TW202236210A - 透過使用特殊遮罩的迭代相位恢復進行同調繞射／數位資訊重建 - Google Patents

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Abstract

總圖係藉由迭代之光譜相位恢復過程所產生，導致使用特定遮罩完成資訊恢復，而沒有參考光束。使用這些特定遮罩系統可減少計算時間、遮罩數量、及迭代次數。特定遮蔽系統係(1)與具有等於1及-1的元素之一個以上的雙極二進制遮罩一起之統一遮罩，或(2)與一個以上的相位遮罩一起之統一遮罩，或(3)與具有0及1的二進制振幅之一對遮罩或一對以上的遮罩一起之統一遮罩，於其中，此對中的遮罩係相對於振幅彼此互補的，或(4)具有0及1之二進制振幅的一對以上之互補遮罩，而沒有統一遮罩。

Description

透過使用特殊遮罩的迭代相位恢復進行同調繞射/數位資訊重建
本發明有關相位恢復系統及方法。尤其是，在光譜輸出處測量同調波的振幅之後，對其振幅及相位進行重組。
如於同調波表示(coherent wave representations)中，按照振幅及相位嵌人的資訊導致如在成像中之一維或更高維的應用。於此等系統中，相位通常比振幅更重要。在許多同調系統中，相位被丟失，因為可測量者為與振幅之平方成正比的強度。相位亦可能被有意地丟失。於如同語音辨識、盲通道估計、及盲蔽解摺積(blind deconvolution)之一些應用中，相位恢復對一維信號亦很重要。相位問題可追溯至Rayleigh，他在1892年就寫過此問題。相位恢復於以後的歲月裡一直是知名之問題，且當發現雷射及其他重要的同調輻射源之後，在1960年代之後已加快此過程。
有一些間接方式來恢復相位，並藉此達成完整的資訊恢復，例如，於導致3-D資訊之繞射成像中。透過鄧尼斯-加博所發現的全息照相術就是其中之一，且其透過導入參考波來達成三維成像。這具有與通信中使用的調制原理有很大關係。另一種方式係與格希伯格•薩克斯頓(Gerchberg-Saxton)演算法(1971-72年)密切相關，此演算法亦已知為原始之格希伯格•薩克斯頓演算法，且在此稱為“GSA”，它涉及於二相關平面、亦即輸入平面及輸出光譜平面上的測量。在科學及技術中之許多領域的進展係與1972年發表之GSA有關[R.W.Gerchberg, W.O.Saxton, “從影像和繞射平面相片決定相位的實用演算法”光學、第35卷、第237-246頁、1972年]。
R.W.Gerchberg後來透過於二平面上導入N個獨立之測量系統、尤其是透過使用相位遮罩對GSA進行改良。此改良在此中係已知為“Gerchberg的第二種方法”，或“G2”。G2發表於R.W.Gerchberg, “波前之相位恢復的新方法”，《現代光學雜志》，49：7，1185-1196，2002，其全部以引用方式併入本文。 G2之進一步態樣敘述在美國專利第6,369,932 B1；6,545,790；和8,040,595號中，所有專利全部以引用方式併入本文。
與全息照相術不同，G2不需要參考波。相反地，G2係類似於以N個獨立方式測量所感興趣之量，且接著在結果之間做平均處理。此等專利顯示當使用波時如何於實踐中達成這一點。針對可靠的相位恢復，G2被認為是第一個使用多種測量方法。用於相位恢復之一些其他已知方法係誤差減少(ER)演算法[, J, R, 費努普‘從其傅立葉轉換重建物體’，《光學快報》，第3卷，第1期，第27-29頁，1978年7月；J.R.費努普，‘相位檢索演算法、比較’，《應用光學》，第21卷，第15期，第2758-2769頁，1982年8月1日]，平均連續鬆弛 (ASR) [J. C. H. 斯彭斯‘繞射(無透鏡)成像’，第19章，《顯微鏡科學》，由P.W.霍克斯，J.C.H.斯彭斯，斯普林格所編輯，2007年]，混合投影反射 (HPR) [H. H. 鮑施克、P. L. 孔貝特、D. 拉塞爾•盧克，‘用於相位恢復的混合投影反射方法’，《光學系統學報》，第20卷，第6期，第1025-1034頁，2003年6月]，鬆弛平均交替反射(RAAR)[D.拉塞爾•盧克，‘用於繞射成像的鬆弛平均交替反射’《反問題》，第21卷，第37-50頁，2005年]，超取樣平滑度(OSS)[J.A.羅德里格斯、R.Xu,C.-C.陳、Y.鄒、和苗家傑，‘超取樣平滑度：用於雜訊繞射强度之相位檢索演算法’《J.應用晶體學》，第46卷，第312-318頁，2013年]，和差異圖 (DM) [V. 埃爾瑟，‘通過迭代投影解決晶體相問題’，《晶體學學報，A節：基礎晶體學》，第59卷，第201-209頁，2003年]。最近出現許多演算法，它們利用更有效的最佳化方法、如同SO2D 和 SO4D[斯特凡諾•馬爾切尼，‘相位檢索和鞍點最佳化’，《J. 光學系統學報》，第24卷，第10期，第3289-3296頁，2007年10月]。在相位包(PhasePack)[R.錢德拉、T.戈爾茨坦、C.斯圖德，‘相位包：相位檢索庫’，IEEE 第13屆取樣理論與應用國際會議，第1-5頁，2019年]中討論許多流行之相位檢索演算法的新基準研究。於此工作中，在系統輸入處用8個雙極性二進位遮罩進行平均化，及遮罩係以與G2中相同之12種迭代相位恢復方法一起使用。
於所有這些演算法中的共同主題係透過使用先前資訊及約束條件來達成最佳相位恢複。使用輸入遮罩導致此先前資訊。非負性(nonnegativity)、支援資訊、及振幅資訊係亦通常作為先前資訊使用。支援資訊尤其重要。這通常意指大小為NxN之(複雜)影像係在藉由零點所包圍的窗口之中心，以使總大小為2Nx2N。當使用快速傅立葉轉換(FFT)來近似數位實現中的連續傅立葉轉換時，這亦是很重要。
實驗工作表明，對於完美之相位及影像恢復，通常沒有足夠的先前資訊，此先前資訊在傅立葉域中具有單一之振幅測量。換句話說，具有給定資料的某些方法之恢復結果可能比其他方法好，但此恢復通常不完美，亦即其在沒有附加資訊的情況中通常是近似的。透過使用上面概述之輸入遮罩，涉及多次測量的工作彌補此不足。
最近，機器學習、及尤其是深度學習方法已被利用，通常用於改進先前之相位恢復方法所獲得的結果。例如，二個深度神經網路(DNNs)已與HIO方法一起使用，以改進相位恢復結果[C. Işıl、F. S. 奧克特、和 A. Koç，‘用於相位檢索的深度迭代重建’，《應用光學》，第58卷，第5422-5431頁，2019 年]。
首先，DNN係與HIO方法一起迭代地使用，以改進重建。接下來，訓練第二DNN來移除剩餘之失真。
研究界越來越認識到，如果需要高品質的相位及影像恢復，就必需進行多次測量。最近，文獻中已發表許多此等方法。下面將討論一些具有多次測量之方法，其與格希伯格的G2方法具有一些相似性。
在藉由坎迪斯等人之相位提升方法中[E. J. 坎迪斯、Y.艾爾達、T.施特羅默、V.沃羅寧斯基，‘經由矩陣完成進行相位檢索’、預印本、2011年8月；E.J.坎迪斯、X.Li、M.索爾塔努爾科塔比，‘從編碼繞射圖案進行相位檢索’、斯坦福大學、2013-12號科技報告，2013年12月]初始方法係與格希伯格的G2方法相同。換句話說，透過使用一些遮罩來進行一些測量。它們亦提及光學光柵、電子疊層繞射成像及斜向照明之使用來代替遮罩。然而，遮罩係它們的論文中所使用之主要機制。G2中的平均步驟被凸最佳化方法所取代，其係亦與矩陣完成或矩陣恢復問題有關。
於藉由西凱羅斯及菲紐普之傅立葉加權投影方法中[M.吉紮爾西凱羅斯、J. R.菲紐普，‘具有傅立葉加權投影的相位檢索’，《J. 光學系統學報》，第25卷，第3期，第701-709頁，2008年3月]，遮罩係亦使用來達成高品質之相位恢復。它們為此目的提出不同類型的遮罩。
電子疊層繞射成像係另一種利用多數繞射強度測量之方法[J.M.羅登伯格，‘電子疊層繞射成像及相關的成像方法’，《成像和電子物理學進展》，第150卷，第87-184頁，2008]。它是藉由霍普在1968-1973年間首次引入的，尤其是用於X射線成像。電子疊層繞射成像取決於藉由將照明功能或孔徑功能相對於待藉由已知量所成像之物體來移位而記錄至少二個繞射強度，而不是取決於遮罩。因此，有運動探針，其每次都會照明物體。當照明的不同部分之間有足夠的重疊量時，可透過迭代相位元檢索演算法達成相位恢復。最近，已藉由西凱羅斯及菲纽普開發另一種相關之演算法，此演算法基於將物體相對已知的照明模式平移之後進行的多種多樣遠場強度測量[M.吉紮爾西凱羅斯, J. R.菲纽普，‘具有橫向平移多樣性之相位檢索：一種非線性最佳化方法’《光學快報》，第16卷，第10期，第7264-7278頁，2008年5月12日]。在此工作中，使用非線性最佳化。
