NL1018185C2 - Werkwijze voor het weergeven van gegevens. - Google Patents

Description

Titel: Werkwijze voor het weergeven van gegevens.

De uitvinding heeft betrekking op een werkwijze voor het weergeven van gegevens, waarbij de beschikbare gegevens in ten minste één dimensie bestaan uit bemonsteringen pi met i = 1,.....Nr, waarbij de weergeefinrichting in staat is een aantal Ns bemonsteringen, met Ns < Nr, weer te geven, waarbij 5 groepen van telkens een aantal Nc = Nr / Ns bemonsteringen gevormd worden en elke groep Nc bemonsteringen gereduceerd wordt tot een enkele waarde om deze aan te passen aan het aantal weer te geven bemonsteringen Ns.

Bij veel beeldvormende technieken, zoals sonar, radar, seismologie, tomografie etc. zijn er situaties waarin de hoeveelheid gegevens die verkregen 10 wordt veel groter is dan de hoeveelheid gegevens die op bijvoorbeeld een grafisch scherm, zoals een monitor, kan worden weergegeven. Dergelijke grafische schermen zijn bijvoorbeeld in staat om 1024 beeldpunten in een horizontale richting en 768 beeldpunten in een verticale richting weer te geven

Bij moderne afbeeldtechnieken is het mogelijk om bijvoorbeeld 15 60.000 bemonsteringen of beeldpuntgegevens te hebben, die weergegeven moeten worden langs een as. Om geen relevante informatie te verliezen, is het noodzakelijk de verkregen gegevens pp zo'n wijze te reduceren, dat enerzijds relevante gegevens in ieder geval worden weergegeven en anderzijds het aantal gegevens wordt verminderd tot het aantal, dat door de weergeef-20 inrichting kan worden behandeld.

Alhoewel dit probleem, zoals bovenstaand beschreven, bij veel beeldvormende technieken aanwezig is, zal in het hiernavolgende het probleem met de huidige technieken voor het reduceren van gegevens worden toegelicht aan de hand van voorbeelden uit de sonartechniek, waarbij geluids-25 pulsen worden uitgezonden en mogelijke reflecties van deze pulsen door .: /··» ✓ . ^ 2 voorwerpen ontvangen worden. Een dergelijk uitgezonden geluidspuls en alle daarvan ontvangen echo's wordt in het algemeen een "ping" genoemd.

Huidige sonars kunnen pulsen uitzenden met een bandbreedte van ten minste B = 500 Hz. De afstandsresolutie van een dergelijke puls is 5 cl 2 B = 1,5 m (c, de snelheid van geluid in water = 1500 m/sec). Bij sonar is het gebruikelijk om het uitgangssignaal van een volledige ping op het scherm weer te geven. In een dergelijke weergave wordt de akoestische energie ten opzichte van de afstand (dat wil zeggen de tijd na transmissie) en richting uitgezet. Het aantal richtingshoeken is typisch in de orde van een paar 100 (bijvoorbeeld 10 0-360 graden in intervallen van 1-2 graden). Het aantal afstands- bemonsteringen kan echter zeer groot worden. Bij het bovenstaande voorbeeld, is, wanneer de pingherhalingstijd een minuut is en de bemonstersnelheid 1.000 Hz,, het aantal afstandsbemonsteringen gelijk aan 1.000 x 60 = 60.000. Dit is veel meer dan enig grafisch scherm behandelen kan. Door deze gegevens 15 eenvoudigweg op het scherm weer te geven, zullen de meeste afstandsbemonsteringen niet worden getoond en men weet niet welke bemonsteringen dat zijn. Als een detectie bij dergelijke niet-getoonde afstandsbemonsteringen optreedt, zal deze niet zichtbaar zijn, hetgeen ernstige consequenties kan hebben.

20 Men moet ook in gedachten houden dat het voorgaand geschetste probleem een weergeefprobleem is om de gegevens zo goed mogelijk voor een bedieningspersoon zichtbaar te maken. Alle berekeningen, zoals het bepalen van echoniveaus, echolengtes en afstandsberekeningen, kunnen worden uitgevoerd op de niet-gereduceerde ruwe gegevens, omdat daarbij geen 25 computerscherm betrokken is.

Een conventionele manier om het probleem van het weergeven van beelden met teveel gegevens voor het betrokken weergeefscherm op te lossen is de volgende: 30 3 1. Bepaal voor iedere ping het aantal bemonsteringen, Nr.

