WO2016114309A1 - 行列・キー生成装置、行列・キー生成システム、行列結合装置、行列・キー生成方法、プログラム - Google Patents

行列・キー生成装置、行列・キー生成システム、行列結合装置、行列・キー生成方法、プログラム Download PDF

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vector
elements
generation unit
key generation
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浩気 濱田
大 五十嵐
直人 桐淵
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日本電信電話株式会社
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    • H04—ELECTRIC COMMUNICATION TECHNIQUE
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    • H04L9/08—Key distribution or management, e.g. generation, sharing or updating, of cryptographic keys or passwords
    • H04L9/0861—Generation of secret information including derivation or calculation of cryptographic keys or passwords
    • G—PHYSICS
    • G09—EDUCATION; CRYPTOGRAPHY; DISPLAY; ADVERTISING; SEALS
    • G09C—CIPHERING OR DECIPHERING APPARATUS FOR CRYPTOGRAPHIC OR OTHER PURPOSES INVOLVING THE NEED FOR SECRECY
    • G09C1/00—Apparatus or methods whereby a given sequence of signs, e.g. an intelligible text, is transformed into an unintelligible sequence of signs by transposing the signs or groups of signs or by replacing them by others according to a predetermined system
    • H—ELECTRICITY
    • H04—ELECTRIC COMMUNICATION TECHNIQUE
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    • H04L9/00—Cryptographic mechanisms or cryptographic arrangements for secret or secure communications; Network security protocols
    • H04L9/08—Key distribution or management, e.g. generation, sharing or updating, of cryptographic keys or passwords
    • H04L9/0816—Key establishment, i.e. cryptographic processes or cryptographic protocols whereby a shared secret becomes available to two or more parties, for subsequent use
    • H04L9/085—Secret sharing or secret splitting, e.g. threshold schemes
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    • H04L—TRANSMISSION OF DIGITAL INFORMATION, e.g. TELEGRAPHIC COMMUNICATION
    • H04L2209/00—Additional information or applications relating to cryptographic mechanisms or cryptographic arrangements for secret or secure communication H04L9/00
    • H04L2209/46—Secure multiparty computation, e.g. millionaire problem

Definitions

  • the present invention relates to a matrix / key generation apparatus, matrix / key generation system, matrix combination apparatus, matrix / key generation method, and program for processing data composed of rows and columns such as tables.
  • Non-Patent Document 1 for a matrix having a concealed element and a vector having a concealed element corresponding to each row of the matrix, the row order of the matrix and the order of the vector elements are: A technique for sorting according to vector elements while keeping the elements concealed by a secret calculation is shown.
  • Non-Patent Document 2 a calculation for counting the number of times the same element appears (the number of overlapping elements) (hereinafter referred to as “staircase calculation”) is performed while keeping the element concealed, and the result of concealment is shown.
  • the output technology is shown.
  • FIG. 1 is a diagram for explaining the outline of the staircase calculation. Note that ⁇ is a symbol indicating that it has been concealed.
  • the first element of input ⁇ 1 ⁇ is the first appearance
  • the first element of output is ⁇ 1 ⁇ .
  • the second element of input ⁇ 2 ⁇ is the first appearance
  • the second element of output is ⁇ 1 ⁇ .
  • the second element of the input is ⁇ 2 ⁇
  • the third element of the output is ⁇ 2 ⁇ .
  • the sixth element of the input is ⁇ 3 ⁇ because ⁇ 3 ⁇ of the sixth element of the input is the third appearance. In this way, when the staircase calculation is performed, the number of times the same element appears (the number of overlapping elements) is counted, and the result is output.
  • Non-Patent Document 3 discloses a technique for combining a plurality of matrices whose elements are concealed based on the concealed elements of a vector corresponding to each matrix with a small amount of communication.
  • Non-Patent Document 4 describes a technique for concealing data (distributed processing), a technique for restoring concealed data (restoration processing), addition, multiplication, and verification in a state where the concealed data is concealed (2 Technology that verifies whether two concealed data are equal) and obtains the concealed result is shown.
  • Non-Patent Document 3 The technique for combining matrices shown in Non-Patent Document 3 is based on the premise that there is no overlap in the vector elements that are the key of the combination, and the matrix combination is realized by a secret calculation with a small amount of communication. However, there is a problem that the vector element cannot be used when there is an overlap. In order to be able to use the technique of combining the matrices of Non-Patent Document 3, it is necessary to convert a vector having overlapping elements and a matrix to be combined into a vector having no overlapping elements and a matrix corresponding to the vector. There is.
  • an object of the present invention is to provide a technique for converting a vector having overlapping elements and a matrix to be combined into a vector having no overlapping elements and a matrix corresponding to the vector.
  • an integer of 1 or more N, n 0 or more N-1 an integer, K n an integer of 1 or more integer i and j, the matrix of K n rows T n, the number of the k n elements K n pieces of vectors, and the upper limit number row j of T n [j] matrix T n, the j-th element of the k n [j] the vector k n, the m n element of the vector k n overlap .
  • the j-th element of the vector k n to the corresponding element and the row j of the matrix T n.
  • the first invention of the present invention is a technique that can be combined with the matrix combination shown in Non-Patent Document 3, which is limited to the secret calculation.
  • the symbol indicating the concealed data to ⁇ , ⁇ 1 ⁇ the M n, ..., and set to based on ⁇ m n ⁇ .
  • the matrix / key generation apparatus according to the first aspect of the present invention constitutes a matrix / key generation system with three or more matrix / key generation apparatuses connected via a network.
  • the matrix / key generation system can perform a secret calculation while performing data communication between the matrix / key generation devices.
  • the matrix / key generation device includes a sorting unit, a vector generation unit, a set generation unit, a matrix generation unit, and a key generation unit.
  • the element corresponding to the same row as T n [j] of the matrix T n ′ corresponds to the combination of k n [j] and the elements of the set B n, j and the same row as T n [j]
  • the elements of the set B n, j are generated so as to be different from each other.
  • the second invention of the present invention is a technique for converting a vector having overlapping elements and a matrix to be combined into a vector having no overlapping elements and a matrix corresponding to the vector without performing a secret calculation.
  • the set consisting of mutually different m n number of elements to M n, the M n [i] and the i-th original set M n.
  • a matrix / key generation apparatus includes a vector generation unit, a set generation unit, a matrix generation unit, and a key generation unit.
  • Key generation unit, n 0, ..., for each of N-1, vector k 'of the matrix T n' n of T n [j] corresponding to the same line as the element k n [j]
  • a set B n, j corresponding to a combination of elements and a plurality of rows identical to T n [j] are generated such that the elements of the set B n, j are different from each other.
  • a vector having overlapping elements and a matrix to be combined can be converted into a vector having no overlapping elements and a matrix corresponding to the vector.
  • FIG. 1 is a diagram illustrating a configuration example of a matrix / key generation system according to Embodiment 1.
  • FIG. FIG. 6 is a diagram illustrating a processing flow of the matrix / key generation system according to the first embodiment and the matrix / key generation apparatus according to the second embodiment.
  • Element shows a vector x 0, x 1, x 2 that is the result of stairs computed for the vector k 0, k 1, k 2 shown in FIG. 2 in a state of being concealed.
  • FIG. 8 is a diagram showing a matrix obtained by combining the matrix T 0 ′ and the matrix T 1 ′ shown in FIG. 7.
  • N is an integer of 1 or more
  • n is an integer of 0 to N ⁇ 1
  • K n is an integer of 1 or more
  • i and j are integers
  • T n is a matrix of K n rows
  • k n the number of elements K n pieces of vectors
  • the m n element of the vector k n duplicate the upper limit number of 1 to M n, ..., set to based on m n, and the symbol indicating the concealed data and ⁇ .
  • J-th element of the vector k n is the element corresponding to the j-th row of the matrix T n.
  • the upper limit number m n may be set to the maximum value that may not be a number that is actually overlapping the element of the vector k n well overlap.
  • a matrix representing a table, a column vector representing a key of each row of the matrix, and a matrix combination will be described.
  • the binding matrix, vector k 0, ..., k if there is an element common to all N-1 is the matrix T 0 corresponding to the common elements, ..., T N-1 rows and bonded to one Line.
  • FIG. 2 shows a specific example of matrix combination.
  • the matrices T 0 , T 1 , T 2 are the matrices to be combined.
  • Vectors k 0 , k 1 and k 2 are column vectors indicating keys.
  • the first and fourth elements of the vector k 0 indicating the key of the matrix T 0 and the first and second elements of the vector k 1 indicating the key of the matrix T 1 are “1” and are common. That is, the keys of the first row and the fourth row of the matrix T 0 and the keys of the first row and the second row of the matrix T 1 are “1” and are common. Further, the key of the third row of the matrix T 0 (the third element of the vector k 0 ), the key of the third row and the fourth row of the matrix T 1 (the third and fourth elements of the vector k 1 ) are “ 3 ”, which is common.
  • the matrix obtained by coupling the matrix T 0 and matrix T 1 the first row and the first first row the results of combining rows of matrix T 1 of the matrix T 0, the first row of the matrix T 0 matrix T
  • the result of combining the second row of 1 is the second row
  • the result of combining the fourth row of the matrix T 0 and the first row of the matrix T 1 is the third row
  • the fourth row of the matrix T 0 and the matrix T 1 The result of combining the second row is the fourth row
  • the result of combining the third row of the matrix T 0 and the third row of the matrix T 1 is the fifth row
  • the third row of the matrix T 0 and the fourth row of the matrix T 1 The result of combining the rows is the sixth row.
