KR20110110402A - 고무 물성 평가 방법 - Google Patents

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Abstract

본 발명은 고무의 압입과 관련된 물성 평가를 위한 방법에 관한 것이다. 고무 물성 평가 방법은 고무의 Yeoh 모델 구성 방정식의 물성 계수의 범위를 결정하는 단계, 압입자를 통한 압입시험을 모사하는 유한요소해석으로 상기 고무에 대한 하중-변위 데이터를 측정하는 단계, 그리고 상기 하중-변위 데이터를 상기 Yeoh 모델 구성 방정식의 변형에너지밀도-주신장률 데이터로 사상하는 무차원 사상함수와 상기 Yeoh 모델 구성 방정식을 이용한 반복 회귀를 통해 상기 물성 계수를 확정하는 단계를 포함한다. 본 발명에 의하면, 무차원 사상함수와 Yeoh 모델 구성 방정식을 이용한 반복 회귀를 통해 물성 계수를 확정하고 압입시험기를 이용하여 검증함으로써, 편리하면서도 정밀한 고무의 물성 평가가 이루어질 수 있다.

Description

고무 물성 평가 방법{Method for evaluating material property of rubber}
본 발명은 고무의 압입과 관련된 물성 평가를 위한 방법에 관한 것이다.
고무 부품의 물성 평가는 고무 부품의 성능 향상에 있어 핵심 기술이다. 고무는 열이나 화학 첨가물, 약품 등의 영향을 계속적으로 받으므로, 작업 중 실시간으로 물성 평가가 이루어져야 정확한 물성을 찾아낼 수 있다. 그러나 기술 부족으로 이러한 실시간 물성 평가가 이루어지지 못하고 있다.
고무 부품은 저진동, 저소음화, 그리고 작동감 향상의 효과가 있어 고품질과 고신뢰성의 달성을 위해 대부분의 기계제품에 날로 그 사용이 증가되고 있는 추세이다. 따라서 이러한 고무 부품에 대한 보다 정확하고 진보한 해석 및 설게기술이 요구되고 있다.
고무의 물성치 측정기술은 현재 국내에서 여러 시도를 하고 있지만 아직까지 경험에 의존하고 있으며, 최근에는 국내 국가 연구소 고무 역학 실험실에서 경도값에 따른 비선형 계수의 데이터베이스를 구축하고 있다. 그러나 경도 값이 같더라도 서로 다른 비선형 물성계수를 가질 수 있기 때문에, 경도만으로 고무의 물성을 예측할 경우 제한된 종류의 고무 시편에만 적용이 가능하다.
이 같은 현실에도 불구하고 고무 재료의 물성계수 평가를 위한 압입시험 연구는 전무한 실정이다. 이는 기존 금속 압입이론이 경험적인 실험식에 의존하고 있어, 정확성이 떨어지고 타 재료에 대한 확장성에도 큰 제한이 있기 때문이다.
또한, 기존의 압입이론은 실제 고무재료를 반영한 물성 범위를 선정하지 않고 이전 경험에 따른 물성범위를 선정했으며, 데이터베이스의 부족과 낮은 차수의 무차원함수의 사용으로 인해 범용 정밀도를 갖추지 못하였다.
본 발명은 전술한 바와 같은 문제점들을 해결하기 위해 창출된 것으로서, 본 발명이 해결하고자 하는 과제는 편리하면서도 정밀하게 수행될 수 있는 고무 물성 평가 방법을 제공하는 것이다.
상기한 과제를 달성하기 위한 본 발명의 한 실시예에 따른 고무 물성 평가 방법은 고무의 Yeoh 모델 구성 방정식의 물성 계수의 범위를 결정하는 단계, 압입자를 통한 압입시험을 모사하는 유한요소해석으로 상기 고무에 대한 하중-변위 데이터를 측정하는 단계, 그리고 상기 하중-변위 데이터를 상기 Yeoh 모델 구성 방정식의 변형에너지밀도-주신장률 데이터로 사상하는 무차원 사상함수와 상기 Yeoh 모델 구성 방정식을 이용한 반복 회귀를 통해 상기 물성 계수를 확정하는 단계를 포함한다.
본 발명의 한 실시예에 따른 고무 물성 평가 방법은 상기 고무에 대해 압입시험기로 측정한 물성치와 비교하여 상기 확정된 물성 계수를 검증하는 단계를 더 포함할 수 있다.
상기 Yeoh 모델 구성 방정식은 다음 식일 수 있다.
[식]
W=C 1(I 1-3)+C 2(I 1-3)2+C 3(I 1-3)3
(여기서, W는 상기 고무의 응력 σ 및 변형률 ε과 σ=∂W/∂ε의 관계에 있는 상기 변형에너지밀도, I 1은 Green 변형 텐서의 세 불변량 I 1, I 2 및 I 3 중 하나, 그리고 C 1, C 2 및 C 3은 상기 물성 계수이다.)
상기 Green 변형 텐서의 세 불변량 I 1, I 2 및 I 3은 다음 식을 만족할 수 있다.
[식]
I 1=λ1 2+λ1 2+λ1 2
I 2=λ1 2λ2 2+λ2 2λ3 2+λ3 2λ1 2
I 3=λ1 2λ2 2λ3 2
(여기서, λ1, λ2 및 λ3은 주신장률이다.)
상기 Green 변형 텐서의 세 불변량 I 1, I 2 및 I 3과 상기 주신장률 λ1, λ2 및 λ3은 비압축성 재료 조건과 단일 인장 상태 조건인 다음 식을 만족할 수 있다.
[식]
I 3=1, λ2=λ3
상기 Yeoh 모델 구성 방정식은 응력과 변형률에 관하여 다음 식으로 표현될 수 있다.
[식]
Figure pat00001
(여기서, σ는 상기 고무의 응력, ε은 λ=1+ε인 관계에 있는 상기 고무의 변형률이다.)
상기 물성 계수 C 1, C 2 및 C 3의 범위는 인장시험을 통해 구한 인장 공칭 응력-공칭 변형률 데이터를 유한요소해석 프로그램에 대입하여 결정하거나, 상기 인장 공칭 응력-공칭 변형률 데이터를 상기 Yeoh 모델 구성 방정식의 응력과 변형률에 관한 식에 대입하여 상기 변형에너지밀도와 상기 주신장률을 구하고 상기 Yeoh 모델 구성 방정식으로 회귀하여 결정할 수 있다.
상기 물성 계수 C 1, C 2 및 C 3의 범위는 각각 0.6~2.2, 1.1~0.0 및 0.1~0.6일 수 있다.
상기 유한요소해석은 상기 물성 계수를 상기 물성 계수의 범위의 중간값으로 설정하여 이루어지고, 상기 물성 계수의 범위는 인장시험을 통해 구한 인장 공칭 응력-공칭 변형률 데이터에 의해 정해질 수 있다.
상기 유한요소해석은 압입 방향 끝단에서의 유효응력과 변위가 0에 수렴하는 유한요소모델을 통해 이루어질 수 있다.
상기 하중-변위 데이터의 측정 지점은 상기 변형에너지밀도와 상기 주신장률이 최대인 상기 압입자의 폭에 대한 압입 깊이의 비(h/D)가 0.35인 지점으로 할 수 있다.
상기 무차원 사상함수는 다음 식으로 표현될 수 있다.
[식]
Figure pat00002
Figure pat00003
(여기서, h는 압입 깊이, P는 하중, D는 상기 압입자의 폭이다.)
상기 물성 계수를 확정하는 단계는 상기 물성 계수 C 2, C 3을 물성 계수 가능 범위의 중간값으로 가정하고, 상기 유한요소해석으로 측정된 상기 하중-변위 데이터 중 상기 압입자의 폭에 대한 압입 깊이의 비가 미리 정해진 지점에서의 하중 데이터를 통해 상기 물성 계수 C 1을 구하는 단계, 상기 구한 물성 계수 C 1과 상기 가정한 물성 계수 C 2, C 3을 포함하는 회귀식에 상기 하중-변위 데이터를 대입하여 무차원 값을 구하는 단계, 그리고 상기 무차원 값을 상기 무차원 사상함수에 대입하여 상기 Yeoh 모델 구성 방정식의 변형에너지밀도(W)와 I 1을 구하고 상기 구해진 변형에너지밀도(W)와 I 1에 대한 곡선을 회귀하여 상기 가정한 물성 계수 C 2, C 3을 갱신하는 단계를 포함할 수 있다.
상기 물성 계수를 확정하는 단계는 이전의 물성 계수 C 2, C 3와 상기 갱신된 물성 계수 C 2, C 3의 차이가 미리 정해진 값보다 크면, 상기 갱신된 물성 계수 C 2, C 3로 구한 변형에너지밀도(W)와 I 1에 대한 곡선을 회귀하여 상기 갱신된 물성 계수 C 2, C 3을 다시 갱신하는 단계를 더 포함할 수 있다.
상기 미리 정해진 지점은 상기 압입자의 폭에 대한 압입 깊이의 비(h/D)가 0.1인 지점이고, 상기 물성 계수 C 1은 다음 식을 통해 구할 수 있다.
[식]
Figure pat00004
(여기서, P h / D =0.1은 상기 미리 정해진 지점에서의 상기 하중 데이터이고, H 0은 0.01663, H 1은 4.37583이다.)
상기 회귀식은 다음 식일 수 있다.
[식]
Figure pat00005
Figure pat00006
(여기서, ψ의
Figure pat00007
는
Figure pat00008
(i=1, 2, 3, j, k, l=0, 1, 2, 3)이고, φ의
Figure pat00009
는
Figure pat00010
(i=1, 2, 3, j, k, l=0, 1, 2, 3)이다.)
상기 E ijkl 와 상기 S ijkl 는 다음 식을 통해 구하고,
[식]
Figure pat00011
(여기서, i=1, 2, 3, j, k, l=0, 1, 2, 3이다.)
상기 D ijk 와 상기 R ijk 은 다음 식을 통해 구하며,
[식]
Figure pat00012
(여기서, i=1, 2, 3, j, k=0, 1, 2, 3이다.)
상기 B ij 와 상기 Q ij 는 다음 식을 통해 구할 수 있다.
[식]
Figure pat00013
(여기서, i=1, 2, 3, j=0, 1, 2, 3이다.)
본 발명에 의하면, 무차원 사상함수와 Yeoh 모델 구성 방정식을 이용한 반복 회귀를 통해 물성 계수를 확정하고 압입시험기를 이용하여 검증함으로써, 편리하면서도 정밀한 고무의 물성 평가가 이루어질 수 있다.
도 1은 본 발명의 한 실시예에 따른 고무 물성 평가 방법을 단계적으로 나타낸 흐름도이다.
도 2는 각 구성 방정식 모델에 대한 응력-변형률 곡선들을 나타내는 그래프이다.
도 3은 인장 시험에서 구한 각 모델의 물성 계수를 이용해 전단 시험의 응력-변형률 곡선을 예측하여 실제 전단 데이터와 비교한 그래프이다.
도 4는 Yeoh 모델의 세 가지 계수 C 1, C 2, 그리고 C 3 중 두 계수를 중간 값으로 고정하고 하나의 계수만 변화시켜 응력-변형률 곡선들을 얻은 그래프이다.
도 5는 7-10회의 사전 반복 하중을 통해 시험 초기에 나타나는 Mullins softening 효과를 제거한 상태를 네 가지 고무 재료에 대하여 나타낸 그래프이다.
도 6은 각 고무 재료들을 0.067, 0.13, 0.67, 그리고 0.8 (/s)의 공칭 변형률 속도로 인장하여 고무 재료의 변형률 속도 의존성을 살펴본 그래프이다.
도 7은 준정적 변형률 속도에 대한 인장 하중-변위 곡선을 공칭 응력-공칭 변형률 곡선으로 나타낸 그래프이다.
