KR20060020234A - 푸리에 변환에 의한 시계열 데이터의 파라미터 추정 방법 - Google Patents

푸리에 변환에 의한 시계열 데이터의 파라미터 추정 방법 Download PDF

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KR20060020234A
KR20060020234A KR1020040069036A KR20040069036A KR20060020234A KR 20060020234 A KR20060020234 A KR 20060020234A KR 1020040069036 A KR1020040069036 A KR 1020040069036A KR 20040069036 A KR20040069036 A KR 20040069036A KR 20060020234 A KR20060020234 A KR 20060020234A
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Abstract

본 발명은 푸리에 변환에 의한 시계열 데이터의 파라미터 추정 방법에 관한 것으로, 시계열데이터의 푸리에 변환에서 직접 동적시스템의 특성을 나타내는 모드 및 파라미터를 추정할 수 있는 것으로, 푸리에 변환을 반복 계산 하지 않고, 1회의 푸리에 변환에서 시스템의 파라미터를 추정할 수 있는 바, 파라미터를 추정하는 시간을 단축할 수 있다.

Description

푸리에 변환에 의한 시계열 데이터의 파라미터 추정 방법 {A method for estimating parameter of time series data by fourier transform}
도 1은 기존의 슬라이딩 윈도우 방법을 설명하기 위한 파형도,
도 2는 본 발명을 수행하기 위한 하드웨어의 개략적인 블록 구성도,
도 3은 지수적으로 감쇠하는 정현파형도,
도 4는 지수감쇠사인함수의 크기와 위상을 나타낸 도면,
도 5는 지수감쇠사인함수의 푸리에 스펙트럼에 대한 일예를 도시한 파형도,
도 6은 지수감쇠코사인함수의 크기와 위상을 나타낸 도면,
도 7은 지수감쇠코사인함수의 푸리에 스펙트럼에 대한 일예를 도시한 파형도,
도 8은 저주파수에서 정현파 감쇠지수함수의 전력스펙트럼에 대한 일예를 도시한 파형도,
도 9는 복소지수함수의 스펙트럼에 대한 일예를 도시한 파형도,
도 10은 전력스펙트럼에서 모드의 실수부와 첨두 스펙트럼의 관계를 도시한 파형도,
도 11은 푸리에 스펙트럼에서 모드의 실수부와 첨두 스펙트럼의 관계를 도시한 파형도,
도 12는 본 발명의 실시예 1에 대한 동작 과정을 간략히 도시한 플로우챠트,
도 13은 본 발명의 실시예 2에 대한 동작 과정을 간략히 도시한 플로우챠트,
도 14는 본 발명의 실시예 3에 대한 동작 과정을 간략히 도시한 플로우챠트,
도 15는 본 발명의 실시예 4에 대한 동작 과정을 간략히 도시한 플로우챠트,
도 16은 본 발명의 실시예 5에 대한 동작 과정을 간략히 도시한 플로우챠트,
도 17은 시간 응답이 지속적으로 감쇠하고 있는 전력스펙트럼을 나타낸 파형도,
도 18은 도 17의 전력스펙트럼에서 구해진 복수의 시간 구간별 첨두치를 비교하여 나타낸 파형도,
도 19는 시간 응답이 지속적으로 발산하고 있는 전력 스펙트럼을 나타낸 파형도,
도 20은 도 19의 전력스펙트럼에서 구해진 복수의 시간 구간별 첨두치를 비교하여 나타낸 파형도,
도 21은 안정한 모드와 불안정한 모드가 존재하는 시계열 데이터의 시간응답을 나타낸 전력스펙트럼의 파형도,
도 22는 도 21의 전력스펙트럼에서 구해진 복수의 시간 구간별 첨두치를 비교하여 나타낸 파형도,
도 23은 본 발명의 실시예 6에 대한 동작 과정을 간략히 도시한 플로우챠트,
도 24는 본 발명의 실시예 7에 대한 동작 과정을 간략히 도시한 플로우챠트.
<도면의 주요 부분에 대한 부호의 설명>
10: 입력 처리부 20: 연산부
30: 출력부 40: 이산시간 발생부
본 발명은 푸리에 변환에 의한 시계열 데이터의 파라미터 추정 방법에 관한 것으로, 보다 상세하게는 계산 시간을 단축할 수 있는 푸리에 변환에 의한 시계열 데이터의 파라미터 추정 방법에 관한 것이다.
일반적으로, 동적시스템(dynamic system) 해석에는, 선형해석법을 이용한 모드(고유치)해석법이 많이 적용되고 있다. 그런데, 시계열데이터에서 선형해석법을 직접 적용할 수 없으므로 주로 주파수해석에 국한되고 있다.
시계열데이터에서 모드를 추정하는 방법으로 지금까지 프로니(Prony)법을 주로 이용하고 있는데, 이 방법은 신호를 자기회귀이동평균(autoregressive moving average, ARMA) 모델로 변환하여 얻은 선형예측행렬(linear prediction matrix)로 부터 복소지수함수를 계산하는 방법이다.
프로니법은 복소지수함수로 적합할 때, 선형예측방정식을 풀어야 하고, 고차방정식의 해를 계산해야하므로 계산 시간이 많이 소요된다. 이 방법은 잡음에 대해서 오차를 수반하며 신호데이터의 구간간격과 데이터의 크기에 따라서 모드가 민감하게 변화한다.
푸리에변환(Fourier transform)은 오늘날 다양한 산업 분야에서 적용되고 있다. 특히 고속 푸리에변환(fast Fourier transform, FFT) 알고리즘이 개발되면서 컴퓨터를 이용하여 주어진 신호의 주파수를 검출 및 분석하는데 이용하고 있다.
지금까지 고속 푸리에변환은 주어진 신호의 주파수를 정확하고 빠르게 구 하는데 주로 이용되고 있다. 동적시스템에서는 모드(mode)의 주파수보다는 제동특성을 파악할 수 있는 모드의 실수부가 더 중요한 요소이다.
지금까지 푸리에 변환을 이용하여 실수부를 추정하는 기법은 푸리에 스펙트럼 진폭의 감쇠정도를 반복 계산하여 모드를 추정하는 도 1과 같은 슬라이딩윈도우(sliding windows) 방법만 개발되었다.
상기 도 1에서 등간격 시간구간 (a), (b), (c)에 대해서 각각 푸리에 변환을 하여 각각의 스펙트럼을 계산한다. 각각의 스펙트럼의 첨두치(peak value)를 지수감쇠함수로 적합하여 모드의 실수부를 추정하는 방법이다.
그런데, 상기한 종래의 방법은, 컴퓨터 시뮬레이션에 의존하여 반복적으로 푸리에 변환을 계산해야 하므로 계산시간이 많이 소요되는 문제점이 있었다.
이에 본 발명은 상기와 종래기술의 문제점을 해소하기 위해 안출한 것으로, 계산 시간을 단축할 수 있는 푸리에 변환에 의한 시계열 데이터의 파라미터 추정 방법을 제공하는 데에 그 목적이 있다.
상기 목적을 달성하기 위한 본 발명의 제1 실시예에 따른 푸리에 변환에 의한 시계열 데이터의 파라미터 추정 방법은, 시계열 데이터를 입력하는 스텝과, 상기 입력된 시계열 데이터에 대해 푸리에 변환을 하여 푸리에 스펙트럼을 계산하는 스텝과, 상기 산출된 푸리에 스펙트럼 크기의
Figure 112004039385028-PAT00001
에 대응하는 푸리에 스펙트럼의 주파수에 첨두 주파수를 감산하여 모드의 실수부를 구하는 스텝과, 상기 구해진 푸 리에 스펙트럼 및 모드의 실수부로부터 시계열 데이터의 파라미터를 추정하고 이 추정 결과를 출력하는 스텝을 포함하는 것을 특징으로 한다.
