FR2895544A1

FR2895544A1 - Procede universel de modelisation des interactions entre au moins une onde et au moins un objet, la surface de chaque objet definissant une interface entre au moins deux milieux

Info

Publication number: FR2895544A1
Application number: FR0513219A
Authority: FR
Inventors: Dominique Placko; Nicolas Liebeaux; Aurelie Cruau; Tribikram Kundu
Original assignee: Centre National de la Recherche Scientifique CNRS; Ecole Normale Superieure de Cachan; University of Arizona
Current assignee: Centre National de la Recherche Scientifique CNRS; Ecole Normale Superieure de Cachan; University of Arizona
Priority date: 2005-12-23
Filing date: 2005-12-23
Publication date: 2007-06-29
Anticipated expiration: 2025-12-23
Also published as: FR2895544B1; CA2634903A1; CA2634903C; JP5292574B2; JP2009521031A; EP1964008A1; US8126686B2; WO2007071735A1; US20100010781A1

Abstract

La présente invention est relative à un procédé de modélisation des interactions dans un système entre au moins une onde et au moins un objet, la surface de chaque objet définissant une interface entre au moins deux milieux, et elle est est caractérisé en ce que ce procédé comporte essentiellement les étapes suivantes :- on définit les propriétés physiques de chaque milieu considéré composant le système,- on crée chaque objet du système en le maillant et on associe de chaque côté de chaque maille au moins une source élémentaire ponctuelle,- on détermine le type de conditions aux limites pour chaque interface,- on construit la matrice globale des interactions entre les différents objets, dépendant des conditions aux limites , des propriétés des milieux et de la configuration du système,- on inverse la matrice globale,- on multiplie la matrice inversée par une matrice colonne contenant les valeurs des conditions aux limites d'excitation,- on obtient une matrice colonne contenant les valeurs de l'ensemble des sources ponctuelles élémentaires,- on calcule en tout point du système les grandeurs physiques représentatives des interactions et on obtient un modèle analytique des interactions au sein du système.

Description

PROCEDE UNIVERSEL DE MODELISATION DES INTERACTIONS ENTRE AU MOINS UNE ONDE

ET AU MOINS UN OBJET, LA SURFACE DE CHAQUE OBJET DEFINISSANT UNE INTERFACE ENTRE AU MOINS DEUX MILIEUX La présente invention se rapporte à un procédé universel de modélisation des interactions entre au moins une onde et au moins un objet, la surface de chaque objet définissant une interface entre au moins deux milieux.

D'après le brevet français 2 847 051, on connaît un procédé permettant d'évaluer une grandeur physique représentative d'une interaction entre une onde et un obstacle. La mise en oeuvre de ce procédé est d'une grande utilité dans des applications telles que le contrôle non destructif Toutefois, il ne peut s'appliquer de façon simple qu'au cas d'une seule interface séparant deux milieux.

On connaît d'après la demande de brevet français 05 00731 un procédé de contrôle par ultrasons mettant en oeuvre l'évaluation des interactions décrite dans ledit brevet français, mais ce procédé n'est pas généralisable aux interactions aux objets comportant plusieurs milieux, en particulier à cause des très nombreuses réflexions et transmissions générées par l'onde ultrasonore incidente au passage des interfaces. La présente invention a pour objet un procédé de modélisation des interactions entre au moins une onde et au moins un objet, la surface de chaque objet définissant une interface entre au moins deux milieux de propriétés physiques différentes, procédé qui soit simple à mettre en oeuvre et qui soit applicable dans différents domaines de la physique, pour des régimes temporels continus, sinusoïdaux ou impulsionnels, et ce, quelle que soit la composition du système étudié. Dans toute la description qui suit, il sera question de système , qui est, au sens de la présente invention, un domaine de l'espace dans lequel ont lieu les interactions que l'on cherche à modéliser. Le procédé conforme à l'invention est un procédé de modélisation des interactions dans un système entre au moins une onde et au moins un objet, la surface de chaque objet définissant une interface entre au moins deux milieux, et il est caractérisé en ce qu'il comporte les étapes suivantes : - on définit les propriétés physiques de chaque milieu considéré composant le système, - on définit la structure géométrique de chaque objet du système en le maillant, et on positionne à la surface de chaque maille au moins un point test, - en chaque point test, on définit au moins une grandeur test pour chaque milieu considéré afin d'établir des équations de continuité pour les conditions aux limites, - on associe de chaque côté de chaque maille au moins une source élémentaire ponctuelle, on positionne les objets les uns par rapport aux autres dans l'espace, on associe des milieux aux volumes délimités par les objets, - on détermine le type de conditions aux limites pour chaque interface, - on construit la matrice globale des interactions entre les différents objets, cette matrice étant constituée d'au moins un bloc matriciel caractérisant les interactions entre les objets pris deux à deux, ces interactions étant liées à la propagation de l'onde dans le milieu considéré, la matrice globale comportant au maximum autant de blocs qu'il y a de combinaisons possibles entre tous les objets pris deux à deux, le contenu de chaque bloc dépendant du type de conditions aux limites fixées sur les points test, des propriétés du milieu commun aux deux objets considérés, et de la configuration géométrique de ces objets, - on inverse la matrice globale, on multiplie la matrice inversée par une matrice colonne contenant les valeurs des conditions aux limites d'excitation imposée par l'utilisateur, et, le cas échéant, des zéros correspondant aux conditions aux limites intrinsèques, on obtient une matrice colonne contenant les valeurs de l'ensemble des sources ponctuelles élémentaires, - on calcule en tout point d'observation du système les grandeurs physiques représentatives des interactions au sein du système en fonction des zones d'influence considérées des sources ponctuelles ; - on obtient un modèle analytique des interactions au sein du système.

Selon une autre caractéristique de l'invention, les points test sont répartis aléatoirement d'une maille à la suivante, de façon à éviter de privilégier au moins une direction de propagation particulière. Selon une autre caractéristique de l'invention, on calcule des grandeurs macroscopiques dans au moins une partie du système. Selon une autre caractéristique de l'invention, on visualise les grandeurs physiques créées par l'ensemble des sources ponctuelles élémentaires considérées. Selon une autre caractéristique de l'invention, on définit des objets à volume fermé dont la surface est à chaque fois obligatoirement fermée et constitue une frontière entre le milieu extérieur à l'objet et un milieu interne à l'objet, et on définit des objets à volume ouvert dont la surface est ouverte du fait qu'elle représente une interface entre milieux semi infinis. Lorsque cette interface est créée, elle est bornée latéralement par un ensemble de frontières qui sont celles de l'espace de travail dans lequel est étudiée l'interaction. Selon encore une autre caractéristique de l'invention, on utilise deux sortes de conditions aux limites, les conditions aux limites intrinsèques et les conditions aux limites fixées par l'utilisateur, les premières traduisant la continuité des grandeurs scalaires et/ou vectorielles au passage d'une interface entre deux milieux de propriétés déterminées ou déterminables, et les secondes traduisant la connaissance a priori qu'a l'utilisateur de la grandeur scalaire et/ou vectorielle pour une interface.

La présente invention sera mieux comprise à la lecture de la description détaillée d'un mode de réalisation, pris à titre d'exemple non limitatif et illustré par le dessin annexé, sur lequel : la figure 1 est un organigramme simplifié d'un mode de mise en oeuvre du procédé de l'invention, les figures 2 à 8 sont des schémas simplifiés de systèmes sur lesquels est mis en oeuvre le procédé de l'invention, et - les figures 9 à 19 sont des schémas très simplifiés de milieux non homogènes sur lesquels est mis en oeuvre le procédé de l'invention. Le principe de modélisation des interactions entre une onde incidente et un milieu homogène ayant été décrit en détail dans ledit brevet français 2 847 051, ne sera pas décrit à nouveau ici, et sera simplement cité sous son appellation simplifiée DPSM ( Distributed Point Source Method ). Le présent procédé se présente comme un perfectionnement de ce procédé connu pour en permettre l'application aux milieux non homogènes. La caractéristique importante constituant le coeur de l'invention consiste à propager de proche en proche les conditions aux limites , grâce à des couches de sources chargées de la synthèse des grandeurs dans un milieu considéré. Le problème est naturellement résolu de façon globale pour assurer la continuité des grandeurs propagées dans tout le système. Dans les trois schémas explicatifs qui suivent, on a figuré par un segment de droite une portion d'interface de chaque côté de laquelle, ou d'un côté de laquelle, on a représenté des surfaces sphériques contenant au moins une source ponctuelle, ces surfaces étant tangentes à l'interface. Ces sources ponctuelles et les surfaces sphériques qui les contiennent résultent d'un maillage qui modélise, au sens du susdit brevet français 2 847 051, soit un transducteur, soit une interface. Dans les schémas ci-dessous, des cercles en gris clair correspondent à des conditions aux limites intrinsèques, et des cercles en gris foncé correspondent à des conditions aux limites fixées par l'utilisateur. Chaque maille est associée à une surface sphérique contenant au moins une source ponctuelle. Dans un cas particulier, le point de contact entre ces surfaces sphériques et 25 l'interface est un point test, mais il est bien entendu que l'on peut répartir plusieurs point test dans chaque maille. Le nombre total de paramètres inconnus des sources doit être égal au nombre total d'équations disponibles, le nombre d'équations étant ajusté par un choix correspondant du nombre total de points test. 30 ^ Conditions aux limites intrinsèques (CLI) •:•_•A• Au passage des interfaces, la continuité naturelle est assurée par les CLI. Les sources représentées dans le milieu n+l ne servent qu'à propager l'onde dans le milieu n, et réciproquement. Par exemple en magnétostatique ou en magnétodynamique, les composantes du vecteur source, à savoir la composante normale de l'induction magnétique B et la composante tangentielle du champ magnétique H sont conservées. ^ Conditions aux limites utilisateurs (CLU) Milieu n+l INNNieeeNleù Milieu n Les CLU traduisent notamment la présence d'une excitation dans le système. La figure ci-dessus représente par exemple une CLU valable vers le milieu n+l. Dans cet exemple, les sources du Milieu n+l n'existent pas, car on ne calcule pas de grandeur dans le milieu n, mais il est bien entendu qu'on n'exclut pas pour autant la possibilité de placer des sources dans le Milieu n+l, ces sources rayonnant dans le Milieu n. Par exemple en électrostatique ou en électrodynamique, le potentiel électrostatique, exprimé en volts, sur une électrode d'un condensateur, est constant et en général fixé par l'utilisateur.

^ Conditions aux limites mixtes (CLI/CLU) CLI CLU CLI Milieu n+l Milieu n 30 Ces conditions aux limites reprennent les définitions ci-dessus. Les autres sources ponctuelles maillant l'interface ne servent qu'à assurer des CLI entre le milieu n et le milieu n+l. Quelles que soient les conditions aux limites, toutes les sources ponctuelles peuvent être configurées individuellement et posséder leur propre diagramme de rayonnement spécifique. Une fois que l'on a défini les propriétés physiques de chaque milieu constituant un système à N objets dans lequel ont lieu les interactions étudiées, et que l'on a maillé ses différentes interfaces, on construit la matrice globale des interactions étudiées de la façon générale suivante. [CLI]1 [CLI]12 [CLU]IN' [CLI ] lI N blocs Nblocs ~[CLI]N1 [nui N2 Puisque le système comporte N objets, la matrice comporte NxN blocs. Ces blocs, ou matrices élémentaires, traduisent les conditions de passage entre les différents objets. Le bloc de coordonnées (i,j) représente la part de conditions aux limites calculées sur l'interface de l'objet i et due à l'influence de l'objet j (les objets i et j interagissent dans un milieu commun). Selon une caractéristique de l'invention, le nombre total de composantes de source doit être adapté au nombre total de points test. • S'il existe une CLU sur l'objet i (ligne i de la matrice), alors le vecteur bloc CONDITIONS n i comprend la valeur des CLU considérées. • Lorsque l'utilisateur fixe lui-même la valeur des sources associées à une CLU, le bloc CONDITIONS correspondant est égal à la valeur de ces sources. La matrice CLU correspondante est une matrice identité.

• Si sur l'objet ne s'appliquent que des CLI, alors le bloc correspondant du vecteur CONDITIONS est nul. Selon une caractéristique de l'invention, les matrices élémentaires [CLI] sont constituées de types de sous-matrices notés dans les exemples décrits ci-dessous M et Q. Ces sous-matrices sont calculées selon les domaines d'application (ultrasons, électromagnétisme, acoustique, etc.) pour assurer respectivement la continuité des grandeurs aux interfaces, par exemple les composantes normale et tangentielle d'une grandeur vectorielle, ou encore une grandeur scalaire et une composante vectorielle normale .

Il en va de même pour les matrices CLU, mais l'une des grandeurs est alors imposée par l'utilisateur. Après avoir exposé les principes de base du procédé de l'invention, on va maintenant décrire en référence à l'organigramme de la figure 1 les différentes étapes mises en oeuvre par le programme de l'invention pour résoudre concrètement la modélisation des interactions entre des objets délimitant des milieux de propriétés différentes. Ce programme étant interactif, il est précisé pour chacune de ses étapes si elle est exécutée à l'initiative de l'utilisateur ou à celle du calculateur de mise en oeuvre, ce dernier assurant principalement des étapes de calcul d'équations et de visualisation.

Etant donné que l'invention s'applique à des domaines physiques très divers, tels que l'électromagnétisme, la magnétostatique, l'acoustique, les courants de Foucault ou la thermique, il convient tout d'abord (étape E 1) de faire choisir par l'utilisateur le domaine concerné, du fait que certaines étapes du programme décrites ci-dessous sont spécifiques de ce domaine concerné.