도 8은 구형 압입자를 이용한 고무 재료의 압입시험을 모사하기 위한 유한요소모델을 나타낸다.
도 9는 R/D=24, 48, 96로 고정 시 H에 따른 고정한 모재의 하부 방향 길이에 대한 압입 하중-변위 곡선을 비교한 그래프이다.
도 10은 H/D=24, 48, 96로 고정 시 R에 따른 압입 하중-변위 곡선을 비교한 그래프이다.
도 11은 H=R인 정방형 모델의 압입 하중-변위 곡선을 나타낸 그래프이다.
도 12는 모재의 하부 방향 길이에 따른 유효응력이다.
도 13은 모재 표면에서 반경 방향(r)을 따라 압입 방향으로의 변위를 나타내는 그래프이다.
도 14는 Yeoh 모델 계수를 중간값 C 1=1.0, C 2=-0.4, C 3=0.4로 고정하고 마찰계수(f)에 따른 압입 하중-변위 곡선을 나타낸 그래프이다.
도 15는 마찰계수 에 따른 압입하부 35% 지점의 W-I 1 곡선을 나타낸 그래프이다.
도 16은 압입자 직경 l/D 에 대한 반경방향 (r/D)으로의 변형에너지밀도를 나타내는 그래프이다.
도 17은 압입자 직경 l/D 에 대한 반경방향 (r/D)으로의 주신장률의 분포를 나타내는 그래프이다.
도 18은 회귀 물성 계수들로 얻은 공칭 응력-공칭 변형률 곡선과 유한요소해석으로 얻은 공칭 응력- 공칭 변형률 곡선을 비교한 그래프이다.
도 19는 기존의 판별식이 실제 물리 현상에서는 일어나지 않는 응력 감소 현상을 완벽하게 판별하지 못하는 예를 나타난 그래프이다.
도 20은 각 Yeoh 모델 계수의 물성 범위 C 1=0.6~2.2, C 2=-1.1~0.0, C 3=0.1~0.6에서 응력이 단조 증가하는 구간을 찾기 위한 그래프이다.
도 21은 C 1과 C 3을 고정하고 C 2만을 변경하며 비교한 압입 하중-변위 곡선을 나타내는 그래프이다.
도 22는 C 1과 C 2를 고정하고 C 3만을 변경하며 비교한 압입 하중-변위 곡선을 나타낸 그래프이다.
도 23은 h/D=0.1에서의 P와 C 1의 관계를 나타낸 그래프이다.
도 24는 FEA를 통해 얻은 데이터(점선)와 이를 무차원 사상함수 y를 통해 3차 다항식으로 회귀한 곡선(실선)을 비교한 그래프이다.
도 25는 FEA를 통해 얻은 데이터(점선)와 이를 무차원 사상함수 f를 통해 3차 다항식으로 회귀한 곡선(실선)을 비교한 그래프이다.
도 26은 C 1 각 구간에 대한 D 100과 R 100의 구간별 회귀를 각각 나타낸 그래프이다.
도 27은 무차원 사상함수와 Yeoh 모델 구성 방정식을 이용한 반복 회귀를 통해 물성 계수를 확정하는 단계의 흐름도이다.
도 28a 내지 도 28d는 오차가 큰 물성 계수를 바탕으로 물성 평가 프로그램으로 얻은 물성치와 주어진 데이터를 W-I 1 곡선과 응력-변형률 곡선, 그리고 하중-변위 곡선을 통해 각각 비교한 그래프이다.
도 29a 및 도 29b는 네 가지 고무의 다양한 압입 속도에 대한 압입 하중-변위 곡선을 나타낸 그래프이다.
도 30은 준정적 압입 속도로 압입 시 획득한 네 가지 고무의 압입 하중-변위 곡선을 나타낸 그래프이다.
도 31a 및 도 31b는 네 가지 고무의 인장으로 획득한 물성치를 바탕으로 한 응력-변형률 곡선과 압입으로 획득한 물성치를 바탕으로 한 응력-변형률 곡선을 비교한 그래프이다.
이하에서 본 발명의 실시예를 첨부된 도면을 참조로 상세히 설명한다.
도 1은 본 발명의 한 실시예에 따른 고무 물성 평가 방법을 단계적으로 나타낸 흐름도이다.
본 발명의 한 실시예에 따른 고무 물성 평가 방법은 압입과 관련된 고무의 물성 평가 방법에 관한 것으로, 보다 상세하게는 고무에 대한 압입 유한요소해석으로 측정되는 하중-변위 관계를 Yeoh 모델 구성 방정식의 변형에너지밀도-주신장률 관계로 사상할 수 있는 무차원 사상함수와 Yeoh 모델 구성 방정식을 이용한 반복적인 회귀를 통해 고무의 물성 범위에 대한 계수를 확정한 후, 압입시험기로 측정한 물성치와 비교하여 검증하는 고무 물성 평가 방법에 관한 것이다.
도 1을 참고하면, 본 발명의 한 실시예에 따른 고무 물성 평가 방법(S100)은 고무의 Yeoh 모델 구성 방정식의 물성 계수의 범위를 결정하는 단계(S110), 압입자를 통한 압입시험을 모사하는 유한요소해석으로 고무에 대한 하중-변위 데이터를 측정하는 단계(S120), 그리고 하중-변위 데이터를 Yeoh 모델 구성 방정식의 변형에너지밀도-주신장률 데이터로 사상하는 무차원 사상함수와 Yeoh 모델 구성 방정식을 이용한 반복 회귀를 통해 물성 계수를 확정하는 단계(S130)를 포함한다.
또한 본 발명의 한 실시예에 따른 고무 물성 평가 방법(S100)은 고무에 대해 압입시험기로 측정한 물성치와 비교하여 확정된 물성 계수를 검증하는 단계(S140)를 더 포함할 수 있다.
본 발명에 의하면, 무차원 사상함수와 Yeoh 모델 구성 방정식을 이용한 반복 회귀를 통해 물성 계수를 확정하고 압입시험기를 이용하여 검증함으로써, 편리하면서도 정밀한 고무의 물성 평가가 이루어질 수 있다.
이하에서는 본 발명의 한 실시예에 따른 고무 물성 평가 방법(S100)이 주로 초탄성 고무에 대해 적용되는 것으로 하여 설명을 진행한다. 다만 반드시 초탄성 고무에 대해서만 본 발명이 적용되는 것은 아니다.
우선, Yeoh 모델 구성 방정식에 대해 살핀다.
고무 재료는 금속과 달리 변형에너지밀도와 주신장률의 함수로 나타내는 구성 방정식으로 표현된다. 다양한 구성 방정식 중 Mooney Rivlin 모델(Rivlin, 1956)은 수학식 1과 같이 두 개의 계수만 필요하므로 보편적으로 이용되나 작은 변형에서만 유효한 결과를 보인다. 그래서 대변형에서는 주로 Ogden 모델(Ogden, 1972)을 사용한다. 하지만 수학식 2와 같이 Ogden 모델은 계수들이 많이 필요하고 복잡하므로 실제 사용성이 떨어진다.
[수학식 1]
W=C 10(I 1-3)+C 01(I 2-3)
[수학식 2]
Figure pat00014
이에 전 변형 구간에서 고무의 거동을 비교적 잘 표현하는 모델이 Yeoh(1990, 1993)에 의하여 제안되었고, 이를 확장한 모델(Yeoh et al., 1997, Beda, 2005) 또한 제안된 바 있다.
도 2는 각 구성 방정식 모델에 대한 응력-변형률 곡선들을 나타내는 그래프이다.
도 2에 나타난 바와 같이, Yeoh 모델은 Mooney Rivlin 모델에 비해 전 변형 구간에서 실제 고무의 거동을 잘 표현하고, 복잡한 Ogden 모델에 비해 간단하면서도 비교적 큰 변형까지 잘 표현함을 알 수 있다. 나아가 Yeoh 모델의 가장 큰 장점은 인장과 전단 시험에서 서로 다른 물성 계수가 얻어지는 Mooney Rivlin 모델이나 Ogden 모델과 달리, 동일한 물성 계수를 얻을 수 있다는 점이다.
도 3은 인장 시험에서 구한 각 모델의 물성 계수를 이용해 전단 시험의 응력-변형률 곡선을 예측하여 실제 전단 데이터와 비교한 그래프이다.
도 3에 나타난 바와 같이, Mooney Rivlin 모델은 실제 전단 시험과 많은 차이를 보이는 반면, Yeoh 모델은 연신률(Nominal Strain) 1 정도까지 거의 정확한 값을 예측한다. 따라서 본 발명에서는 간편함과 정확성을 겸비한 실용적인 Yeoh 모델을 물성 평가용 구성 방정식으로 채택하였다.
Rivlin(1956)은 등방성-등온성인 고무의 탄성 특성을 변형률 에너지 함수로써 수학식 3과 같이 표현했다.
[수학식 3]
W=f(I 1, I 2, I 3)
여기서, W는 변형률 에너지 함수이며 I 1, I 2, I 3은 수학식 4 내지 6과 같이 주신장률 λ1, λ2, λ3로 표현되는 Green 변형 텐서의 세 불변량이다. 즉 Green 변형 텐서의 세 불변량 I 1, I 2 및 I 3은 다음 수학식 4 내지 6을 만족할 수 있다.
[수학식 4]
I 1=λ1 2+λ1 2+λ1 2
[수학식 5]
I 2=λ1 2λ2 2+λ2 2λ3 2+λ3 2λ1 2
[수학식 6]
I 3=λ1 2λ2 2λ3 2
또한 비압축성 고무의 단축 인장 시험 시 수학식 7 및 8의 조건이 만족되어야 한다. 수학식 7은 비압축성 재료 조건에 관한 것이고, 수학식 8은 단일 인장 상태 조건에 관한 것이다. 즉 Green 변형 텐서의 세 불변량 I 1, I 2 및 I 3과 주신장률 λ1, λ2 및 λ3은 비압축성 재료 조건과 단일 인장 상태 조건인 수학식 7 및 8을 만족할 수 있다.
[수학식 7]
I 3=1, λ1 2λ2 2λ3 2=1
[수학식 8]
λ2=λ3
수학식 7 및 8을 통해 식 수학식 9 및 10과 같은 관계를 얻을 수 있다.
[수학식 9]
Figure pat00015
[수학식 10]
Figure pat00016
고무의 응력은 수학식 11과 같다.
[수학식 11]
Figure pat00017
또한 Yeoh 모델 구성 방정식은 수학식 12일 수 있다.
[수학식 12]
W=C 1(I 1-3)+C 2(I 1-3)2+C 3(I 1-3)3
여기서, W는 고무의 응력 σ 및 변형률 ε과 σ=∂W/∂ε의 관계에 있는 변형에너지밀도, I 1은 Green 변형 텐서의 세 불변량 I 1, I 2 및 I 3 중 하나, 그리고 C 1, C 2 및 C 3은 물성 계수이다.
수학식 12를 미분하면 수학식 13이 얻어진다.
[수학식 13]
Figure pat00018
그리고 수학식 9 및 10을 수학식 11에 대입하면 수학식 14가 된다.
[수학식 14]
Figure pat00019
수학식 14에 λ=1+ε을 대입하면 변형률 에너지와 첫 번째 주신장률 관계로 표현되는 Yeoh 모델의 응력-변형률 구성 방정식인 수학식 15가 얻어진다. 즉 Yeoh 모델 구성 방정식은 응력과 변형률에 관하여 수학식 15로 표현될 수 있다.
[수학식 15]
Figure pat00020
여기서, σ는 고무의 응력, ε은 λ=1+ε인 관계에 있는 고무의 변형률이다.
도 4는 Yeoh 모델의 세 가지 계수 C 1, C 2, 그리고 C 3 중 두 계수를 중간 값으로 고정하고 하나의 계수만 변화시켜 응력-변형률 곡선들을 얻은 그래프이다.
