WO2006059417A1

WO2006059417A1 - 有限要素解析方法、有限要素解析装置、及びコンピュータプログラム

Info

Publication number: WO2006059417A1
Application number: PCT/JP2005/016447
Authority: WO
Inventors: Hidekazu Murakawa; Hisashi Serizawa
Original assignee: Osaka University
Priority date: 2004-12-03
Filing date: 2005-09-07
Publication date: 2006-06-08
Also published as: JP2006163625A; US20100131244A1

Abstract

　構造物の形状が複雑になった場合であっても、演算時間が指数的に増大することがなく、演算処理負荷を軽減しつつ演算時間の最短化を図ることができる有限要素解析方法、有限要素解析装置、及びコンピュータプログラムを提供する。各有限要素を複数領域に分割し、分割した領域ごとに変位値及び応力値を算出し、各領域間の応力値の差の最大値を算出し、算出した最大値が所定値より大きい場合、複数領域をさらに複数の領域に分割し、分割した領域ごとに反復演算して各領域間の応力値の差の最大値を算出し、分割した回数が所定の限界値に到達していない場合、再度さらなる複数の領域に分割し、分割した領域ごとに反復して各領域間の応力値の差の最大値を算出し、限界値に到達した場合、応力値の差の最大値が所定値より大きい旨を示す情報を外部に送出する。

Description

明細書

有限要素解析方法、有限要素解析装置、及びコンピュータプログラム技術分野

[0001] 本発明は、有限要素法を用いて構造物の解析を行う場合に、算出した応力の勾配に応じて有限要素の分割メッシュの粗細を特定することで、全体を細かヽメッシュで解析演算する場合よりも演算処理負荷を軽減し、演算時間を短縮する有限要素解析方法、有限要素解析装置、及びコンピュータプログラムに関する。

背景技術

[0002] コンピュータ技術の進展により、複雑な構造物に対する非線形問題、過渡問題等の解析を行うことが実用上可能となってきている。すなわち、解析対象となる構造物の形状が複雑となった場合、構造物に対して非線形解析を行う必要が生じる。斯カる構造物に対する非線形解析には、有限要素法（Finite Element Method：以下、 FE M)を用いて解を求めることが多!、。

[0003] 構造物の形状が複雑になった場合、応力場の自由度も大きくなる。したがって、解くべき連立方程式は高次元となり、形状が複雑になればなるほど、演算処理装置の演算処理負荷が大きくなり、解を求めるまでの時間は指数的に増大する傾向にある。従来は、構造物を分割するメッシュの粗さ'細力さと、解を求める演算時間とのバータ一により、最適なメッシュ分割及び妥当な演算時間を求めているが、斯カる分割メッシュの粗さを特定するには相当の熟練を要する。

[0004] そして、分割した有限要素ごとに、応力場を支配する偏微分方程式を連立方程式に変換し、変換した連立方程式を解くことにより、構造物の応力分布を求めることができる。

特許文献 1 :なし

発明の開示

発明が解決しょうとする課題

[0005] しかし、上述した構造物に対して非線形解析を行う方法では、コンピュータの演算処理速度が高速化した現状にお!、ても、非線形解析の演算に多大な処理時間を必要とする。また、構造物を分割するメッシュの粗さ Z細力さと、解を求める演算時間との最適化を図ることは、結果として適切であつたか否かを判断することはできるものの、演算処理の開始前に判断することは熟練者にとっても困難であるという問題点があつた o

[0006] 今後、さらに複雑な形状を有する構造物に対する構造解析を行う機会が増大することが予想される。一般に、構造物全体に対応して分割した有限要素に基づいて全ての有限要素につき非線形解析した場合、解くべき連立方程式の次数 N (Nは自然数)が大きくなり、演算時間が N³に比例する。したがって、構造物の形状の複雑化に伴う連立方程式の次数の増大により、演算時間が膨大となるおそれも残されている。

[0007] 本発明は斯力る事情に鑑みてなされたものであり、構造物の形状が複雑になった場合であっても、演算時間が指数的に増大することがなぐ演算処理負荷を軽減しつつ演算時間の最短ィ匕を図ることができる有限要素解析方法、有限要素解析装置、及びコンピュータプログラムを提供することを目的とする。