L'utilisateur définit ensuite les propriétés des milieux dans lesquels se produisent les interactions à modéliser (étape E 2). Ces propriétés comprennent tous les paramètres pertinents des milieux. Le type de propriétés des milieux va dépendre du problème étudié. Par exemple, pour de l'électrostatique la permittivité relative est un paramètre indispensable. Cette étape va permettre de créer les Indicateurs de Correspondance qui précisent les milieux adjacents à chaque objet. Les objets sont associés à deux milieux selon la formulation : i(a,(3) où i désigne l'objet et a et [3 les milieux adjacents à i. Chaque objet a son Indicateur de Correspondance, ce qui permet de déterminer quelles sont les sources à prendre en compte dans les interactions, comme exposé cidessous en référence à plusieurs exemples simplifiés. A partir de l'étape E 2, se présentent deux possibilités : soit passer par les étapes E 3, E 4 et E 5, soit passer directement à l'étape E 5. On ne passe par les étapes E3 et E4 que lorsqu'il s'agit de prendre en compte des phénomènes de propagation d'ondes. A l'étape E 3, l'utilisateur définit la fréquence des ondes qui doivent être émises par le transducteur émetteur. Une fois cette fréquence définie, le programme calcule (étape E 4) la distance maximale entre les sources ponctuelles (c'est-à-dire leur pas, pour une configuration régulière de ces sources), en fonction des caractéristiques des interactions. Ce pas est, de préférence, inférieur à la demi-longueur d'onde à l'origine de ces interactions. A l'étape E 5, l'utilisateur définit des objets à volume fermé (dénommés ci-après OVF). Cette étape consiste essentiellement à définir géométriquement de tels objets et à déterminer le pas du maillage pour pouvoir mettre en oeuvre le procédé de l'invention, le maillage étant réalisé de la façon décrite dans ledit brevet français de DPSM. Selon l'invention, un objet à volume fermé (OVF) est tel que sa surface est obligatoirement fermée (par exemple, une sphère, une pyramide ou un cube). Cette surface est une frontière entre le milieu extérieur et un milieu interne à l'objet, de propriétés différentes. Si l'utilisateur ne souhaite pas calculer de grandeurs dans ce milieu, il doit alors appliquer des conditions limites (déterminées par lui-même et appelées ici CLU) à sa surface. Le volume de cet objet peut tendre vers zéro (par exemple pour des électrodes plates d'un condensateur).

Toujours selon l'invention, un objet à volume ouvert (appelé ici OVO) est tel que la surface de cet objet est ouverte (en théorie, ce volume est fermé à l'infini). Elle représente une limite entre milieux semi-infinis. Quand une interface est créée pour représenter cette configuration, elle est forcément bornée latéralement par un ensemble de frontières. Ces frontières deviennent aussi celles de l'étude et aucune observation de grandeurs en dehors de l'espace délimité par ces frontières ne sera possible. Cet espace de travail est donc automatiquement borné. Les objets et milieux considérés par l'invention appartiennent nécessairement à l'espace de travail. Si le problème à résoudre ne comporte que des objets à volume fermé, alors il n'est pas nécessaire de borner l'espace de travail. A titre d'illustration, le problème de l'étude du champ électrique dans l'espace créé par deux sphères chargées ne nécessite pas d'espace de travail. De même l'exemple, décrit ci-dessous en référence aux figures 6 à 8, montre deux systèmes non bornés dans l'espace. Si l'ensemble du système est contenu dans un OVF avec des CLU internes de l'objet, sa surface délimite l'espace de travail (comme dans l'exemple décrit ci- dessous en référence aux figures 4 et 5). En effet, un milieu est défini par ses propriétés physiques homogènes. Un milieu est nécessairement fermé, soit parce qu'il est contenu dans un OVF, soit parce qu'il est borné par un ou plusieurs objets à volume ouvert (dénommés ici OVO) et par les frontières délimitant l'espace de travail. Pour définir un milieu, il est nécessaire de connaître sa localisation et ses propriétés physiques. Dans la description qui suit, les milieux sont référencés par des numéros. Les surfaces des objets définissent les interfaces entre deux milieux. Pour définir un objet, il est nécessaire de connaître : 1. ses dimensions et sa localisation. 2. les conditions aux limites s'appliquant sur sa surface. 3. les milieux avec lesquels l'objet est en contact. Dans la présente description, les objets sont référencés par des lettres. La création des objets correspond à une discrétisation des surfaces de ces objets en ensembles de points P auxquels sont associés les ensembles de points sources chargés de synthétiser les ondes se propageant dans le système. Ces objets déterminent des interfaces sur lesquelles sont appliquées des Conditions aux Limites (CL). A partir de l'étape E 5, l'utilisateur soit passe par une étape E 6 de définition d'OVO (si de tels objets sont présents) pour arriver à l'étape E 7, soit passe directement à l'étape E 7 dans le cas contraire. La définition et/ou le maillage de tout ou partie du système peuvent être fournis par un dispositif ou un logiciel extérieurs à l'invention. L'étape E 7 consiste à déterminer des conditions aux limites, qui constituent une des conditions essentielles de la mise en oeuvre du procédé de l'invention. Ces conditions aux limites sont placées sur une interface, qui est, comme précisé ci- dessus, une surface séparatrice entre deux milieux de propriétés différentes. Une autre caractéristique de l'invention est d'associer des couches de sources ponctuelles uniquement aux surfaces des objets (qu'ils soient des OVO ou des OVF). L'invention prend en compte deux types de conditions aux limites : 1. Les conditions aux limites intrinsèques (CLI), qui traduisent la continuité des grandeurs scalaires et/ou vectorielles au passage d'une interface entre deux milieux de propriétés connues. D'après le principe de base du procédé de l'invention, ces CLI seront satisfaites grâce à des ensembles de sources situées de part et d'autre de la surface. Dans la plupart des cas, l'utilisateur n'a pas à se préoccuper de ces CLI. 2. Les conditions aux limites fixées par l'utilisateur (CLU), qui traduisent la connaissance a priori qu'a l'utilisateur de la grandeur scalaire et/ou vectorielle sur une interface. D'après le principe de base du procédé de l'invention, ces CLU seront satisfaites grâce à un seul ensemble de sources situé d'un côté de l'interface. Notons que ces conditions aux limites traduisent la présence de sources d'énergie dans le système. Une telle CLU est, par exemple dans un condensateur, la différence de potentiel scalaire électrique entre les électrodes, qui est souvent connue car fixée par l'utilisateur.

Une fois les conditions aux limites déterminées pour toutes les interfaces, le programme, ayant reçu toutes les données nécessaires à son exécution, va passer à l'étape E 8 d'écriture de la matrice globale. Cette étape E 8 commence d'abord par la détermination des matrices de couplage entre interfaces et nécessite une opération dite de masquage. Le masquage désigne le fait que certains objets du système peuvent se faire écran les uns les autres (ombres portées), comme exposé ci-dessus en référence aux figures 2 à 8. Cette opération de masquage des objets entre eux requiert l'application d'une fonction de test. Cette dernière peut s'appliquer pendant le remplissage des matrices ou bien séparément pour construire une matrice de masquage (remplie de 0 ou de 1). Une multiplication élément par élément de ce masque avec la matrice de couplage d'origine calculée sans test permettra d'obtenir la matrice effectivement prise en compte dans l'algorithme. Pour déterminer quelles matrices de couplage calculer une procédure de test, décrite ci-dessous, a été établie. Une fois toutes les matrices de couplage calculées, la matrice globale est ordonnancée par blocs. Dans l'étape de définition des milieux, une matrice contenant les informations principales, à savoir la position relative des milieux et des objets ainsi que leurs propriétés, a été créée à partir des indicateurs de correspondance. A partir de cette matrice, en utilisant des tests permettant de déterminer quels objets sont couplés et selon quels type de CL, on écrit la matrice globale par blocs de façon à prendre en compte systématiquement toutes les interactions. En classant les groupes de source dans l'ordre des interactions, les blocs seront placés principalement sur la diagonale et autour. Avec les Indicateurs de Correspondance objets-milieux créés à l'étape précédente, on teste aisément si deux ou plusieurs objets ont un milieu commun. Ensuite on écrit les matrices de couplage des objets qui interagissent dans le même milieu. Par exemple, pour deux objets i et j ayant un milieu d'interaction commun a, les matrices obtenues vont s'écrire selon la formulation : M -5 ou Q -R Cela se lit comme l'interaction de l'objet j sur l'objet i dans leur milieu commun a, les sources de j étant dans le milieu (3. De même on note les sources par AjîJ les sources associée à l'objet j, étant dans le milieu 13 et rayonnant dans le milieu a.

Toutes les matrices de couplage M et Q ayant le même milieu commun a doivent être de même signe dans la matrice globale. Pour chaque interface avec CLI, on assure, au moins dans ces exemples, la continuité de la grandeur scalaire (matrice Q) et de la composante normale de la grandeur vectorielle (matrice M). Par exemple, en électrostatique, ces grandeurs sont --> le potentiel électrique et la composante normale du champ D ; en ultrasons la pression et la composante normale de la vitesse.

Pour chaque interface avec CLU, on applique une seule équation matricielle (matrice M ou Q) car les conditions aux limites sur la surface sont imposées par l'utilisateur (par exemple des électrodes alimentées sous une tension déterminée).

Une fois la matrice globale écrite, le programme résout l'équation matricielle (étape E9), cette étape consistant essentiellement à inverser la matrice globale.

Du fait que certaines grandeurs ( par exemple la capacité d'un condensateur) ne nécessitent pas de connaître les valeurs numériques des CLU pour être calculées, elles peuvent donc être obtenues directement après l'inversion, ce que fait directement le programme (étape E 10). Dans le cas où de telles grandeurs n'existent pas, ou bien si, en plus de telles grandeurs, il faut calculer d'autres grandeurs physiques, l'utilisateur intervient pour fournir au programme les données manquantes (étape E 11).

Les données manquantes pour le calcul des grandeurs physiques nécessaires à la modélisation des interactions sont demandées à l'utilisateur en fonction des types de conditions aux limites qui ont été fixées à l'étape E 7 (par exemple la valeur du potentiel constant sur une électrode métallique).

Ces données manquantes ayant été fournies par l'utilisateur, celui-ci passe à l'étape de définition du domaine d'observation à visualiser (étape E 12). Selon que l'utilisateur est passé par l'étape E 6 ou non, sa liberté de choix pour les calculs et observations sera plus ou moins grande : si l'espace de travail n'a pas été borné au cours de cette étape (le système, siège des interactions, ne comporte que des OVF), il n'y a pas de restriction sur la zone de visualisation. Dans le cas contraire, il doit définir l'espace de travail qui sera automatiquement borné.

Ensuite (étape E 13), le programme commence par le maillage des espaces donnés par l'utilisateur. Ensuite, il calcule les grandeurs physiques intervenant dans les interactions étudiées, selon la même procédure que celle utilisée pour le calcul des matrices de couplage, appliquée cette fois aux points de l'espace de visualisation.

Enfin, le programme trace les représentations graphiques des phénomènes d'interaction au sein du système. Les flèches latérales représentées en figure 1 montrent que le programme peut être rebouclé pour permettre à l'utilisateur de revenir à la structure afin de la modifier et d'observer les nouveaux résultats obtenus. Les modifications possibles concernent les définitions (objets, milieux, conditions aux limites,..), comme indiqué en figure 1 par les flèches partant des étapes E 10 et E 13 et dirigées vers les étapes E 2, E 3, E 5, E6, E7, El 1 et E12. Ces modifications permettent d'étudier l'influence d'un déplacement (des OVO et/ou des OVF), d'un changement de propriété des objets ou des milieux. Les trois exemples décrits ci-dessous en référence aux figures 2 à 8 illustrent la technique d'écriture de la matrice globale conforme à l'invention.

On a représenté en figures 2 et 3 le cas d'un système multicouche planaire 1, la figure 2 étant une vue très simplifiée en perspective, et la figure 3 un vue en coupe selon III-III de la figure 2. Le système 1 représenté en figures 2 et 3 a une forme générale de parallélépipède rectangle dont les six faces sont des frontières de l'espace de travail.

Il a une structure multidomaine comportant cinq milieux respectivement référencés Milieu 1 à Milieu 5 et six objets respectivement référencés a à f. Par exemple, l'interface entre le Milieu 1 et le Milieu 2 est référencée e, et celle entre le Milieu 2 et le Milieu 3 est référencée b. Deux OVF a et d, en l'occurrence des électrodes de condensateur, sont au contact des faces inférieure et supérieure de l'espace de travail.

