学建模方法也是难以适用。
拉格朗日方程及凯恩方程极大地推动了多体动力学的研究，以空间算子代数为基础的动力学由于应用了迭代式的过程，计算速度及精度都有了一定程度的提高。这些动力学方法无论是运动学过程还是动力学过程都需要在体空间、体子空间、系统空间及系统子空间中进行复杂的变换，建模过程及模型表达非常复杂，难以满足高自由度系统建模与控制的需求，因此，需要建立动力学模型的简洁表达式；既要保证建模的准确性，又要保证建模的实时性。没有简洁的动力学表达式，就难以保证高自由度系统动力学工程实现的可靠性与准确性。同时，传统非结构化运动学及动力学符号通过注释约定符号内涵，无法被计算机理解，导致计算机不能自主地建立及分析运动学及动力学模型。
发明内容
本发明所要解决的技术问题是提供一种基于轴不变量的非理想关节机器人动力学建模与解算方法。
为解决上述技术问题，本发明采用以下技术方案：
一种基于轴不变量的非理想关节机器人动力学建模方法，其特征是，
给定多轴刚体系统D＝{A,K,T,NT,F,B}，惯性系记为F[i]，
Figure GDA0002358379840000011
除了重力外，作用于轴u的合外力及力矩在
Figure GDA0002358379840000012
上的分量分别记为
Figure GDA0002358379840000013
及
Figure GDA0002358379840000014
轴k的质量及质心转动惯量分别记为mk及
Figure GDA0002358379840000015
轴k的重力加速度为
Figure GDA0002358379840000016
驱动轴u的双边驱动力及驱动力矩在
Figure GDA0002358379840000017
上的分量分别记为
Figure GDA0002358379840000018
及
Figure GDA0002358379840000019
环境i对轴l的作用力及作用力矩分别为
Figure GDA00023583798400000110
及iτl；轴u对轴u′的广义约束力记为
Figure GDA00023583798400000111
设运动轴u的广义内摩擦及粘滞的合力及合力矩分别为
Figure GDA00023583798400000112
根据建立的闭链刚体系统的Ju-Kane动力学方程，计算关节加速度
Figure GDA00023583798400000113
后，计算径向约束力大小
Figure GDA00023583798400000114
及
Figure GDA00023583798400000115
约束力矩大小
Figure GDA00023583798400000116
及
Figure GDA00023583798400000117
再建立如下闭链刚体非理想约束系统的Ju-Kane动力学方程：
【1】轴u及轴u′的Ju-Kane动力学规范方程分别为
Figure GDA0002358379840000021
Figure GDA0002358379840000022
式中：
Figure GDA0002358379840000023
及
Figure GDA0002358379840000024
是3×3的分块矩阵，
Figure GDA0002358379840000025
及
Figure GDA0002358379840000026
是3D矢量；
Figure GDA0002358379840000027
为转动轴u的惯性矩阵；
Figure GDA0002358379840000028
为平动轴u的惯性矩阵；hR为转动轴u的非惯性矩阵；hP为平动轴u的非惯性矩阵；
【2】非树约束副uku′的约束代数方程为
Figure GDA0002358379840000029
Figure GDA00023583798400000210
Figure GDA00023583798400000211
Figure GDA00023583798400000212
闭链刚体系统的Ju-Kane动力学方程：
【1】轴u及轴u′的Ju-Kane动力学规范方程分别为
Figure GDA00023583798400000213
Figure GDA00023583798400000214
其中：
Figure GDA00023583798400000215
及
Figure GDA00023583798400000216
是3×3的分块矩阵，
Figure GDA00023583798400000217
及
Figure GDA00023583798400000218
是3D矢量；kI表示杆k质心I；轴k的质量及质心转动惯量分别记为mk及
Figure GDA00023583798400000219
Figure GDA00023583798400000220
为转动轴u的惯性矩阵；
Figure GDA00023583798400000221
为平动轴u的惯性矩阵；hR为转动轴u的非惯性力；hP为平动轴u的非惯性力。
【2】非树约束副uku′的约束代数方程为
Figure GDA00023583798400000222
Figure GDA00023583798400000223
Figure GDA00023583798400000224
Figure GDA00023583798400000225
其中：
Figure GDA00023583798400000226
Figure GDA00023583798400000227
Figure GDA00023583798400000228
Figure GDA00023583798400000229
Figure GDA00023583798400000230
式中：
Figure GDA0002358379840000031
及
Figure GDA0002358379840000032
是3×3的分块矩阵，
Figure GDA0002358379840000033
及
Figure GDA0002358379840000034
是3D矢量；kI表示杆k质心I；轴k的质量及质心转动惯量分别记为mk及
Figure GDA0002358379840000035
Figure GDA0002358379840000036
为转动轴u的惯性矩阵；
Figure GDA0002358379840000037
为平动轴u的惯性矩阵；hR为转动轴u的非惯性矩阵；hP为平动轴u的非惯性矩阵；
Figure GDA0002358379840000038
为平动关节角速度；
Figure GDA0002358379840000039
为转动关节角速度。
应用式(129)至式(134)计算径向约束力大小
Figure GDA00023583798400000310
及
Figure GDA00023583798400000311
约束力矩大小
Figure GDA00023583798400000312
及
Figure GDA00023583798400000313
对于无功率损耗的运动轴u，记其约束力及约束力矩矢量分别为
Figure GDA00023583798400000314
则有
Figure GDA00023583798400000315
上式表示运动轴矢量与运动轴约束力具有自然正交补的关系；
若
Figure GDA00023583798400000316
及
Figure GDA00023583798400000317
为运动副
Figure GDA00023583798400000318
的两个正交约束轴，且约束轴与运动轴正交，即
Figure GDA00023583798400000319
记
Figure GDA00023583798400000320
为约束轴轴矢量，有
Figure GDA00023583798400000321
其中：
Figure GDA00023583798400000322
Figure GDA00023583798400000323
由式(130)得到关节约束力大小
Figure GDA00023583798400000324
及
Figure GDA00023583798400000325
约束力矩大小
Figure GDA00023583798400000326
及
Figure GDA00023583798400000327
若记运动轴径向力矢量
Figure GDA00023583798400000328
及力矩矢量
Figure GDA00023583798400000329
则有
Figure GDA00023583798400000330
若记运动轴径向力大小为
Figure GDA00023583798400000331
及力矩大小为
Figure GDA00023583798400000332
由式(133)得
Figure GDA00023583798400000333
至此，完成了轴径向约束广义力的计算。
由式(130)至式(134)计算运动轴u的径向约束力大小
Figure GDA00023583798400000334
及约束力矩大小
Figure GDA00023583798400000335
时，不考虑运动轴的广义内摩擦力及粘滞力。
考虑广义内摩擦力及粘滞力的基于轴不变量的约束力求解步骤为：
在完成轴径向约束广义力的计算后，得到运动轴u的径向约束力大小
Figure GDA00023583798400000336
及约束力矩大小
Figure GDA00023583798400000337
记运动轴u的内摩擦力大小及内摩擦力矩大小分别为
Figure GDA00023583798400000338
及
Figure GDA00023583798400000339
运动轴u的粘滞力及粘滞力矩大小分别为
Figure GDA00023583798400000340
及
Figure GDA00023583798400000341
则
Figure GDA0002358379840000041
Figure GDA0002358379840000042
其中：sk[u]─运动轴u的内摩擦系数，ck[u]─运动轴u的粘滞系数；sign()表示取正或负符号；
记广义内摩擦力及粘滞力的合力及合力矩分别为
Figure GDA0002358379840000043
由式(140)及式(141)得
Figure GDA0002358379840000044
闭链刚体系统的Ju-Kane动力学方程根据树链Ju-Kane规范型方程建立。
树链Ju-Kane规范型方程
Figure GDA0002358379840000045
其中：
Figure GDA0002358379840000046
及
Figure GDA0002358379840000047
是3×3的分块矩阵，
Figure GDA0002358379840000048
及
Figure GDA0002358379840000049
是3D矢量；
Figure GDA00023583798400000410
为轴u的合外力在
Figure GDA00023583798400000411
上的分量，
Figure GDA00023583798400000412
为轴u的合力矩在
Figure GDA00023583798400000413
上的分量；
并且，
Figure GDA00023583798400000414
