KR101854815B1 - 분광장치 및 분광방법 - Google Patents

Abstract

본 발명에 따른 분광장치에는, 입사되는 광을 필터링하는 적어도 두 개의 필터가 제공되는 광필터 장치; 상기 적어도 두 개의 필터와 대응될 수 있는 형태로 적어도 두 개의 광센서가 제공되어, 필터링된 광을 전하로 변환하여 출력하는 광센서 장치; 및 상기 광센서 장치의 출력신호를 디지털 신호처리하여 상기 입사되는 광의 스펙트럼 정보를 복구하는 디지털 신호 처리부가 포함되고, 상기 적어도 두 개의 필터 중의 적어도 하나는 랜덤 트랜스미턴스 필터인 것을 특징으로 한다. 본 발명에 따르면 복원된 광신호의 해상도가 향상되는 복원의 정확도가 개선되는 이점이 있다.

Description

분광장치 및 분광방법{SPECTROSCOPIC APPARATUS AND SPECTROSCOPIC METHOD}

본 발명은 분광장치 및 분광방법에 관한 것이다. 상세하게는, 광 필터를 사용하는 분광장치에 있어서, 해상도를 향상시키고 분광의 정확도를 높일 수 있는 분광장치 및 분광방법에 관한 것이다.

분광장치는 광학, 화학, 해양공학 등 다양한 산업 분야 전반에 걸쳐서 핵심 기구로 사용되고 있다. 분광장치는 물체로부터 나오는 갖가지 파장의 세기를 측정하여 그 정보를 그래프 혹은 스펙트럼 형태로 나타낸다. 분광장치가 물체의 정보를 정확하고 세밀하게 나타내는 정도를 해상도(resolution)라고 한다. 상기 해상도는 분광기의 성능을 평가하는 중요한 요소로서 평가된다.

분광장치 중에서 소형(miniature) 분광장치는, 제조비용을 감소시키기 위한 일환으로 필터 장치를 사용하는 것으로서, 휴대용으로 편리하게 사용할 수 있다. 상기 필터 장치는 필터를 배열해서 한 곳에 집약하여 생산할 수 있다.

나노공정을 이용한 필터 장치 기술은 분광장치의 크기를 초소형화하고, 이에 따른 대량 생산으로 생산가격을 크게 절감시킬 수 있다. 이러한 공정으로 생산된 소형 분광장치는 실험실 밖 산업 현장에서 물질의 특성을 측정하는데 큰 도움이 된다. 또한, 컴퓨터 또는 다른 전자 기기와도 쉽게 접목하여 함께 사용할 수 있다. 이 밖에도 필터 장치 기반의 분광장치는 광원의 스펙트럼 정보를 단시간에 측정할 수 있는 장점이 있다.

그러나, 분광장치가 도달할 수 있는 해상도의 한계는 광필터 장치에서 필터의 개수에 의해 결정될 수 있기 때문에, 해상도를 증가시키기 위해서는 필터의 개수를 늘리는 것을 고려할 수 있다. 그러나, 물리적인 제약조건 및 스펙트럼의 왜곡 등의 문제로 인하여 광필터 장치의 필터 수를 늘리는 것은 현실적으로 어려운 문제가 있다.

해상도를 결정짓는 또 다른 요소로서 광필터의 투과율 함수(transmittance function)가 있다. 실제로 저 비용의 나노공정 필터 장치에 있어서, 광필터의 투과율 함수는 비이상적(non-ideal)이기 때문에, 이들 비이상적 광필터는 광신호 본래의 스펙트럼 정보를 왜곡시키게 된다. 따라서, 광신호 본래의 스펙트럼 정보를 알아내기 위해서는, 입력신호의 스펙트럼 성분에 대하여 디지털 신호처리가 수행될 필요가 있다.

이러한 디지털 신호처리방법의 대표적인 방법으로는, 비특허문헌 1로서 J. Oliver, W. B. Lee, S. J. Park, H. N. Lee, "improving resolution of miniature spectrometers by exploiting sparse nature of signals," Opt. Exp. 20, 2613-2625 (2012), 및 특허문헌 1로서 제시되는 특허출원번호 10-2012-0079171가 소개된 바가 있다. 상기 특허문헌 1은 본 발명의 발명자가 그 일원이 되어 발명한 것으로서, 광신호 본래의 스펙트럼 정보를 알아내기 위하여 L1 놈 최소화 알고리즘을 구현하고 있다. 그러나 상기 문헌에 제공되는 기술의 경우에도, 해상도를 향상시키는 것에 있어서는 한계가 있고, 결국 필터 장치에 제공되는 필터의 개수를 늘리는 것을 고려할 수밖에 없는 문제점이 있다.

특허문헌 1: 10-2012-0079171

비특허문헌 1: J. Oliver, W. B. Lee, S. J. Park, H. N. Lee, "improving resolution of miniature spectrometers by exploiting sparse nature of signals," Opt. Exp. 20, 2613-2625 (2012)

본 발명의 발명자는, 디지털 신호처리장치를 이용하는 분광장치의 해상도를 더욱 향상시킬 수 있는 방법을 구현하는 것을 일 목적으로 하고, 분광의 정확도를 더 향상시킬 수 있는 분광장치 및 분광방법을 제안한다.

본 발명에 따른 분광장치에는, 입사되는 광을 필터링하는 적어도 두 개의 필터가 제공되는 광필터 장치; 상기 적어도 두 개의 필터와 대응될 수 있는 형태로 적어도 두 개의 광센서가 제공되어, 필터링된 광을 전하로 변환하여 출력하는 광센서 장치; 및 상기 광센서 장치의 출력신호를 디지털 신호처리하여 상기 입사되는 광의 스펙트럼 정보를 복구하는 디지털 신호 처리부가 포함되고, 상기 적어도 두 개의 필터 중의 적어도 하나는 랜덤 트랜스미턴스 필터인 것을 특징으로 한다.