Le Milieu 2 comporte une première inclusion b, et une deuxième inclusion c, qui est en contact avec l'interface f. On remarquera que le Milieu 0 définit l'extérieur de l'espace de travail, qui n'est pas connu et n 'intéresse pas l'utilisateur. Les six différentes interfaces sont référencées de la manière suivante : a : entre les Milieux 0 et 1 b : entre les Milieux 2 et 3 c : entre les Milieux 2 et 4 d : entre les Milieux 5 et 0 e : entre les Milieux 1 et 2 f : entre les Milieux 2 et 530 La CLU relative à l'électrode a s'écrit Pa (potentiel imposé par cette électrode à l'interface a), et la CLU imposée par l'électrode d s'écrit Pd (potentiel imposé par cette électrode à l'interface d). Les vecteurs sources générés à chacune des interfaces a à f s'écrivent : Interface a : Aal_oi (du côté de l'électrode a) Interface b : Ab3_2 (dans le milieu 2) et Abu (dans le milieu 3) Interface c : Ac4_2 (dans le milieu 2) et Ac2_4 (dans le milieu 4) Interface d : Ad5_02 (du côté de l'électrode d) Interface e : Ae2_i (dans le milieu 1) et Aei 2 (dans le milieu 2) Interface f : Af5_2 (dans le milieu 2) et Af2 5 (dans le milieu 5)

D'après ce qui a été exposé plus haut, un indicateur de correspondance, relatif par exemple à l'interface c s'écrit : c(4,2). Dans les exemples ci-dessous, les indicateurs de correspondance figurent entre les deux grandes parenthèses et permettent de déterminer l'existence des matrices de couplage non nulles : 2 4 2 a(01,1) MQb_ 4 b(3,2) M2_3 n23 ]2 Q a_ec(4,2) c_b c_b d(02,5) e(1,2) Ms_z Q d f f(5 2 2) di D D

fd 'Qfd Ml_01 Q1_01 e a ' e _a 502 sot Les conditions aux limites de l'objet 2 sont alors : CLU en a • Aal ol + Q'a-2e Ae, 2 = Pa CLIenb,Meb•Ab3,=Mb6•Ab,3+Me4•Ac24+Mee•Ae21+Mef Af25 Qbb • Ab32 = Qbb •Ab3 +Qbc •Ac24+Qbe •Ae2I+Qbf •Af25 CLIenc,M4-•Ac42=M2-Ac24+Mc3-Ab23+MCé•Ae,1+M25.Af25 c_c Q~ c • Ac4 2 = Qc • Ac, + Qc b • Ab2 3 + Q~ e • Ae2 , + Qf c • Af, 5 CLU end,Qâd2•Ads0,+Qf•Af5, = Pd CLIen e M'-2 •Ae +M1-01 •Aa =M2 . Ae +M23 Ab +M2-4 •Ac +M'--5 Af ee 72 ea I01 ee 21 eb 23 ec 24 ef ..5 1 1 (~ 21 23 24 25 Q~2 • Ae 1L+QeaI-0• Aa 101 = Qee Ae21+Qeb•Ab23+Qe-e•Ac24+Qef•Af25 CLIenf,M5f •Af52+M5-2•AdSOZ=M2- Af25+M2-c Ac24+Mfe Ab23+Mfe Aezl f f2 Af5 2 +Qf d2 ù Ad5 0, = Qf2-f5 . Af2 5 + Ae f c • 2 4 + f b • Ab2 3 + Qf . Ae2 1 Q-Q Q- (Al) et l'équation matricielle correspondante est : Pa Q a0a1 o o O O 0 Qa e 0 0 0 Aal 01 0 o - Q3b..b 2 3 Qbc O O O 2 1 0 5 Ab3 2 Qbb Qbe Q2bf Ab, 2-3 0 5 0 0 -Me h M bb Mh4 0 0 0 Mb e 0 m2 3 0 0 0 Q2 3 _ Q 4_2 Q 2_4 0 0 Q 2_1 0 b_f Ace 4 25 Qcf cb c c c c c e 2_3 4 0 0 0 M cb _m4_2 m2 0 0 m2 0 m2_5 AC4 2 cc cc 02 ce ç 2 cf Pd 0 0 0 0 0 Q5 0 0 Qdf 0 Ad5 0, dd 01 2 3 2_4 I_2 25 0 Q1 0 Qeb Qec 0 0 -Qee 2_I 0 Qcf Ae1 2 ea Qee 0 - M'- 1 0 M- 3 M 2_4 0 0 Iz 1 0 z5 Ae2 1 e_a e_b e_c Mec Mec Mef 2 4 5 2 5 2 0 0 0 Qfb3 Qfc 0 - Qf d2 O Qf e Qf f f5 Af5 2 QQf2 2-3 2-4 02 2 5 2 0 0 0 M f-b M fc 0 ù Mf5 d Mre M f Mf2f5 _f Af,S (A2) On a représenté en figures 4 (vue simplifiée en perspective) et 5 (vue en coupe selon V-V de la figure 4) un exemple d'un système fermé 2. Le système 2 comporte un tube 3 creux à section rectangulaire, que l'on appelé ici objet a et qui contient le milieu 1 ainsi que le milieu 2 (délimité par l'objet b). Des électrodes 4 et 5 sont appliquées sur deux faces opposées de l'objet a. Sur la coupe transversale de la figure 5, on a indiqué les différentes couches de sources ponctuelles : Aai_0 sur la face extérieure de l'objet a, Ab2_1 et Abu de chaque côté

de l'interface entre les milieux 1 et 2, respectivement dans le milieu 1 et dans le milieu 2. On remarquera qu'à l'endroit d'application des électrodes 4 et 5, les sources ponctuelles sont représentées différemment des autres, car ce sont des sources primaires qui indiquent la présence de surfaces actives. Le vecteur de CL Pa contient donc des CLU et des CLI. La matrice de couplage et les indicateurs de correspondance du système 2 s'écrivent : 12 Qa b Les conditions aux limites s'écrivent alors : CLU ena,Qâ-a Aa, o +Q1-b .Ab, 2 =Pa _ ab CLI en b, Me-e •Ab,, =Mbb •Ab, 2 +Mea •Aa1 0 Qeb•Ab21=Qbb•Ab12+Qba•Aa10 Aa1 0 Ab1 2 Abe 1 0 Pa 12 Qab 10 Qaa QI_O Qbb _Q2 1 Me Mbb - Mb b soit : 0 0 Les deux derniers exemples sont illustrés en figures 6 à 8. Il s'agit de deux variantes de réalisation de micro-condensateurs à capacité variable ou ajustable, tels que décrits respectivement dans : "V-shaped micromechanical tunable capacitor for RF applications", A. Cruau et al, DTIP2004, Montreux et dans "A high-Q tunable micromechanical capacitor with movable dielectric for RF applications", J-B. Yoon et al, Intl. EDM 2000, San Francisco. Seules leur particularités relatives à l'application du procédé de l'invention seront exposées ici.

La première variante, représentée en figure 6, comporte quatre jeux de trois électrodes, disposés chacun dans un plan. Ces quatre plans sont tous perpendiculaires à un plan commun (non représenté) et leurs intersections avec ce plan forment deux V disposés l'un légèrement au-dessus de l'autre. Chaque jeu d'électrodes comporte trois électrodes identiques en forme de ruban rectangulaire, dont les grands axes sont parallèles entre eux et audit plan commun. Les électrodes de l'un des deux jeux du V intérieur sont en vis-à-vis de celles de l'autre jeu de ce V , et il en est de même pour les jeux d'électrodes du V extérieur. Les plans d'électrodes du V intérieur sont mobiles par rapport à ceux des plans du V extérieur, mais dans chaque V , les deux jeux d'électrodes sont fixes l'un par rapport à l'autre. On appelle objet a l'un des jeux d'électrodes (celui de gauche, tel que vu sur les dessin) , objet b les deux jeux d'électrodes du V intérieur, et objet c l'autre jeu d'électrodes du V extérieur. Bien entendu, les conditions aux limites sur chacune des électrodes sont fixées par les potentiels respectifs appliqués à ces électrodes. On appelle milieu 1 celui entourant toutes les électrodes. On appelle Pa, Pb et Pc les potentiels respectivement appliqués aux objets a, b et c.

Dans la variante représentée en figure 7, le condensateur variable comporte deux jeux d'électrodes disposés chacun dans un plan et un jeu de barreaux diélectriques, ces trois plans étant parallèles entre eux. Le jeu de barreaux diélectriques du plan intérieur est mobile par rapport aux deux autres jeux, qui sont fixes l'un par rapport à l'autre. Le jeu d'électrodes de l'un des plans extérieurs (le plan inférieur, tel que vu sur le dessin) est appelé objet a, celui du plan central objet b et celui de l'autre plan extérieur objet c. Tous ces éléments sont entourés par le milieu 1, et le diélectrique contient le milieu 2. Comme dans le cas de la variante de la figure 6, les conditions aux limites sur les électrodes du dispositif de la figure 7 sont fixées par les potentiels électriques qui leur sont appliqués. Les potentiels appliqués aux objets a et c sont également respectivement appelés Pa et Pc . On a représenté en figure 8 les différentes sources ponctuelles sur les différents objets a, b et c . Les conditions aux limites s'écrivent, pour la première variante (figure 6): CLU en a , Qa z Aal 02 + QI-a_b 2 . Ab1 2 + Qa- ' • Ac, 0, = Pa CLU en b,Qe02 Aal 02 +Qbb •Ab, 2 +Qb 1 •Ac, 0, =Pb CLU en c , Qc-0a2 • Aa, 02 + Q'e-2b • Ab, 2 + Q'c- 1 • Ac, ol = Pc

ce qui donne la matrice de couplage : - 1_02 QI 2 101 Qa a a b `fia c Qb a, Qbb QI 01 1_02 1 2 1_01 Qca Qcb Qcc Aa1 02 Ab, 2 Ac, 01 Pa Pb P -tandis que pour la deuxième variante (figure 7), les indicateurs de correspondance s'écrivent : 1 02 1 02 Mca,Qca

1 01 1 01 Mac'Qa c les conditions aux limites sont : CLU en a•Aa1 02 +Qa-2b •Ab, 2 +Qaol Act 01 =Pa CLIenb,Me=6 • Abe 1 =M-•Ab, 2 +M602 Aal 02 +Mbo' .Ac01 2ù1 1 2 Q1 02 1 Ol bb •Ab2 1 = Qbb • Ab1 2 + Qba ' Aal 02 + Q' c ' Acol CLU en c , Q'-02 Aa1 02 + QI-2 • Ab1 z + Q1_01 • Acl ol = Pc On remarquera que pour ces CL, 01 et 02 représentent l'intérieur des 15 électrodes et sont extérieurs à l'espace de travail. Pour cette deuxième variante, la matrice de couplage est : b(1,2) ~c((01,1L 1 02 1 2 Qaa Qab l02 l2 21 101 Mb a Mb b ùMb b Mb c Qb a2 Qbb _Qb2 Qb_c 01 Q102 Q1_2 ca Qcb - Aal 02 Abä Ab2 , Acl 01 0 101 Qac 0 101 Qcc Pa 0 0 Pc On remarquera que dans le premier cas, la matrice Qac, et dans ce dernier cas, les matrices Mac (Qac) et Mca (Qca), sont partiellement masquées car l'objet b fait écran partiellement entre les objets a et c. On va décrire ci-dessous un mode de mise en oeuvre du procédé de l'invention dans le cadre de l'électromagnétisme, et plus particulièrement dans le domaine des courants de Foucault, lorsque le système possède plusieurs domaines. Au passage de chaque interface, la conservation des composantes vectorielles des champs impose : ^ la continuité de la composante normale de à. ^ la continuité de la composante tangentielle de H . ^ la continuité de la composante normale de à. ^ la continuité de la composante tangentielle de E .

Soit, dans le cas où les deux milieux de part et d'autre de l'interface sont appelés 1 et 2 : Bnl = Bn2 Ht1 = Ht2 Dn1 = Dn2 Etl = Et2 Avec B = ,u.H et D = e.E , les vecteurs B et E étant respectivement notés B1 et 82 d'une part, et h. et E2 d'autre part, dans les milieux 1 et 2. En chaque point test P de l'interface, il existe un existe un vecteur n normal à cette interface.

Milieu 1 el, t1, 61 On définit Bn1 comme la composante de 81 dans la direction du vecteur n , ce qui s'écrit : Bnl=n.(hT •B1)=(n•hT).B-1=n•nT .Bl Où nT représente la matrice transposée de n . La continuité de Bn au passage de l'interface s'écrit donc : Bn1=Bn2= (h hT)-B1=(h hT)-B2=[Ni].B1=[N2].B2 On calcule la composante tangentielle Bt1 de 81 comme la différence vectorielle entre 81 et Bn1. La relation 81 = ,u.H1 devient : Hti = Bt1 = 81 ù Bn1 = 81 ù n.nT ù n.nT) . Bi ,u1 ,u1 ul ,u1 avec I matrice identité. La continuité de Ht au passage de l'interface s'écrit donc : Hti-Ht2 (I-n.hT). 1 _ (I-h.hT). B2 ,u1 ,u2

On calcule Eni et Eti en suivant le même raisonnement. A l'aide des composantes précédentes, on construit les vecteurs tests chargés de vérifier les conditions de continuité au point P, ce qui s'écrit pour l'induction magnétique 8: ~[Ti].8i=[T2].82 •B1= (I _ . T) +n nT ,u1-(1- h hT)+n•nT •B2 p2 Par la suite, on appellera vecteur test un vecteur projeté en utilisant un projecteur ce qui revient à écrire : k' ] • B1 = [Q2 ] B2 B1TEST = 82TEST Avec : [52 ]=n-nT +Ì-n'•nT) ~SZe ] _ • nT + - h • nT ) 2 De même, pour E, on définit deux opérateurs de projections S2i et Sz2 qui conduisent à : [(I-n nT)+81••hl •É1=[(I-n•nT)+e2 (n•nTI•Ê2 k 1 • É1 = [S-2i • E2 EITEST = E2TEST Prenons l'exemple où le système ne comporte que des couches placées parallèlement au plan (x0y), et où le vecteur normal i est égal à 2 . '0 '0 0 0' Ainsi, n • nT = 0 • (0 0 1) = 0 0 0 ~1~ ~0 0 1) Et : '1 0 0' I - n•nT = 0 1 0 0 0, L'équation de à s'écrit dans cet exemple : / / bxl 1 bx2 ,u1 ,u2 1 by2 by1 u1 ,u2 bzl bz2 i i Et l'équation sur E (ex1 ` (ex2 eyl ey2

Sei ezl. ~e2 ez2) On retrouve les résultats classiques en électromagnétisme de conservation des 5 grandeurs vectorielles au passage d'une interface. Il reste à déterminer les champs 8 et E, par l'intermédiaire du potentiel vecteur électrique A . A(r) = 47z- . f f f J(r').G(R).dv v

e-JkR _ 10 avec G(R) = - et R = r ù r' et R = 11R- 4z.R Le vecteur J représente le vecteur densité de courant, composé, selon le procédé de l'invention, d'une somme finie de Ns sources ponctuelles : J(r') = 1 Ji • 8(r' - ri) ;=1 15 Si on remplace cette expression dans celle du potentiel vecteur, on peut écrire :

