KR20130001494A - 폴라 코드 시퀀스를 이용한 디코딩 방법 - Google Patents

폴라 코드 시퀀스를 이용한 디코딩 방법 Download PDF

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Abstract

디코딩 방법이 제공된다. 본 디코딩 방법에 따르면, 특정 블럭 길이의 폴라 코드 시퀀스를 리커시브(recursive) 공식을 산출하고, 리커시브 공식을 이용하여 블럭 길이 1의 LR(Likelihood Ratio)를 산출하며, LR을 이용하여 입력신호를 디코딩할 수 있게 되어, 높은 퍼포먼스를 가진 디코딩 방법을 제공할 수 있게 된다.

Description

폴라 코드 시퀀스를 이용한 디코딩 방법 {Decoding method using polar code sequence}
본 발명은 디코딩 방법에 관한 것으로, 더욱 상세하게는, 폴라 코드 시퀀스를 이용하여 입력 신호를 디코딩하기 위한 디코딩 방법에 관한 것이다.
몇몇의 유사 채널이 특정 엘리건트 연결(elegant connection) 상태에서 충분한 밀도로 결합되어 있는 경우, 이와 같은 채널 편파 현상은 일반적으로 발생하는 현상이다. 채널 편파의 조사는 흥미있는 이론적 문제일 뿐만 아니라, 신호 시퀀스 변환, 데이터 처리, 신호 처리 및 코드 코딩 이론에서 많은 실제 응용분야도 존재한다. 이에 따라, 높은 퍼포먼스를 가진 디코딩 방법을 제공하기 위한 방안의 모색이 요청된다.
본 발명은 상기와 같은 문제점을 해결하기 위하여 안출된 것으로서, 본 발명의 목적은, 특정 블럭 길이의 폴라 코드 시퀀스를 리커시브(recursive) 공식을 산출하고, 리커시브 공식을 이용하여 블럭 길이 1의 LR(Likelihood Ratio)를 산출하며, LR을 이용하여 입력신호를 디코딩하는 디코딩 방법을 제공함에 있다.
상기 목적을 달성하기 위한 본 발명의 일 실시예에 따른, 폴라 코드 시퀀스를 이용한 디코딩 방법은, 상기 특정 블럭 길이의 폴라 코드 시퀀스를 리커시브(recursive) 공식을 산출하는 단계; 상기 리커시브 공식을 이용하여 블럭 길이 1의 LR(Likelihood Ratio)를 산출하는 단계; 및 상기 LR을 이용하여 입력신호를 디코딩하는 단계;를 포함한다.
그리고, 상기 디코딩 단계는, 랜덤 파트
Figure pat00001
와 프로즌 파트
Figure pat00002
로 구성되며
Figure pat00003
를 만족하는 소스 벡터
Figure pat00004
를 재호출하는 단계;
Figure pat00005
를 WN을 통해 전송하는 단계; 채널 출력
Figure pat00006
을 확률
Figure pat00007
을 이용하여 산출하는 단계; 및
Figure pat00008
를 관측하며,
Figure pat00009
의 추정값
Figure pat00010
를 생성하는 단계;를 포함할 수도 있다.
또한, 상기 생성 단계는,
Figure pat00011
이면, 엘리먼트 ui는 알려지며,
Figure pat00012
로 결정할 수도 있다.
그리고, 상기 생성 단계는,
Figure pat00013
이면, i번째 결정 엘리먼트가 이전 결정
Figure pat00014
이 수신될 때까지 기다릴 수도 있다.
또한, 상기 LR은 다음과 같은 식에 의해 산출될 수도 있다.
Figure pat00015
그리고, 상기 생성단계는, 다음의 공식을 이용하여 결정(decision)을 생성할 수도 있다.
Figure pat00016
또한, 상기 리커시브 공식 산출단계는, 블럭 길이 2n의 폴라-코드 시퀀스의 경우, 다음과 같은 리커시브 공식을 산출할 수도 있다.
Figure pat00017
그리고, 상기 리커시브 공식 산출단계는, 블럭 길이 3n의 폴라-코드 시퀀스의 경우, 다음과 같은 리커시브 공식을 산출할 수도 있다.
Figure pat00018
그리고, 상기 리커시브 공식 산출단계는, 블럭 길이 4n의 폴라-코드 시퀀스의 경우, 다음과 같은 리커시브 공식을 산출할 수도 있다.
또한, 상기 폴라 코드 시퀀스는, B-DMC(Binary Discrete Memoryless Channel) 상에서 BP(belief propagation) 디코더를 이용한 폴라 코드 시퀀스일 수도 있다.
본 발명의 다양한 실시예에 따르면, 특정 블럭 길이의 폴라 코드 시퀀스를 리커시브(recursive) 공식을 산출하고, 리커시브 공식을 이용하여 블럭 길이 1의 LR(Likelihood Ratio)를 산출하며, LR을 이용하여 입력신호를 디코딩하는 디코딩 방법을 제공할 수 있게 되어, 높은 퍼포먼스를 가진 디코딩 방법을 제공할 수 있게 된다.
도 1은 본 발명의 일 실시예에 따른,
Figure pat00019
에 기초한
Figure pat00020
의 두개의 독립 카피로부터 W2를 결합한 채널의 첫번째 레벨을 도시한 도면,
도 2는 본 발명의 일 실시예에 따른, W2의 두개의 독립 카피로부터 W4 결합 채널의 두번째 레벨을 도시한 도면,
도 3은 본 발명의 일 실시예에 따른, W4의 두개의 독립 카피로부터 W8 결합 채널의 두번째 레벨을 도시한 도면,
도 4는 본 발명의 일 실시예에 따른,
Figure pat00021
의 두개의 카피로부터 일반화된 채널
Figure pat00022
의 리커시브 구조를 도시한 도면,
도 5는 본 발명의 일 실시예에 따른,
Figure pat00023
의 패스트 변환을 도시한 도면,
도 6은 본 발명의 일 실시예에 따른,
Figure pat00024
에 기초하여 W1의 4개의 독립 카피로부터 결합채널 W4의 첫번째 레벨을 도시한 도면,
도 7은 본 발명의 일 실시예에 따른,
Figure pat00025
두번째 레벨 채널 결합의 패스트 변환을 도시한 도면,
도 8은 본 발명의 일 실시예에 따른,
Figure pat00026
의 4개의 카피로부터 일반화된 채널
Figure pat00027
의 리커시브 구성을 도시한 도면,
도 9는 본 발명의 일 실시예에 따른, 코어 행렬
Figure pat00028
에 기초한 W의 세개의 카피에 기초한 결합 채널 W3 및 이의 등가 채널을 도시한 도면,
도 10은 본 발명의 일 실시예에 따른,
Figure pat00029
의 변환을 도시한 도면,
도 11은 본 발명의 일 실시예에 따른, 코어 행렬
Figure pat00030
에 기초하여
Figure pat00031
의 4개의 카피로부터 일반화된 채널
Figure pat00032
의 리커시브 구성을 도시한 도면,
도 12는 본 발명의 일 실시예에 따른, 코어 행렬
Figure pat00033
에 기초한 W의 세개의 카피에 기초한 결합 채널 W3 및 이의 등가 채널을 도시한 도면,
도 13은 본 발명의 일 실시예에 따른,
Figure pat00034
의 변환을 도시한 도면,
도 14는 본 발명의 일 실시예에 따른, 코어 행렬
Figure pat00035
에 기초한
Figure pat00036
의 네개의 카피로부터 일반화된 채널
Figure pat00037
의 리커시브 구조를 도시한 도면,
도 15는 본 발명의 일 실시예에 따른, 폴라 코드 시퀀스를 이용한 디코딩 방법을 설명하기 위해 제공되는 흐름도이다.
이하에서는 도면을 참조하여 본 발명을 보다 상세하게 설명한다.
본 실시예는 이진 이산 무기억 채널(binary discrete memoryless channel)의 패스트 채널 편파(fast channel polarization)에 기초한 폴라 코드(polar code)의 체계적 구성(systematic construction) 방법에 대해, 컷오프 비율(cutoff rate)을 증가시키는 입력채널 스플리팅(splitting)으로 코드 시퀀스(code sequence)를 구성하는 아이디어로 접근하여 설명한다.
