WO2007071735A1

WO2007071735A1 - Procede universel de modelisation des interactions entre au moins une onde et au moins un objet

Info

Publication number: WO2007071735A1
Application number: PCT/EP2006/070020
Authority: WO
Inventors: Dominique Placko; Nicolas Liebeaux; Aurélie CRUAU; Tribikram Kundu
Original assignee: Centre National De La Recherche Scientifique; University Of Arizona
Priority date: 2005-12-23
Filing date: 2006-12-20
Publication date: 2007-06-28
Also published as: FR2895544A1; CA2634903C; CA2634903A1; US20100010781A1; EP1964008A1; US8126686B2; JP5292574B2; FR2895544B1; JP2009521031A

Abstract

La présente invention est relative à un procédé de modélisation des interactions dans un système entre au moins une onde et au moins un objet, la surface de chaque objet définissant une interface entre au moins deux milieux, et elle est caractérisée en ce que ce procédé comporte essentiellement les étapes suivantes: on choisit l'ensemble des fonctions caractéristiques élémentaires correspondant au domaine d'application considéré (El), on définit les propriétés physiques de chaque milieu considéré composant le système (E2) on définit les propriétés physiques de chaque milieu considéré composant le système, on crée chaque objet du système en le maillant et on associe de chaque côté de chaque maille au moins une source élémentaire ponctuelle, on détermine le type de conditions aux limites pour chaque interface, on construit la matrice globale des interactions entre les différents objets, dépendant des conditions aux limites, des propriétés des milieux et de la configuration du système, on inverse la matrice globale, on multiplie la matrice inversée par une matrice colonne contenant les valeurs des conditions aux limites d'excitation, on obtient une matrice colonne contenant les valeurs de l'ensemble des sources ponctuelles élémentaires, on calcule en tout point du système les grandeurs physiques représentatives des interactions et on obtient un modèle analytique des interactions au sein du système.

Description

PROCEDE UNIVERSEL DE MODELISATION DES INTERACTIONS

ENTRE AU MOINS UNE ONDE ET AU MOINS UN OBJET

La présente invention se rapporte à un procédé universel de modélisation des interactions entre au moins une onde et au moins un objet, la surface de chaque objet définissant une interface entre au moins deux milieux. D'après le brevet français 2 847 051 , on connaît un procédé permettant d'évaluer une grandeur physique représentative d'une interaction entre une onde et un obstacle. La mise en œuvre de ce procédé est d'une grande utilité dans des applications telles que le contrôle non destructif. Toutefois, il ne peut s'appliquer de façon simple qu'au cas d'une seule interface séparant deux milieux. En effet, ce procédé n'est pas généralisable aux interactions avec des objets comportant plusieurs milieux, en particulier à cause des très nombreuses réflexions et transmissions générées par l'onde ultrasonore incidente au passage des interfaces.

La présente invention a pour objet un procédé de modélisation des interactions entre au moins une onde et au moins un objet, la surface de chaque objet définissant une interface entre au moins deux milieux de propriétés physiques différentes, procédé qui soit simple à mettre en œuvre et qui soit applicable dans différents domaines de la physique, pour des régimes temporels continus, sinusoïdaux ou impulsionnels, et ce, quelle que soit la composition du système étudié. Dans toute la description qui suit, il sera question de « système », qui est, au sens de la présente invention, un domaine de l'espace dans lequel ont lieu les interactions que l'on cherche à modéliser.

Le procédé conforme à l'invention est un procédé de modélisation des interactions dans un système entre au moins une onde et au moins un objet, la surface de chaque objet définissant une interface entre au moins deux milieux, et il est caractérisé en ce qu'il comporte les étapes suivantes : on choisit l'ensemble des fonctions caractéristiques élémentaires correspondant au domaine d'application considéré (El), on définit les propriétés physiques de chaque milieu considéré composant le système, on définit la structure géométrique de chaque objet du système en le maillant, et on positionne à la surface de chaque maille au moins un point test, en chaque point test, on définit au moins une grandeur test pour chaque milieu considéré afin d'établir des équations de continuité pour les conditions aux limites, on associe de chaque côté de chaque maille au moins une source élémentaire ponctuelle, on positionne les objets les uns par rapport aux autres dans l'espace, on associe des milieux aux volumes délimités par les objets, on détermine le type de conditions aux limites pour chaque interface, on construit la matrice globale des interactions entre les différents objets, cette matrice étant constituée d'au moins un bloc matriciel caractérisant les interactions entre les objets pris deux à deux, ces interactions étant liées à la propagation de l'onde dans le milieu considéré par les fonctions caractéristiques élémentaires choisies, la matrice globale comportant au maximum autant de blocs qu'il y a de combinaisons possibles entre tous les objets pris deux à deux, le contenu de chaque bloc dépendant du type de conditions aux limites fixées sur les points test, des propriétés du milieu commun aux deux objets considérés, et de la configuration géométrique de ces objets, on inverse la matrice globale, on multiplie la matrice inversée par une matrice colonne contenant les valeurs des conditions aux limites d'excitation imposée par l'utilisateur, et, le cas échéant, des zéros correspondant aux conditions aux limites intrinsèques, on obtient une matrice colonne contenant les valeurs de l'ensemble des sources ponctuelles élémentaires, on calcule en tout point d'observation du système les grandeurs physiques représentatives des interactions au sein du système en fonction des zones d'influence considérées des sources ponctuelles ; on obtient un modèle analytique des interactions au sein du système. Selon une autre caractéristique de l'invention, les points test sont répartis aléatoirement d'une maille à la suivante, de façon à éviter de privilégier au moins une direction de propagation particulière.

Selon une autre caractéristique de l'invention, on calcule des grandeurs macroscopiques dans au moins une partie du système. Selon une autre caractéristique de l'invention, on visualise les grandeurs physiques créées par l'ensemble des sources ponctuelles élémentaires considérées.

Selon une autre caractéristique de l'invention, on définit des objets à volume fermé dont la surface est à chaque fois obligatoirement fermée et constitue une frontière entre le milieu extérieur à l'objet et un milieu interne à l'objet, et on définit des objets à volume ouvert dont la surface est ouverte du fait qu'elle représente une interface entre milieux semi infinis. Lorsque cette interface est créée, elle est bornée latéralement par un ensemble de frontières qui sont celles de l'espace de travail dans lequel est étudiée l'interaction.

Selon encore une autre caractéristique de l'invention, on utilise deux sortes de conditions aux limites, les conditions aux limites intrinsèques et les conditions aux limites fixées par l'utilisateur, les premières traduisant la continuité des grandeurs scalaires et/ou vectorielles au passage d'une interface entre deux milieux de propriétés déterminées ou déterminables, et les secondes traduisant la connaissance a priori qu'a l'utilisateur de la grandeur scalaire et/ou vectorielle pour une interface. La présente invention sera mieux comprise à la lecture de la description détaillée d'un mode de réalisation, pris à titre d'exemple non limitatif et illustré par le dessin annexé, sur lequel : la figure 1 est un organigramme simplifié d'un mode de mise en œuvre du procédé de l'invention, - les figures 2 à 8 sont des schémas simplifiés de systèmes sur lesquels est mis en œuvre le procédé de l'invention, les figures 9 à 19 sont des schémas très simplifiés de milieux non homogènes sur lesquels est mis en œuvre le procédé de l'invention, et les figures 20 à 27 sont des schémas se rapportant à l'application du procédé de l'invention à des contrôles non destructifs par courants de Foucault.

Le principe du procédé de modélisation des interactions entre une onde incidente et un milieu homogène ayant été décrit en détail dans ledit brevet français 2 847 051, ne sera pas décrit à nouveau ici, et sera simplement cité sous son appellation simplifiée DPSM (« Distributed Point Source Method »). Le présent procédé se présente comme un perfectionnement de ce procédé connu pour en permettre l'application aux milieux non homogènes.

On va décrire ci-dessous plusieurs modes de mise en œuvre du procédé de l'invention en référence à des contrôles non destructifs par ultrasons et par courants de Foucault, mais il est bien entendu que l'invention n'est pas limitée à ces seules applications, et qu'elle peut être mise en œuvre dans toutes les applications mettant en œuvre des phénomènes de propagation d'ondes dans des milieux comportant au moins une interface, dans des domaines très variés tels que l'électromagnétisme, la magnétostatique, l'acoustique, l'optique, la géophysique, les courants de Foucault, la thermique, etc. Comme précisé ci-dessus, la caractéristique importante constituant le cœur de l'invention consiste à propager de proche en proche les conditions aux limites, grâce à des couches de sources ponctuelles chargées de la synthèse des grandeurs dans un milieu considéré, ces couches de sources étant disposées de chaque côté de chacune des interfaces. Selon la nature de l'onde et les propriétés des objets et milieux d'un système dans lesquels se propage(nt) l'onde (ou les ondes) provoquant lesdites interactions, la modélisation de ces interactions consiste, selon l'invention, à mettre en équation la réponse de chacun des milieux, pris séparément, à une sollicitation ponctuelle, ce qui aboutit à une fonction caractéristique élémentaire par milieu considéré. La nature physique des sources utilisées correspond, bien entendu, à la nature de l'onde que l'on souhaite synthétiser. Le calcul de la réponse à une sollicitation donne, en général, un potentiel scalaire, vectoriel ou tensoriel et les grandeurs caractéristiques de l'onde. La réponse totale du système est calculée milieu par milieu, en sommant les contributions de l'ensemble des sources ponctuelles rayonnant dans le milieu considéré. La résolution globale implique que les conditions aux limites au passage de chacune des interfaces soient satisfaites en imposant la continuité du potentiel et de sa dérivée, selon la normale à l'interface considérée, à une constante près. Cet ensemble de conditions permet d'obtenir ladite matrice globale.

Le nombre d'équations obtenues en chaque point test conditionne le choix du nombre de sources ponctuelles placées de chaque côté de l'interface.

Selon un exemple de mise en œuvre de l'invention en électrostatique, le potentiel électrique correspond au potentiel scalaire V et sa dérivée selon la normale à la surface de l'interface considérée correspond à la composante normale du champ électrique E , et la grandeur dont on doit assurer la continuité est la composante normale à la surface de l'interface de l'induction électrique D_N = EE_N. On obtient ainsi en chaque point test deux équations à deux inconnues si on place une source de chaque côté de chaque maille (à savoir V et D_N). Ces sources sont homogènes à des charges électrostatiques.

En électromagnétisme, si les milieux considérés sont conducteurs, on notera que le potentiel est un vecteur, de même que sa composante selon la normale à la surface de l'interface considérée. On obtient ainsi pour chaque point test six équations à six inconnues (à savoir trois composantes de A et trois composantes de

du fait que l'on a en chaque point test un triplet de chaque côté de la maille.

Les sources composant ces triplets sont homogènes à des éléments de courant orientés respectivement selon les axes cartésiens de ces triplets.

La mise en équation du système étant ainsi faite de façon globale à l'aide de la matrice globale unique qui tient compte de toutes les interactions entre les différents milieux. Ensuite, on calcule la valeur de l'énergie rayonnée par chaque source à l'aide de la matrice globale inversée et des conditions aux limites fixées par l'utilisateur, comme décrit ci-dessous.

De façon avantageuse, ladite fonction caractéristique élémentaire est une fonction de Green. Dans les trois schémas explicatifs qui suivent, on a figuré par un segment de droite une portion d'interface de chaque côté de laquelle, ou d'un côté de laquelle, on a représenté des surfaces sphériques contenant au moins une source ponctuelle, ces surfaces étant tangentes à l'interface. Ces sources ponctuelles et les surfaces sphériques qui les contiennent résultent d'un maillage qui modélise, au sens du susdit brevet français 2 847 051 , soit un transducteur, soit une interface. Dans les schémas ci-dessous, des cercles en gris clair correspondent à des conditions aux limites intrinsèques, et des cercles en gris foncé correspondent à des conditions aux limites fixées par l'utilisateur. Chaque maille est associée à une surface sphérique contenant au moins une source ponctuelle. Dans un cas particulier, le point de contact entre ces surfaces sphériques et l'interface est un point test, mais il est bien entendu que l'on peut répartir plusieurs point test dans chaque maille.

Le nombre total de paramètres inconnus des sources doit être égal au nombre total d'équations disponibles, le nombre d'équations étant ajusté par un choix correspondant du nombre total de points test.

