KR102001457B1 - 비축-포물면을 결정하는 방법 - Google Patents

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Abstract

본 발명에 따른 비축-포물면을 결정하는 방법은 (a) xyz 좌표계상에서, 제어부(100)가 yz-평면에서 표현된 단면으로 포물선을 자르는 평면을 개구면(Aperture plane), xy-면과 y=yc에서 만나는 상기 개구면과 xz-면 사이의 각도를 θ라고 정의하는 단계; (b) 상기 제어부가 xuv-좌표계를 정의하는 단계; (c) 좌표계 변환모듈(200)이 상기 xuv-좌표계와 상기 xyz-좌표계 사이의 변환행렬을 정의하는 단계; (d) 상기 제어부(100)가 상기 xuv-좌표계를 이용하여 거울의 깊이를 v와 좌표값으로 표현하는 단계; (e) 상기 제어부가 장축에서 거울의 최대 깊이를 계산하는 단계; (f) 상기 제어부(100)가 비축-포물면 거울의 중심으로부터 최대 깊이 위치까지의 거리를 계산하는 단계; 및 (g) 상기 제어부(100)가 원하는 비축-포물면을 결정하기 위한 yc와 θ를 결정하는 단계;를 포함하는 것을 특징으로 한다.

Description

비축-포물면을 결정하는 방법{METHOD FOR DETERMINING AN OFF-AXIS PARABOLOID}
본 발명은 비축-포물선을 결정하는 방법에 관한 것으로써, 더욱 상세하게는 비축거리(OAD:Off-Axis Distance)와 유효구경(CA:Clear Aperture)을 정의하여 비축-포물면을 결정하는 방법에 관한 것이다.
비축-비구면은 최신 및 대형 천체망원경의 거울(Mirrors)을 제작하는데 있어서 도전적인 적용기술 분야 중 하나로서, 거대 마젤란 망원경(GMT:Giant Magellan Telescope), 제임스 웹 우주망원경(James Webb Space Telescope), 다니엘 이노우에 태양망원경(DKIST: Daniel K. Inouye Solar Telescope) 등에 적용되어 광학계가 설계된다.
비축-비구면을 정의하기 위해서는 곡률반지름(Radius of curvature), 원추정수(Conic constant) 및 비축거리(OAD: Off-Axis Distance) 등이 요구되며, 비축-비구면을 형성하는 요소(Segment)의 중심, 깊이 및 곡률 중심에 대한 결정 방법에 따라 다른 정의 방식이 존재하게 된다.
모든 망원경은 광학계를 구성하는 모든 요소들의 디자인부터, 최적화 설계, 제작, 테스트까지 구성요소들이 복합된 시리즈로 요구되며 정확하고 정교한 정의 및 공식화된 제조가 필요하다,
그러나 필요한 표준화된 정의 및 제조방법이 부재할 경우, 각 구성요소들의 디자인부터 제작, 테스트까지 각각 다른 이해관계자들로부터 설계되고 제작되는 관계로 서로 다른 구성 요소품들이 만들어질 수 있는 문제점이 있다
대한민국 등록특허공보 10-0504388호(2005.07.20)
본 발명은 상술한 문제점을 해결하기 위해 발명된 것으로, 비축거리(OAD:Off-Axis Distance)와 유효구경(CA:Clear Aperture)을 정의하여 비축-포물면을 결정하는 방법을 제공하는 것을 목적으로 한다.
