WO2007020144A2 - Verfahren zur zuordnung von ressourcen zu aufgaben mittels netzwerkflussalgorithmen - Google Patents

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WO2007020144A2
WO2007020144A2 PCT/EP2006/064290 EP2006064290W WO2007020144A2 WO 2007020144 A2 WO2007020144 A2 WO 2007020144A2 EP 2006064290 W EP2006064290 W EP 2006064290W WO 2007020144 A2 WO2007020144 A2 WO 2007020144A2
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network flow
tasks
resources
algorithm
assignment
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PCT/EP2006/064290
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Christoph Moll
Thomas NÜSSLER
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Siemens Aktiengesellschaft
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    • G06Q10/06—Resources, workflows, human or project management; Enterprise or organisation planning; Enterprise or organisation modelling
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    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
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    • G06Q10/063—Operations research, analysis or management
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    • G06Q10/06315—Needs-based resource requirements planning or analysis

Definitions

  • the present invention is in the field of work planning and work organization, and more particularly relates to a method for assigning resources to tasks equipped with respective capabilities / capabilities suitable for performing tasks, wherein assignment of resources to tasks is based on a network flow algorithm is determined.
  • the allocation of resources (machines or people) to tasks to be performed within a certain time window is a problem that is relatively easy to solve with a small number (for example, ⁇ 10) of resources and tasks, but in a large number (For example,> 1000) of resources and tasks becomes complex and computationally expensive.
  • This problem has so far been solved with conventional optimization algorithms, which, however, generally have to run for several hours to provide a result.
  • a short-term rescheduling which could be necessary if resources fail or the problem parameters change, practically impossible and also extremely expensive from the cost point.
  • Interactive planning in which the planner has an influence on the allocation result, is therefore not yet possible.
  • the object of the present invention is to provide a method for allocating resources to tasks, in which a (possibly interactive) simultaneous resource allocation and a scheduling with simple constraints for a large number of resources and tasks is possible.
  • a method for determining an allocation of resources m m equipped with respective suitabilities / capabilities for performing tasks, which are available in time, to k tasks J k is shown, wherein in such an assignment the m resources are assigned to the k tasks which are each to be done within a time window belonging to a respective task, m, n are natural numbers> 1.
  • the resources and the tasks are each modeled as nodes of the network flow graph, which are connected by edges together, as well as a source and a sink.
  • each "assignment" as such generally comprises a plurality of allocations of the m resources to the k task, in each case for n different time intervals in which the tasks and resources do not change.
  • An assignment is determined by applying a network flow algorithm to the network flow graph.
  • the first to i th assignments are obtained by applying the network flow algorithm to the network flow graphs i times. More specifically, the first assignment of the m resources to the k tasks is obtained by applying the network flow algorithm to the first through n th time intervals in which the respective tasks are to be done.
  • the second mapping of the m resources to the k tasks is done by applying the network flow algorithm to the network
  • the assignment of a resource to the task belonging to the first time interval, which was obtained in the first application of the network flow algorithm on the network flow graphs, in the second application of the network flow graph, is performed for only the second to nth time windows of the n time intervals. Algorithm is kept constant on the network flow graph.
  • the third allocation of the m resources to the k tasks is obtained by reapplying the network flow algorithm to the network flow graph for the third to nth time slots of the n time intervals of the k tasks, assigning resources to the first and second resource second time windows belonging to tasks, which were obtained in the first and second application of the network flow algorithm on the network flow graphs are kept constant in the third application of the network flow algorithm on the network flow graphs.
  • an i th assignment of the m resources to the k tasks is obtained by applying the network flow algorithm to the network flow graph for the ith time interval of the n time intervals of the i tasks, the assignments to the first The time intervals associated with i-1 tasks of the network flow algorithm on the network flow graphs, are kept constant until the i-th application of the network flow algorithm.
  • every subsequent pass ie, applying the network flow algorithm to the mesh flow graph
  • every subsequent pass successively determines a solution for later timeslots, keeping a solution constant for earlier timeslots.
  • at least in the second to i'ten application of the network flow algorithm on the network flow graph at least one edge of the network flow graph is occupied with a determinable cost factor according to at least one determinable (generally heuristic) rule, so that with each further creation of an assignment of m resources to the k tasks one successively optimized allocation with respect to the determinable rule is obtained.
  • the invention does not consist in the use of very general optimization algorithms, as in the prior art, but algorithms specially tailored to the problem by the heuristic rules.
  • the inventive method is particularly suitable for assignment problems with the property "weakly coupled".
  • the "weakly-coupled” property is defined as follows:
  • Activities (tasks) that still need to be scolded are already assigned to a resource (for example, pauses that apply to exactly one worker).
