KR102133859B1 - 원형의 비축-비구면 거울 결정 방법 - Google Patents

원형의 비축-비구면 거울 결정 방법 Download PDF

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Abstract

본 발명에 따른 원형의 비축-비구면 거울 결정 방법 원형의 비축-비구면 거울 결정 방법에 있어서, (a) 주제어부(100)가 비구면의 ROA(Reference Optical Axis:광축)로부터 소정 거리만큼 떨어져 있는 곳에 중심을 두고 원 개구가 비구면에 투영시된 xyz 좌표계상의 OAM(Off-Axis aspheric Mirror:비축-비구면 거울)의 개구를 정의하는 단계; (b) 상기 주제어부(100)가 상기 xyz 좌표계를 xuv 좌표계로 변환하는 좌표변환 행렬을 정의하는 단계; (c) 좌표 변환모듈(200)이 상기 좌표변환 행렬로 상기 xyz 좌표계에서 곡면인 상기 OAM의 개구를 xuv 좌표계로 좌표변환을 통해 평면으로 정의하는 단계; (d) 상기 주제어부(100)가 xuv 좌표계에서 상기 OAM의 최대 깊이를 산출하는 단계; 및 (e) 상기 주제어부(100)가 상기 최대 깊이의 점 또는 실제 타원 개구의 중심까지의 거리로 OAM을 결정하는 단계;를 포함하여 비구면계수가 '-1'인 특정한 경우에 해당하는 것으로, 보다 포괄적이며 일반적인 비축-비구면 거울을 정의할 수 있는 효과가 있다.

Description

원형의 비축-비구면 거울 결정 방법{METHOD TO DEFINE CIRCULAR SHAPE OFF-AXIS ASPHERIC MIRRORS}
본 발명은 원형의 비축-비구면 거울 결정 방법에 관한 것으로써, 더욱 상세하게는 단순히 원 개구(circular aperture)를 비구면에 투영시켜 얻은 OAM의 개구면(aperture plane)이 평면을 이루지 못하는 문제점을 개선하기 위하여, 비구면을 평면으로 절단하여 타원 개구(elliptical aperture)의 중심을 기준으로 정의하거나, 또는 거울의 깊이가 가장 깊은 곳을 기준으로 정의하는 원형의 비축-비구면 거울 결정 방법에 관한 것이다.
비축-비구면 거울(off-axis aspheric mirror: OAM)은 대형 천체 망원경 거울 제작을 위한 자리매김한 방법으로, 최근 개발된 대부분의 망원경에서 수많은 OAM을 채택하고 있다.
몇 가지 예를 들면, 거대한 마젤란 망원경 (GMT), 30미터 망원경(TMT), 유럽의 초대형 망원경(EELT), 제임스 웹 우주 망원경(JWST), 다니엘 K. 이노우에 태양 망원경(DKIST) 등이 있다.
OAM은 비구면을 나타내는 곡률 반지름(radius of curvature, R)과 원뿔정수(conic constant, K) 외에 거울크기와 비구면의 광축(reference optical axis; ROA)으로부터 OAM의 중심까지 거리 2가지 추가 정보를 필요로 한다.
후술한 바와 같이 OAM의 형태가 정확히 원이 아닌 경우 가장 긴 거리인지 아니면 반대로 가장 짧은 거리인지 또는 거울 자체의 크기를 뜻하는 것인지 아니면 실제로 빛이 반사하는 면의 크기만을 뜻하는 것인지 거울 크기만으로는 충분하지 않다.
더욱이, ROA을 회전대칭축으로 하는 대부분의 렌즈나 거울에 대해서는, 여러 가지 용어들 "비구면의 정점, 거울 중심, 곡률 중심, 가장 깊은 점, 법선, 또는 광축"이 모두 동일한 비구면을 뜻할 수도 있지만, 광축을 벗어난 곳에 놓인 OAM 경우에는 위 용어 모두 서로 다른 의미를 뜻한다.
상술한 대형 천체 망원경들은 공통적으로 모두 여러 조각 거울들로 구성된 큰 거울 한 개 형태를 갖추고 있지만, 다음의 차이점으로 크게 2가지로 분류할 수 있다.
TMT, EELT, JWST들이 한 분류이며 GMT가 또 한 분류이다. 차이점은 첫 번째 분류의 조각거울들은 모두 연결되어 있는 반면 두 번째 조각거울들은 떨어져 있다는 점이다.
거울들이 모두 연결되기 위해서는 각 거울의 형상뿐만 아니라 연결되는 모서리마다 거울의 곡면이 연속이어야 한다.