Figure GDA00023583798400000415
Figure GDA00023583798400000416
Figure GDA00023583798400000417
Figure GDA0002358379840000051
Figure GDA0002358379840000052
式中，kI表示杆k质心I；轴k的质量及质心转动惯量分别记为mk及
Figure GDA0002358379840000053
Figure GDA0002358379840000054
为转动轴u的惯性矩阵；
Figure GDA0002358379840000055
为平动轴u的惯性矩阵；hR为转动轴u的非惯性矩阵；hP为平动轴u的非惯性矩阵；作用于轴u的合外力及力矩在
Figure GDA0002358379840000056
上的分量分别记为
Figure GDA0002358379840000057
及
Figure GDA0002358379840000058
Figure GDA0002358379840000059
作用于轴u的合外力及力矩在
Figure GDA00023583798400000510
上的分量分别记为
Figure GDA00023583798400000511
及
Figure GDA00023583798400000512
驱动轴u的双边驱动力及驱动力矩在
Figure GDA00023583798400000513
上的分量分别记为
Figure GDA00023583798400000514
及
Figure GDA00023583798400000515
环境i对轴l的作用力及作用力矩分别为
Figure GDA00023583798400000516
及itl；llk为取由轴l至轴k的运动链，uL表示获得由轴u及其子树构成的闭子树。
本发明所达到的有益效果：
对于非理想约束系统，建立了闭链刚体非理想约束系统的Ju-Kane动力学方程。
【1】在基于笛卡尔坐标轴链的牛顿欧拉动力学中，非树运动副uku′∈P约束不能表达齿条与齿轮、蜗轮与蜗杆等约束。而本申请建立的非树约束副uku′的约束代数方程可表达任一种约束类形，并且物理内涵明晰；
【2】在基于笛卡尔坐标轴链的牛顿欧拉动力学当中，非树运动副代数约束方程是6D的；而本申请建立的非树约束副的约束代数方程表示是3D非树运动副代数约束方程，从而降低了系统方程求解的复杂度；
【3】在基于笛卡尔坐标轴链的牛顿欧拉动力学当中，非树运动副代数约束方程是关于6D矢量空间绝对加速度的，是关于关节坐标、关节速度的迭代式，具有累积误差；而本申请建立的非树约束副的约束代数方程是关于关节加速度的，保证了约束方程的准确性。
附图说明
图1自然坐标系与轴链；
图2固定轴不变量；
图3、图4为运动轴的内摩擦力及粘滞力示意图。
具体实施方式
下面对本发明作进一步描述。以下实施例仅用于更加清楚地说明本发明的技术方案，而不能以此来限制本发明的保护范围。
闭链刚体系统具有非常广泛的应用；比如，CE3巡视器的摇臂移动系统是具有差速器的闭链，重载机械臂通常是具有四连杆的闭链系统。同时，实际的运动轴通常包含内摩擦力及粘滞力。因此研究闭链刚体系统的Ju-Kane动力学建模非常必要。
描述运动链的基本拓扑符号及操作是构成运动链拓扑符号系统的基础，定义如下：
【1】运动链由偏序集合(]标识。
【2】A[l]为取轴序列A的成员；因轴名l具有唯一的编号对应于A[l]的序号，故A[l]计算复杂度为O(1)。
【3】
Figure GDA0002358379840000061
为取轴l的父轴；由式
Figure GDA0002358379840000062
可知，
Figure GDA0002358379840000063
计算复杂度为O(1)。
【4】
Figure GDA0002358379840000064
为取轴序列
Figure GDA00023583798400000619
的成员；由式
Figure GDA0002358379840000065
可知，故
Figure GDA0002358379840000066
计算复杂度为O(1)。
【5】llk为取由轴l至轴k的运动链，输出表示为
Figure GDA0002358379840000067
且
Figure GDA0002358379840000068
基数记为|llk|。llk执行过程：执行
Figure GDA0002358379840000069
若
Figure GDA00023583798400000610
则执行
Figure GDA00023583798400000611
否则，结束。llk计算复杂度为O(|llk|)。
【6】ll为取轴l的子。该操作表示在
Figure GDA00023583798400000612
中找到成员l的地址k；从而，获得轴l的子A[k]。因
Figure GDA00023583798400000613
不具有偏序结构，故ll的计算复杂度为
Figure GDA00023583798400000614
【7】lL表示获得由轴l及其子树构成的闭子树， l L为不含l的子树；递归执行ll，计算复杂度为
Figure GDA00023583798400000615
【8】支路、子树及非树弧的增加与删除操作也是必要的组成部分；从而，通过动态Span树及动态图描述可变拓扑结构。在支路llk中，若
Figure GDA00023583798400000616
则记
Figure GDA00023583798400000617
即
Figure GDA00023583798400000618
表示在支路中取成员m的子。
计算复杂度O()表示计算过程的操作次数，通常指浮点乘与加的次数。以浮点乘与加的次数表达计算复杂度非常烦琐，故常采用算法循环过程中的主要操作次数；比如：关节位姿、速度、加速度等操作的次数。
定义1自然坐标轴：称与运动轴或测量轴共轴的，具有固定原点的单位参考轴为自然坐标轴，亦称为自然参考轴。
定义2自然坐标系：若多轴系统D处于零位，所有笛卡尔体坐标系方向一致，且体坐标系原点位于运动轴的轴线上，则该坐标系统为自然坐标系统，简称自然坐标系。
自然坐标系优点在于：(1)坐标系统易确定；(2)零位时的关节变量为零；(3)零位时的系统姿态一致；(4)不易引入测量累积误差。
定义3不变量：称不依赖于一组坐标系进行度量的量为不变量。
由定义2可知，在系统处于零位时，所有杆件的自然坐标系与底座或世界系的方向一致。系统处于零位即
Figure GDA0002358379840000071
时，自然坐标系
Figure GDA0002358379840000072
绕轴矢量
Figure GDA0002358379840000073
转动角度
Figure GDA0002358379840000074
将
Figure GDA0002358379840000075
转至F[l]；
Figure GDA0002358379840000076
在
Figure GDA0002358379840000077
下的坐标矢量与
Figure GDA0002358379840000078
在F[l]下的坐标矢量
Figure GDA0002358379840000079
恒等，即有
Figure GDA00023583798400000710
由上式知，
Figure GDA00023583798400000711
或
Figure GDA00023583798400000712
不依赖于相邻的坐标系
Figure GDA00023583798400000713
及F[l]；故称
Figure GDA00023583798400000714
或
Figure GDA00023583798400000715
为轴不变量。在不强调不变性时，可以称之为坐标轴矢量(简称轴矢量)。
Figure GDA00023583798400000716
或
Figure GDA00023583798400000717
表征的是体
Figure GDA00023583798400000718
与体l共有的参考单位坐标矢量，与参考点
Figure GDA00023583798400000719
及Ol无关。
对轴不变量而言，其绝对导数就是其相对导数。因轴不变量是具有不变性的自然参考轴，故其绝对导数恒为零矢量。因此，轴不变量具有对时间微分的不变性。有：
Figure GDA00023583798400000720
定义4转动坐标矢量：绕坐标轴矢量
Figure GDA00023583798400000721
转动到角位置
Figure GDA00023583798400000722
的坐标矢量
Figure GDA00023583798400000723
为
Figure GDA00023583798400000724
if
Figure GDA00023583798400000725
定义5平动坐标矢量：沿坐标轴矢量
Figure GDA00023583798400000726
平动到线位置
Figure GDA00023583798400000727
的坐标矢量
Figure GDA00023583798400000728
为
Figure GDA00023583798400000729
if
Figure GDA00023583798400000730
定义6自然坐标：以自然坐标轴矢量为参考方向，相对系统零位的角位置或线位置，记为ql，称为自然坐标；称与自然坐标一一映射的量为关节变量；其中：
Figure GDA00023583798400000731
定义7机械零位：对于运动副
Figure GDA00023583798400000732
在初始时刻t0时，关节绝对编码器的零位
Figure GDA00023583798400000733
不一定为零，该零位称为机械零位；
故关节
Figure GDA00023583798400000734
的控制量
Figure GDA00023583798400000735
为
Figure GDA0002358379840000081
定义8自然运动矢量：将由自然坐标轴矢量
Figure GDA0002358379840000082
及自然坐标ql确定的矢量
Figure GDA0002358379840000083
称为自然运动矢量。
其中：
Figure GDA0002358379840000084
自然运动矢量实现了轴平动与转动的统一表达。将由自然坐标轴矢量及关节确定的矢量，例如
Figure GDA0002358379840000085
称为自由运动矢量，亦称为自由螺旋。显然，轴矢量
Figure GDA0002358379840000086
是特定的自由螺旋。
定义9关节空间：以关节自然坐标ql表示的空间称为关节空间。
定义10位形空间：称表达位置及姿态(简称位姿)的笛卡尔空间为位形空间，是双矢量空间或6D空间。
定义11自然关节空间：以自然坐标系为参考，通过关节变量
Figure GDA0002358379840000087
表示，在系统零位时必有
Figure GDA0002358379840000088
的关节空间，称为自然关节空间。
给定多轴系统D＝{T,A,B,K,F,NT}，在系统零位时，只要建立底座系或惯性系，以及各轴上的参考点Ol，其它杆件坐标系也自然确定。本质上，只需要确定底座系或惯性系。