도 4를 참고하면, 변형 초기에는 C 1의 영향을 가장 많이 받고 C 2, C 3의 순으로 영향을 받는 것을 볼 수 있다. Yeoh 모델에서 C 1 , C 2 값들을 정확히 구하려면 변형률 0.4까지, C 3 값도 정확히 구하려면 변형률 1.0 이상까지 변형시켜야 한다.
Rivlin은 변형률 에너지에 관하여 수학식 16의 멱급수 형태로 근사화 될 수 있다고 하였다.
[수학식 16]
Figure pat00021
비압축성재료에서 I 3=1이므로 수학식 16은 수학식 17로 축소될 수 있다.
[수학식 17]
Figure pat00022
고무는 거의 비압축성이므로 수학식 17은 적절한 근사식으로 받아들여질 수 있다. 또한 단위 정육면체 고무의 순수 균일 변형을 고려해 Cauchy 응력 t 1, t 2, t 3을 다음과 같이 표현할 수 있다.
[수학식 18]
Figure pat00023
[수학식 19]
Figure pat00024
[수학식 20]
Figure pat00025
I 3은 물리적으로 변형 후 부피비의 제곱으로 설명되므로 ∂W/I 3은 명백히 부피 변화와 관계가 있을 것이다. 수학식 18 내지 20을 단순화하고자 ∂W/I 3을 소거하고, 각 방향의 진응력 차를 구한 결과는 수학식 21 내지 23과 같다.
[수학식 21]
Figure pat00026
[수학식 22]
Figure pat00027
[수학식 23]
Figure pat00028
또한 공칭 응력과 진응력과의 관계는 수학식 24와 같다
[수학식 24]
Figure pat00029
수학식 21 내지 23의 좌변들을 reduced stress라 칭한다. 단순 변형 모드에서 응력-변형률 관계는 수학식 21 내지 23로부터 쉽게 유도할 수 있다. 수학식 9 및 24를 수학식 18에 대입하면 수학식 25를 얻을 수 있다.
[수학식 25]
Figure pat00030
또한 단순 전단에서의 관계는 수학식 26과 같다.
[수학식 26]
Figure pat00031
여기서 τ는 전단 응력이고
Figure pat00032
는 불변량 I 1과
Figure pat00033
의 관계를 갖는 전단 변형률이다. 응력-변형률은 ∂W/I 1, ∂W/∂I 2에 의해 결정된다. 따라서 고무 탄성 거동의 특성화 문제에서는 이 편미분항들의 형태를 결정하는 것이 매우 중요하다.
위 과정은 실제 데이터와 차이를 보인다. 이러한 차이는 비선형 거동을 보이는 고무의 응력-변형률 관계를 선형 및 상수 함수로 표현하고 있기 때문에 발생한다. 즉 수학식 25의 reduced stress 및 신장률과 관계된 항인 1/λ의 함수는 기울기가 2∂W/∂I 2이며 세로축 절편이 2∂W/I 1인 선형 함수를 나타내지만 실제의 데이터는 비선형으로 나타난다는 것이다. 또한 수학식 26의 단순 전단 모드에서의 함수는 세로축 절편 2(∂W/∂I 1+∂W/∂I 2)를 갖는 상수 함수로 나타나지만 실제 데이터는 비선형으로 나타난다. 반면에 Yeoh 모델에서의 단축 인장과 단축 압축에서는 ∂W/∂I 2를 0으로 가정하기 때문에 변형에너지밀도는 수학식 12와 같이 표현할 수 있다. 그러므로 Yeoh 모델에서 reduced stress항인 수학식 15는 수학식 27과 같이 쓸 수 있고 이는 수학식 14와 동일하므로 수학식 15 및 27은 Yeoh 모델에서 공칭 응력-변형률을 나타낸 것이다.
[수학식 27]
Figure pat00034
다음으로, 고무의 Yeoh 모델 구성 방정식의 물성 계수의 범위를 결정하는 단계(S110)를 설명한다.
Yeoh 모델 구성 방정식의 물성 범위를 획득하기 위해 NBR, CR, SIU, 그리고 NR 네 가지 고무의 인장시험을 실시하였다. 고무의 인장시험은 KSM6515를 따라 실시하였으며 동표준 3호 시편을 사용하였다. 시편의 표점거리는 15mm 이고 신장계(extensometer)로 변형을 측정했다.
도 5는 7-10회의 사전 반복 하중을 통해 시험 초기에 나타나는 Mullins softening 효과를 제거한 상태를 네 가지 고무 재료에 대하여 나타낸 그래프이다.
또한 도 6은 각 고무 재료들을 0.067, 0.13, 0.67, 그리고 0.8 (/s)의 공칭 변형률 속도로 인장하여 고무 재료의 변형률 속도 의존성을 살펴본 그래프이다.
도 6을 참고하면, 인장 시 0.013/s 보다 느린 인장 공칭 변형률 속도에서 하중-변위 곡선이 수렴하는 것을 확인할 수 있다. 따라서 준정적 변형률 속도를 0.013/s로 선정하였다. 이러한 변형을 준정적 변형으로 정의할 수 있고, 이에 상응하는 고무 물성을 준정적 물성으로 볼 수 있다.
도 7은 준정적 변형률 속도에 대한 인장 하중-변위 곡선을 공칭 응력-공칭 변형률 곡선으로 나타낸 그래프이다.
인장 공칭 응력-공칭 변형률 데이터를 유한요소해석 상용 프로그램인 ABAQUS에 대입해 각 고무의 Yeoh 모델 물성 계수를 획득한다. 또는 인장 공칭 응력-공칭 변형률 데이터를 변형에너지밀도 함수에 관한 수학식 28과 주신장률에 관한 수학식 29에 대입해 변형에너지밀도와 주신장률을 획득하고 Yeoh 모델 구성 방정식으로 3차 회귀해 각 고무의 Yeoh 모델 계수를 획득한다.
[수학식 28]
Figure pat00035
[수학식 29]
Figure pat00036
즉 물성 계수 C 1, C 2 및 C 3의 범위는 인장시험을 통해 구한 인장 공칭 응력-공칭 변형률 데이터를 유한요소해석 프로그램에 대입하여 결정하거나, 인장 공칭 응력-공칭 변형률 데이터를 Yeoh 모델 구성 방정식의 응력과 변형률에 관한 식에 대입하여 변형에너지밀도와 주신장률을 구하고 Yeoh 모델 구성 방정식으로 회귀하여 결정할 수 있다.
Figure pat00037
표 1에 네 가지 고무의 Yeoh 모델 물성 계수를 나타냈다. 이를 통해 Yeoh 모델 구성 방정식의 물성 계수 C 1, C 2 및 C 3의 범위는 각각 0.6~2.2, 1.1~0.0 및 0.1~0.6일 수 있다.
다음으로, 압입자를 통한 압입시험을 모사하는 유한요소해석으로 고무에 대한 하중-변위 데이터를 측정하는 단계(S120)를 살핀다.
도 8은 구형 압입자를 이용한 고무 재료의 압입시험을 모사하기 위한 유한요소모델을 나타낸다.
유한요소해석에는 상용 유한요소해석 프로그램인 ABAQUS (2008)를 사용하였다. 해석에는 하중과 형상이 모두 축대칭임을 고려하여 4절점 축대칭 혼합 요소 CAX4H(요소 형태 ABAQUS library, 2008)를 사용하였다. 이때 보간 함수가 한 차수 낮은 것을 보완하며 미세 변형까지 충분히 감지할 수 있도록 압입 하부 표면에 압입자 직경의 1.0% 크기의 요소를 배치하였다. 압입에 큰 영향을 받지 않는 부분에는 요소의 크기를 크게 증가시켜 계산의 효율성을 향상시킨다. 요소 크기가 바뀌는 경계에는 대개 MPC(Multi-Point Constraints, ABAQUS, 2008)가 간편하게 사용되나, 이 경우 MPC 절점상의 응력과 변형률이 불연속적으로 분포하는 문제가 발생한다. 따라서 요소 크기가 바뀌는 경계에 사다리형 요소를 사용해 요소 크기를 변화시켰다.
압입자는 모재에 비해 상대적으로 영률이 매우 크므로 변형이 없는 Rigid Surface(Rigid Surface, ABAQUS Library, 2008)를 사용하였다. 전체 유한요소모델은 25000개의 요소와 12300개의 절점으로 구성된다. 압입자와 모재의 접촉면에는 양쪽 모두 접촉요소면(Contact surface, ABAQUS, 2008)을 배치하였다. 압입자와 모재의 대칭축 상 절점들은 대칭축에 수직 방향 변위 성분을 구속해 축대칭 조건을 만족시키고, 모재 밑면은 하중방향의 변위 성분만 구속시킨 후 압입자를 하강시킨다. 압입자의 하부는 직경 1mm의 구형 강체로, 압입자의 상부는 실린더 형태로 하여 실제 압입자와 똑같은 형태로 모델링하였다. 압입 시 주요 물성 변수들이 하중-변위 곡선 형상에 주는 영향을 분석하기 위해 마찰계수를 포함한 Yeoh 모델의 재료 상수들로 변수를 설정했다. 변형률이 큰 경우에도 하중-변위 곡선이 실험값과 잘 맞는 Yeoh 모델의 장점을 살리기 위해, 압입 깊이는 h/D=1로 선택했다.
모재의 압입 하부 방향의 길이를 H, 폭 방향 길이를 R, 압입자 직경을 D라 하면 모재의 크기를 H/D, R/D = 24, 48, 96으로 모델링하였다. Yeoh 모델 계수는 물성 범위의 중간 값인 C 1=1.0, C 2=-0.4, C 3=0.4로 정적 해석을 수행했다.
즉 유한요소해석은 물성 계수를 물성 계수의 범위의 중간값으로 설정하여 이루어지고, 물성 계수의 범위는 상술한 인장시험을 통해 구한 인장 공칭 응력-공칭 변형률 데이터에 의해 정해질 수 있다.
도 9는 R/D=24, 48, 96로 고정 시 H에 따른 고정한 모재의 하부 방향 길이에 대한 압입 하중-변위 곡선을 비교한 그래프이다. 도 9를 참고하면, R/D=48 이상에서 압입 하부 방향의 길이에 따른 하중-변위 곡선이 수렴한다.
도 10은 H/D=24, 48, 96로 고정 시 R에 따른 압입 하중-변위 곡선을 비교한 그래프이다. 도 10을 참고하면, H/D=48 이하에서 폭 방향 길이에 따른 하중-변위 곡선이 수렴한다.
도 11은 H=R인 정방형 모델의 압입 하중-변위 곡선을 나타낸 그래프이고, 도 12는 모재의 하부 방향 길이에 따른 유효응력이다. 도 12를 참고하면, H/D≥30(l/D≥30)에서 유효응력이 0에 수렴한다.
압입시험 시 초탄성 고무의 재료 특성으로 인해 압입자 주위 재료에 압입자 방향으로 변위가 발생한다. 실제 시험 시편은 R이 압입깊이에 비해 상당히 크지만 시험 모델은 R 이 짧아서 하중이 더 낮게 측정된다.
도 13은 모재 표면에서 반경 방향(r)을 따라 압입 방향으로의 변위를 나타내는 그래프이다. 도 13을 참고하면, R/D≥40에서 압입 방향으로의 변위가 0에 수렴한다.
모재의 끝부분에서 유효응력이 0에 수렴하고 압입 방향으로의 변위가 0에 수렴하는 H/D =R/D =48 모델을 모재의 유한요소모델로 선정한다. 즉 유한요소해석은 압입 방향 끝단에서의 유효응력과 변위가 0에 수렴하는 유한요소모델을 통해 이루어질 수 있다.