  • Tasks that still need to be assigned resources are already taxed, i. they have fixed start and end times.
  • displaceable downtimes / pauses of resources are advantageously arranged as tasks in the network graph.
  • a shift of such downtime in terms of optimizing the utilization of a resource can be made.
  • the method according to the invention makes it possible in particular to ensure that such downtimes / pauses are not interrupted in an allocation, as is the case in a conventional application of network flow rates. Algorithms is the case. More generally, this applies to every job if it is part of the requirements.
  • a heuristic rule is preferably used, according to which a resource should make no or few changes of location, which can be achieved in particular by allocating the same or similar tasks to a resource.
  • edges are assigned to one in the event that a task has already been assigned in an assignment of a resource in a time window comparatively low cost factor (eg zero) are created for the time window following this time window.
  • edges in a subsequent application of the network flow algorithm for determining a further assignment in the network flow graph a relatively high cost factor (eg infinity) are generated for the time intervals following the time interval.
  • an optimization of the runtime behavior and thus of the solution can thus be obtained by a clever choice of heuristic rules.
  • the optimization function for task change optimization it is not meaningful to implement the optimization function for task change optimization directly; rather, the task changes are optimized by inserting additional edges in the network flow graph in a suitable manner.
  • edges with a low cost, in particular zero are added to the network flow graph for the following time intervals. If time intervals are detected in which no more tasks need to be scheduled, the algorithm uses a sequence of network problems with graphs for each one time interval. This procedure considerably reduces the problem size since, in general, m 2 + n 2 «(m + n) 2 .
  • the planner can interactively fix partial solutions, which reduces the size of the solution space that has to be searched, which additionally reduces the computing time.
  • the invention further extends to a machine-readable storage medium having instructions stored thereon for carrying out a method as described above.
  • 1 is a diagram of staff assignment as part of the planning process
  • Fig. 2 is a diagram illustrating a dynamically weighted bipartite matching.
  • the personnel allocation tool is an integral part of the entire planning process. This planning takes place in a highly dynamic and flexible environment. All staff assignment functions are semi-automatic and interactive processes that are supported by consistency checks and decision support. The planner should be supported as much as possible, leaving him with all the competence, responsibility and flexibility.
  • FIG. 1 merely illustrates schematically the planning loops.
  • Figure 1 shows the complete planning process, as it was realized in the application example.
  • the right loop of the figure describes the interactive personnel planning process.
  • the personnel planning software corresponds to the box "Capability Planning / Assignment Check.
  • the work plan includes all working modes (eg resource requirements) for each workstation as a function of time, as well as information about all (theoretical) throughputs for each machine and workstation.
  • a staff assignment assigns a task (manual services) to personal skills. Individual workers with their qualifications, working hours and breaks as their attributes represent the manpower resources.
  • a skill is a special feature that allows a person to perform a task in the mail distribution center.
  • a qualification is a set of skills.
  • a worker is a real person known to a human resource system. He has a minimal set of attributes: name, qualification, daily working hours, breaks.
  • a task is a skill required at a workstation with the added attribute of the time interval, which defines the period in which this capability is needed at that workstation.
  • the scheduler schedules the assignment of workers to tasks that must be performed on the farm.
  • the personnel allocation software checks whether the available workers in the mail distribution center can perform all tasks.
  • the mapping assigns workstations (tasks) to a single worker. It also gives workers breaks.
  • the tasks (workstations) have already been scheduled and made available to the personnel allocation system through the work plan. The breaks are not scheduled a priori. Only the earliest start time, the latest finish and the duration are defined. In general, not all workers can perform any task.
  • a task requires a special ability, but this capability is not unique to the mail distribution center; d. H. two tasks may require the same or similar ability.
  • a worker can have more than one skill.
  • the personnel allocation software tries to calculate a roster for each worker so that all tasks are carried out in in accordance with the constraints can be carried out:
  • the daily working hours of workers may, according to labor law, have one or more break windows;
  • the total length of a break can vary from one break window to another;
  • the staff assignment software reflects a mapping proposal for each worker based on the workstations. This contains the information about personnel that is not assigned during an entire day or shift.
  • the system can return to the operator a counterexample if it has not found a valid association, i. H. a
  • the planner can now change this solution according to his requirements and have it rechecked by the workforce planning software.
  • a counterexample is a list of tasks (work stations) at a time that can not be performed by the available staff at the given time.
  • the planner can use a partial solution as an aid (a result that does not meet all conditions) when found by the system.
  • FIG. 2 illustrates dynamic, weighted, bipartite matching.
  • Figure 2 shows the graph for a calculation example consisting of: - 3 time intervals,
  • a network algorithm generates a maximum flow that minimizes the objective function.