给定一个由运动副连接的具有闭链的结构简图，可以选定回路中任一个运动副，将组成该运动副的定子与动子分割开来；从而，获得一个无回路的树型结构，称之为Span树。T表示带方向的span树，以描述树链运动的拓扑关系。
I为结构参数；A为轴序列，F为杆件参考系序列，B为杆件体序列，K为运动副类型序列，NT为约束轴的序列即非树。
Figure GDA0002358379840000089
为取轴序列
Figure GDA00023583798400000810
的成员。转动副R，棱柱副P，螺旋副H，接触副O是圆柱副C的特例。
定义以下表达式或表达形式：
轴与杆件具有一一对应性；轴间的属性量
Figure GDA00023583798400000811
及杆件间的属性量
Figure GDA00023583798400000812
具有偏序性。
约定：“□”表示属性占位；若属性p或P是关于位置的，则
Figure GDA00023583798400000813
应理解为坐标系
Figure GDA00023583798400000814
的原点至F[l]的原点；若属性p或P是关于方向的，则
Figure GDA00023583798400000815
应理解为坐标系
Figure GDA00023583798400000816
至F[l]。
Figure GDA00023583798400000817
及
Figure GDA00023583798400000818
应分别理解为关于时间t的函数
Figure GDA00023583798400000819
及
Figure GDA00023583798400000820
且
Figure GDA00023583798400000821
及
Figure GDA00023583798400000822
是t0时刻的常数或常数阵列。但是正体的
Figure GDA00023583798400000823
及
Figure GDA00023583798400000824
应视为常数或常数阵列。
本申请中约定：在运动链符号演算系统中，具有偏序的属性变量或常量，在名称上包含表示偏序的指标；要么包含左上角及右下角指标，要么包含右上角及右下角指标；它们的方向总是由左上角指标至右下角指标，或由右上角指标至右下角指标，本申请中为叙述简便，有时省略方向的描述，即使省略，本领域技术人员通过符号表达式也可以知道，本申请中采用的各参数，对于某种属性符，它们的方向总是由偏序指标的左上角指标至右下角指标，或由右上角指标至右下角指标。例如：
Figure GDA0002358379840000091
可简述为(表示由k至l)平动矢量；
Figure GDA0002358379840000092
表示(由k至l的)线位置；krl表示(由k至l的)平动矢量；其中：r表示“平动”属性符，其余属性符对应为：属性符φ表示“转动”；属性符Q表示“旋转变换矩阵”；属性符l表示“运动链”；属性符u表示“单位矢量”；属性符ω表示“角速度”；属性符J表示质心转动惯量；J表示偏速度雅克比矩阵；角标为i表示惯性坐标系或大地坐标系；其他角标可以为其他字母，也可以为数字。
本申请的符号规范与约定是根据运动链的偏序性、链节是运动链的基本单位这两个原则确定的，反映了运动链的本质特征。链指标表示的是连接关系，右上指标表征参考系。采用这种符号表达简洁、准确，便于交流与书面表达。同时，它们是结构化的符号系统，包含了组成各属性量的要素及关系，便于计算机处理，为计算机自动建模奠定基础。指标的含义需要通过属性符的背景即上下文进行理解；比如：若属性符是平动类型的，则左上角指标表示坐标系的原点及方向；若属性符是转动类型的，则左上角指标表示坐标系的方向。
(1)lS－杆件l中的点S；而S表示空间中的一点S。
(2)
Figure GDA0002358379840000093
－杆件k的原点Ok至杆件l的原点Ol的平动矢量；
Figure GDA0002358379840000094
在自然坐标系F[k]下的坐标矢量，即由k至l的坐标矢量；
(3)
Figure GDA0002358379840000095
－原点Ok至点lS的平动矢量；
Figure GDA0002358379840000096
在F[k]下的坐标矢量；
(4)
Figure GDA0002358379840000097
－原点Ok至点S的平动矢量；
Figure GDA0002358379840000098
－
Figure GDA0002358379840000099
在F[k]下的坐标矢量；
(5)
Figure GDA00023583798400000910
－连接杆件
Figure GDA00023583798400000911
及杆件l的运动副；
Figure GDA00023583798400000912
－运动副
Figure GDA00023583798400000913
的轴矢量；
Figure GDA00023583798400000914
及
Figure GDA00023583798400000915
分别在
Figure GDA00023583798400000916
及F[l]下的坐标矢量；
Figure GDA00023583798400000917
是轴不变量，为一结构常数；
Figure GDA00023583798400000918
为转动矢量，转动矢量/角矢量
Figure GDA00023583798400000919
是自由矢量，即该矢量可自由平移；
(6)
Figure GDA0002358379840000101
－沿轴
Figure GDA0002358379840000102
的线位置(平动位置)，
Figure GDA0002358379840000103
－绕轴
Figure GDA0002358379840000104
的角位置，即关节角、关节变量，为标量；
(7)左下角指标为0时，表示机械零位；如：
Figure GDA0002358379840000105
-平动轴
Figure GDA0002358379840000106
的机械零位，
Figure GDA0002358379840000107
－转动轴
Figure GDA0002358379840000108
的机械零位；
(8)0－三维零矩阵；03＝[0 0 0]T；1－三维单位矩阵；
(9)约定：“\”表示续行符；“□”表示属性占位；则
幂符
Figure GDA0002358379840000109
表示□的x次幂；右上角角标∧或
Figure GDA00023583798400001010
表示分隔符；如：
Figure GDA00023583798400001011
或
Figure GDA00023583798400001012
为
Figure GDA00023583798400001013
的x次幂。
[□]T表示□的转置，表示对集合转置，不对成员执行转置；如：
Figure GDA00023583798400001014
|□为投影符，表示矢量或二阶张量对参考基的投影矢量或投影序列，即坐标矢量或坐标阵列，投影即是点积运算“·”；如：位置矢量
Figure GDA00023583798400001015
在坐标系F[k]中的投影矢量记为
Figure GDA00023583798400001016
Figure GDA00023583798400001017
为叉乘符；如：
Figure GDA00023583798400001018
是轴不变量
Figure GDA00023583798400001019
的叉乘矩阵；给定任一矢量
Figure GDA00023583798400001020
的叉乘矩阵为
Figure GDA00023583798400001021
叉乘矩阵是二阶张量。
叉乘符运算的优先级高于投影符|□的优先级。投影符|□的优先级高于成员访问符□[□]或□[□]，成员访问符□[□]优先级高于幂符
Figure GDA00023583798400001022
(10)单位矢量在大地坐标系的投影矢量
Figure GDA00023583798400001023
单位零位矢量
Figure GDA00023583798400001024
(11)
Figure GDA00023583798400001025
－零位时由原点
Figure GDA00023583798400001026
至原点Ol的平动矢量，且记
Figure GDA00023583798400001027
表示位置结构参数。
(12)iQl，相对绝对空间的旋转变换阵；
(13)以自然坐标轴矢量为参考方向，相对系统零位的角位置或线位置，记为ql，称为自然坐标；关节变量
Figure GDA00023583798400001028
自然关节坐标为φl；
(14)对于一给定有序的集合r＝[1,4,3,2]T，记r[x]表示取集合r的第x行元素。常记[x]、[y]、[z]及[w]表示取第1、2、3及4列元素。
(15)ilj表示由i到j的运动链；llk为取由轴l至轴k的运动链；
给定运动链
Figure GDA0002358379840000111
若n表示笛卡尔直角系，则称
Figure GDA0002358379840000112
为笛卡尔轴链；若n表示自然参考轴，则称
Figure GDA0002358379840000113
为自然轴链。
1.建立多轴系统的拉格朗日方程
应用链符号系统建立关节空间的拉格朗日方程，考虑质点动力学系统D＝{A,K,T,NT,F,B}，首先根据牛顿力学推导自由质点
Figure GDA0002358379840000114
的拉格朗日方程；然后，推广至受约束的质点系统。
保守力
Figure GDA0002358379840000115
相对质点惯性力
Figure GDA0002358379840000116
具有相同的链序，即
Figure GDA0002358379840000117
具有正序，质点
Figure GDA0002358379840000118
的合力为零。质点
Figure GDA0002358379840000119
的能量记为
Figure GDA00023583798400001110
根据广义坐标序列
Figure GDA00023583798400001111
与笛卡尔空间位置矢量序列
Figure GDA00023583798400001112
关系
Figure GDA00023583798400001113
得
Figure GDA00023583798400001114
式(2)应用系统的能量及广义坐标建立系统的方程。关节变量
Figure GDA00023583798400001115
与坐标矢量irl的关系如式(1)所示，称式(1)为关节空间与笛卡尔空间的点变换。
保守力与惯性力具有相反的链序。拉格朗日系统内的约束既可以是质点间的固结约束，又可以是质点系统间的运动约束；刚体自身是质点系统
Figure GDA00023583798400001116
质点能量具有可加性；刚体动能量由质心平动动能及转动动能组成。下面，就以简单运动副R/P分别建立拉格朗日方程，为后续进一步推出新的动力学理论奠定基础。
给定刚体多轴系统D＝{A,K,T,NT,F,B}，惯性空间记为i，
Figure GDA00023583798400001117
轴l的能量记为