그와 비해, GMT 망원경과 같이 서로 떨어져 있는 7개의 주경(primary) 각 조각거울들이 각각 7개의 부경(secondary) 조각들과 일대일 대응 관계를 갖고 있으며, 각 조각거울들이 기본적으로 원형이라는 사실에 대해서는 각 조각거울의 연결조건과 조각거울의 형태 등 몇 가지 질문을 제기할 수 있다
대한민국 등록특허공보 제10-0560273호(2006.03.06)
본 발명은 상기 질문에 답하기 위해 먼저 원형의 OAM을 얻기 위한 방법으로 기존 회전대칭성을 가진 광학계에서 사용하던 방식을 적용하여 단순히 원형의 개구(circular aperture)를 비구면에 투영시켜 OAM 개구면(aperture plane)이 평면이 아니라 곡면이며 OAM도 정확히 원이 아님을 확인하고, 단순히 투영 방식으로 설계된 조각거울 제작에 많은 어려움을 일으킬 수 있음을 제시함으로써, OAM 개구면을 평면부터 시작하기 위해 비구면을 평면으로 절단한 나머지로 OAM을 정의하는 원형의 비축-비구면 거울 결정 방법을 제공하는 것을 목적으로 한다.
상술한 목적을 달성하기 위한 본 발명에 따른 원형의 비축-비구면 거울 결정 방법 원형의 비축-비구면 거울 결정 방법에 있어서, (a) 주제어부(100)가 비구면의 ROA(Reference Optical Axis:광축)로부터 소정 거리만큼 떨어져 있는 곳에 중심을 두고 원 개구가 비구면에 투영시된 xyz 좌표계상의 OAM(Off-Axis aspheric Mirror:비축-비구면 거울)의 개구를 정의하는 단계; (b) 상기 주제어부(100)가 상기 xyz 좌표계를 xuv 좌표계로 변환하는 좌표변환 행렬을 정의하는 단계; (c) 좌표 변환모듈(200)이 상기 좌표변환 행렬로 상기 xyz 좌표계에서 곡면인 상기 OAM의 개구를 xuv 좌표계로 좌표변환을 통해 평면으로 정의하는 단계; (d) 상기 주제어부(100)가 xuv 좌표계에서 상기 OAM의 최대 깊이를 산출하는 단계; 및 (e) 상기 주제어부(100)가 상기 최대 깊이의 점 또는 실제 타원 개구의 중심까지의 거리로 OAM을 결정하는 단계;를 포함하는 것을 특징으로 한다.
본 발명에 따른 비축-비구면 거울 결정 방법은 비구면계수가 '-1'인 특정한 경우에 해당하는 것으로, 보다 포괄적이며 일반적인 비축-비구면 거울을 정의할 수 있는 효과가 있다.
도 1은 본 발명에 따른 원형의 비축-비구면 거울 결정 시스템의 블록도,
도 2는 원형의 비축-비구면 거울 결정 방법을 설명하기 위한 원개구 투영함으로써 얻어지는 비축비구면 조각거울의 3D도면,
도 3은 수학식 3에 대한 그래프 도면,
도 4는 yz-면에 표시된 OAM의 단면도,
도 5는 OAM의 가장 깊은 점을 기준으로 하여 OAM을 정하는 방법을 설명하기 위한 도면,
도 6은 단축 상의 깊이와 장축 상의 깊이를 도시한 그래프 도면, 및
도 7은 타원 개구의 중심을 기준으로 하여 OAM을 정하는 방법을 설명하기 위한 도면이다.
이하, 첨부 도면을 참조하여 본 발명의 실시예를 보다 상세하게 설명하고자 한다.
또한, 본 명세서 및 청구범위에 사용된 용어나 단어는 통상적이거나 사전적인 의미로 한정하여 해석되어서는 아니 되며, 발명자는 그 자신의 발명을 가장 최선의 방법으로 설명하기 위해 용어의 개념을 적절하게 정의할 수 있다는 원칙에 입각하여, 본 발명의 기술적 사상에 부합하는 의미와 개념으로 해석되어야만 한다.
따라서, 본 명세서에 기재된 실시예와 도면에 도시된 구성은 본 발명의 가 장 바람직한 일 실시예에 불과할 뿐이고 본 발명의 기술적 사상을 모두 대변하는 것은 아니므로, 본 출원시점에 있어서 이들을 대체할 수 있는 다양한 균등물과 변형예들이 있을 수 있음을 이해하여야 한다.