  • the elements of the vector k 0 , the element of the vector k 1 , and the element of the vector k 2 indicating the key are common because the first and fourth elements of the vector k 0 having the element “1”, the vector k 1 first and second elements, which is the first element of the vector k 2. That is, the key is common to the first row and the fourth row of the matrix T 0 with the key “1”, the first row and the second row of the matrix T 1 , and the first row of the matrix T 2 .
  • the result of combining the first row of the matrix T 0 , the first row of the matrix T 1 , and the first row of the matrix T 2 is The result of combining one row, the first row of the matrix T 0, the second row of the matrix T 1 and the first row of the matrix T 2 is the second row, the fourth row of the matrix T 0 and the first row of the matrix T 1 .
  • the result of combining the row and the first row of the matrix T 2 is the third row, the result of combining the fourth row of the matrix T 0 , the second row of the matrix T 1 and the first row of the matrix T 2 is the fourth result.
  • a line As a line.
  • FIG. 3 shows a configuration example of the matrix / key generation system
  • FIG. 4 shows a processing flow of the matrix / key generation system.
  • the matrix / key generation system includes three or more matrix / key generation apparatuses 160 connected by a network 800, and can perform a secret calculation between the matrix / key generation apparatuses 160.
  • Each matrix / key generation device 160 includes a sorting unit 110, a vector generation unit 120, a set generation unit 130, a matrix generation unit 140, a key generation unit 150, and a recording unit 190.
  • the number of rows and columns of the matrix T n which is information the number of elements of the vector k n, the value m n is not concealed, each element of the matrix T n, the vector k n elements
  • Each piece of information is concealed between the matrix / key generation device 160. That is, each element of the matrix T n, each piece of the elements of the vector k n is recorded is distributed in the recording unit 190 of the plurality of matrix-key generating apparatus.
  • “fragment” is data that can restore the original value if a predetermined number of fragments are known, and is referred to as “distributed data” in Non-Patent Document 4.
  • FIG. 5 shows a state in which the order of the rows of the matrix T 0 and the order of the elements of the vector k 0 shown in FIG. 2 are sorted according to the elements of the vector k 0 while maintaining the correspondence in the secret calculation. In this example, it has become the key value is less fast turn about (the elements of the vector k 0) (above).
  • Non-Patent Document 4 A technique for concealing the value is disclosed in Non-Patent Document 4 and the like. 6, the sort unit 110, the vector k 0, k 1, k 2 after the elements sorting the vector k 0, k 1, k 2 shown in FIG. 2 in a state of being concealed, vector generation unit Reference numeral 120 denotes vectors x 0 , x 1 , and x 2 that are the results of performing staircase calculations on the sorted vectors k 0 , k 1 , and k 2 .
  • a set B n, j in which each of the elements is concealed is represented by N ⁇ 1 elements selected by the elements M 0 ,..., M N ⁇ 1 other than the set M n and x ⁇ 1
  • a value that is deterministically calculated from the combination (a value corresponding to the combination in a one-to-one relationship, in other words, a value that is always calculated to be different for a different combination) may be used.
  • corresponding to a combination is an expression for indicating that not only the combination itself but also a value deterministically calculated from the combination is included.
  • the processing of the set generation unit 130 will be described using the vector k 0 , the vector k 1 , and the vector k 2 illustrated in FIG.
  • the upper limit number m 1 of duplicate elements in vector k 1 is 2
  • the same may be done for other combinations.
  • processing for combining the matrix T 0 , the matrix T 1, and the matrix T 2 there are three combinations.
  • x 0 [1] ⁇ 1 ⁇
  • set M 1 ⁇ 1 ⁇ , ⁇ 2 ⁇
  • set M 2 ⁇ 1 ⁇ , ⁇ 2 ⁇ , ⁇ 3 ⁇ , so x 0 [1] and the set
  • the combination of the elements of M 1 and the elements of set M 2 is ( ⁇ 1 ⁇ , ⁇ 1 ⁇ , ⁇ 1 ⁇ ), ( ⁇ 1 ⁇ , ⁇ 1 ⁇ , ⁇ 2 ⁇ ), ( ⁇ 1 ⁇ , ⁇ 1 ⁇ . , 3 ⁇ ), ( ⁇ 1 ⁇ , 2 ⁇ , ⁇ 1 ⁇ ), ( ⁇ 1 ⁇ , ⁇ 2 ⁇ , ⁇ 2 ⁇ ), ( ⁇ 1 ⁇ , ⁇ 2 ⁇ , ⁇ 3 ⁇ ).
  • the set B 0,1 ⁇ ( ⁇ 1 ⁇ , ⁇ 1 ⁇ , ⁇ 1 ⁇ ), ( ⁇ 1 ⁇ , ⁇ 1 ⁇ , ⁇ 2 ⁇ ), ( ⁇ 1 ⁇ , ⁇ 1 ⁇ , ⁇ 3 ⁇ ), ( ⁇ 1 ⁇ , ⁇ 2 ⁇ , ⁇ 1 ⁇ ), ( ⁇ 1 ⁇ , ⁇ 2 ⁇ , ⁇ 2 ⁇ ), ( ⁇ 1 ⁇ , ⁇ 2 ⁇ , ⁇ 3 ⁇ ) ⁇ .
  • the matrix T 0 ′ is a 10-row matrix in which two identical rows exist.
  • the matrix T 1 ′ is also an 8-row matrix with two identical rows.
  • T 0 ′ [1] and T 0 ′ [2] are both T 0 [1]
  • k 0 ′ [1] is (one element of k 0 [1], B 0,1 )
  • k 0 ′ [ 2] becomes (k 0 [1], another element of B 0,1 ).
  • k 0 '[1] ( ⁇ 1 ⁇ , ( ⁇ 1 ⁇ , ⁇ 1 ⁇ )
  • k 0 ' [2] ( ⁇ 1 ⁇ , ( ⁇ 1 ⁇ , ⁇ 2 ⁇ )). ing.
  • elements (k 0 ′ [1] and k 0 ′ [2]) corresponding to the same row as T 0 [1] of the matrix T 0 ′ are k 0 [1] and elements of the set B 0,1 . It corresponds to the combination of. Furthermore, since there are a plurality of rows identical to T 0 [1], the elements of the set B 0,1 are selected to be different from each other.
  • corresponding to a combination in the description of the key generation unit 150 includes not only the combination itself but also a value deterministically calculated from the combination (a value corresponding to the combination in a one-to-one relationship). It is an expression for.
  • k 0 ′ [1] ⁇ f ( ⁇ 1 ⁇ , ( ⁇ 1 ⁇ , ⁇ 1 ⁇ )) ⁇ may be used as a function for calculating f deterministically from the combination.
  • f is a function which can perform a secret calculation.
  • a vector having overlapping elements and a matrix to be combined can be converted into a vector having no overlapping elements and a matrix corresponding to the vector.
  • FIG. 8 shows a configuration example of the matrix connection system
  • FIG. 9 shows a processing flow of the matrix connection system.
  • the matrix combination system includes three or more matrix combination apparatuses 100 connected by a network 800 and can perform a secret calculation between the matrix combination apparatuses 100.
  • the matrix combination apparatus 100 includes a matrix / key generation apparatus 160 and a combination unit 170.
  • the matrix / key generation device 160 and the matrix / key generation step S160 are the same as those described in the first embodiment.
  • the combining unit 170 responds to each common element.
  • This processing may be performed using the matrix combination technique described in Non-Patent Document 3.
  • FIG. 10 shows a matrix obtained by combining the matrix T 0 ′ and the matrix T 1 ′ shown in FIG. It can be seen that the matrix shown in FIG.
  • each element of the matrix obtained by combining the matrix T 0 and the matrix T 1 shown in FIG. 2 is concealed.
  • the matrix T 0 ', ..., T N -1' and vector k 0 ', ..., k N -1' by the processing up to obtaining a it is likely that known the line spacing of the correspondence, confidentiality If the rows are randomly replaced at the time of matrix combination in the calculation, the correspondence between the rows can be lost.
  • the communication amount is O (Q ⁇ logQ) where Q is the sum of the number of records in the input table (sum of the number of rows when expressed in matrix format).
  • Q is the sum of the number of records in the input table (sum of the number of rows when expressed in matrix format).
  • the traffic can be O (PQ ⁇ logQ).
  • the processing generally increases in the order of the square of P, but in the case of the present invention, the order of the power of P is the order, so that the amount of communication in Non-Patent Document 3 can be reduced. You can save it.
  • the idea of the present invention can be used without being limited to the secret calculation. It is not necessary to use a plurality of matrix / key generation devices unless it is a secret calculation.
  • a single matrix / key generation device can convert a vector indicating a key having an overlapping element and a matrix to be combined into a vector indicating a key having no overlapping element and a matrix corresponding to the vector. Therefore, in the second embodiment, a case where the information is not concealed will be described.
  • N is an integer greater than or equal to 1
  • n is an integer greater than or equal to 0 and less than or equal to N ⁇ 1
  • K n is an integer greater than or equal to 1
  • i and j are integers
  • T n is a matrix of K n rows
  • k n is an element the upper limit number K n-number of vectors
  • row j of T n [j] matrix T n row j of T n [j] matrix T n
  • the m n element of the vector k n overlap of the number, the matrix T 0, ..., T N- 1 and the vector k 0, ..., and inputs the k N-1.
  • FIG. 11 shows a configuration example of the matrix / key generation apparatus according to the second embodiment
  • FIG. 4 shows an example of a processing flow of the matrix / key generation apparatus according to the second embodiment.
