KR102642087B1 - 타일-위-구슬 장치 및 방법들 - Google Patents

Abstract

교습(instruction)을 제공하기 위한 장치 및 방법들은 교습 보드를 한정하는 적어도 하나의 교습 위치 및 상기 교습 위치에 수용되도록 구성된 적어도 하나의 교습 조각을 포함한다. 이용자는 상기 적어도 하나의 교습 조각을 조작하여 상기 교습에 관한 상태 변화 동작을 수행한다. 그 장치 및 방법들은 응용 인지과학에 기초하는바, 아이들이 규칙을 시행하는 장치 상의 단계들로 구성된 줄거리에서 주도적 역할을 수행하고, 그렇게 함으로써 계산가능성(denumerability), 랭크별 계산가능성(rank-wise denumerability), 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 및 수학 또는 정량화 가능한 학문들에서 마주치는 기타 상태 변화 과정들에 대해 스스로 깨우치게 된다.

Description

타일-위-구슬 장치 및 방법들

본 발명은 수학 및 정량화 가능한 학문들에서 아이들에게 기초 지식, 통찰력, 및 자기주도적 교습을 제공하도록 설계된 장치 및 방법들에 관한 것이다.

순간파악(subitization)은 3가지 힘에 관한 것이다. 모든 동물은 선천적으로 3가지 시야 구별, 즉, 오른쪽, 가운데 및 왼쪽을 구분할 준비가 갖춰져 있다. 본 발명은 순간적으로 파악하기 위하여 이 힘을 활용한다. 추가적으로, 인간들에게는 수직적 계층들, 즉, 지면 높이, 눈높이 및 머리 위 높이가 있다. 이 전체는 3 곱하기 3 구역으로 된 형렬을 생성하는바, 이는 모두 9개의 각성 구역들(zones of alertness)이다. 따라서 10진법 수는 인간의 초-순간파악된 지각에 자연스럽게 맞는 것이다. 손가락들과 손가락 계수(셈)는 무관하다.

모듈식 구성요소들을 이용하여, 본 발명은 모든 정량화 가능한 학문에 대한 넓은 범위의 용례를 가진다. 그런데, 10진법 수학이 아이들이 경험하는 첫 번째 정량적 학문이기 때문에 본 개시서의 초점은 10진법 수학에 있게 될 것이다. 본 발명이 그 아이들의 순간파악을 무기(subitization arsenal)로 활용하는 한, 아이들은 선천적으로 수학 및 기타 정량화 가능한 학문들 뒤의 원리들을 자기학습할 준비가 갖춰져 있다. 그 아이들이 즐기고 배울 장치는 올바른 것을 강화하고 실수 및 자기회의의 가능성을 최소화하여야 한다.

적합화 가능한 많은 다중-레지스터 형태들(many adaptable multi-register forms) 중의 하나로 도 1b에 도시된 바와 같이, 이 경우에 3개의 행/레지스터(row/register), 5개의 랭크, 하나의 트레이 설정으로 된, 본 발명에 따른 장치는 선행기술이 없다. 단지 평면적인 레이아웃을 가진다는 점에서 가장 근접한 팩시밀리는 1908년 덴마크 왕립도서관의 기록보관소 내 손 스케치로 예상되었다. 1615년으로 거슬러 올라가 작가 "펠리페 구아만 포마 데 아얄라(Felipe Guaman Poma de Ayala)"에 의하여 "새로운 연대기와 좋은 정부(El Primera Nueva Coronica y Buen Gobiemo)"로 제목이 붙여진 숨겨진 수기 원고에, 현대 사학자들이 "아얄라 유파나(Ayala Yupana)", 잉카 주판이라고 부르는 것의 스케치가 있다. 아얄라의 손 스케치는 90° 반시계방향으로 회전시켜 도 1a로 재현되었다. 그와 같은 다른 스케치는 존재하지 않고 그것의 물리적인 구현례는 발굴된 적이 없다. 또한, 어느 누구도 그 아얄라 유파나 상에 어떤 토큰들(tokens)이 이용되었는지 알지 못한다. 그것이 당연히 12진수 체계를 위해 설계된 것이라는 사실에도 불구하고, 여러 서양 중심의 10진법 수치 모델이 껴맞춰져 왔으며, 그래서 그 아얄라 유파나는 평면, 단일 레지스터, 10진수 주판으로서 기능한다. 2001년에 니콜리노 데 파스쿠알레(Nicolino de Pasquale)가 40진수 모델을 제안하였다.

본 발명의 일 양상에서, 10진수 상태 표현들을 위한 바람직한 교습 위치는 옹골찬, 초-순간파악되는(super-subitized), 정사각형 타일인바, 그 위에서 교습 조각들이 교습 보드 상의 교습 장소들로 움직여진다. 모범적 실시 예들에서, 상기 교습 위치는 "숫자-정사각형(Digit-Square)"으로 지칭되고, 상기 교습 조각들은 "구슬들(beads)"로 지칭되며, 상기 교습 장소들은 "구슬 위치들(bead sites)"로 지칭되고, 상기 교습 보드는 "사탕 보드(Candy Board)"로 지칭된다. 상기 타일의 설계에 조각된 것은 인간 뇌의 초-순간파악 지각 능력에 생명을 불어넣는, 순간파악에 의해 알게 되는(subitize-informed) 구슬 위치 레이아웃이다. 10 손가락 모두 쭉 뻗은 것에 비견되는 포화 상태를 표현하는 10번째 구슬 위치는 각각의 숫자-정사각형의 왼쪽 상단 모서리에 위치한다.

바람직하게는, 적절한 문화 및 언어 글리프(glyph)가 각각의 구슬 위치의 경계 내와 타일 상에 인쇄된다. 예를 들어, 도 2a의 구슬 위치 레이아웃은, 오름순의 행/계층(row/echelons)(위가 더 큼)과 오른쪽에서 왼쪽으로 크게 되는 순서(왼쪽이 더 큼)를 도시하는바, 종래의 힌두-아라비아 숫자 글리프들, 즉 "0" 내지 "9"가 각인되어 있다. 인쇄상 글리프들은 적절한 때에 아이들이 어른들의 기호 사용법을 스스로 학습하게 하는 디딤돌로서 작용한다. 도 6aa 내지 도 6jj에 의하여 분명해지는 바와 같이, 구슬들이 숫자-정사각형 상에서 구슬 위치들을 점할 때, 그 구슬의 계수(셈; count), 구슬 패턴, 및 수치 값/상태는 더 높은 구슬 위치들에 있는 숫자 글리프에 의하여 보강된다. 도 6kk는 "10(TEN)" 포화 상태를 도시한다.