Ns Ns A(r)_ o.l]i fffG(r-?).6(r'-ri)dv=.E Ji G(r - ri) 47z i_1 v 47c i=1 Dans le repère cartésien (x,y,z), 22 et k? = e;,u;co2 - Jw6; u; eùjkR Jxi. dx 41r.R eù jkR Jyi. dy 4ic.R duo eùjkR 47r .~ Jzi. 4~z.R ' dz Le procédé DPSM calcule la contribution de chacune des sources ponctuelles aux points tests P. Pour un exemple comportant Np points tests, la formulation du

potentiel vecteur électrique À s'écrit alors : eùjkR1Ns 23 A(r) _ /Io 47z fco 4~r 4z.R11 47r.RlNS eùjkRNp' eùjkRNpNs A = ,uo 47z RNp1 4TC.RNpNs J A=[wa]•J On sait que B = rot A et que rot A = Donc : aAz My ay az aAx aAz az ax aAy aAx ax ù ay A(r) = ,uo 47z /10 47r /10 42r Ns ejkR Jxi. dx 4z.R Jyi. eùjkR 4- dy < z A = 4,r.R ,uo eù jkR Jzi. dz 4TC.R eùjkR Jxi. dx 47r.R eùjkR Jyi. dy 47z-.R e jkR Jzi. dz 47z.R 24 En posant : x-Cxi y-Cyi z - Czi et OR' =R=/(X-Cxi)z+(y-Cyi)Z+(z-Czi)2 R Avec les coordonnées des sources ponctuelles notées matriciellement 5 (Cxi, Cyi, Czi) et les coordonnées des points test P notées matriciellement (x, Y, z) . j.k + 1 2895544 Soient les coordonnées du rotationnel de A , alors : 4ùz .rot A = Po rotAx rotA y ro tAz 10 Avec : aAz aAy aAx _ aAz My Mx rotAx = - rot Ay = rotAz = - ay az az ax ax ay Calculons les différentes dérivées partielles, pour la source i, en tenant compte de :

aR y - Cy et a(e-)kR) - - ik • (y - Cy).e-jkR ay R ay R Donc : aAz Jz.e jk.R ay = R2 - j.y.k - R = (y - Cy).Jz.a aAy _ Jy.e-jk.R az R2 -j.z.k - R = (z - Cz).Jy.a

e-]k.R Avec a = ù R220 25 Donc pour rotAx, on a : rotAx = a.(z.Jy -- y.Jz) De même, pour rotAy et rotAz : rotAy = a.(x.Jz ù z.Jx) et rotAx = a.(z.Jy ù y.Jz) 4 .[- (z - Cz).Jy + (y - Cy).Jz] a'/10 [- (x - Cx).Jz + (z -Cz).Jx] 4,r a.,uo 47r .[- (y - Cy).Jx + (x - Cx).Jy] Au final, 8 = toujours avec a = ù e-ik.R R2j.k + R 10 On détermine E par la formule E aA En résumé, on a vu comment exprimer les vecteurs test B,-EST et ETEST en fonction de 8 et E grâce à l'utilisation des projecteurs [S2]. Ces relations permettent d'exprimer matriciellement BTEST et ETEST en fonction de A , donc en fonction de J: LBJ-EST = [M] • [J~ UÊEST = [Q]. [J] Où les matrices [M] et [Q] dépendent de la géométrie et de la physique du problème. Conformément à l'invention, on peut établir, pour un système comportant plusieurs objets, la matrice globale de ce système, et ainsi trouver toutes les 20 composantes du vecteur source J . On peut calculer en tout point d'observation du système les grandeurs physiques représentatives des interactions du sein du système. On remarquera que pour cette application à l'électromagnétisme, le nombre de at 15 paramètres inconnus des sources par maille est égal au nombre d'équations disponibles (six, en l'occurrence). Par exemple, dans le cas de la figure 2, le système décrit pourrait être un objet conducteur composé des milieux stratifiés 1,2 et 5, placé face à un champ 5 d'excitation créé par l'objet d, les objets b ou c pouvant représenter une fissure ou une inclusion. Remarque sur les jauges : les équations de Maxwell étant des équations intégro-différentielles, les champs 8 et E sont déterminés à partir de À à une constante près appelée jauge. Le divergence d'un rotationnel est toujours nulle, il en 10 découle que 8 = rOt A. Et comme le rotationnel du gradient d'une fonction O est toujours nul, on peut ajouter un terme de gradient à A . Le champ E devient alors : É=-âA - grade On montre que la divergence de A peut être choisie arbitrairement. Une condition appelée jauge permet alors de déterminer complètement À. On utilise couramment 15 les jauges dites jauge de Coulomb, ou encore jauge de Lorentz. D'autres conditions sur le potentiel coexistent. Dans le cas de la méthode DPSM, si l'utilisateur souhaite vérifier une condition de jauge particulière, alors l'ajout d'une source ponctuelle supplémentaire permet de caractériser complètement le système, et de lever toute incertitude sur le potentiel. 20 On va décrire ci-dessous un mode de mise en oeuvre du procédé de l'invention en référence à un contrôle non destructif par ultrasons, mais il est bien entendu que l'invention n'est pas limitée à cette seule application, et qu'elle peut être mise en oeuvre dans toutes les applications mettant en oeuvre des phénomènes de propagation d'ondes dans des milieux comportant au moins une interface, dans des 25 domaines très variés tels que l'électromagnétisme, la magnétostatique, l'acoustique, l'optique, la géophysique, les courants de Foucault, la thermique, etc. Les principes de base du procédé de modélisation de milieux non homogènes conforme à l'invention sont décrits ci-dessous en référence aux figures 9 à 19. On a représenté en figure 9 un système 6 comportant deux transducteurs T et 30 S disposés de part et d'autre d'un ensemble non homogène, c'est-à-dire comportant plusieurs objets et milieux différents. On va d'abord supposer que ces milieux sont des couches planes de propriétés et/ou de matériaux différents (différents entre couches adjacentes, chaque couche étant supposée homogène dans sa composition et ses propriétés), le système 6 étant alors qualifié de multicouches. Comme précisé ci- dessus, ces transducteurs sont, dans le cas présent, des sondes ultrasonores. On suppose que cee système 6 est constitué de n couches planes de milieux différents, référencées C 1 à Cä et séparés par (n-1) interfaces référencées I1 à In_1. Pour simplifier les explications, on a représenté des transducteurs dont les faces actives (en vis-à-vis du système 6) sont planes et parallèles aux interfaces, mais il est bien entendu que l'invention peut également être mise en oeuvre lorsque ces faces actives ne sont pas parallèles aux interfaces. Une couche de source, appelée source primaire, modélise un transducteur, et une interface est modélisée par deux couches de sources, appelées sources secondaires. A partir de la configuration de la figure 9, et en mettant en oeuvre l'extension de la DPSM aux systèmes multicouches selon la présente invention, on a représenté en figure 10 deux couches de sources primaires As et AT qui modélisent les deux transducteurs S et T, et 2(n-1) couches de sources secondaires relatives aux (n-1) interfaces. Ces sources ont été représentées sous forme de petits cercles tangents aux interfaces correspondantes. De chaque côté de chaque interface, on répartit sur la face entière de cette interface une couche de sources secondaires. Ainsi, par exemple pour la première interface I1, on répartit des sources A*1 sur la face de l'interface en vis-à-vis du transducteur S et des sources Al sur l'autre face, et ainsi de suite jusqu'à l'interface de rang n, comportant des sources A*n_1 sur sa face en vis-à-vis de l'interface de rang (n-1) et des sources An_1 sur sa face en vis-à-vis du transducteur T.

Pour la clarté du dessin, on n'a représenté qu'une partie de ces sources primaires et secondaires. On appelle As et AT les vecteurs contenant les valeurs des sources ponctuelles qu'on appellera par la suite vecteurs sources. Sur chaque face de chaque interface de rang 1 à n, on a représenté un ensemble de vecteurs sources secondaires An, (pour la face supérieure de chaque interface, telle que vue sur le dessin) et A*n, (pour la face inférieure de chaque interface). Le champ ultrasonore total dans chaque milieu plan du système 6 est obtenu par superposition des vecteurs générés par les deux ensembles de sources situées juste au-dessus et juste au-dessous du milieu considéré. Ainsi, ce vecteur total est calculé, pour les différents milieux de la façon suivante : Milieu C1: Sommation des champs générés par As et AI Milieu C2: Sommation des champs générés par A*I et A2 Milieu C3: Sommation des champs générés par A*2 et A3

Milieu C(ä_I): Sommation des champs générés par A*ä_z et Aä_1 Milieu C,,: Sommation des champs générés par A*r_1 et AT On va maintenant examiner quelles conditions aux limites et aux interfaces doivent être satisfaites afin de pouvoir déterminer les valeurs du vecteur source. Sur les faces actives des transducteurs S et T, l'utilisateur impose en chaque point des valeurs de vitesse respectivement regroupées dans des vecteurs vitesse appelés Vso et VTO respectivement (et qui sont des CLU). Au passage des (n-1) interfaces, la pression P et la composante de vitesse V selon la direction localement perpendiculaire aux plans des interfaces, et qui sera simplement appelée vitesse V par la suite, doivent être continues pour des raisons tenant à la physique ultrasonore (CLI). Il en serait de même pour les conditions de continuité de grandeurs dans d'autres domaines physiques, pour lesquels les grandeurs P et V représenteraient d'autres paramètres, qui pourraient ne pas être une pression et une vitesse. Les termes V et P sont liés au vecteur source élémentaire A par les relations V=M.A et P=Q.A, dans lesquelles M et Q sont des matrices de couplage des objets qui interagissent dans le même milieu. La matrice Q caractérise une grandeur scalaire (une pression acoustique dans le cas d'ondes ultrasonores, un potentiel scalaire électrique en électrostatique, ou bien un potentiel scalaire magnétique en magnétostatique), tandis que la matrice M caractérise une grandeur vectorielle (vitesse de propagation des ondes ultrasonores dans le présent exemple, champ électrique en électrostatique, ou champ magnétique en magnétostatique). Les conditions aux limites et de continuité entraînent les relations suivantes : 5 MssAs +MsIAI = Vso M7TAT + MT(n-1)An-1 = VT0 M1sAs +M11A1 = M12A2 +Mi1Ai Q1sAs +Q11A1 =Q12A2 +Q11A1 Mz1A1 +M22A2 = M22A2 +M23A3 Q21A1 +Q22A2 =Q22A2 +Q23A3 * * * * M(n-2)(n-3)A(n-3) +M(n-2)(n-2)A(n-2) =M(n-2)(n-2)A(n_2) +M(n-2)(n-1)Anù1 * A* Q(nù2)(nù3) (nù3) + Q(nù2)(nù2)A(nù2) ù Q(nù2 )(nù2)A(nù2) + Q(nù2)(nù1)A(nù1) M(nùl)(nù2)A(nù2) +M(nùI)(nù1)A(nùl) = M(nùl)(nùl)A(nùl) +M(nù1)TAT Q(nùI)(nù2)A(nù2) +Q(nùl)(nù1)A(nù1) = Q(nùI)(nù1)A(nùI) +Q(nù1)TAT Ces équations peuvent être représentées sous forme matricielle, en écrivant les valeurs en indice (n j) sous la forme nj, j = 1, 2, 3 comme suit : 29 (1) 0 ùMä ù Q,2 M 22 Q22 0 0 Ms, ms, 0 M, 3 Mä ùMu Q., Q,, ùQI, 0 0 M21 0 0 Q2, 0 0 0 0 0 0o o o o o o o o o 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - ùM23 0 0 0 0 0 0 0 0 - - Q2, 0 0 0 0 0 0 0 0 M33 ùM3, ùM34 ... 0 0 0 0 0 0 Q33 ù Q33 ù Q34 ... O O 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Mn2n3 M,2n2 ùM,2,,2 M,,2,,, 0 0 Qn2,,3 Qn2n2 ù Qn2n2 0 0 0 0 M,,n2 Mn,ä, Mn,r O O Qn,,,2 Qnirrl ùQnlnl Q,,17 0 0 0 0 ver , m,,.

As Vso A, 0 A; 0 A2 0 A; 0 A3 0 A, 0 X (2) Cette matrice peut être écrite sous la forme symbolique : >IRA} = {Vo } {Al ù = [M]ù1 {Va } (3) ~ On peut ainsi obtenir le vecteur {A} qui regroupe l'ensemble des sources primaires et secondaires et qui est appelé vecteur source global. On va maintenant examiner le cas où les faces actives des transducteurs sont appliquées sur les interfaces extrêmes de l'objet qui leur font face. On considère (n+l) interfaces (Io, Ii .... In) séparant (n+2) couches de milieux différents, ces couches ayant des rangs numérotés (0, 1, 2, n, n+1). Les faces actives des transducteurs S et T sont appliquées respectivement sur les interfaces inférieure (Io) et supérieure (In) de l'objet 1, comme représenté en figure 11. Ces deux interfaces délimitent respectivement un demi-espace inférieur et un demi-espace supérieur. Le milieu de rang 0 est au contact de l'interface Io, tandis que le milieu de rang n+l est au contact de l'interface In. Comme expliqué ci-dessus à propos du procédé de l'invention, on répartit des couches de sources de chaque côté des n+l interfaces Io, Il,... In . Ces deux couches de vecteurs sources sont notés An, (pour les sources situées au-dessus des interfaces) et A*,,, (pour les sources situées au-dessous des interfaces), avec 0 < m < n. Cependant, les première (Io ) et dernière (I, ) interfaces sont adjacentes à trois couches de sources différentes. En effet, les deux ensembles de sources supplémentaires As et AT sont dus au fait que les faces actives des transducteurs sont appliquées, par hypothèse, contre ces première et dernière interfaces. Bien que l'interface Io coïncide avec la face active du transducteur S, on considérera ici, pour l'exposé du procédé de l'invention, Io et S comme deux interfaces différentes. Io représente la région passive (dépourvue de source d'énergie) et S la région active (une source d'énergie y est présente). De la même façon, on considérera Iä et T comme deux interfaces différentes. Ainsi, dans le cas exposé ici, il y a n+l interfaces passives Io, de chaque côté desquelles est disposé un ensemble de sources, et seulement deux surfaces actives S et T qui correspondent respectivement aux deux ensembles de sources supplémentaires As et AT. Les champs ultrasonores dans tous les milieux, sauf les deux milieux extrêmes, sont obtenus en superposant les champs produits par deux ensembles de sources, comme noté ci-dessous : Milieu 2: Sommation des champs produits par A*l et A2. Milieu 3: Sommation des champs produits par A*2 et A3. .............. Milieu n-1: Sommation des champs produits par A*n_2 et Ai_1. Cependant, dans chaque demi-espace au-dessus de l'interface Iä et en dessous de l'interface Io, le champ ultrasonore n'est produit que par une seule couche de sources : Milieu 0: le champ est produit par les sources Ao. Milieu n+l : le champ est produit par les sources A*,,. Dans les milieux supérieur et inférieur (milieux de rangs 1 et n) le champ est produit par trois couches de sources : Milieu 1: Sommation des champs produits par A*o, Al et As.

