WO2000034850A2 - Verfahren und anordnung zum entwurf eines technischen systems - Google Patents

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WO2000034850A2
WO2000034850A2 PCT/DE1999/003799 DE9903799W WO0034850A2 WO 2000034850 A2 WO2000034850 A2 WO 2000034850A2 DE 9903799 W DE9903799 W DE 9903799W WO 0034850 A2 WO0034850 A2 WO 0034850A2
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technical system
parameter vector
determined
search direction
parameters
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Astrid Frankl
Stefan SCHÄFFLER
Reinhart Schultz
Klaus Weinzierl
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Siemens Aktiengesellschaft
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    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06Q—INFORMATION AND COMMUNICATION TECHNOLOGY [ICT] SPECIALLY ADAPTED FOR ADMINISTRATIVE, COMMERCIAL, FINANCIAL, MANAGERIAL OR SUPERVISORY PURPOSES; SYSTEMS OR METHODS SPECIALLY ADAPTED FOR ADMINISTRATIVE, COMMERCIAL, FINANCIAL, MANAGERIAL OR SUPERVISORY PURPOSES, NOT OTHERWISE PROVIDED FOR
    • G06Q10/00—Administration; Management
    • G06Q10/04—Forecasting or optimisation specially adapted for administrative or management purposes, e.g. linear programming or "cutting stock problem"
    • G—PHYSICS
    • G05—CONTROLLING; REGULATING
    • G05B—CONTROL OR REGULATING SYSTEMS IN GENERAL; FUNCTIONAL ELEMENTS OF SUCH SYSTEMS; MONITORING OR TESTING ARRANGEMENTS FOR SUCH SYSTEMS OR ELEMENTS
    • G05B13/00—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion
    • G05B13/02—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion electric
    • G05B13/0205—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion electric not using a model or a simulator of the controlled system
    • G05B13/024—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion electric not using a model or a simulator of the controlled system in which a parameter or coefficient is automatically adjusted to optimise the performance

Definitions

  • the invention relates to a method and an arrangement for designing a technical system.
  • a convex combination of the target variables is the sum of all target variables, each multiplied by a factor, whereby each factor is greater than or equal to zero and the sum of all factors is one.
  • three target variables zl, z2 and z3 are given, the associated factors are ⁇ l, ⁇ 2 and ⁇ 3.
  • the Konvexkombina 'tion KK is thus given as
  • the object of the invention is to provide a method and an arrangement for designing a technical system, parameters of the system being determined which are optimal with regard to a plurality of predetermined target functions. All target functions are included according to the partial vector order.
  • the technical system comprises several k target functions
  • the objective functions should be maximized. If one of the objective functions is to be minimized, it is converted into an objective function to be maximized by multiplication by "-1".
  • the statements made here can be applied to both cases, maximization and minimization, in any composition.
  • a search direction z is determined for the parameter vector x in such a way that the target functions, in particular all target functions, are improved by a step along the search direction.
  • a parameter vector that lies on a path determined by the search direction is used for the design of the technical system.
  • the gradients of the (in particular all) target functions are calculated for the parameter vector x and the search direction is determined by the following relationship:
  • Another development consists in that convex combinations of the gradients are determined, the convex combination which has the smallest distance from the zero point being determined.
  • ⁇ is a step size and j is an iteration step.
  • the next parameter vector is set equal to the parameter vector x and branched to the step in which the gradients of the target functions . be determined. This ensures that, along a path that comprises several parameter vectors in accordance with the iterations of the method, the next parameter vector in each case from iteration step to iteration step has a qualitatively improved design (a higher quality) than its predecessor technical system, especially with regard to all target sizes.
  • the step size ⁇ can be adjusted depending on the iteration step. For example, it is possible to shorten the step size every m steps, in particular to halve it (bisection).
  • the quality for the design of the technical system is evaluated depending on each target function.
  • Each value assignment of the parameters (referred to as the value of the parameter vector x) gives a value for the quality for each target function.
  • the objective functions can be understood as competing with one another.
  • a high quality of one objective function usually corresponds to a low quality at least one other objective function.
  • target functions, especially competing target functions are:
  • a minimization or a maximization can take place differently, depending on the respective objective function: In the example, the system efficiency has to be maximized and the investment costs have to be minimized. A gradient of the objective function shows in which direction an improvement (maximization or minimization) occurs.
  • values for the parameter vector are determined, which are each efficient.
  • An efficient value assignment of the parameter vector means that no parameter of the Parameter vector can be changed without there being a deterioration in the quality of at least one target function. Such a value of the parameter vector is called an efficient point or a pareto-optimal point.
  • a technical system can be a process engineering system or another system that has to be designed or adjusted with regard to different parameters.
  • the parameters of the parameter vector x can be design parameters or operating parameters of the technical system. Operating parameters characterize possible adjustable quantities, while design parameters describe in particular physical dimensions of the technical system and can usually only be adapted or changed with great effort during operation.