또한, 상기 랜덤 트랜스미턴스 필터의 투과율은, 대상이 되는 전체 파장대역에 걸쳐서 복수개의 피크치를 가지고, 급격하게 변하는 것을 특징으로 한다. 또한, 상기 랜덤 트랜스미턴스 필터는, 이격되는 복수의 장홈이 제공되는 기판의 형태, 또는, 얇은 유전층이 적층되어 있는 형태로 제공될 수 있다.

또한, 상기 디지털 신호 처리부는 신호의 희소특성을 이용하는 L1 놈 최소화 알고리즘에 기반하여 신호처리를 수행할 수 있다. 또한, 상기 랜덤 트랜스미턴스 필터는, 낮은 자기상관함수를 가진다.

본 발명의 다른 측면에 따른 분광방법에는, 입사되는 광을 적어도 두 개의 필터로 필터링하는 단계; 상기 적어도 두 개의 필터로 필터링된 광을, 광센서 장치를 이용하여 상기 적어도 두 개의 필터의 각 필터별로, 전기신호로 변환하여 출력하는 단계; 및 상기 광센서 장치의 출력을 디지털 신호처리를 수행하여 상기 입사되는 광의 스펙트럼 정보를 복구하는 단계가 포함되고, 상기 적어도 두 개의 필터로 필터링하는 단계에서, 상기 적어도 두 개의 필터 중에서 적어도 하나의 필터를 통과한 광은 랜덤하게 필터링되는 것을 특징으로 한다.

여기서, 상기 적어도 두 개의 필터를 통과한 광은, 모두 랜덤하게 필터링 될 수 있고, 상기 디지털 신호처리는, 신호의 희소특성을 이용하는 L1 놈 최소화 알고리즘에 기반하여 수행될 수 있다.

본 발명에 따르면, 디지털 신호처리장치에 적합하게 사용가능한 필터를 개선함으로써, 분광장치의 해상도가 높아지고, 분광의 정확도가 향상되는 이점을 기대할 수 있다.

도 1은 실시예에 따른 분광장치의 구성도.
도 2는 실시예에 따른 분광방법을 설명하기 위한 흐름도.
도 3은 실시예에 따른 L1 놈 최소화 알고리즘을 설명하기 위한 흐름도.
도 4는 랜덤 트랜스미턴스 필터의 투과율함수를 설명하는 그래프.
도 5는 비이상적인(non-ideal)필터의 투과율 함수를 설명하는 그래프.
도 6은 이상적인 필터의 투과율 함수를 설명하는 그래프.
도 7은 실험예 1의 환경에서 에너지보존비율과 지니-에이디드 제곱평균오차를 나타낸 그래프.
도 8은 실험예 2의 환경에서 에너지 보존비율과 지니-에이디드 제곱평균오차를 나타낸 그래프.
도 9는 실험예 3의 환경에서 95퍼센타일의 MSE와 N과의 상관관계를 나타내는 그래프.
도 10은 실험예 4에 따른 실험결과를 나타내는 그래프.

이하에서는 본 발명의 구체적인 실시예를 상세하게 설명한다. 다만, 본 발명의 사상은 이하의 실시예에 제한되지 아니하며, 본 발명의 사상을 이해하는 당업자는 동일한 사상의 범위 내에 포함되는 다른 실시예를 구성요소의 부가, 변경, 삭제, 및 추가 등에 의해서 용이하게 제안할 수 있을 것이나, 이 또한 본 발명의 사상에 포함된다고 할 것이다.

한편, 본 발명의 사상의 이해를 돕기 위하여, 상기 특허문헌 1 및 비특허문헌 1의 기재사항은 필요한 범위 내에서 이하의 상세한 설명에 포함되어 있다. 또한, 본 발명은 특허문헌 1의 디지털 신호 처리방법을 하나의 적용가능한 방법으로 고려하고 있으나, 특허문헌 1의 방법만으로 디지털 신호처리방법이 제한되지는 아니하고, 다른 디지털 처리방법도 본 발명에 적용될 수 있을 것이다.

도 1은 실시예에 따른 분광장치의 구성도이다.

도 1을 참조하면, 실시예에 따른 분광장치는 광필터 장치(110), 광센서 장치(120), 및 디지털 신호 처리부(140), 및 분석 정보 제공부(150)를 포함할 수 있다.

상기 광필터 장치(110)는 서로 다른 투과율 함수를 갖는 필터들의 집합으로 구성될 수 있다. 상기 광필터 장치(110)는 예를 들어 2D 방식으로 배치된 M개의 필터들로 구성될 수 있다. 상기 광필터 장치(110)를 구성하는 각 필터들 중의 적어도 하나는 랜덤 트랜스미턴스 필터(Random Transmittance Filter)가 바람직하게 제안될 수 있다. 모든 필터가 랜덤 트랜스미턴스 필터로 구성될 수도 있다. 상기 랜덤 트랜스미턴스 필터는, 분광의 대상이 되는 전체 파장 대역에 대하여 투과율에 있어서 단지 하나 또는 두 개의 피크치를 가지는 비이상적인 필터와는 달리, 대상이 되는 전체 파장 대역에 걸쳐서 투과율이 다수개의 피크치를 가지는, 즉 랜덤 트랜스미턴스 펑션(Random Transmittance Function)을 가지는 필터를 말한다. 예를 들어, 분광의 대상이 되는 전체 파장 대역이 400nm에서 800nm인 경우에, 비이상적인 필터인 경우의 투과율 함수는, 400nm에서 800nm 사이의 특정한 지점에서 단일 또는 두 개의 피크치를 가지며 서로 부드럽게 이어지는 곡선(도 5참조)을 가진다. 이에 반하여 랜덤 트랜스미턴스 펑션을 가지는 필터의 경우에는 400nm에서 800nm 사이의 어느 지점이 아니라 전체 영역에 걸쳐서 수없이 많은 피크치를 가지고 그래프가 급격하게 변하는 양상(도 4참조)을 가진다. 상기 랜덤 트랜스미턴스 필터에 대한 상세한 구성은 후술하도록 한다. 상기 광필터 장치(110)는 나노공정을 이용하여 제조될 수 있다.