  • the sink defines a cut with the capacity
  • V ⁇ w ⁇ sum of tasks in each time interval
  • S (b) 1: size of the pause window for the pause bl in the equidistant time grid.
  • This function returns a minimum value where the number of task changes is minimal. This is so because of the

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Description

Beschreibung
Verfahren zur Zuordnung von Ressourcen zu Aufgaben mittels Netzwerkflussalgorithmen
Die vorliegende Erfindung liegt auf dem Gebiet der Arbeitsplanung bzw. Arbeitsorganisation und betrifft insbesondere ein Verfahren zur Zuordnung von mit jeweiligen zur Erfüllung von Aufgaben geeigneten Eignungen/Fähigkeiten ausgestatteten Ressourcen zu Aufgaben, bei welchem eine Zuordnung von den Ressourcen zu den Aufgaben anhand eines Netzwerkfluss- Algorithmus ermittelt wird.
Die Zuordnung von Ressourcen (Maschinen oder Menschen) zu Aufgaben, welche innerhalb eines bestimmten Zeitfensters zu erfüllen sind, ist ein Problem, das bei einer geringen Anzahl (beispielsweise < 10) von Ressourcen und Aufgaben vergleichsweise einfach zu lösen ist, jedoch bei einer großen Anzahl (beispielsweise >1000) von Ressourcen und Aufgaben komplex und rechnerisch sehr aufwändig wird. Dieses Problem wurde bislang mit herkömmlichen Optimierungsalgorithmen gelöst, welche jedoch im Allgemeinen mehrere Stunden laufen müssen, um ein Ergebnis zu liefern. Hierdurch ist eine kurzfristige Umplanung, welche notwendig sein könnte, wenn Ressourcen ausfallen oder die Problemparameter sich verändern, praktisch nicht möglich und zudem von der Kostenseite her extrem teuer. Ein interaktives Planen, bei welchem der Planer Einfluss auf das Zuordnungsergebnis nimmt, ist somit bisher nicht möglich.
Demgegenüber besteht die Aufgabe der vorliegenden Erfindung darin, ein Verfahren zur Zuordnung von Ressourcen zu Aufgaben zur Verfügung zu stellen, bei dem eine (gegebenenfalls interaktive) simultane Ressourcenzuweisung und eine Zeitplanung ("Scheduling" ) mit einfachen Nebenbedingungen bei einer gro- ßen Zahl von Ressourcen und Aufgaben ermöglicht ist.
Diese Aufgabe wird erfindungsgemäß durch ein Verfahren mit den Merkmalen des unabhängigen Anspruchs gelöst. Vorteilhafte Ausgestaltungen der Erfindung sind durch die Merkmale der Unteransprüche angegeben.
Erfindungsgemäß ist ein Verfahren zur Ermittlung einer Zuord- nung von mit jeweiligen Eignungen/Fähigkeiten zur Erfüllung von Aufgaben ausgestatteten m Ressourcen Rm, welche zeitlich verfügbar sind, zu k Aufgaben Jk gezeigt, wobei in einer solchen Zuordnung die m Ressourcen den k Aufgaben zugewiesen werden, welche jeweils innerhalb eines zu einer jeweiligen Aufgabe gehörenden Zeitfensters zu erledigen sind, m, n sind natürliche Zahlen > 1.
Das erfindungsgemäße Verfahren zeichnet sich in wesentlicher Weise durch die folgenden Schritte aus:
Anordnung der m Ressourcen und der n Aufgaben als Netzwerkflussgraph, wie er in der Graphentheorie als solcher bekannt ist, wobei die Ressourcen und die Aufgaben jeweils als Knoten des Netzwerkflussgraphen modelliert werden, welche durch Kanten miteinander, sowie mit einer Quelle und einer Senke verbunden sind.