  • the termination condition can be that a predetermined number of iterations has been carried out. In this case it is ensured that the method terminates after a certain time and that the parameter vector last determined represents a suitable approximation for the efficient point sought.
  • a particularly preferred termination condition is the state in which no new search direction can be found, which would improve the target function. This is preferably the case when the zero point is in the range of the convex combination of all gradients.
  • Another development consists in normalizing the gradients to the length of the shortest gradient.
  • a new design of the technical system or an adaptation of an existing one can be made using the parameter vector determined with the described method technical system. In both cases it is a draft (once as a regeneration and once for adaptation) in the sense of the present explanations.
  • the technical system is implemented or set on the basis of the determined parameters. It is advantageous here that the parameters in a parameter vector, which was determined by means of the invention, identify a stable operating point and that the setting of the system to this operating point ensures permanent, safe operation of the system / system.
  • the method described provides an efficient point (parameter vector) after a pass with possibly numerous iterations.
  • the determination of the search direction is overlaid with a stochastic variable.
  • several different efficient points result when the method is used repeatedly.
  • the globally efficient point is determined with a high degree of probability by the superposition with the stochastic variable.
  • Locally efficient points are overcome by the random size, by scattering the random size also examining the surroundings of this supposedly efficient point for further improvement. This leads to a high degree of certainty that there is a further possibility for improvement in the vicinity of a locally efficient point, along which the path to the globally efficient point is pursued.
  • the stochastic superimposition makes it possible to determine several different efficient points which lie along a line in the n-space (n: dimension of the parameter space) and thus at sufficiently repeated repetition of the procedure, this line clearly marked with efficient points.
  • ⁇ denotes a constant that can be specified for scaling and Bt denotes a random number.
  • an arrangement for designing a technical system which has a plurality of predefined target functions, each target function being influenced by a predefined set of n parameters and a value assignment of the n parameters being combined in a parameter vector x.
  • the arrangement comprises a processor unit which is set up in such a way that
  • a) for the parameter vector x gradients of all target functions can be determined; b) a search direction can be determined such that the target functions are improved by a step along the search direction;
  • a parameter vector which lies on a path along the search direction and improves values of all target variables, can be used for the design of the technical system.
  • Fig.l a sequence of a method for designing a technical system
  • FIG. 3 shows a processor unit
  • Fig.l is a block diagram showing steps of a method for designing a technical system.
  • the technical system can be described by two or more target functions, each of which depends on a predetermined set n parameters, which parameters are combined in a parameter vector x.
  • a value assignment of the parameters is referred to as the value of the parameter vector x.
  • This value of the parameter vector x represents a possible assignment of the parameters ⁇ ⁇ , K2, ..., x n
  • the parameters are preferably
  • a start value for the parameter vector X ⁇ is specified.
  • the gradients of the target functions for the parameter vector XJ_ are determined.
  • a convex combination of the gradients is determined on the basis of the directions specified by the gradients. An area described by this convex combination comprises several points
  • step 104 (Parameter vectors) from which the point is determined which is the smallest distance from the zero point.
  • a vector through the zero point and the determined point indicates a direction (cf. step 104) along which a predetermined step width is traversed and the next parameter vector x_i + ⁇ is thereby determined (cf. step 105).
  • step 106 it is checked whether an abort condition is fulfilled. The termination condition is preferably met if a predetermined number of iteration steps have been carried out. Then the method is ended in a step 107, otherwise in a step 108 the next parameter vector Xi + 1 is set equal to the parameter vector X ⁇ and a branch is made to step 102.
  • the convex combination of the gradients overlaid with a stochastic variable is determined in step 103 and thus it is ensured that a scaled random variable influences the direction in each iteration step.
  • a parameter vector xi + i following the parameter vector x is determined in accordance with (4) with optional consideration of the stochastic superimposition of the search direction in accordance with (5).
  • a path (with a specified step size) is traveled from the current parameter vector X ⁇ to the next parameter vector x_ + ⁇ .
  • the individual steps result in a path which leads from the starting point xo to an end point x ⁇ (as the last parameter vector of the method described above) if m iteration steps have been carried out.
  • the convex combination KK used as the search direction is determined by determining the gradients of the target functions.
  • three target functions i ⁇ , f2 and f3 are assumed.
  • the three gradients result numerically or analytically
  • Vf 2 g 2 (7).
  • the direction s along the path is determined by solving the system of (8a), (8b) and (8c), where the Direction s is determined by the zero point and that point from the area of the convex combination which has the shortest distance from the zero point.
  • the Direction s is determined by the zero point and that point from the area of the convex combination which has the shortest distance from the zero point.
  • the liquid pump depends on nine important influencing variables (parameters):
  • Suction slot start horizontal housing displacement, vertical housing displacement, housing radius, hub pitch, housing eccentricity, pressure sickle end,
  • each of the target functions i-iv depend on mostly several of the parameters a) to i).
  • the gradients of the four target functions span a subset in the nine-dimensional parameter space.