Figure GDA00023583798400001118
其中平动动能为
Figure GDA00023583798400001119
转动动能为
Figure GDA00023583798400001120
引力势能为
Figure GDA00023583798400001121
轴l受除引力外的外部合力及合力矩分别为Dfl及Dτl；轴l的质量及质心转动惯量分别为ml及
Figure GDA00023583798400001122
轴u的单位轴不变量为
Figure GDA00023583798400001123
环境i作用于lI的惯性加速度记为
Figure GDA00023583798400001124
重力加速度
Figure GDA00023583798400001125
链序由i至lI；
Figure GDA00023583798400001126
链序由lI至i；且有
Figure GDA00023583798400001127
【1】系统能量
动力学系统D能量
Figure GDA0002358379840000121
表达为
Figure GDA0002358379840000122
其中：
Figure GDA0002358379840000123
【2】多轴系统拉格朗日方程
由式(2)得多轴系统拉格朗日方程，
Figure GDA0002358379840000124
式(6)为轴u的控制方程，即在轴不变量
Figure GDA0002358379840000125
上的力平衡方程；
Figure GDA0002358379840000126
是合力
Figure GDA0002358379840000127
在
Figure GDA0002358379840000128
上的分量，
Figure GDA0002358379840000129
是合力矩
Figure GDA00023583798400001210
在
Figure GDA00023583798400001211
上的分量。
2.建立Ju-Kane动力学预备方程：
基于多轴系统拉格朗日方程(6)推导居―凯恩(Ju-Kane)动力学预备定理。先进行拉格朗日方程与凯恩方程的等价性证明；然后，计算能量对关节速度及坐标的偏速度，再对时间求导，最后给出Ju-Kane动力学预备定理。
【1】拉格朗日方程与凯恩方程的等价性证明
Figure GDA00023583798400001212
证明：考虑刚体k平动动能对
Figure GDA00023583798400001213
的偏速度对时间的导数得
Figure GDA0002358379840000131
考虑刚体k转动动能对
Figure GDA0002358379840000132
的偏速度对时间的导数得
Figure GDA0002358379840000133
证毕。
因
Figure GDA0002358379840000134
与
Figure GDA0002358379840000135
不相关，由式(7)及多轴系统拉格朗日方程(6)得
Figure GDA0002358379840000136
动力学系统D的平动动能及转动动能分别表示为
Figure GDA0002358379840000137
考虑式(4)及式(5)，即有
Figure GDA0002358379840000141
式(7)及式(8)是居―凯恩动力学预备定理证明的依据，即居―凯恩动力学预备定理本质上与拉格朗日法是等价的。同时，式(8)右侧包含了多轴系统凯恩方程；表明拉格朗日法与凯恩法的惯性力计算是一致的，即拉格朗日法与凯恩法也是等价的。式(8)表明：在拉格朗日方程(4)中存在
Figure GDA0002358379840000142
重复计算的问题。
【2】能量对关节速度及坐标的偏速度
【2-1】若
Figure GDA0002358379840000143
并考虑
Figure GDA0002358379840000144
Figure GDA0002358379840000145
及
Figure GDA0002358379840000146
仅与闭子树uL相关，由式(4)及式(5)，得
Figure GDA0002358379840000147
Figure GDA0002358379840000148
Figure GDA0002358379840000149
【2-2】若
Figure GDA00023583798400001410
并考虑
Figure GDA00023583798400001411
Figure GDA00023583798400001412
及
Figure GDA00023583798400001413
仅与闭子树uL相关，由式(4)及式(5)，得
Figure GDA00023583798400001414
Figure GDA00023583798400001415
Figure GDA00023583798400001416
至此，已完成能量对关节速度及坐标的偏速度计算。
【3】求对时间的导数
【3-1】若
Figure GDA00023583798400001417
由式(7)、式(9)及式(10)得
Figure GDA0002358379840000151
【3-2】若
Figure GDA0002358379840000152
由式(7)、式(12)及式(13)得
Figure GDA0002358379840000153
至此，已完成对时间t的求导。
【4】Ju-Kane动力学预备定理
将式(11)、式(14)、式(15)及式(16)代入式(8)，
给定多轴刚体系统D＝{A,K,T,NT,F,B}，惯性系记为F[i]，
Figure GDA0002358379840000154
除了重力外，作用于轴u的合外力及力矩分别记为
Figure GDA0002358379840000155
及
Figure GDA0002358379840000156
轴k的质量及质心转动惯量分别记为mk及
Figure GDA0002358379840000157
轴k的重力加速度为
Figure GDA0002358379840000158
则轴u的Ju-Kane动力学预备方程为
Figure GDA0002358379840000159
式(17)具有了树链拓扑结构。kI表示杆k质心I。因闭子树uL中的广义力具有可加性；因此闭子树的节点有唯一一条至根的运动链，因此运动链iln可以被运动链uL替换。
下面，针对Ju-Kane动力学预备方程，解决式(17)右侧Dfk及Dτk的计算问题，从而建立树链刚体系统Ju-Kane动力学方程。
3.建立树链刚体系统Ju-Kane动力学模型
给定轴链
Figure GDA00023583798400001510
k∈iln，有以下偏速度计算公式：
Figure GDA0002358379840000161
Figure GDA0002358379840000162
Figure GDA0002358379840000163
对给定轴链
Figure GDA0002358379840000164
|ill|≥2，有以下加速度迭代式：
Figure GDA0002358379840000165
左序叉乘与转置的关系为：
Figure GDA0002358379840000166
根据运动学迭代式，有：
Figure GDA0002358379840000167
Figure GDA0002358379840000168
3.1外力反向迭代
给定由环境i中施力点iS至轴l上点lS的双边外力
Figure GDA0002358379840000169
及外力矩iτl，它们的瞬时轴功率pex表示为
Figure GDA00023583798400001610
其中：
Figure GDA00023583798400001611
及iτl不受
Figure GDA00023583798400001612
及
Figure GDA00023583798400001613
控制，即
Figure GDA00023583798400001614
及iτl不依赖于
Figure GDA00023583798400001615
及
Figure GDA00023583798400001616
【1】若k∈ill，则有
Figure GDA00023583798400001617
由式(19)及式(18)得
Figure GDA0002358379840000171
即
Figure GDA0002358379840000172
式(26)中
Figure GDA0002358379840000173
与式(21)中
Figure GDA0002358379840000174
的链序不同；前者是作用力，后者是运动量，二者是对偶的，具有相反的序。
【2】若k∈ill，则有
Figure GDA0002358379840000175
由式(22)及式(25)得
Figure GDA0002358379840000176
即有
Figure GDA0002358379840000177
式(26)及式(27)表明环境作用于轴k的合外力或力矩等价于闭子树kL对轴k的合外力或力矩，将式(26)及式(27)合写为
Figure GDA0002358379840000178
至此，解决了外力反向迭代的计算问题。在式(28)中，闭子树对轴k的广义力具有可加性；力的作用具有双重效应，且是反向迭代的。所谓反向迭代是指：
Figure GDA0002358379840000179
是需要通过链节位置矢量迭代的；
Figure GDA00023583798400001710
的序与前向运动学
Figure GDA00023583798400001711
计算的序相反。
3.2共轴驱动力反向迭代
若轴l是驱动轴，轴l的驱动力及驱动力矩分别为
Figure GDA00023583798400001712
及
Figure GDA00023583798400001713
则驱动力
Figure GDA00023583798400001714
及驱动力矩
Figure GDA00023583798400001715
产生的功率pac表示为
Figure GDA0002358379840000181
【1】由式(18)、式(19)及式(29)得
Figure GDA0002358379840000182
即
Figure GDA0002358379840000183
若轴u与轴
Figure GDA0002358379840000184
共轴，则有
Figure GDA0002358379840000185
记
Figure GDA0002358379840000186
Figure GDA0002358379840000187
因
Figure GDA0002358379840000188
与
Figure GDA0002358379840000189
无关，由式(30)得
Figure GDA00023583798400001810
因
Figure GDA00023583798400001811
与
Figure GDA00023583798400001812
共轴，故有
Figure GDA00023583798400001813
【2】由式(19)、式(18)及式(29)得
Figure GDA0002358379840000191
即
