KR101181534B1 - 비정형 하중조건을 고려한 말뚝지지 전면기초 해석 방법 - Google Patents

비정형 하중조건을 고려한 말뚝지지 전면기초 해석 방법 Download PDF

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Abstract

본 발명의 비정형 하중조건을 고려한 말뚝지지 전면기초 해석 방법은 보-기둥 요소를 이용하여 말뚝이 모델링되고, Mindlin 평판(Plate)요소와 평면(Membrane)응력요소를 결합하여 절점당 6개의 자유도를 갖는 평면쉘(Flat shell)요소를 이용하여 전면기초가 모델링되어 말뚝지지 전면기초가 모델링되는 S1 단계 및 지반 스프링을 이용하여 상기 S1 단계에서 모델링된 말뚝지지 전면기초와 지반 간의 상호작용을 해석하는 S2 단계를 포함한다.
말뚝지지 전면기초 해석 및 설계에 있어서, 해석의 간편성을 유지하면서, 지반과 기초와의 상호작용을 모두 고려하여 실제 상황에 적합한 결과를 도출한다.

Description

비정형 하중조건을 고려한 말뚝지지 전면기초 해석 방법{ANALYSIS METHOD FOR PILED RAFT FOUNDATION CONSIDERING IRREGULAR LOAD CONDITION}
본 발명은 건축 구조물의 기초에 관한 해석 방법에 관한 것이다. 특히 본 발명은 전면기초(Raft)는 6개의 자유도를 갖는 4절점 평면쉘요소, 말뚝은 보-기둥 요소, 지반은 선형 및 비선형이 고려될 수 있도록 지반스프링으로 각각 모델링하여 비정형 하중조건을 고려가능한 말뚝지지 전면기초에 대한 해석방법이다.
건축구조물을 시공하기 위해 지반을 다지는 기초공사를 수행하는데 시공되는 건축구조물의 크기, 하중 등을 고려하여 기초를 마련하게 된다. 이렇게 시공될 건축구조물의 규모 나 종류 등에 따라 기초를 준비하기 위하여, 기초를 해석하기 위한 방법이 연구되어 왔다.
현재 토목 건축기술의 발달과 함께 빌딩의 높이가 점점 높아지고 있는데, 건축구조물의 높이가 높아지면, 연직방향의 하중뿐만 아니라 횡 방향의 힘도 고려해야한다. 왜냐하면 고층 건축물은 바람 등의 영향으로 횡 방향으로 이동하면서 지반에 힘을 가하기 때문이다.
대부분의 기초 설계는 탄성변위법에 의한 해석 및 설계가 수행되는데 비선형 거동을 고려할 수 없어 문제가 되었다.
구조물의 대형화에 따른 기초의 대형화가 불가피한 상황에서 대단면 기초의 항복 이후 극한까지 이르는 비선형 거동을 포함한 설계가 필요하다고 하겠다.
본 발명에 따른 비정형 하중조건을 고려한 말뚝지지 전면기초 해석 방법은 다음과 같은 해결과제를 목적으로 한다.
첫째, 비정형 하중을 고려하여 보다 안정적인 기초를 마련할 수 있는 말뚝지지 전면기초 해석 및 설계를 제공하고자 한다.
둘째, 말뚝지지 전면기초 해석에 있어서, 라프트(Raft)와 지반 상호 작용을 해석하기 위하여 기초판의 침하와 지반 반력간의 관계를 통해 산정되는 지반 스프링을 도입하고자 한다.
셋째, 전면기초 해석에 있어서, 평판요소와 평면요소의 결합을 통해 말뚝지지 전면기초를 모델링하므로, 횡방향 인장, 압축 등을 고려하고자 한다.
넷째, 말뚝을 보-기둥요소로 모델링하여 말뚝두부강성이 변위 또는 회전각에 따라 그 값이 변하는 비선형관계를 고려하고자 한다.
본 발명의 해결과제는 이상에서 언급된 것들에 한정되지 않으며, 언급되지 아니한 다른 해결과제들은 아래의 기재로부터 당업자에게 명확하게 이해되어 질 수 있을 것이다.
상기 과제를 해결하기 위하여, 본 발명의 비정형 하중조건을 고려한 말뚝지지 전면기초 해석 방법은 보-기둥 요소를 이용하여 말뚝이 모델링되고, Mindlin 평판(Plate)요소와 평면(Membrane)응력요소를 결합하여 절점당 6개의 자유도를 갖는 평면쉘(Flat shell)요소를 이용하여 전면기초가 모델링되어 말뚝지지 전면기초가 모델링되는 S1 단계 및 지반 스프링을 이용하여 상기 S1 단계에서 모델링된 말뚝지지 전면기초와 지반 간의 상호작용을 해석하는 S2 단계를 포함하되, S1 단계의 평면쉘요소는 아래의 식으로 표현되는 강성행렬을 갖는 것을 특징으로 한다.
Figure 112010078825522-pat00001
여기서, Ke fs는 평면쉘 강성행렬, Ke p는 Mindlin 평판요소의 강성행렬, Ke m은 평면응력요소의 강성행렬이다.
S1 단계의 말뚝은 상부구조에 의해 회전이 구속된 채 말뚝두부가 수평이동하는 제1 모드, 수평변위가 구속된 채 상부구조물이 회전하는 제2 모드, 말뚝두부의 축방향 이동을 나타내는 제3 모드 및 말뚝두부의 축방향 회전을 나타내는 제4 모드로, 말뚝두부의 변위 및 회전에 대한 거동이 해석되는 것을 특징으로 한다.
S1 단계의 말뚝은 말뚝두부강성이 변위 또는 회전각에 따라 그 값이 변하는 비선형 관계를 해석하기 위하여 증분하중-할선계수법을 적용하는 것을 특징으로 한다.
S1 단계의 증분하중-할선계수법은 총 외부하중을 N단계로 나누어 해석을 수행하는 것으로, i번째 하중단계에서 j번째 반복계산 시 강성((ki)j)은 아래의 식으로 표현되고, i 번째 하중단계에서 △ u j-△ u j -1 < 변형률(ε)을 만족하면 i번째 하중단계의 최종 누적변위(u)i를 산출하고 다음 하중 단계로 넘어가는 과정이 총 N번 반복 수행되는 것을 특징으로 한다.
Figure 112010078825522-pat00002
여기서, (u)i-1은 이전 하중 단계의 최종 누적 변위이고, (u i)j는 현재 i번째 하중 단계에서 j번째 반복계산시의 누적변위, ㅿ u j 는 하중 단계에서 구조해석을 통해 산정된 변위이다.
본 발명에 따른 S1 단계의 평면쉘요소는 아래의 수식과 같이 모든 절점이 한 평면에 있고, 평판요소의 자유도와 평면응력요소의 자유도가 서로 중첩되지 않는 것을 특징으로 한다.
Figure 112010078825522-pat00003