마찰은 두 물체의 접촉면에 수직력이 가해지는 상태에서 한 물체에 접선 방향 힘이 작용할 때 발생된다. 일반적으로 널리 사용되는 Coulomb 마찰 모델의 마찰계수 f 는 접촉대상이 되는 재료의 종류 및 윤활 상태 등에 의해 변화한다. 고무 재료의 마찰 계수는 수직 하중, 속도, 경도, 윤활 조건, 고무의 두께 등에 의해 복합적으로 영향을 받는다. 따라서 마찰이 압입 해석에 미치는 영향을 분석해 볼 필요가 있다. Kim 등(2001)은 구조용 강과 가황 천연 고무 판재 사이의 마찰 계수는 수직하중, 속도, 고무 경도, 윤활 조건, 그리고 고무판 두께에 따라 영향을 받음을 보여 주었다. 고무 판재는 무 윤활의 경우 1.6~3.9, 그리스 윤활의 경우 0.1~0.2, 오일 윤활의 경우 0.09~0.13의 마찰계수 값을 나타냈다. 압입자와 모재 사이의 마찰계수를 변화시켜 압입 유한요소해석을 실시했다.
도 14는 Yeoh 모델 계수를 중간값 C 1=1.0, C 2=-0.4, C 3=0.4로 고정하고 마찰계수(f)에 따른 압입 하중-변위 곡선을 나타낸 그래프이다. 도 14를 참고하면, 마찰계수 0.3 이상에서 하중-변위 곡선의 차이가 거의 없고 같은 하중-변위 곡선으로 수렴한다.
도 15는 마찰계수 에 따른 압입하부 35% 지점의 W-I 1 곡선을 나타낸 그래프이다. 도 15를 참고하면, 압입 하중-변위 곡선과 달리 W-I 1 곡선은 마찰계수의 영향을 받지 않는다.
실생활에 사용되는 대부분의 고무 재료는 무윤활 상태로 마찰계수가 1.6~3.9 이다. 따라서 압입자와 모재 사이의 마찰계수를 0.5로 선정하여 정적 고무압입해석을 수행한다. 정적 고무 물성 평가법은 실생활에 사용되는 고무 재료의 압입시험에 대해 마찰계수의 영향을 받지 않는다.
구형 압입은 국부적인 압입으로 인해 압입 하부 각 지점에서 서로 다른 응력과 변형률을 보인다. 이와 같이 변형에너지밀도와 주신장률 또한 압입 하부 각 지점에서 서로 다르게 나타난다. 따라서 최적의 관측지점에서 변형에너지밀도와 주신장률을 획득해야 한다.
도 16은 압입자 직경 l/D 에 대한 반경방향 (r/D)으로의 변형에너지밀도를 나타내는 그래프이고, 도 17은 압입자 직경 l/D 에 대한 반경방향 (r/D)으로의 주신장률의 분포를 나타내는 그래프이다.
여기서 l은 압입 표면에서 하부 방향으로의 길이, r은 압입 중심부에서 반경 방향으로의 길이, h는 압입깊이, D는 압입자의 직경이다. h/D=1까지 압입하면 변형에너지밀도와 주신장률은 압입 표면 및 l/D = 35% 에서 최대값이 발생한다.
따라서 큰 변형의 거동을 예측할 수 있도록 변형에너지밀도와 주신장률이 최대값을 보이는 압입표면 중 l/D = 35%인 지점을 최적 관측 지점으로 선정했다. 즉 하중-변위 데이터의 측정 지점은 변형에너지밀도와 주신장률이 최대인 압입자의 폭에 대한 압입 깊이의 비(h/D)가 0.35인 지점으로 할 수 있다.
다음으로, 초탄성 고무의 구형 압입 이론에 대해 살펴본다.
금속과 달리 고무의 거동은 변형에너지밀도를 주신장률의 다항식으로 표현하는 구성 방정식으로 설명되는데, 인장과 압축 거동을 한 개의 구성식으로 동시에 기술함을 주목할 필요가 있다. 변형에너지밀도는 응력의 함수이고 주신장률은 변형률의 함수이므로 응력-변형률 곡선으로부터 고무 구성 방정식으로의 변환이 가능하다. 회귀를 통해 구성 방정식의 계수들을 얻을 수 있고 이러한 계수들을 고무의 물성 계수라 한다. 고무의 압축 시험에서 상하 압축판과 시편의 접촉면에서의 마찰로 인해 시편의 좌우 표면에 배불림(barreling) 현상이 나타난다. 이러한 현상 때문에 순수한 단축 변형을 유지하지 못하게 되어 왜곡된 하중-변위 관계를 얻게 된다. 인장시험과 동일한 양의 연화(softening)가 이루어진 시편으로 배불림 현상이 없는 압축시험이 제대로 수행된다면, 압축 응력-변형률 곡선을 구성 방정식으로 회귀해 얻은 압축물성은 인장시험으로부터 회귀해 얻은 인장물성과 같을 것이다.
구성 방정식은 인장과 압축을 동시에 만족하므로 인장 응력-변형률 데이터를 바탕으로 구성 방정식에 대입해 회귀한 인장 물성 또는 인장 구성 방정식의 계수는 압축 물성에서도 유효하며, 압축응력-변형률 데이터로 얻은 압축 물성은 인장 물성에서도 유효하다. 따라서 고무의 인장 물성을 바탕으로 고무의 압입 물성 평가 방법을 전개하는 것과, 인장 물성과 압입 물성을 비교하는 것은 타당하다. Yeoh 모델 계수의 중간값인 C 1 = 1.0, C 2 = -0.4, C 3 = 0.4를 대입해 단축 인장 해석과 무마찰의 배불림 현상이 없는 압축해석을 수행하였다. 유한요소해석으로 얻은 인장과 압축 공칭 응력-변형률 데이터를 구성 방정식으로 회귀해 구성 방정식의 물성 계수를 얻었다.
도 18은 회귀 물성 계수들로 얻은 공칭 응력-공칭 변형률 곡선과 유한요소해석으로 얻은 공칭 응력- 공칭 변형률 곡선을 비교한 그래프이다.
인장 시험을 통해 획득한 Yeoh 모델 계수의 물성 범위를 수학식 15에 대입 하면 응력-변형률 곡선이 상이한 값을 얻는 구간이 있다. Yeoh 모델은 다음의 수학식 30과 같이 변형률 에너지 밀도(W)를 첫번째 주불변량(I 1=λ1 2+λ2 2+λ3 2, λ2=λ3=1/λ1)만의 3차 다항식으로 표현한 것이다.
[수학식 30]
Figure pat00038
여기서 각 항의 계수 C i(i=1,2,3)가 고무 물성을 나타낸다. 기존 연구(Lee, 2006)에서는 Yeoh 모델의 수학식 30 이 W-I 1 평면상에서 W가 I 1의 단조 증가 함수이어야 한다는 수학식 31과 같은 판별식만을 활용하였다.
[수학식 31]
Figure pat00039
즉 무근 조건식인 수학식 30으로 응력이 음이 되는 조건을 찾았다. Yeoh 모델의 응력-변형률 선도는 수학식 15와 같이 5차 방정식으로 표현된다.
특정 C 1, C 2, C 3에 대해 기존의 판별식(수학식 31)은 단조 증가하는 응력-변형률 곡선으로 판별하지만, 이를 수학식 15에 대입하면 응력이 감소하는 경우가 발생한다. 도 19는 이에 대한 예를 나타낸 그래프이다. 즉 기존의 판별식(수학식 31)은 실제 물리 현상에서는 일어나지 않는 응력 감소 현상을 완벽하게 판별하지 못한다.
수학식 15에서 단조 증가하는 함수를 찾기 위해 변형률에 관해 기울기를 구하려 하였으나, 수학식 32와 같이 4차 다항식과 5차 역다항식의 합으로 표현되어 판별식을 직접 구하는 방법은 적절치 않다.
[수학식 32]
Figure pat00040
도 20은 각 Yeoh 모델 계수의 물성 범위 C 1=0.6~2.2, C 2=-1.1~0.0, C 3=0.1~0.6에서 응력이 단조 증가하는 구간을 찾기 위한 그래프이다.
따라서 각 Yeoh 모델 계수의 물성 범위 C 1=0.6~2.2, C 2=-1.1~0.0, C 3=0.1~0.6에서 응력이 단조 증가하는 구간을 찾아 Yeoh 모델 계수의 물성 범위로 정하였고 이를 도 20에 나타내었다. 3차원 곡선의 윗부분에 해당하는 물성 계수가 응력이 단조 증가하는 구간에 해당하는 물성 계수이다.
네 가지 고무의 정적 인장 시험을 통해 고무에 대한 Yeoh 모델 계수의 범위를 C 1=0.6~2.2, C 2=-1.1~0.0, C 3=0.1~0.6으로 정했다. 기존의 정적 물성 평가 방법은 C 3을 물성 범위의 중간값으로 고정해 C 1, C 2에 대해 회귀했다. 그러나 C 3의 영향을 받는 대변형 구간에서 큰 오차가 발생했다. 대변형 정적 거동을 예측하고자 C 3을 포함한 3차원 회귀를 실시한다. 앞서 살핀 도 4를 통해 변형 초기에 Yeoh 모델 계수 C 2, C 3의 영향은 미미함을 확인할 수 있었다. 압입 초기에 C 2, C 3의 영향은 미미하므로 C 1을 구하고 정해진 C 1을 바탕으로 C 2, C 3을 3차원 회귀한다.
이를 위해 우선 C 1을 고정하고 C 2 , C 3을 변경하여 C 1만이 하중-변위 곡선에 독립적으로 영향을 주는 범위를 확인하였다(도 21 및 도 22).
즉 도 21은 C 1과 C 3을 고정하고 C 2만을 변경하며 비교한 압입 하중-변위 곡선을 나타내는 그래프이고, 도 22는 C 1과 C 2를 고정하고 C 3만을 변경하며 비교한 압입 하중-변위 곡선을 나타낸 그래프이다.
도 21 및 도 22를 참고하면, 압입 깊이 h<0.1에서 C 2, C 3과 관계없이 하중-변위 곡선은 C 1만에 의해 결정된다. 이에 h<0.1에서 C 1을 획득하고, h >0.1에서 C 2, C 3을 회귀하여 정확한 정적 물성 평가법을 찾는다. C 1은 h/D=0.1에서의 P-C 1 관계식인 수학식 33으로 결정된다.
도 23은 h/D=0.1에서의 P와 C 1의 관계를 나타낸 그래프이다. 도 23의 그래프를 1차 다항식으로 회귀하면 수학식 33과 같다.
[수학식 33]
Figure pat00041
여기서, P h / D =0.1은 h/D=0.1인 지점에서의 하중 값이고, H 0은 0.01663, H 1은 4.37583((H 0, H 1)=(0.01663, 4.37583))이다.
표 2는 수학식 33을 이용해 구한 물성치들을 주어진 물성치들과 비교한 표이다. 표 2를 참고하면, C 2, C 3와 관계없이 비교적 잘 일치하는 C 1의 물성치를 얻을 수 있음을 알 수 있다.
Figure pat00042
Yeoh 모델의 구성 방정식은 금속재료의 구성 방정식과는 달리 응력-변형률 관계로 직접 표현되지 않는다. 따라서 Yeoh 모델의 구성 방정식은 수학식 12와 같이 단위 부피당 변형에너지밀도 W, 주신장률 I 1, 물성계수 C 1, C 2, C 3로 나타난다. 이를 위해 P-h 곡선을 W- I 1 평면상에 대응시키는 무차원 사상함수를 선정해야 한다. 무차원 사상함수는 3차 다항식 형태를 만족하며 C 2에 대한 y와 f의 영향이 명확해야 한다. 수학식 34와 같이 무차원 사상함수 y를 도입하고, 수학식 35와 같이 무차원 사상함수 f를 도입했다. 즉 무차원 사상함수는 수학식 34 및 35로 표현될 수 있다.
[수학식 34]
Figure pat00043
[수학식 35]
Figure pat00044
여기서, h는 압입 깊이, P는 하중, D는 압입자의 폭이다.