상기 목적을 달성하기 위한 본 발명의 제2 실시예에 따른 푸리에 변환에 의한 시계열 데이터의 파라미터 추정 방법은, 시계열 데이터를 입력하는 스텝과, 상기 입력된 시계열 데이터에 대해 푸리에 변환을 하여 푸리에 스펙트럼을 구하고 이로부터 전력 스펙트럼을 계산하는 스텝과, 상기 계산된 전력 스펙트럼 크기의 1/2에 대응하는 전력 스펙트럼의 주파수에 첨두 주파수를 감산하여 모드의 실수부를 구하는 스텝과, 상기 구해진 전력 스펙트럼 및 모드의 실수부로부터 시계열 데이터의 파라미터를 추정하고 이 추정결과를 출력하는 스텝을 포함하는 것을 특징으로 한다.
상기 목적을 달성하기 위한 본 발명의 제3 실시예에 따른 푸리에 변환에 의한 시계열 데이터의 파라미터 추정 방법은, 시계열 데이터를 입력하는 스텝과, 상기 입력된 시계열 데이터에 대해 푸리에 변환을 하여 푸리에 스펙트럼을 계산하는 스텝과, 상기 계산된 푸리에 스펙트럼 크기의
Figure 112004039385028-PAT00002
에 대응하는 푸리에 스펙트럼의 주파수에 첨두 주파수를 감산하여 제1 모드의 실수부를 구하는 스텝과, 상기 푸리에 스펙트럼으로부터 전력 스펙트럼을 계산하는 스텝과, 상기 계산된 전력 스펙트럼 크기의 1/2에 대응하는 전력 스펙트럼의 주파수에 첨두 주파수를 감산하여 제2 모드의 실수부를 구하는 스텝과, 상기 제1 모드의 실수부와 상기 제2 모드의 실수부 중 상대적으로 작은 값을 선택하고, 상기 계산된 푸리에 스펙트럼 및 전력 스펙트럼 중 상기 선택한 모드의 실수부가 구해진 스펙트럼을 선택하는 스텝과, 상기 선택된 모드의 실수부 및 스펙트럼으로부터 시계열 데이터의 파라미터를 추정하고 이 추정 결과를 출력하는 스텝을 포함하는 것을 특징으로 한다.
상기 목적을 달성하기 위한 본 발명의 제4 실시예에 따른 푸리에 변환에 의한 시계열 데이터의 파라미터 추정 방법은, 시계열 데이터를 입력하는 스텝과, 상기 입력된 시계열 데이터에 대해 푸리에 변환을 하여 푸리에 스펙트럼을 계산하는 스텝과, 첨두 주파수에서 설정범위 내의 제1 임의의 주파수에 대응하는 푸리에 스펙트럼 크기와 첨두 주파수에서 설정범위 내의 제2 임의의 주파수에 대응하는 푸리에 스펙트럼 크기의 비를 구하는 스텝과, 상기 푸리에 스펙트럼 크기의 비를 각각 상기 제1 임의의 주파수 대응 푸리에 스펙트럼 및 상기 제2 임의의 주파수 대응 푸리에 스펙트럼에 대입하여 2차방정식을 얻고 이 방정식에서 해를 구하여 모드의 실수부를 구하는 스텝과, 상기 구해진 푸리에 스펙트럼과 상기 구해진 모드의 실수부로부터 시계열 데이터의 파라미터를 추정하여 이 추정결과를 출력하는 스텝을 포함하는 것을 특징으로 한다.
상기 목적을 달성하기 위한 본 발명의 제5 실시예에 따른 푸리에 변환에 의한 시계열 데이터의 파라미터 추정 방법은, 시계열 데이터를 입력하는 스텝과, 상기 입력된 시계열 데이터에 대해 푸리에 변환을 하여 푸리에 스펙트럼을 계산하는 스텝과, 상기 푸리에 스펙트럼으로부터 전력 스펙트럼을 계산하는 스텝과, 첨두 주파수에서 설정범위 내의 제1 임의의 주파수에 대응하는 전력 스펙트럼 크기와 첨두 주파수에서 설정범위 내의 제2 임의의 주파수에 대응하는 전력 스펙트럼 크기의 비를 구하는 스텝과, 상기 전력 스펙트럼 크기의 비를 각각 상기 제1 임의의 주파수 대응 전력 푸리에 스펙트럼 및 상기 제2 임의의 주파수 대응 전력 스펙트럼에 대입하여 2차방정식을 얻고 이 방정식에서 해를 구하여 모드의 실수부를 구하는 스텝과, 상기 구해진 전력 스펙트럼과 상기 구해진 모드의 실수부로부터 시계열 데이터의 파라미터를 추정하여 이 추정결과를 출력하는 스텝을 포함하는 것을 특징으로 한다.
또한, 본 발명은 상기한 제1 실시예 내지 제5 실시예에 대해 부가적인 실시예로서, 제6 실시예를 포함하고, 이 제6 실시예는, 시계열 데이터를 입력하는 스텝과, 상기 입력된 시계열 데이터에 대해 첨두 주파수의 제1 시간구간과 이보다 설정시간만큼 지연된 제2 시간구간에서 각각 푸리에 변환을 수행하여 전력 스펙트럼을 계산하는 스텝과, 상기 계산된 제1 시간구간에서 k개의 전력 스펙트럼의 합과 제2 시간구간의 k개의 전력 스펙트럼의 합을 비교하는 스텝과, 상기 비교 결과 제1 시간구간의 전력 스펙트럼의 합이 더 큰 경우에 시스템 안정으로 판정하여 이 판정 결과를 출력하는 스텝을 포함하는 것을 특징으로 한다.
또, 본 발명은 상기한 제1 실시예 내지 제5 실시예에 대한 부가적인 실시예로서, 제7 실시예를 포함하고, 이 제7 실시예는, 시계열 데이터를 입력하는 스텝과, 상기 입력된 시계열 데이터에 대해 첨두 주파수의 제1 시간구간과 이보다 설정시간만큼 지연된 제2 시간구간에서 각각 푸리에 변환을 수행하여 전력 스펙트럼을 계산하는 스텝과, 상기 계산된 제1 시간구간의 첨두치와 제2 시간구간의 첨두치를 비교하는 스텝과, 상기 비교 결과 제1 시간구간의 첨두치가 더 큰 경우에 시스템 안정으로 판정하여 이 판정 결과를 출력하는 스텝을 포함하는 것을 특징으로 한다.
이하, 본 발명의 바람직한 실시예를 첨부된 도면을 참조하여 상세히 설명하기로 한다.
[본 발명을 수행하기 위한 하드웨어]
도 2는 본 발명을 수행하기 위한 하드웨어의 개략적인 블록 구성도로서, 동도면을 참조하면 알 수 있듯이, 본 발명을 수행하기 위한 하드웨어는, 입력 처리부(10)와 연산부(20)와 출력부(30)와 이산시간 발생부(40)를 포함하여 구성될 수 있다.
상기 입력 처리부(10)는 입력되는 아날로그형태의 시계열 데이터(Time series data)를 아날로그 투 디지털 변환(Analog to digital convert)하여 연산부(20)로 입력한다.
상기 연산부(20)는 입력 처리부(10)로부터 입력되는 시계열 데이터에 대해 푸리에 변환(Fourier transform)을 하여 모드(mode)를 추정하고 이로부터 시계열 데이터의 파라미터(parameter)를 추정함과 더불어, 시계열 데이터의 입력 대상 시스템에 대한 안정/불안정을 판정한다.
상기 출력부(30)는 상기 연산부(20)에 의해 추정된 모드 및 파라미터의 추정결과와 시스템의 안정/불안정 판정 결과를 출력한다.
상기 이산시간 발생부(40)는 상기 연산부의 푸리에 변환을 위해 필요한 시간 정보인 이산시간 데이터를 발생하여 이를 연산부(20)로 입력한다.
이하에서는, 상기한 바와 같이 구성된 하드웨어를 통해 수행되는 본 발명의 실시예들에 대해 설명하기로 한다.
본 발명은, 시계열 데이터의 푸리에 변환에서 시스템의 상태를 나타내는 파라미터와 모드를 직접 구할 수 있는 방법에 관한 것으로, 푸리에 스펙트럼으로부터 모드를 구하여 파라미터를 추정하는 실시예 1과, 전력 스펙트럼으로부터 모드를 구하여 파라미터를 추정하는 실시예 2와, 푸리에 스펙트럼과 전력 스펙트럼으로부터 각각 모드를 구하고 이중 하나를 선택하여 파라미터를 추정하는 실시예 3를 포함한다.