2. Bepaal het aantal bemonsteringen dat het scherm kan hanteren, NSm 3. Bepaal het aantal bemonsteringen dat gecombineerd zou moeten worden in groepen bemonsteringen Nc=ÏNr/Ns\ waarin ΓχΊ de kleinste gehele waarde 5 groter dan x aangeeft.

4. Vervang iedere groep van Nc bemonsteringen door een "karakteristieke waarde" binnen die groep van bemonsteringen.

5. Geef deze karakteristieke waarde weer.

10 Het probleem is nu om een karakteristieke waarde voor iedere groep van Nc bemonsteringen te bepalen. Een aantal mogelijkheden liggen voor de hand: het gemiddelde of het maximum.

Tabel 1 toont een overzicht van enkele echoniveaus (ter wille van de eenvoud aangeduid met eigenschap 1, 2 en 3) en achtergrondruis, voor vier 15 verschillende manieren voor het reduceren van de gegevens met Nc = 64. De beschouwde eigenschappen zijn in kolom 1 vermeld, de niveaus van deze eigenschappen zonder reductie zijn in kolom 2 getoond (als referentie). In kolom 3 is het maximum van iedere 64 bemonsteringen genomen. In kolom is het gemiddelde van iedere 64 bemonsteringen genomen. In kolom 5 wordt 20 eerst het gemiddelde over 4 bemonsteringen genomen en dan het maximum over 16 bemonsteringen die op deze wijze zijn gecombineerd. Alle waarden zijn gemiddelde waarden over 15 pings en de waarden tussen haakjes zijn standaarddeviaties over deze 15 pings.

Door het maximum te nemen worden de werkelijke piekwaarden (zoals 25 bij eigenschap 1 en 2) behouden, maar het gemiddelde ruisniveau neemt aanzienlijk toe met betrekking tot het niveau wanneer geen gegevensreductie wordt toegepast. De SNR (Signal to Noise Ratio) neemt met ongeveer 7 dB af. Dit is getoond in de kolommen 2 en 3 van Tabel 1, waarin de niveaus van de eigenschappen 1, 2 en 3 en de ruis voor het onderhavige experiment getoond zijn.

4

Tabel 1

Eigenschap Geen Max. Gem. Gem. max. Nieuw reductie reductie reductie reductie algoritme 1 129.4 (1.9) 129.4(1.9) 116.3(2.5) 126.1 (2.0) 125.3 (4.0) 2 94.2(15.7) 94.2 (15.7) 80.2(11.3) 90.0(14.8) 90.4(16.2) 3 83.7 (2.0) 83.7 (2.0) 74.3 (2.6) 81.7 (2.4) 81.5 (3.9)

Ruis 68.2 (0.4) 75.9 (0.3) 66.8 (0.3) 71.7 (0.3) 68.6 (0.3) SNR eigenschap 1 59.3 (2.1) 51.9(2.0) 47.9(2.5) 52.8 (1.8) 55.1 (4.1) SNR eigenschap 2 26.0(15.6) 18.3(15.6) 13.4(11.2) 18.3(14.7) 21.9(16.0) SNR eigenschap 3 15.5(1.8) 9.4(2.9) 7.5(2.4) 10.0(2.3) 13.0(3.8)

Gemiddeld ÖÖ -7.1 -10.7 45~6 Us SNR verschil_______

Door het gemiddelde van iedere groep van Nc = 64 bemonsteringen te nemen, verkrijgt men het juiste ruisniveau, maar de (scherpe) pieken worden 5 zwakker en kunnen zelfs onzichtbaar worden, waarbij opnieuw de SNR met ongeveer 10 dB afneemt, zoals aangegeven in kolom 4 van Tabel 1. Geen van deze twee methoden geeft dus het gewenste resultaat.

De afname van de SNR ten gevolge van het nemen van het gemiddelde of het maximum kan door een zeer eenvoudige simulatie worden geïllustreerd, 10 waarbij 1000 Gaussische verdelingen van Nc = 64 punten gegenereerd worden, de absolute waarde voor alle Nc = 64 punten wordt genomen en het maximum en het gemiddelde dan kan worden berekend. Over 10000 iteraties is het gemiddelde verschil tussen het maximum en gemiddelde ongeveer 10 dB.