Figure GDA0002358379840000192
若轴u与
Figure GDA0002358379840000193
共轴，则有
Figure GDA0002358379840000194
记
Figure GDA0002358379840000195
由式(32)得
Figure GDA0002358379840000196
至此，完成了共轴驱动力反向迭代计算问题。
3.3树链刚体系统Ju-Kane动力学显式模型的建立：
下面，先陈述树链刚体系统Ju-Kane动力学方程，简称Ju-Kane方程；然后，给出建立步骤。
给定多轴刚体系统D＝{A,K,T,NT,F,B}，惯性系记为F[i]，
Figure GDA0002358379840000197
除了重力外，作用于轴u的合外力及力矩在
Figure GDA0002358379840000198
上的分量分别记为
Figure GDA0002358379840000199
及
Figure GDA00023583798400001910
轴k的质量及质心转动惯量分别记为mk及
Figure GDA00023583798400001911
轴k的重力加速度为
Figure GDA00023583798400001912
驱动轴u的双边驱动力及驱动力矩在
Figure GDA00023583798400001913
上的分量分别记为
Figure GDA00023583798400001914
及
Figure GDA00023583798400001915
环境i对轴l的力及力矩分别为
Figure GDA00023583798400001916
及iτl；则轴u树链Ju-Kane动力学方程为
Figure GDA00023583798400001917
其中：[·]表示取行或列；
Figure GDA00023583798400001918
及
Figure GDA00023583798400001919
是3×3的分块矩阵，
Figure GDA00023583798400001920
及
Figure GDA00023583798400001921
是3D矢量，q为关节空间。且有，
Figure GDA00023583798400001922
Figure GDA0002358379840000201
Figure GDA0002358379840000202
Figure GDA0002358379840000203
Figure GDA0002358379840000204
Figure GDA0002358379840000205
其中，记
Figure GDA0002358379840000206
记
Figure GDA0002358379840000207
上述方程的建立步骤为：
记
Figure GDA0002358379840000208
故有
Figure GDA0002358379840000209
ex的能量为
Figure GDA00023583798400002010
pex为瞬时轴功率；pac为驱动轴的驱动力及驱动力矩产生的功率。由式(26)、式(27)、式(31)、式(33)及式(41)得式(40)。
将偏速度计算公式式(19)，式(18)及式(20)代入Ju-Kane动力学预备方程(17)得
Figure GDA0002358379840000211
由式(21)得
Figure GDA0002358379840000212
考虑式(43)，则有
Figure GDA0002358379840000213
同样，考虑式(43)，得
Figure GDA0002358379840000214
将式(43)至式(45)代入式(42)得式(34)至式(39)。
实施例1
给定如图3所示的通用3R机械臂，A＝(i,1:3]；应用本发明的方法建立树链Ju-Kane动力学方程，并得到广义惯性矩阵。
步骤1建立基于轴不变量的迭代式运动方程。
由式(46)基于轴不变量的转动变换矩阵
Figure GDA0002358379840000215
得
Figure GDA0002358379840000221
运动学迭代式：
Figure GDA0002358379840000222
Figure GDA0002358379840000223
Figure GDA0002358379840000224
Figure GDA0002358379840000225
Figure GDA0002358379840000226
二阶张量投影式：
Figure GDA0002358379840000227
Figure GDA0002358379840000228
由式(48)及式(47)得
Figure GDA0002358379840000229
由式(49)，式(47)及式(55)得
Figure GDA00023583798400002210
由式(50)及式(55)得
Figure GDA00023583798400002211
由式(51)、式(55)及式(57)得
Figure GDA00023583798400002212
由式(52)及式(55)得
Figure GDA0002358379840000231
由式(53)及式(55)得
Figure GDA0002358379840000232
步骤2建立动力学方程。先建立第1轴的动力学方程。由式(37)得
Figure GDA0002358379840000233
由式(39)得
Figure GDA0002358379840000234
由式(61)及式(62)得第1轴的动力学方程，
Figure GDA0002358379840000235
建立第2轴的动力学方程。由式(37)得
Figure GDA0002358379840000236
由式(39)得
Figure GDA0002358379840000237
由式(64)及式(65)得第2轴的动力学方程，
Figure GDA0002358379840000241
最后，建立第3轴的动力学方程。由式(37)得
Figure GDA0002358379840000242
由式(39)得
Figure GDA0002358379840000243
由式(67)及式(68)得第3轴的动力学方程，
Figure GDA0002358379840000244
由式(61)，式(63)及式(67)得广义质量阵。
Figure GDA0002358379840000245
由此可知，只要程式化地将系统的拓扑、结构参数、质惯量等参数代入式(36)至式(40)就可以完成动力学建模。通过编程，很容易实现Ju-Kane动力学方程。因后续的树链Ju-Kane规范方程是以Ju-Kane动力学方程推导的，树链Ju-Kane动力学方程的有效性可由Ju-Kane规范型实例证明。
3.4树链刚体系统Ju-Kane动力学规范型
在建立系统动力学方程后，紧接着就是方程求解的问题。在动力学系统仿真时，通常给定环境作用的广义力及驱动轴的广义驱动力，需要求解动力学系统的加速度；这是动力学方程求解的正问题。在求解前，首先需要得到式(71)所示的规范方程。
规范化动力学方程，
Figure GDA0002358379840000246
其中：RHS–右手侧(Right hand side)
显然，规范化过程就是将所有关节加速度项进行合并的过程；从而，得到关节加速度的系数。将该问题分解为运动链的规范型及闭子树的规范型两个子问题。
3.4.1运动链的规范型方程
将式(36)及式(37)中关节加速度项的前向迭代过程转化为反向求和过程，以便后续应用；显然，其中含有6种不同类型的加速度项，分别予以处理。
【1】给定运动链
Figure GDA0002358379840000251
则有
Figure GDA0002358379840000252
上式的推导步骤为：
Figure GDA0002358379840000253
【2】给定运动链
Figure GDA0002358379840000254
则有
Figure GDA0002358379840000255
上式的推导步骤为：因
Figure GDA0002358379840000256
故得
Figure GDA0002358379840000257
【3】给定运动链
Figure GDA0002358379840000258
则有
Figure GDA0002358379840000261
上式可由下式而得，因
Figure GDA0002358379840000262
故有
Figure GDA0002358379840000263
【4】给定运动链
Figure GDA0002358379840000264
则有
Figure GDA0002358379840000265
上式的推导步骤为：考虑
Figure GDA0002358379840000266
将式(72)代入式(75)左侧得
Figure GDA0002358379840000267
【5】给定运动链
Figure GDA0002358379840000268
则有
Figure GDA0002358379840000269
上式的推导步骤为：考虑
Figure GDA0002358379840000271
将式(72)代入式(76)左侧得
Figure GDA0002358379840000272
【6】给定运动链
Figure GDA0002358379840000273
则有
Figure GDA0002358379840000274
上式的推导步骤为：因
Figure GDA0002358379840000275
故有
Figure GDA0002358379840000276
3.4.2闭子树的规范型方程
因闭子树uL中的广义力具有可加性；因此闭子树的节点有唯一一条至根的运动链，式(73)至式(77)的运动链iln可以被uL替换。由式(73)得
Figure GDA0002358379840000277
由式(74)得
Figure GDA0002358379840000278
由式(75)得
Figure GDA0002358379840000281
由式(76)得
Figure GDA0002358379840000282
由式(77)得
Figure GDA0002358379840000283
至此，已具备建立规范型的前提条件。
3.5树链刚体系统Ju-Kane动力学规范方程
下面，建立树结构刚体系统的Ju-Kane规范化动力学方程。为表达方便，首先定义
Figure GDA0002358379840000284
然后，应用式(78)至式(82)，将式(36)及式(37)表达为规范型。
【1】式(36)的规范型为
Figure GDA0002358379840000285
上式的具体建立步骤为：由式(24)及式(36)得
Figure GDA0002358379840000286
由式(52)及式(85)得
Figure GDA0002358379840000291
将式(80)代入式(85)右侧前一项得
Figure GDA0002358379840000292
将式(79)代入式(86)右侧后一项得
Figure GDA0002358379840000293
将式(87)及式(88)代入式(86)得
Figure GDA0002358379840000294
对于刚体k，有