  • the matrix / key generation device 260 includes a sorting unit 210, a vector generation unit 220, a set generation unit 230, a matrix generation unit 240, and a key generation unit 250.
  • Sorting unit 210, n 0, ..., for each of N-1, the order of the rows in the order and the vector k n elements of the matrix T n, while keeping the correspondence in accordance with the elements of the vector k n Sorting Then, the matrix T 0 ,..., T N-1 and the vector k 0 ,..., K N ⁇ 1 are updated with the sorted matrix and vector (S210).
  • Vector generation unit 220, a set generator 230, the matrix generation unit 240, the key generating unit 250, a matrix T 0 to the sort unit 210 is updated, ..., T N-1 and the vector k 0, ..., with respect to k N-1 Process.
  • the elements are generated to include all combinations of elements (S230).
  • the key generation unit 250 sets the vector k n ′ to elements k n [j corresponding to the same row as T n [j] of the matrix T n ′. ] And the elements of the set B n, j and there are a plurality of rows identical to T n [j], the elements of the set B n, j are generated so as to be different from each other (S250).
  • each process is different from the first embodiment in that it is not a secret calculation
  • the output matrix T 0 ′, T 1 ′ and vectors k 0 ′, k 1 ′ are a matrix and a vector in which each element in FIG. 7 is not concealed. Therefore, according to the matrix / key generation apparatus of the second embodiment, a vector having overlapping elements and a matrix to be combined can be converted into a vector having no overlapping elements and a matrix corresponding to the vector.
  • Example 2 the superordinate concept of Example 2 is derived.
  • the sorting unit 210 is omitted, and the vector generation unit 220 is changed to a vector generation unit 220 ′.
  • the M n in the set of M n [i] i, the set consisting of mutually different m n number of elements to M n, i-th set M n a M n [i] Of the original.
  • the functional configuration of the matrix / key generation apparatus of this modification is shown in FIG. 11, and the processing flow is shown in FIG.
  • the vector generation unit 220 ′, the set generation unit 230, the matrix generation unit 240, and the key generation unit 250 are configured so that the input matrices T 0 ,..., T N ⁇ 1 and the vectors k 0 ,. 1 is processed (the sort step S210 is not performed).
  • a vector having overlapping elements and a matrix to be combined can be converted into a vector having no overlapping elements and a matrix corresponding to the vector.
  • the program describing the processing contents can be recorded on a computer-readable recording medium.
  • a computer-readable recording medium for example, any recording medium such as a magnetic recording device, an optical disk, a magneto-optical recording medium, and a semiconductor memory may be used.
  • this program is distributed by selling, transferring, or lending a portable recording medium such as a DVD or CD-ROM in which the program is recorded. Furthermore, the program may be distributed by storing the program in a storage device of the server computer and transferring the program from the server computer to another computer via a network.
  • a computer that executes such a program first stores a program recorded on a portable recording medium or a program transferred from a server computer in its own storage device.
  • the computer reads a program stored in its own recording medium and executes a process according to the read program.
  • the computer may directly read the program from a portable recording medium and execute processing according to the program, and the program is transferred from the server computer to the computer.
  • the processing according to the received program may be executed sequentially.
  • the program is not transferred from the server computer to the computer, and the above-described processing is executed by a so-called ASP (Application Service Provider) type service that realizes a processing function only by an execution instruction and result acquisition. It is good.
  • the program in this embodiment includes information that is used for processing by an electronic computer and that conforms to the program (data that is not a direct command to the computer but has a property that defines the processing of the computer).
  • the present apparatus is configured by executing a predetermined program on a computer.
  • a predetermined program on a computer.
  • at least a part of these processing contents may be realized by hardware.
  • the present invention can be used for statistical data processing and analysis using a computer.

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Abstract

　要素に重複があるベクトルと結合対象の行列を、重複がないベクトルとそのベクトルに対応した行列に変換する。行列・キー生成装置は、ベクトル生成部、集合生成部、行列生成部、キー生成部を備える。ベクトル生成部は、ベクトルｘｎをｉ≠ｊのときにｋｎ［ｉ］＝ｋｎ［ｊ］ならばｘｎ［ｉ］≠ｘｎ［ｊ］となるように生成する。集合生成部は、集合Ｂｎ，ｊを集合Ｍｎ以外の集合Ｍ０，…，ＭＮ－１から１つずつ選んだＮ－１個の元とｘｎ［ｊ］の組合せに対応し、すべての組合せ分の元を含むように生成する。行列生成部は、行列Ｔｎ'をＴｎ［ｊ］と同一の行を集合Ｂｎ，ｊの元の数だけ有するように生成する。キー生成部は、ベクトルｋｎ'を行列Ｔｎ'のＴｎ［ｊ］と同一の行に対応する要素がｋｎ［ｊ］と集合Ｂｎ，ｊの元との組合せに対応し、かつＴｎ［ｊ］と同一の行が複数ある場合は集合Ｂｎ，ｊの元は互いに異なるように生成する。

Description

行列・キー生成装置、行列・キー生成システム、行列結合装置、行列・キー生成方法、プログラム
　本発明は、表などの行と列で構成されたデータを処理するための行列・キー生成装置、行列・キー生成システム、行列結合装置、行列・キー生成方法、プログラムに関する。
　非特許文献１には、要素が秘匿化された行列と、その行列の行ごとに対応している秘匿化された要素を持つベクトルに対し、行列の行の順番とベクトルの要素の順番を、秘匿計算によって要素を秘匿化したままで、ベクトルの要素にしたがってソートする技術が示されている。非特許文献２には、同じ要素が出現した回数（重複している個数）をカウントする計算（以下、「階段計算」と呼ぶ）を、要素を秘匿化したままで行い、秘匿化した結果を出力する技術が示されている。図１は階段計算の概要を説明するための図である。なお、∥∥は秘匿化されたことを示す記号である。入力の第１の要素の∥１∥は１回目の出現なので、出力の第１の要素は∥１∥である。入力の第２の要素の∥２∥は１回目の出現なので、出力の第２の要素は∥１∥である。入力の第３の要素の∥２∥は２回目の出現なので、出力の第３の要素は∥２∥である。入力の第６の要素の∥３∥は３回目の出現なので、出力の第６の要素は∥３∥である。このように、階段計算を行うと同じ要素が出現した回数（重複している個数）をカウントし、その結果が出力される。非特許文献３には、要素が秘匿化された複数の行列を、少ない通信量で、それぞれの行列に対応するベクトルの秘匿化された要素に基づいて結合する技術が示されている。非特許文献４には、データを秘匿化する技術（分散処理）、秘匿化されたデータを復元する技術（復元処理）、秘匿化されたデータを秘匿化した状態で加算，乗算，検証（２つの秘匿化したデータが等しいかの検証）を行い、秘匿化された結果を得る技術などが示されている。
Koki Hamada, Dai Ikarashi, Koji Chida, and Katsumi Takahashi, "Oblivious radix sort: An efficient sorting algorithm for practical secure multi-party computation", IACR Cryptology ePrint Archive, Vol. 2014, p. 121, 2014. 濱田浩気, 五十嵐大, 千田浩司， "秘匿計算上の集約関数中央値計算アルゴリズム", In CSS, 2012. 濱田浩気, 菊池亮, 五十嵐大, 千田浩司， "秘匿計算上の結合アルゴリズム",人工知能学会全国大会(第26 回) 論文集, June 2012. 千田浩司, 濱田浩気, 五十嵐大, 高橋克巳， "軽量検証可能3 パーティ秘匿関数計算の再考", In CSS, 2010.