Een reeds voorgestelde manier om de twee conventionele methoden voor 15 het reduceren van de gegevens te combineren is deze methoden te combineren: neem eerst het gemiddeld over een aantal bemonsteringen en neem dan het maximum over een aantal van dergelijke gecombineerde bemonsteringen. In principe komt de eerste stap overeen met een integratie achteraf van de gegevens en het aantal bemonsteringen waarover het gemiddelde wordt 5 genomen, dient overeen te komen met de verwachte afmeting van een eigenschap. De tweede stap, het nemen van het maximum, moet dan uitgevoerd worden over 64/4 = 16 bemonsteringen.

Kolom 5 van Tabel 1 toont het resultaat hiervan. De gemiddelde SNR is 5 beter dan de SNR wanneer alleen het gemiddelde of het maximum genomen wordt, maar nog steeds ongeveer 7 dB lager dan wanneer geen enkele reductie wordt toegepast. Als het gemiddelde genomen wordt over 2 of 8 maal bemonsteringen en dan het maximum over resp. 32 of 8 bemonsteringen, zijn de SNR's voor eigenschap 1, resp. 52,7 en 52,6 dB en die voor eigenschap 3, 10 resp. 9,3 en 9,6 dB.

Een doel van de uitvinding is het verbeteren van de bekende werkwijze voor het reduceren van weer te geven gegevens, waarbij relevante gegevens, zoals reflecties bij sonartechnieken, weergegeven worden met een betere SNR dan bij de bekende gegevensreductietechnieken. Om dit doel te bereiken is de 15 werkwijze volgens de uitvinding gekenmerkt, doordat iedere groep van Nc bemonsteringen pi vervangen wordt door de enkele waarde xt = max [(l-ci) y; + c, z,j i= 1, 2, ... Nc, waarbij: 1) yi is wordt bepaald door de volgende stappen: 20 a. het berekenen van een lineaire benadering van de groep van Nc bemonsteringen, bij voorkeur door middel van de methode van de kleine kwadraten, b. het schatten van de standaardafwijking σ met betrekking tot deze 25 benadering; c. het afwijzen van bemonsterwaarden pi die meer dan 2-3 malen σ van de in stap a bepaalde benadering afwijken; en d. het berekenen van een lineaire benadering yi voor de groep niet-afgewezen bemonsteringen, bij voorkeur door middel van de methode van 30 de kleinste kwadraten, 6 2) Zi berekend wordt door:

Zi = xï - yi; 3) de standaarddeviatie σ van zi berekend wordt; 5 4) voor iedere waarde Zi de waarde Zi berekend wordt; σ 5) de significantie Ci van alle Nc bemonsteringen bepaald wordt met Ci e (0,1) . waarbij Ci« de genormaliseerde integraal van f(M) tussen M = -oo en Ζί/σ, met f(M) = de waarschijnlijkheid-dichtheidsfunctie van het maximum M 10 van de te verwachte achtergrondverdeling met Nc bemonsteringen; en 6) xt bepaald wordt met xt = max [(l-ci) yi + CizJ.

Wanneer het maximum van Xi groot is (in vergelijking met het gemiddelde), zal de waarde van Ci dichtbij 1 zijn, en als het maximum 15 vergelijkbaar is met het gemiddelde, zal de waarde van ci dichtbij 0 zijn (maar heeft dan weinig effect).

Voor deskundigen zal het duidelijk zijn dat de methode van de kleinste kwadraten een eenvoudige en betrouwbare manier is om een lineaire benadering van een groep gegevens, dat wil zeggen bemonsteringen, te 20 verkrijgen, maar dat er veel andere welbekende methoden zijn om een lineaire benadering van een groep gegevens te bepalen, welke methoden ook voor de onderhavige werkwijze gebruikt zouden kunnen worden;

In veel gevallen tonen de achtergrondbemonsteringen een Gaussische verdeling. Aangetoond kan worden dat voor een Gaussische verdeling van Nc 25 bemonsteringen, met een gemiddelde μ en een standaarddeviatie σ, de waarschijnlijkheid-dichtheidsfunctie van het maximum M gelijk is aan f(M) = Ne - + -erf -—=exp -- -^ V2 2 V σν2 JJ σ·42π [ 2( σ J j 7 (zie Appendix A), waarin erf(u) de foutfunctie is die wordt bepaald door erf (u) = ~ jexp(-/2 )dt (2).

dn

Een voorbeeld van deze verdeling is in figuur 1 getoond voor een 5 Gaussische verdeling met een gemiddelde μ = 50 en een standaarddeviatie σ = 5. De gemiddelde waarde van de verdeling van de maxima f(M) met Nc -64 is 61,7 en de standaarddeviatie is 3,5. Dit toont dat zelfs voor een random Gaussische verdeling (ruis), verwacht wordt dat het maximum groter is dan een paar keer σ. Om een maximum in een bepaald afstandsinterval werkelijk 10 significanter te doen zijn, moet dit ten minste zo groot zijn als een typische waarde van f(M).