總之，多重繞射強度測量目前於研究界被使用於解決相位及影像恢復問題，例如，導致繞射(無透鏡)成像[B.艾比等人，‘使用寬帶X射線源的無透鏡成像’，《自然光子學》、第420-424頁、2011年6月26日]。這在如同X射線及遠紅外成像等領域尤其為重要，其中透鏡係非常昂貴的。
本發明之實施例於現有技術方法的基礎上進行改進，並藉由使用專門為優秀之光譜相位而選擇的最少數量之遮罩，且藉此完成資訊恢復。因此，計算的速率係亦增加。根據一種用於由一陣列之點(例如，像素)恢復相位資訊的方法，每一點具有振幅，而提供至少一個具有輸入及光譜輸出之轉換單元。點的陣列可能以同調波之形式光學地到達或作為資料以電子方式到達。此陣列可為一維或更高維，具有更為普遍的二維應用。在光譜點記錄振幅資訊。轉換單元可為帶有一個以上之透鏡的透鏡系統、或自由空間波傳播、或數位處理單元。
作用於至轉換單元之輸入上者係至少二個特別選擇的遮罩。有二個遮罩版本。在第一個版本中，此等遮罩之其中一者係統一遮罩(亦稱為透明遮罩，使其所有元素都等於1)。在第二個版本中，有至少一對互補的單極性遮罩，使其元素之振幅等於0或1。此輸入係分開地應用到至少二個遮罩的每一者，以由每一個遮罩生成修改之輸入。按照光學實施例或類似者，遮罩係物理空間遮罩。在此實施例中，輸入為波。於波上操作的遮罩可為由其中一遮罩切換至另一遮罩，使得輸入係單獨地藉由至少二個物理空間遮罩之每一者分開地依次接收。此切換可例如藉由如同空間光調制器或微鏡陣列的光學裝置即時完成。另外，此輸入波可被分割，以致其係藉由每一個物理空間遮罩單獨地平行接收。
在諸多實施例之任何一者中，包括圍繞每一遮罩的外邊界是有利的，每一遮罩將與邊界重合之任何點的振幅設定為零。
按照本發明之實施例，所需的遮罩數量可減少至二或三個。於一實施例中，遮罩由統一遮罩及相位遮罩所組成(圖1C-I)。尤其是，相位可涉及量化之相位值。因此，在特定實施例中，相位遮罩係雙極(意指1及-1)二進制遮罩，其對應於等於0或π的相位值(圖1C-II)。在另一實施例中，遮罩由統一遮罩及至少一對互補之單極性二進制遮罩所組成(使一個遮罩具有1及0的元素，且另一遮罩具有1及0之切換)(圖1C-III)。再者，遮罩可由統一遮罩及一對遮罩所組成，此對遮罩相對於等於1之振幅為互補的。
在不包括統一遮罩之使用的實施例中，亦可達成高效之遮罩選擇。按照此又另一實施例，有包括兩對遮罩的四個遮罩(圖2)。於每一對中，遮罩係相對於振幅彼此互補的。因此，此遮罩上之統一元素可更包括相位因數，其中相位可涉及0與2π之間的連續值、或量化之相位值。在更具體的實施例中，此等遮罩由兩對互補之單極性二進制遮罩所組成。
本文所使用的名詞之廣義傅立葉轉換(FT)涵括以物理或數位方式施行的轉換。廣義FT係藉由轉換單元對由每一遮罩所接收的修改輸入來施行，以產生經過轉換之修改輸入。光譜平面(輸出)被界定為廣義FT的輸出(平面)。由於同調波傳播及/或當修改後之輸入通過透鏡系統時，自然會發生廣義的FT。它涉及附加之相位因數。著名的範例係同調光學中之菲涅耳繞射(Fresnel diffraction)。
對於作為數位處理單元的轉換單元，廣義之FT可為廣義的快速傅立葉轉換(FFT)。在轉換單元之光譜輸出處，於點之陣列處記錄振幅值，以由每一經過轉換的修改輸入產生相位圖。在光學實施例中，此記錄可藉由強度感測器來作成，如同於透鏡系統之光譜平面(輸出)處的照相機。由此產生之光譜輸出上的振幅資訊被稱為相位圖。
此方法更包括將相位值與每一相位圖上之每一點聯繫起來，以形成複數個複雜的相位圖。在任何一實施例中，相位值最初可為隨機相位值。複雜之相位圖被送入迭代過程，此過程一直運行直至達成收斂性，以產生一構成具有振幅及相位資訊的重建輸入之總圖。此總圖包括能以任何數量的方式使用之完整及有價值的資訊。例如，於任何一實施例中，總圖可使用來顯示具有振幅及相位之重建輸入的表示法。
按照用於施行此迭代處理之實施例，複數個複雜相位圖係透過逆廣義(inverse generalized)傅立葉轉換及可能的其他最佳化步驟來處理。透過在每一個輸入點之複雜資訊進行平均，獲得此輸入的單一估計值。此輸入之單一估計值係通過複製每一遮罩的過程來獲得複數個中間之點之陣列。於每一中間陣列上施行廣義的快速傅立葉轉換，且接著在轉換後之中間陣列中的每一點之振幅值係以對應的初始記錄的振幅值替換，以生成另一複數個複雜相位圖。於此可有附加之最佳化步驟。用所生成的複雜相位圖重複此迭代過程，直至達成收斂性，其中在完成時，輸入之單一估計值係總圖。
於任何一實施例中，可使用任何數量的方法來決定收斂性。簡單之方法係計算直至給定的迭代次數。二者擇一地，當連續的單一估計值之間的絕對差異達到預定閾值時，就達成收斂性。
在任何一光學實施例中，至少一個轉換單元包括低通濾波器，其具有等於或大於0.7之數值孔徑(NA)。
任何實施例都可透過在使輸入波通過至少二個物理空間遮罩的每一者之前將線性相位調制施加至輸入波、或透過於空間上運動此強度感測器，來生成輸入波前的超分辨(superresolved)之振幅及相位資訊。
任何實施例可包括在將輸入分開地應用於至少二個遮罩的每一者之前在輸入上施行前面的廣義傅立葉轉換(FT)，例如，用於遠處物體之無透鏡成像。
在任何實施例中，至少二個物理空間遮罩可具有元素，每一元素具有(i)8x8像素或更小，或(ii)16x16像素或更小的其中一者之孔徑尺寸，用於更容易實施。遮罩的每一元素都具有相關聯之恆定振幅及/或相位，其係應用至通過此遮罩的元素之每一像素或點。
本發明的系統實施例按照一個以上之方法實施例進行操作。此系統包括轉換單元，它可為具有一個以上的透鏡之透鏡系統，或可為數位處理單元。此系統更包括至少二個遮罩。按照一些實施例，至少二個遮罩包括統一遮罩。在一實施例，遮罩由統一遮罩及相位遮罩所組成(圖1C-I)。相位遮罩可具有量化的相位值。尤其是，遮罩可為由統一遮罩及雙極二進制遮罩所組成(圖1C-II)。於進一步實施例中，遮罩由統一遮罩及一對互補之單極二進制遮罩所組成(圖1C-III)。更一般地說，遮罩可為由統一遮罩及一對遮罩或一對以上的遮罩所組成，這些遮罩係相對於二進制振幅互補的。
按照又進一步之實施例，遮罩可由一對或一對以上的遮罩所組成，這些遮罩係相對於振幅互補，而沒有統一遮罩。尤其是，可有包括兩對遮罩之四個遮罩，其中每一對中的遮罩係相對於振幅彼此互補。這意指一遮罩中之值1及0在第二遮罩中分別變為0及1(圖2)。此遮罩上的統一點可更包括相位因數。於更具體之實施例中，遮罩由兩對互補的單極二進制遮罩所組成。
在任何一實施例中，可為有利的是包括圍繞每一遮罩之外邊界，此外邊界將與邊界重合的任何點之振幅設定為零。事實上，根據又進一步的實施例，此遮罩由一對互補之單極二進制遮罩所組成，每一遮罩具有外邊界，此外邊界將與邊界重合的任何點之振幅設定為零。
於光學實施例中，遮罩係設置在光學透鏡系統的輸入平面之物理空間遮罩。於波上操作的遮罩可由其中一遮罩切換至另一遮罩，使得此輸入係單獨地藉由至少二個物理空間遮罩之每一者分開地依次接收。例如，此切換可為透過如同空間光調制器或微鏡陣列的光學裝置來即時完成。二者擇一地，輸入波可藉由分光器分割，以致其藉由每一個物理空間遮罩單獨地平行接收。
藉由每一個遮罩所分開地修改之輸入係通過轉換單元。記錄在轉換後的修改輸入之點之陣列處的振幅值以產生相位圖。於光學實施例中，振幅值之記錄係藉由至少一個感測器系統所施行。感測器系統可為強度感測器、如同照相機。
此系統更包括處理器，其建構為(1)將初始相位值與每一相位圖上的每一點聯繫起來，以形成複數個複雜相位圖；及(2)迭代地處理此複數個複雜相位圖，直至達成收斂性，以產生構成具有振幅及相位資訊之重建輸入的總圖。
定義。如在本說明書及隨附請求項中所使用，除非上下文另有要求，否則以下術語應具有所指示的含義。
“總圖(totagram)”一詞於此中定義為使用遮罩而來自迭代光譜相位恢復過程之合成輸入相位及振幅資訊。此資訊可為一維或多維的。在特定實施例中，總圖係輸入同調波於特定波長下之重構振幅及相位。
在此中的“全圖(totagraphy)”或“圖示法(totagraphic method)”一詞於此中定義為獲得總圖之過程。
“圖示成像(Totagraphic imaging)”涉及藉由光譜平面上之感測器/照相機記錄光譜振幅，而與在影像平面上藉由照相機記錄影像資訊的其他成像系統對比。