도 1은 본 발명에 따른 원형의 비축-비구면 거울 결정 시스템의 블록도 이다.
본 발명에 따른 원형의 비축-비구면 거울 결정 시스템은 주제어부(100), 좌표계 변환몬듈(200), 연산식 DB(300)를 포함한다.
회전 대칭성(rotational symmetry)을 가진 광학계를 설계할 때, 렌즈나 거울의 크기는 해당 요소와 접한 가상의 동일한 축을 가진 원 개구(circular opening)의 반지름으로 간주한다. 아직까지 OAM을 다루는 표준방법이 부재한 상태에서, 원하는 크기의 OAM을 정의하는 손 쉬운 방법 중 한 가지는 도 2에 도시된 바와 같이 ROA으로부터 원하는 만큼 떨어져 있는 곳에 중심을 두고 원하는 크기의 원 개구를 비구면에 직접 투영시키는 방법이다.
원 개구를 수학식으로 표현하면, 아래의 [수학식 1]과 같은데, 해당 [수학식 1]에서 y0는 원 개구 중심과 ROA간의 거리이고, Rc는 원 개구의 반지름이며, 이때 원개구는 광축과 수식한 면에 놓여 있다고 가정한다.
Figure 112018116929753-pat00001
상기 원 개구를 곡률반지름이 R이고, 원뿔정수가 K인 비구면에 투영시키면 투영된 교차점들은 아래의 [수학식 2]와 같이 나타낼 수 있다.
Figure 112018116929753-pat00002
도 2는 임의의 수치들을 적용한 예로서, 초록 선들은 원 개구를 투영시켜 얻은 OAM의 형상 (또는 깊이)를 보여주고 있으며 검은 선은 비구면과 원 개구의 교차점으로 OAM의 개구를 표현하고 있다.
OAM 개구는 평면으로 보이지만 자세히 들여다 보면 평면이 아니라 곡면임을 알 수 있다.
곡면임을 알 수 있는 첫 번째 근거 다음과 같다.
OAM 개구를 나타내는 교차점의 맨 왼쪽과 오른쪽 점들을 이은 수평선과 교차점의 맨 위쪽과 아래쪽 점들을 이은 직선 사이의 최소 거리를 살펴보면, 두 직선은 서로 수직인데, OAM의 면 대칭성을 활용하면, 수평선은 간단히 yz-면 상에서 점 (y0, z0)으로 표현할 수 있으며, z0는 아래의 [수학식 3]과 같이 표현될 수 있다.
Figure 112018116929753-pat00003
교차점의 맨 위쪽과 아래쪽 점의 좌표(yT, zT)와 (yB, zB)로부터 두 점을 잇는 직선은 az+by+c=0으로 표현할 수 있으며, 각 계수는 아래의 [수학식 4]와 같다.
Figure 112018116929753-pat00004
각각을 yT, yB, zT, zB에 대해서 정리하면 아래의 [수학식 5]와 같다.
Figure 112018116929753-pat00005
두 직선 사이의 최단 거리는 아래의 [수학식 6]과 같다.
Figure 112018116929753-pat00006
원뿔정수 K가 -1＜K＜0인 조건하에서 최단거리는 항상 0이 아니며, 이는 곧 OAM의 개구 역시 평면이 아닌 곡면임을 알 수 있는 첫 번째 근거다.
OAM 개구가 평면이 아니라 곡면임을 알 수 있는 두 번째 근거 다음과 같다.
독립 변수 y에 대해 종속 변수 z의 관계식인 [수학식 2]를 시각적으로 나타내면 도 3과 같은 그래프로 나타낼 수 있다.
종속 값들을 독립변수에 대한 1차 함수에 곡선맞춤(curve fitting)하여 최적의 1차 함수 계수를 구한 후, 그 계수들을 이용해 얻은 곡선 맞춤한 값들을 본래 종속 값에서 뺀 나머지를 살펴보았다.
만약 [수학식 2]가 본래 직선이라면 결과는 모두 0이 되어야 하지만, 도 2에서 사용한 수치의 OAM(R=4000 mm, K=-0.7, Rc=500 mm, y0=1100 mm)에 대해 계산한 결과 도 3에서 보여주듯이 거의 포물선에 가깝게 나타났다.
도 3의 빨간색 원은 앞에서 언급한 수평선을 뜻하며, 파란색 수직선은 OAM 개구를 나타내는 교차점들 중 맨 위쪽과 아래쪽 점들을 이은 수직선을 뜻한다.