본 발명에 따른 S1 단계의 Mindlin 평판요소에서 변위장은 비적합모드가 추가된 것으로 아래의 식으로 표현되는 것을 특징으로 한다.
Figure 112010078825522-pat00004
여기서, ω는 수직휨 성분,
Figure 112010078825522-pat00005
,
Figure 112010078825522-pat00006
는 회전변위성분, <N>은 기본 형상 함수,
Figure 112010078825522-pat00007
은 비적합모드,
Figure 112010078825522-pat00008
및
Figure 112010078825522-pat00009
는 비적합변위를 나타낸다.
본 발명에 따른 S1 단계의 Mindlin 평판요소에서 변위-변형률 관계는 등매개변수요소의 변위-변형률 관계식에 비적합모드를 추가한 것으로 아래의 식으로 표현되는 것을 특징으로 한다.
Figure 112010078825522-pat00010
여기서, ε은 변형률, Bb는 휨 변형률 행렬, Bs는 전단 변형률 행렬,
Figure 112010078825522-pat00011
및
Figure 112010078825522-pat00012
는 비적합 행렬, u 및
Figure 112010078825522-pat00013
는 변위를 나타낸다.
본 발명에 따른 S1 단계의 Mindlin 평판요소에서 평판요소의 서브강성행렬은 비적합모드 추가에 의해 아래의 식과 같은 관계를 갖는 것을 특징으로 한다.
Figure 112010078825522-pat00014
여기서, K cc, K cn, K nn은 평판요소의 서브(sub) 강성 행렬로서 각각
Figure 112010078825522-pat00015
,
Figure 112010078825522-pat00016
,
Figure 112010078825522-pat00017
로 표현되고, {f 0}은 하중을 나타내는 행렬을 의미한다.
본 발명에 따른 서브강성행렬의 관계를 나타내는 식에서 정적응축으로 비적합변위를 제거하면, 평판요소의 최종 강성행렬(Ke p)이 아래의 식으로 산출되는 것을 특징으로 한다.
Figure 112010078825522-pat00018
본 발명에 따른 S1 단계에서 평면응력요소는 절점당 2개의 직전변위 자유도 및 회전자유도(
Figure 112010078825522-pat00019
)를 갖는 것을 특징으로 한다.
본 발명에 따른 S1 단계에서 평면응력요소에서 변위장은 회전 자유도 함수 및 비적합 모드가 추가된 것으로 아래의 식으로 표현되는 것을 특징으로 한다.
Figure 112010078825522-pat00020
여기서, u 및 v는 직선변위자유도성분,
Figure 112010078825522-pat00021
는 회전자유도 성분, <N>은 기본 형상 함수, <C> 및 <S>는 회전형상함수,
Figure 112010078825522-pat00022
,
Figure 112010078825522-pat00023
,
Figure 112010078825522-pat00024
는 비적합 모드, {
Figure 112010078825522-pat00025
}, {
Figure 112010078825522-pat00026
}, {
Figure 112010078825522-pat00027
}는 비적합변위이다.
본 발명에 따른 변위장에서 하중-변위 방정식은 아래의 혼합형태 식으로 표현되는 것을 특징으로 한다.
Figure 112010078825522-pat00028
여기서,
Figure 112010078825522-pat00029
인 관계를 갖고,
Figure 112010078825522-pat00030
의 부분행렬은
Figure 112010078825522-pat00031
,
Figure 112010078825522-pat00032
및
Figure 112010078825522-pat00033
로 표현되고,
Figure 112010078825522-pat00034
로 표현되며, 이때 [B],[G],[b],[g]는 적합변위와 변형률 사이의 관계를 나타는 행렬이고, [
Figure 112010078825522-pat00035
],[
Figure 112010078825522-pat00036
],[
Figure 112010078825522-pat00037
],[
Figure 112010078825522-pat00038
]는 비적합변위와 변형률 사이의 관계를 나타내는 행렬이고,
Figure 112010078825522-pat00039
는 전단계수로서
Figure 112010078825522-pat00040
로 표현되고, τ0는 응력이다.
본 발명에 따른 상기 혼합형태 식에서 비적합변위 {
Figure 112010078825522-pat00041
}, {
Figure 112010078825522-pat00042
}, {
Figure 112010078825522-pat00043
} 및 응력(τ0)을 정적 응축하여 아래의 식으로 표현되는 평면응력 요소의 최종 강성행렬(Ke m)을 산출하는 것을 특징으로 한다.
Figure 112010078825522-pat00044
본 발명에 따른 S2 단계에서 말뚝지지 전면기초와 지반 간의 상호작용을 해석하는 방법은 증분하중-할선계수법인 것을 특징으로 하는 비정형 하중조건을 고려한 말뚝지지 전면기초 해석 방법.
본 발명에 따른 증분하중-할선계수법은 총 외부하중을 N단계로 나누어 해석을 수행하는 것으로, i번째 하중단계에서 j번째 반복계산 시 강성((ki)j)은 아래의 식으로 표현되고, i 번째 하중단계에서 △ u j-△ u j -1 < 변형률(ε)을 만족하면 i번째 하중단계의 최종 누적변위(u)i를 산출하고 다음 하중 단계로 넘어가는 과정이 총 N번 반복 수행되는 것을 특징으로 한다.
Figure 112010078825522-pat00045
여기서, (u)i-1은 이전 하중 단계의 최종 누적 변위이고, (u i)j는 현재 i번째 하중 단계에서 j번째 반복계산시의 누적변위, ㅿ u j 는 하중 단계에서 구조해석을 통해 산정된 변위이다.
본 발명에 따른 비정형 하중조건을 고려한 말뚝지지 전면기초 해석 방법을 이용하여 건축구조물의 말뚝지지 전면기초를 설계하기 위한 말뚝지지 전면기초 설계방법을 과제 해결 수단으로 한다.
본 발명에 따른 비정형 하중조건을 고려한 말뚝지지 전면기초 해석 방법을 컴퓨터에서 실행시키기 위한 프로그램을 기록한 컴퓨터로 읽을 수 있는 기록매체를 과제 해결 수단으로 한다.
본 발명에 따른 비정형 하중조건을 고려한 말뚝지지 전면기초 해석 방법은 다음과 같은 효과를 나타낸다.
첫째, 말뚝지지 전면기초 해석 및 설계에 있어서, 해석의 간편성을 유지하면서, 지반과 기초와의 상호작용을 모두 고려하여 실제 상황에 적합한 결과를 도출한다.
둘째, 라프트와 지반과의 상호작용을 해석하기 위한 지반 스프링을 도입하여, 선형 및 비선형 지반 강성을 고려한 토목구조물의 해석이 가능하다.
셋째, 본 발명의 해석기법을 통해 말뚝지지 전면기초의 설계 능력을 향상시키고 공기를 절감하게 된다.