“全息照相術”涉及由於物體波及參考波的混合而產生之干涉圖案的物理記錄，並創建全息圖。在另一方面，全圖取代如於全息照相術中的物體波與參考波之間的干涉圖案之記錄，而是使用於此中所定義的方法及系統，使用特定之遮罩施行數次測量，這些遮罩被迭代地處理以創建總圖。
“相位圖”在此中定義為包括藉由轉換單元(例如，廣義傅立葉轉換)相對於特定輸入遮罩在處理輸入波之後的測量或記錄之光譜振幅資訊的資訊。相位圖與輸入波幾乎沒有相似性，因為光譜相位資訊被丟棄，且光譜振幅被記錄。 導論
圖1A係用於與本發明一起使用之系統100的實施例之示意圖。此系統100恢復來自同調輸入波102的相位及振幅資訊。輸入波102可由物體120生成。此物體120可為被照明之物體。系統100包括具有光譜平面(SP)及輸入平面(IP)的至少一個轉換單元110、及至少二個遮罩108。建構此系統，以致輸入波102分開地串聯應用施加至每一遮罩。在光學實施例中，遮罩係物理空間遮罩。可提供此等物理遮罩，以透過光學裝置、如同空間光調制器或微鏡陣列由一遮罩即時變化至另一遮罩。至少二個物理空間遮罩可為位於至少一個轉換單元110之IP處。在一些實施例中，轉換單元可為具有一個以上的透鏡之透鏡系統。於任何一光學實施例中，至少一個轉換單元亦可作為低通濾波器，其具有等於或大於0.7的數值孔徑(NA)。在其他實施例中，轉換單元可為於數位處理器中實現。
至少二個遮罩之每一者都可包括由圍繞遮罩的各自不透明之邊界所形成的輸入窗口106。建構每一個不透明之邊界，以阻擋輸入波中的與邊界重合之像素，藉此將那些像素的振幅設定為零。建構至少二個遮罩108，以修改其分開接收之輸入波的相位或振幅。建構至少一個轉換單元，以在修改後之分開接收的輸入波上施行廣義傅立葉轉換(FT)。
系統100更包括至少一個感測器112，其建構為於SP處記錄每一個經轉換之修改輸入的點之陣列之振幅值。此至少一個感測器生成相位圖152，其包括所測量或記錄的光譜振幅資訊。相位圖152可與輸入波102幾乎沒有相似性，因為相位資訊被丟棄。感測器112可為照相機，其係強度感測器。振幅值係直接由強度得出。強度係理解為與振幅之平方成線性比例。
系統100更包括數位處理器128。相位圖152係藉由處理器128所迭代地處理，以生成總圖158。處理器128被建構為：將相位值與每一相位圖上的每一點聯繫起來，以形成複數個複雜相位圖；並迭代地處理此複數個複雜相位圖，直至達成收斂性，以產生構成具有振幅及相位資訊之重建輸入波的總圖158。光譜相位與所記錄之振幅值一起恢復。如果想要的話，輸入振幅及相位可經過使用廣義IFFT由光譜相位及振幅獲得。處理器128可為進一步處理162提供總圖158。電腦處理162可包括影像處理、機器學習及/或深度學習。處理後之結果178可於顯示器170中形成影像172，此影像可藉由使用者介面118所存取。
圖1B-I及圖1B-II分別係按照實施例的系統150A及150B之示意圖，用於分開將輸入平行地施加至複數個物理空間遮罩。系統150A及150B各自恢復來自輸入波102的相位及振幅資訊。輸入波102可由物體120生成。物體120可為被照明之物體。系統150A及150B各自包括至少二個物理空間遮罩108，每一遮罩108設置在對應轉換單元110的輸入平面。
系統150A及150B各自更包括分光器130A(於此中亦已知為“分束器”)，其建構為將輸入波102分成二個以上之獨立波。來自分光器的每一獨立波通過至少二個物理空間遮罩108之對應一者，以產生修改的波。至少一個轉換單元110建構為在修改的輸入波102上施行廣義傅立葉轉換(FT)。系統150A及150B包括感測器112，其建構為在用於每一轉換單元之光譜平面處記錄轉換後的獨立波之光譜振幅影像。系統150A及150B包括處理器128，其如前面相對於圖1A所敘述地操作。
此外，如圖1B-II中所示的系統150B可在輸入波102個別地通過分光器130A之前，經由轉換單元107於輸入波102上施行前面的廣義傅立葉轉換(FT)。在特定實施例中，轉換單元107係透鏡，其接收通往輸入遮罩108之輸入波。轉換單元107的前述廣義傅立葉轉換將初始輸入平面影像(波)轉變為第二影像(波)。於此平面上，輸入遮罩108係與第二影像一起使用，並具有如之前經過轉換單元110的廣義傅立葉轉換，用於照明強度感測器112。
迭代相位恢復過程僅只包括第二影像(波)。一旦相位恢復完成，初始輸入平面影像(波)係藉由最後之逆廣義傅立葉轉換所恢復。
按照本發明的實施例，圖1C-I、1C-II、1C-III及2之每一者說明最小的遮罩組，其比具有更多遮罩之系統更快且更有效地達成完整的相位恢復。圖1C-I、1C-II及1C-III有利地利用統一遮罩108t，其亦可被稱為透明遮罩。輸入波不受干擾地通過統一遮罩，因此統一遮罩可在物理上藉由任何不受阻礙之光路來達成。可選擇地，為了進一步改進計算過程的效率，如圖面中所顯示，不透明之外邊界可圍繞此統一遮罩。此邊界將與外邊界重合的波上之點的振幅設定為零。雖然可於系統中加入多數個遮罩，但根據本發明之這些實施例，納入統一遮罩可用盡可能少的一或兩個附加遮罩來達成所想要之總圖。如果使用更多遮罩，當其中一遮罩為統一遮罩時，最終的資訊恢復之品質更高。
圖1C-I係具有統一遮罩108t及相位遮罩108c的系統之實施例的示意圖。相位遮罩108c在通過遮罩之點上賦予相移。遮罩之每一像素或元素(像素的群組)可賦予其自身之指定相移，此相移可因元素而變動。於二維遮罩中，元素典型是具有藉由側面上的像素數目所測量之孔徑尺寸的像素之方塊。相位遮罩可藉由涉及量化的相位值而有利地簡化。例如，透過2級量化，量化後之相位值為0及π，導致相位因數等於1或-1。此相位遮罩被稱為雙極二進制遮罩。
如圖1C-II中所顯示，按照本發明的實施例，統一遮罩108t及雙極二進制遮罩108b可為僅有之二遮罩。即使這些二個簡單的遮罩有效地產生總圖。統一遮罩基本上都是1，且雙極二進制遮罩係隨機分佈之1及-1的“棋盤”。不透明之外邊界可圍繞遮罩，用於進一步改進效率。
圖1C-III係本發明的實施例，其利用單極二進制遮罩108u。單極二進制遮罩之像素或元素係打開(振幅為1意指通過)或關閉(振幅為0意指不通過)。此等像素或元素係以隨機模式配置。單極二進制遮罩係成對使用，其中遮罩係相對於振幅彼此互補。這意指對於具有振幅為1的一個遮罩中之元素位置，另一遮罩中的對應元素具有0之振幅。用於有效生成總圖的最小遮罩組構包括統一遮罩108t及一對互補之單極二進制遮罩108u。
圖2係本發明的使用兩對互補二進制遮罩108v之替代實施例的示意圖，其中不需要統一遮罩。按照此實施例，可使用至少四個遮罩來決定總圖。此四個遮罩包括兩對遮罩，其中一對中之遮罩係相對於振幅彼此互補。尤其是，此四個遮罩可全部為單極二進制遮罩。雖然遮罩元素的振幅為1或0，但其係亦可能在1元素中包括隨機相位因數，使得遮罩變得複雜。
於本發明之又另一實施例中，遮罩108v可減少至僅有一對互補的二進制遮罩。當輸入具有由0至2π之全範圍的相位變動時，此遮罩之組構可為難以產生總圖。但對於如同0及π之間的較窄範圍中之相位的受限制之輸入，一對互補遮罩可為足夠的。再者，一對中之遮罩係相對於振幅彼此互補。尤其是，兩個遮罩可為單極二進制遮罩。如果不透明的邊界圍繞此等遮罩，此情況將被進一步改進。因此，對於某些應用，可使用此單對之互補二進制遮罩，而不是兩對。
現在將相對於圖3A及3B更詳細地敘述用於與本發明的實施例之遮罩一起使用的相位恢復系統。系統之輸入102係點的陣列，每一點具有振幅。此陣列可為一維或更高。在光學環境中，此輸入係作為像素(點)之二維陣列所捕獲的同調波。系統可經由來自物體120之輸入影像(波)來接收其輸入。物體120可為被照明的物體。為了恢復全色波資訊，可建構數個相位恢復系統來平行地運行。例如，每一系統可在用於三原色(波長)之其中一者的其自身之同調波上操作。這可一般化至具有3個以上的波長之多光譜及高光譜影像(波)。
輸入需要分開地呈現給每一個遮罩。這是在經過複數個遮罩的每一者分開地處理此輸入陣列之數位實施例中容易地施行。於光學實施例中，可使用分光器130B來複製用於每一遮罩的輸入點之陣列。二者擇一地，輸入遮罩可藉由如相對於圖1A所述空間光調制器或微鏡陣列串聯地切換出來。