또, 본 발명은, 푸리에 스펙트럼의 비(ratio)로부터 모드를 구하여 파라미터를 추정하는 실시예 4 및, 전력 스펙트럼의 비로부터 모드를 구하여 파라미터를 추정하는 실시예 5를 포함한다.
우선, 본 발명의 실시예 1 내지 5에 적용되는 원리에 대해 설명하기로 한다.
연속함수에 대한 푸리에 변환은 하기의 수학식 1과 같다.
Figure 112004039385028-PAT00003
실제 시계열데이터로 주어진 신호는 주기적인 경우는 거의 없고 비주기 신호인 경우가 대부분이다. 구간
Figure 112004039385028-PAT00004
에 정의된 신호
Figure 112004039385028-PAT00005
의 이산 푸리에 변환은 하기의 수학식 2와 같이 표현되며 스펙트럼 계수
Figure 112004039385028-PAT00006
는 구간
Figure 112004039385028-PAT00007
에서 정의 된다.
Figure 112004039385028-PAT00008
이산신호의 샘플링 간격을 T라하고 시간영역 T0시간 안에 있는 비주기 신호를 N개로 샘플링 하였을 때, T0 = NT 초로 표시된다. 즉, 이 신호의 스펙트럼은 주파수 영역에서 1/NT [Hz] 또는
Figure 112004039385028-PAT00009
[rad/sec]로 나타난다.
연속함수
Figure 112004039385028-PAT00010
와 같이 주파수
Figure 112004039385028-PAT00011
을 가진 사인함수와 제동계수
Figure 112004039385028-PAT00012
로 이루어진 지수함수의 곱으로 이루어진 함수라 가정하고, 제동계수
Figure 112004039385028-PAT00013
일 때, 이 시계열데이터는 도 3과 같이 지수적으로 감쇠하는 정현파 즉, 지수감쇠사인함수가 된다.
시간함수 x(t)를 푸리에 변환하면, 스펙트럼
Figure 112004039385028-PAT00014
는 복소함수로 표현되고, 그 크기와 위상은 도 4와 같다. 그리고 연속함수 x(t)의 크기 A=1 이고, 제동계수와 주파수가 각각
Figure 112004039385028-PAT00015
=0.01, f1=1 일 때,
Figure 112004039385028-PAT00016
는 도 5에 도식되어 있다.
사인함수와 마찬가지로 연속함수가
Figure 112004039385028-PAT00017
와 같이 주파수
Figure 112004039385028-PAT00018
을 가진 코사인함수와 제동계수
Figure 112004039385028-PAT00019
로 이루어진 지수함수의 곱으로 이루어진 지수감쇠코사인함수라 하면, 푸리에 스펙트럼
Figure 112004039385028-PAT00020
는 복소함수로 표현되고, 그 크기와 위상은 도 6과 같다.
그리고 연속함수 x(t)의 크기 A=1이고, 제동계수와 주파수가 각각
Figure 112004039385028-PAT00021
=0.01, f1=1일 때, 푸리에 스펙트럼의 크기와 위상은 도 7에 도식되어 있다. 도 5와 도 7에 서 모드의 실수부
Figure 112004039385028-PAT00022
가 작을 때, 첨두치가 형성되며 첨두주파수(peak frequency)에서 위상각의 반전이 이루어진다.
전력스펙트럼(power spectrum)은 푸리에 스펙트럼 크기의 제곱으로 정의된다. 도 4에 있는 지수감쇠사인함수의 전력스펙트럼
Figure 112004039385028-PAT00023
는 하기의 수학식 3과 같이 표현되고, 지수감쇠코사인함수의 전력스펙트럼은 하기의 수학식 4와 같이 표현된다.
Figure 112004039385028-PAT00024
Figure 112004039385028-PAT00025
저주파수에서 정현파 감쇠지수함수의 전력스펙트럼은 도 8에 도시하였다. 전력스펙트럼은 도 5와 도 7에 도시되어 있는 스펙트럼과 형태가 동일하고 모드의 실수부
Figure 112004039385028-PAT00026
가 작을 때, 첨두주파수에서 도 4에 나타난 푸리에 스펙트럼의 첨두값 보다 더 큰 첨두값(peak)을 갖는다.
이산푸리에변환(discrete Fourier transform)에서는 빠르고 정확하게 주어진 시계열 데이터의 주파수를 알 수 있다. 대부분의 시계열 데이터가 정현파나 여현파가 아니므로 시계열 데이터의 지배적인 주파수 부근에서는 스펙트럼이나 전력스펙트럼은 연속적인 포락선 형태를 가진다.
그러므로, 시계열 데이터의 푸리에 스펙트럼이나 전력스펙트럼에서 나타나는 모든 첨두주파수
Figure 112004039385028-PAT00027
근처의 주파수영역 데이터들은 하기의 수학식 5 또는 수학식 6과 같이 크기 A와 제동계수
Figure 112004039385028-PAT00028
, 첨두주파수
Figure 112004039385028-PAT00029
을 가진 복소지수함수로 역변환 된다(도 9 참조).
Figure 112004039385028-PAT00030
Figure 112004039385028-PAT00031
앞서 설명한 수학식 3의 전력스펙트럼은 주파수
Figure 112004039385028-PAT00032
일 때, 하기의 수학식 7과 같이 간단하게 표현된다. 즉 전력스펙트럼은 시간함수의 크기의 제곱에 비례하고, 제동계수
Figure 112004039385028-PAT00033
의 제곱에 반비례한다.
Figure 112004039385028-PAT00034
그리고, 주파수
Figure 112004039385028-PAT00035
에서 전력스펙트럼
Figure 112004039385028-PAT00036
는 하기의 수학식 8과 같다.
Figure 112004039385028-PAT00037
특히, 제동계수
Figure 112004039385028-PAT00038
가 주파수보다 크게 작아서
Figure 112004039385028-PAT00039
관계가 성립할 때, 상기 수학식 8에서
Figure 112004039385028-PAT00040
되어 제동계수
Figure 112004039385028-PAT00041
를 무시해도 된다. 따라서, 상기 수학식 8은 하기의 수학식 9와 같이 간략하게 표현된다.
Figure 112004039385028-PAT00042
그러므로, 주파수가 모드의 실수만큼 변화할 때, 전력스펙트럼과 첨두 전력스펙트럼 사이에는 하기의 수학식 10과 같은 관계가 성립한다.
Figure 112004039385028-PAT00043
상기 수학식 10은 첨두전력스펙트럼
Figure 112004039385028-PAT00044
의 50%에 대응하는 전력스펙트럼의 주파수와 첨두주파수 차가 모드의 실수부임을 의미한다.
즉, 전력스펙트럼 0.5
Figure 112004039385028-PAT00045
에 대응하는 주파수를
Figure 112004039385028-PAT00046
라 할 때, 모드의 실수부는 하기의 수학식 11 같이 정의되고, 이들 관계는 도 10에 도시한 바와 같다.
Figure 112004039385028-PAT00047
지금까지 기술한 결과는 수학식 6과 같은 지수감쇠코사인함수에 대해서도 성립한다. 수학식 6에 대해서
Figure 112004039385028-PAT00048
일 때, 수학식 11과 동일한 결과를 얻는다. 그러므로, 임의의 시계열데이터의 푸리에 변환에서 첨두값에 대한 전력스펙트럼을 지수감쇠사인함수나 지수감쇠코사인함수로 모의해도 같은 제동계수를 얻는다.
수학식 11과 유사한 결과는 푸리에 스펙트럼
Figure 112004039385028-PAT00049
에서 동일하게 얻을 수 있다. 즉
Figure 112004039385028-PAT00050
사이에는 다음 관계가 성립한다.
Figure 112004039385028-PAT00051
상기 수학식 12는 스펙트럼
Figure 112004039385028-PAT00052
크기의 70.7%에 대응하는 스펙트럼의 주파수와 첨두주파수 차가 모드의 실수부임을 의미한다. 즉, 스펙트럼에서 0.707
Figure 112004039385028-PAT00053
에 대응하는 주파수를
Figure 112004039385028-PAT00054
라 할 때, 모드의 실수부는 수학식 11과 같이 정의된다.