넷째, 말뚝지지 전면기초 해석에 있어서, 특히 초고층 건물의 경우 횡 방향 거동분석이 중요하기 때문에, 면내 인장, 압축 변위 등을 고려하여 정확한 거동분석이 제공된다.
본 발명의 효과는 이상에서 언급된 것들에 한정되지 않으며, 언급되지 아니한 다른 효과들은 아래의 기재로부터 당업자에게 명확하게 이해되어 질 수 있을 것이다.
도 1은 본 발명에 따른 말뚝지지 전면기초의 3차원 모델링 요소를 도시한 구성도이다.
도 2는 본 발명에 따른 비정형 하중조건을 고려한 말뚝지지 전면기초 해석 방법의 순서도이다.
도 3은 말뚝두부의 하중-변위 관계를 나타내는 모드로서, 도 3(a)는 제 1모드를 나타내는 그래프이고, 도 3(b)는 제2 모드를 나타내는 그래프이고, 도 3(c)는 제3 모드를 나타내는 그래프이며, 도 3(d)는 제4 모드를 나타내는 그래프이다.
도 4(a)는 증분하중-할선계수법의 개념을 도시한 그래프이고, 도 4(b)는 증분하중-할선계수법을 적용한 말뚝두부강성 산정방법 개념을 도시한 것으로, 하중 증분인 경우를 도시한 그래프이다.
도 5는 본 발명에 따른 평판요소와 평면응력요소가 결합한 평면쉘요소를 도시한 관계식이다.
도 6는 본 발명의 증분하중-할선계수법을 적용한 지반 강성 산정방법 개념을 도시한 그래프이다.
도 7은 본 발명에 따른 말뚝지지 전면기초 해석방법에 대한 구체적인 순서도이다.
이하에서는 도면을 참조하면서 비정형 하중조건을 고려한 말뚝지지 전면기초 해석 방법에 관하여 구체적으로 설명하겠다.
말뚝지지 전면기초(Piled raft)의 거동은 개개 말뚝과 라프트 간의 결합조건과 말뚝배열에 따른 다양한 그룹효과 등으로 인하여 단독말뚝과는 전혀 다른 복잡한 형태를 나타낸다.
이러한 말뚝지지 전면기초의 복잡한 거동특성은 단독말뚝에서의 비선형 말뚝-지반 상호작용 뿐만 아니라, 말뚝지지 전면기초 내의 그룹효과와 말뚝-라프트 상호작용 등을 모두 고려할 수 있는 해석기법을 통해서만 그 거동예측이 가능하다.
도 1은 본 발명에 따른 말뚝지지 전면기초의 3차원 모델링 요소를 도시한 구성도이다. 도 1에 표기된 V는 연직하중, H는 수평하중, M은 모멘트를 나타내고, D.L은 분포하중을 의미한다.
본 발명은 도 1과 같이 말뚝지지 전면기초의 해석을 위해서 각각의 요소를 적합한 모델을 사용하여 모델링 하였다. 본 해석기법에서는 말뚝을 보-기둥 요소(beam-column element)로, 지반을 비선형의 하중전이곡선(load-transfer curves)으로 모델링하였으며, 말뚝-지반-말뚝의 상호작용은 횡방향 하중전이 곡선에서 감소계수(p-multiplier)를 적용하여 고려하였다. 전면기초는 절점당 6개의 자유도를 갖는 4절점 평면쉘(Flat shell)요소로 모델링하였다.
도 2는 본 발명에 따른 비정형 하중조건을 고려한 말뚝지지 전면기초 해석 방법의 순서도이다.
본 발명에 따른 비정형 하중조건을 고려한 말뚝지지 전면기초 해석 방법은 보-기둥 요소를 이용하여 말뚝이 모델링되고, Mindlin 평판(Plate)요소와 평면(Membrane)응력요소를 결합하여 절점당 6개의 자유도를 갖는 평면쉘(Flat shell)요소를 이용하여 전면기초가 모델링되어 말뚝지지 전면기초가 모델링되는 S1 단계 및 지반 스프링을 이용하여 상기 S1 단계에서 모델링된 말뚝지지 전면기초와 지반 간의 상호작용을 해석하는 S2 단계를 포함한다.
이때 S1 단계의 평면쉘요소는 아래의 수학식 1로 표현되는 강성행렬을 갖는 것을 특징으로 한다.
Figure 112010078825522-pat00046
여기서, Ke fs는 평면쉘 강성행렬, Ke p는 Mindlin 평판요소의 강성행렬, Ke m은 평면응력요소의 강성행렬이다.
도 3은 말뚝두부의 하중-변위 관계를 나타내는 모드로서, 도 3(a)는 제 1모드를 나타내는 그래프이고, 도 3(b)는 제2 모드를 나타내는 그래프이고, 도 3(c)는 제3 모드를 나타내는 그래프이며, 도 3(d)는 제4 모드를 나타내는 그래프이다.
S1 단계의 말뚝에서 말뚝두부의 변위 및 회전에 관하여 도 3에 도시된 바와 같이 4가지 주요 모드가 제안되었고, 이를 통해 단독말뚝의 3차원 거동을 표현할 수 있다. S1 단계의 말뚝은 상부구조에 의해 회전이 구속된 채 말뚝두부가 수평이동하는 제1 모드, 수평변위가 구속된 채 상부구조물이 회전하는 제2 모드, 말뚝두부의 축방향 이동을 나타내는 제3 모드 및 말뚝두부의 축방향 회전을 나타내는 제4 모드로, 말뚝두부의 변위 및 회전에 대한 거동이 해석될 수 있다.
본 발명에서는 단독말뚝을 보-기둥 요소로 모델링하여 제1 모드와 제2 모드의 하중-변위 관계는 횡하중을 받는 단독말뚝 해석방법을 통하여 산정하였고, 제3 모드의 하중-변위 관계는 축하중을 받는 단독말뚝 해석방법을 통하여 산정하며, 제4모드는 고려하지 않았다.
이 모든 관계곡선은 일반적으로 도 3에 나타낸 바와 같이 비선형 형태를 나타낸다. 따라서 본 발명에서는 하중-변위관계 곡선의 기울기를 나타내는 말뚝두부강성(c1 ~ c6)이 변위 또는 회전각에 따라 그 값이 변하는 비선형 관계에 있으므로, 비선형 해석기법을 고려하였다.
도 4(a)는 증분하중-할선계수법의 개념을 도시한 그래프이고, 도 4(b)는 증분하중-할선계수법을 적용한 말뚝두부강성 산정방법 개념을 도시한 것으로, 하중 증분인 경우를 도시한 그래프이다.
말뚝두부의 비선형 하중-변위관계를 고려하는 방법으로 본 해석기법에서는 도 4와 같이 각 하중단계에서 반복계산법중의 하나인 할선계수법(secant modulus method)을 적용하였다. 이러한 증분하중-할선계수법을 적용할 경우 도 4(a)에 나타난 바와 같이 하중 P2에 대한 변위가 u2에서 곡선 위의 점인 u'2로 이동하여 실제에 근접한 변위가 산정되게 된다.
S1 단계의 말뚝은 말뚝두부강성이 변위 또는 회전각에 따라 그 값이 변하는 비선형 관계를 해석하기 위하여 증분하중-할선계수법을 적용하는 것이 바람직하다.
각 말뚝마다 도 4(b)와 같은 하중-변위 곡선이 총 10개(축방향 1개, 횡방향 8개, 비틀림방향 1개) 산정되는데, 도 4(b)는 그 중의 하나에서 i번째 하중 증분일 때의 경우를 나타낸 것이다.
도 4(b)에 도시된 바와 같이, 증분하중-할선계수법은 총 외부하중을 N단계로 나누어 해석을 수행하는 것으로, i번째 하중단계에서 j번째 반복계산 시 강성((ki)j)은 아래의 식으로 표현되고, i 번째 하중단계에서 △ u j-△ u j -1 < 변형률(ε)을 만족하면 i번째 하중단계의 최종 누적변위(u)i를 산출하고 다음 하중 단계로 넘어가는 과정이 총 N번 반복 수행되는 것을 특징으로 한다.
증분하중-할선계수법에서는 총 외부하중을 N단계로 나누어 해석을 수행한다. i번째 하중단계에서 j번째 반복계산 시 강성은 (ki)j로 표기한다. 각 하중단계에서 축방향강성을 산정할 때, 아래의 수학식 2와 같이 j=1인 경우는 접선기울기를, j≥2인 경우에는 할선계수를 사용한다.
Figure 112010078825522-pat00047