Ermittlung eines Satzes von ersten bis n'ten Zuordnungen der m Ressourcen zu den k Aufgaben auf Basis des Netzwerkfluss- graphen. Jede "Zuordnung" als solche umfasst hierbei im Allgemeinen eine Mehrzahl von Zuweisungen der m Ressourcen zu den k Aufgabe, jeweils für n unterschiedliche Zeitintervalle, in denen sich die Aufgaben und Ressourcen nicht ändern. Die Ermittlung einer Zuordnung erfolgt durch Anwenden eines Netz- werkfluss-Algorithmus auf den Netzwerkflussgraphen. Die ersten bis i'ten Zuordnungen werden dabei durch i-maliges Anwenden des Netzwerkfluss-Algorithmus auf den Netzwerkflussgraphen erhalten. Genauer wird die erste Zuordnung der m Ressourcen zu den k Aufgaben durch Anwenden des Netzwerkfluss- Algorithmus auf die ersten bis n'ten Zeitintervalle erhalten, in welchen die jeweiligen Aufgaben zu erledigen sind. Die zweite Zuordnung der m Ressourcen zu den k Aufgaben wird durch Anwenden des Netzwerkfluss-Algorithmus auf den Netz- werkflussgraphen für lediglich die zweiten bis n'ten Zeitfenster der n Zeitintervalle erhalten, wobei die Zuweisung einer Ressource zu der zum ersten Zeitintervall gehörenden Aufgabe, welche in der ersten Anwendung des Netzwerkfluss- Algorithmus auf den Netzwerkflussgraphen erhalten wurde, bei der zweiten Anwendung des Netzwerkfluss-Algorithmus auf den Netzwerkflussgraphen konstant gehalten wird. Die dritte Zuordnung der m Ressourcen zu den k Aufgaben wird durch nochmaliges Anwenden des Netzwerkfluss-Algorithmus auf den Netz- werkflussgraphen für die dritten bis n'ten Zeitfenster der n Zeitintervalle der k Aufgaben erhalten, wobei die Zuweisungen von Ressourcen zu den zu den ersten und zweiten Zeitfenstern gehörenden Aufgaben, welche in der ersten bzw. zweiten Anwendung des Netzwerkfluss-Algorithmus auf den Netzwerkflussgra- phen erhalten wurden, bei der dritten Anwendung des Netzwerk- fluss-Algorithmus auf den Netzwerkflussgraphen konstant gehalten werden. In analoger Weise wird eine i ' te Zuordnung der m Ressourcen zu den k Aufgaben durch i'tes Anwenden des Netzwerkfluss-Algorithmus auf den Netzwerkflussgraphen für das i ' te Zeitintervall der n Zeitintervalle der i Aufgaben erhalten, wobei die Zuweisungen zu den zu den ersten bis i-l'ten Aufgaben gehörenden Zeitintervallen, welche in den vorher durchgeführten i-1 Anwendungen des Netzwerkfluss- Algorithmus auf den Netzwerkflussgraphen erhalten wurden, bei der i'ten Anwendung des Netzwerkfluss-Algorithmus konstant gehalten werden.
Mit anderen Worten, es wird bei jedem nochmaligen Durchgang (d. h. Anwenden des Netzwerkfluss-Algorithmus auf den Netz- werkflussgraphen) sukzessiv eine Lösung für spätere Zeitfenster ermittelt, wobei eine Lösung für frühere Zeitfenster konstant gehalten wird. Weiterhin wird wenigstens bei der zweiten bis i'ten Anwendung des Netzwerkfluss-Algorithmus auf den Netzwerkflussgraphen wenigstens eine Kante des Netzwerk- flussgraphen mit einem bestimmbaren Kostenfaktor gemäß wenigstens einer bestimmbaren (im Allgemeinen heuristischen) Regel belegt, so dass mit jeder weiteren Erstellung einer Zuordnung der m Ressourcen zu den k Aufgaben eine sukzessiv optimierte Zuordnung in Hinblick auf die bestimmbare Regel erhalten wird.
Die Erfindung besteht somit nicht darin, dass wie im Stand der Technik sehr allgemeine Optimierungsalgorithmen eingesetzt werden, sondern durch die heuristischen Regeln speziell auf die Problemstellung zugeschnittene Algorithmen.
Die Charakteristika der behandelten Probleme sind: einfache Nebenbedingungen und die Existenz sehr vieler Lösungen.
Das erfindungsgemäße Verfahren eignet sich in besonderer Weise für Zuordnungsprobleme mit der Eigenschaft "weakly coupled" . Die Eigenschaft "weakly coupled" ist wie folgt definiert:
Aktivitäten (Aufgaben) , die noch geschedult werden müssen, sind bereits einer Ressource zugewiesen (beispielsweise Pausen, die für genau einen Arbeiter gelten) .
Aufgaben, die noch Ressourcen zugeordnet werden müssen, sind bereits geschedult, d.h. sie haben feste Anfangs- und Endzeiten.
Erfindungsgemäß wird somit ein spezifischer und möglichst effizienter Algorithmus eingesetzt, der genau diese Problemklasse löst.
In dem erfindungsgemäßen Verfahren werden vorteilhaft ver- schiebbare Ausfallzeiten/Pausen von Ressourcen, wie Pausen für Arbeiter, Wartungszeiten für Maschinen und dergleichen, als Aufgaben in dem Netzwerkgraphen angeordnet. Insofern kann vorteilhaft eine Verschiebung derartiger Ausfallzeiten in Hinblick auf eine Optimierung der Auslastung einer Ressource vorgenommen werden. Durch das erfindungsgemäße Verfahren kann insbesondere sichergestellt werden, dass derartige Ausfallzeiten/Pausen in einer Zuordnung nicht unterbrochen werden, wie es bei einer herkömmlichen Anwendung von Netzwerkfluss- Algorithmen der Fall ist. Allgemeiner gilt dies für jeden Job, sofern dies Bestandteil der Anforderungen ist.
