JPS607543A

JPS607543A - 誤り訂正および検出を行うｂｃｈ符号の復号装置

Info

Publication number: JPS607543A
Application number: JP58114970A
Authority: JP
Inventors: Hiroichi Okano; 博一岡野
Original assignee: Individual
Current assignee: Individual
Priority date: 1983-06-24
Filing date: 1983-06-24
Publication date: 1985-01-16
Also published as: JPH0430618B2

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】本発明は誤り訂正および検出を行うＢＣＨ符＠（以下、
Ｒｅｅｄ−３ｏ　ｌ　ｏｍｏｎ等のＢＣＨ７：４号系に
凰するものを含む）の復号器および復号法に関するもの
である。

情報処理システムの高（ｉ頼度化の一手法として、誤り
訂正符号が実用されている。誤り訂正符号は誤り訂正ビ
ット数の一邸を誤りの検出に用いることができることも
知られている。しかし、その時の復号法は明確に示され
ていない。

ここで述へる方法は、異なるシンドロームの組合せて誤
り位置多項式の係数のを算出し、それらのＱが等しいと
して成立する式（以下、判定式と呼ぶ。）をもとに、誤
りを訂正するか、検出のみとするかを判別することを特
徴とした、ＢＣＨ符号の誤り訂正および検出を行う場合
の復号法である。

さて、ＢＣＨ符号の生成多項式は最小距離なｄとすると
【σｌ”＋１．゛。

・・、αＴ＋７１−２を根とする多項式であり、シンド
ロームは次式で与えられるここで、・ｔは誤りの数、Ｙ
Ｌは誤りの大きさ　ｘｉは誤りイ立置数である２元ＢＣ
Ｈ符号のときＹｊは０か１である。

また、誤り位置多項式の係数Ｑとシンドロームとの関係
は次式で与えられる。

Ｓ７％＋８７．．４−、十・”　”　”　＋５．、−．
４＋塾、＝ｏ　（２）ここで、（ｒ　（ｊ　＜ｒ＋ｔ−
１）とした連立方程式より（＋＜＋＜１）か決まり誤り
位置多項式かまる。さらに続く（ｒ＋ｔ　−１＜、ｔ　
、（ｒ十ｄ−ｔ−２）に対してもぐ２）式が成立するか
ら、結局ｄ−ｔ−１個の連立方程式のうちの適当なｔ個
の方程式より、それぞれのξをめ、それらを等しいとお
いた式（以下判定式と呼び２で表わす。）をもとに、誤
りを訂正するか、検出するかを判別する。

したがって、（ｄ−（２ｔ＋１））個のシンドロームを
付加することによってｔｌｉ誤り訂正符号にさらに誤り
検出能力を付加することになる。

ｒは一般に１とすることが多いけれども、ｒ＝＝ｏとし
てもよい。しかし、２元ＢＣＨ符号の場合は　塾＝Ｓｌ
（が成立するので、生成多項式の恨の指数の最大および
シンドロームの添字の最大値は偶数と考えられる（実際
に用いるのは奇数までであるが）。したがって、ｄが奇
数のときはｒ＝１とし、ｄが偶数のときはｒ＝０とする
と効率が良い。