Wanneer de genormaliseerde integraal van f(M) bijvoorbeeld 0,9 bij M = Mo is, betekent dit dat de waarschijnlijkheid dat het maximum van de "achtergrond" verdeling kleiner is dan Mo gelijk is aan 0,9. De waarschijn-15 lijkheid dat het geïdentificeerde maximum M = Mo uit de "achtergrond" komt, is kleiner dan 0,1 of minder, of, de waarschijnlijkheid dat het geen deel uitmaakt van de "achtergrond" is ten minste 0,9. Dit verklaart de in stap 5 toegepaste methode.

De niveaus van de bepaalde eigenschappen, zoals die verkregen zijn na 20 het reduceren van de gegevens met de bovenbeschreven werkwijze, zijn getoond in kolom 5 van Tabel 1. Het is duidelijk dat de niveaus van de eigenschapen van 1, 2 en 3 nog steeds 3-4 dB lager zijn dan die van de niet-gereduceerde gegevens, maar het achtergrondruisniveau is vrijwel identiek. In het bijzonder voor lagere SNR's functioneert de werkwijze beter dan de 25 bovenbeschreven conventionele gemiddelde en maximum methode. Het algoritme volgens de uitvinding is zeker niet perfect, maar dit is ook niet mogelijk: door 63 van iedere 64 bemonsteringen weg te laten, zal men altijd informatie verliezen. De signaalruisverhoudingen zijn echter 3,5 dB hoger dan 1 o 1 8 bij de "max"-reducering en 7,1 dB dan die bij de "gemiddelde"-reducering en de werkwijze volgens de uitvinding is dus duidelijk beter dan de twee conventionele werkwijzen. De werkwijze is ook beter dan de uitgebreide conventionele werkwijze, in dit geval met 3,0 dB.

5 Er wordt nogmaals aan herinnerd dat de beschreven werkwijze alleen gebruikt moet worden voor het weergeven van de bemonstergegevens: alle werkelijke metingen, zoals (automatische) detectie, classificatie, SNR-berekeningen, evaluatie van de echolengte en dergelijke, moet altijd met de niet-gereduceerde gegevens worden uitgevoerd. De werkwijze volgens de 10 uitvinding is echter zeer waardevol, omdat in het algemeen een bedienings-persoon een eigenschap wil "zien" in plaats van alleen een alarm van een computer te ontvangen.

De werkwijze volgens de uitvinding kan op eenvoudige wijze worden uitgebreid tot niet-Gaussische verdelingen. Het enige verschil is de verdeling 15 over de maxima f(M) in vergelijking (1). Appendix B geeft de berekening van f(M) bij bijvoorbeeld een Raleigh-verdeling met de parameter a.

Om het verschil tussen de verschillende methoden voor het reduceren van gegevens duidelijker te illustreren, wordt een één-dimensionale gegevens vector met 5000 bemonsteringen gegenereerd. Deze vector bevat 20 uitsluitend ruis, gegenereerd volgens een Gaussische verdeling met een gemiddelde 0 en een standaarddeviatie 5 (in willekeurige eenheden). Eén bemonstering, # 2.500, is een waarde gelijk aan 25 gegeven, en representeert een echte eigenschap (overeenkomend met een SNR van 14 dB). Deze gegevens zijn in figuur 2a als lijn 1 getoond. In figuur 2b toont lijn 2 de gegevens na 25 reductie door het maximum te nemen over iedere groep van Nc = 100 bemonsteringen; lijn 3 toont de gereduceerde gegevens door het gemiddelde over iedere groep van Nc= 100 bemonsteringen te nemen; lijn 4 toont de gegevens na een reductie met de werkwijze volgens de uitvinding. Het is duidelijk dat lijn 2 de maxima in de originele gegevens volgt, terwijl lijn 3 30 bijna constant gelijk is aan nul (gemiddelde waarde). Lijn 4 is tussen deze 9 twee lijnen gelegen: de lijn wordt soms nul maar haalt daar ook enkele maxima uit. Opgemerkt wordt dat de figuren 2a en b in feite als een enkele figuur getoond dienen te worden, maar dat de lijnen 2, 3 en 4 onzichtbaar zouden zijn tegen de achtergrond van figuur 2a in een dergelijke enkele figuur.