根據上面相對於圖1C-I、1C-II、1C-III及2所敘述之任何一實施例，系統係建構有複數個遮罩188。亦可使用附加的遮罩，但有利的是將遮罩之數量減至最少，及因此將計算量減至最少，且易於實施。隨意地，可使用圍繞遮罩的外邊界，以進一步促進此迭代計算過程之效率及準確性。藉由每一遮罩所修改的輸入通過轉換單元110，以施行廣義傅立葉轉換182。在光學實施例中，轉換單元可為透鏡或透鏡系統。於數位實施例中，計算廣義傅立葉轉換182。廣義傅立葉轉換可為廣義FFT。
轉換後之修改的輸入各自送入感測器112，用於記錄在每一轉換後之修改的輸入之點的光譜陣列處之振幅值。振幅值的陣列被稱為相位圖。感測器112對相位係不敏感的。因此，任何可被模擬為光譜平面(輸出)上之相位變動的相位像差都於感測器處移除。在光學實施例中，感測器112可為強度感測器，如同照相機。強度係與振幅之平方成線性比例。
此方法更包括於數位處理器128中，將相位值196與每一相位圖上的每一點聯繫起來，以形成複數個複雜相位圖。於較佳實施例中，隨機選擇之相位值係與每一點相關聯。納入相位導致複雜的相位圖。
複雜之相位圖進入一迭代過程。本技術領域中已知許多方法。G2就是此一過程。其他方法係例如在相位包中證明。取決於在系統中實施的過程，複雜相位圖可各自選擇性經過最佳化過程198(其可為於迭代系統之輸入及/或輸出)。然後，每一個複雜相位圖經過逆廣義傅立葉轉換186處理。對於FFT來說，此逆廣義傅立葉轉換係IFFT，且反之亦然。
逆廣義傅立葉轉換的輸出係取決於所實施之過程來選擇性最佳化，且接著在每一對應點的複雜資訊進行平均178，以產生此輸入之單一估計值。於迭代過程的輸出側可選擇性包括另一最佳化過程。每一次獲得單一估計值時，此過程決定是否已發生收斂性172。根據一種收斂性測試，持續此處理，直至連續的單一估計值之間的差異到達預定閾值。根據另一種方法，在已完成決定單一估計值之給定數量的迭代之後，假定已到達收斂性。根據一些實施例，當分數誤差、亦即於由逆廣義傅立葉轉換所輸出的所有N個影像上之平方和誤差(SSE)除以藉由在二連續迭代之間的所有N個影像(總能量)上平方之振幅係小於一值，如同、但不限於0.0001，則到達預定閾值。SSE表示N個當前波形與最後估計值之間的差值平方。二者擇一地，SSE可在進行平均及最後估計值之後依據當前估計值來界定。一旦已達成收斂性，輸入振幅及相位的最後估計值就構成此總圖。
圖3B中進一步說明此迭代過程。單一估計值通過複製每一個輸入遮罩以獲得複數個中間陣列之過程189，其來自每一遮罩。換句話說，用於對應遮罩中的每一元素之相移及/或振幅因數接著修改輸入，以產生中間陣列。在每一中間陣列上施行廣義的快速傅立葉轉換183。於轉換後之中間陣列中的每一點處，振幅值係藉由最初用感測器112所記錄之對應振幅值來取代170，藉此生成複雜相位圖的另一次迭代。如果適用於待實施之迭代過程，最佳化複雜相位圖。然後，如於第一次迭代中，每一個複雜相位圖經過逆廣義傅立葉轉換186處理。對於FFT來說，逆廣義傅立葉轉換係IFFT，且反之亦然。逆廣義傅立葉轉換的輸出取決於所實施之過程被選擇性最佳化，且接著在每一對應點的複雜資訊進行平均178，以產生此輸入之單一估計值。此過程迭代地持續，直至已發生收斂性172。
可選擇地，藉由在輸入波一些次通過至少二個物理空間遮罩的每一者之前於輸入波上施行線性相位調制，或在使輸入波一些次通過至少二個物理空間遮罩的每一者之後運動強度感測器，此相位恢復方法可從輸入波生成超分辨之振幅及相位資訊。這亦可藉由運動光譜輸出的位置一些次來達成。
於至少二個遮罩之任何實施例中，非統一遮罩的每一元素可具有8x8像素或更小之孔徑尺寸。在由至少二個遮罩所組成的任何實施例中，非統一遮罩可具有16x16像素或更小之孔徑尺寸。非統一遮罩的每一元素具有相關聯之恆定振幅及/或相位，其係通過該遮罩的元素施加至每一像素或點。
任何實施例可包括處理此總圖，以提供任務之解決方案。這些任務可包括顯微鏡檢查法、編碼、信號處理、波前感測、及/或光計算。總圖內的資訊可藉由使用恢復後之振幅及相位資訊轉換為全息圖。此結果係已知為數位全息圖或電腦生成的全息圖。總圖之三維資訊亦可藉由數位技術以其他方式視覺化，如同藉由電腦製圖、體積式顯示器、虛擬實境、強化實境、或混合實境。任何實施例可包括在顯示器上顯示解決方案的結果或表示。
本發明之系統及方法的功效已顯示用於各種各樣之輸入。如果此輸入具有零相位，這意指輸入僅具有振幅變動。這是最簡單的案例。最一般之案例具有在0與2π弧度之間變動的輸入相位。
根據本發明之實施例，有兩大類的合適遮罩組合。於第一類中，第一遮罩係統一(清晰、透明、使所有元素等於+1)遮罩。第二遮罩可為(1)相位在0及2π弧度之間變化的相位遮罩，(2)具有等於量化相位值之元素的量化相位遮罩，(3)具有等於+1及-1之元素的雙極二進制遮罩，此等元素對應於選擇為0及π弧度之量化相位，(4)一對互補遮罩，意指一遮罩具有0及exp(jθ 1)的元素，θ 1為量化或連續之相位，且第二遮罩具有等於exp(jθ 2)的對應元素，θ 2分別為量化或連續相位、及0。換句話說，遮罩相對於振幅為互補的。如果一個遮罩之元素的值為0，則此對遮罩之另一遮罩中的對應元素具有1之振幅及相關聯的相位因數。在特定案例中，當θ 1及θ 2選擇等於0時，遮罩變成一對互補之單極二進制遮罩，其元素等於0及1。在另一特定案例中，當θ 1及θ 2被限制為0或π時，遮罩變成一對互補的二進制遮罩，其元素等於0及±1。二進制意指為0或為1之二振幅值。
在第二類中，不需要透明遮罩，相反，有成對的互補遮罩，較佳為兩對以上。尤其是，可有效地使用兩對互補之單極(+1及0)二進制遮罩。如果使用更多遮罩，通常會減少相位恢復迭代的次數。
於第1類及第2類中所討論之所有案例中，其係可能使用填有零的外邊界。使用邊界，例如，藉由將遮罩尺寸增加一倍並在遮罩之外邊界填充零，通常給予更精確的重建結果或減少相位恢復迭代之次數。 與 G2 同調的相位 / 振幅恢復
同調相位/振幅恢復的主要應用係可為2-D、3-D或更高維之成像。為了達成多維成像，具有由振幅及相位所組成的完整波資訊係需要的。下面之G2討論作為用於同調相位/振幅恢復的一些候選方法之範例。
假設z(縱向)恆定，同調空間波可寫成
Figure 02_image001
(1)
在此A(x,y)係輸入空間振幅，且α(x,y)係於(x,y,z)的輸入空間相位。
在此點，我們將假設此波經廣義傅立葉轉換的。於數位實施方案中，這意指此波係藉由廣義FFT所處理。在光學實施方案中，此波經過焦距為F的透鏡系統。然後，初始波被假設為在z=-F。光譜平面係於z=F。眾所周知，在光譜平面上，此波係與輸入波之傅立葉轉換成正比[O. K. 埃索伊，《繞射、傅立葉光學和成像》，J.Wiley，2006年11月，在此全部以引用的方式併入本文中]。這就是下面所討論之案例。
於光譜平面上，對應的波可寫成
Figure 02_image003
(2)
在此
Figure 02_image005
係空間振幅，且
Figure 02_image007
係光譜相位。
Figure 02_image009
對應於空間頻率。以此透鏡系統，它們藉由以下方程式所給予
Figure 02_image011
(3)
Figure 02_image013
(4)
在此λ係波長，且(
Figure 02_image015
,
Figure 02_image017
)係光譜平面上之空間座標。
假設感測器位於光譜平面上，或是故意的，光譜相位就會丟失，且經由光譜強度
Figure 02_image019
獲得光譜振幅為
Figure 02_image021
(5)
在隨後用電腦之迭代中，藉由快速傅立葉轉換(FFT)技術進一步處理
Figure 02_image023
。
下面進一步敘述用離散傅立葉轉換(DFT)及其逆離散傅立葉轉換(IDFT)、其快速演算法快速傅立葉轉換(FFT)及逆快速傅立葉轉換(IFFT)進行數位處理的細節。將對以下者進行界定：
S：輸入信號
P i：輸入遮罩，i=1,2....,M
M：遮罩之數目
FT：傅立葉轉換(於數值工作中之DFT)
IFT：逆傅立葉轉換(於數值工作中的IDFT)
θ i=輸出相位，i=1,2....,M
θ i係在相位恢復期間於第一次迭代中之範圍[0, 2π]中隨機選擇。
在輸入空間與輸出空間之間的第一次迭代中之初始轉換如下：
Figure 02_image024
(6)
Figure 02_image026
(7)
Figure 02_image028
(8)
Figure 02_image030
(9)
於此運算•及/分別標示逐點相乘及相除：在平均
Figure 02_image032
