JPH1153341A - 涙滴形タンク内の液体のスロッシング解析によるマス−ばね設計モデル作成方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【課題】 涙滴形タンクの液体のスロッシングのごとき
非軸対称問題に対しても解析的アプローチを行えるよう
にし、以って計算時間の短縮、計算コストの削減を図
る。 【解決手段】 涙滴形タンク１の中心軸ｚと涙滴形タン
ク１の液面４の周方向の任意の位置を通る液体２の縦断
面を想定し、各液体２の縦断面において極座標を取り、
この極座標と液面４のタンク壁面５に接する部分の周方
向座標ψとで球形座標を構成し、該球形座標を用いて液
体運動を支配するラプラス方程式∇²φ＝０（φは速度
ポテンシャル）の解を直交関数の重ね合せにより解析的
に決定し、直交関数展開によって液体運動を離散化し、
問題を展開係数に関する連立一次方程式に帰着させ、該
連立一次方程式を解いてマス−ばね設計モデルを作成す
る。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は、涙滴形タンク内の
液体のスロッシング解析によるマス−ばね設計モデル作
成方法に関するものである。

【０００２】

【従来の技術】低重力あるいは無重力の宇宙空間を航行
する衛星には、スピン衛星と呼ばれる衛星があり、該ス
ピン衛星は自転しつつ航行を行うようになっている。

【０００３】而して、スピン衛星では、推薬液を収納す
るタンクとして、略半球状の外殻の開口部側に円錐状の
外殻を、略半球状の外殻から離れる方向へ向けて先細り
となるよう接続した、いわゆる涙滴形タンクが使用され
ており、斯かる涙滴形タンクの一例は図８に示されてい
る。

【０００４】図８中、１は涙滴形タンク（以下単にタン
クという）であり、該タンク１は、スピン衛星の自転軸
であるスピン軸Ｚから離れた位置に、円錐状の外殻の先
細り状の先端がスピン軸Ｚを基準として外方へ向くよ
う、配設され、先細り状の円錐部の先端には推薬液２の
取出し口３が設けられている。

【０００５】又、タンク１の中心軸ｚは、タンク１の半
球状の外殻の頂部が中心軸ｚに近接し円錐状の外殻に設
けた取出し口３が中心軸ｚから離反するよう、スピン軸
Ｚに対し傾斜角度γで傾いている。

【０００６】なお、図８中、Ωはスピン衛星のスピン軸
Ｚに対するタンク１のスピン角速度、ａはタンク１の半
球状の外殻の部分の半径、Ｌはスピン軸Ｚからタンク１
の半球状の外殻の半径ａの起点となる点までの最短距
離、θ_Cはタンク１における円錐状の外殻のタンク１の
中心軸ｚに対する半頂角、ｇはスピン衛星が推進加速す
ることによりスピン衛星に作用する慣性力である見掛け
の重力、ｘはタンク１の円錐状の外殻の取出し口３側の
頂点を通り中心軸ｚに直交する座標軸、ｙは中心軸ｚと
座標軸ｘの交点を通ると共にｘ、ｙ軸に直交する方向
（図８の場合は紙面と直交する方向）へ延在する座標軸
である。

【０００７】図８に示すごとき構造のタンク１を用いる
のは、スピン衛星のスピンによる遠心力と見掛け上の重
力ｇを利用して、推薬液（液体）２を常に取出し口３に
保持するためである。

【０００８】一方、航行中のスピン衛星の機体に揺れ等
による強制加速度外乱が作用すると、タンク１内で推薬
液２の振動（スロッシング）が生じるが、これは推薬液
２の揺れに伴い生じる動圧がタンク１を介して機体に伝
達され、その結果機体に力及びトルクを作用させるた
め、機体の姿勢を制御するための姿勢制御系にとって望
ましくない外乱となる。

【０００９】従って、スピン衛星の設計に際しては、推
薬液２のスロッシングが機体に及ぼす力やトルクを考慮
に入れた姿勢制御系の設計が重要な課題となり、斯かる
設計を行うためにはタンク１内の推薬液２のスロッシン
グの状態を解析すると共にその解析結果からスロッシン
グと等価な動特性（固有振動数及びタンク１に及ぼす力
やトルク）を持ったマス−ばね設計モデルを作成するこ
とが必要である。