  • the search direction results using the above-mentioned method. Along the search direction follows a new value for a parameter vector, for which target function values and their gradients are to be determined.
  • Parameter vector xn is entered.
  • the determination of the search direction s is illustrated in FIG. 2 using the parameter space of small dimension.
  • the gradients gj_, ⁇ 2 and ⁇ 3 of the target functions f ⁇ _, ⁇ 2 unc ⁇ f3 are determined.
  • the gradient g ⁇ points to point 201, ⁇ 2 to point 202 and ⁇ 3 to point 203.
  • the triangular surface, determined by points 201, 202 and 203, includes all points of the convex combination.
  • the point in the area of the convex combination (that is to say in the said triangular area) that is the smallest distance from the starting point xo 205 is to be determined.
  • Point 204 fulfills this condition.
  • Point 204 is perpendicular to the connecting line of points 201 and 203. Point 204 is the next point the path to the efficient point for the underlying technical system. At point 204 the gradients of the target functions are again to be determined and a new search direction is to be determined according to the described scheme.
  • the processor unit PRZE comprises a processor CPU, a memory SPE and an input / output interface IOS, which is used in different ways via an interface IFC: an output is visible on a monitor MON and / or on a printer via a graphic interface PRT issued. An entry is made with a mouse or MAS KEYBOARD.
  • the processor unit PRZE also has a data bus BUS, which ensures the connection of a memory MEM, the processor CPU and the input / output interface IOS.
  • additional components can be connected to the data bus BUS, for example additional memory, data storage (hard disk) or scanner.

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Abstract

Die Erfindung ermöglicht den Entwurf eines technischen Systems, das mehrere Zielfunktionen umfasst, indem für die Zielfunktionen eine Suchrichtung ermittelt wird, entlang derer eine Verbesserung der Werte der Zielfunktionen bewirkt wird. Eine iterative Ermittlung der Suchrichtung führt zu einem effizienten Arbeitspunkt, der zum Entwurf des technischen Systems geeignet ist.

Description

Beschreibung
Verfahren und Anordnung zum Entwurf eines technischen Systems
Die Erfindung betrifft ein Verfahren und eine Anordnung zum Entwurf eines technischen Systems.
Für ein komplexes technisches System sind in einer frühen Planungsphase oder auch während des Betriebs mehrere signifikante Größen wie Kosten für eine Herstellung oder ein Wirkungsgrad des Systems von Interesse. Eine Abhängigkeit jeder dieser Größen von einer vorgegebenen Menge n auf sie Einfluß nehmende Parameter (Design- und Betriebsparameter) , zusammengefaßt in einem Parametervektor x der Dimension n, wird durch eine Zielfunktion erfaßt.
Da mehrere Zielfunktionen mit zueinander konkurrierenden Zielen gegeben sind, ist sicherzustellen, daß die Parameter gleichzeitig für die gegebenen Zielfunktionen eine Lösung mit ausreichender Güte darstellen.
Bei der Behandlung mehrerer Zielgrößen ist es bekannt, sämtliche Zielgrößen durch Konvexkombination zu einer einzigen skalaren Zielgröße zusammenfassen. Das entstehende skalare Optimierungsproblem kann sodann mit bekannten Verfahren gelöst werden. Eine Konvexkombination der Zielgrößen ist dabei die Summe aller Zielgrößen, jeweils multipliziert mit einem Faktor, wobei jeder Faktor größer oder gleich null ist und die Summe aller Faktoren eins ist. Beispielsweise seien drei Zielgrößen zl, z2 und z3 gegeben, die zugehörigen Faktoren sind αl, α2 und α3. Die Konvexkombina'tion KK ist damit gegeben als
KK = α]Z;L + 0-2Z2 + 0:323
mit αι_, α2, 0:3 > 0 und α^ + 012 + α.3 = 1 .
Die Aufgabe der Erfindung besteht darin, ein Verfahren und eine Anordnung zum Entwurf eines technischen Systems anzugeben, wobei Parameter des Systems bestimmt werden, die im Hinblick auf mehrere vorgegebene Zielfunktionen optimal sind. Dabei werden alle Zielfunktionen gemäß der partiellen Vektorordnung einbezogen.
Diese Aufgabe wird gemäß den Merkmalen der unabhängigen
Patentansprüche gelöst. Weiterbildungen der Erfindung ergeben sich auch aus den abhängigen Ansprüchen.
Zur Lösung der Aufgabe wird ein Verfahren angegeben, das den Entwurf eines technischen System ermöglicht. Das technische System umfaßt mehrere k Zielfunktionen
(fl, f2, ..., fjc) = fT (1),
wobei jede Zielfunktion von einer vorgegebenen Menge aus n Parametern
(xι_, X2, ... , xn) = xT (2) ,
zusammengefaßt in einem Parametervektor x, beeinflußbar ist.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wird davon ausgegangen, daß die Zielfunktionen maximiert werden sollen. Sofern eine der Zielfunktionen minimiert werden soll, wird sie durch Multiplikation mit "-1" in eine zu maximierende Zielfunktion umgewandelt. Die hier gemachten Ausführungen können auf beide Fälle, Maximierung und Minimierung, in beliebiger Zusammensetzunggleichermaßen angewandt werden.