" Conditions aux limites intrinsèques (CLI)

Au passage des interfaces, la continuité « naturelle » est assurée par les CLI. Les sources représentées dans le milieu n+1 ne servent qu'à propager l'onde dans le milieu n, et réciproquement. Conditions aux limites utilisateurs (CLU)

Les CLU traduisent notamment la présence d'une excitation dans le système. La figure ci-dessus représente par exemple une CLU valable vers le milieu n+1. Dans cet exemple, les sources du Milieu n+1 n'existent pas, car on ne calcule pas de grandeur dans le Milieu n, mais il est bien entendu qu'on n'exclut pas pour autant la possibilité de placer des sources dans le Milieu n+1, ces sources rayonnant dans le Milieu n. Par exemple en électrostatique ou en électrodynamique, le potentiel électrostatique, exprimé en volts, sur une électrode d'un condensateur, est constant et en général fixé par l'utilisateur.

" Conditions aux limites mixtes (CLI/CLU)

Ces conditions aux limites reprennent les définitions ci-dessus. Les autres sources ponctuelles maillant l'interface ne servent qu'à assurer des CLI entre le milieu n et le milieu n+1.

Quelles que soient les conditions aux limites, toutes les sources ponctuelles peuvent être configurées individuellement et posséder leur propre diagramme de rayonnement spécifique.

Une fois que l'on a défini les propriétés physiques de chaque milieu constituant un système à N objets dans lequel ont lieu les interactions étudiées, et que l'on a maillé ses différentes interfaces, on construit la matrice globale des interactions étudiées de la façon générale suivante. δ

Puisque le système comporte N objets, la matrice comporte NxN blocs. Ces blocs, ou matrices élémentaires, traduisent les conditions de passage entre les différents objets. Le bloc de coordonnées (i,j) représente la part de conditions aux limites calculées sur l'interface de l'objet i et due à l'influence de l'objet j (les objets i et j interagissent dans un milieu commun).

Selon une caractéristique de l'invention, le nombre total de composantes de source doit être adapté au nombre total de points test.

• S'il existe une CLU sur l'objet i (ligne i de la matrice), alors le vecteur bloc CONDITIONS n° i comprend la valeur des CLU considérées.

• Lorsque l'utilisateur fixe lui-même la valeur des sources associées à une CLU, le bloc CONDITIONS correspondant est égal à la valeur de ces sources. La matrice CLU correspondante est une matrice identité.

• Si sur l'objet ne s'appliquent que des CLI, alors le bloc correspondant du vecteur CONDITIONS est nul.

Selon une caractéristique de l'invention, les matrices élémentaires [CLI] sont constituées de types de sous-matrices notés dans les exemples décrits ci-dessous M et Q. Ces sous-matrices sont calculées selon les domaines d'application (ultrasons, électromagnétisme, acoustique, etc.) pour assurer respectivement la continuité des grandeurs aux interfaces, par exemple les composantes normale et tangentielle d'une grandeur vectorielle, ou encore une grandeur scalaire et une composante vectorielle normale.

Il en va de même pour les matrices CLU, mais l'une des grandeurs est alors imposée par l'utilisateur. Après avoir exposé les principes de base du procédé de l'invention, on va maintenant décrire en référence à l'organigramme de la figure 1 les différentes étapes mises en œuvre par le programme de l'invention pour résoudre concrètement la modélisation des interactions entre des objets délimitant des milieux de propriétés différentes. Ce programme étant interactif, il est précisé pour chacune de ses étapes si elle est exécutée à l'initiative de l'utilisateur ou à celle du calculateur de mise en œuvre, ce dernier assurant principalement des étapes de calcul d'équations et de visualisation.

Etant donné que l'invention s'applique à des domaines physiques très divers, tels que l'électromagnétisme, la magnétostatique, l'acoustique, les courants de Foucault ou la thermique, il convient tout d'abord (étape E 1) de faire choisir par l'utilisateur l'ensemble des fonctions caractéristiques élémentaires correspondant au domaine d'application considéré.

L'utilisateur définit ensuite les propriétés des milieux dans lesquels se produisent les interactions à modéliser (étape E 2). Ces propriétés comprennent tous les paramètres pertinents des milieux. Le type de propriétés des milieux va dépendre du problème étudié. Par exemple, pour de l'électrostatique la permittivité relative est un paramètre indispensable. Cette étape va permettre de créer les Indicateurs de Correspondance qui précisent les milieux adjacents à chaque objet. Les objets sont associés à deux milieux selon la formulation : i(α,β) où i désigne l'objet et α et β les milieux adjacents à i. Chaque objet a son Indicateur de Correspondance, ce qui permet de déterminer quelles sont les sources à prendre en compte dans les interactions, comme exposé ci-dessous en référence à plusieurs exemples simplifiés.

A partir de l'étape E 2, se présentent deux possibilités : soit passer par les étapes E 3, E 4 et E 5, soit passer directement à l'étape E 5. On ne passe par les étapes E3 et E4 que lorsqu'il s'agit de prendre en compte des phénomènes de propagation d'ondes. A l'étape E 3, l'utilisateur définit la fréquence des ondes qui doivent être émises par le transducteur émetteur. Une fois cette fréquence définie, le programme calcule (étape E 4) la distance maximale entre les sources ponctuelles (c'est-à-dire leur pas, pour une configuration régulière de ces sources), en fonction des caractéristiques des interactions. Ce pas est, de préférence, inférieur à la demi- longueur d'onde à l'origine de ces interactions.

A l'étape E 5, l'utilisateur définit des objets à volume fermé (dénommés ci- après OVF). Cette étape consiste essentiellement à définir géométriquement de tels objets et à déterminer le pas du maillage pour pouvoir mettre en œuvre le procédé de l'invention, le maillage étant réalisé de la façon décrite dans ledit brevet français de DPSM.

Selon l'invention, un objet à volume fermé (OVF) est tel que sa surface est obligatoirement fermée (par exemple, une sphère, une pyramide ou un cube). Cette surface est une frontière entre le milieu extérieur et un milieu interne à l'objet, de propriétés différentes. Si l'utilisateur ne souhaite pas calculer de grandeurs dans ce milieu, il doit alors appliquer des conditions limites (déterminées par lui-même et appelées ici CLU) à sa surface. Le volume de cet objet peut tendre vers zéro (par exemple pour des électrodes plates d'un condensateur).

Toujours selon l'invention, un objet à volume ouvert (appelé ici OVO) est tel que la surface de cet objet est ouverte (en théorie, ce volume est fermé à l'infini).

Elle représente une limite entre milieux semi-infinis. Quand une interface est créée pour représenter cette configuration, elle est forcément bornée latéralement par un ensemble de frontières. Ces frontières deviennent aussi celles de l'étude et aucune observation de grandeurs en dehors de l'espace délimité par ces frontières ne sera possible. Cet espace de travail est donc automatiquement borné. Les objets et milieux considérés par l'invention appartiennent nécessairement à l'espace de travail.

Si le problème à résoudre ne comporte que des objets à volume fermé, alors il n'est pas nécessaire de borner l'espace de travail. A titre d'illustration, le problème de l'étude du champ électrique dans l'espace créé par deux sphères chargées ne nécessite pas d'espace de travail. De même l'exemple, décrit ci-dessous en référence aux figures 6 à 8, montre deux systèmes non bornés dans l'espace.

Si l'ensemble du système est contenu dans un OVF avec des CLU internes de l'objet, sa surface délimite l'espace de travail (comme dans l'exemple décrit ci- dessous en référence aux figures 4 et 5). En effet, un milieu est défini par ses propriétés physiques homogènes. Un milieu est nécessairement fermé, soit parce qu'il est contenu dans un OVF, soit parce qu'il est borné par un ou plusieurs objets à volume ouvert (dénommés ici OVO) et par les frontières délimitant l'espace de travail. Pour définir un milieu, il est nécessaire de connaître sa localisation et ses propriétés physiques. Dans la description qui suit, les milieux sont référencés par des numéros. Les surfaces des objets définissent les interfaces entre deux milieux. Pour définir un objet, il est nécessaire de connaître :

1. ses dimensions et sa localisation.

2. les conditions aux limites s'appliquant sur sa surface.

3. les milieux avec lesquels l'objet est en contact. Dans la présente description, les objets sont référencés par des lettres. La création des objets correspond à une discrétisation des surfaces de ces objets en ensembles de points P auxquels sont associés les ensembles de points sources chargés de synthétiser les ondes se propageant dans le système. Ces objets déterminent des interfaces sur lesquelles sont appliquées des Conditions aux Limites (CL).

A partir de l'étape E 5, l'utilisateur soit passe par une étape E 6 de définition d'OVO (si de tels objets sont présents) pour arriver à l'étape E 7, soit passe directement à l'étape E 7 dans le cas contraire.

La définition et/ou le maillage de tout ou partie du système peuvent être fournis par un dispositif ou un logiciel extérieurs à l'invention.

L'étape E 7 consiste à déterminer des conditions aux limites, qui constituent une des conditions essentielles de la mise en œuvre du procédé de l'invention. Ces conditions aux limites sont placées sur une interface, qui est, comme précisé ci- dessus, une surface séparatrice entre deux milieux de propriétés différentes. Une autre caractéristique de l'invention est d'associer des couches de sources ponctuelles uniquement aux surfaces des objets (qu'ils soient des OVO ou des OVF). L'invention prend en compte deux types de conditions aux limites :

1. Les conditions aux limites intrinsèques (CLI), qui traduisent la continuité des grandeurs scalaires et/ou vectorielles au passage d'une interface entre deux milieux de propriétés connues. D'après le principe de base du procédé de l'invention, ces CLI seront satisfaites grâce à des ensembles de sources situées de part et d'autre de la surface. Dans la plupart des cas, l'utilisateur n'a pas à se préoccuper de ces CLI.

2. Les conditions aux limites fixées par l'utilisateur (CLU), qui traduisent la connaissance a priori qu'a l'utilisateur de la grandeur scalaire et/ou vectorielle sur une interface. D'après le principe de base du procédé de l'invention, ces CLU seront satisfaites grâce à un seul ensemble de sources situé d'un côté de l'interface. Notons que ces conditions aux limites traduisent la présence de sources d'énergie dans le système. Une telle CLU est, par exemple dans un condensateur, la différence de potentiel scalaire électrique entre les électrodes, qui est souvent connue car fixée par l'utilisateur. Une fois les conditions aux limites déterminées pour toutes les interfaces, le programme, ayant reçu toutes les données nécessaires à son exécution, va passer à l'étape E 8 d'écriture de la matrice globale.

Cette étape E 8 commence d'abord par la détermination des matrices de couplage entre interfaces et nécessite une opération dite de masquage. Le masquage désigne le fait que certains objets du système peuvent se faire écran les uns les autres

(ombres portées), comme exposé ci-dessus en référence aux figures 2 à 8. Cette opération de masquage des objets entre eux requiert l'application d'une fonction de test. Cette dernière peut s'appliquer pendant le remplissage des matrices ou bien séparément pour construire une matrice de masquage (remplie de 0 ou de 1). Une multiplication élément par élément de ce masque avec la matrice de couplage d'origine calculée sans test permettra d'obtenir la matrice effectivement prise en compte dans l'algorithme.

Pour déterminer quelles matrices de couplage calculer une procédure de test, décrite ci-dessous, a été établie. Une fois toutes les matrices de couplage calculées, la matrice globale est ordonnancée par blocs. Dans l'étape de définition des milieux, une matrice contenant les informations principales, à savoir la position relative des milieux et des objets ainsi que leurs propriétés, a été créée à partir des indicateurs de correspondance. A partir de cette matrice, en utilisant des tests permettant de déterminer quels objets sont couplés et selon quels types de CL, on écrit la matrice globale par blocs de façon à prendre en compte systématiquement toutes les interactions. En classant les groupes de source dans l'ordre des interactions, les blocs seront placés principalement sur la diagonale et autour. Avec les Indicateurs de Correspondance objets-milieux créés à l'étape précédente, on teste aisément si deux ou plusieurs objets ont un milieu commun. Ensuite on écrit les matrices de couplage des objets qui interagissent dans le même milieu. Par exemple, pour deux objets i et j ayant un milieu d'interaction commun α, les matrices obtenues vont s'écrire selon la formulation :

Cela se lit comme l'interaction de l'objet j sur l'objet i dans leur milieu commun α, les sources de j étant dans le milieu β. De même on note les sources par Aj_α β les sources associées à l'objet j, étant dans le milieu β et rayonnant dans le milieu α.