Milieu n: Sommation des champs produits par A*n_1 et An et AT.

Pour déterminer la valeur des sources à partir des conditions aux limites et aux interfaces, il faut d'abord satisfaire les conditions aux interfaces suivantes. Au passage des n-1 interfaces passives intermédiaires (II, I2,... In), la pression ultrasonore P et la vitesse V dans la direction localement normale aux plans des interfaces doivent être continues.. Si l'on exclut les surfaces actives S et T, les interfaces Io et Iä ne sont adjacentes qu'à des zones passives. Au passage de ces interfaces passives, la pression P et la vitesse V doivent être continues, comme au passage des autres n-1 interfaces passives.

Sur les faces S et T des transducteurs, les vecteurs vitesse V sont respectivement notés Vso et VTO. Etant donné que, comme précisé ci-dessus, V=M.A et P=Q.A, les conditions de continuité et les conditions aux limites (CLU et CLI) donnent les équations suivantes : * * MOSAS + M00A0 + M01A1 = VSO * * MOSAS + M00A0 + M01A1 = M00A0 * * QOSAS +Q00A0 +Q01A1 = Q00A0 * * * * MISAS + M10A0 + M11A1 = IVE' 1A1 + M12A2 * * * * Q1SAS + Q10A0 + Q11A1 = Q11A1 + Q12A2 * * * * M21A1 +M22A2 = M22A2 + M23A3 * * * * Q21A1 +Q22A2 = Q22A2 + Q23A3 sur S sur 10 sur IO Ste Il sur Il sur 12 sur 12 * * * * M(nù1)(n-2)A(nù2) + M(nù1)(n-l)A(nù1) = M(nù1)(nù1)A(nù1) + M(nù1)nAn + M(nù1)TAT * * * * Q(n-1)(nù2)A(nù2) +Q(nùi)(nùi)A(nùi) = Q(nù1)(nù1)A(nù1) +Q(nù1)nAn +Q(nù1)TAT * * * * Mn(nù1)A(nù1) +MnnAn + MnTAT = MnnAn sur In * * * * Qn(nù1)A(nù1) +QnnAn +QnTAT = QnnAn * * Mn(nù1)Anù1 +MnnAn+MnTAT =VTO (4) Ces équations peuvent être réarrangées de la façon suivante: sur In sur T sur Inù1 sur I nù1 * * M00A0 + MOSAS + MO 1A1 = M00A0 * * 000A0 + QOSAS + Q01A1 = 000A0 * * M00A0 + MOSAS + M01A1 = VSO * * * * M10A0 + M1SAS + M11A1 = M11A1 + M12A2 * * * * Q10A0 +QlsAS +Q11A1 = Q11A1 +Q12A2 * * * * M21A1 +M22A2 = M22A2 + M23A3 * * * * Q21A1 +Q22A2 = Q22A2 +Q23A3 * * * * M(nù1)(nù2)A(nù2) + M(nù1)(nù1)A(nùl) = M(nùl)(nù1)A(nù1) + M(nù1)nAn + M(nù1)T AT * * * * Q(n-1)(n-2)A(n-2) +Q(n-1)(n-1)A(n-l) =Q(n-1)(n-1)A(nù1)+Q(n-1)nAn+Q(n-1)TAT * Mn(nù1)Anù1 +MnnAn + MnTAT = VT 0 sur T * * * * Mn(nù1)A(nùl) + MnnAn + MnTAT = MnnAn sur ln * * * * Qn(nù1)A(nù1)+QnnAn+QnTAT =QnnAn sur In (5) En représentation matricielle, ces équations deviennent, en posant (n j) sous

la forme nj, j = 1, 2, 3 .... : * -M00 M00 Mus mol 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -Qoo Qoo Qos QOl 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M*0o M0s moi 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 M10 Mis M11 -M11 -M12 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 Qio Qls Q11 -Q11 -Q12 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0 0 0 N121 M22 -M22 -M23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Q21 Q22 -Q22 -Q23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Mnln2 Mnlnl -M; lnl MnlT Mnln 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Q*nln2 Qnlnl -Qnlnl Qn1T -Qnln O 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * MnT Mnn 0 Mnnl * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Mnnl MnT Mnn -Mnn 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Qnnl Qn!' Qnn -Qnn sur IO sur 10 sur S sur Il sur Il sur 12 sur 12 sur sur Ao 0 A, 0 As Vso A, 0 A; 0 A, 0 A2 0 x A3 = An, 0 An, 0

A T VT0 A n 0 s An 0 On compte le nombre d'équations et le nombre d'inconnues de la façon suivante. On suppose que pour chaque interface I1, I2,... Iä_1 il y a N sources au-dessus de l'interface et N sources au-dessous de l'interface, qu'aux interfaces inférieure Io et supérieure Iä+1 il y a respectivement Ml et M2 sources sur les deux faces actives des transducteurs S et T et que sur les zones passives de ces deux interfaces il y a respectivement 2(N-M1) et 2(N-M2) sources. Ainsi, le nombre total de sources pour les n+l interfaces (y compris les surfaces actives des transducteurs) est de 2(n+l)N-M1-M2. Le nombre total d'équations est également de 2(n+1)N-Mi-

M2 . Par conséquent, ce système d'équations peut être résolu de façon unique. L'équation matricielle (6) peut être écrite sous la formesymbolique :

[M KA} _ {vo }

{A}_[M]ù1{vo} (7) On notera que la dimension de la matrice M est de :

{2(n+l)N-M1-M2.* 2(n+l)N-M1-M2.}.

Le nombre de vecteurs de source inconnus est également de 2(n+l)N-M1-M2.On peut ainsi calculer le vecteur source global {A}.

On va maintenant examiner le cas où les faces actives des transducteurs font partie des interfaces. La modélisation des interactions se fait alors de façon (6) 34 légèrement différente de ce qui vient d'être exposé. Contrairement au cas précédent, les sources primaires des transducteurs se substituent à certaines des sources secondaires d'interfaces, comme représenté en figure 12. On dispose une couche de sources de chaque côté des n+l interfaces Io, Il,... I1, . Les vecteurs sources sur une face d'une interface In, sont notés An, au-dessus de l'interface et A*m en dessous de l'interface. Sur la figure 12, on a représenté les transducteurs S et T au contact des interfaces Io et In d'un objet 1 comportant n milieux différents. Ces deux interfaces délimitent des demi -espaces repérés par les milieux 0 et n+l. La différence entre les figures 11 et 12 réside dans la répartition des point sources au voisinage des interfaces Io et In. Le champ ultrasonore total dans chaque milieu est obtenu par superposition des champs produits par deux ensembles de sources de la façon suivante : Milieu 1: Sommation des champs générés par A*o et A1. Milieu 2: Sommation des champs générés par A*1 et A2.

Milieu 3: Sommation des champs générés par A*2 et A3.

Milieu n: Sommation des champs générés par A*n_1 et An. Cependant, dans chaque demi-espace précité, le champ est généré par une seule couche de sources : Milieu 0: le champ est généré par les sources Ao. Milieu n+l : le champ est généré par les sources A*n. Pour déterminer les valeurs du vecteur source à partir des conditions aux limites, il faut satisfaire les conditions aux interfaces suivantes. Au passage des n-1 interfaces passives (I1, I2 ,.... Ii_1) la pression P et la vitesse V dans la direction localement normale à l'interface considérée ne doivent pas présenter de discontinuité. Les interfaces Io et Ir, sont adjacentes à la fois à des zones actives et à des zones passives. Les faces actives des transducteurs S et T sont disposées dans les zones actives. Ces zones sont respectivement dénommées los et Iä . Les zones passives ne comportant pas les faces actives des transducteurs sont dénommées Io et 30 Iä (sans exposants). Sur les faces actives los et l' des transducteurs les vecteurs vitesse sont respectivement appelés Vso et V7-o , et au passage des interfaces passives Io et Iä la pression P et la vitesse V dans la direction localement normale à l'interface considérée ne doivent pas présenter de discontinuité, au même titre que les autres n-1 interfaces passives.

Etant donné que V = M.A et P = Q.A , les conditions aux limites et aux interfaces entraînent les équations suivantes : M00A0 + M01A1 =Vs() * * M00A0 + M01A1 = M00A0 * * 000A0 +Q01A1 = 000A0 * * * * M10A0 + M1 1A1 = M1 1A1 + M12A2 * * * * Q10A0 +Q11A1 = Q11A1 +Q12A2 * * * * M21A1 +M22A2 = M22A2 +M23A3 * * * * Q21A1 +Q22A2 = Q22A2 + Q23A3sur IO sur 10 sur IO sur Il sur Il sur 12 sur 12 * * * * M(nù1)(nù2)A(nù2) +M(nù1)(nùl)A(nù1) = M(nùl)(nù1)A(nù1) +M(nù1)nAn Q(n• ù1)(nù2)A(nù2) + Q(nù1)(nù1)A(nùl) = Q(n• ù1)(nù1)A(nù1) • + Q(nù1)nAn * * * * Mn(nù1)A(nùl) +MnnAn = MnnAn sur In * * * * Qn(nù1)A(nù1) +QnnAn = QnnAn sur In Mn(nù1• )Anù1 • + MnnAn = VTO sur In (8) Ces équations peuvent être écrites sous forme matricielle, en posant (n j) sous la forme nj, j = 1, 2, 3 ... sur In_1 sur 1nù1 {ùM.} M;,,, mu, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 {-Q,,,,} {Q;,,)} {Qä,} 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Mu) Mn ùMn 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Qw Q.. ùQn ùQi2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M;, M 22 ù M;, ù M 23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Q;, Q22 ùQzz ùQ23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .. 0 Mä,ä, ù Mä,ä 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .. 0 QQù ù Q0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 {-m:,} 0 0 0 0 0 0 0 0 .. o o o {Q;,ä, } {Q,.} {-Q 'ää } x A nl A nl An Les termes figurant entre accolades ({ }) sont remplacés par des zéros lorsqu'il 5 s'agit des interfaces de rangs 0 et n , tandis que les termes entre crochets pointus (( )) sont remplacés par des zéros lorsqu'il s'agit des zones actives (Io et In) et des interfaces de rangs 0 et n. La matrice (9) ci-dessus peut être écrite sous la forme symbolique : (9) [M}{A} _ {Vo } {A}= [M]ù1{Vp} Ainsi, on peut obtenir le vecteur source global {A}. On va examiner le cas particulier d'une seule interface et d'un seul transducteur, en référence à la figure 13. Ce cas peut être considéré comme un cas particulier du cas illustré en figure 10, si on enlève à ce dernier le transducteur AT et toutes les interfaces, sauf I. Ce cas permet de calculer le coefficient de réflexion R en termes de valeurs de M et Q, et donc d'avoir une idée de la signification physique des matrices M et Q. Dans ce cas, l'équation (2) se réduit à : MssAs +Ms,A, =Vso M1sAs +MäA, =MäA, Q,sAs +QUA, =QäA, Les deuxième et troisième équations de (11) donnent : = Mä {M,SAs +MäAI} A, = [Q,, ] 1 {Q,s A s + QäA, } En soustrayant les deux équations de (12), on obtient : 0=[MnJ'{M1sAs+MäA,}ù[Qä]'{QIsAs+Q11A,} {[Mä] 'mis, ù[Qä] ~Q,s}As +{[Mä] 'mu ù[Qä] 'Q, (13) aAs +fA, = 0 A, = -/.3-' aA, avec a={[Mä~ : M1 ù [Q1f'Q,s} (14) _{[Mä] 1Mä ù[Qä] 1Qä} Etant donné que l'on a d'après (11) : MssAs +Ms,A, = Vso on peut écrire : MA s ù Ms,fl 'aA = Vso Mss ùMs,f a~s = Vso Le vecteur vitesse au niveau de l'interface dans le milieu 2 peut être exprimé sous forme de matrice de coefficients de transmission T telle que: (10) (12) (15) TMisAs et dans le milieu 1 sous forme de matrice de coefficients de réflexion R telle que : MisAs + RM1sAs Ce qui donne : * * TMISAS = M11A1 et (16) MISAS + RMISAS = Mi AS + M1 1A1 RMISAS = M11A1 On obtient alors : * 1 M11 J TMISAS et (17) Al = [Mil] 1RMISAS On notera que la condition de continuité de pression n'est pas nécessairement satisfaite séparément lorsque le problème est formulé en termes de matrices de coefficients de réflexion et de transmission parce que la continuité de la vitesse garantit la continuité de la pression également lorsque l'on considère lesdites - matrices. A partir des équations (13) et (17), on peut écrire : A, =[M>>] RM1sAs =ùfl-'aAs [M1 ] 'RM,s = ùf ,a=_{[M1 I M11 ù[Q>1] - 1-1 1Q11 ÏM 11 1M,s ù[Qi1] lQis} R=ù/'a=-Mi,{~M~,~ Mn -[Qä]'Q11} {[M, mis, - [Q I] Q1 ]fM,s] (18) En partant des enseignements de la DPSM, on calcule la valeur des N sources ponctuelles réparties à la surface d'un transducteur par exemple de la façon suivante. On suppose ici que le transducteur est au contact d'un fluide, mais il est bien entendu que l'on peut facilement transposer l'exposé dans le cas où ce transducteur serait au contact d'un corps solide. Soit Am la valeur de la m-ième source ponctuelle. La pression p,,, à une distance rm de cette source ponctuelle est donnée par : 77~~ (r) Am exp(iktrm) p Ym = (18-A) * Al = rm 15 expression dans laquelle i2 = -1, kf=co/ef , w étant la pulsation de l'onde utrasonore et cf la vitesse de propagation de cette onde. La pression ultrasonore p(x) en un point x , situé à une distance r,,, de la m-ième source ponctuelle est donnée par : 77~~ N 7~ N t' exp(ikfrm) (x) ù pm(rm) = A. m=1 m=1 r,,, Etant donné qu'à partir de la relation existant entre la pression ultrasonore et la vitesse de propagation de l'onde, on peut calculer la vitesse de cette onde au point x : ap = p avn = iwpvn an at et pour une vitesse exprimée en fonction du temps, de la forme , on obtient sa dérivée simplement en multipliant vä par un terme positif ou négatif. Dans le cas où ce terme est négatif, on a : 1 ap v = n i wp an Ainsi, on obtient la valeur de la vitesse radiale vä de l'onde ultrasonore à une distance r de la m-ième source ponctuelle : An a exp(ik fr) v A ' ik f exp(ik Jr) exp(ik fr) " vn'(r)ùiwpar r r r2 La composante dans une direction x3 de la vitesse est : (18-B) (18-C) (18-D) exp(ik fr) ( 1 ikl - - r r, (18-E) Am iwp A a exp(ikfr)" m _ v3m (r) _