In dem erfindungsgemäßen Verfahren wird vorzugsweise eine heuristische Regel angewandt, wonach eine Ressource keine oder wenige Ortswechsel vornehmen soll, was insbesondere dadurch erreicht werden kann, dass einer Ressource gleich oder ähnliche Aufgaben zugewiesen werden. Hierbei ist es vorteilhaft, wenn für den Fall, dass in einer Zuordnung einer Ressource in einem Zeitfenster bereits eine Aufgabe zugewiesen wurde, in einer darauf folgenden Anwendung des Netzwerk- fluss-Algorithmus auf den Netzwerkflussgraphen zur Ermittlung einer weiteren Zuordnung in dem Netzwerkflussgraphen Kanten mit einem vergleichsweise niedrigen Kostenfaktor (z.B. Null) für die diesem Zeitfenster folgenden Zeitfenster erstellt werden. In umgekehrter Weise ist es in dem erfindungsgemäßen Verfahren sehr vorteilhaft, wenn für den Fall, dass in einer Zuordnung einer Ressource in einem Zeitfenster keine Aufgabe zugewiesen wurde, in einer darauf folgenden Anwendung des Netzwerkfluss-Algorithmus zur Ermittlung einer weiteren Zuordnung in dem Netzwerkflussgraphen Kanten mit einem vergleichsweise hohen Kostenfaktor (z.B. Unendlich) für die dem Zeitintervall folgenden Zeitintervalle erzeugt werden.
In dem erfindungsgemäßen Verfahren kann somit durch eine geschickte Wahl von heuristischen Regeln eine Optimierung des Laufzeitverhaltens und somit der Lösung erhalten werden. Hierbei ist es nicht sinnvoll, die Optimierungsfunktion zur Aufgabenwechseloptimierung direkt zu implementieren, vielmehr werden die Aufgabenwechsel optimiert, indem zusätzliche Kanten in geeigneter Weise in den Netzwerkflussgraphen eingefügt werden. Werden Arbeiter in einem bestimmten Zeitintervall Aufgaben zugewiesen, so werden Kanten mit einem niedrigen Kostenfaktor, insbesondere Null, für die folgenden Zeitinter- valle dem Netzwerkflussgraphen hinzugefügt. Werden Zeitintervalle detektiert, in denen keine Aufgaben mehr geschedult werden müssen, so verwendet der Algorithmus eine Sequenz von Netzwerkproblemen mit Graphen für jeweils ein Zeitintervall. Dieses Vorgehen reduziert die Problemgröße erheblich, da im allgemeinen gilt: m2 + n2 « (m + n) 2.
Sollten keine solchen Intervalle existieren und ist die Prob- lemgröße nicht mehr interaktiv lösbar, so kann eine Näherungslösung gefunden werden, indem der Algorithmus das Problem auf mehrere Zeitintervalle aufteilt, auf die jeweils der Ansatz "weakly coupled", wie dargestellt, angewandt wird.
Durch die kurze Laufzeit wird somit ein interaktives Planungssystem möglich. Dies wiederum macht die Nutzung menschlicher Intelligenz durch die realistische Möglichkeit interaktiven Arbeitens möglich. Der Planer kann interaktiv Teillösungen fixieren, wodurch der Lösungsraum, der durchsucht werden muss, verkleinert wird, was die Rechenzeit zusätzlich verringert .
Die Erfindung erstreckt sich ferner auf ein maschinenlesbares Speichermedium mit darauf gespeicherten Befehlen zur Durch- führung eines wie oben beschriebenen Verfahrens.
Die Erfindung wird nachfolgend anhand eines in den Zeichnungen dargestellten Ausführungsbeispiels, nämlich ein Postverteilzentrum, näher erläutert. Es zeigen
Fig. 1 ein Diagramm hinsichtlich der Personalzuweisung als Teil des Planungsprozesses,
Fig. 2 ein Diagramm zur Veranschaulichung eines dynamisch gewichteten bipartiten Matchings .