Toutes les matrices de couplage M et Q ayant le même milieu commun α doivent être de même signe dans la matrice globale. Pour chaque interface avec CLI, on assure, au moins dans ces exemples, la continuité de la grandeur scalaire (matrice Q) et de la composante normale de la grandeur vectorielle (matrice M). Par exemple, en électrostatique, ces grandeurs sont

le potentiel électrique et la composante normale du champ D , ' en ultrasons la pression et la composante normale de la vitesse. Pour chaque interface avec CLU, on applique une seule équation matricielle

(matrice M ou Q) car les conditions aux limites sur la surface sont imposées par l'utilisateur (par exemple des électrodes alimentées sous une tension déterminée).

Une fois la matrice globale écrite, le programme résout l'équation matricielle (étape E9), cette étape consistant essentiellement à inverser la matrice globale. Du fait que certaines grandeurs ( par exemple la capacité d'un condensateur) ne nécessitent pas de connaître les valeurs numériques des CLU pour être calculées, elles peuvent donc être obtenues directement après l'inversion, ce que fait directement le programme (étape E 10). Dans le cas où de telles grandeurs n'existent pas, ou bien si, en plus de telles grandeurs, il faut calculer d'autres grandeurs physiques, l'utilisateur intervient pour fournir au programme les données manquantes (étape E I l).

Les données manquantes pour le calcul des grandeurs physiques nécessaires à la modélisation des interactions sont demandées à l'utilisateur en fonction des types de conditions aux limites qui ont été fixées à l'étape E 7 (par exemple la valeur du potentiel constant sur une électrode métallique).

Ces données manquantes ayant été fournies par l'utilisateur, celui-ci passe à l'étape de définition du domaine d'observation à visualiser (étape E 12). Selon que l'utilisateur est passé par l'étape E 6 ou non, sa liberté de choix pour les calculs et observations sera plus ou moins grande : si l'espace de travail n'a pas été borné au cours de cette étape (le système, siège des interactions, ne comporte que des OVF), il n'y a pas de restriction sur la zone de visualisation. Dans le cas contraire, il doit définir l'espace de travail qui sera automatiquement borné.

Ensuite (étape E 13), le programme commence par le maillage des espaces donnés par l'utilisateur. Ensuite, il calcule les grandeurs physiques intervenant dans les interactions étudiées, selon la même procédure que celle utilisée pour le calcul des matrices de couplage, appliquée cette fois aux points de l'espace de visualisation.

Enfin, le programme trace les représentations graphiques des phénomènes d'interaction au sein du système. Les flèches latérales représentées en figure 1 montrent que le programme peut être rebouclé pour permettre à l'utilisateur de revenir à la structure afin de la modifier et d'observer les nouveaux résultats obtenus.

Les modifications possibles concernent les définitions (objets, milieux, conditions aux limites,..), comme indiqué en figure 1 par les flèches partant des étapes E 10 et E 13 et dirigées vers les étapes E 2, E 3, E 5, E6, E7, El 1 et El 2. Ces modifications permettent d'étudier l'influence d'un déplacement (des OVO et/ou des OVF), d'un changement de propriété des objets ou des milieux.

Les trois exemples décrits ci-dessous en référence aux figures 2 à 8 illustrent la technique d'écriture de la matrice globale conforme à l'invention.

On a représenté en figures 2 et 3 le cas d'un système multicouche planaire 1 , la figure 2 étant une vue très simplifiée en perspective, et la figure 3 une vue en coupe selon III-11I de la figure 2. Le système 1 représenté en figures 2 et 3 a une forme générale de parallélépipède rectangle dont les six faces sont des frontières de l'espace de travail.

Il a une structure multidomaine comportant cinq milieux respectivement référencés

Milieu 1 à Milieu 5 et six objets respectivement référencés a à f . Par exemple, l'interface entre le Milieu 1 et le Milieu 2 est référencée e, et celle entre le Milieu 2 et le Milieu 3 est référencée b. Deux OVF a et d, en l'occurrence des électrodes de condensateur, sont au contact des faces inférieure et supérieure de l'espace de travail.

Le Milieu 2 comporte une première inclusion b, et une deuxième inclusion c, qui est en contact avec l'interface f. On remarquera que le Milieu 0 définit l'extérieur de l'espace de travail, qui n'est pas connu et n 'intéresse pas l'utilisateur.

Les six différentes interfaces sont référencées de la manière suivante : a : entre les Milieux 0 et 1 b : entre les Milieux 2 et 3 c : entre les Milieux 2 et 4 d : entre les Milieux 5 et 0 e : entre les Milieux 1 et 2 f : entre les Milieux 2 et 5

La CLU relative à l'électrode a s'écrit Pa (potentiel imposé par cette électrode à l'interface a), et la CLU imposée par l'électrode d s'écrit Pd (potentiel imposé par cette électrode à l'interface d).

Les vecteurs sources générés à chacune des interfaces a à f s'écrivent : Interface a : Aai oi (du côté de l'électrode a) Interface b : Abi 2 (dans le milieu 2) et Ab_{2 3} (dans le milieu 3) Interface c : Ac_{4 2} (dans le milieu 2) et AC_{2 4} (dans le milieu 4)

Interface d : Ad_{5 02} (du côté de l'électrode d) Interface e : Ae_{2 1} (dans le milieu 1) et Ae _{1 2} (dans le milieu 2) Interface f : Af_{5 2} (dans le milieu 2) et Af_{2 5} (dans le milieu 5)

D'après ce qui a été exposé plus haut, un indicateur de correspondance, relatif par exemple à l'interface c s'écrit : c(4,2). Dans les exemples ci-dessous, les indicateurs de correspondance figurent entre les deux grandes parenthèses et permettent de déterminer l'existence des matrices de couplage non nulles :

Les conditions aux limites de l'objet 2 sont alors

et l'équation matricielle correspondante est :

On a représenté en figures 4 (vue simplifiée en perspective) et 5 (vue en coupe selon V-V de la figure 4) un exemple d'un système fermé 2.

Le système 2 comporte un tube 3 creux à section rectangulaire, que l'on a appelé ici objet a et qui contient le milieu 1 ainsi que le milieu 2 (délimité par l'objet b). Des électrodes 4 et 5 sont appliquées sur deux faces opposées de l'objet a. Sur la coupe transversale de la figure 5, on a indiqué les différentes couches de sources ponctuelles : Aaj o sur la face extérieure de l'objet a, Ab₂-_I et Abi ₂ de chaque côté de l'interface entre les milieux 1 et 2, respectivement dans le milieu 1 et dans le milieu 2. On remarquera qu'à l'endroit d'application des électrodes 4 et 5, les sources ponctuelles sont représentées différemment des autres, car ce sont des sources primaires qui indiquent la présence de surfaces actives. Le vecteur de CL Pa contient donc des CLU et des CLI.

La matrice de couplage et les indicateurs de correspondance du système 2 s'écrivent :

Les conditions aux limites s'écrivent alors :

soit :

Les deux derniers exemples sont illustrés en figures 6 à 8. Il s'agit de deux variantes de réalisation de micro-condensateurs à capacité variable ou ajustable, tels que décrits respectivement dans : "V-shaped micromechanical tunable capacitor for RF applications", A. Cruau et al, DTIP2004, Montreux et dans "A high-Q tunable micromechanical capacitor with movable dielectric for RF applications", J-B. Yoon et al, Intl. EDM 2000, San Francisco. Seules leurs particularités relatives à l'application du procédé de l'invention seront exposées ici.

La première variante, représentée en figure 6, comporte quatre jeux de trois électrodes, disposés chacun dans un plan. Ces quatre plans sont tous perpendiculaires à un plan commun (non représenté) et leurs intersections avec ce plan forment deux « V » disposés l'un légèrement au-dessus de l'autre. Chaque jeu d'électrodes comporte trois électrodes identiques en forme de ruban rectangulaire, dont les grands axes sont parallèles entre eux et audit plan commun. Les électrodes de l'un des deux jeux du « V » intérieur sont en vis-à-vis de celles de l'autre jeu de ce « V », et il en est de même pour les jeux d'électrodes du « V » extérieur. Les plans d'électrodes du « V » intérieur sont mobiles par rapport à ceux des plans du « V » extérieur, mais dans chaque « V », les deux jeux d'électrodes sont fixes l'un par rapport à l'autre.

On appelle objet a l'un des jeux d'électrodes (celui de gauche, tel que vu sur le dessin) , objet b les deux jeux d'électrodes du « V » intérieur, et objet c l'autre jeu d'électrodes du « V » extérieur. Bien entendu, les conditions aux limites sur chacune des électrodes sont fixées par les potentiels respectifs appliqués à ces électrodes. On appelle milieu 1 celui entourant toutes les électrodes. On appelle P_a, P_b et P_c les potentiels respectivement appliqués aux objets a, b et c.

Dans la variante représentée en figure 7, le condensateur variable comporte deux jeux d'électrodes disposés chacun dans un plan et un jeu de barreaux diélectriques, ces trois plans étant parallèles entre eux. Le jeu de barreaux diélectriques du plan intérieur est mobile par rapport aux deux autres jeux, qui sont fixes l'un par rapport à l'autre. Le jeu d'électrodes de l'un des plans extérieurs (le plan inférieur, tel que vu sur le dessin) est appelé objet a, celui du plan central objet b et celui de l'autre plan extérieur objet c. Tous ces éléments sont entourés par le milieu 1 , et le diélectrique contient le milieu 2. Comme dans le cas de la variante de la figure 6, les conditions aux limites sur les électrodes du dispositif de la figure 7 sont fixées par les potentiels électriques qui leur sont appliqués. Les potentiels appliqués aux objets a et c sont également respectivement appelés P_a et P_c .

On a représenté en figure 8 les différentes sources ponctuelles sur les différents objets a, b et c .

Les conditions aux limites s'écrivent, pour la première variante (figure 6):

ce qui donne la matrice de couplage

tandis que pour la deuxième variante (figure 7), les indicateurs de correspondance s'écrivent :

les conditions aux limites sont :

On remarquera que pour ces CL, 01 et 02 représentent l'intérieur des électrodes et sont extérieurs à l'espace de travail.

Pour cette deuxième variante, la matrice de couplage est :

On remarquera que dans le premier cas, la matrice Qac, et dans ce dernier cas, les matrices Mac (Qac) et Mca (Qca), sont partiellement masquées car l'objet b fait écran partiellement entre les objets a et c.

Conformément à l'invention, on peut établir, pour un système comportant plusieurs objets, la matrice globale de ce système, et ainsi trouver toutes les composantes du vecteur source J . On peut calculer en tout point d'observation du système les grandeurs physiques représentatives des interactions du sein du système. On remarquera que pour cette application à l 'électromagnétisme, le nombre de paramètres inconnus des sources par maille est égal au nombre d'équations disponibles (six, en l'occurrence).

Par exemple, dans le cas de la figure 2, le système décrit pourrait être un objet conducteur composé des milieux stratifiés 1,2 et 5, placé face à un champ d'excitation créé par l'objet d, les objets b ou c pouvant représenter une fissure ou une inclusion.

Remarque sur les jauges : les équations de Maxwell étant des équations intégro-différcnticllcs, les champs B et E sont déterminés à partir de Â à une constante près appelée jauge. La divergence d'un rotationnel est toujours nulle, il en découle que . Et comme le rotationnel du gradient d'une fonction Θ est

toujours nul, on peut ajouter un terme de gradient à A . Le champ E devient alors :

On montre que la divergence de A peut être choisie arbitrairement. Une condition appelée jauge permet alors de déterminer complètement A . On utilise couramment les jauges dites jauge de Coulomb, ou encore jauge de Lorentz. D'autres conditions sur le potentiel coexistent.

Dans le cas de la méthode DPSM, si l'utilisateur souhaite vérifier une condition de jauge particulière, alors l'ajout d'une source ponctuelle supplémentaire permet de caractériser complètement le système, et de lever toute incertitude sur le potentiel.