【００１０】ところが、推薬液２のような液体は、連続
体であるため、制御対象としての取扱いが難しく、設計
に便利ではない。そこで、設計を容易に行うためにタン
ク１内の推薬液２を図９に示すようなマス−ばね設計モ
デルに置き換え、マス−ばね設計モデルのパラメータ
ｍ，ｍ_O，ｋ，ｌ，ｌ_Oを適切な値に設定してそのデータ
を基に制御系を設計することが従来から行われている。

【００１１】ここで、適切な値に設定するとは、置き換
えられたマス−ばね設計モデル系ともとの推薬液２のス
ロッシング系とで、タンク１に及ぼす力、トルクの強制
加速度外乱に対する周波数特性が、重要な低い周波数帯
域において一致するように設定することである。

【００１２】又、図９のパラメータ中、ｍはタンク１内
においてタンク１の中心軸ｚに直交する方向である径方
向へ可動な可動物体の質量、ｍ_Oはタンク１内に固定さ
れた固定物体の質量、ｋは可動物体のばね定数、ｌはタ
ンク１の円錐状の外殻の頂点に設定したｘ軸、ｙ軸、ｚ
軸の原点から可動物体までの距離、ｌ_Oは原点から固定
物体までの距離である。

【００１３】ところで、マス−ばね系の設計モデルを作
成するにあたっては、その前の段階としてスロッシング
の解析が必要であるが、斯かるスロッシングの解析手段
として従来から有限要素法（ＦＥＭ）等の数値解析手法
と解析的手法が知られている。

【００１４】

【発明が解決しようとする課題】数値解析手法の場合に
は、一般に妥当な精度の解を得るためには、計算領域と
なる液体を多数の要素に分割し、分割した要素ごとに多
数の独立点の物理量を未知変数として方程式を解く必要
がある。従って細かい要素分割が必要で、自由度が膨大
となり、計算時間が長くなって計算コストが嵩むという
問題がある。

【００１５】一方、解析的手法では、細かい要素分割が
不要で計算コストを安価にすることはできるが、一般に
解析的手法を適用できるのは、円筒形タンクのごとき軸
対称の場合、すなわち軸対称問題の場合である。

【００１６】しかるに、図８に示すごとき涙滴形のタン
ク１内の推薬液２のスロッシングは、スピン軸Ｚと見掛
け上の重力ｇの方向がタンク１の軸対称軸である中心軸
ｚに全く一致しない典型的な非軸対称問題となって解析
的な手法の適用は困難であり、従って上述のごとき非軸
対称問題の算定に対しては数値的手法に依存せざるを得
ず、計算時間が長く掛り、計算コストが嵩むという弊害
を排除することができない。

【００１７】本発明は上述の実情に鑑み、涙滴形タンク
内の推薬液のような液体のスロッシングのごとき非軸対
称問題に対しても解析的アプローチを行えるようにし、
以って計算時間の短縮、計算コストの削減を図り得るよ
うにした、涙滴形タンク内の液体のスロッシング解析に
よるマス−ばね設計モデル作成方法を提供することを目
的としてなしたものである。

【００１８】

【課題を解決するための手段】本発明は、スピン軸に対
して中心軸が所定の角度傾斜した涙滴形タンクの中心軸
と涙滴形タンク内の液面の周方向の所定の位置を通る、
液体の縦断面を想定し、各液体の縦断面において極座標
を取り、該極座標と液面のタンク壁面に接する部分の周
方向座標とで構成した球形座標を用いて液体運動を支配
するラプラス方程式∇²φ＝０（φは速度ポテンシャ
ル）の解を直交関数の重ね合せにより解析的に決定し、
直交関数展開により液体運動を離散化して問題を展開係
数に関する連立一次方程式に帰着させ、該連立方程式を
解いてマス−ばね設計モデルを作成するものである。