도 24는 FEA를 통해 얻은 데이터(점선)와 이를 무차원 사상함수 y를 통해 3차 다항식으로 회귀한 곡선(실선)을 비교한 그래프이고, 도 25는 FEA를 통해 얻은 데이터(점선)와 이를 무차원 사상함수 f를 통해 3차 다항식으로 회귀한 곡선(실선)을 비교한 그래프이다. 도 24 및 도 25에 나타난 바와 같이, y와 f 모두 3차 다항식 형태를 만족하고 회귀 곡선이 FEA를 통해 얻은 데이터와 잘 일치한다.
Yeoh 모델 구성 방정식의 물성 범위인 C 1=0.6~2.2까지 0.1씩 17개, C 2=-1.1~0.0까지 0.1씩 12개, C 3=0.1~0.6까지 0.05씩 11개로 각각 변화시키며 총 2244개(17×12×11)의 데이터로 y, f를 회귀했다. 우선 C 2와 C 3을 고정하고 각각의 C 1에 대해 수학식 36과 같이 회귀하여 A i , P i 를 얻는다. 그리고 A i , P i 를 17개의 C 1값에 대해 회귀하여 B ij , Q ij 를 얻는다.
[수학식 36]
Figure pat00045
여기서, i=1, 2, 3, j=0, 1, 2, 3이다.
또한 C 3을 고정하고 수학식 36에서 구한 B ij , Q ij 를 12개의 C 2값에 대해 수학식 37과 같이 회귀하여 D ijk , R ijk 를 얻는다.
[수학식 37]
Figure pat00046
여기서 i=1, 2, 3, j, k=0, 1, 2, 3이다.
마지막으로 수학식 37에서 구한 D ijk , R ijk 를 17개의 C 1값에 대해 수학식 38과 같이 회귀하여 E ijkl , S ijkl 를 얻는다. 회귀 정확도를 높이고자 C 1 각 구간에 대해 D ijk , R ijk 를 구간별로 회귀해 총 6144개의 회귀 계수를 선정한다.
[수학식 38]
Figure pat00047
여기서 i=1, 2, 3, j, k, l=0, 1, 2, 3이다.
도 26은 C 1 각 구간에 대한 D 100과 R 100의 구간별 회귀를 각각 나타낸 그래프이다.
표 3 및 표 4는 C 1 각 구간에 대한 E ijkl 과 S ijkl 의 최종 3차원 회귀 계수를 나타낸다.
Figure pat00048
Figure pat00049
Figure pat00050
Figure pat00051
Figure pat00052
Figure pat00053
Figure pat00054
Figure pat00055
Figure pat00056
Figure pat00057
Figure pat00058
Figure pat00059
Figure pat00060
Figure pat00061
Figure pat00062
Figure pat00063
Figure pat00064
Figure pat00065
Figure pat00066
Figure pat00067
Figure pat00068
Figure pat00069
Figure pat00070
Figure pat00071
C 1, C 2, C 3을 모두 포함하는 최종 3중 회귀식은 수학식 39 및 수학식 40으로 나타낼 수 있다.
[수학식 39]
Figure pat00072
여기서,
Figure pat00073
는
Figure pat00074
(i=1, 2, 3, j, k, l=0, 1, 2, 3)이다.
[수학식 40]
Figure pat00075
여기서,
Figure pat00076
는
Figure pat00077
(i=1, 2, 3, j, k, l=0, 1, 2, 3)이다.
다음으로, 본 발명의 한 실시예에 따른 고무 물성 평가 방법(S100)의 주요한 특징을 포함하는 단계인 하중-변위 데이터를 Yeoh 모델 구성 방정식의 변형에너지밀도-주신장률 데이터로 사상하는 무차원 사상함수와 Yeoh 모델 구성 방정식을 이용한 반복 회귀를 통해 물성 계수를 확정하는 단계(S130)를 살핀다.
일반 고무가 가지는 모든 범위를 포함하는 고무 물성 계수들에 대해 압입 해석을 수행하고 이 데이터들을 사용하여 압입 하중-변위 곡선을 Yeoh 모델 구성 방정식의 변형에너지밀도와 주신장률의 관계로 사상할 수 있는 무차원 사상함수 y와 f를 구축한다.
도 27은 무차원 사상함수와 Yeoh 모델 구성 방정식을 이용한 반복 회귀를 통해 물성 계수를 확정하는 단계의 흐름도이다.
도 27을 참고하여 차례로 살펴보면, 선정된 두 함수를 활용하여 물성을 예측한다. 우선 주어진 데이터로 h/D=1.0까지의 하중-변위(P-h) 곡선을 얻는다. 다음으로 임의의 초기 C 2, C 3을 물성 범위의 중간값으로 가정(S131)하고 h/D = 0.1에서의 하중으로부터 C 1을 결정(S132)한다. 결정된 C 1, C 2, C 3을 무차원 사상함수에 대입(S133)한 후, 이를 활용해 하중-변위곡선에 대응하는 W-I 1 곡선을 구한다. 이러한 W-I 1 곡선을 회귀하여 새로운 C 2, C 3를 얻는다(S134). 이전의 C 2, C 3와 새 C 2, C 3의 오차가 지정값 (= 10-7) 보다 크면 새로운 C 2, C 3을 다시 무차원 함수에 대입해 위의 과정을 반복한다(S135). 이전과 새로운 C 2, C 3의 오차가 지정값보다 작으면 Yeoh 모델 계수로 최종 확정한다(S136).
즉 물성 계수를 확정하는 단계(S130)는 물성 계수 C 2, C 3을 물성 계수 가능 범위의 중간값으로 가정하고, 유한요소해석으로 측정된 하중-변위 데이터 중 압입자의 폭에 대한 압입 깊이의 비가 미리 정해진 지점에서의 하중 데이터를 통해 물성 계수 C 1을 구하는 단계(S131, S132), 구한 물성 계수 C 1과 가정한 물성 계수 C 2, C 3을 포함하는 회귀식에 하중-변위 데이터를 대입하여 무차원 값을 구하는 단계(S133), 그리고 무차원 값을 무차원 사상함수에 대입하여 Yeoh 모델 구성 방정식의 변형에너지밀도(W)와 I 1을 구하고 구해진 변형에너지밀도(W)와 I 1에 대한 곡선을 회귀하여 가정한 물성 계수 C 2, C 3을 갱신하는 단계(S134)를 포함할 수 있다.
또한 물성 계수를 확정하는 단계(S130)는 이전의 물성 계수 C 2, C 3와 갱신된 물성 계수 C 2, C 3의 차이가 미리 정해진 값보다 크면, 갱신된 물성 계수 C 2, C 3로 구한 변형에너지밀도(W)와 I 1에 대한 곡선을 회귀하여 갱신된 물성 계수 C 2, C 3을 다시 갱신하는 단계(S135)를 더 포함할 수 있다.
표 5는 물성 평가 프로그램으로 얻은 물성치들을 주어진 데이터와 비교한 표이고, 도 28a 내지 도 28d는 오차가 큰 물성 계수를 바탕으로 물성 평가 프로그램으로 얻은 물성치와 주어진 데이터를 W-I 1 곡선과 응력-변형률 곡선, 그리고 하중-변위 곡선을 통해 각각 비교한 그래프이다.
표 5와 도 28a 내지 도 28d에 나타난 바와 같이, 정량적으로는 오차가 커 보이나, W-I 1 곡선과 응력-변형률 곡선, 그리고 하중-변위 곡선을 통해 역학적으로 물성 평가 프로그램이 상당히 정확함을 확인할 수 있다. 이를 통해 향상된 고무 물성 평가 프로그램의 신뢰성을 확인할 수 있다.
Figure pat00078
다음으로, 고무에 대해 압입시험기로 측정한 물성치와 비교하여 확정된 물성 계수를 검증하는 단계(S140)를 살펴본다.
압입시험을 위한 시험기는 크게 모터 제어부, 측정부, 그리고 검출부를 포함한다. 또한 헤드 부분에서 하중을 가하는 압입자(indenter)와 가해진 하중을 측정하는 로드셀(load cell) 및 하중 부가 및 제거 시의 압입자의 변위 측정부, 그리고 구동부의 모터 등을 포함할 수 있다. 압입자의 헤드 부분은 실제로 데이터를 생성하는 부분으로서 이로부터 재료의 각종 기계적인 물성치를 추정하므로, 압입시험기 에서 헤드 부분의 설계는 가장 핵심적인 사항이라 할 수 있다.
일반 금속 재료는 500kgf 용량의 로드셀을 사용하지만 고무 재료는 금속에 비해 하중이 상당히 작다. 이러한 고무 재료의 작은 하중을 반영하여 정확성을 높이기 위해, 유한요소해석 데이터를 바탕으로 로드셀 용량을 10kgf로 선정하였다. 로드셀의 분해능은 용량의 0.15%이다. 변위 측정을 위해 리니어 엔코더를 사용했으며, 정밀도를 높이기 위해 디지털 LVDT를 사용했다. 데이터 획득 속도(data acquisition rate)는 최대 1kHz로 변형률 속도를 고려한 동적 압입시험 시 빠른 변형률 속도에서도 충분한 데이터를 획득할 수 있도록 하였다. 압입자는 구형 압입자를 사용하며 압입자의 변형으로 인한 시험 오차를 최소화하고자 탄성계수가 약 550GPa 정도인 텅스텐 카바이드(WC) 재질을 사용하였으며 직경은 1mm로 선정했다.
또한 일반적으로 기계적인 이동량을 정밀하게 제어하는 AC 서보 모터를 사용했으며 모터의 최대 토크는 1.27Nㅇm이다. 최대 이동 속도는 60mm/min이고 최소 이동 속도는 0.3mm/min로 다양한 변형률 속도에 대한 압입시험을 수행할 수 있다.
초탄성 고무 재료의 압입 물성을 획득하기 위해 네 가지 고무의 압입시험을 수행한다. 인장 시편과 동일한 시편에 대해 Mullins softening 효과를 충분히 제거한 후 압입시험을 수행하였다.
도 29a 및 도 29b는 네 가지 고무의 다양한 압입 속도에 대한 압입 하중-변위 곡선을 나타낸 그래프이다. 도 29a 및 도 29b를 참고하면, 압입 속도에 따라 하중-변위 곡선이 명확하게 차이나는 것을 확인할 수 있다. 고무의 인장 시험을 통해 획득한 준정적 변형률속도 0.013/s보다 느린 0.005mm/s의 압입 속도를 준정적 압입 속도로 정한다.
도 30은 준정적 압입 속도로 압입 시 획득한 네 가지 고무의 압입 하중-변위 곡선을 나타낸 그래프이다. 압입으로 획득한 하중-변위 데이터 중 하중 시의 데이터를 물성 평가 프로그램에 대입하여 초탄성 고무의 압입 물성 계수를 획득한다.
표 6은 압입시험과 물성 평가 프로그램을 통해 획득한 초탄성 고무의 압입 물성이다.
Figure pat00079
도 31a 및 도 31b는 네 가지 고무의 인장으로 획득한 물성치를 바탕으로 한 응력-변형률 곡선과 압입으로 획득한 물성치를 바탕으로 한 응력-변형률 곡선을 비교한 그래프이다.
이상에서 본 발명의 실시예를 설명하였으나, 본 발명의 권리범위는 이에 한정되지 아니하며 본 발명의 실시예로부터 본 발명이 속하는 기술분야에서 통상의 지식을 가진 자에 의해 용이하게 변경되어 균등한 것으로 인정되는 범위의 모든 변경 및 수정을 포함한다.