여기서, (u)i-1은 이전 하중단계에서의 최종 누적변위이며 (ui)j은 현재 i번째 하중단계에서 j번째 반복계산시의 누적변위이다. 각 하중단계에서 구조해석을 통해 산정된 변위는 ㅿ u j 이며 이를 통해 누적변위 (ui)j를 산정한다. i번째 하중단계에서 △u j-△ u j -1 < 변형률(ε)을 만족하면 i번째 하중단계의 최종 누적변위 (u)i를 산정하고 다음 하중 단계로 넘어가며 이와 같은 과정을 총 N번 반복한다. 수치해석시 접선기울기 <df (u)/ du >및 하중 <f(u)>는 cublic spline기법을 이용하여 산정하였다.
개개 말뚝별로 상기 비선형 해석기법을 통해 산정된 각 하중단계와 각 반복단계(iteration)에서의 말뚝두부강성(c1 ~ c6)은 선형이라는 가정 하에 중첩의 원리가 적용될 수 있다. 말뚝두부의 제1 모드에서 제4 모드까지 각각의 거동에 관한 하중-변위 관계를 연립하여 행렬식의 형태로 나타내면 아래의 수학식 3과 같으며, 간단하게는 아래의 수학식 4와 같이 나타낼 수 있다.
Figure 112010078825522-pat00048
Figure 112010078825522-pat00049
여기서, Si는 말뚝두부 강성행렬이며, δi는 말뚝두부의 변위(또는 회전각), 그리고 는 말뚝두부의 하중(또는 모멘트)을 나타낸다. 말뚝두부 강성행렬 내의 각 요소인 c1 ~ c6은 각 하중단계와 각 iteration에서 변하게 된다. 개개 말뚝은 하나의 거동을 나타낼 수 있는 보요소로서 기능을 수행한다.
따라서 상기 수학식 3의 말뚝두부 절점에서의 평형방정식은 절점 1과 2로 이루어진 보요소의 평형방정식으로 확장되었으며, 이를 통하여 상부구조 해석 시 말뚝의 거동을 나타낸다.
도 5는 본 발명에 따른 평판요소와 평면응력요소가 결합한 평면쉘요소를 도시한 관계식이다.
도 5와 같이 평판(Plate)요소와 평면응력(Membrane)요소를 결합하여 절점당 6개의 자유도를 갖는 평면쉘요소를 이용하여 라프트 기초를 모델링하였다. 일반적으로 평면쉘요소는 절점당 5개의 자유도를 가지나, 본 발명에서는 평면응력요소에서 회전자유도를 포함한 평면응력요소를 결합하여 절점당 6개의 자유도를 갖는 평면쉘요소를 적용하였다. 평면쉘요소 개발을 위한 평판요소로 Mindlin 평판요소를 사용하였는데, 이는 휨 변형 외에 전단변형까지 고려하는 요소로 평판의 두께가 두꺼운 평판에 적합한 요소이다.
평면쉘요소는 도 5에서 도시된 바와 같이 모든 절점이 한 평면에 있으며 평판요소의 자유도와 평면응력요소의 자유도가 서로 중첩되지 않고 구분되어 있다. 따라서 평면쉘의 강성행렬( Ke fs)은 상기 수학식 1과 같이 평판요소의 강성행렬(Ke p)과 평면응력요소의 강성행렬(Ke m)의 독립적인 결합에 의해서 구성된다.
도 1은 본 발명에 따라 절점당 6개의 자유도를 갖는 4절점 평면쉘 요소를 이용한 라프트(Raft) 기초의 3차원 모델링 일 예이다. 도 1에 표기된 V는 연직하중, H는 수평하중, M은 모멘트를 나타내고, D.L은 분포하중을 의미한다.
본 발명에 따른 비정형 하중조건을 고려한 말뚝지지 전면기초 해석 방법은 도 1과 같이 라프트(Raft) 기초의 해석을 위해서 평판(Plate) 요소와 평면응력(Membrane)요소의 결합을 통해 절점당 6개의 자유도를 갖는 4절점 평면쉘(Flat shell)요소를 이용하여 라프트 기초를 모델링하였다. 상부구조물에서 전해지는 정형하중조건 뿐만 아니라, 비정형 하중조건을 고려할 수 있도록 개발하였으며, 라프트와 지반 간의 상호작용을 해석하기 위하여 기초판의 침하와 지반반력간의 관계를 통해 산정되는 지반 스프링을 도입하였다. 이를 통해 선형, 비선형 지반강성을 고려한 토목구조물의 해석을 가능하도록 하였다.
결국 S1 단계의 평면쉘요소는 도5 에 도시된 바와 같이 모든 절점이 한 평면에 있고, 평판요소의 자유도와 평면응력요소의 자유도가 서로 중첩되지 않는 것을 특징으로 한다.
일반적인 Mindlin 평판요소는 평판의 두께가 두꺼운 "Deep Plate"에 적합하며, 두께가 얇아질 경우 전단강성이 과대평가되어 전단 잠김(Shear locking) 현상이 발생할 수 있다. 이를 해결하기 위하여 본 발명에서는 선택적 감차적분(Selectively reduced integration), 대체변형률장(Substitute strain field)의 이용, 비적합변위모드형(Non-conforming displacement mode)의 추가 등의 세 가지 기법이 혼용된 4절점 평판요소를 적용하였다.
평판요소의 변위장은 등매개변수(isoparametric) 4절점 요소 변위장에 요소의 휨거동을 개선하기 위하여 회전변위성분에 두개의 비적합모드(
Figure 112010078825522-pat00050
)를 추가하였다. 변위장은 아래의 수학식 5로 표현된다.
Figure 112010078825522-pat00051
여기서, ω는 수직휨 성분,
Figure 112010078825522-pat00052
및
Figure 112010078825522-pat00053
는 회전변위성분, <N>은 기본 형상 함수,
Figure 112010078825522-pat00054
은 비적합모드,
Figure 112010078825522-pat00055
및
Figure 112010078825522-pat00056
는 비적합변위를 나타낸다. 변위장은 수직휨 성분(ω), 회전 변위 성분 요소(
Figure 112010078825522-pat00057
및
Figure 112010078825522-pat00058
)로 정의된다.
변위-변형률 관계는 등매개변수요소의 변위-변형률 관계식에 비적합모드의 추가에 의하여 비적합변위와 변형률의 관계를 나타내는
Figure 112010078825522-pat00059
,
Figure 112010078825522-pat00060
가 추가되게 된다. 변위-변형률 관계 행렬을 부분행렬로 나누어 간단히 표기하면 아래의 수학식 6과 같다.
Figure 112010078825522-pat00061
S1 단계의 Mindlin 평판요소에서 변위-변형률 관계는 등매개변수요소의 변위-변형률 관계식에 비적합모드를 추가한 것으로 상기 수학식 3식으로 표현된다. 여기서, ε은 변형률, Bb는 휨 변형률 행렬, Bs는 전단 변형률 행렬,
Figure 112010078825522-pat00062
및
Figure 112010078825522-pat00063
는 비적합 행렬, u 및
Figure 112010078825522-pat00064
는 변위를 나타낸다.
S1 단계의 Mindlin 평판요소에서 평판요소의 서브강성행렬은 비적합모드 추가에 의해 아래의 수학식 7과 같은 관계를 갖는다.
Figure 112010078825522-pat00065
여기서, K cc, K cn, K nn은 평판요소의 서브(sub) 강성 행렬로서 각각 아래의 수학식 8로 표현된다. {f 0}은 하중과 관련된 행렬을 의미한다.
Figure 112010078825522-pat00066
Figure 112010078825522-pat00067
Figure 112010078825522-pat00068