【００１９】従って、本発明では、液滴形タンク内の液
体のスロッシングのごとき非軸対称問題に対しても解析
的アプローチが可能となるため、直交展開の級数の収束
が速く、小さい自由度で解を得ることができ、従って従
来の有限要素法の数値的手法に比べてスロッシングの解
析、延いてはマス−ばね設計モデル作成のための計算時
間が短く、計算コストも安価ですむ。

【００２０】

【発明の実施の形態】以下、本発明の実施の形態を添付
図面を参照しつつ説明する。

【００２１】図１〜図４は本発明の実施の形態の概要を
示すための概念図、図５は本発明の実施の形態を詳述す
るための概念図、図６、図７は本発明の実施の形態例に
おける設計モデルパラメータの計算結果のグラフであ
る。

【００２２】図１、図２に示すごとく、タンク１におけ
る中心軸ｚのまわりの、座標軸ｘからのタンク１周方向
座標ψ＝ψ₁，ψ＝ψ₂を液面４上に取り、各周方向座標
ψ₁，ψ₂から中心軸ｚを通るように直線イ、ロに沿って
切った液体２の縦断面を図３、図４のごとく想定し、各
縦断面で極座標Ｒ，θを取る。

【００２３】この極座標Ｒ，θと周方向座標ψとで構成
される球座標を用いて、液体運動を支配するラプラス方
程式∇²φ＝０（ここでφは速度ポテンシャル）の解を
直交関数の重ね合せにより解析的に決定する。

【００２４】このような直交関数によって液体運動を離
散化し、問題を未知の展開係数に関する連立一次方程式
に帰着させて解き、マス−ばね設計モデルを定める。

【００２５】以上が本発明の実施の形態において推薬液
２のスロッシングとマス−ばね設計モデル系の作成を行
う際の概要であり、これを段階的に分けると［Ｉ］〜
［ＶＩＩ］のステップに分けられる。

【００２６】すなわち、 ［Ｉ］球座標系の導入 ［ＩＩ］液体（推薬液）２の運動方程式の導出 ［ＩＩＩ］液体２における液面４の静釣合い位置の決定 ［ＩＶ］変分原理（エネルギー原理）の導入 ［Ｖ］自由振動解析による固有振動数と固有モードの決
定 ［ＶＩ］強制振動解析による外乱加速度に対する周波数
応答の計算 ［ＶＩＩ］同じ周波数応答を持つマス−ばね設計モデル
の算定 である。

【００２７】次に［Ｉ］〜［ＶＩＩ］のステップについ
て詳述する。

【００２８】［Ｉ］球座標系の導入 航行している機体がスピン軸Ｚのまわりをスピン角速度
Ωで回転すると、タンク１内の液体２は図４に示すごと
く、遠心力によりタンク１の取出し口３（図８参照）側
へ押され、液体２の液面４はスピン軸Ｚに沿った状態に
なる。

【００２９】そこで、この液体２の液面４をタンク１の
軸対称軸である中心軸ｚのまわりに略等間隔の角度ψで
Ｎ等分し、これを周方向座標ψ₁，ψ₂，…ψ_Nとし、各
分割区間ψi≦ψ≦ψi＋Δψ（Δψ＝２π／Ｎ，ψi＝
（ｊ−１）Δψ，ｊ＝１，２，…Ｎ）において図５のよ
うに球座標系Ｏj−Ｒjθjψjを設定する。

【００３０】すなわち、液体２の静釣合い時の液面４と
タンク壁面５の交点上のψ＝ψjなる点でタンク１に接
する直線を平面ψ＝ψj内で引き、この直線と中心軸ｚ
との交点を球座標の原点Ｏjとして定める。

【００３１】すなわち、各分画区間jごとに原点が徐々
に異なるように球座標系を定める。このような球座標を
用いて静釣合い時の液面４、振動している液面４、タン
ク壁面５の各極座標を［数１］［数２］［数３］のよう
に表わす。