수학식 12의 양변을 제곱하면, 전력스펙트럼에서 얻은 결과와 정확하게 같음을 알 수 있다.
푸리에 스펙트럼의 크기를 사용해도 전력스펙트럼과 동일한 제동계수를 얻을 수 있고, 이때 비례상수는 수학식 12에서와 같이
Figure 112004039385028-PAT00055
이 된다. 푸리에 스펙트럼에서 모드의 실수부와 첨두스펙트럼의 관계는 도 11에 도시된 바와 같다.
이상에서는, 첨두주파수에 대응하는 스펙트럼 및 전력스펙트럼을 이용하여 모드의 실수부에 해당하는 제동계수를 추정하는 방법에 대해 설명하였다.
다음으로는, 푸리에 스펙트럼의 비 및 전력스펙트럼의 비를 이용해서 모드 를 구하는 방법에 대해 설명한다.
주파수
Figure 112004039385028-PAT00056
=
Figure 112004039385028-PAT00057
에서 전력스펙트럼
Figure 112004039385028-PAT00058
과
Figure 112004039385028-PAT00059
=
Figure 112004039385028-PAT00060
에서의 전력스펙트럼
Figure 112004039385028-PAT00061
의 비를
Figure 112004039385028-PAT00062
라 하면, 이를 하기의 수학식 13과 같이 나타낼 수 있다.
Figure 112004039385028-PAT00063
주파수
Figure 112004039385028-PAT00064
=
Figure 112004039385028-PAT00065
일 때, 전력스펙트럼은 하기의 수학식 14와 같이 표현된다.
Figure 112004039385028-PAT00066
이 식을 수학식 13에 대입한 후, 간략하게 정리하면, 하기의 수학식 15와 같은 2차 방정식을 얻을 수 있다.
Figure 112004039385028-PAT00067
여기에서, 상기한 2차 방정식의 계수들은 하기의 수학식 16과 같이 표현된다.
Figure 112004039385028-PAT00068
그리고, 제동계수
Figure 112004039385028-PAT00069
와 2차 방정식의 근 x 사이에, 하기의 수학식 17과 같은 관계가 성립한다.
Figure 112004039385028-PAT00070
그러므로, 첨두 주파수 근처의 임의의 주파수
Figure 112004039385028-PAT00071
에 대응하는 전력스펙트럼과 첨두 전력스펙트럼으로부터 방정식의 해 x와 제동계수
Figure 112004039385028-PAT00072
를 계산할 수 있으므로 모드의 실수부를 얻을 수 있다.
푸리에 스펙트럼의 크기
Figure 112004039385028-PAT00073
에 대해서도 동일하게 전개하여 모드를 추정할 수 있다.
도 4의 푸리에 스펙트럼의 크기에서 주파수
Figure 112004039385028-PAT00074
,
Figure 112004039385028-PAT00075
에서의 푸리에 스펙트럼 크기의 비를
Figure 112004039385028-PAT00076
라 하고, 하기의 수학식 18과 같이 정의한다.
Figure 112004039385028-PAT00077
상기 수학식 18에 각각의 푸리에 스펙트럼의 크기를 대입하고 정리하면, 앞서 설명한 전력 스펙트럼에서와 동일한 수학식 15와 같은 2차 방정식을 얻을 수 있다. 단, 스펙트럼 크기를 적용할 경우에는 2차방정식의 계수들이 하기의 수학식 19와 같이 표현되며, 제동계수
Figure 112004039385028-PAT00078
는 수학식 17과 같다.
Figure 112004039385028-PAT00079
이상에서는 모드의 실수부를 추정하는 방법에 대해 설명하였다.
다음에는, 앞서 설명한 수학식 5와 수학식 6에 있는 시계열응답의 크기를 구하는 방법에 대해 설명한다.
일반적으로 측정된 시계열 데이터에서는 각 주파수에 대응하는 시간함수의 크기 A를 알 수 없다. 시계열 데이터의 크기 A는 앞에서 계산한 모드의 실수부와 전력스펙트럼으로부터 계산된다. 수학식 3에서
Figure 112004039385028-PAT00080
=
Figure 112004039385028-PAT00081
일 때, 하기의 수학식 20과 같이 표현된다.
Figure 112004039385028-PAT00082
상기 수학식 20에서 크기 A에 대해서 정리하면, 하기의 수학식 21과 같이 표현되므로 지수감쇠함수로 표현된 시계열데이터의 크기 A를 알 수 있다.
Figure 112004039385028-PAT00083
특정한 경우
Figure 112004039385028-PAT00084
일 때, 수학식 21은 하기의 수학식 22와 같이 간략하게 표현된다.
Figure 112004039385028-PAT00085
상기 수학식 22에서 첨두 스펙트럼은 A에 비례하고
Figure 112004039385028-PAT00086
에 반비례함을 알 수 있다. 제동계수
Figure 112004039385028-PAT00087
가 0에 근접한 경우 즉,
Figure 112004039385028-PAT00088
로 접근함을 알 수 있는데,
Figure 112004039385028-PAT00089
가 0에 근접할수록 스펙트럼이나 전력스펙트럼은 첨두치가 커지게 된다.
이상에서 설명한 방법에 의해 시간영역응답의 모든 파라미터를 추정할 수 있다. 특히 동적시스템해석에 필요한 모드나 고유치
Figure 112004039385028-PAT00090
는 하기의 수학식 23과 같이 제동계수와 주파수의 조합으로 구성된다.
Figure 112004039385028-PAT00091
이상에서 설명한 바와 같은 기술적 원리는, 본 발명의 실시예 1 내지 5에 대해 적용되며, 이에 대해 설명하면 다음과 같다.
[실시예 1]
먼저, 본 발명의 실시예 1은, 앞서 설명한 원리를 적용하여 푸리에 스펙트럼으로부터 모드를 구하여 파라미터를 추정하는 방법으로서, 도 12에 개략적으로 도시한 바와 같다.
즉, 본 발명의 실시예 1은, 도 12를 참조하면 알 수 있듯이, 입력 처리부(10)를 통해 연산부(20)로 시계열 데이터를 입력하는 스텝(S10)과, 연산부(20)가 상기 입력된 시계열 데이터에 대해 푸리에 변환을 하여 푸리에 스펙트럼을 계산하는 스텝(S20)을 포함한다.
그리고, 연산부(20)가 상기 스텝(S20)에서 산출된 푸리에 스펙트럼 크기의
Figure 112004039385028-PAT00092
에 대응하는 푸리에 스펙트럼의 주파수에 첨두 주파수를 감산하여 모드의 실수부(제동계수)를 구하는 스텝(S30)(수학식 11, 12 참조)을 포함한다.
보다 상세하게는, 상기 스텝(S30)에서, 수학식 12에서 스펙트럼
Figure 112004039385028-PAT00093
의 70.7%에 해당하는 스펙트럼
Figure 112004039385028-PAT00094
를 계산하고,
Figure 112004039385028-PAT00095
에 대응하는 x-축의 주파수
Figure 112004039385028-PAT00096
를 추정한 후, 수학식 11에서 모드의 실수부
Figure 112004039385028-PAT00097
를 추정한다.
또한, 연산부(20)가 상기 스텝(S20)에서 계산된 푸리에 스펙트럼과 상기 스텝(S30)에서 구해진 모드의 실수부로부터 시계열 데이터의 파라미터(예컨대, 모드의 실수부, 모드의 허수부, 시계열 응답의 크기)를 추정하는 스텝(S40)(수학식 20 내지 수학식 23 참조), 이 연산부(20)에 의해 추정된 결과를 출력부(30)를 통해 출력하는 스텝(S50)을 포함한다.
보다 상세하게는, 상기 스텝(S40)에서, 파라미터를 추정함에 있어서, 상기 스텝(S30)에서 얻은 모드의 실수부와 첨두주파수로부터 모드
Figure 112004039385028-PAT00098
를 추정하고 이들을 수학식 20에 대입하여 파라미터 A 를 추정한다.
[실시예 2]
본 발명의 실시예 2는, 앞서 설명한 원리를 적용하여 전력 스펙트럼으로부터 모드를 구하여 파라미터를 추정하는 방법으로서, 도 13에 개략적으로 도시한 바 와 같다.
