KR19980033807A - 부밴드 디지탈 필터 뱅크 설계방법 - Google Patents

부밴드 디지탈 필터 뱅크 설계방법 Download PDF

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Abstract

본 발명은 부밴드 디지탈 필터 뱅크를 설계하는 방법을 공개한다. 2-밴드 선형위상을 가지며, PR을 만족하며, 각각이 Hi0(z) 및 Hi1(z)으로 분리되는 H0(z) 및 H1(z)를 각각 갖는 제1 및 제2분해 필터들을 포함하는 그 방법은, odd 대칭(혹은 비대칭)이며, 소정 차수 2m+1을 갖는 H0(z)를 설계하는 단계와, PR을 (I + J)·P1 ·b = X과 같은 행렬 형태로 변환하는 단계와, 행렬 A = (I + J)·P1 를 구하는 단계와, 행렬 A를 이용하여 식 b = (ATA)-1ATX 에 따라 구해지는 열벡터로부터 H11(z)을 구하는 단계와, H11(z)을 다음 식 H10(z) = +(-) ZKH11(z-1)에 따라 이용하여 H110(z)을 구하는 단계와, H10(z) 및 H11(z)으로부터 계수가 가장 낮고, 기비대칭(혹은 대칭)인 H1(z)를 다음 식 H1(z) = H10(z2) + z H11(z2)을 이용하여 구하는 단계와, H0(z) 및 H1(z)을 다음 식 H1'(z) = X(z2) H0(z) + z2KH1(z)(여기서,

Description

부밴드 디지탈 필터 뱅크 설계 방법
본 발명은 다중율(multirate) 필터 뱅크(FB:Filter Bank)에 관한 것으로서, 특히, 다중율 필터 뱅크중에서 부밴드(sub-band) 필터 뱅크의 설계 방법에 관한 것이다.
필터 뱅크란, 여러개의 밴드를 통과시킬 수 있도록 사용된 필터군을 의미하며, 각 밴드에는 여러개의 필터들이 존재한다. 부밴드 FB는 오디오 및 비디오 데이타 압축을 위해 다양하게 응용되고 있다.
일반적인 2-밴드 FB에 대해 첨부한 도면을 참조하여 다음과 같이 설명한다.
도 1은 2-밴드 FB의 블럭도로서, 제 1 및 제 2 분해 필터(analysis filter)들(12 및 14) 및 제 1 및 제 2 데시메이터(decimator)들(16 및 18)로 구성되는 송신측(10)과, 전송부(20)와, 제 1 및 제 2 신장기(expander)들(32 및 34), 제 1 및 제 2 합성 필터(systhesis filter)들(36 및 38) 및 가감산부(40)로 구성되는 송신측(30)으로 구성되어 있다. 여기서, H0(Z), H1(Z), G0(Z) 및 G1(Z)는 각 해당 필터의 전달함수이다.
도 1에 도시된 부밴드 FB는 분해 필터(12 또는 14)의 후단에 데시메이터(16 또는 18)가 위치하지만 다른 다중율 필터뱅크에서는 데시메이터(16 또는 18)가 분해 필터(12 또는 14)의 전단에 위치하기도 한다.
도 1에 도시된 제 1 및 제 2 분해 필터(12)는 디지탈 신호, x(n)을 입력하여 소정 주파수 대역을 각각 필터링하고, 필터링된 디지탈 신호[x'(n)]를 제 1 및 제 2 데시메이터(16 및 18)로 출력한다. 제 1 또는 제 2 데시메이터(16 또는 18)는 인덱스(n)가 짝수인 성분만을 필터링하여 전송부(20)로 출력한다. 제 1 또는 제 2 신장기(32 또는 34)는 전송부(20)를 통해 입력한 짝수 성분의 디지탈 신호, 예를 들면, x'(0), x'(2)등에 '0'을 보간하여 해당 합성 필터로 출력한다. 각 신장기(32 또는 34)가 x'(0)과 x'(2)사이에 '0'을 보간하는 이유는 나이퀴스트 샘플링율을 맞추기 위함이다. 가감산부(40)는 합성 필터들(36 및 38)에서 보간된 디지탈 신호를 감산 또는 가산하여 입력신호 x(n)가 소정 시간(r) 지연된 출력신호 y(n)을 출력한다. 즉, y(n) = x(n-r)이다.