Les principes de base du procédé de modélisation de milieux non homogènes conforme à l'invention sont décrits ci-dessous en référence aux figures 9 à 19. On a représenté en figure 9 un système 6 comportant deux transducteurs T et

S disposés de part et d'autre d'un ensemble non homogène, c'est-à-dire comportant plusieurs objets et milieux différents. On va d'abord supposer que ces milieux sont des couches planes de propriétés et/ou de matériaux différents (différents entre couches adjacentes, chaque couche étant supposée homogène dans sa composition et ses propriétés), le système 6 étant alors qualifié de multicouches. Comme précisé ci- dessus, ces transducteurs sont, dans le cas présent, des sondes ultrasonores. On suppose que ce système 6 est constitué de n couches planes de milieux différents, référencées Ci à C_n et séparés par (n-1) interfaces référencées I] à I_{n- 1}. Pour simplifier les explications, on a représenté des transducteurs dont les faces actives (en vis-à-vis du système 6) sont planes et parallèles aux interfaces, mais il est bien entendu que l'invention peut également être mise en œuvre lorsque ces faces actives ne sont pas parallèles aux interfaces. Une couche de source, appelée source primaire, modélise un transducteur, et une interface est modélisée par deux couches de sources, appelées sources secondaires. A partir de la configuration de la figure 9, et en mettant en œuvre l'extension de la DPSM aux systèmes multicouches selon la présente invention, on a représenté en figure 10 deux couches de sources primaires As et A ) qui modélisent les deux transducteurs S et T, et 2(n-l) couches de sources secondaires relatives aux (n-1) interfaces. Ces sources ont été représentées sous forme de petits cercles tangents aux interfaces correspondantes. De chaque côté de chaque interface, on répartit sur la face entière de cette interface une couche de sources secondaires. Ainsi, par exemple pour la première interface I], on répartit des sources A*i sur la face de l'interface en vis-à-vis du transducteur S et des sources A] sur l'autre face, et ainsi de suite jusqu'à l'interface de rang n, comportant des sources A*_n-1 sur sa face en vis-à-vis de l'interface de rang (n-1) et des sources A_11-] sur sa face en vis-à-vis du transducteur T. Pour la clarté du dessin, on n'a représenté qu'une partie de ces sources primaires et secondaires. On appelle As et Aj les vecteurs contenant les valeurs des sources ponctuelles qu'on appellera par la suite vecteurs sources. Sur chaque face de chaque interface de rang 1 à n, on a représenté un ensemble de vecteurs sources secondaires A₁₁₁ (pour la face supérieure de chaque interface, telle que vue sur le dessin) et A*_m (pour la face inférieure de chaque interface).

Le champ ultrasonore total dans chaque milieu plan du système 6 est obtenu par superposition des vecteurs générés par les deux ensembles de sources situées juste au-dessus et juste au-dessous du milieu considéré. Ainsi, ce vecteur total est calculé, pour les différents milieux de la façon suivante :

Milieu C] : Sommation des champs générés par As et A_/ Milieu C₂: Sommation des champs générés par A / et A^ Milieu C₃: Sommation des champs générés par A ₂ et Aj

Milieu Q_n-I): Sommation des champs générés par A ,,_₂ et A_H-i

Milieu C_n: Sommation des champs générés par A _n._\ et Aj-

On va maintenant examiner quelles conditions aux limites et aux interfaces doivent être satisfaites afin de pouvoir déterminer les valeurs du vecteur source. Sur les faces actives des transducteurs S et T, l'utilisateur impose en chaque point des valeurs de vitesse respectivement regroupées dans des vecteurs vitesse appelés V_So et Vpo respectivement (et qui sont des CLU). Au passage des (n-1 ) interfaces, la pression P et la composante de vitesse V selon la direction localement perpendiculaire aux plans des interfaces, et qui sera simplement appelée vitesse V par la suite, doivent être continues pour des raisons tenant à la physique ultrasonore (CLI). Il en serait de même pour les conditions de continuité de grandeurs dans d'autres domaines physiques, pour lesquels les grandeurs P et V représenteraient d'autres paramètres, qui pourraient ne pas être une pression et une vitesse.

Les termes V et P sont liés au vecteur source élémentaire A par les relations V=M. A et P=Q. A, dans lesquelles M et Q sont des matrices de couplage des objets qui interagissent dans le même milieu. La matrice Q caractérise une grandeur scalaire (une pression acoustique dans le cas d'ondes ultrasonores, un potentiel scalaire électrique en électrostatique, ou bien un potentiel scalaire magnétique en magnétostatique), tandis que la matrice M caractérise une grandeur vectorielle (vitesse de propagation des ondes ultrasonores dans le présent exemple, champ électrique en électrostatique, ou champ magnétique en magnétostatique). Les conditions aux limites et de continuité entraînent les relations suivantes :

Ces équations peuvent être représentées sous forme matricielle, en écrivant les valeurs en indice (n-j) sous la forme nj,j — 1 , 2, 3 .... , comme suit :

Cette matrice peut être écrite sous la forme symbolique

On peut ainsi obtenir le vecteur {A} qui regroupe l'ensemble des sources primaires et secondaires et qui est appelé vecteur source global.

On va maintenant examiner le cas où les faces actives des transducteurs sont appliquées sur les interfaces extrêmes de l'objet qui leur font face. On considère («+1) interfaces (Io, Ii , .... I₁₁) séparant (n+2) couches de milieux différents, ces couches ayant des rangs numérotés (0, 1, 2, ...., n, n+\). Les faces actives des transducteurs S et T sont appliquées respectivement sur les interfaces inférieure (Io) et supérieure (I_n) de l'objet 1, comme représenté en figure 1 1. Ces deux interfaces délimitent respectivement un demi-espace inférieur et un demi-espace supérieur. Le milieu de rang 0 est au contact de l'interface Io, tandis que le milieu de rang n+1 est au contact de l'interface I_n. Comme expliqué ci-dessus à propos du procédé de l'invention, on répartit des couches de sources de chaque côté des n+1 interfaces Io, Ii,... I_n . Ces deux couches de vecteurs sources sont notées A₁₁₁ (pour les sources situées au-dessus des interfaces) et A*_m (pour les sources situées au-dessous des interfaces), avec 0 < m < n. Cependant, les première (Io ) et dernière (I_n ) interfaces sont adjacentes à trois couches de sources différentes. En effet, les deux ensembles de sources supplémentaires As et A_T sont dus au fait que les faces actives des transducteurs sont appliquées, par hypothèse, contre ces première et dernière interfaces. Bien que l'interface Io coïncide avec la face active du transducteur S, on considérera ici, pour l'exposé du procédé de l'invention, I₀ et S comme deux interfaces différentes. Io représente la région passive (dépourvue de source d'énergie) et S la région active (une source d'énergie y est présente). De la même façon, on considérera I_n et T comme deux interfaces différentes. Ainsi, dans le cas exposé ici, il y a n+1 interfaces passives Io, Ii ,...I_n de chaque côté desquelles est disposé un ensemble de sources, et seulement deux surfaces actives S et T qui correspondent respectivement aux deux ensembles de sources supplémentaires As et Ax.

Les champs ultrasonores dans tous les milieux, sauf les deux milieux extrêmes, sont obtenus en superposant les champs produits par deux ensembles de sources, comme noté ci-dessous :

Milieu 2: Sommation des champs produits par A _t et A₂. Milieu 3: Sommation des champs produits par A ₂ et A₃.

Milieu /?-l : Sommation des champs produits par A ,,_₂ et A_{n- 1}.

Cependant, dans chaque demi-espace au-dessus de l'interface I_n et en dessous de l'interface I₀, le champ ultrasonore n'est produit que par une seule couche de sources :

Milieu 0: le champ est produit par les sources Ao. Milieu n+\ : le champ est produit par les sources A _n. Dans les milieux supérieur et inférieur (milieux de rangs 1 et ri) le champ est produit par trois couches de sources :

Milieu 1 : Sommation des champs produits par A ₀, Aj et As. Milieu n: Sommation des champs produits par A _n._\ et A_n et A_T. Pour déterminer la valeur des sources à partir des conditions aux limites et aux interfaces, il faut d'abord satisfaire les conditions aux interfaces suivantes. Au passage des n-1 interfaces passives intermédiaires (I₁, 1₂,... I_n), la pression ultrasonore P et la vitesse V dans la direction localement normale aux plans des interfaces doivent être continues..

Si l'on exclut les surfaces actives S et T, les interfaces Io et I_n ne sont adjacentes qu'à des zones passives. Au passage de ces interfaces passives, la pression

P et la vitesse V doivent être continues, comme au passage des autres n-1 interfaces passives.

Sur les faces S et T des transducteurs, les vecteurs vitesse V sont respectivement notés Vso et Vχo. Etant donné que, comme précisé ci-dessus, V=M.A et P=Q.A, les conditions de continuité et les conditions aux limites (CLU et

CLI) donnent les équations suivantes :

Ces équations peuvent être réarrangées de la façon suivante:

En représentation matricielle, ces équations deviennent, en posant (/?-/) sous la forme n/, / = 1, 2, 3

On compte le nombre d'équations et le nombre d'inconnues de la façon suivante. On suppose que pour chaque interface Ii , I₂,... I_{n- 1} il y a N sources au- dessus de l'interface et N sources au-dessous de l'interface, qu'aux interfaces inférieure I₀ et supérieure I_n n il y a respectivement Ml et M2 sources sur les deux faces actives des transducteurs S et T et que sur les zones passives de ces deux interfaces il y a respectivement 2(N-Mi) et 2(N-M₂) sources. Ainsi, le nombre total de sources pour les n+1 interfaces (y compris les surfaces actives des transducteurs) est de 2(n+l)N-Mi-M₂. Le nombre total d'équations est également de 2(n+l)N-M]- M₂ . Par conséquent, ce système d'équations peut être résolu de façon unique. L'équation matricielle (6) peut être écrite sous la forme symbolique :

On notera que la dimension de la matrice M est de :

{2(n+l )N-Mi-M₂.* 2(n+l)N-M,-M₂.}.

Le nombre de vecteurs de source inconnus est également de 2(n+ I)N-M _J-M₂-On peut ainsi calculer le vecteur source global {A}. On va maintenant examiner le cas où les faces actives des transducteurs font partie des interfaces. La modélisation des interactions se fait alors de façon légèrement différente de ce qui vient d'être exposé. Contrairement au cas précédent, les sources primaires des transducteurs se substituent à certaines des sources secondaires d'interfaces, comme représenté en figure 12. On dispose une couche de sources de chaque côté des n+1 interfaces I₀, Ii,... I_n • Les vecteurs sources sur une face d'une interface I_m sont notés A_m au-dessus de l'interface et A*_m en dessous de l'interface. Sur la figure 12, on a représenté les transducteurs S et T au contact des interfaces Io et I,, d'un objet 1 comportant n milieux différents. Ces deux interfaces délimitent des demi - espaces repérés par les milieux 0 et n+1. La différence entre les figures 11 et 12 réside dans la répartition des point sources au voisinage des interfaces Io et I_n.

Le champ ultrasonore total dans chaque milieu est obtenu par superposition des champs produits par deux ensembles de sources de la façon suivante :

Milieu 1 : Sommation des champs générés par A ₀ et Ai. Milieu 2: Sommation des champs générés par A ₁ et A₂.

Milieu 3: Sommation des champs générés par A ₂ et A₃.

Milieu n: Sommation des champs générés par A _n._\ et A_n.

Cependant, dans chaque demi-espace précité, le champ est généré par une seule couche de sources : Milieu 0: le champ est généré par les sources Ao. Milieu n+\ : le champ est généré par les sources A „.

Pour déterminer les valeurs du vecteur source à partir des conditions aux limites, il faut satisfaire les conditions aux interfaces suivantes. Au passage des n-1 interfaces passives (I i, I₂ ,.... I₁₁-_I) la pression P et la vitesse V dans la direction localement normale à l'interface considérée ne doivent pas présenter de discontinuité. Les interfaces I₀ et I₁₁ sont adjacentes à la fois à des zones actives et à des zones passives. Les faces actives des transducteurs S et T sont disposées dans les zones actives. Ces zones sont respectivement dénommées I_Q et l\ . Les zones passives ne comportant pas les faces actives des transducteurs sont dénommées Io et I_n (sans exposants).

Sur les faces actives I_Q et /J des transducteurs les vecteurs vitesse sont

respectivement appelés Vs₀ et V™ , et au passage des interfaces passives Io et I_n la pression P et la vitesse V dans la direction localement normale à l'interface considérée ne doivent pas présenter de discontinuité, au même titre que les autres n-1 interfaces passives.

