TWI762063B - 一種光學繞射元件光繞射效率可達近100%的設計方法 - Google Patents
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Abstract
本發明一種光學繞射元件光繞射效率可達近100%的設計方法，是針對由雙光學材料所構成的繞射式菲涅耳透鏡、所提出的一種光學設計的方法，主要包含有理論計算方程式、光學材料特徵參數的數據庫、電腦數值計算程序，並配合材料特徵參數的匹配原則、菲涅耳區域的高度的選用原則，可有效匹配兩光學材料間的材料特徵參數，達到近100%的繞射效率。
Description
本發明是屬於繞射光學元件(Diffractive Optical Element)技術領域，更明確地說，是針對一種對應於由兩種透明光學材料所構成的繞射式菲涅耳透鏡(Diffractive Fresnel Lens，以下簡稱DFL)，本發明提出一種光繞射效率可達近100%的設計方法，以滿足快速且正確提供兩光學材料特徵參數匹配的目的。
如圖1所示，傳統單片菲涅耳透鏡10的幾何結構的構成。過去，為了光學透鏡的薄化，對於半徑為R、且折射率為n(λ)的球面鏡1(注：透明光學材料折射率為入射光波長的函數，如後敘)，利用等光程差(Equal Optical Path Difference)的原理，從球心起、沿徑向方向，切削去除以h為單位的高度，如圖1所示，從4h到1h，以構成複數個具同心圓的菲涅耳區域(Fresnel Zone，以下簡稱FZ)10a。
該單片DFL10是置放於大氣中，換言之，是被折射率等於1的空氣所包覆時，且當h的路徑長具有(n-1)h為入射光波長λ的整數倍關係時，即(n-1)h=pλ(其中，p=正整數)，對於垂直入射於不同徑向位置上的平面波(Plan Wave)而言，扣除2pπ相位後，該平面波的相位(phase)保持不變。是以，可達到與傳統球面鏡同樣的光學效應。所謂的繞射式菲涅耳透鏡，一般是指p=1。
另外，根據Dale A.Buralli等所發表的DFL的基本繞射光學理論[1]，對於該DFL 10徑向上的FZ 10a結構，具有以下的關係：
D=2r max (4)
其中，ri為第i個FZ、f0為設計焦距(design focal length)、λ0為設計波長(design wavelength)、Λi為第i個FZ與第i+1個FZ間的間距、h為FZ高度(對於設計波長λ0的入射光，可產生正整倍數的2π相位差、並滿足繞射效率100%)、D為FZ的直徑、rmax為最外圍FZ的半徑。
如圖2所示，為傳統單片DFL色散現象的示意圖。所謂色散(dispersion)現象，即對於不同波長的入射光、光學材料的折射率會造成不同角度的折射作用。對於平行入射光源11(如可見光的白色光源、一般、定義波長從400nm-700mm為白光的頻譜)，經過該單片DFL10的光繞射作用後，因構成該單片DFL10的材料折射率n具有色散的特性，對於各種不同波長的單色入射光源12、13、14，以長波長至短波長的次序(如紅光12、到綠光13、再到藍光14)、依次聚焦於光軸15上的不同的焦點12a、13a、14a。另外，根據DFL的基本繞射光學理論[1]，該單波長光源12、13、14的繞射焦點與效率，可由以下公式決定：
其中，λ0為設計波長、f 0為設計焦距、λ為波長、f為焦距、n為繞射階數(diffraction order)、η為繞射效率(diffraction efficiency)、α為偏移參數(detuning factor)、n(λ)是波長為λ時的材料折射率、n(λ0)是波長為λ0時的材料折射率。
對於單片DFL10，令採用的光學材料為PMMA(Microchem 495 PMMA resist[2])、對於設計波長λ0=0.587μm，透過公式(3)、(6)、(7)，可計算出FZ高度h=1.17μm、且繞射階數為n=1、2、3時，繞射效率η(λ)與入射光波長λ的
關係，如圖3所示。計算結果顯示，於可見光區域(spectrum of visible light)、大部分的白光入射光11的繞射能量、集中於繞射階數n=1、少部分的繞射能量則分布於繞射階數n=2、3(含更高繞射階數n、未計算圖示)。另外，根據公式(6)、(7)，對於繞射階數n=1、只有入射光波長為設計波長λ0=0.587μm時，可得100%的繞射效率，對於其他波長的繞射效率，則根據公式(6)衰減。
另外，對於整體繞射效率的評估、一般是取頻譜分布的平均值，如下公式：
代入可見光頻譜λ1=0.4μm、λ2=0.7μm，可得n=1時、
；
n=2時、
；n=3時、
；而n=1至n=3的總加繞射效率為
。亦即，還有相當部分的入射光，被轉入其他較高繞射階數(n>3)中。
對於繞射階數n=1且繞射FZ高度h=1.17μm而言，消失約15%的入射光能量，這些光變成了散失光(stray light)，最終，造成DFL 10成像品質的惡化。
另外，於不同繞射階數下，具不同波長的入射光、根據公式(5)、也會呈現對應不同區段的焦距。如圖4(a)所示，n=1時(即α=1)，上述具不同波長的單色入射光源12、13、14，對應不同波長的焦點12a、13a、14a。如圖4(b)所示，n=2時(即α=2)，上述具不同波長的單色入射光源12、13、14，對應不同波長的焦點12b、13b、14b。如圖4(c)所示，n=3時(即α=3)，上述具不同波長的單色入射光源12、13、14，對應不同波長的焦點12c、13c、14c。
對於上述繞射階數n=1時，繞射效率只有約85%、無法達到100%的缺失，其解決方案，首見於1999年，由Kenneth J.Weible等所發表的論文中[3]。該論文中，如圖5(a)所示，提出由玻璃(Schott BaF52 glass)21、與PC(polycarbonate)22雙光學材料所構成的閃耀光柵(blazed grating)20，因這兩材料的折射率差