Figure pat00038
행렬
Figure pat00039
에 기초한 Reed-Muller(RM) 코드의 리커시브 구조(recursive construction)과 관련된, 제안된 시퀀스(sequence)는 코어 행렬(core matrix)
Figure pat00040
(p=2,3,4...)에 대한 낮은 복잡도 연속 상쇄 디코딩 기법(low complexity successive cancellation decoding strategy) 하의 임의의 이진-입력(binary-input) 이산 무기억 채널의 대칭 캐패시티(symmetric capacity)를 얻을 수 있게 된다. 원칙적으로, 패스트 컨스트럭션(fast construction) 알고리즘을 이용한 더 큰 행렬
Figure pat00041
는 소수(prime number) p,q와 음이 아닌 수 n,m에 대한 낮은 계산 복잡도를 가진 폴라 코드 시퀀스(polar code sequence)를 패스트 컨스트럭트(fast construct)할 수 있게 된다. 이에 따라, 본 실시예에서는 이진 이산 무기억 채널(B-DMC : Binary Discrete Memoryless Channel) 상의
Figure pat00042
코어 행렬
Figure pat00043
을 이용함으로써 폴라 코드 시퀀스의 패스트 컨스트럭션을 분석하도록 한다. B-DMC는 특정 패스트 컴바이닝(fast combining) 및 스플리팅 오퍼레이션(splitting operation) 하의 비율(rate) 및 신뢰도(reliability)에 관련하여 편파화하는 경향이 있다. 이와 같은 시퀀스에 기초하여, 주어진 정방행렬(square matrix)
Figure pat00044
의 지수(exponent)를 특정지을 수 있고, 얻을 수 있는 지수의 경계(bound)를 유도할 수 있게 된다. 또한, 중요한 특징이 올 리커시브니스(all recursiveness)이고 BP(belief propagation) 디코더에 의해 디코딩될 수 있으며 분석적으로 다루기 쉽고 강력한 낮은 복잡도 코딩 알고리즘을 제공하는 몇가지 편파화 스킴(polarization scheme)을 찾을 수 있게 된다.
I. Introduction
채널 편파(channel polarization)은 B-DMC(Binary Discrete Memoryless Channel) 상에서 대칭 고비율 캐패시티(symmetric high rate capacity)를 가진 BP(belief propagation) 디코더를 이용한 코드 시퀀스(code sequence)로 구성된다. 몇몇의 유사 채널이 특정 엘리건트 연결(elegant connection) 상태에서 충분한 밀도로 결합되어 있는 경우, 이와 같은 채널 편파 현상은 일반적으로 발생하는 현상이다. 채널 편파의 조사는 흥미있는 이론적 문제일 뿐만 아니라, 신호 시퀀스 변환, 데이터 처리, 신호 처리 및 코드 코딩 이론에서 많은 실제 응용분야도 존재한다.
용량 달성 코드 시퀀스(capacity-achieving code sequence)의 존재를 보여주는 Shannon의 채널 코딩 이론에서 기초하여, BP 디코더를 이용하는 낮은 코등 복잡도를 가지는 용량 달성 시퀀스(capacity-achieving sequence)의 새로운 구조를 보이고자 한다. 본 실시예에서는 이와 같이 B-DMC에 대해 달성하기 어려운 목적을 충족 시키고자 한다. 이는 합 컷오프 비율(sum cutoff rate)을 증가시키기 위한 채널 결합(combining) 및 분할(splitting) 작업의 확장에 해당된다. 최근 조사에 따르면, 합 컷오프 비율은 폴라-코드 구조(polar-code construction)의 서로 다른 형태로 생성된다. 그러나, 이와 같은 향상의 극한에 도달하게 하기 위해 제안되는 리커시브 방법(recursive method)는 거의 없다. 현재 연구 과정에 따르면, 폴라-코드 시퀀스는 Reed-Muller 코드와 대부분 동일하다. 사실, 폴라 코딩의 두가지 필수적인 특징인 리커시브 코드 구조 및 연속 상쇄 디코딩(successive cancellation decoding)은 코딩 이론에 소개되고 있다. 폴라-코드 시퀀스가 Plotkin의 구조로부터 기원된 생성 행렬(generator matrix)
Figure pat00045
에 관하여 멀티레벨을 형성한다는 점과 관련이 있다. 따라서, 폴라 코딩은 Reed-Muller 코딩과 매우 유사하며, 두가지 코딩 구조가 레이트 일 코드(rate one code)에 대한 생성 행렬로 시작하고, 초기 생성 행렬의 열을 삭제(expurgating)함으로써 더 낮은 레이트 코드의 생성 행렬을 얻기 때문에 Reed-Muller 코드의 일반화와 관련이 있게 된다. 반면, 본 실시예에 따르면, Reed-Muller 코드로써 동일한 구조를 가지는 폴라-코드 시퀀스는 희소 인자 그래프 표현(sparse factor graph representation)을 가지고, BP 디코더로 높은 퍼포먼스를 가진 패스트 디코딩이 가능하게 된다.
Reed-Muller 코딩의 일반화(generalization)으로써 고려되는 폴라 코딩은 특정 대칭을 가지는 용량-달성 코드(capacity-achieving code)를 구성하기 위해 채용된 접근 방식이기 때문에, 대칭 용량(symmetric capacity) 및 Bhattacharyya 파라미터에 관련된 BP 디코더 하의 몇가지 폴라-코드 시퀀스의 퍼포먼스의 이점을 보여주도록 한다. 대칭 용량은 같은 확률의 B-DMC의 입력 알파벳(input alphabet)을 이용하는 조건하에 가장 높은 레이트를 달성할 수 있다. 폴라 코드는 낮은 코딩 복잡도를 가진 첫번째 입증 가능한 용량 달성 코드(first provably capacity achieving code)이다.
폴라 코드 시퀀스의 구조에 따라, 입력 알파벳
Figure pat00046
, 출력 알파벳
Figure pat00047
, 및
Figure pat00048
에 대한 트랜지션(transition) 확률 W(y|x)을 가지는
Figure pat00049
로 표시되는 일반적인 B-DMC를 고려한다. 두개의 채널 파라미터를 다음과 같이 고려한다.
먼저 대칭 용량(symmetric capacity)는 다음과 같다.
Figure pat00050
그리고, Bhattacharyya 파라미터는 다음과 같다.
Figure pat00051
두개의 파라미터는 B-DMC의 레이트(rate)와 신뢰도(reliablity)를 측정하는데 매우 유용하다. Shannon 용량인 I(W)는 동일한 주파수를 가진 입력들을 이용하여 신뢰있는 통신을 할 수 있는 최대 레이트 값이다. Z(W)는 ML(macimum-likelihood) 결정 에러의 확률에 대한 상한 경계값에 해당된다.
본 실시예에서, 노테이션(notation)
Figure pat00052
는 열 벡터
Figure pat00053
를 나타낸다. 이와 같이 주어진
Figure pat00054
에 대해,
Figure pat00055
는 서브벡터
Figure pat00056
를 나타낸다. 또한,
Figure pat00057
는 서브벡터
Figure pat00058
Figure pat00059
를 나타낸다. 그리고,
Figure pat00060
는 홀수 인덱스를 가진 서브 벡터
Figure pat00061
를 나타내고,
Figure pat00062
는 짝수 인덱스를 가진 서브벡터
Figure pat00063
를 나타낸다. 마찬가지로,
Figure pat00064
는 서브 벡터
Figure pat00065
를 나타낸다. WN은 B-DMC W를 이용한 N개의 채널을 나타내며, 따라서,
Figure pat00066
를 만족하는
Figure pat00067
로 표현할 수 있다.
이하에서는 다음과 같은 내용을 설명한다. 섹션 II는 채널 분할 오퍼레이션의 리커시브 성질에 대해 설명한다. 여기에서는 채널 결합 및 분할의 한 스텝을 통한 변환에 대해 설명한다. 또한, 이와 같은 변환을 코어 행렬
Figure pat00068
및
Figure pat00069
에 대한 채널 결합 및 분할로 확장한다. 이를 통해, 폴라 코딩을 주로 하는 채널 편파 부분에 대한 내용을 설명한다. 또한, 낮은 복잡도를 가진 효과적 코더 수행을 구현할 수 있는 연속 상쇄(SC : successive cancellation) 코딩의 블럭 에러 확률의 상한을 구한다. 섹션 III는 강력한 낮은 복잡도 코딩 알고리즘을 가지게 되는, BP 디코더를 이용한 컴퓨터를 이용한 복잡도에 대해 고려한다. 또한, 근사적인 디코딩에 대한 통계적 알고리즘을 제안한다. 마지막으로, 섹션 XI에서는 이와 같은 과정의 일반화에 대해 지적하고, 상호 보완적인 점을 도출하여 최종 결론을 설명한다.