Es erfolgt nun eine Beschreibung der Anwendung des erfindungsgemäßen Verfahrens in einem Postverteilzentrum. Der Planungsprozess
Das Werkzeug zur Personalzuweisung ist integraler Bestandteil des gesamten Planungsprozesses. Diese Planung findet in einer hochdynamischen und flexiblen Umgebung statt. Alle Personalzuweisungsfunktionen sind halbautomatische und interaktive Prozesse, welche durch Konsistenzprüfungen und Entscheidungshilfen unterstützt werden. Der Planer soll so weit als möglich unterstützt werden, wobei ihm die gesamte Kompetenz, Verantwortlichkeit und Flexibilität gelassen wird.
Es wird nun Bezug auf Fig. 1 genommen, worin der Planungsprozess als Ganzes beschrieben ist. Ein Planer beabsichtigt einen Arbeitsplan für einen gegebenen Tag aufzustellen, wobei dies in einer interaktiven Art und Weise erfolgt. Das Diagramm von Fig. 1 veranschaulicht lediglich schematisch die Planungsschleifen .
Figur 1 zeigt den vollständigen Planungsprozess, wie er im Anwendungsbeispiel realisiert wurde. Die rechte Schleife der Figur beschreibt den interaktiven Personalplanungsvorgang. Die Personalplanungssoftware entspricht dem Kasten "Fähigkeitsplanung/Zuordnungsprüfung.
Der Arbeitsplan enthält alle Arbeitsmodi (z. B. Ressourcenanforderungen) für jeden Arbeitsplatz als eine Funktion der Zeit, wie auch die Informationen über alle (theoretischen) Durchsätze für jede Maschine und Arbeitsplatz.
Eine Personalzuweisung ordnet eine Aufgabe (manuelle Dienste) persönlichen Fähigkeiten zu. Individuelle Arbeiter mit ihren Qualifikationen, Arbeitszeiten und Pausen als ihren Attributen stellen die Arbeitskraft-Ressourcen dar.
Es ist notwendig, einige wichtige Definitionen einzuführen, bevor die Personalzuweisung erklärt wird: Eine Fähigkeit ist eine besondere Eigenschaft, die es einer Person ermöglicht, in dem Postverteilzentrum eine Aufgabe zu erfüllen.
- Eine Qualifikation ist ein Satz von Fähigkeiten.
Ein Arbeiter (Ressource) ist eine reale Person, die einem Humanressourcensystem bekannt ist. Er hat einen minimalen Satz von Attributen: Name, Qualifikation, tägliche Ar- beitszeit, Pausen.
- Eine Aufgabe ist eine an einer Arbeitsstation erforderliche Fähigkeit mit dem zusätzlichen Attribut des Zeitintervalls, welches den Zeitraum definiert, in dem diese Fähig- keit an dieser Arbeitsstation benötigt wird.
Funktionelle Beschreibung der Dienstplanerstellung
In der Dienstplanerstellung plant der Planer die Zuordnung von Arbeitern zu Aufgaben, die in dem Betrieb durchgeführt werden müssen. Die Personalzuordnungssoftware prüft, ob die verfügbaren Arbeiter in dem Postverteilzentrum alle Aufgaben durchführen können. Das Mapping ordnet einen einzelnen Arbeiter Arbeitsstationen (Aufgaben) zu. Ferner weist es Arbeiter Pausen zu. Die Aufgaben (Arbeitsstationen) sind bereits ge- schedult und dem Personalzuordnungssystem durch den Arbeitsplan verfügbar gemacht. Die Pausen sind nicht a priori ge- schedult. Nur die früheste Startzeit, der späteste Schluss und die Dauer sind definiert. Im Allgemeinen können nicht alle Arbeiter jede Aufgabe durchführen. Eine Aufgabe erfordert eine besondere Fähigkeit, jedoch ist diese Fähigkeit nicht alleine in dem Postverteilzentrum vorhanden; d. h. zwei Aufgaben können die gleiche oder ähnliche Fähigkeit erfordern. Ein Arbeiter kann mehr als eine bestimmte Fähigkeit haben.