之後開始下一次迭代如下：
Figure 02_image034
(10)
然後，重複當前迭代期間的方程式(6-10)。藉由檢查
Figure 02_image036
是否正可忽略不計地變化，或如果完成指定之最大迭代次數，即停止迭代。
於一維案例中的DFT及逆DFT由以下方程式所給予：
Figure 02_image038
(11)
Figure 02_image040
(12)
方程式(11)及(12)可容易地擴展至二維案例。 用於數位 / 光學實施方案之設計
迭代相位恢復方法的數位實施方案可在電腦系統中作成。
迭代相位恢復方法之數位/光學實施方案亦可藉由製造光學系統來作成，此光學系統與藉由數位感測器/照相機的輸出所饋送之數位系統耦接，用於隨後的迭代處理。
用於數位/光學實施方案，使用具有高解析度照相機及即時電子相位/振幅遮罩、如同空間光調制器之光譜成像。隨後的數位處理係藉由具有高精度之電腦系統所作成。FFT技術需要它們自身的取樣間隔。這些應為以照相機來與像素間隔相匹配。
—旦在光學/數位系統中完成振幅及相位恢復，此資訊就稱為總圖。
任何實施例可包括處理此總圖以提供任務之解決方案。這些任務可包括顯微鏡檢查法、編碼、信號處理、波前感測、及/或光計算。總圖內的資訊可藉由使用恢復後之振幅及相位資訊轉換為全息圖。此結果係已知為數位全息圖或電腦生成的全息圖。總圖之三維資訊亦可藉由數位技術以其他方式視覺化，如同藉由電腦製圖、體積式顯示器、虛擬實境、強化實境、或混合實境。
光學/數位系統中的實驗結果可能沒有純數位實施方案之結果那麼完美。為了補償這些差異，可使用機器學習(ML)及深度學習(DL)技術來改進結果。最近已報導此類技術，用於輔助相位恢復及繞射成像[Y.呂文森、Y.張、H.古內丁、大騰和A.奧茲坎，‘在神經網絡中使用深度學習進行相位恢復和全息圖影像重建’，《光：科學與應用》，第7卷，17141，2018年，全部以引用的方式併入本文。G.巴巴斯塔提斯、A.奧茲坎、G.司徒，‘深度學習在計算成像上之使用’《視神經》，第6卷，第8期，第921-943頁，2019年8月，全部以引用的方式併入本文]。ML及DL利用非常大之影像資料庫。例如，系統的輸入影像可為於實驗中達成者，且所輸出之期望影像係理想狀態下應該達成者。藉由用此等影像的非常大資料庫進行訓練，ML及DL方法已被報導來達成良好之效果。 具有繞射受限的光學部件之迭代相位恢復方法
轉換單元110可為同調光學系統，其至少係繞射受限的，並藉由點擴散函數及其傅立葉轉換、同調傳送函數(CTF)所控制。此系統作為理想之低通濾波器，其截止頻率藉由透鏡系統數值孔徑NA所控制。在此段落中，我們顯示並主張，以足夠大的NA(~0.7)，迭代相位恢復不受繞射所阻礙。
繞射受限之透鏡系統用作具有點擴散函數h(x, y)及同調傳送函數
Figure 02_image042
的線性系統，此同調傳送函數係h(x, y)之傅立葉轉換。空間域中的線性系統方程係藉由以下者所給予：
Figure 02_image044
(13)
於此*標示線性二維卷積，且
Figure 02_image046
係輸出空間波。藉由卷積定理之對應光譜方程式係藉由以下者所給予：
Figure 02_image048
(14)
在此
Figure 02_image050
係輸出空間波的傅立葉轉換。
將假設於三維物體上進行同調波照明。這可透過雷射或高品質之發光二極體(LED)來達成。例如，He-Ne雷射在等於0.6386微米的波長λ下操作(
Figure 02_image052
)，且LED在大約
Figure 02_image054
下操作。
以下是一些值得關注之數量： k 0=2π/λ，波數 NA=數值孔徑 sp=照相機的取樣像素大小
fp=重建之最終像素大小
由於繞射，光學成像系統具有藉由以下者所給予的截止頻率：
Figure 02_image056
(15)
光譜平面上之取樣頻率將被寫成
Figure 02_image058
(16)
在此，用於沿著x及y方向的
Figure 02_image060
取樣點，Δk可被選擇為
Figure 02_image062
(17)
然後，同調傳送函數係藉由以下者所給予：
Figure 02_image064
(18)
在此
Figure 02_image066
(19)
用於kxs及kys的每一部件。
本發明人已進行實驗，以發現NA之哪些值允許用於完美的重建。已決定在NA=0.7或更高之情況下，重建的影像於視覺上係與原始影像一樣好。 像差
像差意指透鏡系統的出射光瞳內之理想波與其理想形式的偏離。在同調成像系統中，這可建模為將光學傳送函數乘以相位因數。於此段落中，其顯示並主張相位差在迭代相位恢復方法之性能上沒有不利的影響。
繞射受限之系統意指感興趣的波於出射光瞳處係完美的，且僅有之缺陷係有限的孔徑尺寸。像差係出射光瞳內之理想波與其理想形式的偏離。為了包括相位像差，出射光瞳函數可被修改為
Figure 02_image068
(20)
在此P(x,y)係沒有像差之出射光瞳函數，且
Figure 02_image070
係由於像差的相位誤差。
相位函數
Figure 02_image070
通常以極座標之形式寫為
Figure 02_image072
。所謂的賽德爾(Seidel)像差係以r中之多項式
Figure 02_image072
表示，例如
Figure 02_image074
(21)
更高階的項可被加至此函數。方程式(19)右側邊上之項代表以下者： a40r 4：     球面像差 a31r 3cosθ：彗形像差(coma) a20r 2：     縱橫像差 a22r 2cos 2θ：視野彎曲像差
a11rcosθ： 扭曲 澤尼克 (Zernicke) 多項式
光學系統中存在的相位像差亦能以澤尼克多項式之形式來表示，澤尼克多項式係正交的，且於單元半徑之圓內歸一化[V.N.馬哈揚，“澤尼克圓多項式和具有圓形光瞳的系統之光學像差”，《工程與實驗室筆記》，R.R.香農，編輯，《應用光學增刊》，第8121-8124頁，1994年12月]。在此過程中，相位函數係以澤尼克多項式的展開式
Figure 02_image076
之形式來表示，於此ρ係單位圓內的徑向座標，且θ係極角。
每一個澤尼克多項式通常以下列形式表示
Figure 02_image078
(22)
在此n,m係非負整數。
Figure 02_image080
係n次多項式，且未含有小於m之n次幂。此外，當m為偶數(奇數)時，
Figure 02_image080
分別為偶數(奇數)。
Figure 02_image082
的表示法可寫成
Figure 02_image084
(23)
對於n及m之有限值，係數Anm係藉由最小平方所決定。依次，
Figure 02_image086
亦可寫成
Figure 02_image088
(24)
在此K係整數、諸如37。係數w k係藉由最小平方所發現。既然每一個連續的澤尼克項係相對於每一個前面項正交，所以每一項獨立地促成均方像差。這意指由於像差之均方根誤差
Figure 02_image090
可寫成
Figure 02_image092
(25)
請注意，當出射光瞳為圓形時，像差的澤尼克表示為有效的。否則，澤尼克多項式不是正交的。
同調光學系統具有像差。它們通常被建模為系統之光譜平面上的相位因數。例如，此建模可用表達由於像差、如同賽德爾像差之相位的多項式及澤尼克多項式形式來作成。在光譜平面上，測量此強度，且丟失所有相位。其包括由於像差之相位。照相機消除所有相位，且因此可表示為光譜平面上的相位因數之相位像差對根據圖3A及3B的迭代相位恢復方法之性能沒有不利的影響。 用迭代相位恢復方法之超解析度
在前一段落中，對於如同三維成像之應用已達成完美的相位重建。這係可能用高NA繞射受限之透鏡系統、及高動態範圍、高解析度照相機所作成。在此段落中，討論包括物體波的線性相位調制之系統及迭代相位恢復方法，以改進具有低NA、低視界及像差的給定透鏡系統。
低NA意指過濾掉光譜平面上之高空間頻率。低視界意指藉由照相機的偵測面積小。像差可建模為光譜平面上之相位調制，如上一段落中所討論者。為了繞過這些問題，及/或為了達成比給定透鏡系統及照相機可能達成者更高的解析度，我們將考慮與於合成孔徑顯微鏡中所使用者類似之方法[特裡M. 圖平、萊斯利 H.格塞爾、傑弗裏•拉皮德斯、克雷格•H. 普萊斯，“合成孔徑顯微鏡的理論”，《SPIE會議記錄2566，高級成像技術和商業應用》，doi:10.1117/12.217378，1995年8月23日]和傅立葉疊層成像[G.鄭、R.霍斯特邁耶、C.楊，“廣域、高分辨率傅立葉疊層顯微鏡，”《自然光子學》，第739-745頁，第7卷，2013年9月]。為此目的，輸入之物體波將藉由以下方程式所給予的一些平面波來調制(乘以)