II. 편파 구조(Polarization Construction)
본 섹션에서는 Arikan의 구조에 기초하여 폴라 코드의 패스트 구조(fast construction)를 도출한다. 먼저, 도식적인 형태로 정의된 폴라 코드의 생성 행렬 GN의 명확한 대수적 표현을 주어줌으로써 시작한다. 생성 행렬 GN의 대수적 형태는 코딩 연산자
Figure pat00070
의 효과적 수행에 포인트가 있다. 코딩 연산자의 분석에서, 신호 처리 내의 패스트 변환(fast transform)과 관계 있음을 알 수 있다.
폴라 코드를 특수화(specializing) 하기 전에 GN-코셋(coset) 코드의 구조를 도출한다. 파라미터 벡터
Figure pat00071
에 의해 확인된 개별 GN-코셋 코드들을 재호출한다. 이와 같은 분석에서,
Figure pat00072
가 프로즌 비트(frozen bit)가 되도록하는
Figure pat00073
상에서 어떤 특정값을 선택하는 과정에서, 축소된 파라미터 벡터
Figure pat00074
를 고정한다. 즉, 폴라 코드 시퀀스의 분석은 생성 행렬
Figure pat00075
의 몇몇 패밀리에 기초하여, 고정된 파라미터 벡터
Figure pat00076
를 가진 GN-코셋 코드의 앙상블(ensemble)이 된다. 여기에서,
Figure pat00077
는 크로네커 곱셈(keronecker product)를 나타내고, n은 양의 정수, p = 2,3,4를 나타낸다.
A. 생성 행렬
Figure pat00078
에 기초한 폴라 코드 시퀀스
생성 행렬
Figure pat00079
에 기초한 폴라 코드 시퀀스의 구조는 기수(radix)
Figure pat00080
인 채널 편파로부터 유도된다. 이는 주어진 B-DMC W의 N개의 독립된 카피의 한 출력이 N개의 채널의 두번째 세트
Figure pat00081
를 산출하는 연산에 해당된다. 이는 N이 커지면 대칭 용량 텀인
Figure pat00082
가 0 또는 1을 향하고 인덱스 i의 분수 부분이 사라지는 경향이 발생함으로써 편파화 효과를 보여주게 된다. 이와 같은 연사은 채널 결합 페이즈와 채널 분할 페이즈로 구성된다.
채널 결합 : 이 페이즈에서, N=2n에 대한 결합된 채널 WN을 제공하기 위한 리커시브 매너의 주어진 B-DMC W의 몇몇의 카피들을 결합한다. 리커션(recursion)은 W의 하나의 카피만으로 시작하며, 이를 채널 결합의 초기 단계로써
Figure pat00083
로 세팅한다. 리커션(recursion)의 첫번째 레벨은 도 1에 도시된 바와 같이, W1의 두개의 독립 카피를 결합하고, 다음과 같은 트랜지션 확률(transition probability)를 가진 결합된 채널 W2를 얻는다.
Figure pat00084
여기에서,
Figure pat00085
는
Figure pat00086
모드(mod) 2 를 나타낸다. W2의 입력으로부터 W2의 출력으로의 맵핑
Figure pat00087
는 다음과 같이 표현할 수 있다.
Figure pat00088
여기에서,
Figure pat00089
여기에서, 다음과 같은 성질을 쉽게 확인할 수 있다.
Figure pat00090
마찬가지 방법으로, 두번째 레벨 채널을 결합하여 다음과 같이 W4의 입력으로부터 W4의 출력으로의 맵핑을 정의할 수 있다.
Figure pat00091
이와 같은 리커션은 도 2에 도시되어 있다. 여기에서, W2의 두개의 독립 카피는 다음과 같은 트랜지션 확률을 가지는 채널
Figure pat00092
를 셋업하기 위해 결합된다.
Figure pat00093
여기에서,
Figure pat00094
여기에서,
Figure pat00095
를 확인할 수 있으며,
R4는 다음과 같은 퍼뮤태이션(permutation) 행렬이다.
Figure pat00096
또한, 다음과 같이 W8의 입력으로부터 W8의 출력으로의 맵핑을 정의할 수 있다.
Figure pat00097
이는 도 3에 도시된 바와 같은 리커션의 세번째 레벨로 얻을 수 있으며, 이는 채널
Figure pat00098
을 생성하기 위해 W4의 두개의 독립 카피를 결합하여 얻어진다. 리커션의 일반적인 형태는 도 4에 도시된 바와 같으며, 이는
Figure pat00099
에 대한 결합된 채널 WN을 얻기 위해 WN/2의 두개의 독립 카피를 결합함으로써 얻어진다. 합성된 채널의 입력으로부터 로 채널(raw channel)의 입력으로 맵핑
Figure pat00100
는 GF(2)에 대해 선형임이 명백하다. 따라서, 레이터 1의 생성 매트릭스 GN에 의해 다음과 같이 표현할 수 있다.
Figure pat00101
여기에서, 임의의 양의 정수 n에 대한 오더 N=2n의 퍼뮤테이션 행렬 RN에 대해
Figure pat00102
및
Figure pat00103
를 만족한다.
채널 분할 : 두번째 페이즈, 즉, 채널 분할에 대해, 결합된 채널 WN은
Figure pat00104
에 대한 이진 입력 코디네이트 채널(binary input coordinate channel)
Figure pat00105
의 세트 내에서 분할된다. 이는 다음과 같은 트랜지션 확률을 가지는 맵핑
Figure pat00106
에 의해 정의된다.
Figure pat00107
여기에서,
Figure pat00108
는 주어진 입력
Figure pat00109
에 대한
Figure pat00110
의 출력을 나타낸다.
채널 분할의 퍼포먼스를 분석하기 위해, 다음과 같은 편파의 레이트(rate)를 계산한다.
Figure pat00111
Proposion 1 : N=2n를 가진 임의의 B-DMC W에 대해, 분할 채널
Figure pat00112
은
고정된
Figure pat00113
에 대해, n이 무한대로 갈수록,
Figure pat00114
에 대한 인덱스
Figure pat00115
의 프랙션(fraction)은 I(W)로 가고,
Figure pat00116
의 프랙션은 0으로 간다.
이진 소실 채널(binary erasure channel)의 특별한 케이스에서, 채널 분할 값
Figure pat00117
은 다음과 같은 리커시브 관계를 이용하여 계산될 수 있다.
Figure pat00118
여기에서, B-DMC W의 대칭 용량에 대해
Figure pat00119
가 만족한다.
분할 채널들과 결합 채널들의 트랜지션 확률의 관계를 유도하기 위해,
Figure pat00120
에서
Figure pat00121
로의 블럭-와이즈 채널 변환(block-wise channel transformation)을 먼저 고려한다. 예를 들어 B-DMC W에 대해 다음과 같은 맵핑을 고려한다.
Figure pat00122
여기에서,
Figure pat00123
일반적으로, 어떤 N=2n 및
Figure pat00124
에 대해, 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.
Figure pat00125
여기에서,
Figure pat00126
상술한 바와 같이,
Figure pat00127
로부터
Figure pat00128
로의 일반화된 블럭-와이즈 채널 변환은 싱글-스텝 채널 변환(single-step channel transformation) 내에서 로컬 레벨(local level)에서 갈라진다. 그같은 변환의 풀 세트(full set)는 N=4인 도 2에 도시된 예에서의 패브릭(fabric)을 형성한다. 오른쪽에서 왼쪽으로 독출하면, 도 2는 다음과 같은 변환의 2개 카피에서 시작된다.
Figure pat00129
그리고, 버터플라이 패턴(butterfly pattern) 내에서 다음과 같은 일반적인 형태의 채널 변환을 각각 계속하게 된다.
Figure pat00130
이를 위해, 버터 플라이의 오른쪽 끝 포인트에서 두 채널은 항상 아이덴티컬(identical)하고 독립적이다. 최우측(rightmost) 레벨에는,
Figure pat00131
의 두 독립적인 카피가 항상 존재한다. 그리고, 왼쪽 방향의 다음 레벨에는,
Figure pat00132
및
Figure pat00133
각각의 4개의 독립된 카피가 존재하며, 이후에 대해서도 유사하다. 그리고, 왼쪽의 마지막 레벨에서는,
Figure pat00134
및
Figure pat00135
각각의 두개의 독립된 카피가 존재한다. 왼쪽의 각 스텝은 채널 타입 수의 두배가 되지만, 독립된 카피의 수의 절반이 되기도 한다.
명제 2 : 어떤 DB-DMC W 및 N=2n에 대해, 아래의 변환
Figure pat00136
은 다음의 식에 있어, 레이트가 보존되고(rate-preserving) 신뢰도가 향상된다(reliablity-improving).
Figure pat00137
채널 분할은 다음의 식과 같이 중앙으로부터 멀어지도록 레이트 및 신뢰도를 이동시킨다.