△n(λ)=n1(λ)-n2(λ)、可滿足△n(λ)/λ近似常數(constant)的條件、亦即、該兩材料的折射率差、具有與波長成正比的關係時，如圖5(b)所示，可改善繞射階數n=1(即α=1)的繞射效率。
事實上，如後述、當所有波長下的折射率差都滿足△n(λ)/λ=constant的條件時，可將繞射階數n≧2(即α≧2的整數)的入射光的能量，全部轉入繞射階數n=1，達到可見光頻譜內所有波長的繞射效率皆為100%的目的。
以下，借用該玻璃21[4]、與PC 22[5]兩透明光學材料，可使用玻璃以構成一由單一材料所構成的繞射式菲涅耳透鏡10(Single-Materials Composed Diffractive Fresnel Lens，簡稱SM-DFL)、如圖6(a)所示。另外，也可使用玻璃21、與PC 22、以構成一由雙光學材料所構成的繞射式菲涅耳透鏡30(Two-Materials Composed Diffractive Fresnel Lens，簡稱TM-DFL)，如圖7(a)所示。
首先，通過理論計算，可比較兩者間平均繞射效率的差異。
對於以玻璃構成的SM-FDL 10，透過公式(6)、(7)、(8)、可計算取得其繞射效率η(λ)與平均繞射效率
~84.9%，如圖6(b)所示。
另外，對於TM-DFL的繞射效率，可以下列公式(10)取代公式(7)。
並將該玻璃21、與PC 22兩材料的折射率、代入上述相關公式中、可計算並取得η(λ)與平均繞射效率
，如圖7(b)所示。雖然，TM-DFL的結構可改善傳統DFL的繞射效率，但因折射差△n(λ)、尚無法完美地滿足與波長成正比的需求，是以，無法達到理論100%的繞射效率。
事實上，Andrew Wood等人的論文中[6]、曾清楚指出，採用自然界既存的材料以構成傳統SM-DFL時、公式(7)中的偏移參數α，對於偏移設計
波長λ0的其他波長的入射光，難以達到α=1需求，也就是折射率差△n(λ)無法地滿足與波長成正比的關係時，平均繞射效率會大幅下降。另外，如前述、如Kenneth J.Weible等所找到常用的玻璃21、與PC 22兩材料，雖然平均繞射效率已可從84.9%提高至94.3%，但離理論上可能的100%的繞射效率[7]，尚有改善空間。
對此，為了克服上述的問題，由DANIEL WERDEHAUSEN所領導的德國蔡司(Zeisss)團隊，於最近2019年的論文中[8]，提出以”色差可工程化的奈米複合材料(Dispersion-engineered nanocomposites)”取代傳統材料，可人工產生折射率差△n(λ)滿足與波長成正比的要求。
所謂奈米複合材料，如圖8(a)、圖8(b)所示，是對於既有的高分子材料中，如PMMA(poly(methyl methacrylate))、COP(cyclic olefin copolymer)、PC(polycarbonate)、PS(polystyrene)等(如圖中的藍色星號)，添加適當體積比率(volume fraction)、且直徑小於5nm的奈米顆粒，如Diamond、ZrO2、TiO2、ITO(indium tin oxide)、AZO(aluminum-doped zinc oxide)等，可調變出光學材料特徵參數(Characteristic Parameters of Optical Material)nd、vd、Pg,F不存在於自然界的新材料(如圖中的菊色點)，並使得該新材料所構成的Abbe diagram(如圖8(a))、與partial dispersion diagram(如圖8(b))，可具有大範圍調變的分布值(如圖中的粉紅色的區域)。例如，於高分子材料PC中、加入不同體積比率的TiO2奈米顆粒，對於nd-vd、可調配出17<vd<28、1.6<nd<1.85的分布範圍；對於PgF-vd則、可調配出17<vd<28、0.58<PgF<0.65的分布範圍。
另外，DANIEL WERDEHAUSEN團隊，於另一篇2020年的論文中[9]，對於TM-DFL的材料折射率的匹配，提出一種光繞射效率可大於99.9%的設計方法。該方法，如圖9(a)、9(b)所示，主要是先選定材料1(如圖中的MAT.1)，亦即先選定材料1的材料參數，如nd,1=1.8、vd,1=60、Pg,F,1=0.55後，再用映射(mapping)的方法、大範圍調變材料2的材料參數nd,2、vd,2、Pg,F,2、以計算出平均
繞射效率
的分布圖。
其中，圖9(a)的
是nd,2、vd,2的函數、可定義為
(n d,2 ,v d,2)mat1，該函數右下角的mat1，代表材料1的材料參數nd,1、vd,1、Pg,F,1是固定不變值。另外，圖9(b)的
是Pg,F,2、vd,2的函數、可定義為
(P g,F,2 ,v d,2)mat1，該函數右下角的mat1，代表材料1的材料參數nd,1、vd,1、Pg,F,1是固定不變值。
該映射方法的主要特徵，是大範圍調變材料2的材料參數nd,2、vd,2、Pg,F,2，以計算出
(n d,2 ,v d,2)mat1與
(P g,F,2 ,v d,2)mat1後，找出可對應於繞射效率近100%的nd,2、vd,2、Pg,F,2，的分布值(如圖中的黑色虛線)。最終，可比對奈米複合材料的材料參數nd、vd、Pg,F，即nd-vd、Pg,F-vd材料參數分布圖中，選出最適當的MAT.2材料，達到光學材料特徵參數最佳匹配的目的。
另外，對圖9(a)中繞射效率近100%的黑色虛線，可用擬合(fitting)的方法，取得一自然指數函數，以呈現nd,2、與vd,2的關係，如下：
其中，a=1.839、b=0.9919、c=0.8782。另外，為了取得a、b、c與MAT.1材料參數的關係，如圖9(c)所示，對於計算取得同一函數中的a、b、c三個未知數，於數學上求解的基本方法，是至少存三個如式(11)的曲線函數，才可能計算取得a、b、c的解，如下：a(n d,1)=1.071n d,1-0.07825 (12)