도 3에 표시된 파란색 원 기호로 표시된 수직선의 중간점과 빨간색 원 기호 사이의 거리가 최대가 아니라는 사실이다. 위 계산 결과의 수평선과 수직선 사이의 약 0.71 mm인 최단 거리에 해당되는 점은 수직선의 중간점에서 약 0.19 mm 아래에 존재한다는 사실이고, 해당 사실이 OAM의 개구가 평면이 아닌 곡면임을 알 수 있는 두 번째 근거다.
모든 OAM들이 연결되는 경우와 비교해 보면, 단순히 원 개구를 비구면에 투영시켜 얻은 OAM의 개구가 평면이 아니라 곡면이라는 사실은 OAM들의 기본적인 성질에 기인함을 알 수 있다.
GMT의 주경/부경 조각거울들처럼 본래 비구면의 일부에 해당되어야 한다는 조건은 직접 연결이 필요하지 않더라도 각 조각거울의 연결조건은 각 조각거울의 모양에 유효한 조건임을 알 수 있다. 이뿐만 아니라, OAM 개구는 원형에는 가까우나 원이 아닌 사실을 계산으로부터 알 수 있다.
도 4는 OAM의 대칭성을 감안하여 yz-면에 표시된 OAM의 단면을 보여주고 있다. Z-축과 원점은 원래 비구면의 ROA와 정점(vertex)에 대응한다.
상술한 바와 같이 단순히 원형 개구를 비구면에 투영시켜 얻는 OAM의 개구가 평면이 아니라 곡면이라는 문제점을 피하기 위해 본 발명에서는 처음부터 평면을 도입하였다.
도 4의 의 빨간색 직선은 바로 비구면과 교차하는 평면을 나타내며, xy-면과 교차하는 교차점(실제로는 수평선)은 y=yc이며 xz-면과 이루는 사잇각은 `θ` 라고 한다.
원뿔정수가 K이며 곡률반지름이 R인 비구면의 거울면의 좌표는 [수학식 7] 또는 [수학식 8]로 나타낼 수 있다.
Figure 112018116929753-pat00007
Figure 112018116929753-pat00008
회전대칭성을 가진 비구면을 분석하는 데는 편리한 xyz-좌표계가 OAM에 대해서는 여러 가지 불편한 것으로 파악되어 도 4에 빨간색으로 표시된 새로운 xuv-좌표계를 도입하였다.
X-축은 동일하며, U-축은 x-축에 수직하고 OAM을 얻기 위한 평면에 놓여있다고 정의한다. v-축은 xu-면에 수직하다. 새 좌표계의 원점은 OAM 개구의 중심에 놓여있다고 정하면, 본래 좌표계 상의 좌표는 (0, yo, zo)으로 표현된다.
(y0-yc)/z0=u0이며 u0는 평면이 xy-면과 만나는 y-절편으로부터 OAM 개구 중심까지의 거리를 뜻한다. U0에 대한 설명은 후술된 바와 같다. 두 좌표계 사이의 관계는 아래의 [수학식 9]로 표현되고, 본 발명에 따른 원형의 비축-비구면 거울 결정시스템의 좌표계 변환모듈(200)은 xuv-좌표계와 xyz 좌표계 사이의 변환을 아래의 [수학식 9]를 가지고 수행한다.
Figure 112018116929753-pat00009
평면과 비구면이 만나는 교차점은 v=0인 면에 놓이므로, 교차점들의 좌표는 아래의 [수학식 10]과 같이 표현된다.
Figure 112018116929753-pat00010
상기 [수학식 10]을 [수학식 8]에 대입하면, 아래의 [수학식 11]과 같이 나타낼 수 있다.
Figure 112018116929753-pat00011
그리고 상기 [수학식 11]을 정리하면 아래의 [수학식 12]와 같이 타원의 방정식으로 간결하게 표현할 수 있다.
Figure 112018116929753-pat00012
상기 [수학식 12]에서 사용된 변수들은 아래의 [수학식 13]과 같다.
Figure 112018116929753-pat00013
원뿔정수가 0보다 작고 -1보다 큰 경우, 두 반지름의 비
Figure 112018116929753-pat00014
는 항상 1보다 작기 때문에 Rx는 단축, Ru는 장축 반지름을 나타낸다.
따라서 비구면을 평면으로 잘라 얻은 OAM은 수평방향으로는 Rx의 단축 반지름을 갖고 위 아래로 긴 장축 반지름을 가진 타원이며 타원의 중심은 y-절편으로부터 uo만큼 떨어진 곳에 놓여있다. 이렇게 얻은 타원의 OAM의 개구는 평면이며 이후 개구면(aperture plane)이라 정의한다.