Etant donné que V = M.A et P = Q.A , les conditions aux limites et aux interfaces entraînent les équations suivantes :

Ces équations peuvent être écrites sous forme matricielle, en posant («-/) sous forme nj, j = 1, 2, 3 ...

Les termes figurant entre accolades ({ }) sont remplacés par des zéros lorsqu'il s'agit des interfaces de rangs 0 et n , tandis que les termes entre crochets pointus (( )) sont remplacés par des zéros lorsqu'il s'agit des zones actives ( /_o ^s et P_n ) et des interfaces de rangs 0 et n.

La matrice (9) ci-dessus peut être écrite sous la forme symbolique :

Ainsi, on peut obtenir le vecteur source global {A}.

On va examiner le cas particulier d'une seule interface et d'un seul transducteur, en référence à la figure 13. Ce cas peut être considéré comme un cas particulier du cas illustré en figure 10, si on enlève à ce dernier le transducteur Ap et toutes les interfaces, sauf I]. Ce cas permet de calculer le coefficient de réflexion R en termes de valeurs de M et Q, et donc d'avoir une idée de la signification physique des matrices M et Q. Dans ce cas, l'équation (2) se réduit à :

Les deuxièm et troisième équations de (11) donnent :

En soustrayant les deux équations de (12), on obtient :

avec :

Etant donné que l'on a d'après (11) :

on peut écrire

Le vecteur vitesse au n veau de l'interface dans le milieu 2 peut être exprimé sous forme de matrice de coefficients de transmission T telle que:

et dans le milieu 1 sous forme de matrice de coefficients de réflexion R telle que :

Ce qui donne :

On obtient alors :

On notera que la con tion de continuité de pression n'est pas nécessairement satisfaite séparément lorsque le problème est formulé en termes de matrices de coefficients de réflexion et de transmission parce que la continuité de la vitesse garantit la continuité de la pression également lorsque l'on considère lesdites matrices.

A partir des équations (13) et (17), on peut écrire :

En partant des enseignements de la DPSM, on calcule la valeur des N sources ponctuelles réparties à la surface d'un transducteur par exemple de la façon suivante. On suppose ici que le transducteur est au contact d'un fluide, mais il est bien entendu que l'on peut facilement transposer l'exposé dans le cas où ce transducteur serait au contact d'un corps solide. Soit A_m la valeur de la m-ième source ponctuelle. La pression p_m à une distance rm de cette source ponctuelle est donnée par :

expression dans laquelle i² = -1, /c_/ =ω/c_f- , ω étant la pulsation de l'onde ultrasonore et C_f la vitesse de propagation de cette onde. La pression ultrasonore p(x) en un point x , situé à une distance r_m de la m-ième source ponctuelle est donnée par :

Pi*) =

Etant donné qu'à partir de la relation existant entre la pression ultrasonore et la vitesse de propagation de l'onde, on peut calculer la vitesse de cette onde au point x :

et pour une vitesse exprimée en fonction du temps, de la forme é^~1'* , on obtient sa dérivée simplement en multipliant V_n par un terme positif ou négatif. Dans le cas où ce ternie est négatif, on a :

Ainsi, on obtient la valeur de la vitesse radiale v_n de l'onde ultrasonore à une distance r de la m-ième source ponctuelle :

La composante dans une direction Xs de la vitesse est :

Lorsque l'on additionne les contributions des N sources ponctuelles, la valeur totale de la vitesse dans une direction X₃ est :

Si on appelle vo la vitesse des ondes sur la face active du transducteur dans une direction x₃, pour toutes les valeurs de x sur cette face active, la vitesse dans la direction X₃ est égale à v₀, et on a alors :

En prenant N points sur la face active du transducteur, on peut obtenir un système de N équations linéaires à N inconnues (A\, A₁, AT₁, ....A_N). Cependant, il se pose un problème lorsque la source ponctuelle coïncide avec le point d'intérêt x, du fait que r_m s'annule et V_3n,, dans la relation (18-H), est illimitée. Bien entendu, lorsqu'une source ponctuelle et un point d'intérêt x sont situés sur la face active du transducteur, seuls ces deux points peuvent coïncider et r_m peut être nulle. Pour lever cette difficulté, on place les sources ponctuelles légèrement derrière la face active du transducteur. Dans un tel cas, on appelle r_s la plus petite valeur de r_m. Lorsque le point x est situé sur la face active du transducteur, sa composante de vitesse x3 est corrélée avec la vitesse Vo des ondes sur cette face active. Si on veut alors annuler les deux autres composantes de vitesse vl et v2, il faut satisfaire à la fois trois équations, à savoir l'équation (18-H) ci-dessus et les deux équations (18-1) ci-dessous :

Ainsi, on obtient 3.N équations pour les N points test des surfaces des sphères telles que celles représentées dans ledit brevet français de DPSM. Cependant, on obtient plus d'équations que d'inconnues. Pour résoudre ce problème, ce brevet français préconise d'augmenter le nombre d'inconnues pour en obtenir 3.N, en remplaçant chaque source ponctuelle par un triplet de sources ponctuelles. Ces trois sources ont des valeurs différentes et sont disposées sur un même plan parallèle à la face active du transducteur, à une distance x3= -rs de cette face. Les trois sources ponctuelles sont disposées aux sommets d'un triangle équilatéral orienté aléatoirement afin de préserver les propriétés isotropes du matériau traversé par les ondes et éviter toute orientation préférentielle de l'émission. Ainsi, en résolvant un système de 3N équations linéaires (dans le cas de triplets) ou de N équations linéaires (pour une source ponctuelle unique), on obtient les valeurs de A_m associées à toutes les sources ponctuelles .Une fois obtenues les valeurs de A_m, on calcule la pression p(x) en tout point à partir de la relation (18-B), que ce soit sur la face active du transducteur ou au-delà. On remarquera que dans le cas d'un fluide parfait non visqueux, seule la composante de vitesse normale (v₃) à l'interface fluide-solide (sur la face active du transducteur) doit être continue. Les composantes de vitesse parallèles à cette face active ne sont pas nécessairement continues parce que des glissements peuvent se produire entre la face active et le fluide. Cependant, de tels glissements ne peuvent pas se produire dans le cas de fluides visqueux, et les trois composantes de la vitesse doivent être continues à ladite interface.

On va exposer ci-dessous le calcul des paramètres des sources à l'aide du calcul matriciel, en référence à la propagation d'ondes ultrasonores dans un fluide, mais il est bien entendu que ce calcul peut être aisément transposé dans d'autres domaines d'application, tels que ceux cités dans la présente description. Ce calcul est présenté pour des sources en triplets, lorsque les trois composantes cartésiennes de vitesse sur la face active du transducteur correspondent à celles dans le fluide, à l'interface avec le transducteur, comme c'est le cas avec des fluides visqueux. Dans le cas contraire, on utilisera des sources ponctuelles uniques à la place des triplets, en éliminant les composantes de vitesse vl et v2 dans les calculs. La dimension des matrices et les dimensions des vecteurs passeront alors de 3N à N. En combinant les relations (18-H) et (18-1), on obtient :

dans cette relation, V_s est e vecteur de dimension (3N x 1) des composantes de vitesse en N points x et A_s est le vecteur de dimension (3N x 1) comportant les grandeurs physiques relatives 3N sources ponctuelles. M_ss est la matrice de dimensions (3N x 3N) liant les deux vecteurs V_s et A_s . A partir des équations (18-H) et (18-1), on obtient aussi :

On notera que la transposée du vecteur colonne V_s est un vecteur rangé de dimension (1 x 3N). Les éléments de ce vecteur sont notés v" , l'indice j pouvant prendre les valeurs 1 , 2 ou 3 et indiquant la direction de la composante cartésienne de la vitesse de propagation des ondes. L'exposant n peut prendre toute valeur entre 1 et N et il correspond au point de la face active du transducteur pour lequel la composante de vitesse est définie.

Pour la plupart des transducteurs ultrasonores, v" est nul pour j=l ou 2 (c'est-à-dire pour des composantes de vitesse parallèles à l'interface) et v" = Vo pour j = 3 (composante normale de la vitesse ). Dans ce cas, la relation (18-K) devient :

et le vecteur As est donné par :

La matrice carrée M_&ç est obtenue à partir des équations (18-H) et (18-1) :

avec :

Dans la relation (18-0), le premier indice y de x peut prendre les valeurs 1, 2 ou 3 et indique à quelle direction xi, x₂ ou x₃ se rapporte x. L'indice m de x et de r peut prendre les valeurs de 1 à 3N, en fonction de la source ponctuelle considérée, tandis que l'indice n peut prendre toute valeur entre 1 et N en fonction du point considéré de la face active du transducteur pour lequel on calcule la composante de vitesse.

Soit X₁₁ un des points x (situé à l'arrière de la face active du transducteur). Le vecteur reliant la m-ième source ponctuelle à ce point est noté r_n" et ses trois composantes selon les directions X₁, x₂, et X₃ ont pour valeurs x"_m , j = 1,2,3 dans les équations (18-N) et (18-O). A partir de l'équation (18-J), on obtient les grandeurs relatives aux sources ponctuelles en inversant la matrice M₅₅ :

ne fois que l'on a ainsi calculé le vecteur source A^ , on obtient la pression p(x) à partir de l'équation (18-B) ou encore le vecteur vitesse V(x) en tout point (sur la face active du transducteur ou au-delà) à partir des équations (18-H) et (18-1). Par la suite, on appelle "point d'observation" tout point du fluide (ou, de façon plus générale, tout point d'un milieu dans lequel se produit une interaction entre une onde et le matériau de ce milieu) pour lequel on calcule les vecteurs de vitesse et de pression. On obtient les composantes de pression et de vitesse à partir des relations suivantes:

Dans cette expression, Pr est un vecteur de dimension (M x 1) et comporte les valeurs de pression en M points d'observation, et V₇- est un vecteur de dimension (3 M x 1) comportant les trois composantes en tout point d'observation. L'expression de V^ est similaire à celle de Vs tirée de l'expression (18-K). La seule différence réside dans le fait que sa dimension est de (3M x 1) et non pas de (3N x 1). La matrice Mrs est la même que celle de Mss dans l'équation (18-N) si les points d'observation sont identiques aux points de la face active du transducteur pour lesquels les composantes de vitesse sont choisies de façon à obtenir le vecteur source As dans l'équation (18- P). Cependant, pour calculer le vecteur vitesse en différents points, l'expression donnant M_τs est légèrement différente de celle de Mss tirée de l'équation (18-N). Par conséquent, sa dimension est de (3 M x 3N ) comme marqué dans l'équation (18-R) ci-dessous:

Dans cette expression, le terme f\x"_ιm ,r"_t ) est identique à celui figurant dans l'équation (18-O). Les définitions des indices / et m sont les mêmes que celles dans l'équation (18-O). Les exposants n des variables x et r peuvent prendre toute valeur entre 1 et M, en fonction du point considéré. Il est à remarquer que M_τs n'est pas une matrice carrée lorsque M est différent de N.

On obtient la matrice Q_Ts à partir de l'équation (18-B) lorsqu'il y a 3N sources ponctuelles et M points considérés:

Dans cette équation, la définition de r_n" est la même que dans les équations (18-R) et

(18-Q), et c'est la distance entre la w-ième source ponctuelle et le «-ième point considéré.