綜上所述，針對TM-DFL的光學材料特徵參數的匹配，前述述論文中所提出光繞射效率可達近100%的設計方法，主要缺失的特徵，如下：一、映射方法，是透過地毯式的大量計算，只能呈現對應局部、且單一的Abbe與Partial Dispersion特徵曲線(個別對應於前述圖9(a)、圖9(b)的黑色虛線)，缺乏效率與精
度。二、繞射效率近100%的Abbe特徵曲線，採用曲線擬合(Curve Fitting)的方式，如公式(11)所示，以特殊的自然指數函數、且具1/3冪次(power)作為擬合曲線，來描述繞射效率近100%的Abbe特徵曲線。除無法精確擬合外(即產生誤差)，也非廣義的方程式(Formula)，難以提供定性解析(Qualitative Analysis)，所謂”定性解析”，是指無需進行大量數值計算、即可透過方程式做泛用性的理論方程式，以清楚分析各參數變化帶給系統的變異、以掌握系統的物理行為(physical behavior)。三、繞射效率近100%的Abbe特徵曲線的三個係數，只含材料1的nd係數，無法了解與材料1的vd與Pg,F間的關係。四、繞射效率近100%的Partial Dispersion特徵曲線，無擬合曲線，也就無從得知兩材料特徵參數間的關係，更無法提供定性解析。
前述引用參考資料如下：[1]Dale A.Buralli,etc.,Optical performance of holographic kinoforms”,APPLIED OPTICS/Vol.28,No.5/1 March 1989。[2]Microchem 495 PMMA resist,https：//refractiveindex.info/？shelf=other&book=pmma_resists&page=Microchem495。[3]Kenneth J.Weible,etc.,“Achromatization of the diffraction efficiency of diffractive optical elements”,Proc.SPIE 3749,18th Congress of the International Commission for Optics,19 July 1999。[4]Schott BaF52 glass,https：//refractiveindex.info/？shelf=organic&book=polycarbonate&page=Sultanova。[5]PC(Polycarbonate),https：//refractiveindex.info/？shelf=organic&book=polycarbonate&page=Sultanova。
[6]Andrew Wood,etc.,“Infrared hybrid optics with high broadband efficiency”,Proceedings of SPIE Vol.5874(SPIE,Bellingham,WA,2005)。[7]B.H.Kleemann,etc.,“Design concepts for broadband high-efficiency DOEs”,Journal of the European Optical Society-Rapid Publications 3,08015(2008)。[8]DANIEL
WERDEHAUSEN,etc.,“Dispersion-engineered nanocomposites enable achromatic diffractive optical elements”,Optical Society of America,2019。[9]DANIEL WERDEHAUSEN,etc.,“General design formalism for highly efficient flat optics for broadband applications”,Vol.28,No.5/2,Optics Express,March 2020。
對於TM-DFL繞射效率近似100%的特徵曲線，相較於上述以映射方法為基礎的缺失，本發明透過理論公式的推導與建立，更明確地說，是根據Cauchy's equation、Abbe number、Partial dispersion、與菲涅耳透鏡的繞射理論，所推導出繞射效率近100%的特徵曲線公式，可達到有效且精確材料特徵參數，匹配雙光學材料間的材料特徵參數，並滿足泛用解析的目的，解決前述習知設計方法的缺失。
1:球面鏡的曲面
10:單片DFL
10a:菲涅耳區域
11:平行入射白色光源
12、13、14:不同波長的單色入射光源
12a、13a、14a:n=1時，對應不同波長的焦點
12b、13b、14b:n=2時，對應不同波長的焦點
12c、13c、14c:n=3時，對應不同波長的焦點
15:光軸
20:閃耀光柵
21:玻璃
22:PC
30:由雙光學材料所構成的繞射式菲涅耳透鏡
50:光學繞射元件光繞射效率可達近100%的設計方法
60:理論計算方程式
70:光學材料特徵參數的數據庫
80:電腦數值計算程序
為了對本發明之實施例及其優點有更完整之理解，現請參照以下之說明並配合相應之圖式。必須強調的是，各種特徵並非依比例描繪且僅係為了圖解目的。相關圖式內容說明如下：圖1所示，傳統單片DFL幾何結構構成的示意圖。
圖2所示，傳統單片DFL色散現象的示意圖。
圖3所示，繞射效率η與入射光波長λ、繞射階數n關係的示意圖。
圖4(a)所示，n=1時、入射光波長與對應焦點的示意圖。
圖4(b)所示，n=2時、入射光波長與對應焦點的示意圖。
圖4(c)所示，n=3時、入射光波長與對應焦點的示意圖。
圖5(a)所示，blazed grating構成的示意圖。
圖5(b)所示，blazed grating繞射效率與入射光波長關係的示意圖。
圖6(a)所示，由SM-D結構構成的示意圖。
圖6(b)所示，SM-DFL繞射效率與入射光波長關係的示意圖。