Claims (17)

  1. 고무의 Yeoh 모델 구성 방정식의 물성 계수의 범위를 결정하는 단계,
    압입자를 통한 압입시험을 모사하는 유한요소해석으로 상기 고무에 대한 하중-변위 데이터를 측정하는 단계, 그리고
    상기 하중-변위 데이터를 상기 Yeoh 모델 구성 방정식의 변형에너지밀도-주신장률 데이터로 사상하는 무차원 사상함수와 상기 Yeoh 모델 구성 방정식을 이용한 반복 회귀를 통해 상기 물성 계수를 확정하는 단계를 포함하는 고무 물성 평가 방법.
  2. 제1항에서,
    상기 고무에 대해 압입시험기로 측정한 물성치와 비교하여 상기 확정된 물성 계수를 검증하는 단계를 더 포함하는 고무 물성 평가 방법.
  3. 제1항에서,
    상기 Yeoh 모델 구성 방정식은 다음 식인 고무 물성 평가 방법.
    [식]
    W=C 1(I 1-3)+C 2(I 1-3)2+C 3(I 1-3)3
    (여기서, W는 상기 고무의 응력 σ 및 변형률 ε과 σ=∂W/∂ε의 관계에 있는 상기 변형에너지밀도, I 1은 Green 변형 텐서의 세 불변량 I 1, I 2 및 I 3 중 하나, 그리고 C 1, C 2 및 C 3은 상기 물성 계수이다.)
  4. 제3항에서,
    상기 Green 변형 텐서의 세 불변량 I 1, I 2 및 I 3은 다음 식을 만족하는 고무 물성 평가 방법.
    [식]
    I 1=λ1 2+λ1 2+λ1 2
    I 2=λ1 2λ2 2+λ2 2λ3 2+λ3 2λ1 2
    I 3=λ1 2λ2 2λ3 2
    (여기서, λ1, λ2 및 λ3은 주신장률이다.)
  5. 제4항에서,
    상기 Green 변형 텐서의 세 불변량 I 1, I 2 및 I 3과 상기 주신장률 λ1, λ2 및 λ3은 비압축성 재료 조건과 단일 인장 상태 조건인 다음 식을 만족하는 고무 물성 평가 방법.
    [식]
    I 3=1, λ2=λ3
  6. 제5항에서,
    상기 Yeoh 모델 구성 방정식은 응력과 변형률에 관하여 다음 식으로 표현되는 고무 물성 평가 방법.
    [식]
    Figure pat00080