En revenant à l'équation (18), on obtient, à partir des équations (18-O) et (18- S), les éléments de la matrice Q de cette équation (matrice établissant la relation entre la pression acoustique et le vecteur source) ainsi que les éléments de sa matrice M (qui établit la relation entre la composante normale de vitesse et le vecteur source), ce qui donne:

On définit maintenant deux matrices Q et M similaires aux matrices Q et M de l'équation (18), la seule différence étant que les matrices Q et M sont relatives aux propriétés du milieu 2 parce qu'elles donnent la pression et la vitesse dans le milieu 2 en valeurs de répartition de sources Ai , alors que les matrices Q et

M utilisent les propriétés du milieu 1. Par conséquent, les matrices Q et M donnent les valeurs de pression et de vitesse pour des sources équivalentes réparties selon une position Ai lorsque le milieu 2 est remplacé par le milieu I . On peut alors écrire l'équation 19 ainsi:

De la même façon, on obtient:

On notera ici que les matrices Q₁₁ et M₁₁ sont similaires aux matrices Qn et Mn de l'équation (18), la seule différence étant que les matrices Q₁₁ et M₁₁ donnent les valeurs de pression et de vitesse pour les points aux interfaces dans la configuration de répartition de sources Ai , tandis que les matrices Qn et Mn donnent les valeurs de pression et de vitesse pour les points aux interfaces dans la configuration de répartition de sources Ai. Il faut noter que ces deux matrices utilisent les propriétés de matériau du milieu 1. Etant donné que la configuration de répartition Ai est située juste au-dessus de l'interface, alors que la configuration de répartition Aj est située juste au-dessous de l'interface, les vecteurs normaux de vitesse relatifs aux points situés de part et d'autre de l'interface sont de même amplitude et sens opposés. Les pressions générées par ces deux couches de sources ponctuelles sont de même amplitude. On a alors:

En reportant l' équation (22) dans l'équation (18), on obtient:

Si la configuration de répartition de sources Â à l'emplacement Ai^* de l'interface est équivalente à celle des sources As à l'emplacement considéré, on obtient, en rendant égales les expressions de vitesse des deux ensembles de sources:

de la même façon, o obtient pour les pressions:

On remarquera que A et Ai sont différentes bien qu'elles soient situées au même emplacement. A représente la répartition de sources ponctuelles équivalente lorsque les deux milieux 1 et 2 sont identiques. En d'autres termes, si on remplace le milieu 2 par le milieu 1 , il n'y a pas d'interface réelle pour A . Cependant, pour Aj^* il y a une interface réelle entre les milieux 1 et 2.

En comparant les équations (24) et (25), on obtient:

En substituant l'équation (26) dans l'équation (23), on obtient:

En substituant dans l'équation (27) les valeurs de OC₁, α₂, βi ετ β₂par celles données dans les équations (20) et (21), on obtient:

Si l'on a affaire à des ondes à haute fréquence (k_mr » 1),

par con re, pour des fréquences basses (k_mr «1 ), on a: _{i n}

I U

remarquera que le coefficient de réflexion en hautes fréquences est similaire au coefficient de réflexion en ondes planes en incidence normale. Par contre, il est légèrement différent en basses fréquences. La raison en est que l'exemple exposé ici se rapporte aux ondes sphériques avec une source ponctuelle. 15 On modélise les ondes planes en superposant un grand nombre de sources ponctuelles. On va maintenant exposer des caractéristiques du procédé de l'invention en référence à un système multicouches et aux interactions sur la face active du transducteur. Le problème géométrique considéré ici est identique à celui relatif à celui de la figure 10. La différence dans les conditions aux limites entre le cas présent et celui exposé en début de description, pour lequel la vitesse des ondes aux frontières S et T est spécifiée et dénommée respectivement V^₀ et Vro , alors que dans le cas exposé ici, elle n'est pas spécifiée. En l'absence de toutes les autres interfaces et des transducteurs, cette vitesse sur les faces S et T serait respectivement W so et V₇₀. Dès que l'on introduit d'autres interfaces et un second transducteur, la vitesse des ondes sur la face S n'est plus V50 et celle sur la face T n'est plus Vn).. On va donc maintenant considérer le changement de vitesse sur la face du transducteur dû à l'interaction transducteur-interface.

On résout ce problème en deux étapes. D'abord, on obtient les valeurs des vecteurs sources As et A_T de transducteurs actifs à partir des conditions de vitesse de surface:

Dans une seconde étape, on introduit deux couches de sources ponctuelles à chaque interface, y compris S et T, comme représenté en figure 14. Avec l'introduction de ces nouvelles sources, la valeur totale des sources au-dessous de l'interface S est égale à As + A ₀ et à Aj + A_n au-dessus de l'interface T. Sur la figure 14, l'interface T est référencée Io et l'interface T est référencée I_n. Les autres interfaces sont respectivement référencées Ii à I_n-].

Les champs ultrasonores dans la plupart des couches sont obtenus par superposition des champs générés par deux couches de sources ponctuelles comme noté ci-dessous:

Milieu 2: Sommation des champs générés par A ₁ et A₂.

Milieu 3: Sommation des champs générés par A ₂ et A₃. Milieu n-1 : Sommation des champs générés par A _n_₂ et A_n._\.

Par contre, dans les demi-espaces inférieur (milieu 1, au-dessus de la face S) et supérieur (milieu n, au-dessous de la face T), le champ total est généré par trois sources ponctuelles :

Milieu 1 : Sommation des champs générés par A o, Ai et As.

Milieu n: Sommation des champs générés par A _n-j, A_n et A_T.

A l'intérieur du milieu que constitue un transducteur (sous la face S et sur la face T), le champ est produit par une seule couche de sources ponctuelles: A l'intérieur du transducteur S: Le champ est généré par Ao sources seulement.

A l'intérieur du transducteur T: Le champ est généré par A _n sources seulement.

On détermine la valeur des sources à partir des conditions aux interfaces de la façon suivante.

Les conditions aux interfaces (CLI) suivantes doivent être satisfaites. Au passage des n-1 interfaces passives centrales (I], I₂, I»-i), la pression (P) et la vitesse normale (V) , c'est-à-dire la composante de vitesse selon la direction localement normale à l'interface considérée, doivent être continues. De même, au passage des interfaces S(Io) et T(I_n) la pression (P) et la composante de vitesse selon la direction localement normale à l'interface considérée (V), doivent être continues, comme c'est le cas pour toutes les autres n-\ interfaces.

La vitesse étant notée V = M.A , et la pression P = Q.A, les conditions de continuité entraînent les équations suivantes:

Sous forme matricielle, ces équations peuvent être écrites, en écrivant (n-j) sous la forme nj,j = 1 , 2, 3 ... :

Pour compter le nombre d'équations et d'inconnues, on suppose qu'à chacune des interfaces Ii , I₂, ... I_n-I il y a N sources ponctuelles au-dessus de l'interface considérée et N sources ponctuelles au-dessous de cette interface. Sur les interfaces inférieure (I₀) et supérieure (I_{n H}) il y a respectivement 2M\ et 2M₂ sources ponctuelles en comptant les deux couches de sources au-dessus de la surface S et en dessous de la surface T. Ainsi, le nombre total de sources inconnues aux n+1 interfaces (y compris les surfaces S et T) est de 2[(n-l)iV+Mi+M₂] et, en plus de ces sources inconnues, il y a M₁+Λ/₂ sources connues A₅ et A^ qui sont obtenues par l'équation (31). Le nombre total d'équations est également de 2[(«-l)A/+Mi+M₂] parce qu'à chaque point commun de l'interface considérée, deux conditions doivent être satisfaites et que le nombre total de points communs considérés pour toutes les interfaces est de [(«-l )Λ/-hWi+M₂] . Par conséquent, on résout de façon unique ce système d'équations.

L'équation matricielle (33) peut être écrite sous la forme symbolique:

Comme précisé ci-dessus, la dimension de la matrice M est de 2[(«- I )/V+Mi+M₂]x2[(w- 1 W+M₁+M₂] . Le nombre de vecteurs source inconnus est également de 2[(w-l )N+Λ/i+M₂] . Il en résulte que le vecteur source global est obtenu de façon unique.

On va maintenant examiner les interférences intervenant entre deux transducteurs en référence à la figure 15, et plus particulièrement les phénomènes de réflexions multiples entre deux interfaces consécutives.

On va d'abord examiner un exemple très simple, illustré sur la figure 15 :deux transducteurs S et T disposés face-à-face et séparés par un milieu homogène ML. La face active de chaque transducteur peut comporter des zones actives et des zones passives. Dans une zone active, la vitesse de surface des ondes Vos (ou Vor) en l'absence de tout effet d'interface est spécifiée. Dans une zone passive, la vitesse de surface est nulle lorsqu'elle n'est influencée par aucune autre source.

A^o et An sont des sources ponctuelles réparties sur les transducteurs S et T lorsque l'effet d'interaction entre elles est ignoré. En d'autres termes, A₅₀ et A^ représentent des répartitions de sources ponctuelles servant à modéliser le champ généré par un transducteur dans un milieu homogène en l'absence de tout autre transducteur ou diffuseur.

Le champ A^o est réfléchi par le transducteur T. On modélise ce champ en introduisant une nouvelle couche de sources An réparties sur le transducteur T En mettant en équation les vecteurs vitesse sur la surface S et produits par les sources An et ceux dus à la réflexion du champ A^o, on obtient:

e champ généré par An est ensuite réfléchi par le transducteur S. On modélise ce champ en introduisant une couche de sources A₅₂ réparties sur la surface du transducteur S. En mettant en équation les vecteurs vitesse sur la surface S et générés par les sources A₅2 et ceux dus à la réflexion du champ An, on obtient:

En répétant ces opérations pour toutes les autres réflexions, on obtient:

De façon similaire, en partant des sources A^ et en combinant le champ sur la surface S venant de A^i et celui réfléchi par A^ on obtient :

et :

Par conséquent, les vecteurs source au niveau des transducteurs S et T peuvent être exprimés ainsi:

On peut alors obtenir les vecteurs vitesse et la répartition de la pression à partir des équations suivantes:

la vitesse des ondes émises par le transducteur est invariable, le vecteur source est obtenu de l'équation (41) :

Si la surface de la zone active diffère de la surface totale du transducteur et si on ne spécifie que le vecteur vitesse sur la surface de la zone active, on a:

On remarquera que W + W doit être une matrice d'identité. L'équation (44) peut aussi s'écrire:

avec

par conséquent:

Etant donné que A₅₀ et An sont nuls dans les zones passives, le second terme de cette équation est nul. En éliminant alors les colonnes à contenu nul dans l'expression de WMoDW et en la définissant en tant que matrice E, on obtient l'équation simplifiée suivante:

Le procédé de l'invention s'applique également au cas de la diffusion, et en particulier lorsque le diffuseur a une forme quelconque et est supposé homogène, comme illustré en figure 16. Un tel diffuseur peut être une inclusion, dans une couche de milieu homogène (appelé milieu 1), d'un matériau (appelé milieu 2). Dans un tel cas, on met en œuvre deux couches de sources ponctuelles : une première couche (A_J) à l'intérieur du diffuseur, au contact de sa surface extérieure, et une seconde couche (Ai ) sur la surface extérieure de ce diffuseur, dans le milieu 1. En plus de ces deux couches de sources, on tient compte de deux couches de sources ponctuelles As et Ay modélisant les transducteurs S et T. On obtient la valeur totale du champ dans le milieu 1 en superposant trois couches de sources As, A_T et Ai , alors que le champ dans le milieu 2 est dû à une seule couche de sources A] . En appliquant les conditions aux limites sur les surfaces des deux transducteurs et les conditions de continuité au passage de l'interface entre les deux milieux en question, on obtient:

cette équation peut être écrite sous la forme matricielle:

Cette équation matricielle est résolue pour les vecteurs source A^, A_τ, Ai et Ai .

Le procédé exposé ci-dessus permet, en principe, de résoudre le problème de la modélisation des interactions en présence d'un diffuseur. Cependant, il reste à résoudre le problème du masquage dû à une telle inclusion. Ainsi, un point quelconque du milieu 1 (appelé ci-après point en question) ne "voit" pas toutes les sources ponctuelles de la couche A] , et il peut ne pas voir toutes les sources ponctuelles des deux transducteurs. Dans les exemples précédents (illustrés par les figures 9 à 15), pour des objets ne comportant que des interfaces planes, ce problème n'existait pas du fait que le point en question ne se trouvait jamais dans une zone masquée. Pour contourner cette difficulté, on suppose que les sources ponctuelles rayonnent de l'énergie dans une seule direction, à savoir dans un demi-espace, alors que l'autre demi-espace reste masqué, et si l'inclusion empêche le trajet des rayons émis par une source ponctuelle d'un transducteur d'atteindre ce point en question, on ignore la contribution de cette source ponctuelle. On a illustré en figure 17 cette façon de procéder, en reprenant les même références qu'en figure 16. On a représenté en figure 17 le point en question, marqué P et situé dans le milieu 1 et trois couches de sources ponctuelles (A^-, A-, et A₇-) qui contribuent à la génération du champ calculé au point P. Si ces trois couches de sources ponctuelles ne rayonnent que dans le demi-espace avant et si le demi-espace arrière reste masqué, le diagramme de rayonnement relatif à ces trois couches de sources ponctuelles est tel que celui représenté par des petits croissants sur la figure 17. Le point P reçoit alors un rayonnement provenant de toutes les sources ponctuelles A^ situées entre les points A et B ainsi que de certaines des sources ponctuelles Aj situées entre les points C et D (sur le milieu 2) et de toutes les sources ponctuelles A₇- situées entre les point E et F. Cependant, en fait, à cause de la présence du diffuseur entre le point P et une partie des sources ponctuelles A₇ situées entre les points F et G, le point P est excité seulement par les sources ponctuelles A₇- situées entre les points E et G. (le rayon joignant P à G est tangent au milieu 2). Ainsi, pour mettre en œuvre le procédé de l'invention dans un tel cas, il faut déterminer quelles sources ponctuelles peuvent exciter le champ au point P, et ensuite, on annule les contributions de toutes les autres sources ponctuelles pour ce champ. On va décrire , en référence à la figure 18, une méthode alternative pour ce même cas d'inclusion d'un diffuseur, plus facile à l'aide d'un programme de calcul.