Figure pat00138
여기에서, 동등성(equality)은 I(W)=0 또는 I(W)=1과 같다. 신뢰도 텀은 다음과 같은 식을 만족한다.
Figure pat00139
W가 소실 확률(erasure probability)
Figure pat00140
를 가진 BEC(Binary Erasure Channel)인 특별한 케이스에 대해, 채널의 소실 확률은 다음과 같은 리커션(recursion)을 통해 산출된다.
Figure pat00141
주어진 N=2n에 대한 폴라-코드 시퀀스의 패스트 구조를 유도하기 위해, 각 입력
Figure pat00142
이 다음과 같은 식을 이용하여 인코딩된다고 가정한다.
Figure pat00143
여기에서,
Figure pat00144
은 다음의 코어 행렬에 대한 오더(order) N의 생성 행렬이다.
Figure pat00145
그리고, BN은 다음과 같은 퍼뮤테이션 행렬이다.
여기에서, R2=I2이다.
N=2인 특별한 경우,
Figure pat00147
임을 얻을 수 있다. 다음과 같은 리커시브 관계를 쉽게 산출할 수 있다.
Figure pat00148
여기에서, 연산자 RN은 다음과 같이 정의되는 퍼뮤테이션 연산자이다.
Figure pat00149
실제로 다음과 같은 성질의 증명은 쉽게 할 수 있다.
Figure pat00150
따라서, GN은 다음과 같이 표현할 수 있게 된다.
Figure pat00151
그리고, 이는 다음과 같이 다시 표현할 수 있다.
Figure pat00152
마찬가지로, 다음을 얻을 수 있다.
Figure pat00153
식 (18)과 (19)를 결합하면, 다음과 같은 리커시브 관계를 얻을 수 있게 된다.
Figure pat00154
퍼뮤테이션 연산자 BN의 효과를 무시한 인코딩 복잡도의 표현의 단순화를 위해, 다음과 같은 표현
Figure pat00155
을 사용하여, 식을 전개할 수 있다.
Figure pat00156
여기에서,
Figure pat00157
및
Figure pat00158
이다. 각 펙터는 스테이지(stage)
Figure pat00159
로써 정의된다. 생성 행렬
Figure pat00160
은 Reed-Muller 코딩이 이용된다.
Figure pat00161
의 N번째 행의 퍼뮤테이션 연산자는
Figure pat00162
로 정의하고 N번째 열의 퍼뮤테이션 연산자는
Figure pat00163
으로 정의하면, 다음과 같은 식이 만족된다.
Figure pat00164
그러면, 임의의 스테이지
Figure pat00165
에 대해, 다음을 얻을 수 있다.
Figure pat00166
따라서, 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
Figure pat00167
여기에서,
Figure pat00168
. 따라서, 폴라-코드 시퀀스의 생성 행렬 GN에 대해, 다음을 만족하는 2개의 행렬
Figure pat00169
와
Figure pat00170
가 존재한다.
Figure pat00171
이와 같은 식은 팩토라이제이션(factorization)은 스테이지들 사이에 동일한 팩터와 규칙적인 인터커넥션 패턴(interconnection pattern)을 가진다는 것을 보여준다.
예제 1 : N=4인 경우, 다음과 같은 계산을 할 수 있다.
Figure pat00172
식 (21)에 따르면, 다음과 같이 분해할 수도 있다.
Figure pat00173
제안된 분해 방식은 폴라 코드 시퀀스의 계산에 대해
Figure pat00174
의 추가가 필요하다.
다른 예로, n=3인 경우를 들면,
Figure pat00175
이다. 즉, 다음과 같다.
Figure pat00176
제안된 분해는 도 5에서 확인할 수 있듯이, 계산을 위해 12번의 부가가 필요하다. 제안된 알고리즘은 직접 계산을 위해 n2n이 필요했던 기존의 스킴에 비해 빠른 것은 분명하다.
Figure pat00177
및
Figure pat00178
를 만족하는 서브셋
Figure pat00179
에 대한 코드워드(code word)를 생성하기 위해, 인코딩 처리는 다음과 같이 된다.
Figure pat00180
여기에서,
Figure pat00181
는
Figure pat00182
내의 인덱스들을 가진 열들에 의해 형성된 GN의 서브 행렬을 나타낸다. GN은
Figure pat00183
에서 행 퍼뮤테이션 연산자
Figure pat00184
을 이용하여 얻을 수 있다. 따라서, 행렬
Figure pat00185
은 폴라 코딩 처리의 단순화를 위한 폴라-코드 시퀀스르 ㄹ생성하기 위해 사용된다.
만약, 코드워드 블럭
Figure pat00186
가 되기 위해
Figure pat00187
와
Figure pat00188
가 고정되어 있고
Figure pat00189
는 자유롭게 변한다면, 이는 일정한 벡터
Figure pat00190
에 의해 정의되는 코셋(coset)을 가지고 생성 행렬
Figure pat00191
를 가진 선형 블럭 코드의 코셋(coset)이 된다. 유도된 GN-코셋 코드는 파라미터 벡터
Figure pat00192
를 이용함으로써 확인된다. 여기에서, K는
Figure pat00193
의 사이즈에 의해 특정되는 코드 차원(dimension)을 가진다. 비율 K/N은 코드 레이트(code rate)라고 명명한다.
Figure pat00194
는 정보 세트(information set)이라고 정의하고,
Figure pat00195
는 프로즌 비트(frozen bit)라고 정의한다.
Figure pat00196
인 경우, 결과 코드는 Reed-Muller 코드가 된다.
예를 들어, 코드 (4,2,{2,4},1,0)은 다음과 같은 인코더 맵핑을 가진다.
Figure pat00197
여기에서,
Figure pat00198
이다. 예를 들어, 소스 블럭 (1,1)에 대해, 코드 블럭은
Figure pat00199
가 된다. 이는 폴라 코드가 정보 세트
Figure pat00200
의 선택에 대한 특별한 법칙을 주어줌으로써 간단하게 특정될 수 있다는 것을 나타낸다.
다음으로, 다음과 같은 리커션을 이용한
Figure pat00201
에 기초하여 채널 편파화의 신뢰도 관점에서 폴라-코드 시퀀스를 구성하도록 한다.
Figure pat00202
여기에서,
Figure pat00203
이고,
Figure pat00204
이다. 따라서, 어떤
Figure pat00205
에 대해 부등식
Figure pat00206
가 참이 되도록,
Figure pat00207
의 행에 대응되는 세트
Figure pat00208
의 퍼뮤테이션
Figure pat00209
을 형성한다.
(N,K) 폴라 코드의 생성 행렬
Figure pat00210
는 인덱스
Figure pat00211
를 가진 행들로 구성된
Figure pat00212
의 서브 행렬로 정의된다. 수식 (21)의 패스트 알고리즘에 관하여 이 코드 구조의 계산 복잡도는
Figure pat00213
이 된다는 것은 쉽게 증명할 수 있다. 이는
Figure pat00214
의 복잡도를 가진 종래의 접근방식에 비해 빠르다는 것을 확인할 수 있다.
예제 2 : 행렬
Figure pat00215
를 고려하며, 다음을 얻을 수 있다.
Figure pat00216
여기에서
Figure pat00217
로 주어진다. 이에 따라, (N,K) = (8,5) 코드는 다음의 생성 행렬을 가진다.
Figure pat00218
이는 다음의 프로즌(frozen) 행렬을 가진다.
Figure pat00219
프로즌 블럭(0,0,0)을 가진 소스 블럭 (1,1,1,1,1)에 대해, 코딩된 블럭은
Figure pat00220
가 된다.
B. 생성 행렬
Figure pat00221
에 기초한 폴라 코드 시퀀스
생성 행렬
Figure pat00222
에 기초한 채널 편파화는 N개의 분할 채널
Figure pat00223
Figure pat00224
의 두번째 세트를 가진 N=4n에 대한 B-DMC의 독립된 N개의 카피에서 생성되는 연산자이다. 이 연산자는 채널 결합과 채널 분할이 유사하게 혼합되어 있다.
채널 결합 : 생성 행렬
Figure pat00225
에 기초한 채널 결합의 유사한 방법에서, 벡터 채널
Figure pat00226
를 생성하기 위한 리커시브 형태의 주어진 B-DMC W의 멀티 카피들을 결합한다. 이 리커션(recursion)은 몇개의 W의 카피에서 시작한다. 리커션의 첫번째 레벨은 도 6에 도시된 바와 같이 W1=W의 2개의 독립 카피 대신 W1=W의 4개의 독립카피를 결합하고, 다음과 같은 식에 의해 계산된 트랜지션 확률을 가진 첫번째 결합 채널 W4를 얻게 된다.