【００３２】

【数１】Ｒ＝Ｒ_M（θ，ψ）…（ｉ）

【００３３】

【数２】Ｒ＝Ｒ_F（θ，ψ，ｔ）＝Ｒ_M（θ，ψ）＋ζ
（θ，ψ，ｔ）…（ｉｉ）

【００３４】

【数３】Ｒ＝Ｒ_W（θ，ψ）…（ｉｉｉ）

【００３５】（ｉ）〜（ｉｉｉ）式中、Ｒ_M（θ，ψ）
は後述のステップ［ＩＩＩ］で決定される液面４の静釣
合い位置の関数形、ζ（θ，ψ，ｔ）は時間ｔの経過に
より生じる液面４の微小振動変位であり、数式の繁雑さ
を避けるため、周方向分割区間の区別を表す添字jは省
略している。

【００３６】［ＩＩ］液体（推薬液）２の運動方程式 以下の解析のもとになる、スロッシングしている液体２
の運動方程式（オイラーの流体方程式）をステップ
［Ｉ］で導入した球座標を用いて表わすと［数４］のよ
うになる。

【００３７】

【数４】

【００３８】

【外１】 θ，ψ方向の流速成分、ｐは圧力、ρは液体２の密度、
ｆx（ｔ），ｆy（ｔ）はｘ，ｙ方向の強制加速度を表
す。非圧縮完全流体であると仮定し、コリオリ力は設定
メカニカルモデルを求める上では必要ないので省略して
いる。

【００３９】 ［ＩＩＩ］液体２における液面４の静釣合い位置の決定 液体２のスロッシング解析に先立ち、遠心力と重力ｇの
静釣合い条件によって決定される液面形状（（ｉ）式、
（ｉｉ）式中の関数Ｒ_M）を決定する。運動方

【外２】 ｐ_Sで置き換えることにより［数５］で表わされる静釣
合いの条件式が得られる。

【００４０】

【数５】

【００４１】（ｖ）式を積分すると（ｖ）式中の３つの
式はいずれも［数６］のように表わされる。

【００４２】

【数６】 ｐ_S＝ρ｛ｇｚ＋０．５Ω²（Ｘ²＋Ｙ²）}＋Ｃ…（ｖｉ）

【００４３】未知の形状の静釣合い液面ｚ＝ｚ_S（ｘ，
ｙ）において圧力ｐ_Sが零になる条件より、ｚ_Sの関数形
（液面４の静釣合い位置）を決定すると［数７］に示す
ようになる。

【００４４】

【数７】 ｚ＝ｚ_S（ｘ，ｙ）＝（−Ω²／２ｇ）（Ｘ²＋Ｙ²）−（Ｃ／ρｇ）…（ｖｉｉ）

【００４５】（ｖｉｉ）式中、Ｃは液体２の体積が与え
られた値になるように定める。又（ｖｉｉ）式より、静
釣合い液面はスピン軸Ｚを軸とする回転放物面であり、
スピン角速度Ωが重力ｇに比して卓越するにともない円
筒面に近付いていくことがわかる。

【００４６】 ［ＩＶ］変分原理（エネルギー原理の導入） （ｉｖ）式の運動方程式を境界条件（液体の流速がタン
ク壁面５で零、圧力が液面４で零等）の下で解くため
［数８］に示す変分原理を導入する。

【００４７】

【数８】

【００４８】（ｖｉｉｉ）式中、Ｄ（θ，ψ）とＥ
（θ，ψ）はタンク形状に依存して定ま

【外３】 で、これらは［数９］に示すラプラス方程式を満たす速
度ポテンシャルφにより［数１０］［数１１］によって
定める。

【００４９】

【数９】∇²φ＝０…（ｉｘ）

【００５０】

【数１０】Ｐslos＝−ρφ，t…（ｘ）

【００５１】

【数１１】

【００５２】詳しい説明は省略するが変分原理を表わす
（ｖｉｉｉ）式を満たせることは、（ｉｖ）式の運動方
程式を境界条件（流速がタンク壁面５で零、圧力が液面
４で零になる等）の下で解くことと同様である。

【００５３】［Ｖ］自由振動解析による固有振動数と固
有モードの決定 先ず、（ｉｘ）式のラプラス方程式をステップ［Ｉ］で
導入した球座標で解くことにより速度ポテンシャルφを
直接固有関数系で展開された［数１２］の形で表わす。