본 발명은: 공감대 형성력 없는 학습은 강요일 뿐, 배움이 아니다라는 황금률을 적용한다. 상기 숫자-정사각형 상에서 "0"에서 시작하여 "10"까지 증가하는 것은 11가지 상태들 및 10가지 상태 변화들을 수반하는바, 11개의 도면인 도 6aa 내지 도 6kk에 도시된 바와 같다. 아이들이 시각적으로 보는 것은 11가지 상태들이다. 아이들이 시각적으로 보지 않는 것은 그 10가지 상태 변화들인데, 이는 그것들이 계수, 즉, 증가를 통한 상태 변화들이라고 불리는 정신적 구성(mental constructs)이기 때문이다.

교습 위치의 다른 형태는 "트레이(tray)" 타일이다. 상기 숫자-정사각형 타일과 호환 가능한바, 그 트레이 타일은 평면도로 도 3a에, 그리고 측면도들로 도 3b 및 도 3c에 도시되었는바, 바람직한 구슬도 보여졌다. 트레이 타일들은 잇닿은 숫자-정사각형들에 부속한 구슬 저장소로서 기능한다.

아이들의 말투로 "사탕 보드"로 지칭되는 교습 보드의 일 실시 예에서, 숫자-정사각형들 및 트레이들과 같은 하나 이상의 타일들이 통합된 모자이크식 형상으로 조립될 수 있다. 예시들은 도 2a에서 독립형의 단위 타일인 것으로 도시되고, 도 1b, 도 4 및 도 5에서 모자이크식 형상의 체계에 충실한 복수개의 타일들의 통일체인 것으로 도시된다.

본 발명에 따른 사탕 보드들은 타일, 및 연결 타일들(bridging tiles) 및 바닥 매트들을 포함한 다양한 맞물림 메커니즘들을 통하여 상호연결된 타일 복합재들로 조립되어 원하는 체계의 모자이크식 형상을 만드는 맞춤형 모듈일 수 있다. 사탕 보드들은 주판을 흉내내어 단일 행을 가지거나 2-행, 3-행 또는 더 높은 차수의 집합체(higher order assemblages)를 가지고, 내장식 트레이(built-in trays)를 가지거나 가지지 않은, 단일 성형된 즉석 플레이 가능한(ready-to-play) 유닛들일 수도 있다. 도 1b, 도 4, 도 5, 도 9a 및 도 9b는 그러한 문제에 초점을 맞춘 레이아웃들의 예시들이다.

구슬 위치들, 바람직하게는 인쇄된 표식을 가지는 구슬 위치들은, 바람직하게 상기 타일 기판 안으로 함입되어 구슬들, 즉, 교습 조각들로 구멍에 끼우는 윤곽(cavity-mating profile)이 만들어진다. 도 2a에 도시되고, 도 2b 및 도 2c의 단면으로 보여진 바와 같이, 모든 구슬 위치들이 바람직하게는 형상에 있어 원형으로 작게 움푹 들어가(circular-dimple) M&M과 같은 사탕 구슬들과 호환되지만, 그 구슬 위치들은 어떠한 미리 정해진 형태도 취할 수 있다.

어떤 대가를 치르더라도 질식의 위험은 피해야 한다. 사탕은 싸기 때문에 먹을 수 있는 구슬들을 이용하지 못할 이유가 없다. M&M, 스키틀(Skittles) 및 스마티(Smarties)의 치수에 맞춰, 바람직한 구슬들은 전체적으로 둥글거나, 타원형이거나 달걀 모양이고, 손가락 친화적인 사탕(finger-friendly candy)이다.

도 2a의 숫자-정사각형으로 도시된 바와 같이, 2개의 수평 채널들 및 하나의 수직 채널들이 구슬이 슬라이딩하는 경로들을 제공하는데, 이는 슬라이딩이 배치(placement)보다 선호되기 때문이다. 이 채널들은 구슬 위치 고지대 영역를 포위함으로써 그 고지대 영역을 한정하는 3개의 가장자리들의 테두리를 이룬다. 원자의 전자껍질들과 같은 다른 과학의 모델링을 위해 채널들 및 고지대 영역들은 하나 이상의 개수를 가질 수 있다.

바람직하게는, 상기 숫자-정사각형은 오른쪽 구슬-통제 울타리 및 왼쪽 구슬-통제 울타리에 끼인다. 그러한 울타리는 랭크 시스템, 즉, 수의 자릿수와 같은 타일의 모임(grouping)을 강제하는 것을 목적으로 한다. 숫자-정사각형의 타일 모임의 강제와 유사하게 그리고 이와 호환 가능하게, 각각의 트레이는 주어진 랭크에 구슬들을 가두는 3개의 울타리들을 구비한다. 파열-상태 평형(plosive-state equilibration)의 방법의 한 가지 주요 목표은 사탕 보드를 랭크들 또는 그룹들로 분할하는 울타리를 가로지르거나 뛰어넘는 것이다.

수학적 자릿수 규약은 상기 사탕 보드의 숫자-정사각형 랭킹 시스템으로 직접적으로 연관(map)된다. 예를 들어, 3개 행, 4개 랭크의 사탕 보드를 도시한 도 4에서 전사지(데칼; decal)는 사탕 랭크를 표시한다. 대안적인 클립아트 전사지를 이용하여 도 4에 도시된 꾸러미(Packet) 랭크 등과 같이 더 높은 모든 랭크들은 왼쪽으로 모자이크식 형상을 이룬다. 실세계를 흉내내어, 사탕을 가둔 랭크들은 꾸러미, 가방, 상자 등등 아이 친화적인 이름들 및 영상들을 이용한다.

바람직하게는, 동일한 랭크의 숫자-정사각형 각각은 착색되고 그 색깔이 일치한다. 따라서, 전체 스케일의 사탕 보드는 밝은 색조의 색상으로 된 일련의 수직 줄무늬들과 상관 관계가 있는 짙은 색조의 유사한 색상으로 된 랭크별 구슬들의 세트로 나타난다.