圖7(a)所示，由兩個折射率材料所構成的繞射式菲涅耳透鏡(TM-DFL)的示意圖。
圖7(b)所示，TM-DFL繞射效率與入射光波長關係的示意圖。
圖8(a)所示，包含由高分子材料、奈米顆粒、與奈米複合材料所構成Abbe diagram的示意圖。
圖8(b)所示，包含由高分子材料、奈米顆粒、與奈米複合材料所構成partial dispersion diagram的示意圖。
圖9(a)所示，習知用映射與擬合方法的Abbe diagram的示意圖。
圖9(b)所示，習知用映射與擬合方法的partial dispersion diagram的示意圖。
圖9(c)所示，含奈米複合材料的Abbe diagram的示意圖。
圖10(a)所示，本發明TM-DFL全域性繞射效率近100%的Abbe特徵曲線的示意圖。
圖10(b)所示，本發明TM-DFL全域性繞射效率近100%的Partial Dispersion的示意圖。
圖10(c)所示，本發明TM-DFL聚焦與發散特性的示意圖。
圖11(a)所示，為vd,1=50、40、30；nd,1=2.0、1.9、1.8、1.7、1.6、1.5時、nd,2(vd,2)的示意圖。
圖11(b)所示，為vd,1=50；Pg,F,d,1=0.7、0.55、0.35時、Pg,F,d,2(vd,2)的示意圖。
圖11(c)所示，為vd,1=30；Pg,F,d,1=0.7、0.55、0.35時、Pg,F,d,2(vd,2)的示意圖。
圖12所示，本發明一種光學繞射元件光繞射效率可達近100%的設計方法的示意圖。
圖13所示，本發明數值計算程序的示意圖。
以下結合附圖和實施例，對本發明的具體實施方式作進一步描述。以下實施例僅用於更加清楚地說明本發明的技術方案，而不能以此限制本發明的保護範圍。
對於單片DFL光學理論，如前述的理論公式(1)-(9)，可完整描述繞射效率與入射光波長、材料折射率間的關係。其中，公式(1)-(4)，可提供菲涅耳透鏡的幾何形狀的設計；公式(5)-(7)，則提供入射光經SM-DFL作用後、焦距與繞射效率的結果；公式(8)-(9)則提供整體繞射效率的評估。
其中，公式(3)裡的h，是FZ高度，對入射光而言，這個高度是光路徑長(Optical Path Length,OPD)，乘上折射率差△n=n-1後，需等於入射光的設計波長λ0，最終，決定了2π的相位延遲，這也是100%光繞射的必要條件。另外，折射率差△n裡的”1”、是空氣的折射率。亦即，入射光通過SM-DFL後，直接接觸空氣。因為空氣折射率幾乎與入射光波長無關，無法滿足產生△n(λ)與入射光波長λ成正比的關係，最終導致波長偏離設計波長λ0的其他光源，產生繞射效率下降的現象。為此，TM-DFL採用雙光學材料以克服上述空氣折射率所造成的缺失。是以，對於公式(3)、必須如下修改，才能於入射光的設計波長λ0下，以產生2π的相位延遲。
另外，對於公式(6)中的偏移參數α，於採用TM-DFL的雙光學材料結構時，也需修改，如公式(10)所示。基於實務面、對於雙光學材料的採用、存在有以下要求：(1)透明光學材料、(2)符合量產性與經濟性、(3)△n(λ)與入射光波長λ要能滿足成正比的關係。由於，存在自然界既有的透明材料的材料特性，難以滿足上述所有條件，尤其是條件(3)。是以，奈米複合材料因應而生。
以下，說明本專利的核心，即如何應用Cauchy's equation、Abbe number、Partial dispersion與菲涅耳透鏡的繞射理論，以推導出繞射效率近100%
的特徵曲線函數。
當TM-DFL的應用是定位於影像顯示(Imaging Display)領域時，入射光的頻譜為可見光，其波長的範圍定義為400-700nm(或0.4-07μm)，對應可見光頻譜的光學材料、基本上需透明，如玻璃、高分子材料、與奈米複合材料等。
關於對應於可見光頻譜的透明光學材料的折射率，一般，可用Cauchy's equation來計算取得折射率n(λ)，如下公式(16)：
其中，n(λ)是依存於光波長的折射率，λ是真空中的光波長，A、B、C是係數。另外，對於透明光學材料的色散(dispersion)現象，可用Abbe number與Partial dispersion來定義，如下：
其中，nd、nF、nC、ng為材料對應於d、F、C、g夫朗和斐譜線(Fraunhofer lines)的折射率，其個別對應的光波長為：λd=587.56nm、λF=486.13nm、λC=656.28nm、λg=435.83nm。首先，將nd、nF、nC、ng與λd、λF、λC、λg代入公式(16)，如下：
可解出係數A、B、C，如下：
其中，
公式(23)-(25)的Cauchy's equation的係數A、B、C，清楚呈現光學材料的折射率與光色散的關係，即A、B、C是nd、vd、Pg,F的函數。
接下來，說明本專利的核心，即如何將材料相關的Cauchy's equation、Abbe number、Partial dispersion與菲涅耳透鏡的繞射理論連結，以推導出繞射效率近100%的特徵曲線函數。
如前述，公式(6)為廣義的繞射效率公式、而公式(10)則定義TM-DFL的偏移參數α，為折射率差△n(λ)的函數。對於所有可見光頻譜中的波長，即400nm-700nm，其繞射能量都要集中於繞射階數n=1的需求下，即對所有波長的繞射效率都要達100%的要求下、且要滿足FZ高度△n(λ)h/λ=2π的條件時，根據公式(10)與(15)、令α=1、λ0=λd，可得：
是以，與展開公式(30)，可得：
公式(30)-(31)，可視為對應於所有入射光波長、TWFDL可產生效率近100%的繞射條件。根據公式(17)、令材料2的Abbe number vd,2，如下：
其中，nd,2、nF,2、nC,2為材料2對應於d、F、C夫朗和斐譜線的折射率。將公式(30)、(31)代入公式(32)並整理，可得：