상기 [수학식 13]은 원뿔정수와 곡률반지름의 비구면 상에서 yC의 y-절편과 θ의 각도로 정의된 평면으로 OAM을 결정됨을 보여주며, 아울러 [수학식 13]을 역으로 변환하면 원하는 OAM을 얻기 위한 yC와 θ의 값을 결정할 수도 있음을 보여주고 있다. 역 계산을 하기 전에 살펴봐야 할 내용이 한 가지 더 있는데 그것은 바로 거울의 깊이와 관련된 내용이다.
OAM의 깊이는 이제 새로운 좌표계에서 쉽게 v-성분값으로 이해할 수 있다.
[수학식 9]를 이용하면, [수학식 2]는 아래의 [수학식 14]와 같이 표현할 수 있다.
Figure 112018116929753-pat00015
타원 개구 내의 거울 깊이는 좌표 (x,u)의 함수로써 음수 값을 갖는다. 깊이가 최대인 점은 OAM의 대칭성 성질로 단축 또는 장축 상에 놓여 있음을 쉽게 알 수 있으며, 그 위치를 얻기 위해 상기 [수학식 14]를 미분하여 아래의 [수학식 15]를 얻을 수 있다.
Figure 112018116929753-pat00016
여기서 dx, du, 그리고 dv는 새로운 좌표축의 성분 방향에 대한 미분들이다.
먼저, 단축 상(-Rx<x<Rx)의 최대 깊이를 두 가지 방법으로 살펴볼 수 있는데, 첫 번째 방법은 [수학식 14]에 u=0의 조건을 직접 대입하여 [수학식 16]을 얻는다.
Figure 112018116929753-pat00017
다시 상기 [수학식 16]을 정리하면, 변수 v에 대한 이차 방정식 av2-2bv+c=0을 얻을 수 있으면 계수는 [수학식 17]과 같다.
Figure 112018116929753-pat00018
상기 [수학식 13]의 u0을 대입하면 [수학식 17]은 평면에 관한 정보들의 함수로 [수학식 18]과 같이 표현된다.
Figure 112018116929753-pat00019
식 (17-18)은 변수 x의 함수로 주어진 거울의 깊이,
Figure 112018116929753-pat00020
는 x의 양수와 음수 값에 대해 대칭임을 보여주고 있다. 계수 a와 b는 변수와 무관한 반면 계수 c만 x2의 함수로 주어지기 때문에 x=0인 곳에서 가장 깊음을 보여주고 있다.
X=0인 곳에서 거울이 가장 깊다라는 사실은 거울의 깊이에 대한 식을 변수 x로 미분해서도 얻을 수 있다. 아래 [수학식 19]는 상기 [수학식 15]에 du=0을 대입하여 정리한 결과이다.
Figure 112018116929753-pat00021
상기 [수학식 19]는 앞에서 얻은 결과와 동일하게 깊이의 최대값이 x=0인 곳에서 형성됨을 바로 보여주고 있다.
장축 상(-Ru≤u≤Ru)에서는 상기 [수학식 14]에 조건 x=0을 대입함으로써, 아래의 [수학식 20]을 얻을 수 있다.
Figure 112018116929753-pat00022
장축 상에서 최대 깊이에 대한 좌표점 (u*,v*)을 구하기 위해서는 또 다른 방정식이 필요하며, 그 방정식은 [수학식 15]에 장축 상의 조건 dx=0을 대입하고 정리하여 얻은 식의 분모가 0되는 조건을 만족하는 아래의 [수학식 21]을 얻을 수 있다.
Figure 112018116929753-pat00023
상기 [수학식 20]과 [수학식 21]을 연립해서 풀면 u+u0에 대한 이차방정식을 아래의 [수학식 22]와 같이 얻을 수 있고, 해당 방정식에 대한 해는 [수학식 23]과 같다.
Figure 112018116929753-pat00024
Figure 112018116929753-pat00025
한편, 상기 [수학식 22]와 [수학식 23]에서의 계수는 아래의 [수학식 24]와 같다.
Figure 112018116929753-pat00026
상기 [수학식 23]의 분자 내의 제곱근을 정리하면
Figure 112018116929753-pat00027
을 얻을 수 있다. 이때 원뿔정수가 음수인 점을 감안하여 음의 부호를 대입하면 [수학식 23]은 아래의 [수학식 25]와 같이 간단하게 표현된다.