상기 광센서 장치(120)는 광필터 장치(110)의 하단에 배치되며, 필터링된 광을 전기신호로 변환한다. 광센서 장치(120)는 예를 들어 CCD(Charge Coupled Device) 장치로 구성될 수 있다. 광필터 장치(110)의 각 필터들은 광센서 장치(120)의 각 구성요소에 접속되어 있어서, 광필터 장치(110)를 통과한 광신호는 광센서 장치(120)에서 전하의 형태로 변환된다. 광필터 장치(110)와 광센서 장치(120)를 포함하는 구성을 좁은 의미의 소형 분광장치(130)라고 할 수도 있다. 광센서 장치(120)의 출력은, 광신호의 본래의 스펙트럼을 추정하기 위해 디지털 신호 처리부(140)에 입력될 수 있다.

상기 디지털 신호 처리부(140)는 광필터 장치(110) 및 광센서 장치(120)를 통해 획득된 왜곡된 스펙트럼 신호로부터 광신호 본래의 스펙트럼 정보를 복구하기 위하여 디지털 신호 처리를 수행한다. 디지털 신호 처리부(130)는 DSP 칩으로 구현될 수 있다.

상기 분석 정보 제공부(150)는 디지털 신호 처리부(140)에 의해 복구된 광신호의 스펙트럼 정보를 그래프나 기타 분석 정보로 제공한다. 예컨대, 분석 정보 제공부(150)는 분석 정보를 제공하는 소프트웨어를 내장한 마이크로 프로세서, 또는 컴퓨터일 수 있다.

도 2는 실시예에 따른 분광방법을 설명하기 위한 흐름도이다.

도 2를 참조하면, 광필터 장치(110)는 입사된 광신호에 대하여 필터링을 수행한다(S10). 이때, 광필터 장치(110)를 구성하는 각 필터들은 해당 필터들에 할당되어 있는, 파장대별 투과율에 따라서 특정의 파장 성분만을 일정량만큼 투과시킨다. 이에 따라, 광필터 장치(110)부터 얻어지는 스펙트럼 정보는 광신호 본래의 스펙트럼 정보와 함께, 광필터의 투과율 성분이 포함되어 왜곡된 신호를 포함할 수 있다.

한편, 상기 광필터 장치(110)에 제공되는 어느 하나의 필터는 랜덤 트랜스미턴스 필터로 제공될 수 있다. 모든 필터는 랜덤 트랜스미턴스 필터로 제공될 수도 있다. 상기 랜덤 트랜스미턴스 필터를 통과하는 광은 실질적으로 분광의 대상이 되는 전체 파장 대역에 걸쳐서 광을 투과시킬 수 있다. 본 상세설명의 뒷부분에서 명확히 되지만, 랜덤 트랜스미턴스 필터는 분광의 대상이 되는 파장대역의 어느 일 부분에 대해서만 랜덤 트랜스미턴스 필터로서 구동되고, 다른 부분은 그러한 동작을 하지 않도록 구성할 수도 있다. 이러한 구성도 발명의 작용에는 큰 영향이 없으나, 분광정보의 손실로 이어져서 상기 광필터 장치(110)에 제공되는 필터의 개수가 늘어나도록 하는 영향을 초래할 수도 있다.

상기 광센서 장치(120)는 광필터 장치(110)에 의해 필터링된 광을 전하로 변환한다(S20). 이때에는 광필터 장치(110)에 제공되는 어느 하나의 랜덤 트랜스미턴스 필터를 통과하는 광은 통과된 광의 파장과 무관하게 단일의 전하량으로 변환되는 것을 알 수 있다.

디지털 신호 처리부(140)는 광센서 장치(120)의 출력 신호를 샘플링하여 L1 놈 최소화 알고리즘을 이용하여 광신호 스펙트럼을 복구한다(S30). 이후에는 복구된 광신호 스펙트럼이 분석정보로 제공된다(S40).

상기 디지털 신호 처리부(140)의 디지털 신호 처리의 일 예에 대하여 설명한다. 상기 디지털 신호 처리부(140)의 디지털 신호 처리에는 불충분 선형 방정식계의 해를 구하는 프로세스가 수행된다. 디지털 신호 처리부(140)는 L1 놈 최소화(L1 norm minimization) 알고리즘을 이용하여 불충분 선형 방정식계의 해를 구하는 프로세스를 수행한다. L1 놈 최소화 알고리즘을 이용하여 불충분 선형 방정식계의 해를 구하는 프로세스는, 광신호의 스펙트럼 정보가 희소하게 분포한다는 성질을 이용한다. L1 놈 최소화 알고리즘은 신호들의 희소 특성을 이용하는 L1 놈 최소화 스펙트럼 추정 알고리즘이다.

는 파장(λ)에서 광필터 장치(110)에 입사되는 원래 광신호의 스펙트럼 성분들을 나타낸다. 광필터 장치(110)의 각 요소는 투과율 함수(transmittance function)의 형식으로 지정될 수 있다. 투과율 함수(전달함수라고 할 수도 있다)는, 필터가 주어진 파장(λ)에서 허용되는 광의 분율(fraction)의 측정값이다.

는 필터 장치의 i번째 요소의 전달함수이다.

d(λ)는 모든 요소들에 대하여 동일하다고 가정하는 광센서 장치(120)의 민감도 함수를 나타낸다.

, i=1,2,..., M, 는

에 의해 주어지는 파장(λ)에서 i번째 광센서 장치(120)의 민감도를 나타낸다. 각

는 파장(λ)의 연속 함수이다.

그러면 i번째 광센서 장치(120)의 출력

는

로 주어진다. 여기에서,

는 관찰 잡음 또는 측정 잡음이다.

광센서 장치(120)의 출력으로부터 모든 M 샘플들을 수집하고 벡터의 형태로 그들을 벡터 y의 형식으로 정렬할 수 있다.

광센서 장치(120)는 출력 신호는 출력 벡터(y)로 나타낼 수 있다. 출력 벡터(y)는 수학식 1의 선형 방정식으로 모델링될 수 있다.

수학식 1에서 D는 수학식 2와 같은 (M×N) 광센서 장치의 민감도 행렬이다.