Db는 재료성질 행렬(isotropic material constitutive matrix)이다.
상기 수학식 8에서 정적응축으로 비적합변위를 제거하면, 평판요소의 최종 강성행렬(Ke p)이 아래의 수학식 9로 산출된다.
Figure 112010078825522-pat00069
여기서, -1은 역행렬을 의미하고, T는 전치행렬을 의미한다.
일반적인 평면응력(Membrane)요소는 절점당 2개의 직선변위자유도(x, y)를 갖지만 여기에 회전자유도(
Figure 112010078825522-pat00070
)를 추가하면 요소의 거동이 크게 향상될 뿐 아니라, 평판요소와 결합되었을 때 절점당 총 6개의 자유도를 가지므로 보(Beam)요소와 같이 회전자유도가 있는 요소와의 결합이 용이하다. 평면응력요소의 변위장은 4절점요소의 기본형상함수 <N> 과 Allman의 회전자유도 관련 형상함수 <C>,<S> 와 이에 각각 추가된 비적합모드 <
Figure 112010078825522-pat00071
>,<
Figure 112010078825522-pat00072
>,<
Figure 112010078825522-pat00073
>에 의하여 구성된다.
S1 단계에서 평면응력요소에서 변위장은 회전 자유도 함수 및 비적합 모드가 추가된 것으로 아래의 수학식 10으로 표현된다.
Figure 112010078825522-pat00074
여기서, u 및 v는 직선변위자유도성분이고,
Figure 112010078825522-pat00075
는 회전자유도 성분, <N>은 기본 형상 함수, <C> 및 <S>는 회전형상함수,
Figure 112010078825522-pat00076
,
Figure 112010078825522-pat00077
,
Figure 112010078825522-pat00078
는 비적합 모드, {
Figure 112010078825522-pat00079
}, {
Figure 112010078825522-pat00080
}, {
Figure 112010078825522-pat00081
}는 비적합변위를 나타낸다. 평면응력요소의 변위장은 직선변위자유도성분(u 및 v) 및 회전자유도 성분(
Figure 112010078825522-pat00082
)으로 정의된다.
평면응력요소의 변위장에서 하중-변위 방정식은 아래의 혼합형태(mixed formulation) 형태 수학식 11로 표현된다.
Figure 112010078825522-pat00083
여기서 h는 아래의 수학식 12와 같이 표현되고, γ는 전단계수로서 아래의 수학식 13과 같이 표현된다. 또한 τ0는 응력을 나타낸다.
Figure 112010078825522-pat00084
Figure 112010078825522-pat00085
여기서, E는 탄성계수를 말하고, υ는 포아송비를 의미한다.
또한 상기 수학식 11의
Figure 112010078825522-pat00086
는 아래의 수학식 14와 같은 관계를 갖고
Figure 112010078825522-pat00087
의 부분 행렬은 각각 수학식 15와 같이 표현된다.
Figure 112010078825522-pat00088
Figure 112010078825522-pat00089
Figure 112010078825522-pat00090
Figure 112010078825522-pat00091
이때 [B],[G],[b],[g]는 적합변위와 변형률 사이의 관계를 나타는 행렬이고, [
Figure 112010078825522-pat00092
],[
Figure 112010078825522-pat00093
],[
Figure 112010078825522-pat00094
],[
Figure 112010078825522-pat00095
]는 비적합변위와 변형률 사이의 관계를 나타내는 행렬이다.
상기 수학식 11에서 비적합변위 {
Figure 112010078825522-pat00096
}, {
Figure 112010078825522-pat00097
}, {
Figure 112010078825522-pat00098
} 및 응력(τ0)을 정적 응축하여 아래의 수학식 16으로 표현되는 평면응력 요소의 최종 강성행렬(Ke m)을 산출할 수 있다.
Figure 112010078825522-pat00099
본 발명에서는 라프트와 지반의 상호작용을 해석하기 위하여 비선형 하중-변위관계를 고려하는 방법으로 도 4(a)와 같이 각 하중단계에서 반복계산법중의 하나인 할선계수법(secant modulus method)을 적용하였다. 이러한 증분하중-할선계수법을 적용할 경우, 도 4(a)에 나타난 바와 같이 하중 P2에 대한 변위가 u2에서 곡선 위의 점인 u'2로 이동하여 실제에 근접한 변위가 산정되게 된다.
도 6은 본 발명의 증분하중-할선계수법을 적용한 지반 강성 산정방법 개념을 도시한 그래프이다. 본 해석기법에서 증분하중-할선계수법을 적용하는 과정은 다음과 같다. 도 6에 도시된 바와 같이 하중-변위 곡선이 총 10개(축방향 1개, 횡방향 8개, 비틀림방향 1개) 산정되는데, 도 6은 그 중의 하나에서 i번째 하중 증분일 때의 경우를 나타낸 것이다.
본 발명에 따른 S2 단계에서 말뚝지지 전면기초와 지반 간의 상호작용을 해석하는 방법은 증분하중-할선계수법인 것을 특징으로 한다.
증분하중-할선계수법에서는 총 외부하중을 N단계로 나누어 해석을 수행한다. i번째 하중단계에서 j번째 반복계산 시 강성은 (ki)j로 표기한다. 각 하중단계에서 축방향강성을 산정할 때, 아래의 수학식 17과 같이 j=1인 경우는 접선기울기를, j≥2인 경우에는 할선계수를 사용한다.
Figure 112010078825522-pat00100
여기서, (u)i-1은 이전 하중단계에서의 최종 누적변위이며 (ui)j은 현재 i번째 하중단계에서 j번째 반복계산시의 누적변위이다. 각 하중단계에서 구조해석을 통해 산정된 변위는 ㅿ u j 이며 이를 통해 누적변위 (ui)j를 산정한다. i번째 하중단계에서 △u j-△ u j -1 < 변형률(ε)을 만족하면 i번째 하중단계의 최종 누적변위 (u)i를 산정하고 다음 하중 단계로 넘어가며 이와 같은 과정을 총 N번 반복한다. 수치해석시 접선기울기 <df (u)/ du >및 하중 <f(u)>는 cublic spline기법을 이용하여 산정하였다.
도 7은 본 발명에 따른 말뚝지지 전면기초 해석방법에 대한 구체적인 순서도이다.
이미 전술한 내용과 중복되는 부분은 생략하고, 중요한 구성에 대해서만 간략하게 설명하고자 한다. (i) 먼저 구조물의 전체적인 형상(사이즈, 말뚝배열, 말뚝간격, 기둥 혹은 교각위치 등), 말뚝, 라프트, 지반의 물성치 및 하중 종류, 하중크기가 입력된다. (ii) 각 말뚝별로 도 3과 같이, 축방향 및 횡방향 Beam-column(보-기둥)해석을 통하여 하중-변위곡선을 산정한다. (iii) 평면쉘로 모델링 한 raft와 추가적으로 모델링이 가능한 보(기둥 혹은 교각)의 강성행렬을 구성한다. (iv) 입력한 하중에 대하여 도 4와 같이, 접선-할선계수법을 이용하여 각 말뚝의 두부강성(수학식 3)을 산정한다. (v) 말뚝의 두부강성과 앞서 구성한 평면쉘 및 보의 강성행렬을 조합하고 반복계산을 통하여 입력한 하중에 대한 최종변위를 산정한다. (vi) 변위가 허용기준치(0.0001mm)에 수렴하면 평면쉘의 변위 및 응력과 말뚝의 깊이별 변위, 휨모멘트, 전단력을 출력한다.
본 발명은 말뚝지지 전면기초에 대한 해석 방법에 관한 것이고, 이를 이용하면 말뚝지지 전면기초 설계를 수행할 수 있다. 따라서, 이를 본 발명에 따른 비정형 하중조건을 고려한 말뚝지지 전면기초 해석 방법을 이용한 말뚝지지 전면기초 설계 방법도 본 발명의 일 실시예라고 하겠다.
나아가 전술한 비정형 하중조건을 고려한 말뚝지지 전면기초 해석 방법을 컴퓨터 프로그램으로 작성하여 이용할 수 있다. 따라서 본 발명의 또 다른 실시예로서 전술한 비정형 하중조건을 고려한 말뚝지지 전면기초 해석 방법을 컴퓨터에서 실행시키기 위한 프로그램을 기록한 컴퓨터로 읽을 수 있는 기록매체가 제공될 수 있다.
본 실시예 및 본 명세서에 첨부된 도면은 본 발명에 포함되는 기술적 사상의 일부를 명확하게 나타내고 있는 것에 불과하며, 본 발명의 명세서 및 도면에 포함된 기술적 사상의 범위 내에서 당업자가 용이하게 유추할 수 있는 변형 예와 구체적인 실시예는 모두 본 발명의 권리범위에 포함되는 것이 자명하다고 할 것이다.