以下に実際例を示す。最初にＢＣＨ符号の例を示し、つ
いでＲｅｅｄ−３ｏ　ｌ　ｏｍｏｎ符号の例について示
す。

ここで示す例はコンピュータによるシュミレーションで
動作を確認している。

（１ビット誤り訂正２ピット誤り検出ＢＣＨ符号）この
とき、ｔ＝ｌ、ｄ＝４となるから、ｒ＝０とする。

したかって（２）式は次式となる。

ｓに　十Ｓ、＝０　（３）Ｓｌｃｉ　＋９２＝０　（４）（３）、（４）式より公をそれぞれめ両者を等しいとし
た式より判定式２がめられ次式となる。

Ｚ＝Ｓ、（１＋Ｓ。）　（５）ここで、５２＝Ｓ、　を用いている。

Ｓ、＝Ｓ、＝Ｏのときは誤りなしと判定し、Ｚ＝００と
きは１ビット誤りと判定し、Ｓ　によって誤り位置をめ
誤りを訂正する。２００のときは２ヒツト（またはそれ
以上）の誤りが発生したとして誤りを検出する。２ビッ
ト誤りは１００％検出する。この符号および復号法は良
く知られた１ビット諮り訂正および２ピット誤り検出ハ
ミング符号と一致する。すなわち、この符号の生成多項
式は、Ｇ　（ｘ）＝（＋＋ｘ）Ｐ（ｘ）である。

ただし、Ｐ（ｘ）の根はＧＦ（２１′ｒ′）の原始光で
ある。

（１ビット誤り訂正２．３ビット誤り検出ＢＣＨ符号）
コノとき、ｔ＝１、ｄ＝５、ｒ＝１である。

したがって（２）式は次式となる。

Ｓ、の　＋Ｓ２＋＝Ｏ８２の　＋５３＝０　（６）８．３Ｆ＋　＋Ｓ４二〇（６）式よりＧ＝Ｓご／Ｓ、＝ＳＪ　／Ｓ、＝ＳＩ　／
Ｓ３　となり、これより判定式Ｚは次式となる。

Ｚ＝Ｓ、　十３３　（７）Ｓ　＝Ｓ　＝０のとき誤りなしとする。Ｚ＝００ときは
１ビット誤りでありＳ、によって誤りを訂正する。ｚｆ
Ｏのときは２，３ビツト（またはそれ以上）の誤りが発
生したとする。２，３ヒツト誤りは１００％検出する（
］ピッ誤り訂正２．３．４ビット誤り検出ＢＣＨ符号）
コノとき、ｔ”　ｌ　＋　ｄ　”　６＊　ｒ　＝０であ
る。

したがって（２）式は次式となる。

Ｓ、の　＋Ｓ＋＝Ｏ９，の　＋Ｓ２＃０５２６７　＋Ｓ、７＝０　（８）ｓ、？６　＋Ｓ４ｃモ０（８）式より　の＝Ｓｔ　／Ｓ＋７　＝Ｓｔ　／Ｓｔ　
＝Ｓｊ／ＳＦ　＝Ｓｔ”／Ｓ３となり、これより判別式
２は次式となる。

Ｚ１＝Ｓ、　＋ｓ３　、　Ｚ２冨Ｓ。Ｓ、＋Ｓ。

ｚ＝ｚ＋　ｏｐ　Ｚ２　（９）ｓ０＝ｓ、＝ｓ、ｚ　＝ｏのときは誤りなしとする。Ｚ
よ０のとき１′！１ビット誤りと判定し、ＺｆＯのとき
は２．３．４ヒツト（またはそれ以上）の誤りが発生し
たとする。２，３．４ビツトの誤りは１００％検出する
。

（１ビット誤り訂正２．３，４．５ビット誤り検出ＢＣ
Ｈ符号）このとき、１＝］、ｄ＝７、ｒ＝Ｉであるから
、（２）式は次式となる。

ｓ、にｒ’　＋ｓ２＝。

５２１１７７　＋ｓ３＝。

Ｓｏ６；　＋５ＩＩ７０　（１０）Ｓｊ４　＋５ｊ＝Ｑｓ、、−ｏ７　＋Ｓｂ＝。

（１０）式ヨリ、（５’ｔ　＝　Ｓ　７　＝　Ｓ３　／
　Ｓｔ”　＝　Ｓ　ｔ”／　Ｓ３＝　ｓ、ｇ　／　ｓｔ
’　＝　ｓｔ　／Ｓｌとなり、これより判定式２は、次
式となる。