종래의, 후술되는 2-밴드 선형 위상(LP:linear Phase)을 가지며, 완전 재건(PR:Perfect Reconstruction) 조건을 만족하는 FB를 설계하는 방법에서는 먼저, 제 1 및 제 2 분해 필터(12 및 14)를 설계한 다음 설계된 제 1 및 제 2 분해 필터(12 및 14)로부터 해당하는 합성 필터를 설계하였다. 이를 위해, 비선형 방정식을 푸는 것과 같은 작업이 처리되므로, 개인용 컴퓨터같은 시스템을 사용하여 필터를 설계하는 것은 사실상 거의 불가능한 문제점이 있었다.
본 발명의 목적은 상기와 같은 종래의 문제점을 해결하기 위하여 개인용 컴퓨터와 같은 시스템에 의해서도 2-밴드 LP를 가지며, PR 조건을 만족하는 제 1 또는 제 2 분해 필터를 기계적으로 설계할 수 있도록 하는 부밴드 디지탈 필터 뱅크 설계 방법을 제공하는데 있다.
상기 목적을 달성하기 위해, 2-밴드 선형위상을 가지며, 완전 재건 조건을 만족하며, 각각이 제 1 및 제 2 다상성분[Hi0(z) 및 Hi1(z)]으로 분리되는 제 1 및 제 2 전달함수[H0(z) 및 H1(z)]를 각각 갖는 제 1 및 제 2 분해 필터들을 포함하는 본 발명에 의한 부밴드 디지탈 필터 뱅크를 설계하는 방법은, 기(odd) 대칭(symmetric)[혹은 비대칭(antisymmetric) ]이며, 소정 차수 2m+1을 갖는 상기 제 1전달함수[H0(z)]를 설계하는 단계와, 상기 완전 재건 조건을 다음과 같은 행렬 형태로 변환하는 단계와,
(I + J)·P1 ·b = X
(여기서, I는 2m+1 크기의 단위 행렬이고, J는 2m+1 크기의 스큐 단위 행렬이고, P1은과 같은 행렬의 분할에 의해 얻어지는 (2m+1)*(m+1) 크기의 행렬이고, b는 그의 i번째 요소가 상기 제 2 다상성분[H11(z)]의 Zi-1의 계수를 나타내는 (m+1)*1 크기의 열벡터이고, X는 2m*1 크기의 행렬이다.)
행렬 A = (I + J)·P1 를 구하는 단계와, 상기 행렬 A를 이용하여 다음 식에 따라 구해지는 열벡터로부터 상기 제 2 다상성분[H11(z)]을 구하는 단계와,
b = (ATA)-1ATX
상기 제 2 다상성분[H11(z)]을 다음 식에 따라 이용하여 제 1 다상성분[H10(z)]을 구하는 단계와,
H10(z) = +(-) ZKH11(z-1)
상기 제 1 다상성분[H10(z)] 및 상기 제 2 다상성분[H11(z)]으로부터 계수가 가장 낮고, 기비대칭(혹은 대칭)인 상기 제2전달함수[H1(z)]를 다음 식을 이용하여 구하는 단계와,
H1(z) = H10(z2) + z H11(z2)
상기 H0(z) 및 H1(z)을 다음과 같이 이용하여 일반적인 제 2 전달 함수[H1'(z)]를 구하는 단계로 이루어지며,
H1'(z) = X(z2) H0(z) + z2KH1(z)
(여기서,이다.)