Figure pat00227
여기에서,
Figure pat00228
이다. W4의 입력으로부터 W4의 출력으로의 맵핑
Figure pat00229
은 다음과 같이 표현된다.
Figure pat00230
여기에서,
Figure pat00231
는 오더(order) 4의 코어 행렬로, 다음과 같이 정의 된다.
Figure pat00232
이는 오더 2의 코어 행렬
Figure pat00233
에 기초한 채널
Figure pat00234
의 결합 동안의 생성 행렬
Figure pat00235
와 차이가 있다. 오더 2의 코어 행렬
Figure pat00236
는 다음과 같다.
Figure pat00237
인코딩 프로세스는 도 6에 도시된 바와 같다. 코어 행렬
Figure pat00238
는
Figure pat00239
와 같지만 이전 서브 섹션에서 제안된 생성 행렬 G4와는 차이가 있다.
리커션의 다음 레벨을 셋업하기 위해, 도 7에 도시된 바와 같이 W4의 4개의 독립 카피를 결합하고 아래와 같은 트랜지션 확률을 가진 채널
Figure pat00240
를 생성한다.
Figure pat00241
그 후에, 도 8에 도시된 바와 같은 리커션의 일반적인 형태를 얻을 수 있다. 여기에서, n-2번째 레벨의 결합 채널
Figure pat00242
의 4개의 독립 카피는 N=4n에 대한 n-1번째 레벨 결합 채널 WN을 제공하기 위해 결합된다. 합성된 채널의 입력으로부터 원래의 채널의 입력으로의 맵핑
Figure pat00243
은 GF(2)에 대해 선형이다. 따라서,
Figure pat00244
인 임의의 정수에 대해, 생성 행렬 GN을 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있게 된다.
Figure pat00245
여기에서,
Figure pat00246
및 BN은 적절한 퍼뮤테이션 행렬이다.
채널 분할 : 오더 4의 코어 행렬
Figure pat00247
에 기초하여 N=4n의 경우의 채널 분할을 고려하면,
Figure pat00248
에 대해
Figure pat00249
인 이진-입력 코디네이트 채널(binary-input coordinate channel)의 세트로 돌아가도록 WN을 분할할 수 있다. 이는 다음과 같은 트랜지션 확률을 가진다.
Figure pat00250
여기에서,
Figure pat00251
는 주어진 입력
Figure pat00252
에 대한
Figure pat00253
의 출력을 나타낸다.
B-DMC W에 관련된 첫번재 레벨의 결합 채널 W4에 대해,
Figure pat00254
에 대한 분할 체널
Figure pat00255
에 관한 맵핑을 다음과 같이 정의한다.
Figure pat00256
여기에서,
Figure pat00257
일반적으로, 어떤
Figure pat00258
및
Figure pat00259
에 대해 결합 채널
Figure pat00260
과 이의 분할 채널
Figure pat00261
을 고려하면, 다음과 같은 관계를 얻을 수 있다.
Figure pat00262
여기에서,
Figure pat00263
Figure pat00264
Figure pat00265
Figure pat00266
여기에서,
Figure pat00267
에 대해,
Figure pat00268
이다.
명제 4 : 어떤
Figure pat00269
에 대해,
Figure pat00270
상기와 같은 변환은 다음과 같이 레이트가 보존되고(rate-preserving) 신뢰도가 증가 된다.
Figure pat00271
채널 분할은 다음과 같이 레이트와 신뢰도를 중심으로부터 멀어지도록 이동시킨다.
Figure pat00272
이는 I(W)=0 또는 I(W)=1을 만족시킨다. 신뢰도 텀은 다음과 같은 점을 만족한다.
Figure pat00273
W가 소실 확률
Figure pat00274
Figure pat00275
를 가진 이진 소실 채널(BEC : Binary Erasure Channel)인 특수한 경우, 채널의 소실 확률은 리커션을 통해 다음과 같이 계산될 수 있다.
Figure pat00276
그리고,
Figure pat00277
은 다음과 같이 계산된다.
Figure pat00278
여기에서,
Figure pat00279
이다.
다음으로, 오더 4의 코어 행렬
Figure pat00280
에 기초하여 N=4n에 대한 폴라-코드 시퀀스의 패스트 구조를 제안한다. 각 입력 시퀀스
Figure pat00281
은 다음과 같은 식의 인커더를 이용하여 인코딩될 수 있다.
Figure pat00282
여기에서,
Figure pat00283
는
Figure pat00284
로 정의되는 코어 행렬에 대한 오더 N의 생성 행렬이다. 그리고, BN은 다음과 같은 퍼뮤테이션 행렬이다.
Figure pat00285
연산자 RN은 다음과 같이 정의되는 퍼뮤테이션 연사자이다.
Figure pat00286
따라서, 퍼뮤테이션 연사자 BN에 대한 리커시브 관계는 다음과 같이 얻을 수 있다.
Figure pat00287
그러면, 생성 행렬 GN에 대한 다음과 같은 또다른 리커시브 관계를 얻을 수 있다.
Figure pat00288
코어 행렬
Figure pat00289
에 기초한 폴라 인코딩 처리의 단순화를 위해,
Figure pat00290
라는 표현을 사용하면, 다음과 같은 성질을 얻을 수 있다.
Figure pat00291
여기에서,
Figure pat00292
이다. 마찬가지로, 각 팩터는 폴라 인코딩에 대해 스테이지
Figure pat00293
로 정의된다. 각 스테이지
Figure pat00294
에 대해, N개의 행의 퍼뮤테이션 행렬은
Figure pat00295
으로 정의하고, N개의 열의 퍼뮤테이션 행렬은
Figure pat00296
로 정의하면, 다음과 같은 성질을 만족한다.
Figure pat00297
그러면, 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
Figure pat00298
따라서, 생성 행렬 GN에 대해, 다음과 같은 성질을 만족하는 2개의 퍼뮤테이션 행렬
Figure pat00299
과
Figure pat00300
이 존재한다.
Figure pat00301
위의 식은 팩토라이제이션(factorization)이 스테이지들 사이에 동일한 팩터와 규칙적인 인터커넥션 패턴을 가진다는 것을 나타내며, 이는 폴라 코딩 처리의 복잡도를 계산하는 것을 쉽게 해준다.
예제 3 : N=16 에 대해, 다음과 같은 폴라 코드 시퀀스의 생성 행렬을 얻을 수 있다.
Figure pat00302
이는 다음과 같이 표현할 수도 있다.
Figure pat00303
제안된 분해는 계산을 위해
Figure pat00304
부가(addition)가 필요하며, 이는 도 7에 도시된 직접 계산보다 더 빠른 것을 확인할 수 있다.
다음으로, 편파화를 위해 코어 행렬
Figure pat00305
을 가진 생성 행렬
Figure pat00306
에 기초한 폴라 코드 시퀀스를 구성한다. 먼저,
Figure pat00307
를 가진 대수적 표현에서
Figure pat00308
의 리커시브 정의를 도출함으로써 시작한다. 여기에서,
Figure pat00309
은 폴라 코딩의 복잡도와 관련이 없는 퍼뮤테이션 행렬이다. 이진 소실 채널에 대한 인코더를 디자인하기 위해, N=4n에 대해, 다음과 같은 벡터에 기초하여 채널 편파화의 신뢰도를 먼저 계산한다.
Figure pat00310
이는 다음과 같은 리커션을 만족한다.
Figure pat00311
여기에서,
Figure pat00312
이고,
Figure pat00313
이다
다음으로,
Figure pat00314
에 대해 Z(N)의 엔트리가 부등식
Figure pat00315
를 만족하기 위한, 세트 (1, ..., N)의 퍼뮤테이션
Figure pat00316
를 설정한다. 퍼뮤테이션 연산자 에 따르면, 폴라 코드 시퀀스의 생성 행렬을 얻을 수 있다. 이와 같은 처리는 코어 행렬
Figure pat00318
를 가지는 폴라 코딩 시퀀스의 생성 행렬
Figure pat00319
의 구조보다 훨씬 빠르다.
마지막으로, (4n,K) 폴라 코드 시퀀스의 생성 행렬
Figure pat00320
은 인덱스
Figure pat00321
를 가진 행들로 구성된
Figure pat00322
의 서브 행렬을 이용하여 생성될 수 있다. 식 (47)에 관한 코드 구성 방법의 계산 복잡도가
Figure pat00323
라는 것은 쉽게 알 수 있다. 즉, 이는 복잡도가
Figure pat00324
인니 직접 계산 방식보다 빠르다는 것을 확인할 수 있다.