상술한 목적을 달성하기 위한 본 발명에 따른 비축-포물면을 결정하는 방법은 (a) xyz 좌표계상에서, 제어부가 yz-평면에서 표현된 단면으로 포물선을 자르는 평면을 개구면(Aperture plane), xy-면과 y=yc에서 만나는 상기 개구면과 xz-면 사이의 각도를 θ라고 정의하는 단계; (b) 상기 제어부가 xuv-좌표계를 정의하는 단계; (c) 좌표계 변환모듈이 상기 xuv-좌표계와 상기 xyz-좌표계 사이의 변환행렬을 정의하는 단계; (d) 상기 제어부(100)가 상기 xuv-좌표계를 이용하여 거울의 깊이를 v와 좌표값으로 표현하는 단계; (e) 상기 제어부가 장축에서 거울의 최대 깊이를 계산하는 단계; (f) 상기 제어부(100)가 비축-포물면 거울의 중심으로부터 최대 깊이 위치까지의 거리를 계산하는 단계; 및 (g) 상기 제어부(100)가 원하는 비축-포물면을 결정하기 위한 yc와 θ를 결정하는 단계;를 포함하는 것을 특징으로 한다.
본 발명은 비축-포물면 상의 가장 깊은 지점과 개구 중심의 차이를 수학적으로 명확히 정의함으로써, 비축-포물면을 설계하고, 제작하며, 정밀 광학시스템에 적용 시, 타원 개구의 중심, 거울의 가장 깊은 점, 정점, 중심 등 다수의 정의를 혼동 없이 일치된 의미로 사용 가능하게 하는 효과가 있다.
또한, 본 발명은 상술한 바와 같은 효과로 인해 비축-포물면을 사용하는 광학시스템 개발 시, 광학 면 개발 및 적용 등 각 단계별 수행 당사자 간의 의사소통이 명확하여 비용, 작업시간 및 효율을 극대화할 수 있는 효과가 있다.
또한, 본 발명은 명확한 정의를 통해 얻을 수 있는 결과 중 한 가지로 비축-포물면 거울의 깊이 분포를 정확하게 예측할 수 있으며, 이는 거울 제작에 많은 도움을 줄 것으로 기대되는 효과가 있다.
또한, 본 발명은 z축(ROA: Reference Optical Axis)에 수직한 평면에 놓인 원형의 출사동을 포물면에 투영시켜 비축-포물면을 정의함으로써, ROA를 기준으로 하는 광학설계 및 비축 광학 시스템 적용 시 효과적인 적용이 가능한 효과가 있다.
도 1은 본 발명에 따른 비축-포물면을 결정하는 방법을 위한 시스템의 블록도,
도 2는 본 발명에 따른 비축-포물면을 결정하는 방법에서 비축-비구면을 구체적으로 형상화하기 위한 그래프 도면,
도 3은 가장 깊은 곳으로 기준을 잡아 본 발명에 따른 비축-포물면을 결정하는 방법을 설명하기 위한 그래프 도면, 및
도 4는 본 발명에 따른 비축-포물면 정의식으로부터 OAD가 4m, CA가 4.2m, R이 16미터인 비축-포물면의 일실시예를 도시한 도면이다.
이하, 첨부 도면을 참조하여 본 발명의 실시예를 보다 상세하게 설명하고자 한다.
또한, 본 명세서 및 청구범위에 사용된 용어나 단어는 통상적이거나 사전적인 의미로 한정하여 해석되어서는 아니 되며, 발명자는 그 자신의 발명을 가장 최선의 방법으로 설명하기 위해 용어의 개념을 적절하게 정의할 수 있다는 원칙에 입각하여, 본 발명의 기술적 사상에 부합하는 의미와 개념으로 해석되어야만 한다.
따라서, 본 명세서에 기재된 실시예와 도면에 도시된 구성은 본 발명의 가 장 바람직한 일 실시예에 불과할 뿐이고 본 발명의 기술적 사상을 모두 대변하는 것은 아니므로, 본 출원시점에 있어서 이들을 대체할 수 있는 다양한 균등물과 변형예들이 있을 수 있음을 이해하여야 한다.
본 발명에 따른 비축-포물면 결정시스템은 도 1에 도시된 바와 같이, 제어부(100), 좌표계 변환모듈(200)을 포함한다.
도 2는 본 발명에서 비축-비구면을 구체적으로 형상화하기 위해서 비축-포물선을 xyz 좌표계상에 도시한 도면이다.
상기 제어부(100)는 yz-평면에서 표현된 단면으로 포물선을 자르는 평면을 개구면(Aperture plane), xy-면과 y=yc에서 만나는 개구면과 xz-면 사이의 각도를 θ라고 정의한다.
한편, 원추정수(Conic constant)가 `-1`인 곡률반지름 `R`의 비구면 형상은 아래의 [수학식 1]로 표시될 수 있다.
Figure 112018024497223-pat00001