(M×1)벡터

의 각 성분들은 제로-평균과 분산

을 가진 가우스 확률 변수로서 모델링 될 수 있다.

는 파장

에서 연속 신호 스펙트럼

을 균일하게 샘플링함으로써 얻어진 신호 스펙트럼 벡터를 나타낸다.

는 분광의 대상이 되는 신호 X의 총 대역폭을 나타낸다.

는 x의 샘플들 사이의 간격을 나타낸다.

수학식 2에서 값

은 파장축을 따라 i번째 광센서 장치(120)의 민감도 함수를 균일하게 샘플링하여 얻어질 수 있다.

또한, 행렬 D의 조건부 숫자(conditional number)는 높을 수 있다. 비-이상적 전송 함수들은 서로 연관된 D의 열(row)들을 만들기 때문이다.

상기 광센서 장치(120)의 민감도 행렬 D가 주어진 상태에서, 관찰 y로부터 신호 스펙트럼 x의 추정(

)을 위한 해결이 필요하다.

신호 스펙트럼 추정의 복구 정확성은 수학식 3과 같이 정의되는 평균 제곱 오류(MSE)의 측면에서 측정될 수 있다.

여기에서

는 X의 i번째 성분을 나타낸다.

수학식 1에서 잡음이 없을 경우에 M≥N이면 충분 방정식이 되고, M<N이면 불충분 방정식이 된다.

소형 분광장치의 해상도는 공간적으로 근접한 스펙트럼 성분들을 구별하는 능력으로써 결정된다. 주어진 간격

에서, 분광장치의 최대 달성 해상도는

로서 정의될 수 있다.

여기에서,

는 수학식 4와 같이 주어진다.

여기에서,

는 사용자-정의된 양수이다.

복구된 신호 스펙트럼과 입력 신호 스펙트럼 사이의 MSE가 δ이하이면, 서로 떨어져 있는 두 스펙트럼

는 분해할 수 있는 것으로 말할 수 있다. 고정된

에 대하여 샘플들 사이에 간격이

로 주어지기 때문에 N를 증가시키면 간격

을 감소시킬 수 있다. 그러므로, 최대 가능 해상도를 찾기 위해서는 N은 커질 필요가 있다.

에 대하여 구별되게 분해될 수 있는 서로

떨어져 있는 두 개의 x의 연속 비 제로 스펙트럼 성분들이 있는지를 확인해 봐야 할 필요가 있다.

에 대하여 서로

떨어져 있는 어떠한 쌍의 스펙트럼 성분들은 없고, 구별되게 분해되는 서로

떨어진 비-제로 스펙트럼의 몇몇 쌍들이 있다.

수학식 1에서 임의의 자연 신호 또는 벡터 x는 직접적으로 희소하거나 어떤 기반, 즉

에서 희소한 것으로 표현될 수 있다. 기반

은 희소화 기반(sparse based)이라고 불리는 (N×N)행렬이며, 신호 s는 K-희소, 즉 s의 K 성분들은 비-제로이고, 잔여인 N-K는 제로이다. 그러므로 자연의 신호는 행렬

의 단지 K행들의 선형 조합이다.

(자기행렬)이고, x=s일 때, 그러한 신호 x는 직접적으로 희소 신호라 불린다. 그것은 본질적으로 희소하다.

따라서, 수학식 1에서 원 신호 스펙트럼 x는 K(가우스 커널)의 선형 조합, 즉,

으로서 모델링될 수 있다. 가우스 커널을 사용하는 이유는 스무스 가우스 커널은 일반적인 신호 스펙트럼의 스무스 특성을 보존할 수 있기 때문이다. 가우스 커넬이 반드시 사용되어야 할 필요는 없으며, 만약, 신호 스펙트럼이 펄스와 같은 형태인 경우에는 다른 모델이 적용될 수 있는 것은 당연하다.

또한, 가우스 커널의 스펙은 두 파라메터들, 즉 위치와 폭만을 필요로 한다. 이것은 특정 응용에서 신호 스펙트럼의 특성에 따라 선택될 수 있다. 커널 행렬

를 구성하기 위해, 임의의 FWHM(full-width at half-maximum)를 가지는 단일 가우스 커널이 샘플링된다. 샘플링된 커널은

의 제1 컬럼을 형성한다.

의 남은 N-1 컬럼들은 제1 컬럼의 편이(shift)된 버전들로 제시될 수 있다. 가우스 커널의 샘플들 사이의 간격은

이라 한다.

희소 모델

을 사용하면, 수학식 1은 수학식 5와 같이 나타낼 수 있다.

y의 차원은 (M×1)이고, D의 차원은 (M×N)이며, M<N이면서, s는 N×1이다. 수학식 1의 y로부터 s의 추정치(

)가 획득될 수 있다. y의 차원이 희소 신호 s의 차원보다 더욱 작음을 유의해야 할 필요가 있다. 희소 표현 이후에, 측정 벡터 y로부터 희소 신호의 고유한 복구를 위한 L1 놈(norm) 기준(criterion)이 적용될 수 있다.

L1 놈 최소화 알고리즘은 해당 신호에 대한 사전 정보를 이용하여, 고정된 개수의 신호를 관찰하여, 주어진 복구 신호의 질(해상도)을 향상시키는 것이다. 희소 표현이 행해진 다음, 다음 단계는 y로부터 희소 신호 s를 고유하게 복구하는 것이다. 이다.

단지 M(<N)개의 원 스펙트럼 측정치들만이 주어짐에 따라, 수학식 5에 나타나있는 N 개의 미지수들이 추정될 필요가 있다. 선형 방정식의 불충분 시스템을 위한 유일하고 희소한 해들을 구하는데 L1 놈 최소화 기법이 사용될 수 있다.

의 신호 모델이 이용된다. 여기에서 s는 K 희소 신호이다. s를 복구하기 위한 가장 강력한 접근방안은, 측정치 y와 일관되는 희소 벡터s를 찾는 것이다. 이것은 수학식 6과 같이 L0 놈 최소화 문제를 푸는 것에 이르게 된다.