Figure 02_image094
(26)
這能以多種方式來達成。例如，LED矩陣陣列可用不同角度之平面波照明感興趣的三維物體。二者擇一地，可用空間光調制器(SLM’s)生成繞射光柵之即時可重構的陣列[S.阿赫德羅姆、M.萊西、盧錦松、科阿拉梅、R.馬瓦達，“液晶光調製器在光學通訊中之應用”，《第五届IEEE高速網路和多媒體通訊國際會議的會議記錄》，韓國濟州島，2002年]。
對於每一個m，線性成像系統具有藉由以下方程式所給予之輸出影像
Figure 02_image096
(27)
採取繞射受限的成像系統，同調傳送函數係控制成像之因數，且光譜域中的方程式(24)變成
Figure 02_image098
(28)
例如，當波長λ為0.5微米時，波數變成
Figure 02_image100
用於CTF之截止頻率係
Figure 02_image102
(29)
當NA=0.1，且DFT(影像)大小為256 x 256時，DFT光譜點的32 x 32窗口正好裝入半徑
Figure 02_image103
等於1.257•10 6m -1之CTF圓。讓KxK為調制輸入波所需的平面波之數量。在此範例中，我們獲得K=256/32=8。
類似地，當NA=0.2且DFT(影像)大小為256 x 256時，DFT光譜點的64 x 64窗口正好裝入半徑
Figure 02_image103
等於1.257•10 6m -1之CTF圓。在此範例中，針對調制輸入波所需的平面波之KxK數量，我們獲得K=256/64=4。
現代高解析度照相機、如同8K照相機支援遠較高的像素數目、如同8192 x 4320像素[ https://www.usa.canon.com/internet/portal/us/home/products/details/cameras/eos-dslr-and-mirrorless-cameras/dslr/eos-5ds-r]。
既然FFT最佳以2之羃次工作，讓我們假設4096 x 4096像素的大小。當NA=0.2且DFT(影像)大小為16384 x 16384時，DFT光譜點之4096 x 4096窗口正好裝入半徑
Figure 02_image103
等於1.257•10 6m -1的CTF圓。在此範例中，針對調制輸入波所需的平面波之KxK數量，我們獲得K=16384/4096=4。換句話說，此系統將達成具有16384 x 16384像素的超解析度。藉由使用所有KxK平面波，於16384 x 16384像素處之振幅可用每一個輸入遮罩獲得。剩下的是用迭代相位恢復法迭代處理。 遮罩
主要考量係針對迭代相位恢復方法需要多少遮罩，以導致可接收之性能。既然每一遮罩意指另一組測量值，則遮罩越少越好。此外，所使用的遮罩會嚴重影響資訊重建之品質。資訊的恢復能以輸入影像之振幅恢復、相位恢復，或較佳是兩者的方式來考慮。這是與光譜域中之相位恢復不同。換句話說，光譜域中的恢複後相位可給予正確之輸入影像振幅恢復，但不一定是正確的輸入影像相位恢復或不完全之輸入影像相位恢復。於此文獻中，通常報告的是此輸入(波)振幅恢復。極有可能的是，恢復後之輸入(波)相位不夠正確。按照本發明的實施例，尋求完整輸入影像振幅恢復以及輸入相位恢復。
另一項考量係待使用之遮罩的類型。按照本發明之實施例，減少遮罩的數量係可達成的。如上所解釋，在第一類中，第一遮罩係統一(清晰、透明，所有元素等於+1)遮罩。第二遮罩可為(1)相位在0與2π弧度之間變化的相位遮罩，(2)具有等於量化相位值之元素的量化相位遮罩，(3)具有等於+1及-1之元素的雙極二進制遮罩，此等元素對應於選擇為0及π弧度之量化相位，(4)一對互補遮罩，其中此對遮罩中的每一者之對應元素相對於振幅係互補的。在第二類中，不需要透明遮罩，而是有成對之互補二進制遮罩、較佳係兩對以上。尤其是，可使用兩對互補的單極(+1及0)二進制遮罩。如果使用更多個遮罩數量，可減少相位恢復迭代之數量。
除了一個以上的附加遮罩以外，本發明之實施例用統一遮罩實施迭代相位恢復(版本1)、或(版本2)相對於振幅互補的成對單極遮罩。
單極二進制遮罩不再是相位遮罩，而是二進制振幅遮罩。根據傳統思維，振幅遮罩一般不起作用。於另一方面，單極二進制遮罩在許多應用中係可期望的，因為它們使實施更容易。按照本發明之實施例，單極二進制遮罩係成對創建的。第二遮罩係第一遮罩之互補件。換句話說，為了創建第二遮罩，於第一遮罩的每一部件處交換0及1。這亦是成對之單極二進制遮罩的案例，其中1係藉由振幅等於1之相位因數所取代。
遮罩中的每一元素具有有限之尺寸。因此，重要的是，尤其是以光學實施方案，有限尺寸之元素不會降低性能。我們主張迭代相位恢復方法在有限元素尺寸的情況中亦能很好地起作用，只要它們足夠小。足夠小之尺寸於二進制雙極案例中係16 x 16，且在單極二進制案例中為8 x 8。圖4中顯示孔徑尺寸等於16 x 16像素的二進制遮罩。圖5顯示孔徑尺寸等於8 x 8像素之二進制遮罩。 使用所提出的遮罩對複雜波之實驗結果
圖6、7及8中提供具有振幅(影像)及相位(影像)的複雜波之一些實驗結果。圖6顯示當使用一個統一遮罩及一個雙極二進制遮罩時，使用G2重建複雜波的結果。原始振幅影像顯示在(a)處。重建後之振幅影像顯示於(b)。原始相位影像顯示在(c)。重建後的相位影像顯示於(d)。圖7顯示在迭代期間之對應的誤差減少曲線。
圖8顯示當使用一對互補之單極二進制遮罩時，使用G2重建同一複雜波的結果。原始振幅影像顯示於(a)。重建後之振幅影像顯示在(b)。原始相位影像顯示於(c)。重建後的相位影像顯示在(d)。 遠方物體之成像
於此段落中，我們討論用於離成像透鏡系統相當遠之物體的同調成像之迭代相位恢復。在此案例中，於成像透鏡系統的入口處之場域係直接與來自待成像的薄物體之波的傅立葉轉換相關。這在用於遠距離波傳播之弗勞恩霍夫近似法(Fraunhofer approximation)中尤其是如此，且在以下參考文獻中亦可擴展至用菲涅耳近似法(Fresnel approximation)的不那麼遠之傳播：A.江口、J.布魯爾、T.D.米爾斯特，“使用LCoS空間光調制器最佳化用於自適應光學的隨機相位多樣性”，《光學快報》，第44卷，第21期，2019年11月1日，第6834-6840頁，及A.江口、T.D.米爾斯特，“具有複雜多樣性之單發相位檢索”，《光學快報》，第44卷，第21期，2019年11月1日，第5108-5111頁。在前幾段落中，至透鏡系統的輸入係複雜的影像。現在其本質上係光譜影像。我們可考慮像先前作成那樣將輸入波通過輸入遮罩，隨後例如藉由透鏡進行另一次廣義傅立葉轉換，其將產生倒置之物體影像。然後，照相機將記錄此影像。於此幾何結構中，系統係與先前的系統相反，意指影像平面及光譜平面被交換。不幸的是，在這些條件之下，迭代相位恢復可能不能很好地起作用。物體影像的傅立葉轉換通常集中於非常小之頻率上，且傅立葉平面資訊的其餘部分係具有小分量之雜訊，使得輸入遮罩的使用無效。
為了解決這些議題，圖1B-II中所顯示之系統可使用於薄型遠距離物體的同調成像。如所示，透鏡系統可設計用於提供二個傅立葉轉換而不是一個傅立葉轉換。第一傅立葉轉換107將輸入影像(波)轉換為另一影像(波)。然後，使用先前的系統。此輸入通過分光器，分光器之輸出像先前一樣被送至遮罩。第二傅立葉轉換110重新生成由於遮蔽而修改的光譜資訊，用於照明影像感測器112。因此，藉由包括遮罩之透鏡系統影像平面及影像感測器平面所標示的部分係與先前所使用之系統相同。 帶有遮蔽的迭代相位恢復方法
—些迭代相位恢復方法已與遮蔽一起使用。根據本發明之實施例，當使用雙極二進制遮罩或相位遮罩時，使用統一(透明)遮罩作為遮罩的其中一者可大大地改進迭代相位恢復方法之性能。並且，在此系統中使用成對的互補二進制遮罩(可能沒有統一遮罩)係非常有效的。
對本發明之實施例的有效性進行數位評估。簡單之FFT系統係與無邊界的數位實施遮罩一起使用。於不失一般性之情況下，同調輸入 僅只是振幅影像，意指輸入相位每一像素被假定為零。圖9A顯示當使用2個雙極二進制遮罩時用菲紐普方法的影像恢復。其觀察到影像未被恢復。用其他所有方法之對應結果係相同的。當使用3個雙極二進制遮罩時，結果有時候改進。這是用菲紐普方法顯示在圖9B中。然而，結果仍然不令入滿意。用透明遮罩代替一個雙極二進制遮罩導致如圖10中所顯示之大幅改進，於此一個透明遮罩及一個雙極二進制遮罩導致影像恢復。