본 발명에서 기하학적 관점에서 포물면의 형상 또는 특징을 효과적으로 기술하기 위하여, 상기 제어부(100)는 도 2의 적색으로 표시한 바와 같이 새로운 xuv-좌표계를 정의한다.
이때, 새로운 상기 xuv-좌표계에서 u-축은 x축과 서로 수직 하고, v-축은 포물선을 자르는 xu-면과 수직을 이룬다.
한편, 본 발명에 따른 비축-포물면 결정시스템의 좌표계 변환모듈(200)은 xuv-좌표계와 xyz 좌표계 사이의 변환을 아래의 [수학식 2]를 가지고 수행한다.
Figure 112018024497223-pat00002
상기 제어부(100)는 상기 개구면과 포물면이 만나는 둘레를 타원 개구(aperture)로 정의하고, 둘레가 v=0인 면 상에 놓일 경우 둘레의 좌표점을 아래의 [수학식 3]으로 계산할 수 있다.
Figure 112018024497223-pat00003
상기 제어부(100)는 상기 [수학식 3]과 상기 [수학식 1]과의 연립을 통해 변수를 정리하면 아래의 [수학식 4]와 같이 나타낼 수 있다.
Figure 112018024497223-pat00004
상기 [수학식 4]는 타원 방적식의 표준형으로 타원의 두 반지름의 비 Rx/Ru=sinθ는 항상 1보다 작기 때문에 타원 개구의 단축 및 장축 반지름을 각각 Rx와 Ru로 정의한다.
이 타원 개구의 중심은 yC로부터 u0만큼 떨어져 있다.
즉, 개구면이 xy-면과 만나는 y=yc와 xz-면 사이의 각도 θ만 주어지면 타원 개구에 대한 모든 정보를 아래 [수학식 5]와 같이 구할 수 있다.
Figure 112018024497223-pat00005
상기 [수학식 5]를 역으로 사용하면, 원하는 위치에 중심이 놓이며 원하는 장/단축 반지름의 타원 개구를 갖는 비축-포물면을 결정할 수 있게 된다.
하지만, 이렇게 결정하기 위해서는 알아야할 내용이 한가지 더 있으며, 그것은 바로 비축-포물면 거울의 깊이에 관한 것으로, 비축-포물면 거울을 결정하는데 있어 여러 가지 방법이 존재함을 보여주고 있다.
새로운 xuv-좌표계를 이용하여 거울의 깊이를 v의 좌표값으로 표현할 수 있는데, 보다 구체적으로, 상기 [수학식 1]과 좌표변환행렬인 [수학식 2]를 연립하면 아래의 [수학식 6]와 같이 표현할 수 있다.
Figure 112018024497223-pat00006
비축-포물면 거울의 깊이에 관한 특징으로, 깊이가 가장 깊은 곳의 위치 정보가 매우 중요하다.최대 깊이 및 위치를 알아보기 위해서, 각각 u=0일 때와 x=0일 때의 조건으로 상기 [수학식 6]를 다시 정리하면 다음과 같다.
먼저, u=0일 때 단축 상(-Rx≤x≤Rx)에서 최대깊이에 대한 식은 2차 방정식 av2-2bv+c=0로 표현된다.
Figure 112018024497223-pat00007
의 형태로 주어지는 2차 방정식에 대한 근의 공식으로부터 거울의 깊이는 x=0을 기준으로 양쪽이 대칭이 되며, x=0일 때 거울의 깊이가 최소가 됨을 알 수 있다.
위 단축 상의 거울의 깊이에 관한 특징에 비해, 장축 상의 거울의 깊이는 보다 깊은 분석을 필요로 한다. 거울의 깊이를 독립변수 x와 u로 표현한 [수학식 6]에 x=0의 조건을 대입한 후, 변수 u에 대한 도함수를 구한 결과가 0이 되는 조건을 찾으면, 아래의 [수학식 7]를 얻는다.
Figure 112018024497223-pat00008
이때 상기 [수학식 6]의 장축에 대한 표현식(x=0)에, 도함수가 최소가 되는 수식을 도함수가 최소가 되는 수식을 대입하여 변수정리를 하면 아래의 [수학식 8]과 같이 비축-포물면 거울의 중심으로부터 최대 깊이 위치까지의 거리를 계산할 수 있다.
Figure 112018024497223-pat00009