예제 4 : 행렬 G16을 고려하면 다음과 같다.
Figure pat00325
여기에서, 를 얻을 수 있다. 그러면, 폴라 코드는 파라미터 (16,5,{16,15,14,12,8})를 가지도록 구성되며, 다음과 같은 생성 행렬을 가지게 된다.
Figure pat00327
그리고, 프로즌 행렬은 다음과 같다.
Figure pat00328
생성 행렬 GI는 파라미터 (16,5,8)을 가진 Reel-Muller 코드의 생성행렬이 된다. 프로즌 블럭 (0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)를 가진 소스 블럭 (1,1,1,1,1)에 대해, 코딩된 블럭은 다음과 같이 얻을 수 있다.
Figure pat00329

C. 생성 행렬
Figure pat00330
에 기초한 폴라 코드 시퀀스
블럭 길이 N=3n에 대해서, 오더 3의 코어 행렬
Figure pat00331
에 기초한 채널 결합은
Figure pat00332
에 대한 벡터 채널
Figure pat00333
을 생성하기 위한 리커시브 형태에서 주어진 B-DMC W의 3n 카피들을 포함한다. 마찬가지 방법으로, 리커션의 첫번째 레벨은 도 9에 도시된 바와 같이 W의 3개의 독립 카피를 결합하고, 다음과 같은 트랜지션 확률을 가진 결합 채널 W3을 얻게 된다.
Figure pat00334
여기에서, 맵핑 W3은 다음과 같이 정의된다.
Figure pat00335
여기에서, 다음의 코어 행렬
Figure pat00336
는
Figure pat00337
의 서브 행렬이다. 즉, 다음과 같다.
Figure pat00338
여기에서,
Figure pat00339
및
Figure pat00340
이다. 또한, 다음과 같은 성질을 확인할 수 있다.
Figure pat00341
리커션의 두번째 레벨을 위해, 다음과 같은 트랜지션 확률을 가진 채널
Figure pat00342
을 생성하기 위해 도 10에 도시된 바와 같이 W3의 3개의 독립 카피들을 결합한다.
Figure pat00343
퍼뮤테이션 연산 B9=R9로 정의한다. 즉, 다음과 같다.
Figure pat00344
따라서, W9의 입력으로부터 W9의 입력으로의 맵핑
Figure pat00345
을 다음과 같이 얻을 수 있다.
Figure pat00346
여기에서,
Figure pat00347
일반적으로, 도 11에 도시된 바와 같은 리커션의 확장 형태를 얻을 수 있게 된다. 여기에서,
Figure pat00348
의 3개의 독립 카피는 채널
Figure pat00349
을 제공하기 위해 결합된다. 입력 벡터
Figure pat00350
은 다음의 식과 같이
Figure pat00351
으로 변환된다.
Figure pat00352
여기에서,
Figure pat00353
이다. 연산자
Figure pat00354
은 다음과 같이 정의되는 퍼뮤테이션 연산자이다.
Figure pat00355
합성된 채널
Figure pat00356
의 입력으로부터 원래의 로 채널(raw channel)
Figure pat00357
로의 맵핑
Figure pat00358
은 선형임은 분명하다. 따라서, 생성 행렬
Figure pat00359
은 다음과 같이 표현된다.
Figure pat00360
따라서,
Figure pat00361
과
Figure pat00362
의 트랜지션 확률의 관계는 다음과 같이 표현된다.
Figure pat00363
여기에서,
Figure pat00364
이고,
Figure pat00365
은 다음과 같이 정의 되는 3n-오더(order) 퍼뮤테이션 행렬이다.
Figure pat00366
예를 들어, n=2일 때, 다음을 얻을 수 있다.
Figure pat00367
여기에서, B3=I3이고, R9는
Figure pat00368
로 정의되는 9-오더 퍼뮤테이션 연산자이다.
Figure pat00369
에 대한
Figure pat00370
내의 W에서 3개의 독립 카피를 변환하는 이전에 정의된 채널 결합 및 분할에 따르면,W와
Figure pat00371
의 관계를 나타내기 위한 일대일 맵핑을 다음과 같이 얻을 수 있다.
Figure pat00372
여기에서,
Figure pat00373
마찬가지 방법으로, N=3n에 대해,
Figure pat00374
및
Figure pat00375
의 관계를 다음과 같이 일반화돤 맵핑으로 구할 수 있다.
Figure pat00376
여기에서,
Figure pat00377
변환
Figure pat00378
은 다음과 같이 레이트 보존(rate-preserving)일 뿐만아니라 신뢰도가 향상(reliability-improving)이 된다.
Figure pat00379
또한, 채널 분할은 레이트와 신뢰도를 중심에서 멀어지도록 이동시킨다. 즉, 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.
Figure pat00380
상술된 신뢰도 텀은 다음과 같은 조건을 만족한다.
Figure pat00381
소실 확률
Figure pat00382
을 가진 이진 소실 채널(binary erasure channel) W의 특별한 경우, 레이트 파라미터
Figure pat00383
는 다음과 같은 리커션을 통해 계산된다.
Figure pat00384
여기에서,
Figure pat00385
이다.
Figure pat00386
에 의해, 신뢰도 파라미터
Figure pat00387
는 다음과 같이 정의된다.
Figure pat00388
주어진 N=3n에 대한 코어 행렬
Figure pat00389
에 기초한 편파화의 처리를 표현하기 위해, 각각의 입력 시퀀스
Figure pat00390
은 다음과 같은 식으로 정의되는 인코더를 이용하여 인코딩될 수 있다.
Figure pat00391
여기에서,
Figure pat00392
은 오더 N의 생성 행렬이고, BN은 다음과 같은 리커션 방식으로 정의되는 퍼뮤테이션 행렬(연산자)이다.
Figure pat00393
여기에서,
Figure pat00394
와
Figure pat00395
를 만족함을 알 수 있다.
Figure pat00396
이 만족됨은 쉽게 증명할 수 있으며, 따라서, 다음과 같은 식을 얻을 수 있게 된다.
Figure pat00397
이는 다음과 같이 다시 표현할 수 있다.
Figure pat00398
Figure pat00399
으로 표현하면 다음의 식을 얻을 수 있다.
Figure pat00400
여기에서,
Figure pat00401
이고,
Figure pat00402
이다. 결국,
Figure pat00403
의 N번째 행의 퍼뮤테이션 행렬
Figure pat00404
과 N번째 열의 퍼뮤테이션 행렬
Figure pat00405
이 존재하며, 이들은
Figure pat00406
를 만족한다. Ekfktj, 팩토라이제이션(factorization)들은 다음과 같은 동일한 팩터를 가지게 된다.
Figure pat00407
여기에서,
Figure pat00408
이다.
또한, 다음과 같은 벡터 채널
Figure pat00409
을 생성하기 위한 코어 행렬에 기초한 또다른 채널 결합 스킴을 고려한다.
Figure pat00410
여기에서, 코어 행렬
Figure pat00411
은 다음과 같은
Figure pat00412
의 서브 행렬이다.
Figure pat00413
여기에서,
Figure pat00414
이고,
Figure pat00415
이다. 이 경우, 리커션의 첫번째 레벨은 도 12에 도시된 바와 같이 W의 3개의 독립 카피들을 결합한다. 그리고, 도 12는 다음과 같은 트랜지션 확률을 가진 결합 채널 W3을 얻게 된다.
Figure pat00416
여기에서, W3은
Figure pat00417
로 정의된다.
리커션의 두번째 레벨을 디자인하기 위해, 도 13에 도시된 바와 같이, 다음의 트랜지션 확률을 가진 결합 채널
Figure pat00418
을 구한다.
Figure pat00419
그 다음, 도 14에 도시된 바와 같이 리커션의 일반적인 형태를 구한다. 코어 행렬
Figure pat00420
에 대한 채널 결합 및 분할에 기초하여,
Figure pat00421
의 관계와 비슷하게 일대일 맵핑을 다음과 같이 구할 수 있다.
Figure pat00422
여기에서,
Figure pat00423
N=3n에 대해, 다음과 같이
Figure pat00424
와
Figure pat00425
의 관계를 구할 수 있다.
Figure pat00426
여기에서,
Figure pat00427
신뢰도는 다음의 조건을 만족한다.
Figure pat00428

예제 5 : N=3에 대해, 다음을 얻을 수 있다.
Figure pat00429
이는 다음과 같이 표현할 수 있다.
Figure pat00430
도 9에 도시된 바와 같이, 제안된 분해(decomposion)은 계산을 위해
Figure pat00431
의 애디션(addition)이 필요하다.