Figure 112018116929753-pat00028
그리고 [수학식 25]로 주어진 최대깊이가 형성되는 위치를 [수학식 21]에 대입하면 최대깊이를 [수학식 26]과 같이 계산할 수 있다.
Figure 112018116929753-pat00029
상기 [수학식 13]의 첫 번째 식
Figure 112018116929753-pat00030
을 상기 [수학식 25]에 대입하면 타원 개구 중심을 기준으로 한 최대 깊이의 위치까지의 상대적 거리를 아래의 [수학식 27]과 같이 계산할 수 있다.
Figure 112018116929753-pat00031
상술한 내용을 정리하면 타원 개구의 OAM의 단축 상에서는 정 가운데에서 가장 깊으나, 장축 상에서는 정 가운데가 아닌 다른 점에서 가장 깊다. 달리 표현하면, OAM의 타원 개구 중심은 가장 깊은 점과 다르다.
이 사실은 OAM을 정하기 위해 ROA으로부터 OAM의 중심까지의 거리를 정할 때, 실제로 타원 개구의 중심까지의 거리로 정할지 아니면 거울의 가장 깊은 점까지의 거리로 정할지의 2가지 방법이 가능함을 뜻하게 된다. 이때 OAM에 필요한 크기는 장축 지름으로 정해도 무관하다.
상술한 2가지 방법 중 첫 번째 방법으로 OAM의 가장 깊은 점을 기준으로 하여 OAM을 정하는 방법을 살펴보면, 도 5와 같이 OAM의 크기는 타원의 OAM의 장축지름을 정하고 OAM의 위치는 비구면의 ROA으로부터 OAM의 가장 깊은 점까지의 거리로 정한다.
이 방법과 GMT에서 사용한 방법 사이의 유사성 때문에 (정확한 비교는 불가능), GMT에서 사용한 용어를 도입하여 ROA으로부터 OAM의 가장 깊은 점까지의 거리를 OAD(Off-Axis Distance)로 부르기로 한다.
마찬가지로 OAM의 크기 역시 GMT에서 사용한 용어를 도입하여 CA(clear aperture)로 부르기로 한다. 즉, 가장 깊은 점의 좌표는 (0, OAD, ZOAD)이며, ZOAD는 아래의 [수학식 28]로 표현된다.
Figure 112018116929753-pat00032
거울의 가장 깊은 점을 OAD으로 알고 있으면, 임의의 곡면으로 주어진 거울의 가장 깊은 점에서의 접선면이 거울 개구면과 평행하다는 기하학적 성질을 활용할 수 있게 된다.
즉, OAM을 얻기 위한 평면의 각도는 바로 OAD로 정해진 점에서의 접선면의 각도로 정할 수 있다는 뜻이다.
먼저 x=0 조건하에서 [수학식 8]을 변수 y로 미분하면 [수학식 29]를 얻을 수 있으며, 가장 깊은 점에서의 접선면이 xz-면과 이루는 각도에 대한 탄제트 값은 아래의 [수학식 30]을 통해 계산해 낼 수 있다.
Figure 112018116929753-pat00033
Figure 112018116929753-pat00034
OAM을 얻기 위한 평면이 xy-면과 만나는 y-절편 값을 구하기 위해 [수학식 13]의 장축 반지름으로부터 OAM크기에 대한 정보 CA를 아래의 [수학식 31]로 구할 수 있다.
Figure 112018116929753-pat00035
상기 [수학식 30]을 [수학식 31]에 대입하고 수식을 정리하면 평면에 대한 y-절편을 아래의 [수학식 32]로 계산할 수 있다.
Figure 112018116929753-pat00036
OAM을 얻기 위한 평면에 대한 각도와 y-절편 값을 모두 구해졌기 때문에, 거울의 가장 깊은 점의 위치 역시 구할 수 있다. 상기 [수학식 30]과 [수학식 32]를 [수학식 27에 대입하면 원하는 OAD와 CA값을 가진 OAM의 가장 깊은 곳의 위치로 [수학식 33]을 얻을 수 있다.
Figure 112018116929753-pat00037
도 6은 수치(R=4163.901 mm, K=-0.7169273, OAD=1087.74 mm, CA=1066.3 mm)를 대입한 OAM의 단축과 장축의 위치에 따라 변하는 깊이를 보여주고 있다.
이 OAM을 얻기 위한 평면의 각도는 θ=75.2225°이며 y-절편은 yc =421.8181 mm이다. GMT에 관한 문헌에 의하면, 90°에서 평면의 각도를 뺀 각도를 off-axis angle(OAA)라 부르고 있다.