5 Een verdere simulatie wordt gebruikt om de verschillen tussen de verschillende reductiemethoden te evalueren. Een sequentie van 1000 punten wordt 100 keer gegenereerd, waarbij de punten Gaussisch verdeeld zijn met een gemiddelde 0 en een deviatie σ, gelijk aan 5 dB (figuur 3a, b) of 10 dB (figuur 3c, d). Een enkel beeldpunt wordt dan op een waarde tussen 5 en 30 dB 10 gezet, waardoor een detectie wordt weergegeven. Vervolgens wordt de werkelijke SNR berekend als zijnde het maximum van de sequentie verminderd met het gemiddelde en de gereduceerde SNR's worden op dezelfde wijze berekend, maar na het reduceren van de sequentie met een factor 20 (figuur 3a, c) of 100 (figuur 3b, d). In figuur 3 geeft lijn 1 de resultaten weer na 15 reductie door het nemen van het maximum, lijn 2 na reductie door het nemen van het gemiddelde en lijn 3 na reductie door middel van de werkwijze volgens de uitvinding.

De "gemiddelde reductie" presteert duidelijk het slechtst, en lijn 2 (die de kleinste kwadratenbenadering weergeeft), is bijna horizontaal. Dit geeft 20 aan dat de SNR na reductie geen relatie heeft met de werkelijke SNR, hetgeen zeer ongewenst is. De lijnen 1 en 3 presteren veel beter en zijn bijna parallel in het geval van een reductiefactor 100 (figuur 3d).

De parameters van de kleinste kwadratenbenaderingen zijn in Tabel 2 gegeven. Deze benaderingen bevestigen de conclusies van figuur 3: de nieuwe 25 methode is beter dan alleen het nemen van het maximum en veel beter dan het nemen van het gemiddelde. Het verlies is nog steeds 5dB voor een reductiefactor van 20 en 10 dB voor een reductiefactor van 100 en een r.m.s. verstrooiing in de ruis van 5dB (hetgeen een realistische waarde is bij sonar). Deze getallen zijn ongeveer gelijk aan 1010 log (V reductiefactor), hetgeen in 10 principe betekent dat door het reduceren met een factor N, een factor VN informatie verloren gaat.

Tabel 2

Reductie Reductie factor 20 Reductie factor 100 methode

Fit (SNRthin - Gemiddeld Fit (SNRthm = Gemiddeld Benadering verschil Benadering verschil SNRtrue + b) [dB] SNRtrue + b) [dB] r.m.s. verstrooiing in ruis = 5 dB Max 0.97*-8.95 -9.47 0.86*- 10.37 -13.03

Gem. 0.01*+ 2.31 -17.46 -0.01*+ 0.79 -18.97

Nieuw 0.40*+ 8.10 -4.58 0.88*-7.87 -10.23 r.m.s. verstrooiing in ruis = 10 dB Max 0.93*- 16.53 -18.75 0.75*- 17.41 -25.18

Gem. -0.01*+5.52 -27.18 0.01*+ 1.21 -30.87

Nieuw 0.30*+ 16.51 -5.16 0.76*-12.27 -19.87 5 Voor deskundigen zal het duidelijk zijn dat de werkwijze volgens de uitvinding ook toegepast kan worden in meer dimensies, bijvoorbeeld wanneer op een weergeefinrichting ook de in de y-richting weer te geven gegevens meer gegevens omvatten dan dat er beeldpunten op de weergeefinrichting beschikbaar zijn.

1 0 1 I

11

Appendix A

In deze Appendix wordt de verdeling f(M) over de maxima van Gaussische verdelingen afgeleid. Dat wil zeggen, dat bepaald wordt wat voor een groot aantal Gaussische verdelingen elk met een gemiddelde μ en een standaard-5 afwijking σ, de waarschijnlijkheidsverdeling van de maximumwaarden is. Definieer als de Gaussische verdeling met gemiddelde μ en standaarddeviatie σ is. Definieer de cumulatieve verdeling Fx(x) als x = ƒ/,(')<*

' — cO

=l^Wexp"(kf) 10

x-M

~—j= jexp(-w2)(iw -t = LeJ^) + l 2 ^ σ-JÏ J 2 waarin u = (t-μ) / cW 2 werd gesubstitueerd. Als het maximum ren y z is, dan is Fz(z) = Fx(z) Fy(z), of meer in het algemeen