바람직하게는, 트레이들은 랭크를 기술하기 위해 동일한 랭크의 숫자-정사각형들에 의해 이용되는 색상과 호환 가능한 색상을 이용한다. 바람직하게는, 레이블 전사지들 또는 클립아트 전사지들이 그 트레이가 속한 랭크를 표시한다. 도 4에 도시된 바와 같이, 예를 들어, 주어진 단일의 모자이크식 형상의 실시 예로 설정된 때에, 하나 이상의 트레이 타일들이 하나 이상의 숫자-정사각형 타일들과 함께 구슬 저장소들로 기능한다. 그러한 다른 실시 예들은 도 1b, 도 5, 도 9a 및 도 9b에 도시되었다.

장소 또는 숫자가 찍힌 행들 및 랭크들, 울타리들, 채널들 및 구슬 위치와 같이 구조화되어 규칙을 강제하는 바닥 형상(terrain)의 위에서, 물리적인 구슬의 움직임은 줄거리에 끼워맞춰질(threaded into) 수 있고 네비게이션 방향들(navigation directions)을 통하여 명확하게 표현될 수 있다. 그 결과, 물리적인 사탕 보드 상에서의 스토리텔링은 쉽게 설명되지 않는 개념들을 보이기 위한 수단이 될 수 있다. 본질적으로, 구슬들은 집들, 즉 구슬 위치들과 배색된 주차장들, 즉 트레이들 사이에서 왔다갔다 운행하는 가짜 차들 같다.

도 6a 내지 도 6j는 그 도면들의 왼쪽 여백을 따라 스텐실들을 나타내는바, 그 스텐실들은 임의선택적으로 표식을 가지고, 임의선택적으로 절단부들(잘려 나간 부분; cutouts)을 가진다. 숫자-정사각형 위에 위치하는 때, 스텐실들은 올바른 스텐실-특유의 구슬 계수 및 구슬 패턴의 설정을 강제하기 위한 바람직한 수단이다. 절단부들은, 상기 미리 정해진 구슬 위치에 인쇄되어 그 아래에 놓인 글리프가 그 절단부를 통하여 보일 수 있게 한다. 이는 구슬 패턴 대 숫자 기호 연관성을 강화한다. 절단부들은 파열-상태 구슬 위치들로서 기능할 수도 있다. 이는 숫자-정사각형의 기수를 줄이는 진수 제한(radix choking)을 흉내내는바, 도 8a, 도 8b 및 도 8e에 도시된 바와 같으며, 도 9a의 시계 모자이크식 형상으로 적용되는 바와 같다.

바람직하게, 도 6k 및 도 7에 세트로 도시된 바와 같은 표식을 가진 칩들은 상기 숫자-정사각형 상에 놓인 구슬들에 대한 대체품으로 기능한다. 칩들은 구슬 패턴들로부터 아이를 떼어놓기 위한 일차적 수단이다. 칩들은 사탕 보드 상에 대수적 대체품(algebraic substitution)을 구현하기 위한 하나의 수단이기도 하다.

다른 하나의 숫자-정사각형의 사용자 정의(customization)에서, 도 8d에는 어떻게 10진법 숫자-정사각형 상의 클루지(kludge)가 16진수, 즉 온스에 이르는 진수들을, 원한다면 전사지들을 이용하여, 흉내낼 수 있는지, 그리고 도 8c에 도시된 바와 같이 12진수, 즉 인치 또는 시간에 대해 흉내낼 수 있는지가 도시된다.

비록 물리적인 사탕 보드 상의 게임 플레이가 특히 아이의 가장 이른 학습 단계들 동안에 바람직하지만 물리적 사탕 보드의 레이아웃 및 기법들을 중심으로 설계된 컴퓨터에 의해 감독되는 디스플레이 장치들은 더 수준 높은 게임들의 동적으로 움직이는 줄거리들을 위해서나 잘못된 게임-플레이의 검출 및 교정이 매우 중요한 경우에 더 큰 유연성을 제공한다.

상기 장치의 컴퓨터에 의해 감독되는 실시 예에서, 독립형의 지능형 숫자-정사각형들이든, 컴퓨터에 연결된 숫자-정사각형들이든, 또는 디스플레이 장치 숫자-정사각형 유사체들이든, 줄거리들은 바람직하게는 텍스트, 오디오 또는 비디오, 또는 이들의 임의의 조합으로서 제시된다. 학교에 국한되든 또는 인터넷을 통해 배포되든지, 컴퓨터 네트워크에 의한 실시 예는 강사가 학생들이 일반적인 문제를 해결하도록 도와주는 반면 각각의 학생 개인의 디스플레이 장치 상에 독특한 사례의 문제가 있는 경우에 이를 해결하게 할 수 있다.

컴퓨터에 의해 감독되는 실시 예들은 줄거리 및 당면한 문제의 규칙들을 엄격하게 강제하는 데 적절하다. 예를 들어, 컴퓨터에 의해 감독되는 장치는 강사가 개입하도록 표시할 수 있으며, 또는 그 장치 자체적으로 간단한 문제들을 다룰 수 있다. 예를 들어, 구슬/아이콘들이 놓이는 순서를 강제하여, 아이는 "2", "1", "0"과 "3" 또는 임의의 다른 되는 대로의 구슬 순서 및 배치가 아닌, "0" 다음에 "1", 그 다음에 "2", 그 다음에 "3"을 충실히 지키게 된다.

상기 컴퓨터에 의해 감독되는 실시 예는 개인화된 상호작용을 위한 향상된 범위를 제공한다. 예를 들어, 아이가 꾸러미-랭크의 색상으로 된 구슬/아이콘을 올바르게 움직여, 몇몇 줄거리의 주방에 있는 사탕의 재고를 표현하는 숫자-정사각형들의 행에서 꾸러미-랭크에 있는 "2" 구슬 위치를 덮으면, 이 상태 변화는 상기 컴퓨터에 의해 감독되는 디스플레이 및 목소리 시스템로 하여금 "추가된 새로운 꾸러미로 주방에 있는 사탕의 꾸러미들이 3개가 되었습니다."라고 반응하도록 촉발한다.