그림 6의 빨간색은 단축 상의 깊이이며 파란색은 장축 상의 깊이를 보여주고 있다. 상기 [수학식 33]에 의하면, 타원 개구의 중심으로부터 u*=-5.8993 mm만큼 떨어진 곳에서 깊이가 최대 -31.808mm이며 타원 개구의 중심에서의 깊이보다 0.004 mm 더 깊다.
OAM을 정하는 두번째 방법의 OAM의 크기 CA는 첫 번째 방법과 마찬가지로 OAM의 크기를 타원 개구의 장축 지름으로 정하도록 한다. 이제 OAM의 위치를 표현하기 위해 첫 번째 방법에서 사용한 용어를 그대로 사용하여 OAD를 거울의 가장 깊은 점까지가 아니라 그림 7에 표현된 것처럼 타원 개구의 중심까지 정하도록 한다.
이 경우, 첫 번째 방법과 달리 OAM을 얻기 위한 평면에 대한 각도와 y-절편 두 가지 모두 미지수 조건으로 주어진 OAD와 CA의 값으로부터 아래의 [수학식 34]를 가지고 계산 해야한다.
Figure 112018116929753-pat00038
또한, [수학식 32]를 대입하여 정리하면, 아래의 [수학식 35]가 유도되고,
Figure 112018116929753-pat00039
상기 [수학식 35]의 좌변 값들로부터 역으로 각도와 y-절편을 구하기 위해서 상기 [수학식 35]의 첫 번째 식으로부터 y-절편을 아래의 [수학식 36]과 같이 계산한다.
Figure 112018116929753-pat00040
상기 [수학식 36]을 상기 [수학식 35]의 두 번째 식에 대입하여 정리하면, 아래의 [수학식 37]과 같이 변수 m2에 대한 이차 방정식을 얻을 수 있다.
Figure 112018116929753-pat00041
상기 [수학식 37]에서 m은 아래의 [수학식 38]과 같이 평면의 각도에 대한 탄젠트 값을 의미한다.
Figure 112018116929753-pat00042
상기 [수학식 37]에서 계수 a, b, c는 각각 아래의 [수학식 39]로 계산될 수 있는데, 본 발명에서는 해당 2차 방정식의 2개의 근 중, 양근이 옳은 근이다.
Figure 112018116929753-pat00043
곡률반지름과 원추 정수도 동일한 비구면과 동일한 CA와 OAD의 값에 대해 단지 OAD에 대한 기준만이 다른 두 OAM(R=4163.901 mm, K=-0.7169273, OAD=1087.74 mm, CA=1066.3 mm)을 수치적으로 비교하였으며 표 1은 그 계산 결과를 보여주고 있다.
Method θ(°) yc(mm) u*(mm) Maximum
depth, v*(mm)
1 75.2225 421.8181 -5.8993 31.8079
2 75.1905 423.3447 -5.9103 31.7979
단순히 계산 결과만 보면 두 방법의 차이는 작음을 알 수 있다. 두 경우의 거울깊이가 유사한 것도 같은 맥락으로 이해할 수 있다. 하지만, 설계된 거울 형상의 허용공차가 수십 nm이어야 한다는 조건을 따른다면 OAD의 기준 차이에 의해 약 10㎛ 정도의 최대 깊이 변화는 무시할 수 없는 값으로 보인다.
무엇보다 두 방법의 명백한 차이점은 OAM의 타원개구 중심에 대해 미리 알고 있는지 여부이다. 두 방법 모두 깊이가 최대인 곳은 타원 개구 중심으로부터 약 5.9 mm (방법1: 5.90 mm, 방법2: 5.91 mm)으로 비슷하지만, 방법 2는 처음부터 중심으로 기준으로 하기 때문에 거울 연삭을 시작할 때부터 최대 깊이 위치를 알고 있는 반면, 방법 1의 거울을 설계한 기준이 최대 깊이 위치일 뿐 실제 연삭을 시작할 위치에 대해서는 또 다른 계산이 필요한 상태이다.
각 방법에 사용되는 평면의 각도와 y-절편 정보로부터 상기 [수학식 13]의 첫 번째 식을 이용하면 타원 개구의 중심을 나타내는 uo-값을 구할 수 있다.
아래의 [수학식 40]을 이용하면 ROA로부터 타원개구의 중심까지의 거리 y를 구할수 있다.
Figure 112018116929753-pat00044
아래의 [표 2]는 상기 OAM들에 대한 타원개구 중심 계산 값들을 보여주고 있다.