즉, 본 발명의 실시예 2는, 도 13을 참조하면 알 수 있듯이, 입력 처리부(10)를 통해 연산부(20)로 시계열 데이터를 입력하는 스텝(S110)과, 연산부(20)가 상기 입력된 시계열 데이터에 대해 푸리에 변환을 하여 푸리에 스펙트럼을 계산하는 스텝(S120)과, 연산부(20)가 상기 계산된 푸리에 스펙트럼으로부터 전력 스펙트럼을 계산하는 스텝(S130)(수학식 3 및 4 참조)을 포함한다.
참고적으로, 상기 스텝(S130)에서, 푸리에 스펙트럼에서 전력스펙트럼을 계산함에 있어서, 스펙트럼이 복소벡터이므로 전력스펙트럼은 수학식 100과 같이 공액복소벡터
Figure 112004039385028-PAT00099
의 각 요소를 곱해서 그 크기를 계산한다. 만약, 첨두 스펙트럼이 큰 값(일예로, 105 정도 이상)이면, 수학식 200에 있는 것과 같이 스펙트럼 데이터 수 N으로 전력스펙트럼을 나눈 평균전력스펙트럼을 사용한다.
Figure 112004039385028-PAT00100
Figure 112004039385028-PAT00101
그리고, 연산부(20)가 상기 스텝(S130)에서 산출된 전력 스펙트럼 크기의 1/2에 대응하는 전력 스펙트럼의 주파수에 첨두 주파수를 감산하여 모드의 실수부(제동계수)를 구하는 스텝(S140)(수학식 10, 11 참조)을 포함한다.
보다 상세하게는, 스텝(S140)에서, 수학식 10과 같이 첨두 주파수에서의 전력스펙트럼의 50%에 해당하는 전력스펙트럼
Figure 112004039385028-PAT00102
를 계산하고, 이 전력스펙트럼에 대응하는 x-축 주파수
Figure 112004039385028-PAT00103
를 계산한 다음, 수학식 11에서 모드의 실수부
Figure 112004039385028-PAT00104
를 추정한다.
연산부(20)가 상기 스텝(S130)에서 계산된 전력 스펙트럼과 상기 스텝(S140)에서 구해진 모드의 실수부로부터 시계열 데이터의 파라미터(예컨대, 모드의 실수부, 모드의 허수부, 시계열 응답의 크기)를 추정하는 스텝(S150)(수학식 20 내지 수학식 23 참조) 및, 이 연산부(20)에 의해 추정된 결과를 출력부(30)를 통해 출력하는 스텝(S160)을 포함한다.
보다 상세하게는, 상기 스텝(S150)에서, 파라미터를 추정함에 있어서, 상기 스텝(S140)에서 얻은 모드의 실수부와 첨두주파수로부터 모드
Figure 112004039385028-PAT00105
를 추정하고 이들을 수학식 20에 대입하여 파라미터 A 를 추정한다.
[실시예 3]
본 발명의 실시예 3은, 앞서 설명한 원리를 적용하여 푸리에 스펙트럼과 전력 스펙트럼으로부터 각각 모드를 구하고 이중 하나를 선택하여 파라미터를 추정하는 방법으로서, 도 14에 개략적으로 도시한 바와 같다.
즉, 본 발명의 실시예 3은, 도 14를 참조하면 알 수 있듯이, 입력 처리부(10)를 통해 연산부(20)로 시계열 데이터를 입력하는 스텝(S210)과, 연산부(20)가 상기 입력된 시계열 데이터에 대해 푸리에 변환을 하여 푸리에 스펙트럼을 계산하는 스텝(S220)과, 연산부(20)가 상기 스텝(S220)에서 계산된 푸리에 스펙트럼 크기의
Figure 112004039385028-PAT00106
에 대응하는 푸리에 스펙트럼의 주파수에 첨두 주파수를 감 산하여 모드의 실수부(제동계수)를 구하는 스텝(S225)(수학식 11, 12 참조)을 포함한다.
그리고, 연산부(20)가 상기 계산된 푸리에 스펙트럼으로부터 전력 스펙트럼을 계산하는 스텝(S230)(수학식 3 및 4 참조)과, 상기 스텝(S230)에서 계산된 전력 스펙트럼 크기의 1/2에 대응하는 전력 스펙트럼의 주파수에 첨두 주파수를 감산하여 모드의 실수부(제동계수)를 구하는 스텝(S235)(수학식 10, 11 참조)을 포함한다.
또한, 연산부(20)가 상기 스텝(S225)에서 구해진 모드의 실수부와 상기 스텝(S235)에서 구해진 모드의 실수부를 비교하여 상대적으로 작은 값의 모드 실수부를 선택하는 스텝(S240)을 포함한다.
또, 연산부(20)가 상기 스텝(S240)에서 선택된 모드의 실수부와, 이 선택된 모드의 실수부가 도출된 스펙트럼(즉, 푸리에 스펙트럼과 전력 스펙트럼 중 하나)으로부터 시계열 데이터의 파라미터(예컨대, 모드의 실수부, 모드의 허수부, 시계열 응답의 크기)를 추정하는 스텝(S250)(수학식 20 내지 수학식 23 참조) 및, 이 연산부(20)에 의해 추정된 결과를 출력부(30)를 통해 출력하는 스텝(S260)을 포함한다.
[실시예 4]
본 발명의 실시예 4는, 앞서 설명한 원리를 적용하여 푸리에 스펙트럼의 비(ratio)로부터 모드를 구하여 파라미터를 추정하는 방법으로서, 도 15에 개략적으로 도시한 바와 같다.
즉, 본 발명의 실시예 4는, 도 15를 참조하면 알 수 있듯이, 입력 처리부(10)를 통해 연산부(20)로 시계열 데이터를 입력하는 스텝(S310)과, 연산부(20)가 상기 입력된 시계열 데이터에 대해 푸리에 변환을 하여 푸리에 스펙트럼을 계산하는 스텝(S320)을 포함한다.
그리고, 연산부(20)가 상기 스텝(S320)에서 산출된 푸리에 스펙트럼의 첨두 주파수에서 설정범위 내의 제1 임의의 주파수에 대응하는 푸리에 스펙트럼 크기와 첨두 주파수에서 설정범위 내의 제2 임의의 주파수에 대응하는 푸리에 스펙트럼 크기의 비를 계산하는 스텝(S330)(수학식 18)을 포함한다.
참고적으로, 상기 제1 임의의 주파수와 제2 임의의 주파수를 선택하는 방법은, 이웃하는 스펙트럼(전력스펙트럼)을 서로 감산하였을 때, 절대값이 가장 큰 값을 갖는 주파수를 각각 제1 및 제2 임의의 주파수로 선택한다. 대부분의 경우 푸리에 스펙트럼의 첨두치에서 가장 큰 값을 갖는다.
또한, 연산부(20)가 상기 스텝(S330)에서 구해진 푸리에 스펙트럼 크기의 비를 각각 상기 제1 임의의 주파수에 대응하는 푸리에 스펙트럼 및 상기 제2 임의의 주파수에 대응하는 푸리에 스펙트럼에 대입하여 2차방정식(수학식 15, 19)을 얻고 이 방정식에서 해를 구하여 모드의 실수부를 구하는 스텝(S340)(수학식 17 참조)을 포함한다.
또, 연산부(20)가 상기 스텝(S340)에서 구해진 모드의 실수부로부터 시계열 데이터의 파라미터(예컨대, 모드의 실수부, 모드의 허수부, 시계열 응답의 크기)를 추정하는 스텝(S350)(수학식 20 내지 수학식 23 참조) 및, 이 연산부(20)에 의해 추정된 결과를 출력부(30)를 통해 출력하는 스텝(S360)을 포함한다.
[실시예 5]
본 발명의 실시예 5는, 앞서 설명한 원리를 적용하여 전력 스펙트럼의 비로부터 모드를 구하여 파라미터를 추정하는 방법으로서, 도 16에 개략적으로 도시한 바와 같다.