단축 상에서는 타원 개구 중심에서 깊이가 최대가 되며, 장축 상에서는 타원 개구 중심이 아닌 다른 곳에서 깊이가 최대가 된다는 사실을 통해서 비축-포물면의 타원 개구 중심은 가장 깊은 곳과 다르다는 점을 의미한다.
즉, 비축-포물면을 정의하는데 있어서, 첫째 가장 깊은 곳으로 기준을 잡는 방법, 둘째 타원 개구 중심을 기준으로 잡는 방법이 있음을 알 수 있다.
먼저, 가장 깊은 곳을 기준으로 잡아 비축 포물면을 결정하는 방법은 도 3과 같이 비축거리(OAD:Off-Axis Distance)를 정의할 수 있으며, 개구면의 각도는 아래의 [수학식 9]로 계산할 수 있다.
Figure 112018024497223-pat00010
한편, 타원 개구의 장축을 유효구경(CA)으로 정의할 수 있으며, 그 값은 아래의 [수학식 10]에 의해 계산될 수 있다.
Figure 112018024497223-pat00011
상기 [수학식 10]에 [수학식 9]를 대입하여 정리하면 개구면 y-절편인 yc를 계산할 수 있는 수학식을 산출할 수 있는데, 해당 수학식은 아래의 [수학식 11]과 같이 표현될 수 있다.
Figure 112018024497223-pat00012
원하는 CA 값을 가진 비축-포물면 거울의 가장 깊은 곳이 원하는 OAD 값을 갖는 거울은 [수학식 9]로부터 거울 개구면의 각도를 구하고, [수학식 11]로 개구면 y-절편 값을 구함으로써 정확하게 결정할 수 있게 된다.
따라서, 거울의 최대 깊이와 비축-포물면 거울의 중심으로부터 최대 깊이까지의 거리도 상기 [수학식 7]과 [수학식 8]을 통해 구할 수 있다.
비축-포물면 거울을 정의하는 두 번째 방법은 비축-포물면 거울의 타원 개구 중심이 OAD 값을 갖도록 하는 데 있으며 타원 개구의 장축 지름은 타원 개구의 크기로 하는 것은 첫 번째 방법과 동일하다.
하지만, 상술한 첫 번째 방법과 달리 개구면의 각도가 정의되어 있지 않기 때문에, OAD, CA 파라메타를 이용하여 각도와 y-절편을 동시에 구해야 한다.
도 3에 도시된 기하학적 관계에서 아래의 [수학식 12]가 성립함을 알 수 있다.
Figure 112018024497223-pat00013
상기 [수학식 12]을 정리하면, 아래의 [수학식 13]을 유도해 낼 수 있는데, 상기 [수학식 13]은 상기 [수학식 9]와 [수학식 10]과 동일한 결과임을 알 수 있다.
Figure 112018024497223-pat00014
즉, 본 발명에서는 비축-포물면의 개구는 타원의 형태이며, 그 타원 개구의 중심과, 거울의 깊이가 가장 깊은 점과 다르다는 것을 발견했다.
이러한 차이는 비축거리를 정의하는 2 가지 방법이 존재함에도 불구하고 실제로 동일한 결과가 도출된다는 사실을 상기 [수학식 1] 내지 [수학식 13]을 통해 확인할 수 있었다.
원하는 OAD와 CA를 갖는 비축-포물면을 얻기 위한 개구면의 각도와 y-절편 yc를 각각 [수학식 9]와 [수학식 11]을 통해 정확하게 정할 수 있기 때문에 거울의 가장 깊은 곳까지의 거리(u*)와 깊이(v*)를 각각 아래의 [수학식 14]와 [수학식 15]로 구할 수 있다.
Figure 112018024497223-pat00015
Figure 112018024497223-pat00016
이상과 같이, 본 발명은 비록 한정된 실시예와 도면에 의해 설명되었으나, 본 발명은 이것에 의해 한정되지 않으며 본 발명이 속하는 기술분야에서 통상의 지식을 가진 자에 의해 본 발명의 기술 사상과 하기에 기재될 청구범위의 균등 범위 내에서 다양한 수정 및 변형이 가능함은 물론이다.
100 : 제어부
200 : 변화모듈