其中，nFC,1=nF,1-nC,1、λFC=λF-λC，nd,1、nF,1-nC,1為材料1對應於d、F、C夫朗和斐譜線的折射率。由於nFC,1等於nF,1-nC,1，乘上(nd,1-1)/(nd,1-1)，可變成下式：
將公式(34)代入公式(33)，可得：
其中，nd,1為材料1對應於d夫朗和斐譜線的折射率，vd,1為材料1的Abbe number。是以，公式(33)、(35)皆為本發明TM-DFL繞射效率近100%的等效Abbe特徵曲線，具同樣的計算結果。但公式(35)、可更清楚描述TM-DFL材料2與材料1的關係，更正確地說，nd,2為vd,2、vd,1、nd,1、nFC,1、λF、λC、λd的函數，可定義公式(35)為廣義方程式，如下：n d,2≡n d,2(v d,2，v d,1，n d,1，λ d ，λ F ，λ C ) (36)
不同於前述習知的映射方法，本發明的繞射效率近100%的Abbe特徵曲線，無須透過地毯式的大量計算，可精確且立即計算並繪製出繞射效率近100%的Abbe diagram。
另外，根據公式(18)、令材料2的Partial dispersion Pg,F,2，如下：
其中，ng,2、nF,2、nC,2為材料2對應於g、F、C夫朗和斐譜線(Fraunhofer lines)的折射率。將公式(30)、(31)代入公式(37)並整理後，可得：
其中，λgF=λg-λF、nd,12=nd,1-nd,2。同樣地，將公式(34)代入公
式(38)，可得：
是以，公式(38)、(39)皆為本發明TM-DFL繞射效率近100%的等效Partial Dispersion特徵曲線，具同樣的計算結果。但公式(39)、可更清楚描述TM-DFL材料2與材料1的關係，更正確地說，Pg,F,2為vd,2、nd,2、Pg,F,1、vd,1、nd,1、λF、λg、λd的函數，可定義公式(37)為廣義方程式，如下：P g,F,2≡P g,F,2(v d,2，n d,2，P g,F,1，v d,1，n d,1，λ d ，λ g，λ F ) (40)
不同於前述習知的映射方法，本發明的繞射效率近100%的Partial Dispersion特徵曲線，無須透過地毯式的大量計算，可精確且立即計算並繪製出繞射效率近100%的Partial Dispersion diagram。
如前述，所謂定性解析，即針對公式(36)、與(40)中的一變數，做偏微分計算，即可取得該變數的微量變化，所造成△nd2、△Pg,F,2的變化，如下：
當然，公式(41)、(42)中，也可增加對d、F、C、g夫朗和斐譜線的所個別對應的光波長λd、λF、λC、λg做偏微分計算，取得以夫朗和斐譜線為變數的△nd2、△Pg,F,2微量變化。
綜上所述，對於TM-DFL的光學領域，相較於前述習知論文中[9]所提的mapping與fitting方法，本發明的方法，無需作地毯式的大量計算，即可取得繞射效率近100%的Abbe、Partial Dispersion特徵曲線、並提供全域性的定性解析。以下，針對上述習知的設計方法所得的結果、與本發明的方法的計算結果，作一實際數值差異的比較。
根據該論文[9]中所舉的實例(p5-p7)，對於已知材料1、具有材料參數：nd1=1.8、vd,1=60、Pg,F,1=0.55，經mapping與fitting的大量計算後，可於繪製Abbe、Partial Dispersion diagram後，如圖9(a)、9(b)所示，取得可繞射效率接近100%的材料2的特徵曲線(黑色虛線)，並從該虛線中取出材料2的材料參數，可為：nd2=1.7、vd,2=15.2、Pg,F,2=0.3。
相較於本發明基於理論導出的廣義方程式，即繞射效率近100%的Abbe特徵曲線(如公式(35))、Partial Dispersion特徵曲線(如公式(39))，兩種方法所得到的差異，如圖10(a)、10(b)所示。
如圖10(a)所示，為本發明Abbe特徵曲線，其中，黑色實心線是本發明公式計算的結果，該曲線上的任一點，都是具近100%的繞射效率(即大於99.95%)。相較下，黑色實虛線是前述習知mapping與fitting後的結果(如公式(11))。顯而易見、當vd,2越小時、差異越大，如取兩者間的差異的平均值、可得為0.0064。對折射率的實測而言，這數值已足夠大到可被輕易量測(注：市售的阿貝折光儀(Abbe refractometer)的量測精度是0.0002)。換言之，習知mapping與fitting的方法，會產生明顯的誤差。
如圖10(b)所示，為本發明Partial Dispersion特徵曲線，其中，黑色實心線是本發明公式計算的結果，Pg,F,2對於vd,2、呈直線分布，且可證明直線的斜率(slope)△Pg,F,2/△vd,2=常數(constant)。對此，前述習知mapping後、並無提出線性的說明。
另外，如圖10(c)所示，為本發明FZ高度h的特徵曲線，其中，當vd,2>60時，h<0；vd,2<60時，h>0；vd,2=60時，h=∞。根據公式(35)，可清楚當vd,2=vd,1=60時，nd,2=nd,1=1.8、亦即、TM-DF的材料1、及材料2、由同一材料所購成，FZ高度h逼近無限大。
另外，當vd,2>60時、nd,2>nd,1，如圖10(a)所示，對於入射光而
言，TM-DFL不再具有聚焦的能力、反而成為發散透鏡。是以，於入射光是入射於TW-DFL材料1的條件下，必需令nd,1>nd,2，即需選擇vd,2<60的nd,2，TW-DFL才能具有聚焦的特性。同時，於vd,2<60的條件下，如圖10(b)所示，會得到Pg,F,2<Pg,F,1的關係。對此、述習知mapping與fitting的方法，是無法以泛用的方程式來解析、並呈現此光學特徵，以提供材料選定的基本原則，即nd,1>nd,2、與Pg,F,2<Pg,F,1(令此為材料特徵參數的匹配原則)。另外，當vd,2=0時，根據公式(33)，可得nd,2=1，即可視材料2為空氣。