Figure GDA0002358379840000295
由式(35)、式(83)及式(89)得式(84)。
【2】式(37)的规范型为
Figure GDA0002358379840000296
上式的具体建立步骤为：由式(37)得
Figure GDA0002358379840000297
将式(78)代入式右侧前一项(91)得
Figure GDA0002358379840000301
将式(81)代入式(91)右侧后一项得
Figure GDA0002358379840000302
将式(82)代入式(91)右侧中间一项得
Figure GDA0002358379840000303
将式(92)，式(93)及式(94)代入式(92)得
Figure GDA0002358379840000304
对于刚体k，有
Figure GDA0002358379840000305
由式(35)，式(83)及式(95)得式(90)。
【3】应用式(84)及式(90)，将Ju-Kane方程重新表述为如下树链Ju-Kane规范型方程：
给定多轴刚体系统D＝{A,K,T,NT,F,B}，惯性系记为F[i]，
Figure GDA0002358379840000306
除了重力外，作用于轴u的合外力及力矩在
Figure GDA0002358379840000307
上的分量分别记为
Figure GDA0002358379840000308
及
Figure GDA0002358379840000309
轴k的质量及质心转动惯量分别记为mk及
Figure GDA00023583798400003010
轴k的重力加速度为
Figure GDA00023583798400003011
驱动轴u的双边驱动力及驱动力矩在
Figure GDA00023583798400003012
上的分量分别记为
Figure GDA00023583798400003013
及
Figure GDA00023583798400003014
环境i对轴l的作用力及力矩分别为
Figure GDA00023583798400003015
及iτl；则轴u的Ju-Kane动力学规范方程为
Figure GDA00023583798400003016
其中：
Figure GDA00023583798400003017
及
Figure GDA00023583798400003018
是3×3的分块矩阵，
Figure GDA00023583798400003019
及
Figure GDA00023583798400003020
是3D矢量。并且，
Figure GDA0002358379840000311
Figure GDA0002358379840000312
Figure GDA0002358379840000313
Figure GDA0002358379840000314
Figure GDA0002358379840000315
Figure GDA0002358379840000316
式中，kI表示杆k质心I；轴k的质量及质心转动惯量分别记为mk及
Figure GDA0002358379840000317
Figure GDA0002358379840000318
为转动轴u的惯性矩阵；
Figure GDA0002358379840000319
为平动轴u的惯性矩阵；hR为转动轴u的非惯性矩阵；hP为平动轴u的非惯性矩阵；作用于轴u的合外力及力矩在
Figure GDA00023583798400003110
上的分量分别记为
Figure GDA00023583798400003111
及
Figure GDA00023583798400003112
Figure GDA00023583798400003113
驱动轴u的双边驱动力及驱动力矩在
Figure GDA00023583798400003114
上的分量分别记为
Figure GDA00023583798400003115
及
Figure GDA00023583798400003116
环境i对轴l的作用力及作用力矩分别为
Figure GDA00023583798400003117
及iτl；llk为取由轴l至轴k的运动链，uL表示获得由轴u及其子树构成的闭子树。
4.闭链刚体系统的Ju-Kane动力学方程建立
下面，先陈述闭链刚体系统的居―凯恩(简称Ju-Kane)动力学方程；然后，给出具体建模过程。
给定多轴刚体系统D＝{A,K,T,NT,F,B}，惯性系记为F[i]，
Figure GDA0002358379840000321
除了重力外，作用于轴u的合外力及力矩在
Figure GDA0002358379840000322
上的分量分别记为
Figure GDA0002358379840000323
及
Figure GDA0002358379840000324
轴k的质量及质心转动惯量分别记为mk及
Figure GDA0002358379840000325
轴k的重力加速度为
Figure GDA0002358379840000326
驱动轴u的双边驱动力及驱动力矩在
Figure GDA0002358379840000327
上的分量分别记为
Figure GDA0002358379840000328
及
Figure GDA0002358379840000329
环境i对轴l的作用力及作用力矩分别为
Figure GDA00023583798400003210
及iτl；轴u对轴u′的广义约束力记为
Figure GDA00023583798400003211
则有闭链刚体系统的Ju-Kane动力学方程：
【1】轴u及轴u′的Ju-Kane动力学规范方程分别为
Figure GDA00023583798400003212
Figure GDA00023583798400003213
【2】非树约束副uku′的约束代数方程为
Figure GDA00023583798400003214
Figure GDA00023583798400003215
Figure GDA00023583798400003216
Figure GDA00023583798400003217
其中：
Figure GDA00023583798400003218
Figure GDA00023583798400003219
Figure GDA00023583798400003220
Figure GDA00023583798400003221
Figure GDA00023583798400003222
式中：
Figure GDA00023583798400003223
及
Figure GDA00023583798400003224
是3×3的分块矩阵，
Figure GDA00023583798400003225
及
Figure GDA00023583798400003226
是3D矢量；kI表示杆k质心I；轴k的质量及质心转动惯量分别记为mk及
Figure GDA00023583798400003227
Figure GDA00023583798400003228
为转动轴u的惯性矩阵；
Figure GDA00023583798400003229
为平动轴u的惯性矩阵；hR为转动轴u的非惯性矩阵；hP为平动轴u的非惯性矩阵；
Figure GDA00023583798400003230
为平动关节角速度；
Figure GDA00023583798400003231
为转动关节角速度。
具体建模过程如下：
非树约束副
Figure GDA0002358379840000331
保持约束点uS及u′S一致，故有
Figure GDA0002358379840000332
由式(114)得
Figure GDA0002358379840000333
轴u对轴u′在约束轴方向上的广义约束力
Figure GDA0002358379840000334
及轴u′对轴u在约束轴方向上的广义约束力
Figure GDA0002358379840000335
的功率分别为
Figure GDA0002358379840000336
由式(115)及式(116)得
Figure GDA0002358379840000337
由式(115)得
Figure GDA0002358379840000338
Figure GDA0002358379840000339
Figure GDA00023583798400003310
Figure GDA00023583798400003311
δ表示增量；
由式(18)及式(118)得
Figure GDA00023583798400003312
故有
Figure GDA00023583798400003313
由式(110)及式(122)得式(105)。由式(19)及式(119)得
Figure GDA00023583798400003314
由式(111)及式(123)得式(106)。由式(19)及式(120)得
Figure GDA0002358379840000341
由式(112)及式(124)得式(107)。由式(19)及式(121)得
Figure GDA0002358379840000342
由式(113)及式(125)得(108)。由式(18)，式(116)及式(110)得
Figure GDA0002358379840000343
Figure GDA0002358379840000344
广义约束力
Figure GDA0002358379840000345
及
Figure GDA0002358379840000346
是矢量，由式(126)及式(127)得式(109)。由此可知，偏速度主要应用于力的反向迭代。广义约束力
Figure GDA0002358379840000347
及
Figure GDA0002358379840000348
视为外力。
根据轴u的Ju-Kane动力学规范方程得式(103)及式(104)。
以关节空间自然轴链为基础的Ju-Kane闭链刚体动力学克服了笛卡尔坐标轴链空间的局限：
【1】在基于笛卡尔坐标轴链的牛顿欧拉动力学中，非树运动副uku′∈P约束不能表达
Figure GDA0002358379840000349
及
Figure GDA00023583798400003410
或
Figure GDA00023583798400003411
及
Figure GDA00023583798400003412
的情形，即不能表达齿条与齿轮、蜗轮与蜗杆等约束。而本申请的非树约束副uku′的约束代数方程式(105)至式(108)可表达任一种约束类形，并且物理内涵明晰；
【2】在基于笛卡尔坐标轴链的牛顿欧拉动力学当中，非树运动副代数约束方程是6D的；而式(105)至式(108)表示是3D非树运动副代数约束方程，从而降低了系统方程求解的复杂度；
【3】在基于笛卡尔坐标轴链的牛顿欧拉动力学当中，非树运动副代数约束方程是关于6D矢量空间绝对加速度的，是关于关节坐标、关节速度的迭代式，具有累积误差；而式(105)至式(108)是关于关节加速度的，保证了约束方程的准确性。
5.基于轴不变量的约束力求解
对于无功率损耗的运动轴u，记其约束力及约束力矩矢量分别为
Figure GDA00023583798400003413
显然，有
Figure GDA00023583798400003414