생성 행렬
Figure pat00432
에 기초한 폴라-코드 시퀀스의 구조를 보이기 위해,
Figure pat00433
로 놓고 코드
Figure pat00434
는 다음과 같은 인코더 맵핑을 가진다.
Figure pat00435
소스 블럭 (1,1,1,1)과 프로즌 블럭 (1,0,0,0,0)에 대해, 코드된 블럭은
Figure pat00436
로 디자인 된다. 폴라-코드 시퀀스는 정보 세트
Figure pat00437
의 선택을 위한 구체적인 규칙을 정하여 특정된다.
오더 3의 코어 행렬
Figure pat00438
에 대한 생성 행렬
Figure pat00439
을 가진 채널의 편파화에 기초하여 블럭 길이 3n의 폴라-코드 시퀀스를 구성하기 위해, 다음의 벡터에 관한 신뢰도 채널 편파화를 산출한다.
Figure pat00440
이는 다음과 같은 리커션이 이용된다.
Figure pat00441
여기에서,
Figure pat00442
이고,
Figure pat00443
이다. 그후에,
Figure pat00444
에 대해
Figure pat00445
를 만족하기 위해,
Figure pat00446
에 대한 퍼뮤테이션 연산자
Figure pat00447
Figure pat00448
를 생성한다.
Figure pat00449
폴라-코드의 생성 행렬
Figure pat00450
은 인덱스
Figure pat00451
를 가진
Figure pat00452
의 서브 행렬로부터 구성된다. 생성행렬
Figure pat00453
을 가진 채널의 편파화에 따르면, 이와 같은 처리의 계산 복잡도는
Figure pat00454
가 된다. 하지만, 직접 접근의 계산 복잡도는 n3n이다. 즉, 제안된 구조가 계산 복잡도의 이점이 있음을 알 수 있다.
예제 6 : 식 (80)의 리커션에 대해 행렬
Figure pat00455
을 선택하면, 다음을 얻을 수 있다.
Figure pat00456
이는 생성행렬
Figure pat00457
의 행들에 대한 퍼뮤테이션
Figure pat00458
을 얻을 수 있게 된다. 생성 행렬 G9를 가진 채널의 편파화를 이용하여, 코드
Figure pat00459
는 다음과 같이 구성될 수 있다.
Figure pat00460
인코더 맵핑은 다음과 같다.
Figure pat00461
소스 블럭 (1,1,1,1)에 대해, 코드된 블럭은
Figure pat00462
이다. 이 코드는 다음의 생성 행렬을 가지는 (N,K) = (9,5) Reed-Muller 코드가 될 필요가 있다.
Figure pat00463

III. 디코딩 알고리즘
본 섹션에서는, 제안된 폴라 코드의 디코딩 알고리즘을 설명한다. 이전 섹션에 따르면, 제안된 계산 모델은 RAM(random access memory)를 가진 싱글 프로세서 머신에 적용될 수 있다. p=2,3,4인 블럭 길이 N=pn에 대해 파라미터
Figure pat00464
를 가진 GN-코셋 코드의 다음과 같은 디코딩을 고려한다.
Figure pat00465
Figure pat00466
Figure pat00467
랜덤 파트
Figure pat00468
와 프로즌 파트
Figure pat00469
로 구성되며
Figure pat00470
를 만족하는 소스 벡터
Figure pat00471
를 재호출한다. 이 벡터
Figure pat00472
은 WN을 통해 전송되며 채널 출력
Figure pat00473
은 확률
Figure pat00474
로 구해진다. 디코더는
Figure pat00475
를 관측하며,
Figure pat00476
의 추정값
Figure pat00477
를 생성하게 된다.
만약,
Figure pat00478
이면, 엘리먼트 ui는 알려지며, i번째 결정(decision) 엘리먼트는
Figure pat00479
가 된다. 하지만,
Figure pat00480
이면, i번째 결정 엘리먼트는 이전 결정
Figure pat00481
이 수신될 때까지 기다리게 된다. 만약, 수신되면, 디코더는 LR(Likelihood Ratio)를 다음과 같이 산출하게 된다.
Figure pat00482
그리고, 다음을 이용하여 결정을 생성하게 된다.
Figure pat00483
그러면, 모든 연속된 결정 엘리먼트들로 이를 전송하게 된다. 이와 같은 처리는 추정의 수정이 없는 싱글 패스 알고리즘(single pass algorithm)이다. 이와 같은 알고리즘의 복잡도는 LR의 계산의 복잡도에 의해 결정된다.
A. 생성 행렬
Figure pat00484
에 기초한 폴라-코드 시퀀스에 대한 디코딩 알고리즘
블럭 길이 2n의 폴라-코드 시퀀스에 대한, 리커시브 공식을 이용한 단순한 계산은 수식 (82)에 표현된 공식으로 주어진다. 따라서, 길이 2n에서 LR의 계산은 2n-1에서 2개의 LR의 계산으로 줄여질 수 있다. 따라서, 리커션은 B-DMC W에 대한 블럭 길이 1까지 내려갈 수 있으며, 이때의 LR은 다음과 같이 표현된다.
Figure pat00485

B. 생성 행렬
Figure pat00486
에 기초한 폴라-코드 시퀀스에 대한 디코딩 알고리즘
오더 3n의 생성 행렬
Figure pat00487
에 기초한 채널의 편파화에 관하여, 코어 행렬
Figure pat00488
에 기초하여 시커시브 공식 (74) ~ (76)으로 계산할 수 있다. 그리고, 수식 (83)의 공식을 얻을 수 있게 된다. 코어 행렬
Figure pat00489
의 경우, 수식 (84)에 표현된 디코더 결정을 얻을 수 있게 된다.
C. 생성 행렬
Figure pat00490
에 기초한 폴라-코드 시퀀스에 대한 디코딩 알고리즘
N=4n에 대해, 리커시브 공식 (34)~(37)을 이용한 간단한 계산을 이용하여 수식 (85)를 얻을 수 있다. 여기에서, 노테이션 (Li)는 다음과 같이 각각 간단하게 정의될 수 있다.
Figure pat00491
따라서, 길이 4n에 대한 LR의 계산은 4n-1인 두개의 LR의 계산으로 줄여진다. 이와 같은 리커션은 마찬가지로 수식 (88)에 표현된 LR 형태를 가진 블럭 길이 1까지 계속 낮춰질 수 있게 된다.
IV. 결론
B-DMC W에 대한 정보 비트를 전송함으로써, 블럭 길이 N=pn의 폴라 코드 시퀀스는 p=2,3,4에 대한 편파된 코어 행렬
Figure pat00492
을 시작으로 구성될 수 있다. 각 코드에 대한 인코딩과 연속 상쇄 디코딩의 복잡도는
Figure pat00493
의 복잡도를 가진 기존의 스킴에 비하여 더 낮아질 수 있게 된다. 마찬가지의 내용을 바탕으로, 블럭 길이
Figure pat00494
의 폴라-코드는 다음의 형태의 생성 행렬로부터 구성될 수 있다.
Figure pat00495
여기에서,
Figure pat00496
에 대해
Figure pat00497
이고, GN은
Figure pat00498
로부터 생성된 사이즈
Figure pat00499
의 편파 행렬이다. 제안된 생성 행렬 GN은 패스트 구성(fast constructed)이다. 일반성의 손실 없이,
Figure pat00500
과
Figure pat00501
은 두개의 생성 행렬인 것으로 가정한다. 여기에서,
Figure pat00502
와
Figure pat00503
은 음이 아닌 정수 m,n에 대한 숫자를 나타낸다. 그러면, N=pmqn에 대해 더 큰 사이즈의 생성 행렬
Figure pat00504
은 다음과 같은 리커시브 방식으로 패스트 구성이 된다.
Figure pat00505
여기에서,
Figure pat00506
이고, IN은
Figure pat00507
아이덴티티 행렬(identity matrix)이다.
만약,
Figure pat00508
이
Figure pat00509
과
Figure pat00510
까지 팩터러블(factorable)이면, 분해 알고리즘이 가능하다. 이 경우에서, 분해 알고리즘은 구성 절차의 역 절차에 해당된다. 팩터러블 조건은 크로네커 분해(Kronecker decomposition)와 동일하다. 다시말해, 만약 행렬
Figure pat00511
및
Figure pat00512
이 크로네커 형태, 즉,
Figure pat00513
로 표현될 수 있으면,
Figure pat00514
은 팩터러블하다. 즉, 주어진 N=pmqn 사이즈의 생성 행렬
Figure pat00515
에 대해, 만약
Figure pat00516
이
Figure pat00517
과
Figure pat00518
까지 팩터러블(factorable)이면, N 사이즈의 생성 행렬
Figure pat00519
은 식 (90)에 따라 분해가 가능하게 된다.