    (여기서, σ는 상기 고무의 응력, ε은 λ=1+ε인 관계에 있는 상기 고무의 변형률이다.)
  7. 제6항에서,
    상기 물성 계수 C 1, C 2 및 C 3의 범위는
    인장시험을 통해 구한 인장 공칭 응력-공칭 변형률 데이터를 유한요소해석 프로그램에 대입하여 결정하거나,
    상기 인장 공칭 응력-공칭 변형률 데이터를 상기 Yeoh 모델 구성 방정식의 응력과 변형률에 관한 식에 대입하여 상기 변형에너지밀도와 상기 주신장률을 구하고 상기 Yeoh 모델 구성 방정식으로 회귀하여 결정하는 고무 물성 평가 방법.
  8. 제7항에서,
    상기 물성 계수 C 1, C 2 및 C 3의 범위는 각각 0.6~2.2, 1.1~0.0 및 0.1~0.6인 고무 물성 평가 방법.
  9. 제1항에서,
    상기 유한요소해석은 상기 물성 계수를 상기 물성 계수의 범위의 중간값으로 설정하여 이루어지고,
    상기 물성 계수의 범위는 인장시험을 통해 구한 인장 공칭 응력-공칭 변형률 데이터에 의해 정해지는 고무 물성 평가 방법.
  10. 제1항에서,
    상기 유한요소해석은 압입 방향 끝단에서의 유효응력과 변위가 0에 수렴하는 유한요소모델을 통해 이루어지는 고무 물성 평가 방법.
  11. 제1항에서,
    상기 하중-변위 데이터의 측정 지점은 상기 변형에너지밀도와 상기 주신장률이 최대인 상기 압입자의 폭에 대한 압입 깊이의 비(h/D)가 0.35인 지점으로 하는 고무 물성 평가 방법.
  12. 제3항에서,
    상기 무차원 사상함수는 다음 식으로 표현되는 고무 물성 평가 방법.
    [식]
    Figure pat00081