여기에서

오퍼레이터는 s의 비-제로 성분의 개수를 카운트하고, ε는 사용자에 의해 특정된 작은 양의 정수이다.

그러나 수학식 6은 컴퓨터 연산이 다루기 힘든 것으로 알려져 있는 조합적 최적화 문제이다. 따라서, L1 놈 최소화 알고리즘은 수학식 6에서의 문제에 대한 다루기 쉬운 해결 방안을 제공할 수 있다.

디지털 처리부(130)의 희소 신호 복구를 위한 L1 놈 최소화 알고리즘은 수학식 7과 같이 표현될 수 있다.

최적의 추정치(

)를 찾기 위해, L1 놈 최소화 문제는 보통은 효과적으로 해를 구할 수 있는 선형 프로그램으로서 재구성될 수 있다.

로 지정하면, 수학식 7은 수학식 8로 풀어 쓸 수 있다.

여기에서, λ는 비-음수 파라메터이다. 수학식 8에서 최소화를 비음수 제약 (s≥0)을 가지는 선형 프로그래밍 문제로서 구성할 수 있다. 여기에서 비음수 제약(s≥0)이라는 것은 신호 스펙트럼이 비-음수(non-negative)라는 것이다.

이것을 수학식 9로 나타낼 수 있다.

최적의 신호 스펙트럼 추정을 구하기 위하여, 상기 수학식 9의 선형 프로그래밍 문제를 푸는 프리멀-듀얼 접근법(Primal-dual Approach)이라고 불리는 인테리어 포인트 메써드법(interior point method)이 사용될 수 있다.

도 3은 실시예에 따른 L1 놈 최소화 알고리즘을 설명하기 위한 흐름도이다.

도 3을 참조하면, 일실시예에 따른 L1 놈 최소화 알고리즘은 초기값을 설정한다(S31). 초기값의 설정에는 프라이멀 변수

, 듀얼 변수

, 반복 인덱스 k, 비-음수 파라메타 λ가 해당된다.

방향 벡터를 계산한다(S32). k-1번째, 방향 벡터들

은 다음 아래 수학식 10에 의해서 구해진다.

여기에서,

,

는 벡터

의 i번째 원소,

는 벡터

의 i번째 원소이다. 첫번째로, 프라이멀 변수의 방향 벡터인

을 찾고 난 이후, 듀얼 변수의 방향 벡터

를 찾는다.

그 다음, 스텝 크기를 계산한다(S33). 스텝 크기는 기본적으로 최적화 이론에서 사용되는 백트랙킹 라인 서치(Backtracking Line Search) 기술을 이용하여 계산될 수 있다. 효율적으로 스텝 크기를 추정하기 위해서는, 초기 스텝 크기가 적절하게 계산이 되는 것이 좋다. 초기 스텝 크기는 수학식 11에 의해 결정된다.

여기에서,

그리고,

이다. 초기 스텝 크기가 정해진 이후에는 수학식 12를 만족시키는 k-1번째 스텝 크기

를 얻어낸다.

그 다음, 프라이멀 변수와 듀얼 변수를 업데이트한다(S34). k 번째 프라이멀 변수와 듀얼 변수는 수학식 13에 의해서 업데이트 된다.

그 다음으로, 듀얼리티 갭이 기준치 이하인지 판단한다(S35). 듀얼리티 갭은 다음 아래 수학식 14에 표현된다.

판단 결과, 듀얼리티 갭이 기준치 이하가 아니면 인덱스+1 과

을(여기에서

는 1보다 큰 상수) 수행하여(S36) 다시 S32 단계 내지 S34 단계를 반복적으로 수행한다. 판단 결과, 듀얼리티 갭이 기준치 이하이면 추정된 광 스펙트럼 추정값으로 출력한다(S37).

상기되는 과정을 통하여 최적의 추정치(

)를 알아낼 수 있고, 이 추정치를 이용하여 원래의 광신호 스펙트럼을 복구해 낸다.

한편, 이미 설명한 바와 같이 광필터 장치(110)의 각 필터 중의 적어도 하나는 랜덤 트랜스미턴스 필터가 바람직하게 적용될 수 있는 것을 제시한 바가 있다. 랜덤 트랜스미턴스 필터는 대상이 되는 전체 파장대역, 또는 적어도 어느 일부영역에서 다수 개의 피크치를 가지는 필터로 정의될 수 있다. 바람직하게는, 전체 파장대역이다. 상기 랜덤 트랜스미턴스 필터는 회절격자(grating)에 기반하는 것과, 박막(thin-film) 광필터에 기반하는 적이 제안될 수 있다.

먼저, 상기 회절격자에 기반하는 것은, 기판에 랜덤한 간격으로 제공되는 장홈의 형상으로 회절격자를 제공하는 것에 의해서 달성될 수 있다. 상기 회절격자의 주기와 높이에 의해서 입력되는 원래 광신호의 파장별 투과율이 제어될 수 있다. 실시예에서는 1mm의 사이 간격에 500~1000개의 회절격자가 제공되어 있을 수 있다.

상기 박막 광필터에 기반하는 것은, 얇은 유전층이 두께와 굴절계수를 달리하면서 다수 개가 적층되는 것에 의해서 달성될 수 있다. 이때, 유전층의 수, 유전층의 굴절계수, 및 유전층의 두께에 의해서, 필터를 통과하는 광의 파장별 투과율이 달라지게 된다.

도 4는 실시예에 따른 세 개의 랜덤 트랜스미턴스 필터의 랜덤 트랜스미턴스 함수(transmittance function)의 예를 나타나는 그래프이다. 도 4의 특성으로 제시되는 랜덤 트랜스미턴스 필터는 상기 회절격자에 기반하는 제작방법 및 박막 광필터에 기반하는 제작방법 등과 같은 다양한 방법에 의해서 제공될 수 있다. 상기 랜덤 트랜스미턴스 필터의 특징은, 촘촘히 형성되는 다수의 피크치가 소정의 파장영역에 대하여 다수가 제공되고, 자기상관함수(Autocorrelation Function: ACF)가 낮은 것을 알 수 있다.