만질 수 있는 게임 보드 모델 및 디지털 게임 보드 모델 및 그와 공동으로 관련있는 방법들과 마찬가지인 것으로 드러나는 모든 다른 실시 예들도 미래 기술이 창안되고 새로운 상호작용 디바이스들이 구현되는 때에 고려된다. 그러한 상호작용 디바이스들은 가상현실 3D 구성들, 만질 수 있는 3D 구성들, 및 실제 손가락들 및 손가락 패턴들을 가상의 숫자 구성들에 직접적으로 연관시키는 것을, 게임 시나리오를 발생시키는 상기 방법들에 생기를 불어넣는(animating) 공동 관련되는 제스처들 및 단어들과 마찬가지로 포함한다.

도 1a는 고대 잉카의 선행기술인 것으로 추정되는 단일 행, 5 자릿수의 아얄라 유파나의 스케치이다.
도 1b에는 3행, 5 자릿수의 사탕 보드가 도시된다.
도 2a, 도 2b, 도 2c에는 10진법 숫자-정사각형이 평면도 및 정면도로 도시되는바, 여기에서 모자이크식 형상으로 된 상호연결들은 명확성의 목적을 위해 미도시되었다.
도 3a, 도 3b, 도 3c에는 하나의 구슬이 있는 트레이가 평면도 및 정면도로 도시되는바, 여기에서 모자이크식 형상으로 된 상호연결들은 명확성의 목적을 위해 미도시되었다.
도 4에는 상단 트레이 및 하단 트레이와 함께 3개 행들의 숫자-정사각형들을 가지는 사탕 보드가 도시된다.
도 5에는 상단 트레이 및 하단 트레이와 함께 3개 행들의 숫자-정사각형들을 가지는 사탕 보드가 도시된다.
도 6a 내지 6k 및 도 6aa 내지 6kk에는 왼쪽 여백을 따라 10개의 스텐실들 및 "10" 칩이, 오른쪽 여백을 따라 그것들의 구슬 패턴 대응부들이 도시된다.
도 7에는 전형적인 칩들의 세트 상에 인쇄상 기호들의 예시가 도시된다.
도 8a 내지 도 8e에는 2, 8, 12, 16 및 60진법 산술을 위한 변경 수단이 도시된다.
도 9a 내지 도 9b에는 혼합 진법의 일자:시 및 분 초 시계 모자이크식 형상이 작업 예시로 도시된다.
도 10a 내지 도 10d에는 파열-상태 10들을 표준 형태(canonical form)로 정상화하는 파열-상태 평형이 작업 예시로 도시된다.
도 11는 종이 위 연필 형태로 표현된 대칭성 및 단순성을 보이는 632M 방법의 표본 테이블이다.

도 1b에는 본 발명에 따른 3행 5 자릿수 사탕 보드의 모범적 실시 예가 도시된다. 상기 사탕 보드는 복수개의 숫자-정사각형들(27) 및 트레이들(28)을 포함한다. 전형적인 숫자-정사각형(27)은 도 2a에서 평면도로, 도 2b 및 도 2c에서 도 2a에 표시된 선들을 따라 취해진 단면도들로 도시된다. 각각의 숫자-정사각형(27)은 복수개의 구슬 위치들(11, 17)을 가지고, 적절한 글리프(10)가 상기 타일 상의 각각의 구슬 위치(11, 17) 내에 각인되어 있다. 각각의 숫자-정사각형(27)는 오른쪽 구슬-통제 울타리(12), 왼쪽 구슬-통제 울타리(13), 제1 수평 채널(14), 제2 수평 채널(15) 및 수직 채널(16)을 더 구비한다. 상기 채널들(14, 15, 16)은 상기 숫자 정사각형(27)의 구슬 위치 고지대 영역을 한정하는 3개의 대응하는 가장자리들(14a, 15a, 16a)의 테두리를 이룬다. 전형적인 트레이(28)가 도 3a의 평면도에, 그리고 도 3a에 표시된 선들을 따라 취해진 도 3b 및 도 3c의 단면도들에 도시된다. 각각의 트레이(28)는 상기 트레이를 3면에서 포위하여 상기 사탕 보드 상의 주어진 랭크에 교습 조각들(24)을 가두는 3개의 울타리들(21, 22, 23)을 구비한다. 상기 교습 조각들(24)은 본 개시서에서 "구슬들"로도 지칭되고, M&M, 스키틀 등과 같이 상대적으로 작고, 둥글고, 타원형이고, 달걀 모양인, 손가락-친화적인 먹을 수 있는 사탕을 포함할 수 있다.

도 4에는 상단 트레이 및 하단 트레이(28)와 함께 3개 행들의 숫자-정사각형들(27)을 구비한 본 발명에 따른 사탕 보드의 다른 일 모범적 실시 예가 도시된다. 도 4에 도시된 3개 행 4개 랭크의 사탕 보드는 "사탕" 랭크를 표시하는 영숫자 전사지(25), 및 상기 사탕 랭크로부터 왼쪽으로 모자이크식 형상을 이루는 더 높은 "꾸러미" 랭크를 표시하는 대안적인 클립아트 전사지(29)를 구비한다. 도 5에는, 도 3a에 도시된 바와 같은 상단 트레이 및 하단 트레이(28)와 함께, 도 2a에 도시된 바와 같은 3개 행들의 숫자-정사각형들(27)을 구비한 본 발명에 따른 사탕 보드의 다른 일 모범적 실시 예가 도시된다.

도 6a 내지 도 6j에는 임의선택적인 인쇄 표식 및/또는 임의선택적인 개구들 또는 절단부들(40 내지 49)가 제공될 수 있는 스텐실들(30 내지 39)가 도시된다. 상기 스텐실들(30 내지 39)에 대한 구슬-패턴 대응부들이 도 6aa 내지 도 6jj에 도시된다. 숫자-정사각형(27) 위에 위치될 때, 상기 스텐실들(30 내지 39)은 올바른 스텐실별 구슬 계수 및 구슬-패턴 대응부를 강제하기 위한 바람직한 수단이다. 상기 절단부들(40 내지 49)은 상기 숫자-정사각형(27) 상에 대응하는 구슬 위치에 인쇄되어 그 아래에 놓인 글리프(10)가 상기 스텐실을 통하여 보일 수 있게 하는바, 이는 구슬 패턴 대 숫자 기호 연관성을 강화한다. 상기 절단부들(40 내지 49)은 파열 상태 구슬 위치들로서 기능할 수도 있다.