課題を解決するための手段

[0008] 上記目的を達成するために第 1発明に係る有限要素解析方法は、コンピュータで、構造物が占める領域を分割した複数の有限要素ごとに、所定の外力が付与された場合の応力解析を行う有限要素解析方法にぉヽて、各有限要素を複数領域に分割し、分割した回数を示すカウンタを初期値に設定し、分割した領域ごとに変位値と応力値とを算出し、各領域間の応力値の差の最大値を算出し、算出した最大値が所定値より大きいか否かを判断し、最大値が所定値より大きいと判断した場合、複数領域をさらに複数の領域に分割し、カウンタを計数し、分割した領域ごとに反復演算して各領域間の応力値の差の最大値を算出し、カウンタが所定の限界値に到達した力否かを判断し、カウンタが前記限界値に到達していない場合、再度さらなる複数の領域に分割し、カウンタを計数し、分割した領域ごとに反復して各領域間の応力値の差の最大値を算出し、カウンタが前記限界値に到達したと判断した場合、応力値の差の最大値が所定値より大きい旨を示す情報を外部に送出することを特徴とする。

[0009] また、第 2発明に係る有限要素解析方法は、第 1発明において、前記カウンタの前記限界値を受け付けることを特徴とする。 [0010] また、第 3発明に係る有限要素解析方法は、第 1又は第 2発明において、分割した複数領域の境界にて、変位及び応力が連続的に変化するよう変位値と応力値とを補正し、補正した応力値に基づいて各領域間の応力値の差の最大値を算出することを特徴とする。

[0011] また、第 4発明に係る有限要素解析装置は、構造物が占める領域を分割した複数の有限要素ごとに、所定の外力が付与された場合の応力解析を行う有限要素解析装置において、各有限要素を複数領域に分割する手段と、分割した回数を示すカウンタと、該カウンタを初期値に設定する手段と、分割した領域ごとに変位値と応力値とを算出する手段と、各領域間の応力値の差の最大値を算出する手段と、算出した最大値が所定値より大きいか否かを判断する手段と、最大値が所定値より大きいと判断した場合、複数領域をさらに複数の領域に分割する手段と、分割した領域ごとに反復演算して各領域間の応力値の差の最大値を算出する手段と、カウンタが所定の限界値に到達した力否かを判断する手段と、カウンタが前記限界値に到達して、な、と判断した場合、再度さらなる複数の領域に分割する手段と、分割した領域ごとに反復して各領域間の応力値の差の最大値を算出する手段と、カウンタが前記限界値に到達したと判断した場合、応力値の差の最大値が所定値より大き!、旨を示す情報を外部に送出する手段とを備えることを特徴とする。

[0012] また、第 5発明に係る有限要素解析装置は、第 4発明にお、て、前記カウンタの前記限界値を受け付ける手段を備えることを特徴とする。

[0013] また、第 6発明に係る有限要素解析装置は、第 4又は第 5発明にお、て、分割した複数領域の境界にて、変位及び応力が連続的に変化するよう変位値と応力値とを補正する手段と、補正した応力値に基づいて各領域間の応力値の差の最大値を算出する手段とを備えることを特徴とする。

[0014] また、第 7発明に係るコンピュータプログラムは、構造物が占める領域を分割した複数の有限要素ごとに、所定の外力が付与された場合の応力解析を行うコンピュータで実行可能なコンピュータプログラムにおいて、前記コンピュータを、各有限要素を複数領域に分割する手段、分割した回数を示すカウンタを初期値に設定する手段、分割した領域ごとに変位値と応力値とを算出する手段、各領域間の応力値の差の最大値を算出する手段、算出した最大値が所定値より大きいか否かを判断する手段、最大値が所定値より大き、と判断した場合、複数領域をさらに複数の領域に分割する手段、カウンタを計数する手段、分割した領域ごとに反復演算して各領域間の応力値の差の最大値を算出する手段、カウンタが所定の限界値に到達した力否かを判断する手段、カウンタが前記限界値に到達していないと判断した場合、再度さらなる複数の領域に分割する手段、カウンタを計数する手段、分割した領域ごとに反復して各領域間の応力値の差の最大値を算出する手段、及びカウンタが前記限界値に到達したと判断した場合、応力値の差の最大値が所定値より大き!、旨を示す情報を外部に送出する手段として機能させることを特徴とする。

[0015] また、第 8発明に係るコンピュータプログラムは、第 7発明において、前記コンビユータを、前記カウンタの前記限界値を受け付ける手段として機能させることを特徴とする

[0016] また、第 9発明に係るコンピュータプログラムは、第 7又は第 8発明において、前記コンピュータを、分割した複数領域の境界にて、変位及び応力が連続的に変化するよう変位値と応力値とを補正する手段、及び補正した応力値に基づ、て各領域間の応力値の差の最大値を算出する手段として機能させることを特徴とする。