실험을 위하여 도 4에 제시되는 각 그래프는, 수학식 15에 의해서 인위적으로 제공될 수도 있다.

여기서, T는 두 자유도를 가지는 카이자승(Chi-square) 랜덤변수로서, t₁과 t₂는 각각 가우시안 랜덤 변수로서, 각각은 0 평균과 v의 분산값을 가진다.

상기 랜덤 트랜스미턴스 필터와 대응되는 개념으로서, 비이상적인(non-ideal)필터의 투과율 함수는 도 5에 제시되고, 이상적인 필터의 투과율함수는 도 6에 제시되어 있다. 한편, 일반적으로 접하게 되는 대다수의 필터는 비이상적인 필터에 해당된다. 상기 도 4, 도 5, 및 도 6에 제시되는 세 가지 경우의 투과율함수는 세 가지의 필터를 함께 예시적으로 보여주는 것으로서, 각각의 필터에는 각각의 투과율 함수가 부여되어 있을 것이다.

상기 랜덤 트랜스미턴스 함수의 특징은 자기상관함수에 의해서 특징지어질 수 있다. 상세하게, 자기상관함수는 두 다른 파장에서 랜덤 트랜스미턴스 함수에 의해서 감지되는 광의 강도의 유사 정도를 나타낸다. 따라서, 자기상관함수의 폭이 넓고 천천히 감쇄하는 형태라면 트랜스미턴스 함수는 높은 자기상관관계를 가지고, 자기상관함수의 폭이 좁고 빠르게 감쇄하는 형태라면 트랜스미턴스 함수는 낮은 자기상관관계를 가지게 된다. 도 4의 랜덤 트랜스미턴스 필터가 도 5의 비이상적인 필터에 비하여 낮은 자기상관관계를 가지는 것은 명백하다.

이를 분광기와 연관하여 설명하면, 상기 랜덤 트랜스미턴스 필터와 같이, 자기상관함수들의 폭들이 좁으면, 그 폭을 넘어서서 서로 떨어져 있는 파장은 독립적으로 감지될 수 있다. 즉, 광필터 장치(110)에 있는 다른 필터에 의해서 독립적으로 감지될 수 있게 된다. 반대로 비이상적인 필터의 경우에는, 자기상관함수들의 폭들이 넓으므로, 광필터 장치(110)에 있는 서로 다른 필터에 의해서 독립적으로 감지될 수 없다. 따라서, 랜덤 트랜스미턴스 필터의 경우에 보다 많은 광신호 본래의 스펙트럼 정보를 획득할 수 있는 것을 알 수 있다.

발명자는 다양한 실험을 통하여 랜덤 트랜스미턴스 필터의 우수한 성능을 검증하였다. 랜덤 트랜스미턴스 필터가 종래의 이상적인(ideal) 필터 또는 비이상적(non-ideal)인 필터에 비하여 우수한 분광성능을 보이는 것을 다수의 실험예를 통하여 설명한다.

<실험예 1>

먼저, 에너지보존비율(R)을 수학식 16과 같이 정의할 수 있다.

여기서,

로서 수학식 5에서 정의된 바가 있다. 수학식 16에서 A는 감지행렬(sensing matrix)로서, 에너지보존비율(R)이 1이 되면 될수록, 광신호 본래의 스펙트럼 정보(s)가 광필터를 통과한 후에도 잘 유지되는 것을 나타내는 인자로서 작용한다.

또 다른 인자로서, 광신호 본래의 스펙트럼 정보(s)의 예측값과 실제값에 대한 제곱평균오차(MSE)를 사용할 수 있다. 상세하게 제곱평균오차를 구하는 과정을 제시한다. 먼저, 수학식 5를

와 같이 놓을 수 있다. 여기서 s_k는 s의 스펙트럼 성분의 강도값을 포함하는 벡터를 나타낸다. 그러면, y로부터 s_k를 예측하는 것으로 문제는 귀결된다. 예측자(estimator)로는 오라클 예측자(oracle estimator)가 적용되어, 종래의 최소자승접근법을 사용하여 y로부터 s_k를 예측해 낼 수 있다. 상기 오라클 예측자의 최소 제곱평균오차는 지니-에이디드 제곱평균오차(genie-aided MSE: g.MSE)로 명칭 될 수 있다. 물론, 다른 형태의 MSE를 적용할 수도 있을 것이다.

구체적으로 지니-에이디드 제곱평균오차(genie-aided MSE: g.MSE)는 수학식 17과 같이 주어지는 제곱평균오차이다.

여기서, K는 희소 벡터 s중에서 영이 아닌 값의 개수이고, σ는 표준편차이다. 상기 지니-에이디드 제곱평균오차(genie-aided MSE: g.MSE)는 예측값과 실제값의 차이를 나타내는 것으로서 그 값이 작을수록 우수한 것을 이해할 수 있다.

위에서 정의되는 지니-에이디드 제곱평균오차(g.MSE)와 에너지보존비율(R)은, N, K가 주어질 때, 두 값의 상호관계를 2차원 그래프 상에서 표시될 수 있다. 여기서, 지니-에이디드 제곱평균오차(g.MSE)는 dB를 단위로 하고, 에너지보존비율(R)은 무차원수이다.

N=240, M=40, K=2로 가정할 때, 도 4로 예시되는 랜덤 트랜스미턴스 필터의 경우와 도 5로 제시되는 비이상적인 필터의 경우를 비교하였다. 여기서, K=2로 주어짐과 동시에, 해상도는 인접되는 두 신호를 피크치를 구분해 내는 것이므로, 희소신호가 서로 인접되는 것을 상정한다. 이때, N=240이므로, 신호 s에 대한 서포트 세트(support set)(0이 아닌 희소신호의 스펙트럼 정보의 위치)로서 총 239개의 위치가 g.MSE와 R의 그래프 상에서 표시될 수 있다. 이때 SNR은 40dB로 하였다.