Die mehreren Zielfunktionen sind in Gleichung (1) als ein
Vektor zusammengefaßt. Der hochgestellte Buchstabe "T" deutet an, daß der Vektor transponiert ist. Für den Parametervektor x wird eine Suchrichtung z derart bestimmt, daß durch einen Schritt entlang der Suchrichtung die Zielfunktionen, insbesondere alle Zielfunktionen, verbessert werden. Ein Parametervektor, der auf einem durch die Suchrichtung bestimmten Pfad liegt, wird für den Entwurf des technischen Systems eingesetzt.
In einer Weiterbildung werden für den Parametervektor x die Gradienten der (insbesondere aller) Zielfunktionen berechnet und die Suchrichtung durch folgende Beziehung bestimmt:
zT • gi > 0 (3),
wobei z die Suchrichtung und gi (i=l, 2, ... , k) die Gradienten der k Zielfunktionen bezeichnen.
Eine andere Weiterbildung besteht darin, daß Konvexkombinationen der Gradienten ermittelt werden, wobei diejenige Konvexkombination bestimmt wird, die den kleinsten Abstand zum Nullpunkt aufweist.
Eine Ausgestaltung besteht darin, daß iterativ entlang der Suchrichtung der Pfad fortgesetzt wird gemäß der Vorschrift
xj+l = x-i + σ (4)
wobei σ eine Schrittweite und j einen Iterationsschritt bezeichnen, ist. Bei der Iteration wird der nächste Parametervektor gleich dem Parametervektor x gesetzt und zu dem Schritt verzweigt, in dem die Gradienten der Zielfunktionen .ermittelt werden. Dadurch ist gewährleistet, daß entlang eines Pfades, der entsprechend den Iterationen des Verfahrens mehrere Parametervektoren umfaßt, von Iterationsschritt zu Iterationsschritt der jeweils nächste Parametervektor im Vergleich zu seinem Vorgänger einen qualitativ verbesserten Entwurf (eine höhere Güte) des technischen Systems insbesondere im Hinblick auf sämtliche Zielgrößen gewährleistet.
Die Schrittweite σ kann von abhängig vom Iterationsschritt angepaßt werden. So ist es beispielsweise möglich, alle m Schritte die Schrittweite zu verkürzen, insbesondere zu halbieren (Bisekti-on) .
Die Güte für den Entwurf des technischen Systems wird abhängig für jede Zielfunktion bewertet. Jede Wertebelegung der Parameter (bezeichnet als Wert des Parametervektors x) ergibt für jede Zielfunktion einen Wert für die Güte. Dementsprechend können die Zielfunktionen als miteinander konkurrierend verstanden werden. Eine hohe Güte der einen Zielfunktion entspricht i.d.R. einer niedrigen Güte zumindest einer anderen Zielfunktion. Beispiele für Zielfunktionen, insbesondere für konkurrierende Zielfunktionen, sind:
fτ = (f]_, f2) = (Anlagenwirkungsgrad, Investitionskosten)
oder
fτ = (fj_, f"2, f) = (Produktdurchsatz, Ausfallwahrscheinlichkeit, Schadstoffausstoß)
Dabei kann unterschiedlich, abhängig von der jeweiligen Zielfunktion, eine Minimierung oder eine Maximierung erfolgen: Im Beispiel ist der Anlagenwirkungsgrad zu maximieren und die Investitionskosten sind zu minimieren. Ein Gradient der Zielfunktion zeigt an, in welcher Richtung sich eine Verbesserung (Maximierung oder Minimierung) einstellt.
Für einen erfolgreichen Entwurf, also eine gelungene Kompromißlösung zwischen den konkurrierenden Zielfunktionen, werden Werte für den Parametervektor bestimmt, die jeweils effizient sind. Eine effiziente Wertebelegung des Parametervektors bedeutet, daß kein Parameter des Parametervektors verändert werden kann, ohne daß sich dadurch eine Verschlechterung für die Güte mindestens einer Zielfunktion ergäbe. Solch eine Wert des Parametervektors wird als effizienter Punkt oder als paretooptimaler Punkt bezeichnet.
Ein technisches System kann eine Anlage der Verfahrenstechnik oder ein sonstiges System sein, das im Hinblick auf unterschiedliche Parameter auszulegen oder einzustellen ist. Insbesondere können die Parameter des Parametervektors x Auslegungsparameter oder Betriebsparameter des technischen Systems sein. Betriebsparameter kennzeichnen mögliche einstellbare Größen, während Auslegungsparameter insbesondere physikalische Abmessungen des technischen Systems beschreiben und während des Betriebs zumeist nur mit hohem Aufwand angepaßt oder verändert werden können.