상기 x1을 조정하여 상기 제 2 분해 필터의 필터 특성을 조절하고, 상기 K에 의해 상기 대칭 및 상기 비대칭이 결정되는 것이 바람직하다.
도 1 은 2-밴드 FB의 블럭도이다.
도 2 는 본 발명에 의한 부밴드 디지탈 필터 뱅크 설계 방법을 설명하기 위한 플로우차트이다.
이하, 본 발명에 의한 부밴드 디지탈 필터 뱅크 설계 방법을 첨부한 도면을 참조하여 다음과 같이 설명한다.
도 2는 본 발명에 의한 부밴드 디지탈 필터 뱅크 설계 방법을 설명하기 위한 플로우차트로서, 제 1 분해 필터의 전달함수를 설계하는 단계(제 50 단계)와, PR 조건을 벡터 형태로 변환하여 제 2 분해 필터의 제 2 다상성분을 구하는 단계(제 52 단계 및 54 단계) 및 제 2 분해 필터의 제 1 다상성분을 구하여 제 2 분해 필터의 전달함수를 구하는 단계(제56∼60단계)로 이루어져 있다.
본 발명에 의한 부밴드 디지탈 필터뱅크의 설계 방법에 의하면, 분해 필터중에서 먼저, 하나의 분해 필터를 설계한다(제50단계). 설계된 분해 필터의 전달함수로부터 나머지 분해 필터의 전달함수를 설계한다(제52단계∼60단계).
본 발명의 이해를 돕기 위해, 제 50 단계에서 설계된 분해 필터의 전달함수를 H0(z)라 하고, 본 발명에 의해 설계할 분해 필터의 전달함수를 H1(z)라 하고, H0(z)가 기(odd) 대칭(symmetric)[혹은 비대칭 (antisymmetric)]이고, 그 차수는 2m+1이라 가정한다.
H0(z)로부터 선형 위상을 가지며, PR 조건을 만족하는 H1(z)를 구하기 위해서 먼저, 선형 위상과 PR 조건에 대해 다음과 같이 설명한다.
도 1에 도시된 분해 필터 및 합성 필터가 선형위상을 가질 때, 분해 필터의 전달함수[Hi(z)] 및 합성 필터의 전달함수[Gi(z)]는 다음 식(1)과 같다. 즉,
여기서, N은 필터의 차수이며, 각 전달함수의 부호가 (+) 인 경우, 대칭(symmetric) 필터, 부호가 (-) 인 경우, 비대칭(antisymmetric) 필터라 한다.
한편, 만일, 도 1에 도시된 2-밴드 FB 구조에서 출력 y(n)이 입력 x(n)의 지연으로 나타날 경우, 도 1에 도시된 시스템은 2-밴드 PRFB(Perfect Reconstruction Filter Bank)라고 불려진다. 이 PR조건에 의해 필터들은 Hi(z) 및 Gi(z)로 표현될수도 있고, 다상(polyphase) 성분들로 표현될 수도 있다.
여기서, 만약 분해 필터 및 합성 필터의 각 전달함수가 다항식(polynomial) 이라면, 다음 식(2)와 같이 각 전달함수는 유일한 다상성분으로 분해 될 수 있다.
여기서, Hik, Gik를 각각 Hi 및 Gi의 다상 성분이라 한다. 또한, 분해 필터와 합성 필터의 다상 행렬(H 및 G)은 다음 식(3)과 같이 정의된다.
여기서, Hi(z)가 식(1)을 만족하고(즉, 선형 위상 성질을 갖고), 차수 N이 홀수인 경우, 대칭(비대칭) 필터의 다상 성분은 다음 식(4)와 같은 성질을 갖는다.
여기서, K는 (N-1)/2이고, 각각의 다상 성분은 대칭 또는 비대칭하다.
다음으로, PR조건에 대해 살펴보면, 도 1에 도시된 시스템이 유한 임펄스 응답(FIR:Finite Impulse Response) 필터들로 구성되어 있을 경우, 다음 PR 조건은 이미 잘 알려져 있다.