요약하면, 본 실시예에서,
Figure pat00520
에 대한 생성 행렬
Figure pat00521
에 기초하여 패스트 알고리즘을 가진 폴라-코드의 인코딩/디코딩의 표현을 얻기 위한 폴라-코드 시퀀스의 전반적인 인코딩/디코딩 구조 및 시스템을 제공한다. 제안된 인코딩 스킴의 복잡도는 Arikan에의해 제안된 종래기술에 비해 훨씬 낮다. 거의 노이즈가 없는 B-DMC W를 통해 정보 비트들을 전송함으로써, 블럭-길이 pn인 폴라-코드는 어떤 편파 행렬(polarizing matrix)
Figure pat00522
으로 시작되어 패스트 구성이 된다. 이같은 코드들의 인코딩과 연속 상쇄 디코딩 복잡도는
Figure pat00523
의 복잡도를 가지는 Arikan의 코드보다 낮다. 또한 블럭-길이 pn인 폴라-코드는
Figure pat00524
형태의 생성 행렬로부터 구성될 수 있다. 여기에서 각
Figure pat00525
는 사이즈 p의 편파 행렬이다. 이같은 변환의 큰 클래스는 이진-입력 무기억 채널(binary-input memoryless channel)을 편파화하게 된다.
이하에서는 도 15를 참고하여 디코딩 방법에 대해 설명한다. 도 15는 본 발명의 일 실시예에 따른, 폴라 코드 시퀀스를 이용한 디코딩 방법을 설명하기 위해 제공되는 흐름도이다.
일단, 디코더는 특정 블럭 길이의 폴라 코드 시퀀스를 리커시브(recursive) 공식을 산출한다(S110). 구체적으로, 디코더는, 블럭 길이 2n의 폴라-코드 시퀀스의 경우, 다음과 같은 리커시브 공식을 산출한다.
Figure pat00526
또한, 디코더는, 블럭 길이 3n의 폴라-코드 시퀀스의 경우, 다음과 같은 리커시브 공식을 산출하게 된다.
Figure pat00527
또한, 디코더는, 블럭 길이 4n의 폴라-코드 시퀀스의 경우, 다음과 같은 리커시브 공식을 산출하게 된다.
Figure pat00528
그 후에, 디코더는 리커시브 공식을 이용하여 블럭 길이 1의 LR(Likelihood Ratio)를 산출한다(S120). 구체적으로, 디코더는 LR을 다음과 같은 식에 의해 산출한다.
Figure pat00529
그리고, 디코더는 LR을 이용하여 입력신호를 디코딩한다(S130). 구체적으로, 디코더는, 랜덤 파트
Figure pat00530
와 프로즌 파트
Figure pat00531
로 구성되며
Figure pat00532
를 만족하는 소스 벡터
Figure pat00533
를 재호출한다. 그리고, 디코더는
Figure pat00534
를 WN을 통해 전송한다. 그 후에, 디코더는 채널 출력
Figure pat00535
을 확률
Figure pat00536
을 이용하여 산출한다. 또한, 디코더는
Figure pat00537
를 관측하며,
Figure pat00538
의 추정값
Figure pat00539
를 생성하게 된다. .
디코더는,
Figure pat00540
이면, 엘리먼트 ui는 알려지며,
Figure pat00541
로 결정하게 된다. 반면,
Figure pat00542
이면, 디코더는 i번째 결정 엘리먼트가 이전 결정
Figure pat00543
이 수신될 때까지 기다리게 된다.
이와 같이, 디코더는 다음의 공식을 이용하여 결정(decision)을 생성하게 된다.
Figure pat00544
한편, 본 실시예에 따른 디코딩 방법을 수행하게 하는 컴퓨터 프로그램을 수록한 컴퓨터로 읽을 수 있는 기록매체에도 본 발명의 기술적 사상이 적용될 수 있음은 물론이다. 또한, 본 발명의 다양한 실시예에 따른 기술적 사상은 컴퓨터로 읽을 수 있는 기록매체에 기록된 컴퓨터로 읽을 수 있는 코드 형태로 구현될 수도 있다. 컴퓨터로 읽을 수 있는 기록매체는 컴퓨터에 의해 읽을 수 있고 데이터를 저장할 수 있는 어떤 데이터 저장 장치이더라도 가능하다. 예를 들어, 컴퓨터로 읽을 수 있는 기록매체는 ROM, RAM, CD-ROM, 자기 테이프, 플로피 디스크, 광디스크, 하드 디스크 드라이브, 등이 될 수 있음은 물론이다. 또한, 컴퓨터로 읽을 수 있는 기록매체에 저장된 컴퓨터로 읽을 수 있는 코드 또는 프로그램은 컴퓨터간에 연결된 네트워크를 통해 전송될 수도 있다.
또한, 이상에서는 본 발명의 바람직한 실시예에 대하여 도시하고 설명하였지만, 본 발명은 상술한 특정의 실시예에 한정되지 아니하며, 청구범위에서 청구하는 본 발명의 요지를 벗어남이 없이 당해 발명이 속하는 기술분야에서 통상의 지식을 가진자에 의해 다양한 변형실시가 가능한 것은 물론이고, 이러한 변형실시들은 본 발명의 기술적 사상이나 전망으로부터 개별적으로 이해되어져서는 안될 것이다.

Claims (10)

  1. 폴라 코드 시퀀스를 이용한 디코딩 방법에 있어서,
    상기 특정 블럭 길이의 폴라 코드 시퀀스를 리커시브(recursive) 공식을 산출하는 단계;
    상기 리커시브 공식을 이용하여 블럭 길이 1의 LR(Likelihood Ratio)를 산출하는 단계; 및
    상기 LR을 이용하여 입력신호를 디코딩하는 단계;를 포함하는 디코딩 방법.
  2. 제1항에 있어서,
    상기 디코딩 단계는,
    랜덤 파트
    Figure pat00545
    와 프로즌 파트
    Figure pat00546
    로 구성되며
    Figure pat00547
    를 만족하는 소스 벡터
    Figure pat00548
    를 재호출하는 단계;
    Figure pat00549
    를 WN을 통해 전송하는 단계;
    채널 출력
    Figure pat00550
    을 확률
    Figure pat00551
    을 이용하여 산출하는 단계; 및
    Figure pat00552
    를 관측하며,
    Figure pat00553
    의 추정값
    Figure pat00554
    를 생성하는 단계;를 포함하는 것을 특징으로 하는 디코딩 방법.
  3. 제2항에 있어서,
    상기 생성 단계는,
    Figure pat00555
    이면, 엘리먼트 ui는 알려지며,
    Figure pat00556
    로 결정하는 것을 특징으로 하는 디코딩 방법.
  4. 제2항에 있어서,
    상기 생성 단계는,
    Figure pat00557
    이면, i번째 결정 엘리먼트가 이전 결정
    Figure pat00558
    이 수신될 때까지 기다리는 것을 특징으로 하는 디코딩 방법.
  5. 제2항에 있어서,
    상기 LR은 다음과 같은 식에 의해 산출되는 것을 특징으로 하는 디코딩 방법.
    Figure pat00559
  6. 제5항에 있어서,
    상기 생성단계는,
    다음의 공식을 이용하여 결정(decision)을 생성하는 것을 특징으로 하는 디코딩 방법.
    Figure pat00560
  7. 제1항에 있어서,
    상기 리커시브 공식 산출단계는,
    블럭 길이 2n의 폴라-코드 시퀀스의 경우, 다음과 같은 리커시브 공식을 산출하는 것을 특징으로 하는 디코딩 방법.
    Figure pat00561
  8. 제1항에 있어서,
    상기 리커시브 공식 산출단계는,
    블럭 길이 3n의 폴라-코드 시퀀스의 경우, 다음과 같은 리커시브 공식을 산출하는 것을 특징으로 하는 디코딩 방법.
    Figure pat00562
  9. 제1항에 있어서,
    상기 리커시브 공식 산출단계는,
    블럭 길이 4n의 폴라-코드 시퀀스의 경우, 다음과 같은 리커시브 공식을 산출하는 것을 특징으로 하는 디코딩 방법.
    Figure pat00563
  10. 제1항에 있어서,
    상기 폴라 코드 시퀀스는,
    B-DMC(Binary Discrete Memoryless Channel) 상에서 BP(belief propagation) 디코더를 이용한 폴라 코드 시퀀스인 것을 특징으로 하는 디코딩 방법.
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