Eine andere Ausgestaltung besteht darin, daß die Iteration solange fortgesetzt wird, bis eine Abbruchbedingung erfüllt ist. Die Abbruchbedingung kann darin bestehen, daß eine vorgegebenen Anzahl Iterationen durchgeführt wurde. In diesem Fall ist sichergestellt, daß das Verfahren nach einer gewissen Zeit terminiert und der zuletzt ermittelte Parametervektor eine geeignete Näherung für den gesuchten effizienten Punkt darstellt. Eine besonders bevorzugte Abbruchbedingung ist der Zustand, in dem keine neue Suchrichtung mehr gefunden werden kann, die eine Verbesserung der Zielfunktion bewirken würde. Dies ist bevorzugt dann der Fall, wenn der Nullpunkt im Bereich der Konvexkombination aller Gradienten liegt.
Eine andere Weiterbildung besteht darin, daß die Gradienten auf die Länge des kürzesten Gradienten normiert werden.
Wahlweise kann anhand des mit dem beschriebenen Verfahren ermittelten Parametervektors ein Neuentwurf des technischen Systems oder eine Anpassung eines bereits existierenden technischen Systems erfolgen. In beiden Fällen handelt es sich um einen Entwurf (einmal als Neugenerierung und einmal zur Anpassung) im Sinne der vorliegenden Ausführungen.
Im Rahmen einer weiteren Ausgestaltung wird das technische System anhand der ermittelten Parameter realisiert bzw. eingestellt. Hierbei ist es von Vorteil, daß die Parameter in einem Parametervektor, der mittels der Erfindung bestimmt wurde, einen stabilen Betriebspunkt kennzeichnen und die Einstellung des Systems auf diesen Betriebspunkt einen dauerhaft sicheren Betrieb des Systems/der Anlage gewährleistet .
Insbesondere liefert das beschriebene Verfahren nach einem Durchgang mit gegebenenfalls zahlreichen Iterationen einen effizienten Punkt (Parametervektor) .
Um mehrere effiziente Punkte zu erhalten, wird die Bestimmung der Suchrichtung mit einer stochastischen Größe überlagert. Dies hat zur Folge, daß sich bei wiederholter Anwendung des Verfahrens mehrere unterschiedliche effiziente Punkte ergeben. Dabei ist es von Vorteil, daß durch die Überlagerung mit der stochastischen Größe mit hoher Wahrscheinlichkeit ein global effizienter Punkt bestimmt wird. Lokal effiziente Punkte werden durch die Zufallsgröße überwunden, indem durch Streuung anhand der Zufallsgröße auch die Umgebung dieses vermeintlich effizienten Punktes auf weitere Verbesserungsmöglichkeit hin untersucht wird. Dies führt mit hoher Sicherheit dazu, daß in der Umgebung eines lokal effizienten Punktes es eine weitere Verbesserungsmöglichkeit gibt, entlang derer der Pfad hin zum global effizienten Punkt weiterverfolgt wird.
Weiterhin ist es von Vorteil, daß durch die stochastische Überlagerung mehrere verschiedene effiziente Punkte bestimmbar sind, die entlang einer Linie im n-Raum (n: Dimension des Parameterraums) liegen und somit, bei ausreichend häufiger Wiederholung des Verfahrens, diese Linie mit effizienten Punkten deutlich markiert.
Im Rahmen einer Feinauslegung des technischen Systems, z.B. einer technischen Anlage, ist manchmal eine Einstellung gemäß den Vorgaben eines ermittelten effizienten Punkts (Parametervektor) nicht realisierbar. Ferner kann es sein, daß eine berechnete effiziente Einstellung in der Gesamtsicht aller Zielvorstellungen noch kein befriedigender Kompromiß ist. In solchen Fällen wird bevorzugt auf eine
Alternativlösung, also einen anderen effizienten Punkt, zurückgegriffen. Die Erfindung ermöglicht anhand oben beschriebener Ausgestaltung die automatische Generierung einer Menge von Alternativlösungen, deren jede im Hinblick auf die Einstellung oder Auslegung des technischen Systems bzw. der technischen Anlage eine effiziente Realisierung darstellt.
Eine Ausgestaltung der Erfindung besteht darin, daß die stochastische Größe gegeben ist durch
ε Bt, (5)
wobei ε eine für eine Skalierung vorgebbare Konstante und Bt eine Zufallszahl bezeichnen.
Zur Lösung der Aufgabe wird ferner eine Anordnung zum Entwurf eines technischen Systems angegeben, welches mehrere vorgegebene Zielfunktionen aufweist, wobei jede Zielfunktion von einer vorgegeben Menge von n Parametern beeinflußt wird und eine Wertebelegung der n Parameter in einem Parametervektor x zusammengefaßt ist. Die Anordnung umfaßt eine Prozessoreinheit, die derart eingerichtet ist, daß
a) für den Parametervektor x Gradienten aller Zielfunktionen bestimmbar sind; b) eine Suchrichtung derart bestimmbar ist, daß durch einen Schritt entlang der Suchrichtung die Zielfunktionen verbessert werden;
c) ein Parametervektor, der auf einem Pfad entlang der Suchrichtung liegt und Werte aller Zielgrößen verbessert, zum Entwurf des technischen Systems einsetzbar ist.