[0017] 第 1発明、第 4発明、及び第 7発明では、構造物が占める領域をメッシュ分割した各有限要素につき、複数領域に分割し、分割した領域間の応力値の差の最大値、すなわち応力勾配を算出し、算出した応力勾配が所定値より大きい場合、さらに細かい複数の領域に分割し、分割した領域ごとに再度応力勾配を算出するという処理を、階層的に繰り返し実行する。階層化の数が所定の限界値に達するまでに応力勾配が所定値以下に収束した場合、階層ごとに小次元の連立方程式を解くことから演算処理時間は全階層に含まれる細分ィヒされた領域の総数に比例するのみであり、演算処理時間が指数的に増大することが無い。

[0018] これにより、構造物の形状が複雑になり、偏微分方程式を変換した連立方程式の次数が大きくなつた場合であっても、演算処理時間は、有限要素をより細かいメッシュに階層的に分割した領域の総数に比例的に増加するに止まり、演算精度を低下することなぐより短時間で応力分布を求めることが可能となる。 [0019] また、階層化の数が所定の限界値に達するまでに応力勾配が所定値以下に低減しない場合、その旨を外部へ出力することで、例えばメッシュに不整合がある、亀裂が生じて、る等の判断を使用者が容易に行うことが可能となる。

[0020] 第 2発明、第 5発明、及び第 8発明では、階層化数、すなわち有限要素を応力勾配が所定値以下に低減するまで分割する分割数の限界値であるカウンタの限界値を受け付けることにより、構造物の形状の複雑度に応じて、無駄な演算処理を行うことが無ぐより短時間で応力分布を求めることが可能となる。

[0021] 第 3発明、第 6発明、及び第 9発明では、有限要素を階層的に分割した複数領域間の境界にて、変位及び応力が連続的に変化するよう変位値と応力値とを補正し、補正した応力値に基づいて応力勾配を算出する。これにより、変位が特定可能な分割領域の頂点での応力値の連続性を担保するだけでなぐ分割領域間の境界においても、複雑な演算処理を行うことなく変位及び応力値の連続性を担保することが可能となる。

発明の効果

[0022] 第 1発明、第 4発明、及び第 7発明によれば、構造物の形状が複雑になり、偏微分方程式を変換した連立方程式の次数が大きくなつた場合であっても、演算処理時間は、有限要素をより細力いメッシュに階層的に分割した領域の総数に比例的に増加するに止まり、演算精度を低下することなぐより短時間で応力分布を求めることが可能となる。

[0023] また、階層化の数が所定の限界値に達するまでに応力勾配が所定値以下に低減しない場合、その旨を外部へ出力することで、例えばメッシュに不整合がある、あるいは、亀裂が生じて、る等の判断を使用者が容易に行うことが可能となる。

[0024] 第 2発明、第 5発明、及び第 8発明によれば、階層化数、すなわち有限要素を応力勾配が所定値以下に低減するまで分割する分割数の限界値であるカウンタの限界値を受け付けることにより、構造物の形状の複雑度に応じて、無駄な演算処理を行うことが無ぐより短時間で応力分布を求めることが可能となる。

[0025] 第 3発明、第 6発明、及び第 9発明によれば、変位が特定可能な分割領域の頂点での応力値の連続性を担保するだけでなぐ分割領域間の境界においても、複雑な演算処理を行うことなく変位及び応力の連続性を担保することが可能となる。

図面の簡単な説明

[0026] [図 1]本発明の実施の形態 1に係る有限要素解析装置の構成を示すブロック図である。

[図 2]本実施の形態 1で用いる有限要素の一例である正方領域を示す図である。

[図 3]第 1階層の正方領域で構成してあるセルを第 2階層、第 3階層、 · · ·、第 n階層 ( nは自然数)へと、 CPUの条件判断に応じて分割する手順を示す模式図である。

[図 4]本発明の実施の形態 1に係る有限要素解析装置の CPUでの処理手順を示すフローチャートである。

[図 5]本実施の形態 2で用いる有限要素の一例である正方領域を示す図である。

[図 6]正方領域で構成してある 2つのセル A、B間の境界における変位の補正方法を示す模式図である。

[図 7]第 m階層（mは 0<m≤nである自然数)での、分割された 4領域 A、 B、 C、 Dが互いに接する節点 Al、 Bl、 Cl、 D1での節点力の状態を示す模式図である。

[図 8]第 (m— 1)階層での節点に生じる節点力の算出方法を示す模式図である。

[図 9]本発明の実施の形態 2に係る有限要素解析装置の CPUでの処理手順を示すフローチャートである。符号の説明

[0027] 1 有限要素解析装置

2 記憶媒体

11 CPU

12 記憶手段

13 ROM

14 RAM

15 通信手段

16 入力手段

17 出力手段

18 補助記憶手段発明を実施するための最良の形態

[0028] (実施の形態 1)