Method u0(mm) v0(mm) OAD-V0(mm)
1 686.21 1085.33 2.41
2 687.22 1087.74 0
이상과 같이, 본 발명은 비록 한정된 실시예와 도면에 의해 설명되었으나, 본 발명은 이것에 의해 한정되지 않으며 본 발명이 속하는 기술분야에서 통상의 지식을 가진 자에 의해 본 발명의 기술 사상과 하기에 기재될 청구범위의 균등 범위 내에서 다양한 수정 및 변형이 가능함은 물론이다.
100 : 주제어부
200 : 좌표계 변화모듈
300 : 연산식 DB

Claims (9)

  1. 원형의 비축-비구면 거울 결정 방법에 있어서,
    (a) 주제어부(100)가 비구면의 ROA(Reference Optical Axis:광축)로부터 소정 거리만큼 떨어져 있는 곳에 중심을 두고 원 개구가 비구면에 투영시된 xyz 좌표계상의 OAM(Off-Axis aspheric Mirror:비축-비구면 거울)의 개구를 정의하는 단계;
    (b) 상기 주제어부(100)가 상기 xyz 좌표계를 xuv 좌표계로 변환하는 좌표변환 행렬을 정의하는 단계;
    (c) 좌표 변환모듈(200)이 상기 좌표변환 행렬로 상기 xyz 좌표계에서 곡면인 상기 OAM의 개구를 xuv 좌표계로 좌표변환을 통해 평면으로 정의하는 단계;
    (d) 상기 주제어부(100)가 xuv 좌표계에서 상기 OAM의 최대 깊이를 산출하는 단계; 및
    (e) 상기 주제어부(100)가 상기 최대 깊이의 점 또는 실제 타원 개구의 중심까지의 거리로 OAM을 결정하는 단계;를 포함하는 것을 특징으로 하는 원형의 비축-비구면 거울 결정 방법.
  2. 제 1항에 있어서,
    상기 xuv 좌표계는
    x-축은 동일하고, u-축은 x-축에 수직하며, v-축은 xu-평면에 수직한 좌표계인 것을 특징으로 하는 원형의 비축-비구면 거울 결정 방법.
  3. 제 1항에 있어서,
    상기 좌표변환 행렬은
    Figure 112018116929753-pat00045
    인 것을 특징으로 하는 원형의 비축-비구면 거울 결정 방법.
  4. 제 2항에 있어서,
    상기 OAM의 최대 깊이는
    Figure 112018116929753-pat00046
    로 계산되는 것을 특징으로 하는 원형의 비축-비구면 거울 결정 방법.
  5. 제 1항에 있어서,
    상기 주제어부(100)가
    OAM에 대한 상기 최대 깊이의 점 또는 실제 타원 개구의 중심까지의 거리을 기준으로 하여 OAM을 결정하는 단계에 있어서,
    OAM의 크기를 타원의 OAM의 장축지름으로 하여 CA(Clear Aperture)라 정의하고, OAM의 위치를 비구면의 ROA로부터 OAM의 가장 깊은 점까지의 거리로 하여 OAD(Off-Axis Distance)로 정의하여 가장 깊은 점의 좌표를 (O, OAD, ZOAD)로 결정하는 것을 특징으로 하는 원형의 비축-비구면 거울 결정 방법.
  6. 제 5항에 있어서,
    상기 OAM의 크기 CA는
    Figure 112018116929753-pat00047
    로 계산되는 것을 특징으로 하는 원형의 비축-비구면 거울 결정 방법.
  7. 제 6항에 있어서,
    상기 OAD와 CA값을 가진 OAM의 가장 깊은 곳의 위치는
    Figure 112020050737817-pat00048
    로 계산되는 것을 특징으로 하는 원형의 비축-비구면 거울 결정 방법.
  8. 제 5항에 있어서,
    상기 OAM의 크기 CA와 ROA로부터 OAM의 가장 깊은 점까지의 거리 OAD(Off-Axis Distance)는
    Figure 112018116929753-pat00049
    로 계산되는 것을 특징으로 하는 원형의 비축-비구면 거울 결정 방법.
  9. 제 8항에 있어서,
    실제 타원 개구의 중심까지의 거리을 기준으로 한 OAM 거울깊이는 상기 CA 산출식과 y-절편 산출식
    Figure 112018116929753-pat00050
    을 연립하여 계산된 복수의 근 중, 양근 인것을 특징으로 하는 원형의 비축-비구면 거울 결정 방법.
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