도 7은 실험예 1에 따라서 나타낸 그래프이다. 도 7에서 빨간색 점은 랜덤 트랜스미턴스 필터를 사용한 경우이고, 파란색 점은 비이상적인 필터를 사용한 경우이다. 도 7을 참조하면, 에너지보존비율(R)은 비이상적인 필터에 비할 때, 평균값에 대한 편차가 적다. 즉, 그 값이 집중되어 있다. 이는, 비이상적인 필터를 사용하는 경우에는 원래 광신호의 스펙트럼이 특정한 상기 서포트 세트에 대한 신호인 경우에는 그 측정값이 틀려질 가능성이 큰 것을 의미할 수도 있다.

또한, 지니-에이디드 제곱평균오차(g.MSE)는 랜덤 트랜스미턴스 필터의 경우에 모두가 -24.9dB보다 작은데 반하여, 비이상적인 필터의 경우에는 -20.4dB까지 나타나는 것을 볼 수 있다. 이로써, 랜덤 트랜스미턴스 필터가 우수한 것을 볼 수 있다.

<실험예 2>

실험예 1의 경우에는 K=2로서 두 개의 스펙트럼 성분이 존재하는 경우를 상정하고 있다. 그러나, 기름유출의 경우와 같은 다양한 산업계에 적용되는 경우에 있어서는, 두 개의 스펙트럼 성분이 아닌 세 개 이상의 스펙트럼 성분이 존재하는 경우가 일반적이다. 실험예 2에서는 세 개 이상의 스펙트럼 성분, 즉, 세 개 이상의 피크치가 나타나는 원래의 광원의 스펙트럼 정보에 대하여 실험을 행한다.

는 입력신호 x의 샘플 사이의 간격을 나타낸다. 여기서 W_λ는 분광의 대상이 되는 파장대역이다. 상기 샘플 사이의 간격 중에서 가장 작은 값은 분광장치에서 얻어낼 수 있는 가장 높은 해상도가 된다. 따라서, N값이 크면 클수록 높은 해상도를 구현할 수 있으나, N값은 한계가 있다.

상기되는 배경하에서, 서로 다른 광필터의 경우에 Δλ_min을 구하기 위해서 N,M,K,G,및σ²를 일정하게 두고서, 지니-에이디드 제곱평균오차(g.MSE)가 일정한 값(변수δ) 이하를 만족하는 지를 확인한다. 그리고, 만족하는 경우에는, N값을 늘려서 다시금 g.MSE가 변수δ 이하인지를 판단해 나간다. 이후에 그와 같은 과정은 반복적으로 수행되어, 가장 큰 N값(N_max)가 구하여지면, 이때의 값이 Δλ_min이 된다. 여기서 상기 변수δ값은 사용자에 의해서 임의로 선택되는 값일 수 있다. 상기 N값은 M에서 출발할 수 있다. 상기 변수δ는 허용가능한 최대 g.MSE로 정의될 수 있다.

상기되는 과정을 수학식을 표현하면 수학식 18과 같다.

상기 수학식 18에서

는, 지니-에이디드 제곱평균오차(g.MSE)가 소정의 값(변수δ)보다 같거나 작아지는 확률을 말한다. 여기서, 변수ρ는 0과 1 사이의 임의의 값을 취할 수 있고, 상기 변수ρ에 의해서

는 가변 될 수 있다. 만약 변수ρ가 0.95인 경우에는 모든 가능한 서포트 세트의 95%가 δ보다 작아야 한다.

하나의 상태를 예시한다. 구체적으로, s값으로서 0이 아닌 성분이 세 개가 존재하는 경우(즉, K=3)에, M=40, N=80이다. 이때, N_max=N이면,

이 된다. 이때, 세 개의 스펙트럼 성분에 대하여 g.MSE와 R이 그래프 상에서 표시되는 가능한 경우는, ₈₀C₃으로서 83,160의 경우의 수가 얻어진다. 이와 같은 경우의 수를 그래프로 나타낸 것이 도 8에 제시되어 있다.

도 8을 참조하면, 빨간색은 랜덤 트랜스미턴스 필터를 사용한 경우이고, 파란색은 비이상적인 필터를 사용한 경우이다. 도 8을 참조하면, 변수δ를 -25dB로 할 때, 랜덤 트랜스미턴스 필터를 사용한 경우에는

는 100%이고, 이 경우에 스펙트럼 성분의 위치와 관계없이 최대한의 해상도를 얻을 수 있다. 반면에, 비이상적인 필터의 경우에는 78.08%(82,160 중의 64,143)만을 만족시키는 것을 볼 수 있었다. 따라서 비이상적인 필터의 경우에는 78.08%에 대해서만 해상도를 담보할 수 있다. 따라서 광신호 본래의 스펙트럼 성분 중에서 가능한 모든 위치에 대하여 조건을 만족시키기 위해서는 N값을 낮추어져야만 하고, 따라서 해상도는 떨어지게 된다.

<실험예 3>

도 4, 및 도 5와 같은 형태의 랜덤 트랜스미턴스 필터, 및 비이상적 필터 40개(M=40)를 각각 모아서 두 개의 광필터 장치(110)를 마련한다. 디지털 신호 처리부(140)로는 도 2 및 도 3에 제시되는 L1 놈 최소화 알고리즘을 적용한다. 각각의 필터에 투과율함수로서 부여되는 파장은 400에서 800nm의 가시광대역의 파장을 선택한다.

구체적인 비교에 앞서서, 상기 이상적 필터(도 6의 경우)로 제작된 광필터 장치가 사용되는 경우에는, 디지털 처리부가 없어도 얻을 수 있는 해상도로서

을 얻을 수 있다. 즉, 해상도는 10nm가 된다.

상기 랜덤 트랜스미턴스 필터로 제작된 광필터 장치가 사용되는 경우와, 상기 비이상적인 필터로 제작된 광필터 장치가 사용되는 경우에 대하여 설명한다.