도 6k 및 도 7에는 하나 이상의 표식을 가진 칩들(26)은 세트로서, 숫자-정사각형(27) 상에 높인 구슬들에 대한 대체품으로서 기능할 수도 있음이 나타난다. 일 실시 예에서, 칩들(26)은 구슬 패턴들로부터 아이를 떼어놓기 위한 일차적 수단으로서 쓰일 수 있다. 다른 실시 예에서, 칩들(26)은 상기 사탕 보드 상에 대수적 대체품을 구현하기 위한 하나의 수단으로서 쓰일 수 있다.

도 8a 내지 도 8e에는 2, 8, 12, 16 및 60진법 산술을 위한 변경 수단을 포함하는 본 발명의 다른 일 모범적 실시 예가 도시된다. 도 9a 및 도 9b에는 혼합 진법의 일자:시 및 분: 초 시계 모자이크식 형상을 포함하는 본 발명의 다른 일 실시 예가 작업 예시로 도시된다. 도 10a 내지 도 10d에는 파열-상태 10들을 표준 형태로 정상화하는 파열-상태 평형을 포함하는 본 발명의 다른 일 실시 예가 작업 예시로 도시된다. 도 11에는 종이 위 연필 형태로 표현된 대칭성 및 단순성을 보이는 632M 방법의 표본 테이블로 본 발명의 또 다른 일 모범적 실시 예가 도시된다.

상기 장치 상의 모델링 및 게임 플레이가 본 발명 기술분야에 지식을 가진 사람에게 복잡하지 않기 때문에, 덧셈, 뺄셈, 곱셈 및 나눗셈을 행하기 위한 상기 장치의 이용을 완전히 망라하는 2가지 본질적 방법들이 상기 장치의 이용에 관한 상세 사항들을 제공할 것이다.

예시 1 : 파열-상태 평형의 방법

파열-상태 평형은 상기 사탕 보드가 "받아올림" 및 "받아내림"이라고 불리는 종이 위 연필 방법들을 흉내내는 법이다. 파열-상태 평형은 하나의 타일 모임/랭크가 다른 타일 모임/랭크와 상호작용하는 바람직한 방법이다. 상기 숫자-정사각형(27) 상에서 파열-상태 잠김(plosive-state lock up)은 구슬들이 모든 허용 가능한 구슬 위치들을 점하고 있는 때 발생한다. 도 2a에 도시된 바와 같이 "9"의 구슬 위치(17)는 바람직하게 상기 숫자-정사각형(27) 상에 상기 수평 채널(15) 및 상기 수직 채널(16)의 교차점에 위치한다. "덧셈"의 연산 중, 즉, 사탕 보드 상의 2개 행들에 있는 두 값들을 합치는 중에 구슬이 이 구슬 위치를 점하면, 이는 채널에 있는 다른 구슬이 상기 숫자-정사각형(27) 위로 슬라이딩하는 것을 물리적으로 차단한다. 이 물리적 잠김은 도 6kk에 도시된 구슬 계수 및 구슬 패턴, 즉, 파열-상태 10으로 불리는 것을 구현한다.

더 일반적으로 설명하면, 진행 중인 연산 중에 타일 상에서 파열-상태 구슬 상황이 생기는 때라면 언제든 상기 파열-상태 균형의 방법이 촉발된다. 바람직한 타일 설계들은 추가 구슬의 플레이를 저지하는 물리적 잠김을 유발하는 구슬 위치 레이아웃을 채용한다. 연산을 더 진행하기 위해, 상기 파열-상태 균형의 방법이 상기 잠김을 해결해야만 한다. 그 후, 진행 중인 연산이 재개될 수 있다. 그렇지 않으면 상기 진행 중인 연산은 중단되어 관련된 예외 상태 과정이 수행되어야 한다.

설득력 있게 설계된 타일-위-구슬 모델은 겉보기에 복잡한 문제들을 다루기에 적합해 훌륭하다. 예를 들어, 일자, 시, 분 및 초와 같은 혼합 진법 체계들이 복잡한 문제를 풀도록 표현되고 연산될 수 있다. 도 9a에 도시된 바와 같이 이중 숫자-정사각형들이 초 및 분에 이용된다. 시는 두 개의 한 다스 간격들로 나뉘는바, 하나는 "오전"에 대한 것이고, 하나는 "오후"에 대한 것이다. 상기 시의 첫 번째 랭크는 도 8c에 도시된 바와 같은 12진법 숫자-정사각형 클루지를 이용한다. 오전/오후 랭크는 도 8a의 기본 형태로부터 적합화된 2진법, 2진수의 스텐실을 이용한다. 일자는 10진법이다. 도 9a 및 도 9b는 상기 사탕 보드가 1일 오후 10시 26분 12초에 7시간 43분 38초가 더해지는 때에 혼합-진법 산술을 어떻게 다루는지를 보여준다.

엄격함은 공감대 형성력(relatability)을 만든다. 시계 모자이크식 형상에서, 이중 숫자-정사각형 소조립체는 특화된 스텐실을 통하여 60진법을 흉내낸다. 도 8e에는 "5" 장소에 설정된 절단부가 숫자-정사각형의 꼭대기에 위치할 때 "5" 글리프가 그 절단부를 통해 보여질 수 있는 "초" 스텐실의 이용이 도시되어 있다. 예를 들어 왼쪽 숫자-정사각형 상의 5개 구슬들과 오르쪽 숫자-정사각형 상의 9개 구슬들로써 인쇄상의 값 "59"가 디스플레이된다. "59"에 1을 더하면 파열-상태 10 잠김이 발생하는바, 즉, "5십(5TEN)"이다. 10의 파열-상태 균형은 6번째 구슬로 하여금 상기 스텐실 상의 파열-상태 "5" 절단부의 꼭대기에 꽂히도록 하는데, 이는 그 타일 구슬 위치 상에 인쇄된 "5" 글리프를 막는바, 즉, 두 번째 파열-상태 잠김이 발생한다. 물결의 규칙(rule of rippling) 하에, 두 번째 파열-상태 평형이 발생한 후에 상기 사탕 보드는 표준 형태로 "100", 즉, 1분 00초가 된다. 물결은 도 10a 내지 도 10d에 보여지는바, "199" 더하기 1은 파열-상태 평형을 통하여 물결쳐서 표준 형태 "200"이 된다. 이는 지루한 과잉으로 보일 수 있지만, 상기 장치는 정량적인 과정들을 단계적으로 해결할 수 있도록 돕고 이해하기 쉽게 해 주는 시각적이고 촉각적인 수단을 아이에게 제공하기 위해 엄격함을 강제한다.