N

alsmaximum (χ,,.,.,χ^) = z => F2(z) = ΓΚω i=l

In het huidige geval N (1 (x-n\ Λ 15 F2(z) = fl -erf—£ +-

ifi.2 J{aj2) 2J

12

Dan is de waarschijnlijkheidsverdeling fz(z) gelijk aan de partiële afgeleide van Fz{z) naar ƒ (Z) = —F'Z{z) = — ff F, (z) = ~(fx (z))w Qz λ dzii x,\ Qz\ ,,ν n = n(FX] (z))W_1 fXi (z) J1 /ζ-μ) ιΓ i ί (ζ-μ)2λ ν2 ) 2J σ^2π ^ 2σ ) 13

Appendix B

Als fx(x) een Raleigh-verdeling is, kan hetzelfde type afleiding uitgevoerd worden als in Appendix A. De Raleigh-verdeling met parameter «wordt gegeven door

5 ƒ*(x) = —·expj-x>0 a [ 2a J

De cumulatieve verdeling Fx(x), is dan: FM=)/,m -00 ( X1) , ='eT^J+1

De cumulatieve verdeling over de maxima z van fx(x) is dan:

N N ( f —x2 V

W=tlw-Tl >'exP ir- <=> '=i v V Δ(Χ )) 10 De waarschijnlijkheidsverdeling fz(z), over de maxima is dan: . f, « = F, (z) = ~ ΠF,, (z) = (/„ «)" OZ oz %, oz J, ( f z>) = N 1 - exp--—exp-- ^ ^ 2aJJ a ^ 2a,

Claims (5)

1. Een werkwijze voor het weergeven van gegevens, waarbij de beschikbare gegevens in ten minste één dimensie bestaan uit bemonsteringen Pi met i = 1,.....Nr, waarbij de weergeefinrichting in staat is een aantal Ns bemonsteringen, met Ns < Nr, weer te geven, waarbij groepen van telkens een 5 aantal Nc - Nr / Ns bemonsteringen gevormd worden en elke groep Nc bemonsteringen gereduceerd wordt tot een enkele waarde om deze aan te passen aan het aantal weer te geven bemonsteringen Ns, gekenmerkt, doordat iedere groep van Nc bemonsteringen pi vervangen wordt door de enkele waarde xt = max [(l-d) yi + Ci zj i= 1, 2, ... Nc, waarbij: 10 1. yi is wordt bepaald door de volgende stappen: a. het berekenen van een lineaire benadering van de groep van Nc bemonsteringen, bij voorkeur door middel van de methode van de kleine kwadraten, 15 b. het schatten van de standaardafwijking σ met betrekking tot deze benadering; c. het afwijzen van bemonsterwaarden pi die meer dan 2-3 malen σ van de in stap a bepaalde benadering afwijken; en d. het berekenen van een lineaire benadering yi voor de groep niet- 20 afgewezen bemonsteringen, bij voorkeur door middel van de methode van de kleinste kwadraten,

2. De werkwijze volgens conclusie 1, waarin de lineaire benadering in stap la en d bepaald wordt door middel van de methode van de kleinste kwadraten.

2. Zi berekend wordt door: a = xi - yi; 3. de standaarddeviatie σ van Zi berekend wordt; 25 4) voor iedere waarde Zi de waarde Zi berekend wordt; σ 5. de significantie Ci van alle Nc bemonsteringen bepaald wordt met Ci e (0,1) waarbij Ci« de genormaliseerde integraal van f(M) tussen M = -oo en Zi/σ, met f(M) = de waarschijnlijkheid-dichtheidsfunctie van het maximum M van de te verwachte achtergrondverdeling met Nc bemonsteringen; en 5 6) xt bepaald wordt met xt = max [(l-ci) yi + CiZi].

3. Werkwijze volgens conclusie 1 of 2, waarin het tevoren bepaalde 15 aantal malen in stap lc gelijk is aan 2 tot 3.

4. Werkwijze volgens conclusie 1, 2 of 3 met het kenmerk, dat „fl 1 J λί-μ'\\Ν'~' 1 [ ΐ(Μ-μ)2} f(M) = Nc — + —erf --g- _^exp -- -^ V2 2 ^ σν2 )) σ42π [ σ J J ^ waarin: 20 erf(u) = -^= jexp(-f2)ifr (2).

5. Werkwijze volgens conclusie 1, 2 of 3, met het kenmerk, dat f f M2)YC~'Μ f M2) f(M) = Nc 1-exp — exp . ^ y 2a JJ a y 2a J 25