　非特許文献３に示された行列を結合する技術は、結合のキーとなるベクトルの要素に重複がないことを前提にし、少ない通信量で秘匿計算によって行列の結合を実現している。しかし、ベクトルの要素に重複がある場合には利用できないという課題がある。非特許文献３の行列を結合する技術を利用できるようにするためには、要素に重複があるベクトルと結合対象の行列を、要素に重複がないベクトルとそのベクトルに対応した行列に変換する必要がある。
　そこで本発明は、要素に重複があるベクトルと結合対象の行列を、要素に重複がないベクトルとそのベクトルに対応した行列に変換する技術を提供することを目的とする。
　まず、Ｎを１以上の整数、ｎを０以上Ｎ－１以下の整数、Ｋｎを１以上の整数、ｉとｊを整数、ＴｎをＫｎ行の行列、ｋｎを要素の数がＫｎ個のベクトル、Ｔｎ［ｊ］を行列Ｔｎの第ｊ行、ｋｎ［ｊ］をベクトルｋｎのｊ番目の要素、ｍｎをベクトルｋｎの要素が重複する上限数とする。ベクトルｋｎのｊ番目の要素は行列Ｔｎの第ｊ行と対応する要素とする。
　本発明の第１の発明は、秘匿計算に限定し、非特許文献３に示された行列結合と組み合わせることができる技術である。第１の発明では、∥∥を秘匿化されたデータであることを示す記号、Ｍｎを∥１∥，…，∥ｍｎ∥を元とする集合とする。第１の発明の行列・キー生成装置は、ネットワークで接続された３つ以上の行列・キー生成装置で行列・キー生成システムを構成する。行列・キー生成システムは、行列・キー生成装置間でデータ通信を行いながら秘匿計算ができる。また、行列Ｔｎの行と列の数、ベクトルｋｎの要素の数、値ｍｎは秘匿化されていない情報であり、行列Ｔｎの要素のそれぞれ、ベクトルｋｎの要素のそれぞれは行列・キー生成装置の間で秘匿化された情報である。行列・キー生成装置は、ソート部、ベクトル生成部、集合生成部、行列生成部、キー生成部を備える。
　ソート部は、他の行列・キー生成装置のソート部との秘匿計算によって、ｎ＝０，…，Ｎ－１のそれぞれに対して、行列Ｔｎの行の順番とベクトルｋｎの要素の順番を、ベクトルｋｎの要素にしたがって対応を維持したままソートし、ソート後の行列とベクトルで、行列Ｔ０，…，ＴＮ－１とベクトルｋ０，…，ｋＮ－１を更新する。ベクトル生成部、集合生成部、行列生成部、キー生成部は、ソート部が更新した行列Ｔ０，…，ＴＮ－１とベクトルｋ０，…，ｋＮ－１に対して処理を行う。ベクトル生成部は、他の行列・キー生成装置のベクトル生成部との秘匿計算によって、ｎ＝０，…，Ｎ－１のそれぞれに対して、要素の数がＫｎ個であり要素のそれぞれを秘匿化したベクトルｘｎを、ｘｎ［１］＝∥１∥とし、２≦ｉ≦Ｋｎに対してｋｎ［ｉ－１］＝ｋｎ［ｉ］ならばｘｎ［ｉ］＝∥ｘｎ［ｉ－１］＋１∥、ｋｎ［ｉ－１］≠ｋｎ［ｉ］ならばｘｎ［ｉ］＝∥１∥のように生成する。集合生成部は、他の行列・キー生成装置の集合生成部との秘匿計算によって、ｎ＝０，…，Ｎ－１のそれぞれ、かつｊ＝１，…，Ｋｎのそれぞれに対して、元のそれぞれを秘匿化した集合Ｂｎ，ｊを、それぞれの元が、集合Ｍｎ以外の集合Ｍ０，…，ＭＮ－１から１つずつ選んだＮ－１個の元とｘｎ［ｊ］の組合せに対応し、すべての組合せ分の元を含むように生成する。行列生成部は、他の行列・キー生成装置の行列生成部との秘匿計算によって、ｎ＝０，…，Ｎ－１のそれぞれに対して、要素のそれぞれを秘匿化した行列Ｔｎ’を、ｊ＝１，…，ＫｎのすべてについてＴｎ［ｊ］と同一の行を集合Ｂｎ，ｊの元の数だけ有するように生成する。キー生成部は、他の行列・キー生成装置のキー生成部との秘匿計算によって、ｎ＝０，…，Ｎ－１のそれぞれに対して、要素のそれぞれを秘匿化したベクトルｋｎ’を、行列Ｔｎ’のＴｎ［ｊ］と同一の行に対応する要素がｋｎ［ｊ］と集合Ｂｎ，ｊの元との組合せに対応し、かつＴｎ［ｊ］と同一の行が複数ある場合は集合Ｂｎ，ｊの元は互いに異なるように生成する。
　本発明の第２の発明は、秘匿計算は行わないで、要素に重複があるベクトルと結合対象の行列を、要素に重複がないベクトルとそのベクトルに対応した行列に変換する技術である。第２の発明では、Ｍｎを互いに異なるｍｎ個の元からなる集合、Ｍｎ［ｉ］を集合Ｍｎのｉ番目の元とする。また、行列Ｔ０，…，ＴＮ－１とベクトルｋ０，…，ｋＮ－１を入力とする。第２の発明の行列・キー生成装置は、ベクトル生成部、集合生成部、行列生成部、キー生成部を備える。ベクトル生成部は、ｎ＝０，…，Ｎ－１のそれぞれに対して、要素の数がＫｎ個であり、各要素が集合Ｍｎの元であるベクトルｘｎを、ｉ≠ｊのときにｋｎ［ｉ］＝ｋｎ［ｊ］ならばｘｎ［ｉ］≠ｘｎ［ｊ］となるように生成する。集合生成部は、ｎ＝０，…，Ｎ－１のそれぞれ、かつｊ＝１，…，Ｋｎのそれぞれに対して、集合Ｂｎ，ｊを、それぞれの元が、集合Ｍｎ以外の集合Ｍ０，…，ＭＮ－１から１つずつ選んだＮ－１個の元とｘｎ［ｊ］の組合せに対応し、すべての組合せ分の元を含むように生成する。行列生成部は、ｎ＝０，…，Ｎ－１のそれぞれに対して、行列Ｔｎ’を、ｊ＝１，…，ＫｎのすべてについてＴｎ［ｊ］と同一の行を集合Ｂｎ，ｊの元の数だけ有するように生成する。キー生成部は、ｎ＝０，…，Ｎ－１のそれぞれに対して、ベクトルｋｎ’を、行列Ｔｎ’のＴｎ［ｊ］と同一の行に対応する要素がｋｎ［ｊ］と集合Ｂｎ，ｊの元との組合せに対応し、かつＴｎ［ｊ］と同一の行が複数ある場合は集合Ｂｎ，ｊの元は互いに異なるように生成する。
　本発明の行列・キー生成システム、行列・キー生成装置によれば、要素に重複があるベクトルと結合対象の行列を、要素に重複がないベクトルとそのベクトルに対応した行列に変換することができる。
階段計算の概要を説明するための図。 行列の結合の具体例を示す図。 実施例１の行列・キー生成システムの構成例を示す図。 実施例１の行列・キー生成システム、および実施例２の行列・キー生成装置の処理フローを示す図。 秘匿計算で図２に示した行列Ｔ０の行の順番とベクトルｋ０の要素の順番を、ベクトルｋ０の要素にしたがって対応を維持したままソートした様子を示す図。 要素が秘匿化された状態の図２に示したベクトルｋ０，ｋ１，ｋ２に対して階段計算を行った結果であるベクトルｘ０，ｘ１，ｘ２を示す図。 要素が秘匿化された状態の図２に示した行列Ｔ０と行列Ｔ１とを結合する場合の行列Ｔ０’，ベクトルｋ０’と行列Ｔ１’，ベクトルｋ１’の例を示す図。 実施例１変形例の行列結合システムの構成例を示す図。 実施例１変形例の行列結合システムの処理フローを示す図。 図７に示した行列Ｔ０’と行列Ｔ１’とを結合して得られる行列を示す図。 実施例２、実施例２変形例の行列・キー生成装置の構成例を示す図。
　以下、本発明の実施の形態について、詳細に説明する。なお、同じ機能を有する構成部には同じ番号を付し、重複説明を省略する。
　実施例１の説明では、Ｎを１以上の整数、ｎを０以上Ｎ－１以下の整数、Ｋｎを１以上の整数、ｉとｊを整数、ＴｎをＫｎ行の行列、ｋｎを要素の数がＫｎ個のベクトル、Ｔｎ［ｊ］を行列Ｔｎの第ｊ行、ｋｎ［ｊ］をベクトルｋｎのｊ番目の要素、ｍｎをベクトルｋｎの要素が重複する上限数、Ｍｎを１，…，ｍｎを元とする集合、∥∥を秘匿化されたデータであることを示す記号とする。ベクトルｋｎのｊ番目の要素は行列Ｔｎの第ｊ行と対応する要素である。なお、上限数ｍｎは、ベクトルｋｎの要素が実際に重複している数でなくてもよく、重複する可能性がある最大値に設定すればよい。
＜行列の結合＞
　まず、表を表現する行列とその行列の各行のキーを表現する列ベクトル、および行列の結合について説明する。行列の結合では、ベクトルｋ０，…，ｋＮ－１のすべてに共通する要素がある場合は、共通する要素に対応する行列Ｔ０，…，ＴＮ－１の行を結合して１つの行とする。図２に、行列の結合の具体例を示す。行列Ｔ０，Ｔ１，Ｔ２が結合の対象となる行列である。ベクトルｋ０，ｋ１，ｋ２がキーを示す列ベクトルである。なお、本明細書では、「行列」とは表を表現する形式、「ベクトル」とはキーを表現する形式を意味しているので、行列Ｔｎとベクトルｋｎの各要素は１つの数値に限る必要はなく、数値の組合せ、文字列などでも構わない。