iwp axa r iP r Lorsque l'on additionne les contributions des N sources ponctuelles, la valeur totale A. x3 exp(ik/ r) Cik f û r (18-F) de la vitesse dans une direction x3 est : 20 vs (x) = v,,,, (rm) _ Am x3m exp(ik 2 f rm) ~ik f -1 (18-G) n,=1 ,n=1 i(of) rm rm , Si on appelle vo la vitesse des ondes sur la face active du transducteur dans une direction x3, pour toutes les valeurs de x sur cette face active, la vitesse dans la direction x3 est égale à vo, et on a alors : v A x3m exp(ik rm) ( û 1 v (x) = ik = 3 m=1 Z wp r,,, r,,, ,, 0 (18-H) 25 En prenant N points sur la face active du transducteur, on peut obtenir un système de N équations linéaires à N inconnues (AI, A2, A3, ....AN). Cependant, il se pose un problème lorsque la source ponctuelle coïncide avec le point d'intérêt x, du fait que rm s'annule et V3m, dans la relation (18-H), est illimitée. Bien entendu, lorsqu'une source ponctuelle et un point d'intérêt x sont situés sur la face active du transducteur, seuls ces deux points peuvent coïncider et rm peut être nulle. Pour lever cette difficulté, on place les sources ponctuelles légèrement derrière la face active du transducteur. Dans un tel cas, on appelle rs la plus petite valeur de rm. Lorsque le point x est situé sur la face active du transducteur, sa composante de vitesse x3 est corrélée avec la vitesse vo des ondes sur cette face active. Si on veut alors annuler les deux autres composantes de vitesse v1 et v2, il faut satisfaire à la fois trois équations, à savoir l'équation (18-H) ci-dessus et les deux équations (18-I) ci-dessous : vI (x) = N E A. xlm exp(ikfrm m=1 10P rm N Vz (x) = Am x2m exp(1 f rm m=l iWP rm ( 1" ik1 - - rm ( 1 ik~. - - rm =0 (18-I) =0 Ainsi, on obtient 3.N équations pour les N points test des surfaces des sphères telles que celles représentées dans ledit brevet français de DPSM. Cependant, on obtient plus d'équations que d'inconnues. Pour résoudre ce problème, ce brevet français préconise d'augmenter le nombre d'inconnues pour en obtenir 3.N, en remplaçant chaque source ponctuelle par un triplet de sources ponctuelles. Ces trois sources ont des valeurs différentes et sont disposées sur un même plan parallèle à la face active du transducteur, à une distance x3= -rs de cette face. Les trois sources ponctuelles sont disposées aux sommets d'un triangle équilatéral orienté aléatoirement afin de préserver les propriétés isotropes du matériau traversé par les ondes et éviter toute orientation préférentielle de l'émission. Ainsi, en résolvant un système de 3N équations linéaires (dans le cas de triplets) ou de N équations linéaires (pour une source ponctuelle unique), on obtient les valeurs de Am associées à toutes les sources ponctuelles .Une fois obtenues les valeurs de Am, on calcule la pression p(x) en tout point à partir de la relation (18-B), que ce soit sur la face active du transducteur ou au-delà. On remarquera que dans le cas d'un fluide parfait non visqueux, seule la composante de vitesse normale (v3) à l'interface fluide-solide (sur la face active du transducteur) doit être continue. Les composantes de vitesse parallèles à cette face active ne sont pas nécessairement continues parce que des glissements peuvent se produire entre la face active et le fluide. Cependant, de tels glissements ne peuvent pas se produire dans le cas de fluides visqueux, et les trois composantes de la vitesse doivent être continues à ladite interface. On va exposer ci-dessous le calcul des paramètres des sources à l'aide du calcul matriciel, en référence à la propagation d'ondes ultrasonores dans un fluide, mais il est bien entendu que ce calcul peut être aisément transposé dans d'autres domaines d'application, tels que ceux cités ci-dessus. Ce calcul est présenté pour des sources en triplets, lorsque les trois composantes cartésiennes de vitesse sur la face active du transducteur correspondent à celles dans le fluide, à l'interface avec le transducteur, comme c'est le cas avec des fluides visqueux. Dans le cas contraire, on utilisera des sources ponctuelles uniques à la place des triplets, en éliminant les composantes de vitesse vl et v2 dans les calculs. La dimension des matrices et les dimensions des vecteurs passeront alors de 3N à N. En combinant les relations (18-H) et (18-I), on obtient : Vs = M ssAs (18-J) dans cette relation, Vs est le vecteur de dimension (3N x 1) des composantes de vitesse en N points x et As est le vecteur de dimension (3N x 1) comportant les grandeurs physiques relatives 3N sources ponctuelles. Ms, est la matrice de dimensions (3N x 3N) liant les deux vecteurs Vs et As . A partir des équations (18-H) et (18-I), on obtient aussi : T 1 '2 -v'3 2 2 2 N N N 1v y = [v; v2 v3 v, v2 v3 vl v2 v3 On notera que la transposée du vecteur colonne VS est un vecteur rangée de dimension (1 x 3N). Les éléments de ce vecteur sont notés v~ , l'indice j pouvant prendre les valeurs 1, 2 ou 3 et indiquant la direction de la composante cartésienne de la vitesse de propagation des ondes. L'exposant n peut prendre toute valeur entre 1 et N et il correspond au point de la face active du transducteur pour lequel la composante de vitesse est définie. (18-K) Pour la plupart des transducteurs ultrasonores, vin est nul pour j=1 ou 2 (c'est-à-dire pour des composantes de vitesse parallèles à l'interface) et vin = vo pour j = 3 (composante normale de la vitesse ). Dans ce cas, la relation (18-K) devient : {V5. }` = [o o vo 0 0 vo 0 0 va ] (18-L) et le vecteur As est donné par : {A S }T = [A, A2 A3 A4 A5 A6 A3N-2 A3N-1 A3N ] (18-M) La matrice carrée Mss est obtenue à partir des équations (18-H) et (18-I) : Mss / (x1l , rll) / (x12 , Y2) f(x13 , Y31) J(X14 , Y4) J (x(3N-I), r31N-I) /(xl(3N), r3N) J (x 2, ,r, f(x22,Y2) /{'(x23 f , Y31) /(x24 ,Y4) f(x2(3N-I), Y3N-I) f / (x2(3N), Y3N) f(x31, r,') / (x2, r,) f(x33, r3') {' J (x34, r4) ... f (X3(3N-1)5 r31N-I) f (x3(3N)~Y3N) (xI2I , 2) f(x122 Y22) / (x132 Y32) f(x124 Y42) ... f(xI 3NI (' ) Y32N-I ) f /(xl(3N) Yr32,,, ) f (x21 1,12) f(x22,r, ) f(x23 Y3') f(x24,Y4 ) ... / (X2(3N-I), Y3N-l) f(x2(3N) , r3N) f (x31,r, ) f(x32, r,) f(x33, r32) r42 ) ... / (x2 2 , r3N-I) f(X3(3N) , r3N) f(x3,Y1N) r2N ) f(x33,r3N) f(x33,r4) ... f(x3(3N-1)'Y3N-1) f(x(3N),Y3N3Nx3N (18-N) avec : n n xhn exp@k(r ) nv f x~ rm = iap(rm )2 Dans la relation (18-0), le premier indice j de x peut prendre les valeurs 1, 2 ou 3 et indique à quelle direction x1, X2 OU X3 se rapporte x. L'indice m de x et de r peut prendre les valeurs de 1 à 3N, en fonction de la source ponctuelle considérée, tandis que l'indice n peut prendre toute valeur entre 1 et N en fonction du point considéré de la face active du transducteur pour lequel on calcule la composante de vitesse. Soit xä un des points x (situé à l'arrière de la face active du transducteur). Le vecteur reliant la m-ième source ponctuelle à ce point est noté rn et ses trois composantes selon les directions xi, X2, et X3 ont pour valeurs x,,,,, , j =1,2,3 dans les équations (18-N) et (18-0). A partir de l'équation (18-J), on obtient les grandeurs relatives aux sources ponctuelles en inversant la matrice Mss : NV s (18-P) Une fois que l'on a ainsi calculé le vecteur source As , on obtient la pression p(x) à partir de l'équation (18-B) ou encore le vecteur vitesse V(x) en tout point (sur la face active du transducteur ou au-delà) à partir des équations (18-H) et (18-I). Par la suite, on appelle "point d'observation" tout point du fluide (ou, de façon plus générale, tout point d'un milieu dans lequel se produit une interaction entre une onde et le matériau de ce milieu) pour lequel on calcule les vecteurs de vitesse et de pression. On obtient les composantes de pression et de vitesse à partir des relations suivantes: P, = Q7s As (18Q) V. = M7sAs Dans cette expression, PT est un vecteur de dimension (M x 1) et comporte les valeurs de pression en M points d'observation, et VT est un vecteur de dimension (3M x 1) comportant les trois composantes en tout point d'observation. L'expression de VT est similaire à celle de Vs tirée de l'expression (18-K). La seule différence réside dans le fait que sa dimension est de (3M x 1) et non pas de (3N x 1). La matrice MTs est la même que celle de Mss dans l'équation (18-N) si les points d'observation sont identiques aux points de la face active du transducteur pour lesquels les composantes de vitesse sont choisies de façon à obtenir le vecteur source As dans l'équation (18-P). Cependant, pour calculer le vecteur vitesse en différents points, l'expression donnant MTS est légèrement différente de celle de Mss tirée de l'équation (18-N). Par conséquent, sa dimension est de (3M x 3N) comme marqué dans l'équation (18-R) ci- dessous: MIS =

f(xll,rll) f (x112, Y21) f(x13, r31) f(x14,r4) f (x2, rll) J (x22 , r2) f (x23 , r3) f (x24 , r4 ) f(x1,ri1) f(x2,r2) f(x33,r3) f(x34,r4) f (x121 , r12) f (x12 , r 2 ) f (x 3 , r32) f (x14 , r4 ) ... f x221 , 2 f ~ x22 r22 f 2 xY3 r32 f 2 x24 r42 (x31 r12) f(x32, r2 ) f(x3 , r3 f(x4 , r4 )

f (xM , r1M) f (x 2 , r2 , ) / (x33 , ) f (x34 , r4 ) ... {' xl 1 t (3N),r3N f x2(3,) , r3IN f xI(3N),r3N) f(x(3N-I)~r3N-I) f(x(3N), r3N) 2 f x2(3N-1),r32N-I) f x2(3N)2 ,r32N) f (x3(3N-I) ,r3N 2 2 -I) f (x3(3,) , r,2,ä, ) "f ... f (x33N-I),r3N-I) f(x3( N),r3N ) {' xl(3N-1) r3N-1 " f x2(3N-1) r3N-I "' f x3(3N-1),r3N-I 3Mx3N (18-R) Dans cette expression, le terme f (xn,,, , r ,) est identique à celui figurant dans l'équation (18-0). Les définitions des indices j et m sont les mêmes que celles dans l'équation (18-0). Les exposants n des variables x et r peuvent prendre toute valeur entre 1 et M, en fonction du point considéré. Il est à remarquer que MTS n'est pas une matrice carrée lorsque M est différent de N. On obtient la matrice QTS à partir de l'équation (18-B) lorsqu'il y a 3N sources ponctuelles et M points considérés: exp(ikfr,l) exp(ikfrz) exp(ikfr3l) exp(ikfr3N ) ri 1 r' 2 3N exp(ikjr,2) exp(ikfr2) exp(ikfr32) exp(ikfr32N) 2 2 2 2 exp(ikfr3) exp(ikfr;) exp(ikfr3) exp(ikfr3N) 3 3 3 3 Yl r2 r3 r3N Q 7s = exp(ikfrl"') exp(1k1r2 ) exp(ik frM ) M M M Yl r2 r exp(ikfr N ) M r3 N Mx3N (18-S) Dans cette équation, la définition de rä", est la même que dans les équations (18-R) et (18-Q), et c'est la distance entre la m-ième source ponctuelle et le n-ième point considéré. En revenant à l'équation (18), on obtient, à partir des équations (18-0) et (18-S), les éléments de la matrice Q de cette équation (matrice établissant la relation entre la pression acoustique et le vecteur source) ainsi que les éléments de sa matrice M (qui établit la relation entre la composante normale de vitesse et le vecteur source), ce qui donne: Q= ikr e r M = 1 x3 (ikr _ 1)eikr iwp r w c 27rc avec: k=ù, 2==ù= c f w (19) On définit maintenant deux matrices Q et M similaires aux matrices Q* et M* de l'équation (18), la seule différence étant que les matrices Q* et M sont relatives aux propriété du milieu 2 (parce qu'elles donnent la pression et la vitesse dans le milieu 2 en valeurs de répartition de sources Al* , alors que les matrices Q et M utilisent les propriétés du milieu 1. Par conséquent, les matrices Q et M donnent les valeurs de pression et de vitesse pour des sources équivalentes réparties selon une position Al* lorsque le milieu 2 est remplacé par le milieu 1. On peut alors écrire l'équation 19 ainsi: Q e ik, r e ikzr ik,r * e ek,..