如前述，因本發明可提供不同FZ高度h，對於FZ高度h地選定原則，是當材料的吸收係數過大時、即吸收係數乘上FZ高度h，如造成穿透率惡化時，則必需限制FZ高度h、以滿足高亮度的需求(例如：大於90%)，令此為菲涅耳區域的高度h的選用原則。很清楚、這是上述習知的方法中，不具有的特徵。
另外，對於TM-DFL的光學領域，說明本發明的方法所提供全域性的定性解析。所謂全域性，是指Abbe diagram、Partial Dispersion diagram上，所顯示材料2的nd,2(vd,2)、Pg,F,,2(vd,2)曲線、皆具有近100%的繞射效率。很清楚、這是上述習知的方法，不具有的特徵。
如前述，對於分布於可見光頻譜的所有入射光波長，本發明的公式(35)、(39)，可清楚描述材料1、與材料2間的材料匹配，使得TM-DFL可產生效率近100%的繞射，該公式(35)具有以下的特徵：特徵1：nd,2(vd,2)為材料1的nd,1、vd,1的函數。於材料2的Abbe diagram中、繞射效率近100%的材料2的特徵曲線nd,2(vd,2)、只與材料1的nd,1、vd,1有關、但與Pg,F,1無關。如圖11(a)所示，為vd,1=50、40、30；nd,1=2.0、1.9、1.8、1.7、1.6、1.5時、nd,2(vd,2)的示意圖。特徵2：Pg,F,d,2(vd,2)為材料1的Pg,F,d,1、vd,1的函數。於材料2的Partial Dispersion diagram中、繞射效率接近100%的材料2的特徵曲線Pg,F,d,2(vd,2)、只與材料1的vd,1、Pg,F,d,1有關、但與nd,1無關。如圖11(b)-11(c)所示，為vd,1=50、30；Pg,F,d,1=0.7、0.55、0.35時、Pg,F,d,2
(vd,2)的示意圖。
綜上所述，如圖12所示，本發明一種光學繞射元件光繞射效率可達近100%的設計方法50，是針對由雙光學材料所構成的繞射式菲涅耳透鏡30、所提出的一種光學設計的方法，可有效匹配雙光學材料的材料特徵參數，達到近100%的繞射效率。主要包含有理論計算方程式60、光學材料特徵參數的數據庫70與、電腦數值計算程序80。
其中，該理論計算方程式60，是以菲涅耳透鏡的繞射理論為基礎、將材料的Cauchy's equation、與光學色散特徵的Abbe number、Partial dispersion作連結，以推導出繞射效率近100%的Abbe number特徵曲線公式、Partial dispersion特徵曲線公式。
更明確地說，首先，根據選用材料1的已知材料特徵參數nd,1,vd,1,Pg,F,1，使用Cauchy公式(16)、(23)-(29)、可計算材料1的nd,1(λ)、並取得ng,1、nF,1、nC,1。
其次，使用公式(31)與(32)、以導出公式(33)，之後，將公式(34)代入公式(33)、可導出公式(35)，亦即，公式(33)、公式(35)為等效公式、可計算材料2的Abbe特徵曲線nd,2(vd,2)。
其次，使用公式(31)與(37)、以導出公式(38)，之後，將公式(34)代入公式(38)、可導出公式(39)，亦即，公式(38)、公式(39)為等效公式、可計算材料2的Partial dispersion特徵曲線Pg,F,2(vd,2)。最終，將計算取得的nd,2(vd,2)與Pg,F,2(vd,2)、與nd,1代入公式(30)、可計算FZ的高度h(nd,1,nd,2)。
當然，對於上述理論方法所計算出任何一組材料2的nd,2、Pg,F,2、vd,2，是否可完美匹配材料1的nd,1、Pg,F,1、vd,1，並滿足近100%的繞射效率，其驗證方法，如下：對於任一組nd,2、Pg,F,2、vd,2，同樣使用Cauchy公式(16)、(23)-(29)、以計算取得材料2的nd,2(λ)後，將nd,1(λ)、nd,2(λ)與代入公式(10)、可計算出α(λ)，
最終、可根據公式(6)、(8)，計算出繞射階數n=1時、平均繞射效率約皆為約99.95%，這即證明本發明的理論方法所產生材料2的Abbe特徵曲線nd,2(vd,2)、與Partial dispersion特徵曲線Pg,F,2(vd,2)，該曲線上的任一點(nd,2、Pg,F,2、vd,)、所對應的繞射效率都滿足近100%的目標。
至於造成0.05%繞射效率的差距，亦可證明原因為：用以產生nd,2(λ)的Cauchy公式(16)、只擬合至波長的4次方，nd,2(λ)會產生些許的誤差，是因忽略更高階項。另外，基於繞射效率100%理論公式(31)、可直接產生nd,2(λ)、並帶入公式(6)、(8)，確認可得100%繞射效率。另外，如果再針對上述個別由公式(16)、(31)所產生折射率，計算兩者間產生折射率差(取絕對值)的平均值，約為0.0003。如前述，0.0003值已接近Abbe refractometer的量測精度0.0002、且遠小於習知mapping與fitting方法的誤差值0.0064。是以，本發明所產生的0.05%的誤差，是可接受且忽略的誤差值。
另外，對於光學材料特徵參數的數據庫70，主要是由各種透明光學材料的材料特徵參數nd,vd,Pg,F、以及材料吸收係數所構成的資料庫，該透明光學材料，是包含玻璃、高分子、奈米複合等材料。
另外，對於電腦數值計算程序80，是由該理論計算方程式60、與光學材料特徵參數的數據庫70所構成的電腦數值計算程序。如圖13所示，主要包含以下的程序：
步驟1：設定材料1的材料參數(nd,1,vd,1,Pg,F,1)。步驟2：確認(nd,1,vd,1,Pg,F,1)是否存在於材料數據庫70，如是：至步驟3，如非：至步驟1、並改變材料1的材料參數。步驟3：根據公式(16)、(23)-(29)、計算材料1的nd,1(λ)。步驟4：根據公式(35)、計算材料2的nd,2(vd,2)。
步驟5：根據公式(39)、材料2的Pg,F,2(vd,2)。步驟6：根據公式(30)、計算h(nd,1,nd,2(vd,2))。步驟7：基於材料特徵參數的匹配原則、菲涅耳區域的高度