　ここで、行列Ｔ０と行列Ｔ１との結合を考える。行列Ｔ０のキーを示すベクトルｋ０の１番目と４番目の要素と、行列Ｔ１のキーを示すベクトルｋ１の１番目と２番目の要素が「１」であり、共通している。つまり、行列Ｔ０の第１行と第４行のキー、行列Ｔ１の第１行と第２行のキーが「１」であり、共通している。また、行列Ｔ０の第３行のキー（ベクトルｋ０の３番目の要素）、行列Ｔ１の第３行と第４行のキー（ベクトルｋ１の３番目と４番目の要素）が「３」であり、共通している。したがって、行列Ｔ０と行列Ｔ１とを結合した行列では、行列Ｔ０の第１行と行列Ｔ１の第１行を結合した結果を第１行、行列Ｔ０の第１行と行列Ｔ１の第２行を結合した結果を第２行、行列Ｔ０の第４行と行列Ｔ１の第１行を結合した結果を第３行、行列Ｔ０の第４行と行列Ｔ１の第２行を結合した結果を第４行、行列Ｔ０の第３行と行列Ｔ１の第３行を結合した結果を第５行、行列Ｔ０の第３行と行列Ｔ１の第４行を結合した結果を第６行としている。
　次に、行列Ｔ０と行列Ｔ１と行列Ｔ２との結合を考える。キーを示しているベクトルｋ０の要素、ベクトルｋ１の要素、ベクトルｋ２の要素が共通するのは、要素が「１」のベクトルｋ０の１番目と４番目の要素、ベクトルｋ１の１番目と２番目の要素、ベクトルｋ２の１番目の要素である。つまり、キーが共通するのは、キーが「１」の行列Ｔ０の第１行と第４行、行列Ｔ１の第１行と第２行、行列Ｔ２の第１行である。したがって、行列Ｔ０と行列Ｔ１と行列Ｔ２とを結合した行列では、行列Ｔ０の第１行と行列Ｔ１の第１行と行列Ｔ２の第１行とを結合した結果を第１行、行列Ｔ０の第１行と行列Ｔ１の第２行と行列Ｔ２の第１行とを結合した結果を第２行、行列Ｔ０の第４行と行列Ｔ１の第１行と行列Ｔ２の第１行とを結合した結果を第３行、行列Ｔ０の第４行と行列Ｔ１の第２行と行列Ｔ２の第１行とを結合した結果を第４行としている。
＜構成とアルゴリズム＞
　図３に行列・キー生成システムの構成例を、図４に行列・キー生成システムの処理フローを示す。行列・キー生成システムは、ネットワーク８００で接続された３つ以上の行列・キー生成装置１６０を有し、行列・キー生成装置１６０間で秘匿計算ができる。それぞれの行列・キー生成装置１６０は、ソート部１１０、ベクトル生成部１２０、集合生成部１３０、行列生成部１４０、キー生成部１５０、記録部１９０を備える。本実施例では、行列Ｔｎの行と列の数、ベクトルｋｎの要素の数、値ｍｎは秘匿化されていない情報であり、行列Ｔｎの要素のそれぞれ、ベクトルｋｎの要素のそれぞれは行列・キー生成装置１６０の間で秘匿化された情報である。つまり、行列Ｔｎの要素のそれぞれ、ベクトルｋｎの要素のそれぞれの断片が、複数の行列・キー生成装置の記録部１９０に分散されて記録されている。なお、「断片」とは、所定の数の断片が分かれば元の値を復元できるデータであり、非特許文献４では「分散データ」と呼ばれている。
　ソート部１１０は、他の行列・キー生成装置１６０のソート部１１０との秘匿計算によって、ｎ＝０，…，Ｎ－１のそれぞれに対して、行列Ｔｎの行の順番とベクトルｋｎの要素の順番を、ベクトルｋｎの要素にしたがって対応を維持したままソートし、ソート後の行列とベクトルで、行列Ｔ０，…，ＴＮ－１とベクトルｋ０，…，ｋＮ－１を更新する（Ｓ１１０）。なお、秘匿計算でソート処理を行う方法については非特許文献１に、具体的に示されている。また、ソートは昇順でも降順でもよい。図５に、秘匿計算で図２に示した行列Ｔ０の行の順番とベクトルｋ０の要素の順番を、ベクトルｋ０の要素にしたがって対応を維持したままソートした様子を示す。この例では、値が小さいキー（ベクトルｋ０の要素）ほど早い順番（上）になっている。ベクトル生成部１２０、集合生成部１３０、行列生成部１４０、キー生成部１５０は、ソート部１１０が更新した行列Ｔ０，…，ＴＮ－１とベクトルｋ０，…，ｋＮ－１に対して処理を行う。
　ベクトル生成部１２０は、他の行列・キー生成装置１６０のベクトル生成部１２０との秘匿計算によって、ｎ＝０，…，Ｎ－１のそれぞれに対して、要素の数がＫｎ個であり要素のそれぞれを秘匿化したベクトルｘｎを、ｘｎ［１］＝∥１∥とし、２≦ｉ≦Ｋｎに対してｋｎ［ｉ－１］＝ｋｎ［ｉ］ならばｘｎ［ｉ］＝∥ｘｎ［ｉ－１］＋１∥、ｋｎ［ｉ－１］≠ｋｎ［ｉ］ならばｘｎ［ｉ］＝∥１∥のように生成する（Ｓ１２０）。この処理は、非特許文献２に示された階段計算と同じである。また、値を秘匿化する技術は非特許文献４などに示されている。図６に、ソート部１１０が、要素が秘匿化された状態の図２に示したベクトルｋ０，ｋ１，ｋ２をソートした後のベクトルｋ０，ｋ１，ｋ２と、ベクトル生成部１２０が、ソート後のベクトルｋ０，ｋ１，ｋ２に対して階段計算を行った結果であるベクトルｘ０，ｘ１，ｘ２を示す。
　集合生成部１３０は、他の行列・キー生成装置１６０の集合生成部１３０との秘匿計算によって、ｎ＝０，…，Ｎ－１のそれぞれ、かつｊ＝１，…，Ｋｎのそれぞれに対して、元のそれぞれを秘匿化した集合Ｂｎ，ｊを、それぞれの元が、集合Ｍｎ以外の集合Ｍ０，…，ＭＮ－１から１つずつ選んだＮ－１個の元とｘｎ［ｊ］の組合せに対応し、すべての組合せ分の元を含むように生成する（Ｓ１３０）。例えば、組合せを（Ｍ０の元，…，Ｍｎ－１の元，ｘｎ［ｊ］，Ｍｎ＋１の元，…，ＭＮ－１の元）のように作り、１つの元とすればよい。また、組合せから決定的に計算される値（組合せと１対１に対応している値、言い換えると異なる組合せのときには必ず異なる計算値となるように求められた値）を元としてもよい。上記の「組合せに対応」とは、組合せ自体だけでなく、組合せから決定的に計算される値を含むことを示すための表現である。
　例えば、図６に示したベクトルｋ０、ベクトルｋ１、ベクトルｋ２を用いて集合生成部１３０の処理を説明する。ベクトルｋ０では要素に∥１∥が２つあり、他の要素はそれぞれ１つずつなので、ベクトルｋ０で要素が重複する上限数ｍ０は２である。同様に要素が重複する上限数を調べると、ベクトルｋ１で要素が重複する上限数ｍ１は２、ベクトルｋ２で要素が重複する上限数ｍ２は３である。よって、集合Ｍ０＝｛∥１∥，∥２∥｝、集合Ｍ１＝｛∥１∥，∥２∥｝、集合Ｍ２＝｛∥１∥，∥２∥，∥３∥｝である。まず、行列Ｔ０と行列Ｔ１とを結合する処理の例を示す。ｘ０［１］＝∥１∥、集合Ｍ１＝｛∥１∥，∥２∥｝なので、ｘ０［１］と集合Ｍ１の元の組合せは、（∥１∥，∥１∥）と（∥１∥，∥２∥）となる。よって、集合Ｂ０，１＝｛（∥１∥，∥１∥），（∥１∥，∥２∥）｝となる。また、例えば、ｘ０［２］＝∥２∥、集合Ｍ１＝｛∥１∥，∥２∥｝なので、ｘ０［２］と集合Ｍ１の元の組合せは、（∥２∥，∥１∥）と（∥２∥，∥２∥）であり、集合Ｍ０の元とｘ１［４］の組合せは、（∥１∥，∥２∥）と（∥２∥，∥２∥）である。他の組合せについても同様に行えばよい。行列Ｔ０と行列Ｔ１と行列Ｔ２とを結合する処理の場合は、３つの組合せになる。ｘ０［１］＝∥１∥、集合Ｍ１＝｛∥１∥，∥２∥｝、集合Ｍ２＝｛∥１∥，∥２∥，∥３∥｝なので、ｘ０［１］と集合Ｍ１の元と集合Ｍ２の元の組合せは、（∥１∥，∥１∥，∥１∥），（∥１∥，∥１∥，∥２∥），（∥１∥，∥１∥，∥３∥），（∥１∥，∥２∥，∥１∥），（∥１∥，∥２∥，∥２∥），（∥１∥，∥２∥，∥３∥）となる。よって、集合Ｂ０，１＝｛｛（∥１∥，∥１∥，∥１∥），（∥１∥，∥１∥，∥２∥），（∥１∥，∥１∥，∥３∥），（∥１∥，∥２∥，∥１∥），（∥１∥，∥２∥，∥２∥），（∥１∥，∥２∥，∥３∥）｝｝となる。
　行列生成部１４０は、他の行列・キー生成装置１６０の行列生成部１４０との秘匿計算によって、ｎ＝０，…，Ｎ－１のそれぞれに対して、要素のそれぞれを秘匿化した行列Ｔｎ’を、ｊ＝１，…，ＫｎのすべてについてＴｎ［ｊ］と同一の行を集合Ｂｎ，ｊの元の数だけ有するように生成する（Ｓ１４０）。図７に要素が秘匿化された状態の図２に示した行列Ｔ０と行列Ｔ１とを結合する場合の行列Ｔ０’，ベクトルｋ０’と行列Ｔ１’，ベクトルｋ１’の例を示す。行列Ｔ０と行列Ｔ１とを結合する処理の場合、集合Ｂ０，１の元の数は２なのでＴ０［１］と同一の行を２行作る。同様に、集合Ｂ０，２，Ｂ０，３，Ｂ０，４，Ｂ０，５の元の数も２なので、それぞれ同じ行を２つずつ作る。したがって、行列Ｔ０’は同じ行が２つずつ存在する１０行の行列になる。また、行列Ｔ１’も同じ行が２つずつ存在する８行の行列になる。