Diese Anordnung ist insbesondere geeignet zur Durchführung des erfindungsgemäßen Verfahrens oder einer seiner vorstehend erläuterten Weiterbildungen.
Ausführungsbeispiele der Erfindung werden nachfolgend anhand der Zeichnung dargestellt und erläutert.
Es zeigen
Fig.l einen Ablauf eines Verfahrens zum Entwurf eines technischen Systems;
Fig.2 eine Skizze, die einen Parameterraum mit Gradienten der Zielfunktionen darstellt;
Fig.3 eine Prozessoreinheit.
In Fig.l ist ein Blockdiagramm dargestellt, das Schritte eines Verfahrens zum Entwurf eines technischen Systems darstellt.
Das technische System ist beschreibbar durch zwei oder mehrere Zielfunktionen, deren jede von einer vorgegeben Menge n Parameter abhängt, welche Parameter in einem Parametervektor x zusammengefaßt sind. Eine Wertebelegung der Parameter wird als Wert des Parametervektor x bezeichnet. Dieser Wert des Parametervektors x stellt eine mögliche Belegung der Parameter κ\ , K2 , ..., xn dar. Bei den Parametern handelt es sich vorzugsweise um
Auslegungsparameter oder Betriebsparameter (Betriebspunkte) des technischen Systems, insbesondere einer technischen Anlage. Zur Ermittlung einer Wertebelegung für den Parametervektor x, der im Hinblick auf die Auslegung oder des Betriebs des technischen Systems ein effizienter Punkt (siehe obige Erklärung) ist, wird wie folgt verfahren:
In einem Schritt 101 wird ein Startwert für den Parametervektor XΪ vorgegeben. In einem Schritt 102 werden die Gradienten der Zielfunktionen für den Parametervektor XJ_ ermittelt. Anhand der durch die Gradienten vorgegebenen Richtungen wird in einem Schritt 103 eine Konvexkombination der Gradienten bestimmt. Ein durch diese Konvexkombination beschriebener Bereich umfaßt mehrere Punkte
(Parametervektoren) , aus denen der Punkt ermittelt wird, der den kleinsten Abstand zum Nullpunkt aufweist. Ein Vektor durch den Nullpunkt und den ermittelten Punkt gibt eine Richtung an (vgl. Schritt 104), entlang der mit einer vorgegebenen Schrittweite verfahren und dadurch der nächste Parametervektor x_i+ι bestimmt wird (vgl. Schritt 105). In Schritt 106 wird geprüft, ob eine Abbruchbedingung erfüllt ist. Die Abbruchbedingung ist vorzugsweise erfüllt, falls eine vorbestimmte Anzahl an Iterationsschritten ausgeführt worden ist. Dann wird das Verfahren in einem Schritt 107 beendet, ansonsten wird in einem Schritt 108 der nächste Parametervektor Xi+1 gleich dem Parametervektor XΪ gesetzt und zu Schritt 102 verzweigt.
Insbesondere wird in Schritt 103 die mit einer stochastischen Größe überlagerte Konvexkombination der Gradienten ermittelt und somit sichergestellt, daß in jedem Iterationsschritt eine skalierte Zufallsgröße auf die Richtung Einfluß nimmt. Dadurch ergeben sich für einen Startwert Xi unterschiedliche Parametervektoren, wobei mit hoher Wahrscheinlichkeit nach einer vorgegebenen Anzahl von Iterationsschritten der aus dem Verfahren resultierende Parametervektor in der Nähe bzw. auf einer Linie der effizienten Punkte liegt. Daher ist es möglich, Punkte dieser Linie durch wiederholte Anwendung des Verfahrens unter Berücksichtigung der stochastischen Größe zu erhalten. Die Anzahl der Wiederholungen ist schließlich maßgebend für die Auflösung der beschriebener Linie effizienter Punkte.
In diesem Zusammenhang sei bemerkt, daß es keine Rolle spielt, auf welche Art und Weise die Funktionswerte der Zielfunktionen ermittelt werden. So ist es möglich, daß ein rechnergestütztes Simulationsprogramm für ein komplexes technisches System einen Wert einer Zielfunktionen, abhängig vom Parametervektor x, bestimmt oder aber die Ermittlung des Funktionswertes analytisch erfolgt. Auch die Festlegung der Gradienten kann auf unterschiedliche Art erfolgen. Eine Möglichkeit ist der Einsatz numerischer Verfahren, eine andere die analytische Berechnung aufgrund gegebener mathematischer Zusammenhänge und eine weitere Möglichkeit ist das automatische Differenzieren.