以下、本発明をその実施の形態 1を示す図面に基づいて具体的に説明する。図 1 は、本発明の実施の形態 1に係る有限要素解析装置の構成を示すブロック図である。図 1において、有限要素解析装置 1は、少なくとも、 CPU (中央演算装置） 11、記憶手段 12、 ROM13、 RAM14、通信回線に接続する通信手段 15、マウス及びキーボード等の入力手段 16、ディスプレイ等の出力手段 17及び補助記憶手段 18で構成される。

[0029] CPU11は、内部バス 19を介して有限要素解析装置 1の上述したようなハードゥエァ各部と接続されており、上述したハードウェア各部を制御するとともに、 ROM13に格納された制御プログラム又は補助記憶手段 18である CD— ROM、 DVD等の（可搬型)記録媒体 2を用いて記憶手段 12へ導入された制御プログラムに従って、種々のソフトウェア的機能を実行する。なお、記憶手段 12は、ハードディスク等の固定型記憶媒体であり、上述した制御プログラムの他、処理に必要なデータを事前に記憶しておく。

[0030] RAM14は、 SRAM,フラッシュメモリ等で構成されソフトウェアの実行時に発生する一時的なデータを記憶する。通信手段 15は、内部バス 19に接続されており、外部からのデータの取得、外部装置の動作制御データ等を送受信する。

[0031] 入力手段 16は、有限要素解析装置 1を操作するために必要な文字キー、テンキー、各種のファンクションキー等を備えたキーボード、マウス等の入力媒体である。出力手段 17は、液晶表示装置、 CRTディスプレイ等の表示装置であり、有限要素解析装置 1の動作状態を表示したり、ユーザへ操作入力を促す画面を表示したり、解析結果をグラフィカルに表示するための画像データの表示等を行う。なお、出力手段 17をタツチパネル方式とすることにより、入力手段 16の各種のファンクションキーの内の一部又は全部を出力手段 17が代用することも可能である。

[0032] 以下、上述した構成の有限要素解析装置 1における応力分布の算出処理の動作について 2次元問題を例に説明する。図 2は、本実施の形態 1で用いる有限要素の一例である正方領域を示す図である。図 2の例では、正方領域を 9節点 4要素からなるセルとして定義している。もちろん、正方領域の定義はこれに限定されるものではなぐ例えば 9節点 1要素力もなるセル、 3次元の場合は立体のセルであっても良い。

[0033] 通常、 9節点のうち、頂点を形成している 4節点の変位は既知であり、既知である 4 節点以外の 5節点については変位が未知であることを前提条件として偏微分方程式を解くことにより、所定の外力が付与された場合の正方領域ごとの変位値と応力値とを算出する。図 2は、節点の変位が既知である節点を黒丸印で、節点の変位が未知である節点を白丸印で、それぞれ示している。

[0034] 構造解析の対象となる構造物は、図 2のような正方領域で構成してあるセルにより分割されており、有限要素解析装置 1の CPU11は、例えば節点で分割された 4領域ごとの応力値 Sl、 S2、 S3、 S4を算出する。具体的には、所定の外力を付与した偏微分方程式を連立方程式に変換し、有限要素を用いた数値解析により 4領域ごとの応力値の近似解を算出する。

[0035] そして、有限要素解析装置 1の CPU11は、算出した 4つの応力値の互いの差を算出し、差の最大値が所定の閾値よりも小さいか否かを判断することにより、正方領域をさらに細かい階層にまで分割する必要が有るカゝ否かを判断する。 CPU11が、差の最大値が所定の閾値よりも大きいと判断した場合には、正方領域で構成してあるセルを、より小さな正方領域で構成してあるセルへと分割する。図 3は、第 1階層の正方領域で構成してあるセルを第 2階層、第 3階層、…、第 n階層（nは自然数)へと、 CP U11の条件判断に応じて分割する手順を示す模式図である。

[0036] 第 1階層の正方領域で構成してあるセルが、 4つの領域における応力値の差の最大値が所定の閾値よりも大きいと判断された場合、該正方領域を 4分割して、第 2階層の正方領域で構成してあるセルを生成する。図 3では、 4分割して生成した第 2階層の正方領域で構成してあるセルの 1つを例示している。