"뺄셈"의 연산 중에 2개의 숫자-정사각형 행 사탕 보드 상의 초기 설정은 하단 숫자-정사각형 행에 감수를, 상단 숫자-정사각형 행에 피감수를 위치시킨다. 목표는 그 피감수를 완전히 0으로 줄이는 것이다. 뺄셈은 아이가 상단 숫자-정사각형 행 및 하단 숫자-정사각형 행으로부터 구슬들을 동시에 슬라이딩시켜 그것들을 인접한 상단 트레이 및 하단 트레이에 위치시키는 게임이다. "받아내림" 잠김 상황은 주목받는 랭크의 감수가 0개 구슬들로 줄어들었지만 피감수의 구슬들이 여전히 남아있는 때에 발생한다. 이 경우에 뺄셈 하의 파열-상태 평형은, 감수의 그 다음 더 높은 랭크에 있는 구슬이 트레이 안으로 슬라이딩되고 주목받는 감수 랭크에 있는 10개 구슬들이 그 트레이로부터 슬라이딩되어 감수의 주목받는 숫자-정사각형에 있는 모든 구슬 위치를 포화시켜 도 6kk의 10 구슬 패턴을 형성함을 좌우한다. 상기 방법은 1 달러 지폐를 10 다임으로 쪼개는 것과 균등하다. 상기 잠김이 해결되면, 아이는 피감수가 0으로 줄어들 때까지 구슬을 피감수 숫자-정사각형과 감수 숫자-정사각형으로부터 동시에 슬라이딩시키는 것을 재개한다. 이 과정은 일반적으로 적용된다. 뺄셈에 대한 혼합 진법 시계 문제를 고려하자. 도 9b의 레이이웃으로부터 시작하여, 아이는 상단 숫자-정사각형 행, 즉, 피감수에 7시간 43분 38초를 놓는바, 도 9a의 상단 숫자-정사각형 행으로 도시된 바와 같다. 도 9a의 하단 숫자-정사각형 행으로 도시된 바와 같이 상기 감수가 1일 오후 10시 26분 12초인 뺄셈이 끝난 후에, 도 9b의 상단 숫자-정사각형 행으로 도시된 바와 같이 상단 숫자-정사각형 행은 이제 완전히 0으로 줄어든다.

파열-상태 평형은 터져버린 값 표현(exploded value representations)을 표준적 표현(canonical representations)으로 정상화하거나 그 역으로 하기 위한 수단이기도 하다. 예를 들어, 덧셈 중 상기 사탕 보드 상에서의 사탕 포장 연산(operation)은 파열-상태 10 사탕들을 어른들이 "십"이라고 크게 말하는 1 꾸러미, 0 사탕, 즉, 표준 형태로 "10"으로 변환한다. 도 10b 내지 도 10d에는 "19십(19TEN)"이 해결되어 "1십0(1TEN0)"이 되고, 이것이 해결되어 표준으로 쓰인 형태 "200"이 됨이 도시된다.

예시 2: 사탕 보드 상의 632M의 방법

초-순간파악은 숫자-정사각형 상태들 "0" 내지 "9"를 2개의 구성요소들로 쪼갠다. "9"가 6+3인 점을 제외하면, "척추(Spine)"의 구성요소들은 6, 3, 0(수직 축)이고, "갈비뼈(Rib)"의 구성요소들은 2, 1, 0(수평 축)이다. 이 공식은 모든 숫자를 표현하는 이중 레벨 트리(bi-level tree)를 만든다. 그 척추+갈비뼈 접근법은 이른바 곱셈과 나눗셈의 복잡한 연산들을 손쉽게 없애버리는 632M 테이블을 낳는바, 도 11에 종이 위 연필 형태를 통해 나타난 바와 같다.

632M에서 M은 문제와 관련있는 기준 피승수 값 또는 기준 제수 값을 지칭하는바, 1S S-값과 연관된 1M M-값으로도 불린다. 상기 "632"는 다른 3개의 S-값들, 즉, 6S, 3S 및 2S를 표시하는바, 이는 1M의 추가적인 배수들이고 3회의 덧셈 연산을 통하여 계산된다.

상기 632M 곱셈 및 몫 자동-생성의 방법은 아이가 곱셈표 없이, 그것을 외울 필요 없이, 머리 속에서 단일의 숫자 곱셈을 하지 않고, 몫의 후보 숫자를 추정 추측하지 않고, 곱셈 및 나눗셈을 할 수 있게 하는바, 오히려 632M 나눗셈이 전개됨에 따라 그 몫은 자동-생성된다. 상기 방법은 각각의 승수 또는 몫 숫자에 대해 평균 1.4회의 덧셈 또는 뺄셈을 요한다.

사탕 보드의 형태로 구현되어 632M-보드로 불리는 상기 632M-테이블은 4개의 S-값들을 위한 열(column)을 4개의 M-값들을 위한 잇닿은 열과 함께 포함하는바, 상기 열은 1M 값보다 한 랭크 더 높아, 최대 가능한 6M 값이 수용된다. 632M 방법을 종이 위 연필식으로 분해한 것을 도시한 도 11에는 초-순간파악의 렌즈를 통해 해부된 때에 곱셈 및 나눗셈에 내재한 대칭성이 조명된다. 462의 M 값을 가진 632M-테이블은 도 11의 상단/하단에 나란히 놓여 이중의 632M 테이블들로 보인다. 중간 수직 열에 나타나는 S-값들 6, 3, 2, 1(또는 M)은 경우에 따라 기준 피승수 값 또는 기준 제수 값의 배수들을 표시한다. S-값들이 while-루프(While-loop) 연쇄라고 불리는 그 연쇄 과정의 자동화된 버전에서 이용됨으로써, 상기 632M 방법 및 상기 632M-테이블은 10진법과 다른 진법 체계들의 연산들에 대해 일반화될 수 있다.