由式(96)及式(139)计算得
Figure GDA00023583798400003415
式(128)表示运动轴矢量与运动轴约束力具有自然正交补的关系。
若
Figure GDA0002358379840000351
及
Figure GDA0002358379840000352
为运动副
Figure GDA0002358379840000353
的两个正交约束轴，且约束轴与运动轴正交，即
Figure GDA0002358379840000354
记
Figure GDA0002358379840000355
为约束轴轴矢量，
Figure GDA0002358379840000356
替换式(96)中
Figure GDA0002358379840000357
重新计算得
Figure GDA0002358379840000358
其中：
Figure GDA0002358379840000359
Figure GDA00023583798400003510
在完成前向动力学正解后，根据已计算的关节加速度
Figure GDA00023583798400003511
由式(130)可以得到关节约束力大小
Figure GDA00023583798400003512
约束力矩大小
Figure GDA00023583798400003513
当
Figure GDA00023583798400003514
时，由式(130)得
Figure GDA00023583798400003515
且
Figure GDA00023583798400003516
式(130)中同一时刻具有相同的运动状态及内外力。仅在运动轴向上出现力及力矩的平衡；而在约束轴向，动力学方程不满足，即力与力矩不一定平衡。
由式(130)可以得到关节约束力大小
Figure GDA00023583798400003517
及
Figure GDA00023583798400003518
约束力矩大小
Figure GDA00023583798400003519
及
Figure GDA00023583798400003520
若记运动轴径向力矢量
Figure GDA00023583798400003521
及力矩矢量
Figure GDA00023583798400003522
则有
Figure GDA00023583798400003523
若记运动轴径向力大小为
Figure GDA00023583798400003524
及力矩大小为
Figure GDA00023583798400003525
由式(133)得
Figure GDA00023583798400003526
至此，完成了轴径向约束广义力的计算。
树链刚体系统对应的关节加速度序列记
Figure GDA00023583798400003527
可根据下述步骤计算：
将根据运动轴类型及自然参考轴表达的刚体运动链广义惯性矩阵称为轴链刚体广义惯性矩阵，简称轴链广义惯性矩阵。
定义正交补矩阵
Figure GDA00023583798400003528
及对应的叉乘矩阵
Figure GDA00023583798400003529
Figure GDA0002358379840000361
给定多轴刚体系统D＝{A,K,T,NT,F,B}，
Figure GDA0002358379840000362
将系统中各轴动力学方程(96)按行排列；将重排后的轴驱动广义力及不可测的环境作用力记为fC，可测的环境广义作用力记为fi；将系统对应的关节加速度序列记为
Figure GDA0002358379840000363
将重排后的
Figure GDA0002358379840000364
记为h；考虑式(135)；则该系统动力学方程为
Figure GDA0002358379840000365
由式(136)得
Figure GDA0002358379840000366
其中，
Figure GDA0002358379840000367
由式(136)得
Figure GDA0002358379840000368
6.广义内摩擦力及粘滞力计算
在完成轴径向约束广义力的计算后，得到运动轴u的径向约束力大小
Figure GDA0002358379840000369
及约束力矩大小
Figure GDA00023583798400003610
如图3、图4所示，记运动轴u的内摩擦力大小及内摩擦力矩大小分别为
Figure GDA00023583798400003611
及
Figure GDA00023583798400003612
运动轴u的粘滞力及粘滞力矩大小分别为
Figure GDA00023583798400003613
及
Figure GDA00023583798400003614
故有
Figure GDA00023583798400003615
Figure GDA00023583798400003616
其中：sk[u]─运动轴u的内摩擦系数，ck[u]─运动轴u的粘滞系数；sign()表示取正或负符号。
记广义内摩擦力及粘滞力的合力及合力矩分别为
Figure GDA00023583798400003617
由式(140)及式(141)得
Figure GDA00023583798400003618
运动轴的广义内摩擦力及粘滞力是运动轴的内力，因为它们仅存在于运动轴向上，与轴径向约束力总是正交的。当运动轴轴向动态作用力平衡时，无论广义内摩擦力及粘滞力是否存在或大小如何，都不影响动力学系统的运动状态；故而，不影响运动轴的径向约束力。因此，由式(130)至式(134)计算运动轴u的径向约束力大小
Figure GDA0002358379840000371
及约束力矩大小
Figure GDA0002358379840000372
时，可以不考虑运动轴的广义内摩擦力及粘滞力。
7.建立闭链刚体非理想约束系统的Ju-Kane动力学显式模型
设运动轴u的广义内摩擦及粘滞的合力及合力矩分别为
Figure GDA0002358379840000373
闭链刚体系统的Ju-Kane动力学方程建立后，计算关节加速度
Figure GDA0002358379840000374
后，应用式(129)至式(134)计算径向约束力大小
Figure GDA0002358379840000375
及
Figure GDA0002358379840000376
约束力矩大小
Figure GDA0002358379840000377
及
Figure GDA0002358379840000378
再建立如下闭链刚体非理想约束系统的Ju-Kane动力学方程：
【1】轴u及轴u′的Ju-Kane动力学规范方程分别为
Figure GDA0002358379840000379
Figure GDA00023583798400003710
【2】非树约束副uku′的约束代数方程为
Figure GDA00023583798400003711
Figure GDA00023583798400003712
Figure GDA00023583798400003713
Figure GDA00023583798400003714
其它，参见式(103)至式(113)、式(97)至式(102)。
建立过程为：
运动轴u的内摩擦及粘滞合力
Figure GDA00023583798400003715
及合力矩
Figure GDA00023583798400003716
是运动轴u的外力，故有式(143)；运动轴u′的内摩擦及粘滞合力
Figure GDA00023583798400003717
及合力矩
Figure GDA00023583798400003718
是运动轴u′的外力，故有式(144)。其它过程与闭链刚体系统的Ju-Kane动力学方程建模步骤相同。

Claims (7)

1.一种基于轴不变量的非理想关节机器人动力学建模方法，其特征是，
给定多轴刚体系统D＝{A,K,T,NT,F,B}，惯性系记为F[i]，
Figure FDA0002358379830000011
A为轴序列，K为运动副类型序列，T表示带方向的span树，以描述树链运动的拓扑关系，NT为约束轴的序列即非树，F为杆件参考系序列，B为杆件体序列；除了重力外，作用于轴u的合外力及力矩在
Figure FDA0002358379830000012
上的分量分别记为
Figure FDA0002358379830000013
及
Figure FDA0002358379830000014
轴k的质量及质心转动惯量分别记为mk及
Figure FDA0002358379830000015
轴k的重力加速度为
Figure FDA0002358379830000016
驱动轴u的双边驱动力及驱动力矩在
Figure FDA0002358379830000017
上的分量分别记为
Figure FDA0002358379830000018
及
Figure FDA0002358379830000019
环境i对轴l的作用力及作用力矩分别为
Figure FDA00023583798300000110
及iτl；轴u对轴u′的广义约束力记为
Figure FDA00023583798300000111
约定：在运动链符号演算系统中，具有偏序的属性变量或常量，在名称上包含表示偏序的指标；要么包含左上角及右下角指标，要么包含右上角及右下角指标；对于某种属性符，它们的方向总是由偏序指标的左上角指标至右下角指标，或由右上角指标至右下角指标；
定义不变量：称不依赖于一组坐标系进行度量的量为不变量；
对于轴l、
Figure FDA00023583798300000112
在系统处于零位时，所有杆件的自然坐标系与底座或世界系的方向一致；系统处于零位即转动角度
Figure FDA00023583798300000113
时，自然坐标系
Figure FDA00023583798300000114
绕轴矢量
Figure FDA00023583798300000115
转动角度
Figure FDA00023583798300000116
将
Figure FDA00023583798300000117
转至F[l]；
Figure FDA00023583798300000118
在
Figure FDA00023583798300000119
下的坐标矢量与
Figure FDA00023583798300000120
在F[l]下的坐标矢量
Figure FDA00023583798300000121
恒等，即有
Figure FDA00023583798300000122
Figure FDA00023583798300000123
或
Figure FDA00023583798300000124
不依赖于相邻的坐标系
Figure FDA00023583798300000125
及F[l]；故称
Figure FDA00023583798300000126
或
Figure FDA00023583798300000127
为轴不变量；
设运动轴u的广义内摩擦及粘滞的合力及合力矩分别为
Figure FDA00023583798300000128
根据建立的闭链刚体系统的Ju-Kane动力学方程，计算关节加速度
Figure FDA00023583798300000129