On a représenté en figure 18, entre les transducteurs S et T, trois milieux au lieu des deux milieux de la figure 17. Le milieu 2 comporte la même inclusion que celle de la figure 17, et se prolonge par des couches planes. Ce milieu 2 est délimité par deux interfaces II, 12 contournant l'inclusion et se prolongeant par des surfaces planes parallèles aux faces actives des transducteurs S et T et distantes entre elles d'une distance D inférieure à l'épaisseur maximale de l'inclusion (épaisseur maximale de l'inclusion, telle que déterminée sur une perpendiculaire aux faces actives des transducteurs). Le plan médian de ces surfaces planes des interfaces II, 12 passe sensiblement par le centre C du milieu 2 (on a représenté sur le dessin sa trace TR, qui passe par C) . On appelle milieu 1 celui se trouvant entre le transducteur S et l'interface II , et milieu 3 celui se trouvant entre le transducteur T et l'interface 12.

On obtient les valeurs des champs dans les milieux 1 , 2 et 3 en additionant les contributions de deux couches de sources ponctuelles, comme suit: Milieu 1 : Sommation des champs produits par A.çet Ai

Milieu 2: Sommation des champs produits par A i et A_? Milieu 3: Sommation des champs produits par A ₂ et A₇-

En respectant les conditions aux limites sur les faces actives des deux transducteurs S et T, et les conditions de continuité au passage des deux interfaces séparant respectivement les milieux 1 et 2 d'une part, et les milieux 2 et 3 d'autre part, on obtient:

remarquera que dans l'exemple représenté en figure 18, seuls quelques points d'une petite zone peuvent se trouver dans une zone masquée, et le fait de n'en pas tenir compte n'introduira qu'une erreur négligeable.

Si les propriétés du milieu 3 sont les mêmes que celles du milieu 1 et si la distance D est nulle, l'exemple de la figure 18 devient celui représenté en figure 19. Sur cette figure 19, les mêmes éléments que ceux de la figure 18 sont affectés des mêmes références, et du fait que, par hypothèse, les milieux 1 et 3 ont les mêmes propriétés et la distance D est nulle, le milieu 2 est entièrement entouré par le milieu 1, et les deux interfaces II et 12 se réduisent à une interface virtuelle IO passant par le centre C du milieu 2 et parallèle aux faces actives de T et S. La différence par rapport au cas représenté en figure 16 réside dans la détermination des sources ponctuelles. Ainsi, en figure 16, les quatre couches de sources sont As, Ar, Ai et A^*i, alors qu'en figure 19, les couches A^ et Aj- sont identiques à celles de la figure 16, tandis que la couche A] de la figure 16 se trouve divisée en deux couches A] et A^* ₂ dans la figure 19, et la couche A ₁ de la figure 16 se trouve divisée en deux couches A₂ et A ₁ dans la figure 19.

L'équation (51) est modifiée de la façon suivante pour s'adapter au cas de la figure 19 :

ce qui donne :

l'équation (53) s'écrit sous la forme matricielle suivante :

La résolution de l'équation (54) permet, au contraire de la résolution de l'équation (50), de résoudre les problèmes liés aux zones masquées.

On va décrire ci-dessous un mode de mise en œuvre du procédé de l'invention dans le cadre de l 'électromagnétisme, et plus particulièrement dans le domaine des courants de Foucault, lorsque le système possède plusieurs domaines. La théorie de Green constitue l'une des nombreuses techniques de calcul que l'on peut utiliser dans le domaine de l 'électromagnétisme en vue de résoudre des équations relatives à des ondes non homogènes [Ney], telles que :

Dans cette équation, A représente le vecteur potentiel magnétique, et J la densité de courant, avec :

expression dans laquelle on a :

On notera que dans le cas d'un milieu conducteur, coσμ » ύfμε , ce qui entraîne σ » ωε , ce qui donne:

d'où l'on peut déduire la profondeur de l'effet de

peau: On obtient alors des équations de diffusion.

Dans le cas contraire, si le milieu n'est pas conducteur, k² ≡ co²με et que c étant la vitesse des ondes, on a affaire à des équations de

propagation, et on peut définir la longueur d'onde :

La théorie de Green permet de formuler le problème de façon globale, ce qui se raccorde parfaitement avec le procédé DPSM de l'invention, selon lequel, comme précisé ci-dessus, on somme les contributions de toutes les sources ponctuelles rayonnant dans le milieu considéré.

Soit

la réponse impulsionnelle d'un milieu à une impulsion de Dirac dans une équation de Helmholtz et ses conditions aux limites, ce qui peut s'écrire :

La solution particulière est alors :

φ étant une inconnue, et si f est l'excitation, φ est donné par :

G(r,r') étant la fonction de Green ou la solution élémentaire liée à l'équation (F-4), et f la source dans le volume V .

On examine maintenant le cas d'un espace libre homogène, pour lequel il y a une densité de courant J(r) dans un volume v . Le vecteur potentiel magnétique est alors la solution de l'équation (F-I). On peut obtenir à partir de l'équation (57) la fonction de Green en coordonnées sphériques [Ney] :

étant la distance entre le point d'observation et le point d'excitation.

La fonction de Green, solution de l'équation (60) est :

Cette solution peut être considérée comme une onde sphérique, décroissant selon 1/R et présentant une singularité au point R — » 0 .

La solution particulière à l'excitation J(r) peut être obtenue en appliquant l'intégrale de convolution (59). Cette solution, prise avec la partie droite de l'équation (55) et avec la fonction de Green (61) peut être écrite ainsi :

Les champs magnétique B et électrique E peuvent être déduits de l'équation

(62). En outre, cette équation représente la contribution de la totalité des sources dans

Ic volume v' au point d'observation r . Il existe une similitude évidente entre la formulation selon Green et celle selon la DPSM, excepté le fait que les sources de

DPSM sont des sources ponctuelles. On notera que dans l'équation (62), J(r') est une densité de courant, exprimée en A/m².

Selon la formulation du procédé DPSM, le terme J représente une somme finie de Ns sources ponctuelles :

Si l'on insère l'équation (F-9) dans l'équation (F-8), on obtient:

On notera que dans l'équation (64), considérée avec l'équation (62), J₁ est équivalent à la densité de courant J(r') qui a été intégrée dans un volume élémentaire dv et qui représente un vecteur source élémentaire (source en triplet, c'est-à-dire à trois composantes élémentaires cartésiennes, exprimées en unité de courant multiplié par une longueur, à savoir en A. m dans le système métrique).

En coordonnées cartésiennes, le vecteur potentiel, calculé en un point de coordonnées r s'exprime par:

avec :

et :

en utilisant le point source de coordonnées (Cx₁ , Cy₁ , Cz₁ ) et le point d'observation P de coordonnées (x,y,z) .

Le procédé DPSM de l'invention effectue la sommation des contributions de toutes les sources ponctuelles en un réseau de points d'observation P donné. Si l'on a par exemple Np points d'observation, pour chaque valeur de r . le vecteur potentiel magnétiqu se compose de trios vecteurs Pae

exemple, Ax est donné par l'expression:

Dans cette expression, R_μ est la distance entre les points d'excitation / et le point d'observation/

On obtient finalement pour le vecteur A comportant toutes les coordonnées x, y et z de A :

On peut également noter que les composantes du triplet élémentaire Jx₁ , Jy₁ ,

Jz₁ ne sont pas exactement situées au même point V₁ et que la matrice Wxx , Wyy , et Wzz peut être légèrement différente.

Ainsi, on obtient le champ magnétique B(r) en un point r donné avec l'équation :

Et on :

Soit :

Soient

les coordonnées curvigilignes :

avec :

our une seule source / , les dérivées partielles donnent :

Soit :

Donc, pour la coordonnée rotAx on obtient :

II en va de même pour les coordonnées rotAy et rotAz :

et finalement :

avec toujours:

On peut également écrire cette relation sous forme matricielle, comme dans le cas de l'équation (F-12b), pour un réseau de Np points d'observation :

dans cette relation, B_aβ sont des matrices-blocs dans lesquelles les indices a et β respectivement indiquent l'axe de dérivation et l'axe d'orientation des composantes des sources ponctuelles élémentaires.

On remarquera que dans le cas statique ( ω = 0 ), on obtient exactement le même résultat qu'avec l'équation de Biot et Savart :

en prenant:

Finalement, dans les cas ne comportant pas de composantes électrostatiques, on obtient le champ électrostatique E par la relation :

En utilisant une autre jauge, par exemple une jauge de Lorentz (voir ci- dessus, juste avant la description de la figure 9, le paragraphe relatif aux jauges), on obtient :

Les équations (68) et (69) expriment les champs électrique et magnétique conformément au procédé DPSM de l'invention. La théorie de Green a été adaptée au procédé DPSM afin de mettre en œuvre le concept de sources ponctuelles. On décrit ci-dessous les conditions aux limites en vue d'imposer la continuité du potentiel en traversant les surfaces dans la formulation DPSM/Green. On notera que l'une des caractéristiques importantes de la formulation DPSM consiste à placer de chaque côté d'une interface des réseaux de sources ponctuelles virtuelles (triplets de sources de courant dans le cas de l 'électromagnétisme) afin de synthétiser les champs dans les milieux séparés par cette interface. Grâce à la formulation à l'aide de matrices globales, le procédé de l'invention n'est pas limité aux géométries simples, mais peut s'appliquer à toutes sortes de surfaces et à des objets comportant plusieurs interfaces.

*_** Conditions aux limites Selon le procédé DPSM de l'invention, que ce soit dans les domaines des ultrasons, de la magnétostatique ou de l'électrostatique, par exemple, les conditions aux limites sont satisfaites en imposant la continuité d'un potentiel et de sa dérivée première selon la normale n à la surface de séparation. Dans l'application à l' électromagnétisme, cette formulation conduit à imposer la continuité du potentiel vecteur magnétique A et de sa dérivée première selon la normale n en chaque point

d Ae V 1 in *ter çfac

Par exemple pour le cas illustré par les figures 20 et 21, le potentiel magnétique A_x est calculé dans le milieu 1 en superposant les effets des sources J₅ et J _n , alors que le potentiel magnétique A₂ dans le milieu 2 résulte uniquement des sources J ₁₂. Ainsi, on peut écrire :

On peut alors exprimer les variations du potentiel vecteur A selon la normale n à l'interface, dans le cas général :

Dans le cas particulier représenté en figure 20, le vecteur n coïncide avec l'axe z, ce qui fait que l'équation précédente devient :

Soit . En utilisant les mêmes dérivées et notations que pour les équations (66b) et

(68b), et pour un réseau donné de Np points d'observation, on peut écrire pour ce cas particulier pour lequel n = z :

On a représenté en figure 21 une configuration pour laquelle on a des sources J_s (situées dans le milieu 1), une interface entre les milieux avec leurs couches associées de sources DPSM J _M et J₄₂ (respectivement orientées vers l'extérieur pour rayonner dans le milieu 1 et vers l'intérieur pour rayonner dans le milieu 2). Les conditions aux limites selon le procédé de l'invention deviennent alors :

Potentiel A_{x s} et sa dérivée première dnA_]S induits sur la face « 1 » de l'interface et créés par les sources J₅. (inducteur) :

Potentiel A₁ , et sa dérivée première (InA_{1 (} induits sur la face « 1 » de l'interface et créés par les

Potentiel A₂₁ et sa dérivée première UnA₁₁ induits sur la face « 1 » de l'interface et créés par les sources J _A1 (couche DPSM intérieure) :

Les valeu s de A et de dnA le long l'interface doivent satisfaire les équations suivantes :

Etant donné que J₉ est bien connu, on peut également écrire : J_s — I - J₈ , F étant la matrice d'identité 3Λ/S x 3/Vs , ce qui donne :

Comme expliqué ci-dessus plus en détail, les inconnues J₄₁ et J₄₂ sont obtenues par inversion de l'équation (74b), dans laquelle dans laquelle la matrice globale est toujours carrée, du fait que W_]S est une matrice de dimension 3Npx3Ns , que W_n est une matrice de dimension 3Npx3Np , et que W₁₂ est une matrice de dimension 3Npx3Np , ce qui fait que la matrice globale est carrée et de dimension

3(Ns + Np + Np)x3(Ns + Np + Np) .