더욱이, 상기 632M의 방법은 많아야 2개의 M-값 연산들을 요하는 쭈욱 진행되는 실행 트리(fall through execution tree)와 같이 분명한 최적화에 열려 있다. 승수에 반복되는 특정 숫자들은, 예를들어 5들이 6들보다 둘 내지 하나만큼 더 많고, 9는 드물 때라면 언제든 532M과 같은 더 나은 M-값 선택을 제공할 수 있다. 유사하게, M-테이블을 설정하는 데 4회 덧셈의 오버헤드(overhead)가 있지만 그 외에는 632M만큼 10진법에 대해 초-순간파악하는 742M 및 732M은 11진법에 대해서도 최적이다. 상기 방법의 유사한 확장판들이 다른 진법들에 적용된다. 예를 들어 그 설정에 있어 9회 덧셈의 오버헤드가 있는 9개의 M-값인 50/40/30/20/10/632M-테이블을 이용하면, 60진법 산술은 단계 당 3회 이하의 연산을 필요로 한다.

4개 행의 632M-보드의 설정은 다음과 같이 실행된다: 단계 (A): 일련의 S-값들, 즉, 6, 3, 2, 1을 그 632M-보드의 S-값 필드에 상단 행으로부터 하단 행까지 설정한다. 단계 (B): 1M 값을 하단 행, 그 다음 위 행 및 상단 행(S = 1, 2, 6 행들) 모두 위에 설정한다. 단계 (C): 상기 하단 행을 상기 그 다음 위 행에 더하는바, S=2 행에 2M이 산출된다. 단계 (D): 그 2M 값을 그 위에 있는 행(S=3 행)에 복제한다. 단계 (E): 최상단 행(S=6)을 그 밑의 행으로 아래 방향으로 더하는바, S=3 행에 3M이 산출된다. 단계 (F): 그 3M 값을 상기 최상단 행 및 상기 하단 행(S=1 행 및 S=6 행)에 복제한다. 단계(G): 상기 하단 행을 상기 최상단 행에 더하는바, 상기 최상단 행에 6M이 산출된다. 대안으로서, 상기 최상단 행을 그 위치에서 두 배로 만드는바, 이는 3M을 상기 하단 행에 복제하는 단계 (F) 과정이 필요하지 않게 한다. 단계 (H): 마지막으로, 상기 1M 값을 상기 하단 행(S=1)에 설정한다.

상기 사탕 보드로부터 떼어낸 632M-보드는, 곱셈 중 부분 곱 행(partial product row)과, 나눗셈 중 제수/감수 모두에 있어 미리 설정된 M-값들(M-value presets)의 상기 사탕 보드 상으로의 복제 및 랭크 전환(rank shifting)을 촉진한다. 단지, 아이는 상기 사탕 보드 상에 값들을 설정하기 위한 형판(template)으로서 상기 632M-보드를 이용하여, 도 11에 도시된 바와 같이 곱셈을 위한 덧셈-전환(add-shift) 과정 또는 나눗셈을 위한 뺄셈-전환(subtract-shift) 과정을 따라할 필요가 있다.

Claims (15)