Nachfolgend wird eine Einsatzmöglichkeit des Verfahrens näher erläutert.
Ein dem Parametervektor x nachfolgender Parametervektor xi+i wird bestimmt gemäß (4) unter optionalen Berücksichtigung der stochastischen Überlagerung der Suchrichtung gemäß (5) .
Dabei ist es alternativ möglich, anhand einer oben bezeichneten rechnergestützten Simulation eine Reihe von Werten für die Simulation des technischen Systems zu erhalten, wobei die Simulationswerte geeignet verarbeitet werden müssen, ehe der Wert der jeweiligen Zielfunktion erhalten wird. Mit den Werten der Zielfunktionen werden die Gradienten bestimmt, das oben beschriebene Verfahren läuft ab und es ergibt sich der nächste Parametervektor x_i+ι« Mit diesem nächsten Parametervektor XΪ+I werden wieder Simulationswerte ermittelt und wie oben weiterverarbeitet. Dies Schleife läuft für eine vorgegebene Anzahl Iterationen ab.
In jeder Iteration wird von dem jeweils aktuellen Parametervektor XΪ ein Weg (mit vorgegebener Schrittweite) zum jeweils nächsten Parametervektor x_+ι zurückgelegt. Durch die einzelnen Schritte ergibt sich ein Pfad, der von dem Startpunkt xo hin zu einem Endpunkt x^ (als letzter Parametervektor des oben beschriebenen Verfahrens) führt, falls m Iterationsschritte durchgeführt wurden.
Die als Suchrichtung verwendete Konvexkombination KK wird bestimmt, indem die Gradienten der Zielfunktionen ermittelt werden. Im folgenden Beispiel seien drei Zielfunktionen i\ , f2 und f3 angenommen. Numerisch oder analytisch ergeben sich die drei Gradienten
fi = gi
Vf2 = g2 (7) .
vf3 = §3
Jede Konvexkombination ergibt sich somit durch
KK = αigi + α2g2 + 0-393 (8a)
mit
αi, c-2, 0-3 > 0 (8b)
und
αι_ + o-2 + 0.3 = 1 (8c) .
Dir Richtung s entlang des Pfades wird bestimmt, indem das System aus (8a) , (8b) und (8c) gelöst wird, wobei die Richtung s durch den Nullpunkt und demjenigen Punkt aus dem Bereich der Konvexkombination bestimmt ist, der den kürzesten Abstand vom Nullpunkt aufweist. Damit zeigt s in die Richtung entlang oben definierten Pfades, auf dem in vorgegebener Schrittweite der nächste Parametervektor liegt.
Im Folgenden soll anhand einer Flüssigkeitspumpe für den Mittelvakuumbereich auf die Abhängigkeiten zwischen Parametern und Zielfunktionen eingegangen werden. Im Beispiel der Flüssigkeitspumpe sind die Zielgrößen
i. ein isothermischer Wirkungsgrad η in %,
m ii. ein Saugvermögen V in — ,
iii. ein Leistungsbedarf P in kW und
m iv. ein Betriebsflüssigkeitsbedarf Vp in
Die Flüssigkeitspumpe hängt von neun wichtigen Einflußgrößen (Parameter) ab:
Saugschlitzbeginn, Gehäuseverschiebung horizontal, Gehäuseverschiebung vertikal, Gehäuseradius, Nabensteigung, Gehäuseexztentrität, Drucksichelende,
Druckschlitz-Ventilabdeckung und B/D-Verhältnis.
Somit hängen bei der Flüssigkeitspumpe jede der Zielfunktionen i-iv von zumeist mehreren der Parameter a) bis i) ab. In diesem Fall beträgt die Dimension des Parametervektors n=9, die Gradienten der vier Zielfunktionen spannen eine Teilmenge im neundimensionalen Parameterraum auf. In diesem Bereich (Konvexkombination) ergibt sich die Suchrichtung mit oben bezeichneten Verfahren. Entlang der Suchrichtung folgt ein neuer Wert für einen Parametervektor, für den wiederum Zielfunktionswerte und deren Gradienten zu bestimmen sind.
Fig.2 zeigt einen zweidimensionalen (n=2) ι,X2~ Parameterraum, in dem ein Startpunkt (aktueller
Parametervektor) xn eingetragen ist. In Fig.2 soll anhand des Parameterraums geringer Dimension die Ermittlung der Suchrichtung s veranschaulicht werden.