상세하게, N은 초기에 M과 같은 수로서 40에서 그의 배수로 점진적으로 증가시킨다. 그리고, 회소신호해석에 있어서 필요한 s의 개수인 K를 3으로 둔다. 그러면, 가능한 위치의 수(서포트 세트)는 주어진 N에 대하여 3가지의 조합이 가능한 _NC₃으로 주어지고, 여기서 10,000개의 경우를 임의로 추출하여 실험에 반영한다. 각 서포트 세트에 있어서 지니-에이디드 제곱평균오차(g.MSE)를 구하고, 변수ρ를 0.95로 설정하였다. 도 9는 95퍼센타일의 MSE와 N과의 상관관계를 나타내는 그래프이다.

도 9를 참조하면, 변수δ가 -10dB인 경우에 N_max는, 비이상적 필터의 경우에는 93이고 랜덤 트랜스미턴스 필터의 경우에는 632가 된다. 따라서, 해상도는 비이상적 필터의 경우에는

이 되고, 랜덤 트랜스미턴스 필터의 경우에는

가 된다. 이는, 디지털 처리부가 없이 이상적 필터를 이용한 경우의 10nm와 비교할 때, 각각 2.3배 및 15.9배가 된다. 그리고, 비이상적 필터가 사용되는 경우와 랜덤 트랜스미턴스 필터가 사용되는 경우를 서로 비교하면, 랜덤 트랜스미턴스 필터가 사용되는 경우에 비교할 때 대략 7배의 향상된 해상도를 얻을 수 있다.

<실험예4>

실험예 3과 동일한 시스템에 있어서, 광필터 장치(110)에 입사되는 광신호의 정보로서 604.6nm, 633.8nm, 및 658.04nm에 피크치가 있는 광원을 사용하여, 비이상적인 필터 장치를 사용하는 경우와 랜덤 트랜스미턴스 필터 장치를 사용하는 경우를 비교하였다. 이때, K=3, M=40, N=480으로 하였다.

도 10은 실험예 4의 결과를 나타내는 그래프이다. 도 10을 참조하면, 랜덤 트랜스미턴스 필터 장치를 사용하는 경우에는 광신호 본래의 스펙트럼 정보를 거의 유사하게 찾아내는 것을 볼 수 있었다. 그러나, 비이상적 필터 장치를 사용하는 경우에는, 피크치를 놓치는 것은 물론이고, 두 개의 스펙트럼 정보밖에 알아내지 못하였다.

따라서, 랜덤 트랜스미턴스 필터를 사용하는 것이 일반적으로 사용되는 비이상적 필터보다 높은 해상도 및 분광장치의 정확도가 향상되는 것을 알 수 있다.

본 발명에 있어서는 불충분 선형방정식의 해를 구하기 위하여, 신호의 희소특성을 이용하는 L1 놈 최소화 알고리즘에 기반하는 방법을 이용하는 것을 특징으로 하고 있다. 그러나, 불충분 선형방정식의 해를 구할 수 있는 다른 디지털 신호처리의 방법이 있다면 이를 적용하더라도 무방할 것이고, 이 또한 본 발명의 사상의 범위 내에 포함된다고 할 것이다.

본 발명에 따르면, 랜덤 트랜스미턴스 필터를 이용함으로써, 원래의 광신호 스펙트럼으로부터 많은 정보를 뽑아낼 수 있고, 이로써, 원래의 광신호 스펙트럼을 더욱 좋은 해상도로 복원해 낼 수 있다. 또한, 더욱 높은 신뢰도로 정확하게 원래의 광신호 스펙트럼을 복원해 낼 수 있다.

110: 광필터 장치

Claims (9)

1. 입사되는 광을 필터링하는 적어도 두 개의 필터가 제공되는 광필터 장치;
   상기 적어도 두 개의 필터와 대응될 수 있는 형태로 적어도 두 개의 광센서가 제공되어, 필터링된 광을 전하로 변환하여 출력하는 광센서 장치; 및
   상기 광센서 장치의 출력신호를 디지털 신호처리하여 상기 입사되는 광의 스펙트럼 정보를 복구하는 디지털 신호 처리부가 포함되고,
   상기 광센서 장치의 출력신호는 불충분 선형 방정식으로 표현되며,
   상기 디지털 신호 처리부는 상기 불충분 선형 방정식으로 표현되는 출력신호를 L1 놈 최소화 알고리즘을 이용하여 상기 입사되는 광의 스펙트럼 정보를 복구하고,
   상기 적어도 두 개의 필터 중의 적어도 하나는 랜덤 트랜스미턴스 필터이고
   상기 적어도 두개의 필터는 서로 연관되어 있지 않은
   분광장치.
2. 제 1 항에 있어서,
   상기 랜덤 트랜스미턴스 필터의 투과율은, 대상이 되는 전체 파장대역에 걸쳐서 복수개의 피크치를 가지고, 급격하게 변하는 분광장치.
3. 제 1 항에 있어서,
   상기 랜덤 트랜스미턴스 필터는, 이격되는 복수의 장홈이 제공되는 기판인 분광장치.
4. 제 1 항에 있어서,
   상기 랜덤 트랜스미턴스 필터에는, 얇은 유전층이 적층되어 있는 분광장치.
5. 삭제
6. 삭제
7. 입사되는 광을 적어도 두 개의 필터로 필터링하는 단계;
   상기 적어도 두 개의 필터로 필터링된 광을, 광센서 장치를 이용하여 상기 적어도 두 개의 필터의 각 필터별로, 전기신호로 변환하여 출력하는 단계; 및
   상기 광센서 장치의 출력 신호를 디지털 신호처리를 수행하여 상기 입사되는 광의 스펙트럼 정보를 복구하는 단계가 포함되고,
   상기 적어도 두 개의 필터로 필터링하는 단계에서, 상기 적어도 두 개의 필터 중에서 적어도 하나의 필터를 통과한 광은 랜덤하게 필터링되고,
   상기 광센서 장치의 출력신호는 불충분 선형 방정식으로 표현되며,
   상기 입사되는 광의 스펙트럼 정보를 복구하는 단계는 상기 불충분 선형 방정식으로 표현되는 출력신호를 L1 놈 최소화 알고리즘을 이용하여 상기 입사되는 광의 스펙트럼 정보를 복구하고,
   상기 적어도 두 개의 필터는 서로 연관되어 있지 않은
   분광방법.
8. 삭제
9. 삭제

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