用成對的互補單極二進制遮罩之結果顯示它們在沒有統一遮罩的情況下係自給與自足的。圖11顯示使用菲紐普方法之兩對互補單極二進制遮罩的影像恢復結果。其觀察到2對互補遮罩產生比一對互補遮罩更好之結果。超過兩對遮罩，此等結果進一步小幅改進。
用其他迭代相位恢復方法，性能非常相似。此類方法包括但不限於表1中所列的方法。 表1.迭代相位恢復方法。
方法 參考資料
WirtFlow(維廷格流演算法) E.J.坎迪斯、Y.艾爾達、T.施特羅默、V,沃羅寧斯基，“通過矩陣完成的相位檢索”，《暹羅評論》，57（2）：225–251，2015年
TWF(縮短的維廷格流演算法（具有泊松損失)) 陳玉新及伊曼紐爾J.坎迪斯，“求解隨機二次方程組幾乎和求解線性方程組一樣容易” https://arxiv.org/abs/1505.05114，2015年
RWF (重新加權的維廷格流演算法) 袁紫陽及王紅霞，“通過重新加權的維廷格流進行相位檢索”，《應用光學》，56(9)：2418–2427，2017年3月
AmplitudeFlow (無縮短的振幅流演算法) 王剛、喬治奧斯B吉安納基斯、及尤尼娜C艾爾達，“通過縮短之振幅流求解隨機二次方程組”《arXiv預印本arXiv》，1605.08285，2016年
TAF (縮短的振幅流演算法) 王剛、喬治奧斯B吉安納基斯、及尤尼娜C艾爾達，“通過縮短之振幅流求解隨機二次方程組”《arXiv預印本arXiv》，1605.08285，2016年
RAF(重新加權的振幅流演算法) 王剛、G. B.吉安納基斯、Y.薩阿德及J.陳，“求解幾乎所有隨機二次方程組”，《arXiv預印本arXiv》，2017年5月
GerchbergSaxton (格希伯格·薩克斯頓演算法) R. W.格希伯格、W. O.薩克斯頓、“從影像和繞射平面照片決定相位的實用演算法”，《光學》，第35卷，第237-246頁，1972年；   R. W.格希伯格，“對波前相位檢索的新方法”，《現代光學雜誌》，49:7，1185-1196，2002年
菲紐普演算法 J. R.菲紐普，“相位檢索演算法、比較”《應用光學》，第21卷，第15期，第2758-2769頁，1982年8月1日
卡茨馬茲演算法 科偉，“通過卡茨馬茲方法求解無相方程組：概念驗證研究”《逆向問題》，31（12）：125008，2015年
最大相位演算法 蘇哈爾·巴馬尼及賈斯汀·隆伯格，“相位檢索符合統計學習理論：靈活的凸鬆弛，《arXiv預印本arXiv：1610.04210》，2016年；   湯姆·金斯坦及克裏斯托夫·斯圖德，“最大相位：通過基追跡進行凸相位檢索”，《arXiv預印本arXiv：1610.07531》，2016年
表2顯示用所有方法在使用3個雙極二進制遮罩對1透明遮罩及2個雙極二進制遮罩時之均方誤差性能。其觀察到於用透明遮罩取代一個雙極二進制遮罩之後，實質上用不透明遮罩改進具有大MSE誤差(菲紐普、G2、TAF、維廷格流)的誤差性能。 例如，表3顯示用RAF方法，迭代次數及計算時間是如何隨互補單極二進制遮罩之對數的函數而變化。其觀察到當用於該方法之遮罩對數增加至3對時，在計算速率方面的性能變得相當好。 表4顯示用於最佳視覺性能之互補單極遮罩的最佳對數。此對數係2對(大部分)或3對。 表2.具有3個遮罩之誤差性能。
演算法 MSE誤差(無透明遮罩) MSE誤差(具有透明遮罩)
TWF 7.544e-05 5.36e-06
菲紐普 1.341 9.91e-04
G2 1.236 9.95e-04
振幅流 7.09e-05  7.08e-05
卡茨馬茲 0.1965 0.134
最大相位 2.296e+06 3.39e+05
RAF 7.25e-04 2.49e-04
RWF 4.84e-04 4.09e-04
TAF 0.0226 5.37e-05
維廷格流 0.0199 2.1e-04
表3.作為用RAF方法的互補單極遮罩對之函數的特性。
遮罩對數 1 2 3 4
迭代次數 106 49 22 17
計算時間(秒) 12.32 8.72 7.25 7.26
表4.互補單極遮罩之最佳對數。
演算法 最佳對數
TWF 2
菲紐普 2
G2 2
振幅流 2
卡茨馬茲 3
最大相位 2
RAF 3
RWF 1
TAF 3
維廷格流 1
結語
迭代相位恢復方法可例如在數位處理器內、如同電腦內以數位方式實施。輸入例如可為預先記錄的影像或其他點之陣列。於此案例中，可使用廣義FFT及廣義逆FFT(IFFT)。在一般意義上使用‘光學’一詞來涵蓋所有波，迭代相位恢復方法亦可藉由同調光學或藉由同調光學/數位系統來實施。於這些案例中，初始傅立葉轉換操作及振幅偵測典型藉由透鏡/照相機系統所作成。在同調光學/數位系統之案例中，藉由透鏡/照相機系統所獲得的波幅資訊被輸入至電腦系統，以按照迭代相位恢復方法進行FFT及IFFT之迭代。這隨後可為如同生成3-D影像的可能之其他操作。
於數位實施方案中，輸入遮罩可在電腦內生成，可能與複雜的輸入資訊一起。於同調光學或同調光學/數位實施方案中，它們可藉由光學裝置、如同空間光調制器及微鏡陣列來即時實施。
同調光學系統係至少有繞射受限的。這意指透鏡系統作為低通濾波器，其特徵為數值孔徑NA。迭代相位恢復功能要求系統之NA足夠大。根據本發明的實施例，發現NA≧0.7為足夠的。
同調光學系統具有像差。它們通常被建模為系統之光譜平面上的相位因數。例如，此建模可由於像差、如同賽德爾像差及澤尼克多項式來表達相位之多項式方式來作成。在同調系統中，像差相位因數顯現為待加至傅立葉平面上的輸入光譜相位之附加相位。照相機僅只對振幅敏感，消除所有可被建模光譜平面上的相位變動之像差。因此，光譜相位像差於光譜迭代相位恢復方法的性能上沒有不利之影響。
具有有限的NA及像差之光學系統可使用於藉由多次使用迭代相位恢復方法達成超解析度，並包括具有輸入資訊的線性相位調制。線性相位調制部分就像在合成孔徑顯微鏡檢查法及傅立葉疊層成像中所做成。以每一遮罩，迭代相位恢復用由輸入資訊之所有線性相位調制部分所獲得的光譜振幅來操作，以導致超解析度之振幅及相位資訊。在使輸入波通過至少二個物理空間遮罩的每一者若干次之後，藉由空間上運動強度感測器而不是線性相位調制，可達成類似結果。
輸入遮罩可用元素產生、例如具有有限尺寸的元素，前提是尺寸足够小。於單極二進制遮罩之案例中，8 x 8或更小的元素在數位實驗中導致令入滿意的性能。於雙極二進制遮罩之案例中，16 x 16或更小的元素在數位實驗中導致令入滿意之性能。因此，雙極二進制遮罩比單極二進制遮罩的容忍度更高。於任一案例中，使用有限尺寸元素意指更簡單之實施方案。
迭代相位恢復在雜訊中施行良好。藉由雜訊所嚴重破壞的影像可當它們顯現於雜訊中時被恢複。進一步之去噪可使用來生成清晰的影像。
同調之遠處物體成像可透過迭代相位恢復處理來作成。在此，由於同調波的傳播，輸入影像(波)業已進行傅立葉轉換，並可被壓縮。然後，再一次之傅立葉轉換生成解壓的影像(波)資訊。系統之其餘部分係與我們之前利用的遮罩及相位恢復之迭代過程相同。
當此輸入僅只是振幅影像時，每一輸入點的相位都是零。然後，於輸入窗口周圍沒有由零點所組成之邊界區域達成優異的結果。
藉由使用(1)統一遮罩與具有等於1及-1之元素一個以上的雙極二進制遮罩一起使用，或(2)統一遮罩與一個以上之相位遮罩一起使用，或(3)具有0及1的二進制振幅之統一遮罩與一對遮罩或一對以上的遮罩一起使用，其中此對遮罩相對於振幅係彼此互補，或(4)具有0及1之二進制振幅的一對以上之互補遮罩，而不需要統一遮罩，實質上藉由使用所主張的方法及系統來增加迭代相位恢復方法之性能，以減少計算時間、減少遮罩數量、減少迭代次數、升高重建品質、及增加實施的方便性。在所有案例中，都可能使用填充有零點之外邊界。例如，藉由將遮罩尺寸增加一倍並用零點填充遮罩的外邊界，使用邊界可改進此結果。使用這些特別選擇之遮罩的任何組合可升高重建之品質並簡化實施方案。
上面所敘述的本發明之實施例僅只是意欲為示範性；對於熟諳本技術領域的入員來說，許多變動及修改將為顯而易見的。所有此等變動及修改係意欲在本發明之範圍內，如於任何所附請求項中所界定者。