즉, 본 발명의 실시예 5는, 입력 처리부(10)를 통해 연산부(20)로 시계열 데이터를 입력하는 스텝(S410)과, 연산부(20)가 상기 입력된 시계열 데이터에 대해 푸리에 변환을 하여 푸리에 스펙트럼을 계산하는 스텝(S420)과, 연산부(20)가 상기 스텝(S420)에서 계산된 푸리에 스펙트럼으로부터 전력 스펙트럼을 계산하는 스텝(S430)(수학식 3 및 4 참조)을 포함한다.
그리고, 연산부(20)가 상기 스텝(S430)에서 산출된 전력 스펙트럼의 첨두 주파수에서 설정범위 내의 제1 임의의 주파수에 대응하는 전력 스펙트럼 크기와 첨두 주파수에서 설정범위 내의 제2 임의의 주파수에 대응하는 전력 스펙트럼 크기의 비를 계산하는 스텝(S440)(수학식 13)을 포함한다.
또한, 연산부(20)가 상기 스텝(S440)에서 구해진 전력 스펙트럼 크기의 비를 각각 상기 제1 임의의 주파수에 대응하는 전력 스펙트럼 및 상기 제2 임의의 주파수에 대응하는 전력 스펙트럼에 대입하여 2차방정식(수학식 15, 16)을 얻고 이 방정식에서 해를 구하여 모드의 실수부를 구하는 스텝(S450)(수학식 17 참조)을 포함한다.
또, 연산부(20)가 상기 스텝(S450)에서 구해진 모드의 실수부로부터 시계 열 데이터의 파라미터(예컨대, 모드의 실수부, 모드의 허수부, 시계열 응답의 크기)를 추정하는 스텝(S460)(수학식 20 내지 수학식 23 참조) 및, 이 연산부(20)에 의해 추정된 결과를 출력부(30)를 통해 출력하는 스텝(S470)을 포함한다.
이상에서 설명한 바와 같은, 본 발명의 실시예 1 내지 실시예 5는, 모드와 파라미터를 구하는 방법에 대해 설명하였다.
그런데, 상기한 본 발명의 실시예 1 내지 실시예 5에 따르면, 시계열 데이터의 파라미터인 모드의 실수부 크기와 허수부(첨두 주파수)는 정확하게 추정할 수 있으나, 시스템의 동적특성을 파악할 때, 중요한 요소인 모드 실수부의 부호(- 또는 +)를 결정할 수 없다.
이는, 대부분의 동적 시스템이 안정하게 운전되고 있다고 가정하기 때문, 즉, 주어진(입력된) 시계열 데이터가 안정한 경우라고 가정하기 때문에, 보통의 경우 부호는 "-"로 생각한다.
이에, 본 발명에서는 추가적으로, 시계열 데이터(시간응답)에서 시스템의 안정/불안정을 파악하는 방법을 제시하며, 이는 실시예 6 및 7에 해당한다.
본 발명의 실시예 6은 복수의 시간구간에서 전력 스펙트럼의 합을 비교하여 시스템의 안정여부를 판별하는 방법이고, 본 발명의 실시예 7은 복수의 시간구간에서 전력 스펙트럼의 첨두치를 비교하여 시스템의 안정여부를 판별하는 방법이다.
우선, 본 발명의 실시예 6 및 7에 적용되는 원리에 대해 설명하기로 한다.
시간영역에서 시스템의 안정-불안정 판별은 시간영역데이터가 수렴하느냐 또는 발산하느냐에 달려있다. 단순한 함수(예를 들면,
Figure 112004039385028-PAT00107
)이면 시간응답에서 쉽게 수렴, 발산을 확인할 수 있으나 실제 시스템의 시간응답은 다양한 모드들이 존재하므로 시간응답으로부터 시스템의 안정-불안정을 판단하는 것은 어렵다.
먼저, 전력스펙트럼과 시간응답 사이의 관계를 나타내는 Parseval 정리는 하기의 수학식 24와 같이 정의된다.
Figure 112004039385028-PAT00108
Parseval 정리는 연속된 신호에 대하여 시간영역에서의 총 에너지가 주파수영역에서의 총 에너지와 같다는 것을 의미한다. 이산치 데이터에서는 하기의 수학식 25와 같이 표현되는데, 좌변은 시간영역에서 한주기 동안 샘플링 한 신호의 평균에너지를 나타내고, 우변은 주파수 영역에서 한 주기 동안 계산한 전력스펙트럼을 의미한다.
Figure 112004039385028-PAT00109
본 발명의 6실시예 및 7실시예의 시스템 안정-불안정 판별 방법은, 상기 수학식 25에서 착안한 것으로, 동일한 주기를 갖는 시간영역데이터에 대해서 평균에너지가 감소하면 시스템은 안정하고 평균에너지가 증가하면 시스템은 불안정하다 고 판별할 수 있다.
특히, 상술한 바와 같이 푸리에 전력스펙트럼에서 첨두값 근처의 주파수영역을 지수감쇠사인함수의 시간영역으로 모의할 때, 첨두값 근처의 몇 개의 전력스펙트럼의 합으로 시스템의 안정-불안정을 판별할 수 있으며(실시예 6), 첨두값이 큰 경우는 첨두값들만 비교함으로써 시스템의 안정-불안정을 판별할 수 있다(실시예 7).
도 17에 도시한 바와 같은 시간응답
Figure 112004039385028-PAT00110
에 대해서 시간구간 T1과 T2 (시간 차이 즉, T2 가 T1 보다 설정시간만큼 지연되고, 시간 폭은 동일)에서 각각 푸리에 변환을 수행하여 전력스펙트럼을 계산하면, 동일한 주파수(도 18에서는 1Hz)에서 전력스펙트럼의 첨두 값을 각각
Figure 112004039385028-PAT00111
이라 할 때, 시스템이 안정한 경우, 즉, 도 17과 같이 시간 응답이 지속적으로 감쇠하면, 전력스펙트럼은 하기의 수학식 26과 같은 관계를 갖는다.
Figure 112004039385028-PAT00112
또한, 시간구간 T1에서 첨두 주파수를 중심으로 k개의 전력스펙트럼의 합을
Figure 112004039385028-PAT00113
, 시간구간 T2에서
Figure 112004039385028-PAT00114
라 하면, 하기의 수학식 27과 같은 관계가 성립한다. 예컨대, 통상적인 경우 대략 k=2~5 정도면 충분하게 정확한 값을 가지며, 반드시 첨두 값을 중심으로 좌우로 연속된 전력스펙트럼 값이 점점 작아져야 한다. 즉, 주파수가 첨두주파수 보다 작은 경우(왼쪽),
Figure 112004039385028-PAT00115
이 성립해야하고, 주파수가 첨두주파수 보다 큰 경우(오른쪽),
Figure 112004039385028-PAT00116
이 성립해야한다.
Figure 112004039385028-PAT00117
도 18에서 시간구간 T1에 대응하는 전력스펙트럼의 첨두 값
Figure 112004039385028-PAT00118
이 시간구간 T2에 대응하는 전력스펙트럼의 첨두 값
Figure 112004039385028-PAT00119
보다 큰 값을 가지고 있으므로 수학식 26을 만족하고, 동일하게 전력스펙트럼의 합인 수학식 27을 만족하므로 주어진 시스템은 안정하다고 판별할 수 있다.
다음, 도 19에 도시되어 있는 시간응답
Figure 112004039385028-PAT00120
에 대해 고려해 보면, 시간 응답이 지속적으로 발산하고 있는 경우로 이때, 전력스펙트럼은 하기의 수학식 28과 같은 관계를 갖는다. 첨두 값
Figure 112004039385028-PAT00121
은 시간구간 T1의 전력스펙트럼 첨두 값이고
Figure 112004039385028-PAT00122
은 시간구간 T2의 전력스펙트럼 첨두 값이다. 또한, 첨두 주파수 근처의 전력스펙트럼의 합에 대해서도 하기의 수학식 29와 같은 관계가 성립한다.
Figure 112004039385028-PAT00123
Figure 112004039385028-PAT00124
도 20에서 시간구간 T1, T2 에 대응하는 전력스펙트럼의 첨두 값
Figure 112004039385028-PAT00125
,
Figure 112004039385028-PAT00126
가 수학식 28을 만족하고, 전력스펙트럼의 합인 수학식 29를 만족하므로 주어진 시스템은 불안정하다고 판별할 수 있다.