　キー生成部１５０は、他の行列・キー生成装置１６０のキー生成部１５０との秘匿計算によって、ｎ＝０，…，Ｎ－１のそれぞれに対して、要素のそれぞれを秘匿化したベクトルｋｎ’を、行列Ｔｎ’のＴｎ［ｊ］と同一の行に対応する要素がｋｎ［ｊ］と集合Ｂｎ，ｊの元との組合せに対応し、かつＴｎ［ｊ］と同一の行が複数ある場合は集合Ｂｎ，ｊの元は互いに異なるように生成する（Ｓ１５０）。行列Ｔ０’が１０行、行列Ｔ１’が８行なので、ベクトルｋ０’の要素は１０個、ベクトルｋ１’の要素は８個である。Ｔ０’［１］とＴ０’［２］はともにＴ０［１］なので、ｋ０’［１］は（ｋ０［１］，Ｂ０，１の１つの元）、ｋ０’［２］は（ｋ０［１］，Ｂ０，１の別の元）となる。図７ではｋ０’［１］＝（∥１∥，（∥１∥，∥１∥））、ｋ０’［２］＝（∥１∥，（∥１∥，∥２∥））となっている。つまり、行列Ｔ０’のＴ０［１］と同一の行に対応する要素（ｋ０’［１］とｋ０’［２］）がｋ０［１］と集合Ｂ０，１の元との組合せに対応している。さらに、Ｔ０［１］と同一の行が複数あるので、集合Ｂ０，１の元は互いに異なるように選ばれている。
　なお、キー生成部１５０の説明中の「組合せに対応」も、組合せ自体だけでなく、組合せから決定的に計算される値（組合せと１対１に対応している値）を含むことを示すための表現である。例えば、ｆを組合せから決定的に値を計算する関数として、ｋ０’［１］＝∥ｆ（∥１∥，（∥１∥，∥１∥））∥としてもよい。ただし、ｆは秘匿計算が可能な関数である。
　図７から分かるように、ベクトルｋ０’にもベクトルｋ１’にも、ベクトル内で要素の重複がない。したがって、実施例１の行列・キー生成装置によれば、要素に重複があるベクトルと結合対象の行列を、要素に重複がないベクトルとそのベクトルに対応した行列に変換することができる。
［変形例］
　図８に行列結合システムの構成例を、図９に行列結合システムの処理フローを示す。行列結合システムは、ネットワーク８００で接続された３つ以上の行列結合装置１００を有し、行列結合装置１００同士の間で秘匿計算ができる。行列結合装置１００は、行列・キー生成装置１６０と結合部１７０を備えている。行列・キー生成装置１６０及び行列・キー生成ステップＳ１６０は、実施例１で説明した内容と同じである。
　結合部１７０は、他の行列結合装置１００の結合部１７０との秘匿計算によって、ベクトルｋ０’，…，ｋＮ－１’のすべてに共通する要素がある場合は、共通する要素ごとに対応する行列Ｔ０’，…，ＴＮ－１’の行を結合して１つの行とし、要素のそれぞれを秘匿化した行列を生成する（Ｓ１７０）。この処理は、非特許文献３に記載された行列結合の技術を用いればよい。図１０に、図７に示した行列Ｔ０’と行列Ｔ１’とを結合して得られる行列を示す。図１０に示された行列は、図２に示した行列Ｔ０と行列Ｔ１とを結合した行列の各要素を秘匿化した行列になっていることが分かる。なお、行列Ｔ０’，…，ＴＮ－１’とベクトルｋ０’，…，ｋＮ－１’を求めるまでの処理では、行間の対応関係を知られてしまう可能性があるが、秘匿計算での行列の結合のときに行をランダムに置換すれば、行間の対応関係を分からなくできる。
　非特許文献３の行列結合の技術は、入力の表のレコード数の総和（行列形式で表現した場合は行数の総和）をＱとすると、通信量がＯ（Ｑ・ｌｏｇＱ）である。本発明の行列・行列結合システムの場合、行数の総和をＱ、重複数の上限をＰとすると、通信量をＯ（ＰＱ・ｌｏｇＱ）にできる。キーに重複がある場合、一般的には処理はＰの２乗のオーダーで増加するが、本発明の場合はＰの１乗のオーダーなので、非特許文献３の通信量を少なくできるという長所を生かすことができる。
　実施例１では秘匿計算の場合を検討したが、本発明の考え方は秘匿計算に限定しなくても利用できる。秘匿計算でなければ複数の行列・キー生成装置を使う必要はない。１台の行列・キー生成装置で、要素に重複があるキーを示すベクトルと結合対象の行列を、要素に重複がないキーを示すベクトルとそのベクトルに対応した行列に変換できる。そこで、実施例２では秘匿化しない場合を説明する。
　実施例２では、Ｎを１以上の整数、ｎを０以上Ｎ－１以下の整数、Ｋｎを１以上の整数、ｉとｊを整数、ＴｎをＫｎ行の行列、ｋｎを要素の数がＫｎ個のベクトル、Ｔｎ［ｊ］を行列Ｔｎの第ｊ行、ｋｎ［ｊ］をベクトルｋｎのｊ番目の要素、ｍｎをベクトルｋｎの要素が重複する上限数、行列Ｔ０，…，ＴＮ－１とベクトルｋ０，…，ｋＮ－１を入力とする。また、ＭｎをＭｎ［ｉ］＝ｉであるｍｎ個の元からなる集合とする。
　図１１に実施例２の行列・キー生成装置の構成例を、図４に実施例２の行列・キー生成装置の処理フローの例を示す。行列・キー生成装置２６０は、ソート部２１０、ベクトル生成部２２０、集合生成部２３０、行列生成部２４０、キー生成部２５０を備える。ソート部２１０は、ｎ＝０，…，Ｎ－１のそれぞれに対して、行列Ｔｎの行の順番とベクトルｋｎの要素の順番を、ベクトルｋｎの要素にしたがって対応を維持したままソートし、ソート後の行列とベクトルで、行列Ｔ０，…，ＴＮ－１とベクトルｋ０，…，ｋＮ－１を更新する（Ｓ２１０）。ベクトル生成部２２０、集合生成部２３０、行列生成部２４０、キー生成部２５０は、ソート部２１０が更新した行列Ｔ０，…，ＴＮ－１とベクトルｋ０，…，ｋＮ－１に対して処理を行う。
　ベクトル生成部２２０は、ｎ＝０，…，Ｎ－１のそれぞれに対して、ベクトルｘｎを、ｘｎ［ｉ］＝１とし、２≦ｉ≦Ｋｎに対してｋｎ［ｉ－１］＝ｋｎ［ｉ］ならばｘｎ［ｉ］＝ｘｎ［ｉ－１］＋１、ｋｎ［ｉ－１］≠ｋｎ［ｉ］ならばｘｎ［ｉ］＝１のように生成する（Ｓ２２０）。集合生成部２３０は、ｎ＝０，…，Ｎ－１のそれぞれ、かつｊ＝１，…，Ｋｎのそれぞれに対して、集合Ｂｎ，ｊを、それぞれの元が、集合Ｍｎ以外の集合Ｍ０，…，ＭＮ－１から１つずつ選んだＮ－１個の元とｘｎ［ｊ］の組合せに対応し、すべての組合せ分の元を含むように生成する（Ｓ２３０）。行列生成部２４０は、ｎ＝０，…，Ｎ－１のそれぞれに対して、行列Ｔｎ’を、ｊ＝１，…，ＫｎのすべてについてＴｎ［ｊ］と同一の行を集合Ｂｎ，ｊの元の数だけ有するように生成する（Ｓ２４０）。キー生成部２５０は、ｎ＝０，…，Ｎ－１のそれぞれに対して、ベクトルｋｎ’を、行列Ｔｎ’のＴｎ［ｊ］と同一の行に対応する要素がｋｎ［ｊ］と集合Ｂｎ，ｊの元との組合せに対応し、かつＴｎ［ｊ］と同一の行が複数ある場合は集合Ｂｎ，ｊの元は互いに異なるように生成する（Ｓ２５０）。
　それぞれの処理は、秘匿計算ではないという点が実施例１と異なるだけなので、図２に示された行列Ｔ０，Ｔ１とベクトルｋ０，ｋ１が入力された場合、出力される行列Ｔ０’，Ｔ１’とベクトルｋ０’，ｋ１’は図７の各要素が秘匿化されていない行列とベクトルになる。したがって、実施例２の行列・キー生成装置によれば、要素に重複があるベクトルと結合対象の行列を、要素に重複がないベクトルとそのベクトルに対応した行列に変換することができる。
［変形例］
　本変形例では、実施例２の上位概念を導く。本変形例では、ソート部２１０を省略し、ベクトル生成部２２０をベクトル生成部２２０’に変更する。また、本変形例では、ＭｎをＭｎ［ｉ］＝ｉの集合に限定しないで、Ｍｎを互いに異なるｍｎ個の元からなる集合、Ｍｎ［ｉ］を集合Ｍｎのｉ番目の元とする。本変形例の行列・キー生成装置の機能構成は図１１、処理フローは図４に示す。本変形例では、ベクトル生成部２２０’、集合生成部２３０、行列生成部２４０、キー生成部２５０は、入力された行列Ｔ０，…，ＴＮ－１とベクトルｋ０，…，ｋＮ－１に対して処理を行う（ソートステップＳ２１０は行わない）。