Ｚ　ｌ　＝Ｓ１３＋Ｓ３　、Ｚ２＝Ｓ７’＋Ｓ、７Ｚ＝
ＺＩ　ＯＲＺ２　（Ｎ）Ｓ、＝ｓ３　＝３５＝０　のときは誤りなしとする。Ｚ
＝Ｑのときは１ヒツト誤りと判定し、２≠Ｏのときは２
．３．４．５ビツト（またはそれ以上）の誤りが発生し
たとする。２．３．４．！５ビット誤りは１００％検出
する。

以下の例も上記と同様なので、判別式Ｚを示すのみとし
、説明は省略するなお、Ｚ＝０または論理式が成立する
時、誤りを訂正し、そうでないときは誤りを検出する。

（１，２ヒツト誤り訂正３ヒツト誤り検出ＢＣＨ符号）
ｔ重２．ｄ＝１５．ｔ重０゜Ｚ＝Ｓｏ　・（Ｓ／３＋ＳＪ　）　（１２）（１，２ビ
ット訂正３，４ビット誤り検出ＢＣＨ符号）ｔ重２．ｄ
＝７．ｔ重１゜Ｚ＝（Ｓ、＋ｓ３＋ｓ、Ｓ３＋ｓ７　ｓ、、＝０）ＡＮ
Ｄ（Ｓ、ｆ−０）（１，２ヒツト誤り訂正３，４．５ビ
ット誤り検出ＢＣＨ符号）ｔ重２．ｄ＝８．ｔ重０゜Ｚ”　（Ｓ／３＋ＳＪ　＋Ｓ７’Ｓｊ＋Ｓ７　Ｓ、ｇ　
＋Ｓ６　Ｓ／　＋Ｓ、　Ｓ、３Ｓ３＝０）　ＡＮＤ　（
（Ｓ７　＋ＳＪ　）　Ｓ、＝０）　（１４）（１，２，
３ビット誤り訂正４ビット誤り検出ＢＣＨ符号）ｔ　＝
ＯＬ　ｄ　＝ＥＬ　ｒ　＝Ｑ。

Ｚ＝（Ｓｏ、＋１）　（（Ｓ、３＋９７　）２′＋ｓ、
　（Ｓ、”Ｓ３＋３．５−）　）（１５）（＋、２．３上２゜誤り訂正４．５ビット誤り検出ＢＣ
Ｈ符号）ｔ重３．ｄ＝Ｑ、ｔ重１゜Ｚ＝３７’（Ｓ／７＋Ｓり）＋ｓ、（ｓ、’＋ｓ、ｓｊ
＋ｓグ）十３５　（ｓ、’＋ｓ、”ｓｊ　＋Ｓ、５−）
　（１６）つぎにＲｅｅｄ−８ｏｌｏｒｒｔｏｎ（以下
、Ｒ３と−８す。）符号の例について述べる。この符号
はＢＣＨ符号の一種であるので、上記と同様に１ｇ！Ｊ
号できる。通常ｒ＝１とされているか、パリティチェッ
クを付加した拡大Ｒｅｅｄ−８ｏ　ｌ　ｏｍｏｎ符号が
知られている。これはｒ＝ｏとした場合と一致する。こ
こでは、ｔ重０とし、生成多項式の根はｃ（’、　ｃ／
　、　ｃｘ”、・・・・・・・・、、ｄ−Ｚとする。ｄ
は最小距離である。