Die Personalzuordnungssoftware versucht einen Dienstplan für jeden Arbeiter so zu berechnen, dass alle Aufgaben in Über- einstimmung mit den Nebenbedingungen durchgeführt werden können :
- Pausen;
- tägliche Arbeitszeiten;
- früheste Startzeit der Aufgaben;
- späteste Endzeit der Aufgaben;
- besondere Fähigkeit, welche für eine Aufgabe erforderlich ist;
- Dauer der Aufgaben (in diesem Fall ergeben sich die Dauern lediglich aus der Differenz der End- und Startzeit) ;
- Pausen sind in einem Pausenfenster enthalten;
- Pausenfenster haben eine feste Anfangs- und Endzeit;
- die tägliche Arbeitszeit von Arbeitern kann, gemäß den arbeitsrechtlichen Bestimmungen, ein oder mehrere Pausenfenster haben;
- die Gesamtlänge einer Pause kann von einem Pausenfenster zu einem anderen variieren;
Optimierungsziele
- Minimiere die Anzahl von Aufgabenwechseln eines Arbeiters während einer Schicht;
- Minimiere die maximale Anzahl von Arbeitern in dem PostverteilZentrum; Ergebnisse
Wenn eine Zuordnung für alle Anforderungen (Aufgabe, Arbeitsstation) möglich ist, gibt die Personalzuordnungssoftware einen Zuordnungsvorschlag wieder. Dies impliziert einen
Dienstplan für jeden Arbeiter. Im Allgemeinen gibt es nicht nur einen möglichen Vorschlag. Die Anzahl von möglichen Zuordnungen (Lösungen) kann mit der Anzahl von Arbeitern und Aufgaben exponentiell wachsen. Der Planer kann nicht alle möglichen Zuordnungen in einer vernünftigen Weise handhaben und deshalb macht er interaktiv weiter:
Die Personalzuordnungssoftware gibt einen Zuordnungsvorschlag für jeden Arbeiter basierend auf den Arbeitsstationen wieder. Dieser enthält die Information über Personal, das während eines ganzen Tags oder einer Schicht nicht zugeordnet ist.
- Ein Dienstplanvorschlag für jede Person mit einer Zeitauflistung für den Arbeitstag.
- Dies impliziert eine Liste von gänzlich freiem jedoch verfügbarem Personal in dem Postverteilzentrum.
- Das System kann dem Bediener ein Gegenbeispiel zurückgeben, wenn es keine gültige Zuordnung gefunden hat, d. h. eine
Liste von Zeitpunkten und Aufgaben, welche einem Arbeiter nicht zugeordnet werden können.
Der Planer kann nun diese Lösung entsprechend seinen Anforde- rungen verändern und erneut von der Personaleinsatzplanungs- software überprüfen lassen.
Wie kann ein Gegenbeispiel dem Planer helfen?
Wenn es keine Zuweisung gibt, kann es wiederum viele Gegenbeispiele geben und es ist a priori nicht offensichtlich, welches Ergebnis das System dem Planer anzeigen soll. Über- dies hängt ein Gegenbeispiel stark von dem durch das Zuordnungstool gewählten Algorithmus ab.
Ein Gegenbeispiel ist eine Liste von Aufgaben (Arbeitsstatio- nen) zu einem Zeitpunkt, welche zur der gegebenen Zeit nicht durch das verfügbare Personal ausgeführt werden können. Zusätzlich kann der Planer eine Teillösung als Hilfsmittel verwenden (ein Ergebnis, das nicht alle Bedingungen erfüllt), wenn sie durch das System gefunden wird.
Es erfolgt nun eine Beschreibung des mathematischen Hintergrunds, der in dem oben dargestellten Personalzuordnungssystem eingesetzt wird.
Schwach gekoppeltes dynamisches Netzwerkflussproblem
Die Sequenz von gewichteten Bipartit-Matchings oder Minimalkosten- (Transport-) Problemen löst das Problem schrittweise und ermöglicht eine Vorverarbeitung vor jedem Schritt. Ein alternativer Ansatz ist die Lösung für die Personalzuordnung gleichzeitig für alle Zeitintervalle. Es ist ein Transportproblem, weil Pausen länger als eine Zeiteinheit dauern können.
Annahmen:
- Die Zuordnungen zu den unterschiedlichen Zeitpunkten sind nur durch Pausen gekoppelt.
- Pausen sind nicht prä-emptiv.
Dieser Ansatz reduziert oder minimiert nicht a priori die Anzahl von Aufgabenwechseln. Eine Lösung für dieses Problem obliegt der unteren Zielfunktion oder einer Heuristik. Das zugehörige lineare Problem für die dynamische Zuordnung ist wie folgt: H Σ t Σ y <
Bedingungen :
£ x% = IVi e N1, Vt
= IVj e N2 - {Pausen}, Vt
Figure imgf000013_0001
x^ > O V(I, j) e N1XN2
Σ 1 {i:(i Σ,j)e *fl}5 = aVi e ^i ' Vt^
1 < a:=PausenlängeG N0
Br=N1XNx - {Pausen}
< e {0.1}
Es wird nun Bezug auf Fig. 2 genommen, worin ein dynamisches, gewichtetes, bipartites Matching veranschaulicht ist. Figur 2 zeigt den Graphen für ein Berechnungsbeispiel bestehend aus: - 3 Zeitintervallen,