도 21은 안정한 모드와 불안정한 모드가 존재하는 하기의 수학식 30에 나타낸 바와 같은 함수의 시간응답을 나타내고 있고, 이 응답에 대한 전력스펙트럼은 도 22에 도시한 바와 같다.
Figure 112004039385028-PAT00127
상기 도 22에서 주파수 0.84Hz는 -모드이므로 수학식 26-27을 만족하고, 주파수 1Hz 모드는 +모드이므로 수학식 28-29를 만족한다.
그러므로, 2번의 고속 푸리에 변환을 수행하여 전력스펙트럼의 크기를 비교하면 시간응답의 안정-불안정을 판별할 수 있다.
이상에서 설명한 바와 같은 기술적 원리는, 본 발명의 실시예 6 및 7에 대해 적용되며, 이에 대해 설명하면 다음과 같다.
[실시예 6]
먼저, 본 발명의 실시예 6은, 앞서 설명한 원리를 적용하여 복수의 시간구 간(T1, T2)에서 전력 스펙트럼의 합을 비교하여 시스템의 안정여부를 판별하는 방법으로서, 도 23에 개략적으로 도시한 바와 같다.
즉, 본 발명의 실시예 6은, 입력 처리부(10)를 통해 연산부(20)로 시계열 데이터를 입력하는 스텝(S510)과, 연산부(20)가 상기 입력된 시계열 데이터에 대해 푸리에 변환을 하여 시간구간(T1)에서 전력 스펙트럼을 계산하는 스텝(S520)과, 연산부(20)가 상기 계산된 시간구간(T1)에서 k개의 전력 스펙트럼의 합(
Figure 112004039385028-PAT00128
)을 계산하는 스텝(S530)을 포함한다.
그리고, 연산부(20)가 시간구간(T1)보다 설정시간만큼 지연된 시간구간(T2)에서 전력 스펙트럼을 계산하는 스텝(S540)과, 연산부(20)가 상기 계산된 시간구간(T2)에서 k개의 전력 스펙트럼의 합(
Figure 112004039385028-PAT00129
)을 계산하는 스텝(S550)을 포함한다. 단, 시간구간(T1)과 시간구간(T2)의 구간 폭(시간영역 데이터 수)은 서로 동일하다.
또한, 연산부(20)가 상기 계산된 시간구간(T1)에서 k개의 전력 스펙트럼의 합(
Figure 112004039385028-PAT00130
)과 시간구간(T2)의 k개의 전력 스펙트럼의 합(
Figure 112004039385028-PAT00131
)을 비교하는 스텝(S560)과, 상기 스텝(S560)의 비교 결과 시간구간(T1)의 전력 스펙트럼의 합이 더 큰 경우에 연산부(20)가 시스템 안정으로 판정하는 스텝(S570)과, 상기 스텝(S560)의 비교 결과 시간구간(T1)의 전력 스펙트럼의 합이 시간구간(T2)의 k개 의 전력 스펙트럼의 합보다 작거나 같은 경우에 연산부(20)가 시스템 불안정으로 판정하는 스텝(S575)과, 연산부(20)에서 판정된 결과가 출력부(30)를 통해 출력되는 스텝(S580)을 포함한다.
[실시예 7]
본 발명의 실시예 7은, 앞서 설명한 원리를 적용하여 복수의 시간구간(T1, T2)에서 전력 스펙트럼의 첨두치를 비교하여 시스템의 안정여부를 판별하는 방법으로서, 도 24에 개략적으로 도시한 바와 같다.
즉, 본 발명의 실시예 7은, 입력 처리부(10)를 통해 연산부(20)로 시계열 데이터를 입력하는 스텝(S610)과, 연산부(20)가 상기 입력된 시계열 데이터에 대해 푸리에 변환을 하여 시간구간(T1)에서 전력 스펙트럼을 계산하는 스텝(S620)과, 연산부(20)가 시간구간(T1)보다 설정시간만큼 지연된 시간구간(T2)에서 전력 스펙트럼을 계산하는 스텝(S630)을 포함한다.
그리고, 연산부(20)가 시간구간(T1)의 첨두치(
Figure 112004039385028-PAT00132
)와 시간구간(T2)의 첨두치(
Figure 112004039385028-PAT00133
)를 비교하여, 어느 쪽이 큰지를 판단하는 스텝(S640)(S650)과, 상기 스텝(S650)의 판단결과 시간구간(T1)의 첨두치가 더 큰 경우에 연산부(20)가 시스템 안정으로 판정하는 스텝(S660)과, 상기 스텝(S650)의 판단 결과 시간구간(T1)의 첨두치가 시간구간(T2)의 첨두치보다 작거나 같은 경우에 연산부(20)가 시스템 불안정으로 판정하는 스텝(S665)과, 연산부(20)에서 판정된 결과가 출력부(30)를 통해 출 력되는 스텝(S670)을 포함한다.
이상에서 설명한 바와 같이, 상기한 실시예 6과 실시예 7은, 파라미터를 추정한 실시간 데이터의 대상 시스템에 대해 안정/불안정을 추가적으로 판정하는 것으로, 앞서 설명한 실시예 1 내지 5에 필요에 따라 부가하여 적용할 수 있다.
또, 시스템의 안정/불안정을 판정하고자 할 때, 실시예 6과 실시예 7 중 어느 하나를 사용해도 되고, 양자를 모두 사용해도 되며, 시계열 데이터에 따라 선택하여 적용해도 된다. 예컨대, 시계열 데이터의 전력 스펙트럼에 대한 첨두치가 설정값보다 크면 실시예 7을 선택 적용하고, 설정값보다 작거나 같으면 실시예 6을 선택 적용할 수 있다.
상기에서 본 발명은 특정 실시예를 예시하여 설명하지만 본 발명이 상기 실시예에 한정되는 것은 아니다. 당업자는 본 발명에 대한 다양한 변형, 수정을 용이하게 만들 수 있으며, 이러한 변형 또는 수정이 본 발명의 특징을 이용하는 한 본 발명의 범위에 포함된다는 것을 명심해야 한다.
상술한 바와 같이 본 발명은, 시계열데이터의 푸리에 변환에서 직접 동적시스템의 특성을 나타내는 모드 및 파라미터를 추정할 수 있는 것으로, 기존의 방법들과는 달리 시뮬레이션에 의존하지 않기 때문에, 푸리에 변환을 반복 계산 하지 않고, 1회의 푸리에 변환에서 시스템의 파라미터를 추정할 수 있다.
즉, 본 발명은 파라미터를 추정하는 시간을 단축할 수 있어서, 실시간(real time)으로 모드를 구할 수 있기 때문에, 파라미터의 빠른 추정을 요구하는 시스템 에서 성능 향상 등을 이룰 수 있는 효과가 있다. 특히, 본 발명은 수학식에 근거를 둔 단순하면서 명확한 알고리즘이므로 푸리에 변환을 적용하는 모든 시스템에 용이하게 적용할 수 있는 효과가 있다.
또한, 본 발명은, 전력스펙트럼에서 시간영역데이터의 안정성을 판단할 수 있어 시스템의 안전하게 운용할 수 있는 효과가 있다.

Claims (9)

  1. 푸리에 변환에 의한 시계열 데이터의 파라미터 추정방법에 있어서,
    시계열 데이터를 입력하는 스텝과,
    상기 입력된 시계열 데이터에 대해 푸리에 변환을 하여 푸리에 스펙트럼을 계산하는 스텝과,
    상기 산출된 푸리에 스펙트럼 크기의
    Figure 112004039385028-PAT00134
    에 대응하는 푸리에 스펙트럼의 주파수에 첨두 주파수를 감산하여 모드의 실수부를 구하는 스텝과,
    상기 구해진 푸리에 스펙트럼 및 모드의 실수부로부터 시계열 데이터의 파라미터를 추정하고 이 추정 결과를 출력하는 스텝을 포함하는 것을 특징으로 하는 푸리에 변환에 의한 시계열 데이터의 파라미터 추정방법.