（１ディジット誤り訂正２ディジット誤り検出Ｒ３符号
）ｔ重１．ｄ＝４．ｔ重０　である。

したがって（２）式は次式となる。

Ｓ、の　＋Ｓ／＝Ｏ８，の　＋５Ｚ＝０　（１７）（１７）式より６をめ両者を等しいとおき、判定式Ｚは
次式となる。

Ｚ＝Ｓ、　十Ｓ、Ｓ２　（１８）（１ディジット誤り訂正２．３ディジット誤り検出Ｒ８
符号）ｔ重１．ｄ＝５．ｔ重０　である。

したがって（２）式は次式となる。

ｓｏｙ　＋ｓ、＝。

Ｓ／雪　＋５ｚ＝０　（＋９）Ｓ２（＋７　＋５ｊ＝０（１９）式より司をめ、それらを等しいとおき、判定式
Ｚは次式となる。

Ｚ＝　（Ｓ、　十Ｆ；ｏ　Ｓ、　＝０）ＡＮＤ　（Ｓ２
＋ｓ、Ｆ；３　＝０）　（２０）以下の例は判定式Ｚの
みを示す。

（１，２デイジツト族り訂正３ディジット誤り検出Ｒ３
符号）ｔ重２．ｄ＝６．ｒ＝ｏ。

Ｚ＝（Ｓｏ９．Ｓｌｆ＋Ｓ、Ｓ％　＋ＳｏＳ、＋６２＝
Ｏ）（２１）（１，２ディジット誤り訂正３，４ディジット誤り検出
Ｒ３符号）ｔ重２．ｄ＝７．ｒ＝ｏ。

Ｚ＝　（Ｓｏ　Ｓ２　Ｓｐ　＋Ｓ／”Ｓｌ　＋５６Ｓ７
　＋Ｓ２−０　）ＡＮＤ　（（Ｓｔ　Ｓ３　％　十Ｆ；
２”Ｓ５＋Ｓｔ　Ｓｔｉ、　十Ｓ７　＝　Ｏ）（２２）同様の方法により種りの誤り訂正および検出符号の復号
法がめられるが以上に示したもの以外の例は省■８する
。

つぎに、一般にｔｉｉ誤り（すなわちｔ重以内の誤り）
訂正、１＋＋、・・・・、を十に誤り検出符号の復号法
を示す。

ｄ＝２ｆ＋１十にとなるので、復号構成図は図１となる
。すなわち、シンドローム生成回路ＳＧＩで生成したシ
ンドロームのうちＳ　（ｒｆｊｆｒ＋２ｔ−１）を用い
てｔｌｉ誤り訂正ＢＣ：Ｈ（またはＲ６）符号の復号器
ｔＢＣＨ（ｏｒＲ３）　によってｔ重誤りの誤り位置数
（Ｒ３符号のときは大きさも）をめる。そしてＳｊにさ
らにＳｊノ（ｒ＋２ｔ４ｊ　＜ｒ＋２・ｔ重に−１）を
合せて、判定式２が０か（または論理式が成立するか）
を判定回路ＪｔＪＤ　３て判定し、０（または論理式が
成立）のときは誤り訂正を行い、そうでなければ誤りを
検出するように誤り訂正回路ＥＣＣ４に信号を送る。誤
り訂正回１３６ｃｃ　４で誤り位置数（Ｒ９符号のとき
は大きさも）をもとに誤りを訂正する。

なお、以上の復＠法はソフトプログラミングによっても
同様に実行できる。

【図面の簡単な説明】

第一図はｔ重誤り訂正ｔ＋１．・・・・・・、ｔ重に誤
り検出ＢＣＨ（ｏｒＲ９）符号の復号偶成図である。１：シントローム生成回路２：ｔｌ！誤り訂正ＢＣＨ（またはＲｅｅｄ−Ｓｏｌｏ
ｍｏｎ）符号の復号器３：誤り訂正および検出を判定する回路４：誤り訂正回
路