[0037] 第 1階層の正方領域で構成してあるセルでは、節点 Aは頂点であることから変位が既知である（黒丸印）。一方、節点 B、 C、及び Dは変位が未知である（白丸印）。しかし、第 2階層の正方領域で構成してあるセルに分割した場合、節点 A、 B、 C、 Dは新たな正方領域の頂点となっていることから変位が既知となる（黒丸印）。一方、節点 E 、 F、 Gは変位が未知となる（白丸印)。 [0038] 以下、第 (n— 1)階層の正方領域を 4分割して、第 n階層の正方領域で構成してあるセルを生成するごとに、変位が既知である節点を変更しつつ、応力値を算出して、セル内の応力勾配が所定値以下となった時点で細分プロセスが完了するとともに、解析対象構造物の最終的な変位と応力が求まる。したがって、従来の構造解析プログラムでは、構造物の形状が複雑である部分のメッシュ分割を細力べし、形状が単純である部分のメッシュ分割を粗くすると、う経験則に沿ったメッシュ分割を行って、たため、メッシュ分割を行う技術者の熟練の程度により解析誤差が生じていた。それに対して本実施の形態 1に係る有限要素解析装置 1では、技術者の熟練の程度に依存すること無ぐあくまでも解析した応力値力算出した差の最大値、すなわち有限要素内の応力勾配の大小に応じてメッシュ分割の程度を特定することができ、解析の精度を落とすことなぐ無駄な演算処理を回避することができる。

[0039] 図 4は、本発明の実施の形態 1に係る有限要素解析装置 1の CPU11での処理手順を示すフローチャートである。有限要素解析装置 1の CPU11は、解析対象となる構造物の全ての有限要素の三次元座標情報及び外力の付与条件に関する情報を取得する（ステップ S401)。 CPUl lは、カウンタを初期化し (ステップ S402)、全ての有限要素を複数の領域に分割する (ステップ S403)。

[0040] CPU11は、構造物全体の変位と応力とを算出し (ステップ S404)、最も深い階層領域内の応力勾配を算出する (ステップ S405)。 CPUl lは、算出した応力勾配が所定値、例えば算出誤差の限界値よりも大きいか否かを判断する (ステップ S406)。 CPUl lが、算出した応力勾配が所定値より大きいと判断した場合 (ステップ S406 : YES)、 CPU11は、分割された領域をさらに複数の領域に分割、例えば正方領域である場合、さらに 4分割した領域へと分割し (ステップ S407)、カウンタを単位数だけ計数して (ステップ S408)、計数したカウンタの値力所定の限界値に到達しているか否かを判断する (ステップ S409)。

[0041] CPU11が、計数したカウンタの値が、所定の限界値に到達していると判断した場合 (ステップ S409 :YES)、 CPU11は、出力手段 17に対して、応力値の差の最大値が所定値より大きい旨を示す情報、例えばメッセージ情報、グラフィック表示の色彩表示情報等を送出する (ステップ S410)。 [0042] CPU11が、計数したカウンタの値が、所定の限界値に到達して、な、と判断した場合 (ステップ S409 :NO)、 CPU11は、ステップ S405へ戻り、上述した処理を反復実行する。

[0043] CPU11が、算出した応力勾配が所定値以下であると判断した場合 (ステップ S406 ： NO)、 CPU11は、分割した領域の全ての領域につき、現在の最も深い階層において応力勾配が所定値以下である力否かを判断し (ステップ S411)、 CPU11が、現在の最も深、階層にお、て、分割した領域の、ずれかの領域にぉ、て応力勾配が所定値より大きいと判断した場合 (ステップ S411： NO)、 CPU 11はステップ S404へ戻し、上述した処理を繰り返す。 CPU11が、分割した領域の全ての領域につき、現在の最も深、階層におヽて応力勾配が所定値以下であると判断した場合 (ステップ S4 11 :YES)、 CPU11は処理を終了する。

[0044] 以上のように本実施の形態 1によれば、構造物が占める領域をメッシュ分割した各有限要素につき、複数領域に分割し、分割した領域間の応力値の差の最大値、すなわち応力勾配を算出し、算出した応力勾配が所定値より大きい場合、さらに細かい複数の領域に分割し、分割した領域ごとに再度応力勾配を算出するという処理を、階層的に繰り返し実行する。階層化の数が所定の限界値に達するまでに応力勾配が所定値以下に低減した場合、全体として高次元の連立方程式を解く必要が有る場合であっても、階層ごとに小次元の連立方程式を解くことにより応力分布を近似的に求めることができ、演算処理時間は全階層に含まれる細分ィ匕された領域の総数に比例するのみであることから、演算処理時間は従来の演算方法のように指数的に増大することが無い。

[0045] したがって、構造物の形状が複雑になり、偏微分方程式を変換した連立方程式の次数が大きくなつた場合であっても、演算処理時間は、有限要素をより細かいメッシュに階層的に分割した領域の総数に比例的に増加するに止まり、演算精度を低下することなぐより短時間で応力分布を求めることが可能となる。