h的選用原則，將nd,2(vd,2)、Pg,F,2(vd,2)、h(nd,1,nd,2(vd,2))與材料數據庫70做比對。
步驟8：確認並選出最佳nd,2、vd,2、Pg,F,2、h；如是(存在最佳材料2的材料參數)：結束本程序；如非：至步驟1、並改變材料1的材料參數。
綜上所述，本發明一種光學繞射元件光繞射效率可達近100%的設計方法，是針對由雙光學材料所構成的繞射式菲涅耳透鏡、所提出的一種光學設計的方法，主要包含有理論計算方程式、光學材料特徵參數的數據庫、電腦數值計算程序，並配合該材料特徵參數的匹配原則、菲涅耳區域高度h的選用原則，可有效匹配兩材料間的材料特徵參數，達到近100%的繞射效率。
雖然本發明已以實施方式揭露如上，然其並非用以限定本發明，在本發明所屬技術領域中任何具有通常知識者，在不脫離本發明之精神和範圍內，當可作各種之更動與潤飾，因此本發明之保護範圍當視後附之申請專利範圍所界定者為準。
50:光學繞射元件光繞射效率可達近100%的設計方法
60:理論計算方程式
70:光學材料特徵參數的數據庫
80:電腦數值計算程序
Claims (9)
- 一種光學繞射元件光繞射效率可達近100%的設計方法，是針對由雙光學材料所構成的繞射式菲涅耳透鏡、所提出的一種光學設計的方法，包含有：一理論計算方程式，是針對材料1的材料特徵參數nd,1,vd,1,Pg,F,1，以菲涅耳透鏡的繞射理論為基礎、將材料折射率的Cauchy's equation、與光學色散特徵的Abbe number、Partial dispersion作連結，以計算繞射效率近100%的繞射式菲涅耳透鏡的材料2的Abbe number特徵曲線nd,2(vd,2)、Partial dispersion特徵曲線Pg,F,2(vd,2)、與菲涅耳區域高度h(λd,nd,1,nd,2)；一光學材料特徵參數的數據庫，是由各種透明光學材料的材料特徵參數(nd,vd,Pg,F)、以及材料吸收係數所構成的資料庫；一雙光學材料特徵參數的匹配原則，包含：nd,1>nd,2、與Pg,F,1>Pg,F,2；一菲涅耳區域高度h的選用原則，包含：h>0、與針對材料的吸收係數、需限制菲涅耳區域高度h、以滿足特定光穿透率的需求；以及一電腦數值計算程序，是由該理論計算方程式、該光學材料特徵參數的數據庫、該雙光學材料特徵參數的匹配原則、與該菲涅耳區域高度h的選用原則，所構成的電腦數值計算程序。
- 如請求項1所述之一種光學繞射元件光繞射效率可達近100%的設計方法，其中該Cauchy's equation，是根據選用材料1的已知材料特徵參數nd,1,vd,1, Pg,F,1，使用公式、
、
c 1 P g,F )、
、
、
、
、
、以取得計算材料1的nd,1(λ)，其中，nd,1為材料1 對應於d夫朗和斐譜線的折射率、vd,1為材料1的Abbe number、Pg,F,1為材料1的Partial dispersion，n(λ)是依存於光波長的折射率，λ是真空中的光波長，A、B、C是nd、vd、Pg,F的函數，nd為材料對應於d夫朗和斐譜線的折射率、vd為材料的 Abbe number、Pg,F為材料的Partial dispersion，nd、nF、nC、ng為材料對應於d、F、C、g夫朗和斐譜線的折射率，nd對應的光波長為λd=5876.56nm、nF對應的光波長為λF=486.13nm、nC對應的光波長為λC=656.28nm、ng對應的光波長為λg=435.83nm。
- 如請求項1所述之一種光學繞射元件光繞射效率可達近100%的設計方法，其中該材料2的Abbe number特徵曲線nd,2(vd,2)，是使用公式n d,2=，nd,1、nF,1-nC,1為材料1對應於d、F、C夫朗和斐譜線的折射 率，與公式
、以計算取得，其中，vd,1為材料1的Abbe number，vd,2為材料2的Abbe number，nd,1為材料1對應於d夫朗和斐譜線的折射率，nFC,1=nF,1-nC,1，其中、nF,1、nC,1為材料1對應於F、C夫朗和斐譜線的折射率，λFC=λF-λC，λF=486.13nm、λC=656.28nm、λd=5876.56nm。
- 如請求項1所述之一種光學繞射元件光繞射效率可達近100%的設計方法，其中該材料2的Partial dispersion特徵曲線Pg,F,2(vd,2)，是使用公式，λgF=λg-λF、nd,12=nd,1-nd,2與公式P g,F,2=
、以計算取得，其中，vd,1為材料1的Abbe number，vd,2 為材料2的Abbe number，Pg,F,1為材料1的Partial dispersion，nd,1為材料1對應於d夫朗和斐譜線的折射率，nd,2為材料2對應於d夫朗和斐譜線的折射率，nd,12=nd,1-nd,2，nFC,1=nF,1-nC,1，其中、nF,1、nC,1為材料1對應於F、C夫朗和斐譜線的折射率，λFC=λF-λC、λgF=λg-λF，其中，λF=486.13nm、λC=656.28nm、λg=435.83nm。
- 如請求項1所述之一種光學繞射元件光繞射效率可達近100%的設計 方法，其中該菲涅耳區域高度h，是使用公式、以 計算取得。
- 如請求項5所述之一種光學繞射元件光繞射效率可達近100%的設計方法，其中該菲涅耳區域的高度h，當h>0時，雙光學材料所構成的繞射式菲涅耳透鏡具有光學聚焦的特性、當h<0時，雙光學材料所構成的繞射式菲涅耳透鏡具有光學發散的特性。
- 如請求項1所述之一種光學繞射元件光繞射效率可達近100%的設計方法，其中該特定光穿透率，是大於90%。
- 如請求項1所述之一種光學繞射元件光繞射效率可達近100%的設計方法，其中該透明光學材料，是包含玻璃、高分子、奈米複合材料。
- 如請求項1所述之一種光學繞射元件光繞射效率可達近100%的設計方法，其中該電腦數值計算程序，包含以下的步驟：步驟1：設定材料1的材料參數(nd,1,vd,1,Pg,F,1)；步驟2：確認(nd,1,vd,1,Pg,F,1)是否存在於材料數據庫，如是：至步驟3，如非：至步驟1、並改變材料1的材料特徵參數； 步驟3：根據公式、