Zu dem Startpunkt XQ 205 werden die Gradienten gj_ , §2 und §3 der Zielfunktionen fτ_, ±2 unc^ f3 ermittelt. Der Gradient g^ zeigt zu Punkt 201, §2 zu Punkt 202 und §3 zu Punkt 203. Die Dreiecksfläche, bestimmt durch die Punkte 201, 202 und 203, umfaßt alle Punkte der Konvexkombination. Es soll derjenige Punkt im Bereich der Konvexkombination (also in der besagten Dreiecksfläche) ermittelt werden, der zu dem Startpunkt xo 205 den geringsten Abstand aufweist. Diese Bedingung erfüllt der Punkt 204. Der Vektor von dem Startpunkt XQ 205 zu dem
Punkt 204 steht senkrecht auf der Verbindungslinie der Punkte 201 und 203. Der Punkt 204 ist der nächste Punkt
Figure imgf000015_0001
des Pfades zum effizienten Punkt für das zugrundeliegende technische System. In dem Punkt 204 sind wiederum die Gradienten der Zielfunktionen zu bestimmen und eine neue Suchrichtung nach beschriebenem Schema zu ermitteln.
In Fig.3 ist eine Prozessoreinheit PRZE dargestellt. Die Prozessoreinheit PRZE umfaßt einen Prozessor CPU, einen Speicher SPE und eine Input/Output-Schnittstelle IOS, die über ein Interface IFC auf unterschiedliche Art und Weise genutzt wird: Über eine Grafikschnittstelle wird eine Ausgabe auf einem Monitor MON sichtbar und/oder auf einem Drucker PRT ausgegeben. Eine Eingabe erfolgt über eine Maus MAS oder eine Tastatur TAST. Auch verfügt die Prozessoreinheit PRZE über einen Datenbus BUS, der die Verbindung von einem Speicher MEM, dem Prozessor CPU und der Input/Output-Schnittstelle IOS gewährleistet. Weiterhin sind an den Datenbus BUS zusätzliche Komponenten anschließbar, z.B. zusätzlicher Speicher, Datentspeicher (Festplatte) oder Scanner.

Claims

Patentansprüche
1. Verfahren zum Entwurf eines technischen Systems,
a) bei dem das technische System mehrere Zielfunktionen aufweist;
b) bei dem jede Zielfunktion von einer vorgegebenen Menge von n Parametern beeinflußt wird, wobei eine Wertebelegung der n Parameter in einem Parametervektor x zusammengefaßt ist;
c) bei dem für den Parametervektor x eine Suchrichtung derart bestimmt wird, daß durch einen Schritt entlang der Suchrichtung die Zielfunktionen verbessert werden.
d) bei dem ein Parametervektor, der auf einem Pfad entlang der Suchrichtung liegt, zum Entwurf des technischen Systems eingesetzt wird.
2. Verfahren nach Anspruch 1, bei dem die Suchrichtung durch folgende Beziehung bestimmt wird:
gi > 0,
wobei z die Suchrichtung und gi (i=l, 2, ... , k) die Gradienten der k Zielfunktionen bezeichnen.
3. Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, bei dem alle Zielfunktionen bei der Bestimmung der Suchrichtung berücksichtigt werden.
4. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, bei dem Konvexkombinationen der Gradienten ermittelt werden, wobei diejenige Konvexkombination bestimmt wird, die den kleinsten Abstand zum Nullpunkt aufweist.
. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, bei dem iterativ entlang der Suchrichtung der Pfad fortgesetzt wird gemäß der Vorschrift:
Figure imgf000018_0001
wobei σ eine Schrittweite und j einen Iterationsschritt bezeichnen.
6. Verfahren nach Anspruch 5, bei dem die Iteration solange fortgesetzt wird, bis eine Abbruchbedingung erfüllt ist.
7. Verfahren nach Anspruch 6, bei dem die Abbruchbedingung erfüllt ist, wenn der Nullpunkt im Bereich der Konvexkombination liegt.
8. Verfahren nach Anspruch 6, bei dem die Abbruchbedingung erfüllt ist, wenn eine vorgegebene Anzahl Iterationen durchgeführt worden ist.
9. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, bei dem der Parametervektor als Parameter Betriebspunkte und/oder Auslegungsparameter des technischen Systems umfaßt.
10. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, bei dem das technische System anhand des aus den gewonnenen Parametern realisiert oder angepaßt wird.
11. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, bei dem zusätzlich in Schritt c) der Gradient mit einer stochastischen Größe überlagert wird.
12. Verfahren nach Anspruch 11, bei dem die stochastische Größe gegeben ist durch ε Bt,
wobei ε eine für eine Skalierung vorgebbare Konstante und B eine Zufallszahl bezeichnen.
13. Anordnung zum Entwurf eines technischen Systems, das mehrere vorgegebene Zielfunktionen aufweist, wobei jede Zielfunktion von einer vorgegeben Menge von n
Parametern beeinflußt wird und eine Wertebelegung der n Parameter in einem Parametervektor x zusammengefaßt ist, mit einer Prozessoreinheit, die derart eingerichtet ist, daß
a) für den Parametervektor x Gradienten aller Zielfunktionen bestimmbar sind;
b) eine Suchrichtung derart bestimmbar ist, daß durch einen Schritt entlang der Suchrichtung die
Zielfunktionen verbessert werden;
c) ein Parametervektor, der auf einem Pfad entlang der Suchrichtung liegt, zum Entwurf des technischen Systems einsetzbar ist.
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