【００５４】

【数１２】

【００５５】又、液体２の液面４の変位を［数１３］の
ように表わす。

【００５６】

【数１３】

【００５７】上述の（ｘｉｉ）式中のＸmkl（Ｒ）は
［数１４］で、Θmk（θ）は［数１５］で、Φmq（ψ）
は［数１６］で、夫々表わされる。

【００５８】

【数１４】

【００５９】

【数１５】

【００６０】

【数１６】 Φmq（ψ）＝ｃｏｓｍψ（ｆｏｒ ｑ＝１） ｓｉｎｍψ（ｆｏｒ ｑ＝２）…（ｘｖｉ）

【００６１】（ｘｖ）式中、Ｆはガウスの超幾何級数を
表わし、固有関数Θmkは［数１７］の方程式に関する
［数１８］で表わされる境界値問題のＫ番目の解として
決定される。又（ｘｖｉ）式においてｌ＝１或いは２で
ある。

【００６２】

【数１７】

【００６３】

【数１８】

【００６４】又、固有値λmkを［数１９］に代入するこ
とにより、（ｘｉｖ）式の特性指数αmkl（ｌ＝１，
２）を定める。

【００６５】

【数１９】

【００６６】（ｘｉｉ）式を（ｘ）式、（ｘｉ）式に代
入して求めたスロッシング圧力、液体変位成分と（ｘｉ
ｉｉ）式を変分原理の（ｘｖｉｉｉ）式の強制加速度項
を省略した式に代入して、未定定数Ａmklq，Ｃmkqに関
する斉次一次方程式系を導く。これは［数２０］に示す
ごとく、固有値問題の形に導くことができる。

【００６７】

【数２０】

【００６８】

【外４】 ≧１，ｌ＝１，２；ｑ＝１，２）を並べた列ベクトルで
ある。固有値問題の（ｘｘ）式を解くことにより、固有
振動数と固有モードを決定する。

【００６９】［ＶＩ］強制振動解析による固有振動数と
固有モードの決定 速度ポテンシャルを［数２１］のように表わし、液面変
位を［数２２］のように表わす。

【００７０】

【数２１】

【００７１】

【数２２】

【００７２】

【外５】

【００７３】（ｘｘｉ）式を（ｘ）式、（ｘｉ）式に代
入して求めたスロッシング圧力、液体変位成分と（ｘｘ
ｉｉ）式を（ｖｉｉｉ）式に代入してｑn（ｔ）に関す
るモード方程式を導出する。

【００７４】例えば図１において液面４がｘ方向に大き
く振動するモードのうち最低次のものについては［数２
３］のように表わされる。

【００７５】

【数２３】

【００７６】（ｘｘｉｉｉ）式中、ωnは固有角振動
数、βxnは定数である。

【００７７】タンク１が受けるｘ方向の力Ｆxとｙ軸ま
わりのモーメントＭyを動圧が持つｘ成分とｙ軸まわり
のモーメントをタンク壁面５で積分すると、［数２４］
［数２５］の形に計算される。

【００７８】

【数２４】

【００７９】

【数２５】

【００８０】（ｘｘｉｖ）式、（ｘｘｖ）式中、Ａ、
Ｂ、Ｃは定数である。（ｘｘｉｖ）式の力、（ｘｘｖ）
式のモーメントの単位正弦波入力は［数２６］に示され
る。

【００８１】

【数２６】ｆx（ｔ）＝ｓｉｎωｔ…（ｘｘｖｉ）

【００８２】又、（ｘｘｖｉ）式に示す単位正弦波入力
に対する周波数応答は［数２７］［数２８］のように計
算される。

【００８３】

【数２７】 Ｆx＝｛ω²（βxnＡ＋Ｂ）−ωn²Ｂ｝／（ω²−ωn²）…（ｘｘｖｉｉ）

【００８４】

【数２８】 Ｍy＝｛ω²（βxnＣ＋Ｄ）−ωn²Ｄ／（ω²−ωn²）…（ｘｘｖｉｉｉ）

【００８５】［ＶＩＩ］同じ周波数応答を持つマス−ば
ね設計モデルの算定図９の設計モデルに（ｘｘｖｉ）式
の単位正弦波入力が作用したときに、タンク１が受ける
ｘ方向の力Ｆx，eq及びｙ軸まわりのモーメントＭy，eq
の周波数応答は［数２９］［数３０］のように計算され
る。