　ベクトル生成部２２０’は、ｎ＝０，…，Ｎ－１のそれぞれに対して、要素の数がＫｎ個であり、各要素が集合Ｍｎの元であるベクトルｘｎを、ｉ≠ｊのときにｋｎ［ｉ］＝ｋｎ［ｊ］ならばｘｎ［ｉ］≠ｘｎ［ｊ］となるように生成する。変形例２のベクトル生成部２２０の処理は、ベクトルｋｎがあらかじめソートされている場合に利用できるベクトル生成部２２０’の処理の条件を満たす１つの処理である。よって、本変形例の発明は、実施例２の発明の上位概念である。
　このようにベクトルｘｎを生成すれば、集合生成部２３０、行列生成部２４０、キー生成部２５０の処理はソートされているか否かによる違いはないので、本変形例の行列・キー生成装置も、要素に重複があるベクトルと結合対象の行列を、要素に重複がないベクトルとそのベクトルに対応した行列に変換することができる。
［プログラム、記録媒体］
　上述の各種の処理は、記載に従って時系列に実行されるのみならず、処理を実行する装置の処理能力あるいは必要に応じて並列的にあるいは個別に実行されてもよい。その他、本発明の趣旨を逸脱しない範囲で適宜変更が可能であることはいうまでもない。
　また、上述の構成をコンピュータによって実現する場合、各装置が有すべき機能の処理内容はプログラムによって記述される。そして、このプログラムをコンピュータで実行することにより、上記処理機能がコンピュータ上で実現される。
　この処理内容を記述したプログラムは、コンピュータで読み取り可能な記録媒体に記録しておくことができる。コンピュータで読み取り可能な記録媒体としては、例えば、磁気記録装置、光ディスク、光磁気記録媒体、半導体メモリ等どのようなものでもよい。
　また、このプログラムの流通は、例えば、そのプログラムを記録したＤＶＤ、ＣＤ－ＲＯＭ等の可搬型記録媒体を販売、譲渡、貸与等することによって行う。さらに、このプログラムをサーバコンピュータの記憶装置に格納しておき、ネットワークを介して、サーバコンピュータから他のコンピュータにそのプログラムを転送することにより、このプログラムを流通させる構成としてもよい。
　このようなプログラムを実行するコンピュータは、例えば、まず、可搬型記録媒体に記録されたプログラムもしくはサーバコンピュータから転送されたプログラムを、一旦、自己の記憶装置に格納する。そして、処理の実行時、このコンピュータは、自己の記録媒体に格納されたプログラムを読み取り、読み取ったプログラムに従った処理を実行する。また、このプログラムの別の実行形態として、コンピュータが可搬型記録媒体から直接プログラムを読み取り、そのプログラムに従った処理を実行することとしてもよく、さらに、このコンピュータにサーバコンピュータからプログラムが転送されるたびに、逐次、受け取ったプログラムに従った処理を実行することとしてもよい。また、サーバコンピュータから、このコンピュータへのプログラムの転送は行わず、その実行指示と結果取得のみによって処理機能を実現する、いわゆるＡＳＰ（Application Service Provider）型のサービスによって、上述の処理を実行する構成としてもよい。なお、本形態におけるプログラムには、電子計算機による処理の用に供する情報であってプログラムに準ずるもの（コンピュータに対する直接の指令ではないがコンピュータの処理を規定する性質を有するデータ等）を含むものとする。
　また、この形態では、コンピュータ上で所定のプログラムを実行させることにより、本装置を構成することとしたが、これらの処理内容の少なくとも一部をハードウェア的に実現することとしてもよい。
　本発明は、コンピュータを利用した統計的なデータの処理や分析に利用することができる。
１００　行列結合装置　　　　　　　　　　　１１０，２１０　ソート部
１２０，２２０　ベクトル生成部　　　　　　１３０，２３０　集合生成部
１４０，２４０　行列生成部　　　　　　　　１５０，２５０　キー生成部
１６０，２６０　行列・キー生成装置　　　　１７０　結合部
１９０　記録部　　　　　　　　　　　　　　８００　ネットワーク

Claims (8)

  1. 　Ｎを１以上の整数、ｎを０以上Ｎ－１以下の整数、Ｋｎを１以上の整数、ｉとｊを整数、ＴｎをＫｎ行の行列、ｋｎを要素の数がＫｎ個のベクトル、Ｔｎ［ｊ］を行列Ｔｎの第ｊ行、ｋｎ［ｊ］をベクトルｋｎのｊ番目の要素、ｍｎをベクトルｋｎの要素が重複する上限数、Ｍｎを互いに異なるｍｎ個の元からなる集合、Ｍｎ［ｉ］を集合Ｍｎのｉ番目の元とし、
    　ベクトルｋｎのｊ番目の要素は行列Ｔｎの第ｊ行と対応する要素であり、
    　行列Ｔ０，…，ＴＮ－１とベクトルｋ０，…，ｋＮ－１を入力とし、
    　ｎ＝０，…，Ｎ－１のそれぞれに対して、要素の数がＫｎ個であり、各要素が集合Ｍｎの元であるベクトルｘｎを、ｉ≠ｊのときにｋｎ［ｉ］＝ｋｎ［ｊ］ならばｘｎ［ｉ］≠ｘｎ［ｊ］となるように生成するベクトル生成部と、
    　ｎ＝０，…，Ｎ－１のそれぞれ、かつｊ＝１，…，Ｋｎのそれぞれに対して、集合Ｂｎ，ｊを、それぞれの元が、集合Ｍｎ以外の集合Ｍ０，…，ＭＮ－１から１つずつ選んだＮ－１個の元とｘｎ［ｊ］の組合せに対応し、すべての組合せ分の元を含むように生成する集合生成部と、
    　ｎ＝０，…，Ｎ－１のそれぞれに対して、行列Ｔｎ’を、ｊ＝１，…，ＫｎのすべてについてＴｎ［ｊ］と同一の行を集合Ｂｎ，ｊの元の数だけ有するように生成する行列生成部と、
    　ｎ＝０，…，Ｎ－１のそれぞれに対して、ベクトルｋｎ’を、行列Ｔｎ’のＴｎ［ｊ］と同一の行に対応する要素がｋｎ［ｊ］と集合Ｂｎ，ｊの元との組合せに対応し、かつＴｎ［ｊ］と同一の行が複数ある場合は集合Ｂｎ，ｊの元は互いに異なるように生成するキー生成部と
    　を備える行列・キー生成装置。
  2. 　請求項１記載の行列・キー生成装置であって、
    　Ｍｎ［ｉ］＝ｉであり、
    　ｎ＝０，…，Ｎ－１のそれぞれに対して、行列Ｔｎの行の順番とベクトルｋｎの要素の順番を、ベクトルｋｎの要素にしたがって対応を維持したままソートし、ソート後の行列とベクトルで、行列Ｔ０，…，ＴＮ－１とベクトルｋ０，…，ｋＮ－１を更新するソート部
    　も備え、
    　前記ベクトル生成部、前記集合生成部、前記行列生成部、前記キー生成部は、前記ソート部が更新した行列Ｔ０，…，ＴＮ－１とベクトルｋ０，…，ｋＮ－１に対して処理を行い、
    　前記ベクトル生成部は、ｎ＝０，…，Ｎ－１のそれぞれに対して、ベクトルｘｎを、ｘｎ［ｉ］＝１とし、２≦ｉ≦Ｋｎに対してｋｎ［ｉ－１］＝ｋｎ［ｉ］ならばｘｎ［ｉ］＝ｘｎ［ｉ－１］＋１、ｋｎ［ｉ－１］≠ｋｎ［ｉ］ならばｘｎ［ｉ］＝１のように生成する
    　ことを特徴とする行列・キー生成装置。
  3. 　ネットワークで接続された３つ以上の行列・キー生成装置で秘匿計算を行う行列・キー生成システムを構成する行列・キー生成装置であって、
    　Ｎを１以上の整数、ｎを０以上Ｎ－１以下の整数、Ｋｎを１以上の整数、ｉとｊを整数、ＴｎをＫｎ行の行列、ｋｎを要素の数がＫｎ個のベクトル、Ｔｎ［ｊ］を行列Ｔｎの第ｊ行、ｋｎ［ｊ］をベクトルｋｎのｊ番目の要素、ｍｎをベクトルｋｎの要素が重複する上限数、Ｍｎを１，…，ｍｎを元とする集合、∥∥を秘匿化されたデータであることを示す記号とし、
    　ベクトルｋｎのｊ番目の要素は行列Ｔｎの第ｊ行と対応する要素であり、
    　行列Ｔｎの行と列の数、ベクトルｋｎの要素の数、値ｍｎは秘匿化されていない情報であり、
    　行列Ｔｎの要素のそれぞれ、ベクトルｋｎの要素のそれぞれは前記行列・キー生成装置の間で秘匿化されており、
    　当該行列・キー生成装置は、ソート部、ベクトル生成部、集合生成部、行列生成部、キー生成部を備え、
    　前記ソート部は、他の行列・キー生成装置のソート部との秘匿計算によって、ｎ＝０，…，Ｎ－１のそれぞれに対して、行列Ｔｎの行の順番とベクトルｋｎの要素の順番を、ベクトルｋｎの要素にしたがって対応を維持したままソートし、ソート後の行列とベクトルで、行列Ｔ０，…，ＴＮ－１とベクトルｋ０，…，ｋＮ－１を更新し、