后，计算径向约束力大小
Figure FDA00023583798300000130
及
Figure FDA00023583798300000131
约束力矩大小
Figure FDA00023583798300000132
及
Figure FDA00023583798300000133
再建立如下闭链刚体非理想约束系统的Ju-Kane动力学方程：
【1】轴u及轴u′的Ju-Kane动力学规范方程分别为
Figure FDA00023583798300000134
Figure FDA00023583798300000135
式中：
Figure FDA00023583798300000136
及
Figure FDA00023583798300000137
是3×3的分块矩阵，
Figure FDA00023583798300000138
及
Figure FDA00023583798300000139
是3D矢量；
Figure FDA00023583798300000140
为转动副R下轴u的惯性矩阵；
Figure FDA00023583798300000141
为平动副P下轴u的惯性矩阵；hR为转动副R下轴u的非惯性矩阵；hP为平动副P下轴u的非惯性矩阵；【2】非树约束副uku′的约束代数方程为
Figure FDA00023583798300000142
Figure FDA00023583798300000143
Figure FDA00023583798300000144
Figure FDA00023583798300000145
2.根据权利要求1所述的基于轴不变量的非理想关节机器人动力学建模方法，其特征是，
闭链刚体系统的Ju-Kane动力学方程：
【1】轴u及轴u′的Ju-Kane动力学规范方程分别为
Figure FDA0002358379830000021
Figure FDA0002358379830000022
其中：
Figure FDA0002358379830000023
及
Figure FDA0002358379830000024
是3×3的分块矩阵，
Figure FDA0002358379830000025
及
Figure FDA0002358379830000026
是3D矢量；kI表示杆k质心I；轴k的质量及质心转动惯量分别记为mk及
Figure FDA0002358379830000027
Figure FDA0002358379830000028
为转动副R下轴u的惯性矩阵；
Figure FDA0002358379830000029
为平动副P下轴u的惯性矩阵；hR为转动副R下轴u的非惯性力；hP为平动副P下轴u的非惯性力；
【2】非树约束副uku′的约束代数方程为
Figure FDA00023583798300000210
Figure FDA00023583798300000211
Figure FDA00023583798300000212
Figure FDA00023583798300000213
其中：
Figure FDA00023583798300000214
Figure FDA00023583798300000215
Figure FDA00023583798300000216
Figure FDA00023583798300000217
Figure FDA00023583798300000218
式中：
Figure FDA00023583798300000219
及
Figure FDA00023583798300000220
是3×3的分块矩阵，
Figure FDA00023583798300000221
及
Figure FDA00023583798300000222
是3D矢量；kI表示杆k质心I；轴k的质量及质心转动惯量分别记为mk及
Figure FDA00023583798300000223
Figure FDA00023583798300000224
为转动副R下轴u的惯性矩阵；
Figure FDA00023583798300000225
为平动副P下轴u的惯性矩阵；hR为转动副R下轴u的非惯性矩阵；hP为平动副P下轴u的非惯性矩阵；
Figure FDA00023583798300000226
为平动关节角速度；
Figure FDA00023583798300000227
为转动关节角速度。
3.根据权利要求2所述的基于轴不变量的非理想关节机器人动力学建模方法，其特征是，
应用式(129)至式(134)计算径向约束力大小
Figure FDA00023583798300000228
及
Figure FDA00023583798300000229
约束力矩大小
Figure FDA00023583798300000230
及
Figure FDA00023583798300000231
对于无功率损耗的运动轴u，记其约束力及约束力矩矢量分别为
Figure FDA00023583798300000232
则有
Figure FDA00023583798300000233
上式表示运动轴矢量与运动轴约束力具有自然正交补的关系；
若
Figure FDA00023583798300000234
及
Figure FDA00023583798300000235
为运动副
Figure FDA00023583798300000236
的两个正交约束轴，且约束轴与运动轴正交，即
Figure FDA00023583798300000237
记
Figure FDA0002358379830000031
为约束轴轴矢量，有
Figure FDA0002358379830000032
其中：
Figure FDA0002358379830000033
Figure FDA0002358379830000034
由式(130)得到关节约束力大小
Figure FDA0002358379830000035
及
Figure FDA0002358379830000036
约束力矩大小
Figure FDA0002358379830000037
及
Figure FDA0002358379830000038
若记运动轴径向力矢量
Figure FDA0002358379830000039
及力矩矢量
Figure FDA00023583798300000310
则有
Figure FDA00023583798300000311
若记运动轴径向力大小为
Figure FDA00023583798300000312
及力矩大小为
Figure FDA00023583798300000313
由式(133)得
Figure FDA00023583798300000314
至此，完成了轴径向约束广义力的计算。
4.根据权利要求3所述的基于轴不变量的非理想关节机器人动力学建模方法，其特征是，
由式(130)至式(134)计算运动轴u的径向约束力大小
Figure FDA00023583798300000315
及约束力矩大小
Figure FDA00023583798300000316
时，不考虑运动轴的广义内摩擦力及粘滞力。
5.根据权利要求3所述的基于轴不变量的非理想关节机器人动力学建模方法，其特征是，
考虑广义内摩擦力及粘滞力的基于轴不变量的约束力求解步骤为：
在完成轴径向约束广义力的计算后，得到运动轴u的径向约束力大小
Figure FDA00023583798300000317
及约束力矩大小
Figure FDA00023583798300000318
记运动轴u的内摩擦力大小及内摩擦力矩大小分别为
Figure FDA00023583798300000319
及
Figure FDA00023583798300000320
运动轴u的粘滞力及粘滞力矩大小分别为
Figure FDA00023583798300000321
及
Figure FDA00023583798300000322
则
Figure FDA00023583798300000323
Figure FDA00023583798300000324
其中：sk[u]─运动轴u的内摩擦系数，ck[u]─运动轴u的粘滞系数；sign()表示取正或负符号；
记广义内摩擦力及粘滞力的合力及合力矩分别为
Figure FDA00023583798300000325
由式(140)及式(141)得
Figure FDA00023583798300000326
6.根据权利要求1所述的基于轴不变量的非理想关节机器人动力学建模方法，其特征是，闭链刚体系统的Ju-Kane动力学方程根据树链Ju-Kane规范型方程建立。
7.根据权利要求6所述的基于轴不变量的非理想关节机器人动力学建模方法，其特征是，树链Ju-Kane规范型方程
Figure FDA0002358379830000041
其中：
Figure FDA0002358379830000042
及
Figure FDA0002358379830000043
是3×3的分块矩阵，
Figure FDA0002358379830000044
及
Figure FDA0002358379830000045
是3D矢量；
Figure FDA0002358379830000046
为轴u的合外力在
Figure FDA0002358379830000047
上的分量，
Figure FDA0002358379830000048
为轴u的合力矩在
Figure FDA0002358379830000049
上的分量；
并且，
Figure FDA00023583798300000410
Figure FDA00023583798300000411
Figure FDA00023583798300000412
Figure FDA00023583798300000413
Figure FDA00023583798300000414
Figure FDA00023583798300000415
式中，kI表示杆k质心I；轴k的质量及质心转动惯量分别记为mk及
Figure FDA00023583798300000416
Figure FDA00023583798300000417
为转动副R下轴u的惯性矩阵；
Figure FDA00023583798300000418
为平动副P下轴u的惯性矩阵；hR为转动副R下轴u的非惯性矩阵；hP为平动副P下轴u的非惯性矩阵；作用于轴u的合外力及力矩在
Figure FDA0002358379830000051
上的分量分别记为
Figure FDA0002358379830000052
及
Figure FDA0002358379830000053
Figure FDA0002358379830000054
驱动轴u的双边驱动力及驱动力矩在
Figure FDA0002358379830000055
上的分量分别记为
Figure FDA0002358379830000056
及
Figure FDA0002358379830000057
环境i对轴l的作用力及作用力矩分别为
Figure FDA0002358379830000058
及itl；llk为取由轴l至轴k的运动链，uL表示获得由轴u及其子树构成的闭子树。
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