De la même façon, on obtient: M*Pz

(iklr -1)eik,r (ikzr -1)eikZr (21) M* = M P1(ikzr -1)e,kzr = M Pz Pz (ik1r -1)e'k'r fi On notera ici que les matrices et Mä sont similaires aux matrices Q H et M11 de l'équation (18), la seule différence étant que les matrices et Mä donnent les valeurs de pression et de vitesse pour les points aux interfaces dans la configuration de répartition de sources Al*, tandis que les matrices Q11 et M11 donnent les valeurs de pression et de vitesse pour les points aux interfaces dans la configuration de répartition de sources Al. Il faut noter que ces deux matrices utilisent les propriétés de matériau du milieu 1. Etant donné que la configuration de répartition Al est située juste au-dessus de l'interface, alors que la configuration de répartition A1* est située juste au-dessous de l'interface, les vecteurs normaux de vitesse relatifs aux points situés de part et d'autre de l'interface sont de même amplitude et sens opposés. Les pressions générées par ces deux couches de sources ponctuelles sont de même amplitude. On a alors: (20) Qll =Qll =Qä ,

a2 Mä _ ùMä = Mä /(j En reportant 1' équation (22) dans l'équation (18), on obtient: R=ûMu{[ M11]1M11 ù [,] Qä} {[, ]' M1S û[QH] Q,sjM,s (22) Qn' Mä /32 Mis- - a2 Q"a - Q]S r Lmls r - -1 Q az a, ûMI 1 - - -, fi2 Mä M -il 1 ' M 1 1 + [Q,, 1 Q , , 1-11/ ~M, , ~ Mis û [QäJ Q,s 2 a2 [Mis = ûM, al a, /32 [MI l MIS - a' LQ11 ] Q1S (23) Si la configuration de répartition de sources A à l'emplacement Al* de l'interface est équivalente à celle des sources As à l'emplacement considéré, on obtient, en rendant égales les expressions de vitesse des deux ensembles de sources: MäA = M,,SA•s 1-1 A=~Mä M1sAs de la même façon, on obtient pour les pressions: Q11=1A15 (25) A = Qn QisAs On remarquera que A et Al* sont différentes bien qu'elles soient situées au même emplacement. A représente la répartition de sources ponctuelles équivalente lorsque les deux milieux 1 et 2 sont identiques. En d'autres termes, si on remplace le milieu 2 par le milieu 1, il n'y a pas d'interface réelle pour A . Cependant, pour AI* il y a une interface réelle entre les milieux 1 et 2.

En comparant les équations (24) et (25), on obtient: A=[ ~ IM~sAs =LQiiJ 1QIsAs [Mn] ~M~sAs~As~ = [Q,,I 1Q1sAs[AJ (26) [Mn ] Mis = 1 Qn Qu (24) En substituant l'équation (26) dans l'équation (23), on obtient: R =-M - {} { ä fi, + a fii [ 1 Ç I 1-1 s - [ 1 1 1 ' Q 1 [MIS] 1 z az A a2 - 1 } _MA + ai I3 [Mn~ MIS - a~ [1 11 s ~M~s~ ~z a, A az - 1 -M11 /3z {_P]-± a, 1/6,2 az }iiiii1] IMIS[MIS1-1 A +ai Mii~M>>]1Mls[Ms 1 /32 az fiz a2 ,Q a a - t + i t ~z a2 1-1 - ~z az ,l3 a, /3z - a, fl1 a,16z +azfli En substituant dans l'équation (27) les valeurs de a,, a2, (3i E2 32 par celles données dans les équations (20) et (21), on obtient: R a, /3z -az/3, eik,rp1(ikzr-1)e ik2r -eik2rP2(ik1r-1)eik,r _ p1(ik2 r-1)-p2(ikir-1) a,/32 + az eik'r (ikz r -1)ez ikr + eik'r p2 (ik1 r -1)e `kir p1(ikzr-1)+p2(ik1r-1) (28) Si l'on a affaire à des ondes à haute fréquence (k,ä r 1), w w R= p,(ik2r-1)-p2(ik,r-1) ä, pl(ik2r)-P2(ik,r) p,k2 -Pzk, - PI c2 -Pz c - plc, -P2cz p,(ik2r-1)+p2(ik,r-1) p,(ik2r)+p2(ik,r) p,kz+pzk, Pi w + w p,c -p2cz ù P2 ù cz c, (29) 10 par contre, pour des fréquences basses (kg,r 1), on a: R p1(ikzr-1)-P2(ik,r-1), (1)-Pz( 1 - ) = Pi - Pz (30) p,(ikzr-1)+pz(ikir-1) p,(-1)+pz(-1) p,+p2 On remarquera que le coefficient de réflexion en hautes fréquences est similaire au coefficient de réflexion en ondes planes en incidence normale. Par contre, il est légèrement différent en basses fréquences. La raison en est que 15 l'exemple exposé ici se rapporte aux ondes sphériques avec une source ponctuelle. On modélise les ondes planes en superposant un grand nombre de sources (27)5 ponctuelles. On va maintenant exposer des caractéristiques du procédé de l'invention en référence à un système multicouches et aux interactions sur la face active du transducteur. Le problème géométrique considéré ici est identique à celui relatif à celui de la figure 10. La différence dans les conditions aux limites entre le cas présent et celui exposé en début de description, pour lequel la vitesse des ondes aux frontières S et T est spécifiée et dénommée respectivement Vso et VTO , alors que dans le cas exposé ici, elle n'est pas spécifiée. En l'absence de toutes les autres interfaces et des transducteurs, cette vitesse sur les faces S et T serait respectivement Vso et VJD. Dès que l'on introduit d'autres interfaces et un second transducteur, la vitesse des ondes sur la face S n'est plus Vso et celle sur la face T n'est plus VT0.. On va donc maintenant considérer le changement de vitesse sur la face du transducteur dû à l'interaction transducteur-interface. On résout ce problème en deux étapes. D'abord, on obtient les valeurs des vecteurs sources As et AT de transducteurs actifs à partir des conditions de vitesse de surface: et similairement, AT =[MTT] 1VT0 Dans une seconde étape, on introduit deux couches de sources ponctuelles à chaque interface, y compris S et T, comme représenté en figure 14. Avec l'introduction de ces nouvelles sources, la valeur totale des sources au-dessous de l'interface S est égale à As + A*o et à AT + Aä au-dessus de l'interface T. Sur la figure 14, l'interface T est référencée Io et l'interface T est référencée In. Les autres interfaces sont respectivement référencées I1 à Iä_I. Les champs ultrasonores dans la plupart des couches sont obtenus par 25 superposition des champs générés par deux couches de sources ponctuelles comme noté ci-dessous: Milieu 2: Sommation des champs générés par A*l et A2. Milieu 3: Sommation des champs générés par A*2 et A3. MSSAS =VSO As = [M ssI-1 Vso (31) Milieu n-1: Sommation des champs générés par A*ä_2 et Aä_1. Par contre, dans les demi-espaces inférieur (milieu 1, au-dessus de la face S) et supérieur (milieu n, au-dessous de la face T), le champ total est généré par trois sources ponctuelles : Milieu 1: Sommation des champs générés par A*o, Al et As. Milieu n: Sommation des champs générés par A*ä _l, A^ et AT. A l'intérieur du milieu que constitue un transducteur (sous la face S et sur la face T), le champ est produit par une seule couche de sources ponctuelles: A l'intérieur du transducteur S: Le champ est généré par Ao sources seulement. A l'intérieur du transducteur T: Le champ est généré par A*ä sources seulement.

On détermine la valeur des sources à partir des conditions aux interfaces de la façon suivante. Les conditions aux interfaces (CLI) suivantes doivent être satisfaites. Au passage des n-1 interfaces passives centrales (Il, 12, Iä4), la pression (P) et la vitesse normale (V) , c'est-à-dire la composante de vitesse selon la direction localement normale à l'interface considérée, doivent être continues. De même, au passage des interfaces S(10) et T(In) la pression (P) et la composante de vitesse selon la direction localement normale à l'interface considérée (V), doivent être continues, comme c'est le cas pour toutes les autres n- 1 interfaces. La vitesse étant notée V = M.A , et la pression P = Q.A, les conditions de continuité entraînent les équations suivantes: MooAo +MosAs +M01A1 = MooAo QooAo +QosAs +Qo1A1 = QooAo MloAo +M1SAs +M11AI = MIIAI +MI2A2 QIOAo +Q1sAs +Q 1A1 = QIIAI +Q12A2 M;1A; +M22A2 =M;2A; + M23 A3 Q21A1 + Q22A2 = Q22A2 + Q23A3 sur Io sur Io sur I, sur 11 sur I2 sur I2 M(n-1)(n-2)A(n_2) + M(n-l)(n-1)A(n-l) = M(n-l)(n_I)A(n_1) • + M(n_1)nAn + M(n_1)T AT Q(n-I)(n-2)A(n-2) • + Q(n-I)(n_1)A(n_1) = Q(n-I)(n-1• )A(n-l) + Q(n-1)nAn + Q(n-I)TAT Mn(nùI)A(n_1) +MnnAn +MnTA7. =MA n Qn(n-I)A(n-I) +QnnAn +QnTAJ' =QnnAn sur In sur In (32) Sous forme matricielle, ces équations peuvent être écrites, en écrivant (n j) sous la forme nj, j = 1, 2, 3 ... : 0 0 - M12 - ùQ,2 M22 Q22 Moo Moo Moi Q0o Qoo Q0, 0 M;o m,, 0 Q,,, Qä 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 o o o o o o o o o o o o o o o o o o ù M;2 ùM23 0 0 0 0 0 0 0 ù Q22 ùQ23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Mn,n2 Mnin, ùMn,n, ù Mn,n O O O O () O O O O .. O Qnln2 Qnlnl ùQnln, ùQ,,n O O O O O O O O O 0 O O Mn,,, m,,,, ùMnn O 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Qnn, Qnn ùQnn 52 2895544 ù MosAs ù QosAs û MISAS ùQISAs A, 0 A2 0 A, 0 x 0 Anl ùM nu AT An, ùQn1TAT At, An ùQnTAT (33) Pour compter le nombre d'équations et d'inconnues, on suppose qu'à chacune des interfaces Il, I2, ... In_1 il y a N sources ponctuelles au-dessus de l'interface considérée et N sources ponctuelles au-dessous de cette interface. Sur les interfaces5 inférieure (Io) and supérieure (In+i) il y a respectivement 2M1 et 2M2 sources ponctuelles en comptant les deux couches de sources au-dessus de la surface S et en dessous de la surface T. Ainsi, le nombre total de sources inconnues aux n+l interfaces (y compris les surfaces S et T) est de 2[(n-1)N+M1+M2] et, en plus de ces sources inconnues, il y a M1+M2 sources connues As et AT qui sont obtenues par l'équation (31). Le nombre total d'équations est également de 2[(n-1)N+MI+M2] parce qu'à chaque point commun de l'interface considérée, deux conditions doivent être satisfaites et que le nombre total de points communs considérés pour toutes les interfaces est de [(n-1)N+M1+M2] . Par conséquent, on résout de façon unique ce système d'équations.

L'équation matricielle (33) peut être écrite sous la forme symbolique: [M]{A} = {Vo } {Al - = [M]-i {Vo } (33A) Comme précisé ci-dessus, la dimension de la matrice M est de 2[(n-1)N+M1+M2]x2[(n-1)N+M1+M2] . Le nombre de vecteurs source inconnus est Ao Ao AI également de 2[(n-l)N+Mi+M2] . Il en résulte que le vecteur source global est obtenu de façon unique.

On va maintenant examiner les interférences intervenant entre deux transducteurs en référence à la figure 15, et plus particulièrement les phénomènes de 5 réflexions multiples entre deux interfaces consécutives.

On va d'abord examiner un exemple très simple, illustré sur la figure 15 :deux transducteurs S et T disposés face-à-face et séparés par un milieu homogène ML. La face active de chaque transducteur peut comporter des zones actives et des zones passives. Dans une zone active, la vitesse de surface des ondes Vos (ou VOT) en 10 l'absence de tout effet d'interface est spécifiée. Dans une zone passive, la vitesse de surface est nulle lorsqu'elle n'est influencée par aucune autre source.

Aso et An sont des sources ponctuelles réparties sur les transducteurs S et T lorsque l'effet d'interaction entre elles est ignoré. En d'autres termes, Aso et An représentent des répartitions de sources ponctuelles servant à modéliser le champ 15 généré par un transducteur dans un milieu homogène en l'absence de tout autre transducteur ou diffuseur.