1. 수학 및 정량화 가능한 학문들 중 적어도 하나에 있어 교습을 제공하기 위한 장치로서, 상기 장치는:
   복수개의 교습 위치들(11) 및 포화 상태 교습 위치(17)를 구비한 적어도 하나의 교습 타일(27)로서, 상기 복수개의 교습 위치들(11)은 상기 교습 타일(27) 상에 형성된 채널들(14, 15, 16)의 가장자리들(14A, 15A, 16A)에 의해 테 둘러진(framed) 상기 교습 타일(27) 상의 쟁반형 영역(plateau region) 내에 배치되고 상기 포화 상태 교습 위치(17)는 상기 쟁반형 영역의 외측 상기 교습 타일(27) 상에 배치된, 교습 타일(27); 및
   미리 정해진 순서로 상기 복수개의 교습 위치들(11) 및 상기 포화 상태 교습 위치(17) 상에 위치하도록 구성된 복수개의 교습 조각들(24)을 포함하는, 장치.
2. 제1항에 있어서,
   각각 교습 위치(11) 및 상기 포화 상태 교습 위치(17)는 그 위에 글리프(glyph)(10)의 형태로 되어 상기 교습 타일(27) 상의 상기 교습 위치(11) 및 상기 포화 상태 교습 위치(17)를 식별하는 표식을 구비하는, 장치.
3. 제1항에 있어서,
   각각 교습 타일(27)은 적어도 하나의 구슬-통제 울타리(12, 13)를 구비하고, 인접한 교습 타일들(27)의 상기 구슬-통제 울타리들(12, 13)은 서로 인접 위치되어 교습 보드를 형성하는, 장치.
4. 제3항에 있어서,
   제1 교습 타일(27)의 상기 구슬-통제 울타리(12, 13)는 제2 교습 타일(27)의 상기 구슬-통제 울타리(12, 13)와 잇닿아 상기 교습 보드를 한정하는 모자이크식 형상(tessellation)을 형성하는, 장치.
5. 수학 및 정량화 가능한 학문들 중 적어도 하나에 있어 교습을 제공하기 위한 장치로서,
   상기 장치는:
   복수개의 교습 타일들(27)로 형성되는 교습 보드로서, 상기 교습 타일들(27) 각각은 상기 교습 타일(27) 상에 형성된 채널들(14, 15, 16)의 가장자리들(14A, 15A, 16A)에 의해 테 둘러진(framed) 상기 교습 타일(27) 상의 쟁반형 영역(plateau region) 내에 배치된 미리 정해진 개수의 교습 위치들(11) 및 상기 가장자리들(14A, 15A, 16A)에 의해 테 둘러진 상기 쟁반형 영역 내에 배치되지 않은 단일 포화 상태 교습 위치(17)를 구비한, 교습 보드; 및
   상기 교습 타일들(27) 상에서 미리 정해진 순서로 상기 교습 위치들(11) 및 상기 포화 상태 교습 위치(17)에서 수용되도록 구성된 복수개의 교습 조각들(24) 을 포함하고,
   상기 교습 조각들(24)은 상기 교습 타일들(27) 상의 상기 교습 위치들(11) 및 상기 포화 상태 교습 위치(17) 상에서 조작되어 상기 수학 및 정량화 가능한 학문들 중 적어도 하나에 있어 상기 교습을 제공하는 상태 변화 연산(operation)이 수행되는, 장치.
6. 제5항에 있어서,
   상기 교습 위치들(11) 및 상기 포화 상태 교습 위치(17)의 각각은 상기 교습 타일(27) 상에 형성된 글리프(10)의 형태로 된 표식을 구비하는, 장치.
7. 제5항에 있어서,
   상기 교습 타일들(27) 각각은 적어도 하나의 구슬-통제 울타리(12, 13)를 구비하고, 인접한 교습 타일들(27)의 상기 구슬-통제 울타리들(12, 13)은 상기 교습 보드 상의 모자이크식 형상(tessellation)을 한정하도록 위치하는, 장치.
8. 제5항에 있어서,
   상기 교습 타일(27) 상에 형성된 각각의 채널(14, 15, 16)은 상기 교습 타일(27) 상에서 상기 교습 조각들(24)을 슬라이딩시키도록 구성되고, 각각의 채널(14, 15, 16)은 상기 교습 타일(27)의 상기 쟁반형 영역의 대응하는 가장자리(14A, 15A, 16A)에 인접하는, 장치.
9. 제6항에 있어서,
   상기 교습 위치들(11) 및 상기 포화 상태 교습 위치(17)의 각각의 위에 형성된 상기 표식은 그 각각의 교습 위치(11) 및 그 각각의 포화 상태 교습 위치(17)를 유일하게 식별하는, 장치.
10. 제1항 또는 제5항에 있어서,
    상기 교습 타일(27) 상에서 상기 미리 정해진 순서로 다음 교습 위치(11) 또는 다음 포화 상태 교습 위치(17)를 드러내기 위한 절단부(cutout; 40 내지 49)를 구비한 적어도 하나의 스텐실(stencil)(30 내지 39)을 더 포함하는, 장치.
11. 수학 및 정량화 가능한 학문들 중 적어도 하나에 있어 교습을 제공하기 위한 방법으로서,
    상기 방법은:
    하나 이상의 교습 타일들(27)로 형성되는 교습 보드를 제공하는 단계로서, 각각의 교습 타일(27)은 상기 교습 타일(27) 상에 형성된 채널들(14, 15, 16)의 가장자리들(14A, 15A, 16A)에 의해 테 둘러진(framed) 상기 교습 타일(27) 상의 쟁반형 영역(plateau region) 내의 배치된 복수개의 교습 위치들(11) 및 상기 교습 타일(27) 상의 상기 가장자리들(14A, 15A, 16A)에 의해 테 둘러진 상기 쟁반형 영역으로부터 원격인 장소에 포화 상태 교습 위치(17)를 포함하는, 단계;
    상기 교습 타일(27)의 상기 교습 위치들(11) 및 상기 포화 상태 교습 위치(17) 상에서 미리 정해진 순서로 수용되도록 구성된 하나 이상의 교습 조각들(24)을 제공하는 단계; 및
    상기 교습 조각들(24) 중 적어도 하나를 교습 타일(27) 상의 상기 포화 상태 교습 위치(17) 또는 상기 교습 위치들(11) 중 적어도 하나로 조작하여, 상기 수학 및 정량화 가능한 학문들 중 상기 적어도 하나에 관한 상태 변화 연산(operation)을 수행하는 단계를 포함하는, 방법.
12. 제11항에 있어서,
    상기 교습 위치들(11) 및 상기 포화 상태 교습 위치(17)는 그 위에 각인된 표식을 구비하되, 상기 각인된 표식은 대응하는 상기 교습 위치들(11) 및 대응하는 상기 포화 상태 교습 위치(17)를 식별하기 위한 것인, 방법.
13. 제11항에 있어서,
    상기 교습 타일들(27)은 적어도 하나의 구슬-통제 울타리(12, 13)를 구비하고 인접한 교습 타일들(27)의 상기 구슬-통제 울타리들(12, 13)은 서로 맞닿아(abut) 상기 교습 보드를 한정하는 모자이크식 형상(tessellation)을 형성하는, 방법.
14. 제11항에 있어서,
    교습 보드는 632M 곱셈 또는 632M 나눗셈을 수행하도록 구성되되 M은 상기 632M 곱셈 또는 632M 나눗셈에 대한 피승수값 또는 피제숫값을 표기하며, 상기 방법은:
    S-값들에 대한 4 개의 교습 타일들의 열과, 이에 인접한 열인, 교습 타일들의 4개 행들의 열을 포함하는, 632M-보드로 표기되는 교습 보드를 설정하는 단계로서, 상기 4개 행들의 상기 열의 랭크는 상기 M의 값보다 하나 높은, 단계와 이에 뒤이은,
    (A) 상기 632M-보드의 S-값 열에서 상단 행부터 하단 행까지 일련의 S-값들인 6, 3, 2, 1을 설정하는 단계;
    (B) 상기 인접한 열에서 1M 값을 하단 행, 그 다음 위 행, 및 상단 행에 모두 설정하는 단계;
    (C) 상기 하단 행을 상기 그 다음 위 행에 더하는 단계로서, S=2 행에 2M을 산출하는, 단계;
    (D) 2M 값을 그 위에 있는 행(S=3 행)에 복제하는 단계;
    (E) 최상단 행(S=6)을 하방으로 그 아래 행에 더하는 단계로서, S=3 행에 3M을 산출하는, 단계; 및
    (F) 3M 값을 상기 최상단 행 및 상기 하단 행(S=1 및 S=6 행)에 복제하는 단계와, (G) 상기 하단 행을 상기 최상단 행에 더하는 단계로서, 상기 최상단 행에 6M을 산출하는, 단계, 또는 (F') 3M 값을 상기 최상단 행에 복제하는 단계와, (G') 상기 최상단 행을 현 위치에서(in-situ) 두 배로 만드는 단계;
    (H) 상기 하단 행(S=1)에 1M 값을 설정하는 단계; 및
    (I) 상기 교습 보드 상에 값들을 설정하기 위한 템플릿으로서 상기 632M-보드를 이용하여, 상기 632M-보드로부터 탈착된 교습 보드 상에 곱셈을 위한 덧셈-전환(add-shift) 과정 또는 나눗셈을 위한 뺄셈-전환(subtract-shift) 과정을 복제하는 단계
    를 포함하는 방법.
15. 삭제