[0046] また、階層化の数が所定の限界値に達するまでに応力勾配が所定値以下に低減しない場合、その旨を表示装置により使用者へ容易に伝達することができ、例えばメッシュに不整合がある、あるいは、亀裂が生じている等の判断を使用者が行うことが可能となる。

[0047] なお、階層化の数の限界値は、事前に設定して記憶手段 12、 RAM14に記憶しておいても良いし、入力手段 16を介して利用者による入力を受け付けても良い。また、通信手段 15を介して外部装置からの入力を受け付けても良い。

[0048] このように階層化の数の限界値を固定しないことにより、解析対象となる構造物の形状の複雑度に応じて、演算処理負荷が過大とならない限界値を利用者が設定した場合、本来演算する必要がない分割領域に対する演算処理を行うことが無ぐより短時間で応力分布を求めることが可能となる。

[0049] (実施の形態 2)

以下、本発明をその実施の形態 2を示す図面に基づいて具体的に説明する。本実施の形態 2に係る有限要素解析装置の構成は、実施の形態 1と同様であることから、同一の符号を付することにより詳細な説明を省略する。本実施の形態 2は、有限要素を分割した領域の境界にぉヽて、変位及び応力値の連続性を維持することができるよう、それぞれの階層で算出した変位値と応力値とを補正する点に特徴を有している

[0050] 図 5は、本実施の形態 2で用いる有限要素の一例である正方領域を示す図である。

図 5の例では、正方領域を 9節点 4要素力もなるセルとして定義している。もちろん、正方領域の定義はこれに限定されるものではなぐ例えば 9節点 1要素力なるセル、 3次元の場合は立体のセルであっても良い。

[0051] 通常、 9節点のうち、頂点を形成している 4節点の変位は既知であり、既知である 4 節点以外の 5節点については変位が未知であることを前提条件として偏微分方程式を解くことにより、所定の外力が付与された場合の正方領域ごとの変位値と応力値とを算出する。図 5は、節点の変位が既知である節点を黒丸印で、節点の変位が未知である節点を白丸印で、それぞれ示している。

[0052] 図 6は、上述した図 5のような正方領域で構成してある 2つのセル A、 B間の境界における変位の補正方法を示す模式図である。図 6では、直交する平面座標系（x、 y) 上で、 2つのセル A、 Bの節点 P、 Qの変位は一致しており、節点 P、 Q間の節点 RA、 RBの変位（uA、 vA)、（uB、 vB)の連続性を維持すベぐセル A、 Bの節点 RA、 RB における剛性 (KuA、 KvA)、（KuB、 KvB)を用いて剛性比に基づく比例配分を行う。すなわち、補正後の節点 RA、 RBの共通変位 (uAB、 vAB)は数 1により求めることがでさる。

[0053] (数 1)

uAB = (uA · KuA + uB · KuB) / (KuA + KuB)

vAB = (vA · KvA + vB · KvB) / (KvA + KvB)

[0054] もちろん、剛性比による比例配分による補正に限定されるものではなぐ例えば曲げ荷重による変形である場合には曲げ剛性の比による比例配分により補正することが好まし!/、ことは言うまでもな！/、。

[0055] 数 1により求めた共通変位 (uAB、 vAB)に対する節点力（応力）は、必ずしも平衡条件を充足している保証は無い。そこで、分割した階層の最も深い階層、すなわち力ゥンタ値が最大である階層で、節点力のベクトル和が 0 (ゼロ）又は絶対値が所定値以下である場合に平衡条件を充足していると判断する。図 7は、第 m階層（mは 0く m≤nである自然数)での、分割された 4領域 A、 B、 C、 Dが互いに接する節点 Al、 B 1、 Cl、 D1での節点力の状態を示す模式図である。

[0056] 図 7では、 4つの節点 Al、 Bl、 Cl、 D1での節点力ベクトルをそれぞれ FA、 FB、 F C、 FDとし、節点力ベクトル FA、 FB、 FC、 FDのベクトル和が二次元座標系（x、 y) で (0、 0)になる力否かで平衡条件を充足している力否かを判断する。もちろん、ベタトル和の絶対値が所定値以下であるカゝ否かで判断してもよい。

[0057] 例えば第 m階層が最も深い階層である場合、第 m階層での応力及び節点力のベタトル和を算出し、最も深い階層の全てのセルについて、上述した平衡条件を充足している力否かを判断する。最も深い階層の全てのセルについて、上述した平衡条件を充足して、な、と判断された場合、平衡条件を充足するように節点の配分位置を補正すベぐ以下の処理へと移行する。