Le champ Aso est réfléchi par le transducteur T. On modélise ce champ en introduisant une nouvelle couche de sources An réparties sur le transducteur T En mettant en équation les vecteurs vitesse sur la surface S et produits par les sources 20 An et ceux dus à la réflexion du champ Aso, on obtient: MrrAri = RJ.M7sAso (35) A,., = [M,,.] 'R1.M,sAso = BAso Le champ généré par ATM est ensuite réfléchi par le transducteur S. On

modélise ce champ en introduisant une couche de sources As2 réparties sur la surface

du transducteur S. En mettant en équation les vecteurs vitesse sur la surface S et 25 générés par les sources AS2 et ceux dus à la réflexion du champ An, on obtient: MssAs2 = RsMsrA71 ~A7, =[Mss]-' RsMsrA7 =CATI =CBAso En répétant ces opérations pour toutes les autres réflexions, on obtient: (36) A7.3 = BCBAs0 A s4 = CBCBAs0 A75 = BCBCBAso A,6 = CBCBCBAso De façon similaire, en partant des sources Ap et en combinant le champ sur la surface S venant de As' et celui réfléchi par AT on obtient : MssAs1 = RsMsTA70 Asi = ~Mss ' RsMsTATO = CATo

et : AT2 = BCATO A S3 = CBCA 7.0 (39) AT4 = BCBCA7.O AJ5 = CBCBCATO Par conséquent, les vecteurs source au niveau des transducteurs S et T peuvent être exprimés ainsi:

As] fAso +As1 +AS2 +As3 +.2 A7.O +AT, +AT2 +A7.; +... 1 0 0 C\CB 0 0 1,+~B 0' +~ 0 BC1 _ [Do +D, + D2 + D3 + ]AO = DAO (40) On peut alors obtenir les vecteurs vitesse et la répartition de la pression à partir des équations suivantes: 5Vs _ M ss sr "s = M0A = MODA0 =MA0 (41) VT _M7s MTT _~AT J 54 (37) (38) 0 CBC (CBCB 0 `BCB + 0 0 BCBC/ + A 0 A70 A . 7', =QoA=QoDAo =QA0 (42) Qss QsT QTS Q7%' Si la vitesse des ondes émises par le transducteur est invariable, le vecteur source est obtenu de l'équation (41) : Ao = M-(43) Si la surface de la zone active diffère de la surface totale du transducteur et si on ne spécifie que le vecteur vitesse sur la surface de la zone active, on a: Vs V, On remarquera que W + W doit être une matrice d'identité. L'équation (44) peut 5 aussi s'écrire: V= (44) A V=~ WMoD so A ,.0 +WMoD s0 T0 (45) avec : Vs 1VT Active {As AT0 par conséquent: Active =W (46) 10 + WMODW Aso = WMODW Aso (47) A,.o A,• o Etant donné que Aso et Aro sont nuls dans les zones passives, le {Vs = WM0DW Aso VT. Active Afo de cette équation est nul. En éliminant alors les colonnes à contenu nul dans l'expression de WMoDW et en la définissant en tant que matrice E, on obtient l'équation simplifiée suivante: second terme 15 (48) Active L ) Active Le procédé de l'invention s'applique également au cas de la diffusion, et en particulier lorsque le diffuseur a une forme quelconque et est supposé homogène, comme illustré en figure 16. Un tel diffuseur peut être une inclusion, dans une couche de milieu homogène (appelé milieu 1), d'un matériau (appelé milieu 2). Dans 20 un tel cas, on met en oeuvre deux couches de sources ponctuelles : une première couche (Al) à l'intérieur du diffuseur, au contact de sa surface extérieure, et une seconde couche (Al*) sur la surface extérieure de ce diffuseur, dans le milieu 1. En plus de ces deux couches de sources, on tient compte de deux couches de sources ponctuelles As et AT modélisant les transducteurs S et T. On obtient la valeur totale du champ dans le milieu 1 en superposant trois couches de sources As, AT et AI , alors que le champ dans le milieu 2 est dû à une seule couche de sources Al*. En appliquant les conditions aux limites sur les surfaces des deux transducteurs et les conditions de continuité au passage de l'interface entre les deux milieux en question, on obtient: MssAs +MSTAT +Ms1A1 = Vso MTSAs +M77TA7. +M7.1A1 -v7,0 (49) MisAs +MITAI. +M11A1 = M 1AI Q1sAs +Q1TAT + Q11A1 = Q11A1 cette équation peut être écrite sous la forme matricielle: Mss Msi 0 M S7'- 'As mis M11 ûMil M17, Al Qls Q11 ùQ11 Q1T Al MTS MTl 0 M77__ A7,, V7.0 Cette équation matricielle est résolue pour les vecteurs source As, AT, AI et AI . Le procédé exposé ci-dessus permet, en principe, de résoudre le problème de la modélisation des interactions en présence d'un diffuseur. Cependant, il reste à résoudre le problème du masquage dû à une telle inclusion. Ainsi, un point quelconque du milieu 1 (appelé ci-après point en question) ne "voit" pas toutes les sources ponctuelles de la couche AI , et il peut ne pas voir toutes les sources ponctuelles des deux transducteurs. Dans les exemples précédents (illustrés par les figures 9 à 15), pour des objets ne comportant que des interfaces planes, ce problème n'existait pas du fait que le point en question ne se trouvait jamais dans une zone masquée. Pour contourner cette difficulté, on suppose que les sources ponctuelles rayonnent de l'énergie dans une seule direction, à savoir dans un demi-espace, alors que l'autre demi-espace reste masqué, et si l'inclusion empêche le trajet des rayons émis par une source ponctuelle d'un transducteur d'atteindre ce point en question, on ignore la contribution de cette source ponctuelle. On a illustré en figure 17 cette façon de procéder, en reprenant les même références qu'en figure 16.

On a représenté en figure 17 le point en question, marqué P et situé dans le milieu 1 et trois couches de sources ponctuelles (As, AI et AT) qui contribuent à la (50) génération du champ calculé au point P. Si ces trois couches de sources ponctuelles ne rayonnent que dans le demi-espace avant et si le demi-espace arrière reste masqué, le diagramme de rayonnement relatif à ces trois couches de sources ponctuelles est tel que celui représenté par des petits croissants sur le figure 17. Le point P reçoit alors un rayonnement provenant de toutes les sources ponctuelles As situées entre les points A et B ainsi que de certaines des sources ponctuelles Al situées entre les points C et D (sur le milieu 2) et de toutes les sources ponctuelles AT situées entre les point E et F. Cependant, en fait, à cause de la présence du diffuseur entre le point P et et une partie des sources ponctuelles AT situées entre les points F et G, le point P est excité seulement par les sources ponctuelles AT situées entre les points E et G. (le rayon joignant P à G est tangent au milieu 2). Ainsi, pour mettre en oeuvre le procédé de l'invention dans un tel cas, il faut déterminer quelles sources ponctuelles peuvent exciter le champ au point P, et ensuite, on annule les contributions de toutes les autres sources ponctuelles pour ce champ.

On va décrire , en référence à la figure 18, une méthode alternative pour ce même cas d'inclusion d'un diffuseur, plus facile à l'aide d'un programme de calcul. On a représenté en figure 18, entre les transducteurs S et T, trois milieux au lieu des deux milieux de la figure 17. Le milieu 2 comporte la même inclusion que celle de la figure 17, et se prolonge par des couches planes. Ce milieu 2 est délimité par deux interfaces Il, 12 contournant l'inclusion et se prolongeant par des surfaces planes parallèles aux faces actives des transducteurs S et T et distantes entre elles d'une distance D inférieure à l'épaisseur maximale de l'inclusion (épaisseur maximale de l'inclusion, telle que déterminée sur une perpendiculaire aux faces actives des transducteurs). Le plan médian de ces surfaces planes des interfaces I1, I2 passe sensiblement par le centre C du milieu 2 (on a représenté sur le dessin sa trace TR, qui passe par C) . On appelle milieu 1 celui se trouvant entre le transducteur S et l'interface Il, et milieu 3 celui se trouvant entre le transducteur T et l'interface I2. On obtient les valeurs des champs dans les milieux 1, 2 et 3 en additionant les contributions de deux couches de sources ponctuelles, comme suit: Milieu 1: Sommation des champs produits par As et AI Milieu 2: Sommation des champs produits par A*l et A2 Milieu 3: Sommation des champs produits par A*2 et AT En respectant les conditions aux limites sur les faces actives des deux transducteurs S et T, et les conditions de continuité au passage des deux interfaces séparant respectivement les milieux 1 et 2 d'une part, et les milieux 2 et 3 d'autre part, on obtient: MssAs +Ms1A1 = Vso MJTAT +MC2A; = VTo M1SAti +M11A1 =M11AI +M12A2 Q1sAs +Q11A1 = Q 1A1 +Q12A2 M21A; +M22A2 =M22A; +M21.AT Q21A1 +Q22A2 =Q22A2 +Q27.Ar On remarquera que dans l'exemple représenté en figure 18, seuls quelques points d'une petite zone peuvent se trouver dans une zone masquée, et le fait de n'en pas tenir compte n'introduira qu'une erreur négligeable. Si les propriétés du milieu 3 sont les mêmes que celles du milieu 1 et si la distance D est nulle, l'exemple de la figure 18 devient celui représenté en figure 19. Sur cette figure 19, les mêmes éléments que ceux de la figure 18 sont affectés des mêmes références, et du fait que, par hypothèse, les milieux 1 et 3 ont les mêmes propriétés et la distance D est nulle, le milieu 2 est entièrement entouré par le milieu 1, et les deux interfaces Il et I2 se réduisent à une interface virtuelle IO passant par le centre C du milieu 2 et parallèle aux faces actives de T et S. La différence par rapport au cas représenté en figure 16 réside dans la détermination des sources ponctuelles. Ainsi, en figure 16, les quatre couches de sources sont As, AT, AI et A*1, alors qu'en figure 19, les couches As et AT sont identiques à celles de la figure 16, tandis que la couche AI de la figure 16 se trouve divisée en deux couches Al et A*2 dans la figure 19, et la couche A*l de la figure 16 se trouve divisée en deux couches A2 et A* 1 dans la figure 19. L'équation (51) est modifiée de la façon suivante pour s'adapter au cas de la figure 19 : (51) MssAs +MsIA1 +O.A2 = Vso M77 A7. + 0.AI + M;.2 A2 = VT0 MISAS +MITAI +O.A, = MITAI +M12A2 QISAs +QUAI +O.A2 =QIIA1 +Q12A2 M21AI +M22A2 =M22A2 +0.A1 +M27A7. Q21A1 +Q22A2 =Q22A2 +0.A1 +Q2TAT ce qui donne : (52) ~A A = [0 M22 , +M2TA,.

2 AI A* }+Q2TAT 2 [Q 21 Q [M21 M22 = [0 Q;2 (53) l'équation (53) s'écrit sous la forme matricielle suivante : Mss [Ms1 0] [o 0] M1s M11 0 M11 M12 _ M22_ Q11 O QI] QI2 O Q2 _ _Q 2I Q22 [0 M;71 [0 0 M22_ I_M21 0] Vso 0 0 0 0 V7.o (54) La résolution de l'équation (54) permet, au contraire de la résolution de l'équation (50), de résoudre les problèmes liés aux zones masquées.

Claims

REVENDICATIONS

1. Procédé de modélisation des interactions dans un système entre au moins une onde et au moins un objet, la surface de chaque objet définissant une interface 5 entre au moins deux milieux, caractérisé en ce qu'il comporte les étapes suivantes : - on définit les propriétés physiques de chaque milieu considéré composant le système (E2), - on définit la structure géométrique de chaque objet du système en le maillant et on positionne à la surface de chaque maille au moins un point 10 test, en chaque point test, on définit au moins une grandeur test pour chaque milieu considéré afin d'établir des équations de continuité pour les conditions aux limites, on associe de chaque côté de chaque maille au moins une source 15 élémentaire ponctuelle, on positionne les objets les uns par rapport aux autres dans l'espace, - on associe des milieux aux volumes délimités par les objets, on détermine le type de conditions aux limites pour chaque interface (E7), - on construit la matrice globale des interactions entre les différents objets 20 (E8), cette matrice étant constituée d'au moins un bloc matriciel caractérisant les interactions entre les objets pris deux à deux, ces interactions étant liées à la propagation de l'onde dans le milieu considéré, la matrice globale comportant au maximum autant de blocs qu'il y a de combinaisons possibles entre tous les objets pris deux à eux, 25 le contenu de chaque bloc dépendant du type de conditions aux limites fixées sur les points test, des propriétés du milieu commun aux deux objets considérés, et de la configuration géométrique de ces objets, - on inverse la matrice globale, - on multiplie la matrice inversée par une matrice colonne contenant les 30 valeurs des conditions aux limites d'excitation imposée par l'utilisateur, et, le cas échéant, des zéros correspondant aux conditions aux limites intrinsèques, - on obtient une matrice colonne contenant les valeurs de l'ensemble des sources ponctuelles élémentaires (E9), - on calcule en tout point d'observation du système les grandeurs physiques représentatives des interactions au sein du système en fonction des zones d'influence considérées des sources ponctuelles ; - on obtient un modèle analytique des interactions au sein du système.

2. Procédé selon la revendication 1, caractérisé en ce que l'on répartit les points test aléatoirement d'une maille à la suivante de façon à éviter de privilégier au moins une direction de propagation particulière.

3.Procédé selon la revendication 1 ou 2, caractérisé en ce que l'on calcule des grandeurs macroscopiques dans au moins une partie du système.

4.Procédé selon l'une des revendications précédentes, caractérisé en ce que l'on visualise les grandeurs physiques créées par l'ensemble des sources ponctuelles élémentaires (E13).

5.Procédé selon l'une des revendications précédentes, caractérisé en ce que l'on définit des objets à volume fermé dont la surface est à chaque fois obligatoirement fermée et constitue une frontière entre le milieu extérieur à l'objet et un milieu interne à l'objet, et on définit des objets à volume ouvert dont la surface est ouverte du fait qu'elle représente une interface entre milieux semi infinis (E6).

6. Procédé selon la revendication 5, caractérisé en ce que lorsque cette interface est créée, elle est bornée latéralement par un ensemble de frontières qui sont celles du volume dans lequel est étudiée l'interaction.

7 Procédé selon l'une des revendications précédentes, caractérisé en ce que l'on utilise deux sortes de conditions aux limites, les conditions aux limites intrinsèques et les conditions aux limites fixées par l'utilisateur, les premières traduisant la continuité des grandeurs scalaires et/ou vectorielles au passage d'une interface entre deux milieux de propriétés déterminées ou déterminables, et les secondes traduisant la connaissance a priori qu'a l'utilisateur de la grandeur scalaire et/ou vectorielle pour une interface.8 Procédé selon la revendication 7 caractérisé en ce que les conditions aux limites fixées par l'utilisateur sont satisfaites grâce à un seul ensemble de sources situé d'un côté de l'interface.