Claims (17)

  1. 컴퓨터에 의해 각 단계가 수행되는 말뚝지지 전면기초 해석 방법에 있어서,
    보-기둥 요소를 이용하여 말뚝이 모델링되고,
    Mindlin 평판(Plate)요소와 평면(Membrane)응력요소를 결합하여 절점당 6개의 자유도를 갖는 평면쉘(Flat shell)요소를 이용하여 전면기초가 모델링되어 말뚝지지 전면기초가 모델링되는 S1 단계; 및
    지반 스프링을 이용하여 상기 S1 단계에서 모델링된 말뚝지지 전면기초와 지반 간의 상호작용을 해석하는 S2 단계를 포함하되,
    상기 S1 단계의 평면쉘요소는 아래의 식으로 표현되는 강성행렬을 갖는 것을 특징으로 하며,
    Figure 112012040078972-pat00101

    (여기서, Ke fs는 평면쉘 강성행렬, Ke p는 Mindlin 평판요소의 강성행렬, Ke m은 평면응력요소의 강성행렬임.)
    상기 S2 단계에서 말뚝지지 전면기초와 지반 간의 상호작용을 해석하는 방법은 증분하중-할선계수법인 것을 특징으로 하되,
    상기 증분하중-할선계수법은 총 외부하중을 N단계로 나누어 해석을 수행하는 것으로, i번째 하중단계에서 j번째 반복계산 시 강성((ki)j)은 아래의 식으로 표현되고, i 번째 하중단계에서 △u j-△u j-1 < 변형률(ε)을 만족하면 i번째 하중단계의 최종 누적변위(u)i를 산출하고 다음 하중 단계로 넘어가는 과정이 총 N번 반복 수행되는 것을 특징으로 하는 비정형 하중조건을 고려한 말뚝지지 전면기초 해석 방법.
    Figure 112012040078972-pat00153