- 1 Arbeiter, der in allen 3 Intervallen verfügbar ist,
2 Aufgaben, die jeweils 2 Intervalle dauern,
1 Pause, die 2 Intervalle andauert.
Ein Νetzwerkalgorithmus erzeugt einen maximalen Fluss, welcher die Zielfunktion minimiert. Die Senke definiert einen Schnitt mit der Kapazität
V ∑w^ = Summe von Aufgaben in jedem Zeitintervall
und die Pausenzeiten. Ein maximaler Fluss, welcher das Problem löst, ist der Kapazität des Schnitts gleich. Berechnungskomplexität für ein äquidistantes Zeitgitter
Obergrenze der Anzahl von Kanten: M = sum (ni*mi) +sum S (b) 1 « sum (ni) *sum (mi) +sum S (b) 1
S (b) 1 := Größe des Pausenfensters für die Pause bl in dem äquidistanten Zeitgitter.
Dies zeigt, dass die schwache Kopplung in Kombination die maximale Anzahl von Kanten in der Graphen, verglichen mit dem vollen Problem, drastisch reduziert.
Erweiterung: Zielfunktion, welche die Aufgabenänderungen minimalisiert
Zielfunktion:
Figure imgf000014_0001
Diese Funktion ergibt einen Minimalwert, bei dem die Anzahl von Aufgabenänderungen minimal ist. Dies ist so, weil der
Ausdruck —x' in der Summe Null ist, wenn ein Arbeiter die gleichen Aufgaben zu den Zeitpunkten tx und t1+i hat. Der Wert dieses Ausdrucks wird gleich 1, wenn der Arbeiter seine Aufgabe ändert, weil in diesem Fall xy' oder XJ1+' Null ist.
Unglücklicherweise ist diese Funktion nicht linear, weshalb diese Erweiterung nicht auf ein beliebig großes Problem angewendet werden kann.

Claims

Patentansprüche
1. Verfahren zur Ermittlung einer Zuordnung von mit jeweiligen Eignungen/Fähigkeiten zur Erfüllung von Aufgaben aus- gestatteten m Ressourcen Rm zu k Aufgaben Jk, welche in jeweiligen k Zeitfenstern durchgeführt werden sollen, mit den folgenden Schritten:
- Anordnung der m Ressourcen und der k Aufgaben als Netzwerkflussgraph, - Ermittlung eines Satzes von ersten bis n'ten Zuordnungen der m Ressourcen zu k Aufgaben auf Basis des Netzwerkflussgraphen durch n-maliges Anwenden eines Netzwerkfluss- Algorithmus auf den Netzwerkflussgraphen, wobei eine i ' te (1 < i < n) Zuordnung der m Ressourcen zu den k Aufgaben durch i ' te Anwendung des Netzwerkfluss-Algorithmus auf den Netzwerkflussgraphen für die i'ten bis n'ten Zeitintervalle der k Aufgaben erhalten wird, wobei in der i'ten Anwendung des Netzwerkfluss-Algorithmus auf den Netzwerkflussgraphen die Zuweisungen zu den zu den ersten bis i-l'ten Aufgaben gehö- renden Zeitintervallen, welche in den vorher durchgeführten ersten bis i-l'ten Anwendungen des Netzwerkfluss-Algorithmus auf den Netzwerkflussgraphen erhalten wurden, bei der i'ten Anwendung des Netzwerkfluss-Algorithmus konstant gehalten werden, und wobei in der i'ten Anwendung des Netzwerkfluss- Algorithmus auf den Netzwerkflussgraphen wenigstens eine
Kante des Netzwerkflussgraphen mit einem bestimmbaren Kostenfaktor gemäß wenigstens einer bestimmbaren Regel belegt wird.
2. Verfahren nach Anspruch 1, bei welchem Ausfallzei- ten/Pausen von Ressourcen als Aufgaben in dem Netzwerkgraphen angeordnet werden.
3. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 2, bei welchem für den Fall, dass in einer Zuordnung einer Ressource in einem Zeitfenster bereits eine Aufgabe zugewiesen wurde, in einer darauf folgenden Anwendung des Netzwerkfluss- Algorithmus auf den Netzwerkflussgraphen Kanten mit einem vergleichsweise niedrigen Kostenfaktor für die dem Zeitfenster folgenden Zeitfenster erstellt werden.
4. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 3, bei welchem für den Fall, dass in einer Zuordnung einer Ressource in einem Zeitfenster keine Aufgabe zugewiesen wurde, in einer darauf folgenden Anwendung des Netzwerkfluss-Algorithmus Kanten mit einem vergleichsweise hohen Kostenfaktor für die dem Zeitfenster folgenden Zeitfenster erstellt werden.
5. Maschinenlesbares Speichermedium mit darauf gespeicherten Befehlen zur Durchführung eines Verfahrens nach einem der Ansprüche 1 bis 4.
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