[0058] 最も深、階層である第 m階層で平衡条件を充足して、な、と判断された場合、第 m階層の節点での節点力はベクトル値として算出されていることから、算出した節点力に基づヽて第 m階層に分割した元の階層、すなわち第 m階層の上位階層である第 (m—1)階層での節点に生じる節点力を算出する。図 8は、第 (m— 1)階層での節点に生じる節点力の算出方法を示す模式図である。

[0059] 第 m階層の正方領域での節点 A、 B、 C、 Dでの節点力を、それぞれ (fua、 fva)、 (f ub、 fvb)、（fuc、 fvc)、（fud、 fvd)とした場合、第 (m— 1)階層での節点 Aにおける u方向、 v方向の節点力（fuA、 fvA)は、等価節点力として数 2により求めることができる。

[0060] (数 2)

fuA=fua+ (f ub + f uc) / 2 + f ud/4

fvA=fva+ (fvb+fvc) /2+fvd/4

[0061] もちろん、（fuA、 fvA)の算出方法はこれに限定されるものではなぐ例えば剛性分布に基づいて適切な配分を事前に定めておき、該配分に応じて算出するものであつても良い。

[0062] このようにして、第 1階層の正方領域まで、すなわち構造物が占める領域をメッシュ分割した有限要素まで遡って、節点ごとの節点力を再算出し、再算出した節点力に基づいてベクトル和を算出する。そして、算出したベクトル和に基づいて、階層ごとのセルの変位 (変位修正量)を順次算出して、最も深い階層の全てにつき平衡条件を充足するまで繰り返し演算を行うことで、最終的な変位と応力が求まる。

[0063] 図 9は、本発明の実施の形態 2に係る有限要素解析装置 1の CPU11での処理手順を示すフローチャートである。有限要素解析装置 1の CPU11は、第 1階層から順次、例えば正方領域力もなるセルの境界の変位を順次算出して (ステップ S901)、変位の連続性を考慮して、数 1に従って変位の補正演算を実行する (ステップ S902)。

[0064] CPU11は、セルの境界の補正処理が、分割した階層の最も深い階層（第 m階層）まで完了した力否かを判断し (ステップ S903)、 CPU11が、セルの境界の補正処理力最も深い階層（第 m階層）まで完了していないと判断した場合 (ステップ S903 :N 0)、ステップ S901へ戻り、上述した処理を繰り返す。 CPU11が、セルの境界の補正処理が、最も深い階層（第 m階層）まで完了したと判断した場合 (ステップ S903 :Y ES)、 CPU11は、最も深い階層のセルの応力及び節点に生じている節点力（応力）のベクトル和を算出する（ステップ S 904)。

[0065] CPU11は、最も深い階層の全てにおいて、算出したベクトル和が所定の平衡条件を具備している力否力、例えば算出したベクトル和の絶対値が所定の閾値より小さいか否かを判断し (ステップ S905)、 CPU11が、最も深い階層のいずれかにおいて、算出したベクトル和が所定の平衡条件を具備して、な、と判断した場合 (ステップ S9 05 :NO)、 CPU11は、平衡条件を具備していない階層（第 m階層）の上位階層（第 m—l階層、第 m—2階層、 · · ·）の節点に生じている節点力（応力）のベクトル和を、数 2に従って順次再算出する (ステップ S906)。

[0066] CPU11は、上述した節点力（応力）のベクトル和の算出処理が第 1階層まで到達した力否かを判断し (ステップ S907)、 CPU11が、第 1階層まで到達していないと判断した場合 (ステップ S907 :NO)、 CPU11は、ステップ S906へ戻し、第 1階層に到達するまで上位階層の節点に生じている節点力（応力）のベクトル和を再算出する。

[0067] CPU11が、第 1階層まで到達していたと判断した場合 (ステップ S907 : YES)、 CP U11は、ステップ S901へ戻し、各階層のセルの境界の変位を順次算出して、平衡条件を具備するか否かを再度判断する。

[0068] 最も深、階層の全ての (ステップ S 901 )第 1階層に到達するまで上位階層の節点に生じている節点力（応力）のベクトル和を再算出する。 CPU11が、最も深い階層の全てにおいて、算出したベクトル和が所定の平衡条件を具備していると判断した場合 (ステップ S905 :YES)、 CPU11は、変位及び節点力（応力）の連続性力セルの境界において担保することができたものと判断し、処理を終了する。

[0069] 以上のように本実施の形態 2によれば、構造物が占める領域をメッシュ分割した各有限要素を複数領域に分割した場合であっても、変位が特定可能な分割領域の頂点での応力値の連続性を担保するだけでなぐ分割領域間の境界においても、複雑な演算処理を行うことなく変位及び応力の連続性を担保することが可能となる。した力 Sつて、算出した応力の精度を低下させることなく高速に演算処理を終えることができる高速演算装置を具現ィ匕することが可能となる。