    Figure pat00082

    (여기서, h는 압입 깊이, P는 하중, D는 상기 압입자의 폭이다.)
  13. 제3항 또는 제12항에서,
    상기 물성 계수를 확정하는 단계는
    상기 물성 계수 C 2, C 3을 물성 계수 가능 범위의 중간값으로 가정하고, 상기 유한요소해석으로 측정된 상기 하중-변위 데이터 중 상기 압입자의 폭에 대한 압입 깊이의 비가 미리 정해진 지점에서의 하중 데이터를 통해 상기 물성 계수 C 1을 구하는 단계,
    상기 구한 물성 계수 C 1과 상기 가정한 물성 계수 C 2, C 3을 포함하는 회귀식에 상기 하중-변위 데이터를 대입하여 무차원 값을 구하는 단계, 그리고
    상기 무차원 값을 상기 무차원 사상함수에 대입하여 상기 Yeoh 모델 구성 방정식의 변형에너지밀도(W)와 I 1을 구하고 상기 구해진 변형에너지밀도(W)와 I 1에 대한 곡선을 회귀하여 상기 가정한 물성 계수 C 2, C 3을 갱신하는 단계를 포함하는 고무 물성 평가 방법.
  14. 제13항에서,
    상기 물성 계수를 확정하는 단계는
    이전의 물성 계수 C 2, C 3와 상기 갱신된 물성 계수 C 2, C 3의 차이가 미리 정해진 값보다 크면, 상기 갱신된 물성 계수 C 2, C 3로 구한 변형에너지밀도(W)와 I 1에 대한 곡선을 회귀하여 상기 갱신된 물성 계수 C 2, C 3을 다시 갱신하는 단계를 더 포함하는 고무 물성 평가 방법.
  15. 제13항에서,
    상기 미리 정해진 지점은 상기 압입자의 폭에 대한 압입 깊이의 비(h/D)가 0.1인 지점이고,
    상기 물성 계수 C 1은 다음 식을 통해 구하는 고무 물성 평가 방법.
    [식]
    Figure pat00083

    (여기서, P h / D =0.1은 상기 미리 정해진 지점에서의 상기 하중 데이터이고, H 0은 0.01663, H 1은 4.37583이다.)
  16. 제13항에서,
    상기 회귀식은 다음 식인 고무 물성 평가 방법.
    [식]
    Figure pat00084

    Figure pat00085

    (여기서, ψ의
    Figure pat00086
    는
    Figure pat00087
    (i=1, 2, 3, j, k, l=0, 1, 2, 3)이고, φ의
    Figure pat00088
    는
    Figure pat00089
    (i=1, 2, 3, j, k, l=0, 1, 2, 3)이다.)
  17. 제16항에서,
    상기 E ijkl 와 상기 S ijkl 는 다음 식을 통해 구하고,
    [식]
    Figure pat00090

    (여기서, i=1, 2, 3, j, k, l=0, 1, 2, 3이다.)
    상기 D ijk 와 상기 R ijk 은 다음 식을 통해 구하며,
    [식]
    Figure pat00091

    (여기서, i=1, 2, 3, j, k=0, 1, 2, 3이다.)
    상기 B ij 와 상기 Q ij 는 다음 식을 통해 구하는 고무 물성 평가 방법.
    [식]
    Figure pat00092

    (여기서, i=1, 2, 3, j=0, 1, 2, 3이다.)
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