조건 1) H00(z)·H11(z) - H01(z)·H10(z) = ZL, L =음이 아닌 정수
조건 2) G = ZL·H-1
이러한 PR 조건들로부터 다음과 같은 두가지의 사실을 알 수 있다.
먼저, 첫번째 사실은 각각의 차수가 N과 M인 H00 및 H01이 주어져 있다고 가정할 때, 만약 H00과 H01이 공통근(common root)을 가지고 있지 않으면, 조건 1)을 만족하는 H10과 H11은 항상 존재하고, 차수가 각각 N-1 및 M-1인 유일한 H10 및 H11이 존재한다는 것이다. 첫번째 사실에서, 전술한 제50단계에서 설계되거나 주어진 H0(z)가 대칭(혹은 비대칭)인 경우, 본 발명에 의한 방법에 의해 설계해야 하는 H1(z)가 대칭(혹은 비대칭)이어야 하므로, 조건 1)을 만족하는 모든 해를 고려할 필요는 없다는 것이다.
그러므로, 두번째 사실은 기대칭인 H0(z)가 주어진 경우, 그 H0(z)의 다상 성분은 식(4)와 같고, 조건 1)을 만족하는 기비대칭한 H1(z)이 항상 존재하며, H0(z)와 같은 유일한 해가 존재하기 때문에, H0(z)보다 더 작은 차수를 갖는 H1(z)는 존재하지 않는다는 것이다. H0(z)의 차수가 N일 경우, H1(z)의 차수는 N+4K(K=0, 1, ...)을 갖게 되며, 특히 K=0일 때, H1(z)는 유일한 해가 된다.
한편, 제50단계에서 설계된 H0(z)가 기대칭(혹은 비대칭)이고, 차수가 2m+1인 경우, PR 조건 1)을 다음 식(5)와 같은 행렬식으로 변환한다(제52단계).
여기서, I는 2m+1 크기의 단위 행렬이고, J는 2m+1 크기의 스큐(skew) 단위 행렬이고, P1은 다음 식(6)
과 같은 행렬의 분할에 의해 얻어지는 (2m+1)*(m+1) 크기의 행렬이고, b는 그의 i번째 요소가 H11(z)의 Zi-1의 계수를 나타내는 (m+1)*1 크기의 열벡터(column vector)이고, X는 2m*1 크기의 행렬이다.
식(6)에서 R은 합성 행렬(resultant matrix)이며, 다음과 같은 두개의 다항식 D 및 N이 있다고 할 때,
두 다항식이 공통근을 가지고 있는지 아닌지를 쉽게 구별하기 위해서 이러한 합성 행렬이 조사된다.
만약 D와 N이 공통근을 가지고 있지 않으면 다음 행렬 R[D,N]은 역(inverse)을 갖지만, 행렬 R[D,N]의 역이 존재하지 않으면 D와 N은 공통근을 갖고 있다.
제52단계후에, 행렬 A = (I + J)·P1 를 구한다(제54단계). 행렬 A의 크기는 (2m+1)*(m+1)이고, 완전히 행 계수(full column rank)를 가진다. 그러므로, 벡터 b를 다음 식(7)과 같이 구한다.
b = (ATA)-1ATX - - - - - - - - - - - - - 식(7)
식(7)로부터 H11의 계수를 구하고, 그 계수로부터 H11을 구한다(제54단계). 제54단계후에, 식(4)에 H11(z)를 대입하여 H10(z)을 구한다(제56단계). 제56단계후에, 제54단계 및 제56단계에서 획득한 H10(z) 및 H11(z)을 식(2)에 대입하여 계수가 가장 낮고, PR을 만족하는 유일해인 H1(z)를 구한다(제58단계). 그러나, 설계적인 측면에서 보면 제58단계에서 획득한 유일해 H1(z)는 원하는 주파수 특성을 갖지 않을 수 있다. 그러므로, H1(z)을 다음 식(8)에 대입하여 PR 조건을 만족하는 일반적인 전달함수[H1'(z)]를 구한다(제60단계).