    (여기서, (u)i-1은 이전 하중 단계의 최종 누적 변위이고, (u i)j는 현재 i번째 하중 단계에서 j번째 반복계산시의 누적변위, ㅿuj 는 하중 단계에서 구조해석을 통해 산정된 변위임.)
  2. 제1항에 있어서,
    상기 S1 단계의 말뚝은 상부구조에 의해 회전이 구속된 채 말뚝두부가 수평이동하는 제1 모드, 수평변위가 구속된 채 상부구조물이 회전하는 제2 모드, 말뚝두부의 축방향 이동을 나타내는 제3 모드 및 말뚝두부의 축방향 회전을 나타내는 제4 모드로, 말뚝두부의 변위 및 회전에 대한 거동이 해석되는 것을 특징으로 하는 비정형 하중조건을 고려한 말뚝지지 전면기초 해석 방법.
  3. 제1항에 있어서,
    상기 S1 단계의 말뚝은 말뚝두부강성이 변위 또는 회전각에 따라 그 값이 변하는 비선형 관계를 해석하기 위하여 증분하중-할선계수법을 적용하는 것을 특징으로 하는 비정형 하중조건을 고려한 말뚝지지 전면기초 해석 방법.
  4. 제3항에 있어서,
    상기 증분하중-할선계수법은 총 외부하중을 N단계로 나누어 해석을 수행하는 것으로, i번째 하중단계에서 j번째 반복계산 시 강성((ki)j)은 아래의 식으로 표현되고, i 번째 하중단계에서 △ u j-△ u j -1 < 변형률(ε)을 만족하면 i번째 하중단계의 최종 누적변위(u)i를 산출하고 다음 하중 단계로 넘어가는 과정이 총 N번 반복 수행되는 것을 특징으로 하는 비정형 하중조건을 고려한 말뚝지지 전면기초 해석 방법.
    Figure 112010078825522-pat00102

    (여기서, (u)i-1은 이전 하중 단계의 최종 누적 변위이고, (u i)j는 현재 i번째 하중 단계에서 j번째 반복계산시의 누적변위, ㅿ u j 는 하중 단계에서 구조해석을 통해 산정된 변위임.)
  5. 제1항에 있어서,
    상기 S1 단계의 평면쉘요소는 아래의 수식과 같이 모든 절점이 한 평면에 있고, 평판요소의 자유도와 평면응력요소의 자유도가 서로 중첩되지 않는 것을 특징으로 하는 비정형 하중조건을 고려한 말뚝지지 전면기초 해석 방법.
    Figure 112010078825522-pat00103
  6. 제1항에 있어서,
    상기 S1 단계의 Mindlin 평판요소에서 변위장은 비적합모드가 추가된 것으로 아래의 식으로 표현되는 것을 특징으로 하는 비정형 하중조건을 고려한 말뚝지지 전면기초 해석 방법.
    Figure 112010078825522-pat00104