c 1 P g,F )、
、
、
、
、
計算材料1的nd,1(λ)，其中，n(λ)是依存於光波長的 折射率，λ是真空中的光波長，A、B、C是nd、vd、Pg,F的函數，nd為材料對應於d夫朗和斐譜線的折射率、vd為材料的Abbe number、Pg,F為材料的Partial dispersion，nd、nF、nC、ng為材料對應於d、F、C、g夫朗和斐譜線的折射率，其 個別對應的光波長為：λd=5876.56nm、λF=486.13nm、λC=656.28nm、λg=435.83nm； 步驟4：根據公式
、計算材料2的nd,2(vd,2)，其中，vd,1 為材料1的Abbe number，vd,2為材料2的Abbe number，nd,1為材料1對應於d夫朗和斐譜線的折射率，λFC=λF-λC，λF=486.13nm、λC=656.28nm、λd=5876.56nm； 步驟5：根據公式
、計算材料2的Pg,F,2(vd,2)，Pg,F,2為 vd,2、nd,2、Pg,F,1、vd,1、nd,1、λF、λg、λd的函數； 步驟6：根據公式
、計算h(nd,1,nd,2(vd,2))； 步驟7：基於材料特徵參數的匹配原則、菲涅耳區域的高度h的選用原則，將nd,2(vd,2)、Pg,F,2(vd,2)、h(nd,1,nd,2(vd,2))與材料數據庫做比對；步驟8：確認並選出材料2的nd,2、vd,2、Pg,F,2、h；如是：結束本程序，如非：至步驟1、並改變材料1的材料參數。
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| TW (1) | TWI762063B (zh) |
Citations (3)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| TW582549U (en) * | 1997-09-24 | 2004-04-01 | Matsushita Electric Ind Co Ltd | Calculating apparatus of diffraction efficiency of diffraction lens, lens with optical grating device and reading optical system |
| TW201937240A (zh) * | 2017-12-20 | 2019-09-16 | 美商3M新設資產公司 | 結構化光學表面及光學成像系統 |
| WO2020212257A1 (de) * | 2019-04-15 | 2020-10-22 | Carl Zeiss Ag | Diffraktives optisches element, verfahren zum entwerfen einer effizienzachromatisierten diffraktiven struktur und verfahren zur herstellung eines effizienzachromatisierten diffraktiven elementes |
-
2020
- 2020-12-03 TW TW109142604A patent/TWI762063B/zh not_active IP Right Cessation
Patent Citations (3)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| TW582549U (en) * | 1997-09-24 | 2004-04-01 | Matsushita Electric Ind Co Ltd | Calculating apparatus of diffraction efficiency of diffraction lens, lens with optical grating device and reading optical system |
| TW201937240A (zh) * | 2017-12-20 | 2019-09-16 | 美商3M新設資產公司 | 結構化光學表面及光學成像系統 |
| WO2020212257A1 (de) * | 2019-04-15 | 2020-10-22 | Carl Zeiss Ag | Diffraktives optisches element, verfahren zum entwerfen einer effizienzachromatisierten diffraktiven struktur und verfahren zur herstellung eines effizienzachromatisierten diffraktiven elementes |
Non-Patent Citations (1)
| Title |
|---|
| Oliver Sandfuchs, Matthias Kraus, AND Robert Brunner, Structured metal double-blazed dispersion grating for broadband spectral efficiency achromatization, Journal of the Optical Society of America A, Vol. 37, No. 8 / August 2020 * |
Also Published As
| Publication number | Publication date |
|---|---|
| TW202223444A (zh) | 2022-06-16 |
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