H1'(z) = X(z2) H0(z) + z2KH1(z) - - - - - -식(8)
여기서,이다.
임의의 x1에 대해서도 새로운 분해 필터 쌍의 각 전달함수 H0(z)와 H1'(z)는 PR 조건을 만족한다. 여기서, x1은 전달함수 H1'(z)를 갖는 필터를 설계하기 위한 자유 파라미터로서, 이 파라미터에 의해 그 필터는 필터특성을 달리한다. k가 1증가함에 따라 자유 파라미터 x1을 한개 더 얻게 되고, H1'(z)의 차수는 2증가하게 된다.
PR의 제2조건으로부터 제60단계에서 구해진 분해 필터의 전달함수로부터 각 밴드의 합성 필터의 전달함수를 구할 수 있음은 자명하다.
상술한 바와 같이, 본 발명에 의한 부밴드 디지탈 필터 뱅크 설계 방법은 2-밴드 선형 위상을 가지며, 완전 재건 조건을 만족하는 필터를 개인용 컴퓨터와 같은 시스템으로도 간단하게 설계할 수 있도록 하는 효과가 있다.

Claims (1)

  1. 2-밴드 선형위상을 가지며, 완전 재건 조건을 만족하며, 각각이 제1 및 제2다상성분[Hi0(z) 및 Hi1(z)]으로 분리되는 제 1 및 제 2 전달함수[H0(z) 및 H1(z)]를 각각 갖는 제 1 및 제 2 분해 필터들을 포함하는 부밴드 디지탈 필터 뱅크를 설계하는 방법에 있어서, 기(odd) 대칭(symmetric)[혹은 비대칭(antisymmetric)]이며, 소정 차수 2m+1을 갖는 상기 제 1 전달함수[H0(z)]를 설계하는 단계; 상기 완전 재건 조건을 (I + J)·P1 ·b = X (여기서, I는 2m+1 크기의 단위 행렬이고, J는 2m+1 크기의 스큐 단위 행렬이고, P1은과 같은 행렬의 분할에 의해 얻어지는 (2m+1)*(m+1) 크기의 행렬이고, b는 그의 i번째 요소가 상기 제 2 다상성분[H11(z)]의 Zi-1의 계수를 나타내는 (m+1)*1 크기의 열벡터이고, X는 2m*1 크기의 행렬이다.) 행렬 형태로 변환하는 단계; 행렬 A = (I + J)·P1 를 구하는 단계; 상기 행렬 A를 이용하여 b = (ATA)-1ATX의 식에 따라 구해지는 열벡터로부터 상기 제 2 다상성분[H11(z)]을 구하는 단계; 상기 제 2 다상성분[H11(z)]을 다음 식에 따라 이용하여 제 1 다상성분[H10(z)]을 구하는 단계; H10(z) = +(-) ZKH11(z-1) 상기 제 1 다상성분[H10(z)] 및 상기 제 2 다상성분[H11(z)]으로부터 계수가 가장 낮고, 기비대칭(혹은 대칭)인 상기 제 2 전달함수[H1(z)]를 H1(z) = H10(z2) + z H11(z2)의 식을 이용하여 구하는 단계; 상기 H0(z) 및 H1(z)을 H1'(z) = X(z2) H0(z) + z2KH1(z) (여기서,이다.)을 이용하여 일반적인 제 2 전달 함수[H1'(z)]를 구하는 단계를 구비하고, 상기 x1을 조정하여 상기 제 2 분해 필터의 필터 특성을 조절하고, 상기 K에 의해 상기 대칭 및 상기 비대칭이 결정되는 것을 특징으로 하는 부밴드 디지탈 필터 뱅크.
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