    (여기서, ω는 수직휨 성분,
    Figure 112010078825522-pat00105
    ,
    Figure 112010078825522-pat00106
    는 회전변위성분, <N>은 기본 형상 함수,
    Figure 112010078825522-pat00107
    은 비적합모드,
    Figure 112010078825522-pat00108
    및
    Figure 112010078825522-pat00109
    는 비적합변위를 나타냄.)
  7. 제1항에 있어서,
    상기 S1 단계의 Mindlin 평판요소에서 변위-변형률 관계는 등매개변수요소의 변위-변형률 관계식에 비적합모드를 추가한 것으로 아래의 식으로 표현되는 것을 특징으로 하는 비정형 하중조건을 고려한 말뚝지지 전면기초 해석 방법.
    Figure 112010078825522-pat00110

    (여기서, ε은 변형률, Bb는 휨 변형률 행렬, Bs는 전단 변형률 행렬,
    Figure 112010078825522-pat00111
    및
    Figure 112010078825522-pat00112
    는 비적합 행렬, u 및
    Figure 112010078825522-pat00113
    는 변위를 나타냄.)
  8. 제7항에 있어서,
    상기 S1 단계의 Mindlin 평판요소에서 평판요소의 서브강성행렬은 비적합모드 추가에 의해 아래의 식과 같은 관계를 갖는 것을 특징으로 하는 비정형 하중조건을 고려한 말뚝지지 전면기초 해석 방법.
    Figure 112010078825522-pat00114

    (여기서, K cc, K cn, K nn은 평판요소의 서브(sub) 강성 행렬로서 각각
    Figure 112010078825522-pat00115
    ,
    Figure 112010078825522-pat00116
    ,
    Figure 112010078825522-pat00117
    로 표현되고, {f 0}은 하중을 나타내는 행렬을 의미함.)
  9. 제8항에 있어서,
    상기 서브강성행렬의 관계를 나타내는 식에서 정적응축으로 비적합변위를 제거하면, 평판요소의 최종 강성행렬(Ke p)이 아래의 식으로 산출되는 것을 특징으로 하는 비정형 하중조건을 고려한 말뚝지지 전면기초 해석 방법.
    Figure 112010078825522-pat00118
  10. 제1항에 있어서,
    상기 S1 단계에서 평면응력요소는 절점당 2개의 직전변위 자유도 및 회전자유도(
    Figure 112010078825522-pat00119
    )를 갖는 것을 특징으로 하는 비정형 하중조건을 고려한 말뚝지지 전면기초 해석 방법.
  11. 제1항에 있어서,
    상기 S1 단계에서 평면응력요소에서 변위장은 회전 자유도 함수 및 비적합 모드가 추가된 것으로 아래의 식으로 표현되는 것을 특징으로 하는 비정형 하중조건을 고려한 말뚝지지 전면기초 해석 방법.
    Figure 112010078825522-pat00120

    (여기서, u 및 v는 직선변위자유도성분,
    Figure 112010078825522-pat00121
    는 회전자유도 성분, <N>은 기본 형상 함수, <C> 및 <S>는 회전형상함수,
    Figure 112010078825522-pat00122
    ,
    Figure 112010078825522-pat00123
    ,
    Figure 112010078825522-pat00124
    는 비적합 모드, {
    Figure 112010078825522-pat00125
    }, {
    Figure 112010078825522-pat00126
    }, {
    Figure 112010078825522-pat00127
    }는 비적합변위)
  12. 제11항에 있어서,
    상기 변위장에서 하중-변위 방정식은 아래의 혼합형태 식으로 표현되는 것을 특징으로 하는 비정형 하중조건을 고려한 말뚝지지 전면기초 해석 방법.
    Figure 112012040078972-pat00128

    (여기서,
    Figure 112012040078972-pat00129
    인 관계를 갖고,
    Figure 112012040078972-pat00130
    의 부분행렬은
    Figure 112012040078972-pat00131
    ,
    Figure 112012040078972-pat00132
    및
    Figure 112012040078972-pat00133
    로 표현되고,
    Figure 112012040078972-pat00134
    로 표현되며, 이때 [B],[G],[b],[g]는 적합변위와 변형률 사이의 관계를 나타는 행렬이고, [
    Figure 112012040078972-pat00135
    ],[
    Figure 112012040078972-pat00136
    ],[
    Figure 112012040078972-pat00137
    ],[
    Figure 112012040078972-pat00138
    ]는 비적합변위와 변형률 사이의 관계를 나타내는 행렬이고,
    Figure 112012040078972-pat00139
    는 전단계수로서
    Figure 112012040078972-pat00140
    로 표현되고, τ0는 응력임)
  13. 제12항에 있어서,
    상기 혼합형태 식에서 비적합변위 {
    Figure 112010078825522-pat00141
    }, {
    Figure 112010078825522-pat00142
    }, {
    Figure 112010078825522-pat00143
    } 및 응력(τ0)을 정적 응축하여 아래의 식으로 표현되는 평면응력 요소의 최종 강성행렬(Ke m)을 산출하는 것을 특징으로 하는 비정형 하중조건을 고려한 말뚝지지 전면기초 해석 방법.
    Figure 112010078825522-pat00144
  14. 삭제
  15. 삭제
  16. 제1항 내지 제13항 중 어느 한 항에 따른 비정형 하중조건을 고려한 말뚝지지 전면기초 해석 방법을 이용하여 건축구조물의 말뚝지지 전면기초를 설계하기 위한 말뚝지지 전면기초 설계방법.
  17. 제1항 내지 제13항 중 어느 한 항에 따른 비정형 하중조건을 고려한 말뚝지지 전면기초 해석 방법을 컴퓨터에서 실행시키기 위한 프로그램을 기록한
    컴퓨터로 읽을 수 있는 기록매체.
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