    　前記ベクトル生成部、前記集合生成部、前記行列生成部、前記キー生成部は、前記ソート部が更新した行列Ｔ０，…，ＴＮ－１とベクトルｋ０，…，ｋＮ－１に対して処理を行うものであり、
    　前記ベクトル生成部は、他の行列・キー生成装置のベクトル生成部との秘匿計算によって、ｎ＝０，…，Ｎ－１のそれぞれに対して、要素の数がＫｎ個であり要素のそれぞれを秘匿化したベクトルｘｎを、ｘｎ［１］＝∥１∥とし、２≦ｉ≦Ｋｎに対してｋｎ［ｉ－１］＝ｋｎ［ｉ］ならばｘｎ［ｉ］＝∥ｘｎ［ｉ－１］＋１∥、ｋｎ［ｉ－１］≠ｋｎ［ｉ］ならばｘｎ［ｉ］＝∥１∥のように生成し、
    　前記集合生成部は、他の行列・キー生成装置の集合生成部との秘匿計算によって、ｎ＝０，…，Ｎ－１のそれぞれ、かつｊ＝１，…，Ｋｎのそれぞれに対して、元のそれぞれを秘匿化した集合Ｂｎ，ｊを、それぞれの元が、集合Ｍｎ以外の集合Ｍ０，…，ＭＮ－１から１つずつ選んだＮ－１個の元とｘｎ［ｊ］の組合せに対応し、すべての組合せ分の元を含むように生成し、
    　前記行列生成部は、他の行列・キー生成装置の行列生成部との秘匿計算によって、ｎ＝０，…，Ｎ－１のそれぞれに対して、要素のそれぞれを秘匿化した行列Ｔｎ’を、ｊ＝１，…，ＫｎのすべてについてＴｎ［ｊ］と同一の行を集合Ｂｎ，ｊの元の数だけ有するように生成し、
    　前記キー生成部は、他の行列・キー生成装置のキー生成部との秘匿計算によって、ｎ＝０，…，Ｎ－１のそれぞれに対して、要素のそれぞれを秘匿化したベクトルｋｎ’を、行列Ｔｎ’のＴｎ［ｊ］と同一の行に対応する要素がｋｎ［ｊ］と集合Ｂｎ，ｊの元との組合せに対応し、かつＴｎ［ｊ］と同一の行が複数ある場合は集合Ｂｎ，ｊの元は互いに異なるように生成する
    　ことを特徴とする行列・キー生成装置。
  4. 　ネットワークで接続された３つ以上の行列結合装置で秘匿計算を行う行列結合システムを構成する行列結合装置であって、
    　当該行列結合装置は、
    　請求項３記載の行列・キー生成装置と結合部を備えており、
    　前記結合部は、他の行列結合装置の結合部との秘匿計算によって、ベクトルｋ０’，…，ｋＮ－１’のすべてに共通する要素がある場合は、共通する要素ごとに対応する行列Ｔ０’，…，ＴＮ－１’の行を結合して１つの行とし、要素のそれぞれを秘匿化した行列を生成する
    　ことを特徴とする行列結合装置。
  5. 　請求項３記載の行列・キー生成装置を３つ以上有する行列・キー生成システム。
  6. 　ベクトル生成部、集合生成部、行列生成部、キー生成部を備える行列・キー生成装置に処理を実行させる行列・キー生成方法であって、
    　Ｎを１以上の整数、ｎを０以上Ｎ－１以下の整数、Ｋｎを１以上の整数、ｉとｊを整数、ＴｎをＫｎ行の行列、ｋｎを要素の数がＫｎ個のベクトル、Ｔｎ［ｊ］を行列Ｔｎの第ｊ行、ｋｎ［ｊ］をベクトルｋｎのｊ番目の要素、ｍｎをベクトルｋｎの要素が重複する上限数、Ｍｎを互いに異なるｍｎ個の元からなる集合、Ｍｎ［ｉ］を集合Ｍｎのｉ番目の元とし、
    　ベクトルｋｎのｊ番目の要素は行列Ｔｎの第ｊ行と対応する要素であり、
    　行列Ｔ０，…，ＴＮ－１とベクトルｋ０，…，ｋＮ－１を入力とし、
    　前記ベクトル生成部が、ｎ＝０，…，Ｎ－１のそれぞれに対して、要素の数がＫｎ個であり、各要素が集合Ｍｎの元であるベクトルｘｎを、ｉ≠ｊのときにｋｎ［ｉ］＝ｋｎ［ｊ］ならばｘｎ［ｉ］≠ｘｎ［ｊ］となるように生成するベクトル生成ステップと、
    　前記集合生成部が、ｎ＝０，…，Ｎ－１のそれぞれ、かつｊ＝１，…，Ｋｎのそれぞれに対して、集合Ｂｎ，ｊを、それぞれの元が、集合Ｍｎ以外の集合Ｍ０，…，ＭＮ－１から１つずつ選んだＮ－１個の元とｘｎ［ｊ］の組合せに対応し、すべての組合せ分の元を含むように生成する集合生成ステップと、
    　前記行列生成部が、ｎ＝０，…，Ｎ－１のそれぞれに対して、行列Ｔｎ’を、ｊ＝１，…，ＫｎのすべてについてＴｎ［ｊ］と同一の行を集合Ｂｎ，ｊの元の数だけ有するように生成する行列生成ステップと、
    　前記キー生成部が、ｎ＝０，…，Ｎ－１のそれぞれに対して、ベクトルｋｎ’を、行列Ｔｎ’のＴｎ［ｊ］と同一の行に対応する要素がｋｎ［ｊ］と集合Ｂｎ，ｊの元との組合せに対応し、かつＴｎ［ｊ］と同一の行が複数ある場合は集合Ｂｎ，ｊの元は互いに異なるように生成するキー生成ステップと
    　を実行する行列・キー生成方法。
  7. 　ネットワークで接続された３つ以上の行列・キー生成装置を有し、行列・キー生成装置間で秘匿計算ができる行列・キー生成システムに処理を実行させる行列・キー生成方法であって、
    　Ｎを１以上の整数、ｎを０以上Ｎ－１以下の整数、Ｋｎを１以上の整数、ｉとｊを整数、ＴｎをＫｎ行の行列、ｋｎを要素の数がＫｎ個のベクトル、Ｔｎ［ｊ］を行列Ｔｎの第ｊ行、ｋｎ［ｊ］をベクトルｋｎのｊ番目の要素、ｍｎをベクトルｋｎの要素が重複する上限数、Ｍｎを１，…，ｍｎを元とする集合、∥∥を秘匿化されたデータであることを示す記号とし、
    　ベクトルｋｎのｊ番目の要素は行列Ｔｎの第ｊ行と対応する要素であり、
    　行列Ｔｎの行と列の数、ベクトルｋｎの要素の数、値ｍｎは秘匿化されていない情報であり、
    　行列Ｔｎの要素のそれぞれ、ベクトルｋｎの要素のそれぞれは前記行列・キー生成装置の間で秘匿化されており、
    　それぞれの行列・キー生成装置は、ソート部、ベクトル生成部、集合生成部、行列生成部、キー生成部を備え、
    　前記ソート部が、他の行列・キー生成装置のソート部との秘匿計算によって、ｎ＝０，…，Ｎ－１のそれぞれに対して、行列Ｔｎの行の順番とベクトルｋｎの要素の順番を、ベクトルｋｎの要素にしたがって対応を維持したままソートし、ソート後の行列とベクトルで、行列Ｔ０，…，ＴＮ－１とベクトルｋ０，…，ｋＮ－１を更新するソートステップと、
    　前記ベクトル生成部、前記集合生成部、前記行列生成部、前記キー生成部は、前記ソートステップで更新した行列Ｔ０，…，ＴＮ－１とベクトルｋ０，…，ｋＮ－１に対して処理を行うものであり、
    　それぞれの前記ベクトル生成部が、他の行列・キー生成装置のベクトル生成部との秘匿計算によって、ｎ＝０，…，Ｎ－１のそれぞれに対して、要素の数がＫｎ個であり要素のそれぞれを秘匿化したベクトルｘｎを、ｘｎ［１］＝∥１∥とし、２≦ｉ≦Ｋｎに対してｋｎ［ｉ－１］＝ｋｎ［ｉ］ならばｘｎ［ｉ］＝∥ｘｎ［ｉ－１］＋１∥、ｋｎ［ｉ－１］≠ｋｎ［ｉ］ならばｘｎ［ｉ］＝∥１∥のように生成するベクトル生成ステップと、
    　それぞれの前記集合生成部が、他の行列・キー生成装置の集合生成部との秘匿計算によって、ｎ＝０，…，Ｎ－１のそれぞれ、かつｊ＝１，…，Ｋｎのそれぞれに対して、元のそれぞれを秘匿化した集合Ｂｎ，ｊを、それぞれの元が、集合Ｍｎ以外の集合Ｍ０，…，ＭＮ－１から１つずつ選んだＮ－１個の元とｘｎ［ｊ］の組合せに対応し、すべての組合せ分の元を含むように生成する集合生成ステップと、
    　それぞれの前記行列生成部が、他の行列・キー生成装置の行列生成部との秘匿計算によって、ｎ＝０，…，Ｎ－１のそれぞれに対して、要素のそれぞれを秘匿化した行列Ｔｎ’を、ｊ＝１，…，ＫｎのすべてについてＴｎ［ｊ］と同一の行を集合Ｂｎ，ｊの元の数だけ有するように生成する行列生成ステップと、
    　それぞれの前記キー生成部が、他の行列・キー生成装置のキー生成部との秘匿計算によって、ｎ＝０，…，Ｎ－１のそれぞれに対して、要素のそれぞれを秘匿化したベクトルｋｎ’を、行列Ｔｎ’のＴｎ［ｊ］と同一の行に対応する要素がｋｎ［ｊ］と集合Ｂｎ，ｊの元との組合せに対応し、かつＴｎ［ｊ］と同一の行が複数ある場合は集合Ｂｎ，ｊの元は互いに異なるように生成するキー生成ステップと
    　を実行する行列・キー生成方法。
  8. 　請求項１から３のいずれかに記載の行列・キー生成装置としてコンピュータを機能させるためのプログラム。
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