Claims (5)

  1. 비축-포물면을 결정하는 방법에 있어서,
    (a) xyz 좌표계상에서, 제어부(100)가 yz-평면에서 표현된 단면으로 포물선을 자르는 평면을 개구면(Aperture plane), 상기 개구면은 x축과 수직하는 u축과 xy-면에서 만나는 교점인 y=yc에서 만나도록 형성되고, 상기 개구면과 xz-면 사이의 각도를 θ라고 정의하는 단계;
    (b) 상기 제어부(100)가 xuv-좌표계를 정의하는 단계;
    (c) 좌표계 변환모듈(200)이 상기 xuv-좌표계와 상기 xyz-좌표계 사이의 변환행렬을 정의하는 단계;
    (d) 상기 제어부(100)가 상기 xuv-좌표계를 이용하여 거울의 깊이를 v와 좌표값으로 표현하는 단계;
    (e) 상기 제어부(100)가 상기 개구면과 포물면이 만나는 둘레를 타원 개구로 정의하고, xu-면을 기준으로 한 상기 타원 개구의 장축에서 비축-포물면 거울의 최대 깊이를 계산하는 단계;
    (f) 상기 제어부(100)가 비축-포물면 거울의 중심으로부터 최대 깊이 위치까지의 거리를 계산하는 단계; 및
    (g) 상기 제어부(100)가 원하는 비축-포물면을 결정하기 위한 yc와 θ를 결정하는 단계;를 포함하는 것을 특징으로 하는 비축-포물면을 결정하는 방법.
  2. 제 1항에 있어서,
    상기 변환행렬은
    Figure 112019019624006-pat00017

    (u0 : 타원 개구 중심)
    인 것을 특징으로 하는 비축-포물면을 결정하는 방법.
  3. 제 2항에 있어서,
    상기 (e)단계에서
    장축에서 거울의 최대 깊이는
    [수학식 15]
    Figure 112019019624006-pat00018

    (R:곡률반지름, OAD:비축거리, CA:유효구경)
    로 계산되는 것을 특징으로 하는 비축-포물면을 결정하는 방법.
  4. 제 3항에 있어서,
    상기 (f)단계에서
    비축-포물면 거울의 중심으로부터 최대 깊이 위치까지의 거리는
    [수학식 14]
    Figure 112019019624006-pat00019

    (R:곡률반지름, OAD:비축거리, CA:유효구경)
    로 계산되는 것을 특징으로 하는 비축-포물면을 결정하는 방법.
  5. 제 4항에 있어서,
    비축-포물면을 정의하는데 있어서, 가장 깊은 곳으로 기준을 잡는 경우, 또는 타원 개구 중심을 기준으로 잡는 경우, 개구면의 각도는
    [수학식 9]
    Figure 112018024497223-pat00020
    로, y-절편인 yc는
    [수학식 11]
    Figure 112018024497223-pat00021
    (R:곡률반지름, OAD:비축거리, CA:유효구경, 개구: 개구면과 포물면이 만나는 둘레)로 계산되는 것을 특징으로 하는 비축-포물면을 결정하는 방법.
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