100:系統 102:輸入波 106:輸入窗口 107:轉換單元 108:遮罩 108b:雙極二進制遮罩 108c:相位遮罩 108t:統一遮罩 108u:單極二進制遮罩 108v:遮罩 110:轉換單元 112:感測器 118:使用者介面 120:物體 128:處理器 130A:分光器 130B:分光器 150A:系統 150B:系統 152:相位圖 158:總圖 162:電腦處理 170:顯示器 172:影像 178:結果 182:廣義傅立葉轉換 183:廣義的快速傅立葉轉換 186:逆廣義傅立葉轉換 188:遮罩 189:過程 196:相位值 198:最佳化過程
參考下面之詳細敘述，實施例的前述特徵將更容易理解，並參考附圖，其中：
圖1A係按照本發明之系統的實施例之示意圖。
圖1B-I係按照本發明的另一系統之實施例的示意圖。
圖1B-II係按照本發明之另一系統的實施例之示意圖。
圖1C-I係按照本發明，具有統一遮罩及相位遮罩的系統之實施例的示意圖。
圖1C-II係按照本發明，具有統一遮罩及雙極二進制遮罩之系統的實施例之示意圖。
圖1C-III係按照本發明，具有統一遮罩及一對單極遮罩的系統之實施例的示意圖。
圖2係按照本發明，具有兩對單極遮罩之系統的實施例之示意圖。
圖3A及3B係按照本發明的實施例之相位恢復方法的流程圖。
圖4係當孔徑尺寸為16x16像素時之二進制空間遮罩。
圖5係當孔徑尺寸為8x8像素時的二進制空間遮罩。
圖6顯示使用具有一個統一遮罩及一個雙極二進制遮罩之G2的重建結果。
圖7顯示當孔徑尺寸為16x16像素時，具有一個統一遮罩及一個雙極二進制遮罩之誤差減少曲線。
圖8顯示使用具有一對互補的單極二進制遮罩之G2的重建結果。
圖9A顯示使用2個雙極二進制遮罩之重建結果，並用菲紐普(Fienup)迭代相位恢復方法。
圖9B顯示使用3個雙極二進制遮罩的重建結果，並用菲紐普迭代相位恢復方法。
圖10顯示本發明之實施例使用一個統一遮罩及一個雙極二進制遮罩的重建結果，並用菲紐普迭代相位恢復方法。
圖11係本發明之實施例使用兩對互補的單極二進制遮罩之重建結果，並用菲紐普迭代相位恢復方法。
100:系統
102:輸入波
106:輸入窗口
108:遮罩
110:轉換單元
112:感測器
118:使用者介面
120:物體
128:處理器
152:相位圖
158:總圖
162:電腦處理
170:顯示器
172:影像
178:結果

Claims (23)

  1. 一種用於由點之陣列恢復相位資訊的方法，每一點具有一振幅，該方法包含： 提供具有一輸入及一光譜輸出之至少一個轉換單元、及至少二個遮罩，該等遮罩的其中一者係一統一遮罩，該至少二個遮罩之每一者建構為在該至少一個轉換單元的輸入處進行操作； 於該輸入處將點之陣列分開地應用到該至少二個遮罩的每一者，以由該等遮罩之每一者生成一修改的輸入； 藉由該至少一個轉換單元，在每一個修改的輸入上施行廣義傅立葉轉換，以由每一個修改的輸入產生一經過轉換之修改的輸入； 記錄於每一個經過轉換之修改的輸入之點之陣列處的振幅值，以產生相位圖； 將一相位值與每一相位圖上之每一點聯繫起來，以形成複數個複雜相位圖；以及 迭代地處理該複數個複雜相位圖，直至達成收斂性，以產生用振幅及相位資訊構成一重建輸入的總圖。
  2. 如請求項1所述的方法，其中每一個遮罩包括一外邊界，其將與該外邊界重合之點的相位及振幅設定為零。
  3. 如請求項1所述的方法，其中該輸入係波，且該等遮罩係物理空間遮罩，且更包含： 由該至少二個物理空間遮罩之其中一者切換至該至少二個物理空間遮罩的其中另一者，使得該輸入係藉由該至少二個物理空間遮罩之每一者逐個按時間順序個別地接收。
  4. 如請求項1所述的方法，其中該至少二個遮罩由該統一遮罩及一複雜相位遮罩所組成。
  5. 如請求項4所述的方法，其中該複雜相位遮罩包含一雙極二進制遮罩。
  6. 如請求項1所述的方法，其中該至少二個遮罩由該統一遮罩及一對互補之單極二進制遮罩所組成。
  7. 如請求項1所述的方法，其中該輸入包含波，且該至少二個遮罩包含藉由光學裝置即時實施之物理空間遮罩，該光學裝置包括空間光調制器及微鏡陣列的任何一者。
  8. 如請求項7所述的方法，更包含(1)在使該輸入波多次通過該至少二個物理空間遮罩的每一者之前，於該輸入波上施行線性相位調制，或(2)在使該輸入波多次通過該至少二個物理空間遮罩的每一者之後，於空間地運動該強度感測器，以生成該輸入波的超分辨振幅及相位資訊。
  9. 如請求項7所述的方法，其中藉由一強度感測器施行記錄，且該至少一個轉換單元包含一透鏡系統。
  10. 如請求項1所述的方法，更包含在將該輸入分開地應用到該至少二個遮罩的每一者之前，於該輸入上施行廣義傅立葉轉換。
  11. 如請求項1所述的方法，更包含在完成之後，使用該總圖來生成嵌入該輸入的重建後振幅及相位之資訊的表示。
  12. —種用於由輸入波恢復相位資訊之系統，包含： 一光學透鏡系統，具有一帶光譜輸出的輸入； 至少二個物理空間遮罩，其中一者係一統一遮罩，該至少二個物理空間遮罩之每一者係設置在該光學透鏡系統的輸入處，用於接收該輸入波； 其中該至少二個物理空間遮罩建構為分開地修改該輸入波，且其中該光學透鏡系統在該分開修改之波上施行廣義傅立葉轉換以產生轉換後的波； 至少一個感測器系統，建構為於該光譜平面在每一轉換波之點之陣列處記錄振幅值，以產生相位圖；及 一數位處理器，建構為： 將一相位值與每一相位圖上的每一點聯繫起來，以形成複數個複雜相位圖；以及 迭代地處理該複數個複雜相位圖，直至達成收斂性，以產生用振幅及相位資訊構成一重建輸入波之總圖。
  13. 如請求項12所述之系統，其中該至少二個物理空間遮罩由該統一遮罩及一雙極二進制遮罩所組成。
  14. 如請求項12所述之系統，其中該至少二個物理空間遮罩由該統一遮罩及一對互補的單極二進制遮罩所組成。
  15. 如請求項12所述之系統，其中每一個物理空間遮罩係藉由阻擋該波的一外邊界所包圍，藉此將與該邊界重合之點的相位及振幅設定為零。
  16. 如請求項12所述之系統，其中對該複數個複雜相位圖進行迭代處理包含： (a)處理該複數個複雜相位圖，以藉由在該等複雜相位圖上施行逆廣義傅立葉轉換及於對應位置的每一點處平均複雜資訊，獲得該輸入波之一單一估計值； (b)使該輸入波的單一估計值通過複製該等物理空間遮罩之每一者的過程，以獲得複數個中間陣列； (c)在該等中間陣列之每一者上施行廣義快速傅立葉轉換，並於該等轉換後的中間陣列中之每一點處將振幅值替換為對應的記錄振幅值，以生成另一複數個複雜相位圖；以及 (d)對於該另一複數個複雜相位圖重複步驟(a)，隨後重複步驟(b)及(c)，直至達成收斂性，其中在完成時，該輸入波之該單一估計值係總圖。
  17. 如請求項16所述之系統，其中收斂性係藉由(1)當連續的單一估計值之間的差異到達一預定閾值時，及(2)當完成步驟(a)之給定迭代次數時的任一者所決定。
  18. —種用於由點之陣列恢復相位資訊的方法，每一點具有一振幅，該方法包含： 提供具有一輸入及一光譜輸出之至少一個轉換單元，及包括兩對遮罩的四個遮罩，其中一對中之遮罩係相對於振幅彼此互補的； 將該輸入分開地應用至該四個遮罩之每一者，以由該等遮罩的每一者生成一修改的輸入； 藉由該至少一個轉換單元，在每一個修改的輸入上施行廣義傅立葉轉換，以產生經過轉換之修改的輸入； 記錄於每一個經過轉換之修改的輸入之點之陣列處的振幅值，以產生相位圖； 將一相位值與每一相位圖上之每一點聯繫起來，以形成複數個複雜相位圖；以及 迭代地處理該複數個複雜相位圖，直至達成收斂性，以產生用振幅及相位資訊構成一重建輸入的總圖。
  19. 如請求項18所述的方法，其中每一遮罩包括一外邊界，其將與該外邊界重合之點的相位及振幅設定為零。
  20. 如請求項18所述的方法，其中每一對遮罩包括互補之單極二進制遮罩。
  21. 如請求項12所述之系統，其中建構該至少二個物理空間遮罩，以便由該至少二個物理空間遮罩的其中一者切換至該至少二個物理空間遮罩之其中另一者，使得該輸入係藉由該至少二個物理空間遮罩之每一者按順序個別地接收。
  22. 如請求項12所述之系統，更包含一分束器，其配置成分割該輸入波，以致其係藉由該至少二個物理空間遮罩的每一者個別平行地接收。
  23. 如請求項1所述的方法，其中該輸入係波，且該等遮罩係物理空間遮罩，並更包含分割該輸入波，以致其係藉由該至少二個物理空間遮罩之每一者個別平行地接收。
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