Etant donné que toutes les valeurs des sources ponctuelles sont bien connues, on calcule les champs dans des zones discrétisées données de l'espace pour observer les résultats de la modélisation selon l'invention. On décrit ici les résultats obtenus avec le dispositif expérimental de la figure

20. On notera cependant que ce problème, apparemment simple, est très difficile à résoudre analytiquement [Dodd 68], même lorsque la boucle inductrice est parallèle à la surface plane de l'interface. En outre, dans d'autres cas de figure, par exemple lorsque la boucle inductrice est inclinée par rapport à l'interface, le calcul analytique devient encore plus complexe, alors que la solution DPSM reste aussi simple.

On a représenté en figure 20 un bloc de matériau électriquement conducteur MEl considéré comme ayant une épaisseur semi infinie au-dessus duquel est disposée, à une distance D de la face supérieure du bloc, une boucle conductrice B 1 alimentée par une tension V(t). Le bloc MEl a ici la forme d'un parallélépipède rectangle et il est considéré comme semi-infini dans la mesure où sa face supérieure est celle faisant face à la boucle Bl et ses dimensions sont supérieures à la longueur d'onde de la tension V(t). La boucle Bl induit dans le bloc MEl un champ magnétique CM.

Selon un exemple de réalisation, auquel se rapportent les figures 22 et 23, la boucle Bl a un diamètre de 50 mm, est maillée par Ns éléments de courant Js (sources d'excitation virtuelles) et est d'abord parallèle à la face supérieure du bloc MEl, à une distance de D=20 mm de cette dernière ; la face supérieure du bloc MEl est un carré de 300 x 300 mm et l'interface air/bloc est maillée par Np = 22 x 22 =

484 triplets de sources élémentaire de chaque côté de cette interface.

On a schématiquement représenté en figure 21 la distribution des sources ponctuelles virtuelles selon le procédé de l'invention. Pour modéliser la boucle, on a représenté une couche de sources ponctuelles primaires d'excitation Js dans le plan de la boucle Bl, et des couches de sources ponctuelles secondaires J _AX et J₄₂ de chaque côté de l'interface air/bloc MEl, les sources J _A2 étant à l'extérieur, côté air, comme précisé ci-dessus. On remarquera que le pas des sources Js est plus grand que celui des autres sources du fait que la boucle Bl est une simple spire.

On a représenté en figures 22 et 23, en vue de dessus, la répartition de la partie réelle des sources J₄₁ et J _Λ2 respectivement, dans un plan parallèle à l'interface air/bloc MEl, le bloc Bl étant en aluminium et la fréquence de la tension V(t) étant de 1000Hz. De façon analogue, on a représenté en figures 24 et 25 la répartition de ces sources dans le cas où la boucle Bl est inclinée de 10°, la distance entre le centre de la boucle et le bloc étant de 50 mm, et la fréquence de la tension V(t) étant de 100Hz.

Enfin, on a représenté en figures 26 et 27, pour le cas correspondant aux figures 24 et 25, les parties réelle et imaginaire du champ magnétique H à trois niveaux différents, à savoir dans le plan de la face supérieure du bloc MEl , dans un plan situé à 5 mm de cette face, à l'intérieur du bloc et à 10 mm de cette face, toujours à l'intérieur du bloc. Toutes les coordonnées de ces figures 22 à 27 sont graduées en millimètres.

Bien entendu, l'invention peut être mise en œuvre pour des milieux anisotropes, pour lesquels les fonctions caractéristiques élémentaires peuvent également être obtenues analytiquement.

Les sources DPSM sont, dans la plupart des cas, des sources dites « fictives », car elles sont disposées (de part et d'autre des interfaces notamment) dans l'unique but de synthétiser une grandeur physique dans une région déterminée de l'espace, en lieu et place de l'influence réelle des objets qui composent le système à modéliser.

Il existe cependant quelques cas où ces sources DPSM ne sont plus à ce point fictives. En électrostatique, par exemple, la répartition de charges DPSM au voisinage d'une surface peut parfois représenter assez fidèlement la répartition réelle de charges électrostatiques accumulées à la surface de l'objet : le cas des électrodes de condensateurs illustre bien cette propriété. Ces charges obéissent alors aux mêmes lois que les charges électrostatiques réelles.

On peut illustrer cette intéressante propriété à l'aide d'un exemple qui consiste à calculer le potentiel auquel sont portés les objets dits «à potentiels flottants» dans un champ électrostatique, en observant que, puisqu'ils sont isolés électriquement, leur charge totale reste nulle.

On a représenté ci-dessous un exemple simplifié dans lequel deux objets conducteurs A et B sont placés dans un milieu homogène. L'objet A est porté au potentiel vl (le potentiel 0 de référence étant situé à l'infini). Les charges apparaissant sur A créent un champ électrostatique qui déplace les charges libres du conducteur B à sa surface afin d'assurer un champ électrique nul à l'intérieur du conducteur. Le conducteur B a donc un potentiel v2 uniforme et garde une somme de charges nulle.

Théoriquement, le potentiel v2 a une valeur déterminée par les coefficients de capacité du système (voir « Etude, conception, réalisation et test d'une capacité variable MEMS RF pour le traitement de fréquences entre 0.5 et 20GHz » thèse

Aurélie Cruau janvier 2005 - chapitre 4 pl20 et pi 25): qt₂ = 0 => V₂ = — - '21

1 ^•

' 22

Pour la méthode DPSM, chaque conducteur est représenté par un ensemble de sources ponctuelles Ai (sources internes rayonnant à l'extérieur - carrés gris clair) et un ensemble correspondant de points test placés à la surface, là où s'appliquent les conditions aux limites (points ronds noir)

Dans cet exemple, les objets A et B ont été respectivement maillés avec Nl et N2 points tests, et comportent respectivement Nl et N2 points sources (couches A_x et A₁ ) qui sont ici des charges électrostatiques. Appelons P_x le vecteur contenant les valeurs du potentiel en tous les points test de l'objet A ( P₁ est fixé par l'utilisateur), et P₂ le vecteur contenant les valeurs du potentiel en tous les points test de l'objet B.

Or, l'hypothèse faite ici est que l'objet B est conducteur, et la conséquence est l'uniformité du potentiel à sa surface: P₂ peut s'écrire :

(II en est de même pour P₁ si l'utilisateur décide d'appliquer le même potentiel en tous les points de l'objet A).

Pour résoudre le problème, il faut tenir compte des conditions aux limites fixées par l'utilisateur sur l'objet A et calculer la valeur des sources A_x et A₂ ainsi que le potentiel P₂ sur l'objet B. Il faut donc disposer de:

N1+N2 +1 équations, puisque nous avons Nl +N2+1 inconnues.

La méthode DPSM traduit ce problème par le système d'équations suivant, compte tenu des propriétés énoncées plus haut :

dans lequel Ai est le vecteur de charges internes du conducteur i, Qij les matrices de couplage DPSM, et Pi le vecteur de potentiel du conducteur i. Les valeurs inconnues sont A_χ , A₂ et v₂ .

On obtient la matrice suivante, qu'il suffit d'inverser pour obtenir le résultat:

Références :

[DODD 68] : C.V. Dodd et W. E. Deed, "Αnalytical solutions to eddy current probe- coil problems\ Journal of Applied Physics, 39(6), pages 2829 à 2838, 1968.

[Ney] : Michel Ney, 'Bases de l 'électromagnétisme', Techniques de l'Ingénieur, réf. E1020.

Claims

REVENDICATIONS

1. Procédé de modélisation des interactions dans un système entre au moins une onde et au moins un objet, la surface de chaque objet définissant une interface entre au moins deux milieux, caractérisé en ce qu'il comporte les étapes suivantes : on choisit l'ensemble des fonctions caractéristiques élémentaires correspondant au domaine d'application considéré (El), on définit les propriétés physiques de chaque milieu considéré composant le système (E2) - on définit la structure géométrique de chaque objet du système en le maillant et on positionne à la surface de chaque maille au moins un point test, en chaque point test, on définit au moins une grandeur test pour chaque milieu considéré afin d'établir des équations de continuité pour les conditions aux limites, on associe de chaque côté de chaque maille au moins une source élémentaire ponctuelle, on positionne les objets les uns par rapport aux autres dans l'espace, on associe des milieux aux volumes délimités par les objets, - on détermine le type de conditions aux limites pour chaque interface (E7), on construit la matrice globale des interactions entre les différents objets (E8), cette matrice étant constituée d'au moins un bloc matriciel caractérisant les interactions entre les objets pris deux à deux, ces interactions étant liées à la propagation de l'onde dans le milieu considéré par les fonctions caractéristiques élémentaires choisies, la matrice globale comportant au maximum autant de blocs qu'il y a de combinaisons possibles entre tous les objets pris deux à eux, le contenu de chaque bloc dépendant du type de conditions aux limites fixées sur les points test, des propriétés du milieu commun aux deux objets considérés, et de la configuration géométrique de ces objets, on inverse la matrice globale, on multiplie la matrice inversée par une matrice colonne contenant les valeurs des conditions aux limites d'excitation imposée par l'utilisateur, et, le cas échéant, des zéros correspondant aux conditions aux limites intrinsèques, - on obtient une matrice colonne contenant les valeurs de l'ensemble des sources ponctuelles élémentaires (E9), on calcule en tout point d'observation du système les grandeurs physiques représentatives des interactions au sein du système en fonction des zones d'influence considérées des sources ponctuelles ; - on obtient un modèle analytique des interactions au sein du système.

2. Procédé selon la revendication 1, caractérisé en ce que l'on répartit les points test aléatoirement d'une maille à la suivante de façon à éviter de privilégier au moins une direction de propagation particulière.

3. Procédé selon la revendication 1 ou 2, caractérisé en ce que l'on calcule des grandeurs macroscopiques dans au moins une partie du système.

4. Procédé selon l'une des revendications précédentes, caractérisé en ce que l'on visualise les grandeurs physiques créées par l'ensemble des sources ponctuelles élémentaires (El 3).

5. Procédé selon l'une des revendications précédentes, caractérisé en ce que l'on définit des objets à volume fermé dont la surface est à chaque fois obligatoirement fermée et constitue une frontière entre le milieu extérieur à l'objet et un milieu interne à l'objet, et on définit des objets à volume ouvert dont la surface est ouverte du fait qu'elle représente une interface entre milieux semi infinis (E6).

6. Procédé selon la revendication 5, caractérisé en ce que lorsque cette interface est créée, elle est bornée latéralement par un ensemble de frontières qui sont celles du volume dans lequel est étudiée l'interaction.

7. Procédé selon l'une des revendications précédentes, caractérisé en ce que l'on utilise deux sortes de conditions aux limites, les conditions aux limites intrinsèques et les conditions aux limites fixées par l'utilisateur, les premières traduisant la continuité des grandeurs scalaires et/ou vectorielles au passage d'une interface entre deux milieux de propriétés déterminées ou déterminables, et les secondes traduisant la connaissance a priori qu'a l'utilisateur de la grandeur scalaire et/ou vectorielle pour une interface.

8. Procédé selon la revendication 7, caractérisé en ce que les conditions aux limites fixées par l'utilisateur sont satisfaites grâce à un seul ensemble de sources situé d'un côté de l'interface.

9. Procédé selon l'une des revendications précédentes, caractérisé en ce que les fonctions caractéristiques sont calculées dans un milieu anisotrope.

10. Procédé selon l'une des revendications précédentes, caractérisé en ce qu'au moins une des fonctions caractéristiques élémentaires est une fonction de Green.