Claims

請求の範囲

[1] コンピュータで、構造物が占める領域を分割した複数の有限要素ごとに、所定の外力が付与された場合の応力解析を行う有限要素解析方法において、

各有限要素を複数領域に分割し、分割した回数を示すカウンタを初期値に設定し

、分割した領域ごとに変位値と応力値とを算出し、各領域間の応力値の差の最大値を算出し、算出した最大値が所定値より大きいか否かを判断し、

最大値が所定値より大き、と判断した場合、複数領域をさらに複数の領域に分割し

、カウンタを計数し、分割した領域ごとに反復演算して各領域間の応力値の差の最大値を算出し、

カウンタが所定の限界値に到達した力否かを判断し、

カウンタが前記限界値に到達して、な、場合、再度さらなる複数の領域に分割し、カウンタを計数し、分割した領域ごとに反復して各領域間の応力値の差の最大値を算出し、

カウンタが前記限界値に到達したと判断した場合、応力値の差の最大値が所定値より大きい旨を示す情報を外部に送出することを特徴とする有限要素解析方法。

[2] 前記カウンタの前記限界値を受け付けることを特徴とする請求項 1記載の有限要素解析方法。

[3] 分割した複数領域の境界にて、変位及び応力が連続的に変化するよう変位値と応力値とを補正し、補正した応力値に基づ!、て各領域間の応力値の差の最大値を算出することを特徴とする請求項 1又は 2記載の有限要素解析方法。

[4] 構造物が占める領域を分割した複数の有限要素ごとに、所定の外力が付与された場合の応力解析を行う有限要素解析装置において、

各有限要素を複数領域に分割する手段と、

分割した回数を示すカウンタと、

該カウンタを初期値に設定する手段と、

分割した領域ごとに変位値と応力値とを算出する手段と、

各領域間の応力値の差の最大値を算出する手段と、

算出した最大値が所定値より大きいか否かを判断する手段と、最大値が所定値より大き、と判断した場合、複数領域をさらに複数の領域に分割する手段と、

分割した領域ごとに反復演算して各領域間の応力値の差の最大値を算出する手段と、

カウンタが所定の限界値に到達した力否かを判断する手段と、

カウンタが前記限界値に到達して、な、と判断した場合、再度さらなる複数の領域に分割する手段と、

分割した領域ごとに反復して各領域間の応力値の差の最大値を算出する手段と、カウンタが前記限界値に到達したと判断した場合、応力値の差の最大値が所定値より大きい旨を示す情報を外部に送出する手段と

を備えることを特徴とする有限要素解析装置。

[5] 前記カウンタの前記限界値を受け付ける手段を備えることを特徴とする請求項 4記載の有限要素解析装置。

[6] 分割した複数領域の境界にて、変位及び応力が連続的に変化するよう変位値と応力値とを補正する手段と、

補正した応力値に基づいて各領域間の応力値の差の最大値を算出する手段とを備えることを特徴とする請求項 4又は 5記載の有限要素解析装置。

[7] 構造物が占める領域を分割した複数の有限要素ごとに、所定の外力が付与された場合の応力解析を行うコンピュータで実行可能なコンピュータプログラムにおいて、前記コンピュータを、

各有限要素を複数領域に分割する手段、

分割した回数を示すカウンタを初期値に設定する手段、

分割した領域ごとに変位値と応力値とを算出する手段、

各領域間の応力値の差の最大値を算出する手段、

算出した最大値が所定値より大きいか否かを判断する手段、

最大値が所定値より大き、と判断した場合、複数領域をさらに複数の領域に分割する手段、

カウンタを計数する手段、分割した領域ごとに反復演算して各領域間の応力値の差の最大値を算出する手段、

カウンタが所定の限界値に到達した力否かを判断する手段、

カウンタが前記限界値に到達して、な、と判断した場合、再度さらなる複数の領域に分割する手段、

カウンタを計数する手段、

分割した領域ごとに反復して各領域間の応力値の差の最大値を算出する手段、及び

カウンタが前記限界値に到達したと判断した場合、応力値の差の最大値が所定値より大きい旨を示す情報を外部に送出する手段

として機能させることを特徴とするコンピュータプログラム。

[8] 前記コンピュータを、

前記カウンタの前記限界値を受け付ける手段として機能させることを特徴とする請求項 7記載のコンピュータプログラム。

[9] 前記コンピュータを、

分割した複数領域の境界にて、変位及び応力が連続的に変化するよう変位値と応力値とを補正する手段、及び

補正した応力値に基づいて各領域間の応力値の差の最大値を算出する手段として機能させることを特徴とする請求項 7又は 8記載のコンピュータプログラム。