Claims

【特許請求の範囲】１、判定式ｚ＝ｓ、’＋ｓ、、？を用いることを特徴と
する１重誤り訂正２，３ビット誤り検出ＢＣＨ符号の復
号法。２、判定式Ｚ　＝（Ｓｔ３＋Ｓ３　＝０　）　ＡＮ　Ｄ
　（ＳＯＳ／　十Ｓ、／　＝０　）を用いることを特徴
とする１重誤り訂正２，３．４ヒツト誤り検出ＢＣＨ符
号の復号法。３、判定式Ｚ＝　Ｃ８ｔ’＋Ｓ３　＝０）　ＡＮＤ　（
Ｓ／　＋８５　＝０）を用いることを特徴とするｔｗ誤
り訂正２，３．４．５ヒツト誤り検出ＢＣＨ符号の復号
法。４、判定式Ｚ＝Ｓｏ（Ｓ、”＋Ｓｊ　）を用いることを
特徴とする２重誤り訂正３ヒツト誼り検出ＢＣＨ符号の
復号法。５、判定式ｚ＝ｓ１６＋ｓＪ２＋ｓ、’ｓＪ　＋ｓ／　
ｓ、ｔを用いることを特徴とする２１ｉ誤り訂正３，４
ピット誤り検出Ｂ−ＯＨ符号の復号法。６、判定式Ｚ＝　（Ｓｔ’十８３”＋５ＩＪＳＪ　＋ｓ
、　Ｓ（十ｓＱ　Ｓ／’　十Ｓ６Ｓ、’Ｓ、？　＝０１
）　ＡＮＤ　（（Ｓ／’＋Ｓ、？　）　Ｓｏ　＝Ｏ）を
用いることを特徴とする２ｆＩ誤り訂正３．４．５ヒツ
ト誤り検出ＢＣＨ符号の復号法。７、判定式Ｚ−（Ｓ（＋　＋１　）　（（Ｓ／’十Ｓ。）”　＋Ｓ＋　（ｓ、”Ｃ３＋３５））を用いることを
特徴とする３ｆｉ誤り訂正４ビット誤り検出ＢＣＨ符号
の復号法。８、半］定式Ｚ＝Ｓ７’　（Ｓ／′７＋Ｓｒ１　）　十
Ｓ３（’Ｂｔ　＋Ｓｔ　Ｃ３＋Ｓｑ）　十Ｓ、・（ｓ、
　＋ｓ、Ｃ３＋Ｓ、ｆ）を用いることを特徴とする３型
工具り４，５ヒツト誤り検出ＢＣＨ符号の復号法。９、判定式Ｚ＝Ｓ、　＋Ｓ。Ｃ２を用いることを特徴と
する１ｍ誤り訂正２ディジイツト誤り検出Ｒｅｅｄ−９
ｏ　ｌ　ｏｍｏｎ　（以下、Ｒ３と称す）符号の復号法
。１０、判定式Ｚ＝　（Ｓ、　十Ｓ、５２＝Ｏ）　ＡＮＤ
　（Ｓ２＋Ｓ、ＳＪ　＝０）を用いることを特徴とする
１１誤り訂正２，３ティジット誤り検出Ｒ３符号の復号
シム。１１、判定式Ｚ＝Ｓ、　Ｃ２Ｓ＋十Ｓ／　Ｓ＋十Ｓａ　
Ｓ７　＋Ｓ、を用いることを特徴とする２１１誤り訂正
３ディジット誤り検出Ｒ３符号の復号）ム。１２、半り定式Ｚ＝　（Ｓ、Ｓ２Ｓ、　＋ｓ、”ｓ弘十
ｓ、　Ｓ：　十Ｓ、’＝ｏ＞　ＡＮＤ（Ｓ、ＳｊＳ、　
＋５２Ｓ５＋Ｓ、Ｃ４”十Ｓ〕−〇）を用ることを特徴
とする２１ｉ誤り訂正３，４ディジット誤り検出Ｒ３７
，’Ｊ号の復号法。１３、一般的に、シンドロームＳ、７　（ｒ　＜ｊ　４
ｒ＋２ｔ−１）を用いて、ｔ、！ｗｉｇりの訂正を行い、さらにＳＪと５ｊ１（ｒ＋２ｔ
　＜Ｊｆｒ＋２ｔ＋に−１）の間の関係式（判定式と呼
ぶ）によって誤りを訂正するか、検出するかを判別する
ことを特徴とするｔｗ誤り訂正ｔ＋ｌ、ｔ＋２、・・・
、を十に誤り検出ＢＣＨ符号（またはＲ９符号）の復号
法（ハード回ｖ８で実現したもの）。１４、上記の方法をソフトプログラムで実現したもの。