  2. 푸리에 변환에 의한 시계열 데이터의 파라미터 추정방법에 있어서,
    시계열 데이터를 입력하는 스텝과,
    상기 입력된 시계열 데이터에 대해 푸리에 변환을 하여 푸리에 스펙트럼을 구하고 이로부터 전력 스펙트럼을 계산하는 스텝과,
    상기 계산된 전력 스펙트럼 크기의 1/2에 대응하는 전력 스펙트럼의 주파수에 첨두 주파수를 감산하여 모드의 실수부를 구하는 스텝과,
    상기 구해진 전력 스펙트럼 및 모드의 실수부로부터 시계열 데이터의 파라미터를 추정하고 이 추정결과를 출력하는 스텝을 포함하는 것을 특징으로 하는 푸 리에 변환에 의한 시계열 데이터의 파라미터 추정방법.
  3. 푸리에 변환에 의한 시계열 데이터의 파라미터 추정방법에 있어서,
    시계열 데이터를 입력하는 스텝과,
    상기 입력된 시계열 데이터에 대해 푸리에 변환을 하여 푸리에 스펙트럼을 계산하는 스텝과,
    상기 계산된 푸리에 스펙트럼 크기의
    Figure 112004039385028-PAT00135
    에 대응하는 푸리에 스펙트럼의 주파수에 첨두 주파수를 감산하여 제1 모드의 실수부를 구하는 스텝과,
    상기 푸리에 스펙트럼으로부터 전력 스펙트럼을 계산하는 스텝과,
    상기 계산된 전력 스펙트럼 크기의 1/2에 대응하는 전력 스펙트럼의 주파수에 첨두 주파수를 감산하여 제2 모드의 실수부를 구하는 스텝과,
    상기 제1 모드의 실수부와 상기 제2 모드의 실수부 중 상대적으로 작은 값을 선택하고, 상기 계산된 푸리에 스펙트럼 및 전력 스펙트럼 중 상기 선택한 모드의 실수부가 구해진 스펙트럼을 선택하는 스텝과,
    상기 선택된 모드의 실수부 및 스펙트럼으로부터 시계열 데이터의 파라미터를 추정하고 이 추정 결과를 출력하는 스텝을 포함하는 것을 특징으로 하는 푸리에 변환에 의한 시계열 데이터의 파라미터 추정방법.
  4. 푸리에 변환에 의한 시계열 데이터의 파라미터 추정방법에 있어서,
    시계열 데이터를 입력하는 스텝과,
    상기 입력된 시계열 데이터에 대해 푸리에 변환을 하여 푸리에 스펙트럼을 계산하는 스텝과,
    첨두 주파수에서 설정범위 내의 제1 임의의 주파수에 대응하는 푸리에 스펙트럼 크기와 첨두 주파수에서 설정범위 내의 제2 임의의 주파수에 대응하는 푸리에 스펙트럼 크기의 비를 구하는 스텝과,
    상기 푸리에 스펙트럼 크기의 비를 각각 상기 제1 임의의 주파수 대응 푸리에 스펙트럼 및 상기 제2 임의의 주파수 대응 푸리에 스펙트럼에 대입하여 2차방정식을 얻고 이 방정식에서 해를 구하여 모드의 실수부를 구하는 스텝과,
    상기 구해진 푸리에 스펙트럼과 상기 구해진 모드의 실수부로부터 시계열 데이터의 파라미터를 추정하여 이 추정결과를 출력하는 스텝을 포함하는 것을 특징으로 하는 푸리에 변환에 의한 시계열 데이터의 파라미터 추정방법.
  5. 제 4 항에 있어서, 상기 2차방정식의 계수는,
    『
    Figure 112004039385028-PAT00136
    』 이고,
    상기 모드의 실수부(
    Figure 112004039385028-PAT00137
    )는, 상기 2차방정식의 근(x)을, 관계식 『
    Figure 112004039385028-PAT00138
    』에 대입하여 계산함을 특징으로 하는 푸리에 변환에 의한 시계열 데이터의 파라미터 추정방법.
    단, 상기 2차 방정식에서,
    Figure 112004039385028-PAT00139
    는 푸리에 스펙트럼 크기의 비,
    Figure 112004039385028-PAT00140
    은 제1 임의의 주파수,
    Figure 112004039385028-PAT00141
    는 제2 임의의 주파수이다.
  6. 푸리에 변환에 의한 시계열 데이터의 파라미터 추정방법에 있어서,
    시계열 데이터를 입력하는 스텝과,
    상기 입력된 시계열 데이터에 대해 푸리에 변환을 하여 푸리에 스펙트럼을 계산하는 스텝과,
    상기 푸리에 스펙트럼으로부터 전력 스펙트럼을 계산하는 스텝과,
    첨두 주파수에서 설정범위 내의 제1 임의의 주파수에 대응하는 전력 스펙트럼 크기와 첨두 주파수에서 설정범위 내의 제2 임의의 주파수에 대응하는 전력 스펙트럼 크기의 비를 구하는 스텝과,
    상기 전력 스펙트럼 크기의 비를 각각 상기 제1 임의의 주파수 대응 전력 푸리에 스펙트럼 및 상기 제2 임의의 주파수 대응 전력 스펙트럼에 대입하여 2차방정식을 얻고 이 방정식에서 해를 구하여 모드의 실수부를 구하는 스텝과,
    상기 구해진 전력 스펙트럼과 상기 구해진 모드의 실수부로부터 시계열 데이터의 파라미터를 추정하여 이 추정결과를 출력하는 스텝을 포함하는 것을 특징으로 하는 푸리에 변환에 의한 시계열 데이터의 파라미터 추정방법.
  7. 제 6 항에 있어서, 상기 2차방정식의 계수는,
    『
    Figure 112004039385028-PAT00142
    』 이고,
    상기 모드의 실수부(
    Figure 112004039385028-PAT00143
    )는, 상기 2차방정식의 근(x)을, 관계식 『
    Figure 112004039385028-PAT00144
    』에 대입하여 계산함을 특징으로 하는 푸리에 변환에 의한 시계열 데이터의 파라미터 추정방법.
    단, 상기 2차 방정식에서,
    Figure 112004039385028-PAT00145
    는 전력 스펙트럼 크기의 비, 은 제1 임의의 주파수,
    Figure 112004039385028-PAT00147
    는 제2 임의의 주파수이다.
  8. 제 1 항 내지 제 7 항 중 어느 한 항에 있어서, 시계열 데이터의 대상 시스템에 대한 안정 여부를 판별하는 스텝을 추가로 더 포함하고,
    상기 시스템 안정판별 스텝은, 시계열 데이터를 입력하는 스텝과, 상기 입력된 시계열 데이터에 대해 첨두 주파수의 제1 시간구간과 이보다 설정시간만큼 지연된 제2 시간구간에서 각각 푸리에 변환을 수행하여 전력 스펙트럼을 계산하는 스텝과, 상기 계산된 제1 시간구간에서 k개의 전력 스펙트럼의 합과 제2 시간구간의 k개의 전력 스펙트럼의 합을 비교하는 스텝과, 상기 비교 결과 제1 시간구간의 전 력 스펙트럼의 합이 더 큰 경우에 시스템 안정으로 판정하여 이 판정 결과를 출력하는 스텝을 포함하는 것을 특징으로 하는 푸리에 변환에 의한 시계열 데이터의 파라미터 추정방법.
  9. 제 1 항 내지 제 7 항 중 어느 한 항에 있어서, 시계열 데이터의 대상 시스템에 대한 안정 여부를 판별하는 스텝을 추가로 더 포함하고,
    상기 시스템 안정 판별 스텝은, 시계열 데이터를 입력하는 스텝과, 상기 입력된 시계열 데이터에 대해 첨두 주파수의 제1 시간구간과 이보다 설정시간만큼 지연된 제2 시간구간에서 각각 푸리에 변환을 수행하여 전력 스펙트럼을 계산하는 스텝과, 상기 계산된 제1 시간구간의 첨두치와 제2 시간구간의 첨두치를 비교하는 스텝과, 상기 비교 결과 제1 시간구간의 첨두치가 더 큰 경우에 시스템 안정으로 판정하여 이 판정 결과를 출력하는 스텝을 포함하는 것을 특징으로 하는 푸리에 변환에 의한 시계열 데이터의 파라미터 추정방법.
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