【００８６】

【数２９】 Ｆx，eq＝（−ｍ_Oω²＋ｋ＋ｍ_Oωeq²）／（ω²−ωeq²）…（ｘｘｉｘ）

【００８７】

【数３０】 Ｍy，eq＝｛−ｍ_Oｌ_Oω²＋ｋ＋ｍ_Oｌ_Oωeq²＋Ｐ（Ω，ｇ）｝／（ω²−ωeq²） …（ｘｘｘ）

【００８８】（ｘｘｉｘ）式、（ｘｘｘ）式中、ωeq²
はωeq²＝ｋ／ｍである。又、Ｐ（Ω，ｇ）は、質量ｍ
が変位することによって遠心力及び重力がタンク１に変
動トルクを及ぼすことにより生ずる項であり［数３１］
によって与えられる。

【００８９】

【数３１】 Ｐ（Ω，ｇ）＝ｍΩ²ｌ（ｃｏｓ²γ＋Ｌｓｉｎγ）＋ｍｇｃｏｓγ…（ｘｘｘｉ ）

【００９０】（ｘｘｉｘ）式、（ｘｘｘ）式を夫々（ｘ
ｘｖｉｉ）式、（ｘｘｖｉｉｉ）式に角周波数ωの関数
として一致させる。

【００９１】このため、図９のマス−ばね設計モデルの
パラメータを［数３２］［数３３］［数３４］［数３
５］により決定する。

【００９２】

【数３２】ｍ＝Ａβxn…（ｘｘｘｉｉ）

【００９３】

【数３３】ｋ＝ｍωn²…（ｘｘｘｉｉｉ）

【００９４】

【数３４】 ｍ_O＝−Ａβxn−Ｂ ＝（−ｍΩ²Ｌｓｉｎγ−ｍｇｃｏｓγ−ｍ_Oｌ_Oωn²−Ｄωn²）／（ｋ＋ｍΩ² ｃｏｓ２γ）…（ｘｘｘｉｖ）

【００９５】

【数３５】 ｌ_O＝−（Ｃβxn＋Ｄ）／ｍ_O…（ｘｘｘｖ）

【００９６】上述の（ｘｘｉｘ）〜（ｘｘｘｖ）式に基
いて設計モデルパラメータを計算し、グラフに表わす
と、図６、図７に示すようになる。

【００９７】なお、設計モデルパラメータの計算にあた
っては、図１に示す諸元においてタンク１の球径部の半
径ａ＝０．３ｍ、円錐部の半頂角θ_C＝３８°、スピン
軸Ｚとタンク１の中心軸ｚとがなす傾斜角度γ＝４０
°、スピン角速度Ω＝１００γｐｍ、見掛けの重力ｇ＝
０．５ｍ／ｓ²、スピン軸Ｚからタンク１の球径部の中
心までの最短距離Ｌ＝０．４５ｍであり、又推薬密度ρ
＝１００９ｋｇ／ｍ³である。

【００９８】本発明の実施の形態においては、涙滴形タ
ンク１内の液体２のスロッシングのごとき非軸対称問題
に対しても解析的アプローチが可能となるため、直交展
開の級数の収束が速く、小さい自由度で解を得ることが
でき、従って従来の有限要素法等の数値的手法に比べて
スロッシングの解析延いてはマス−ばね設計モデル作成
のための計算時間が短く、計算コストも安価ですむ。

【００９９】なお、本発明の実施の形態は上述の形態例
に限定されるものではなく、本発明の要旨を逸脱しない
範囲内で種々変更を加え得ることは勿論である。

【０１００】

【発明の効果】本発明の涙滴形タンク内の液体のスロッ
シング解析によるマス−ばね設計モデル作成方法によれ
ば、直交展開の級数の収束が速いので小さい自由度で解
を得ることができ、従ってスロッシング解析延いては、
マス−ばね設計モデル作成のための計算時間が短く、計
算コストも安価ですむという優れた効果を奏し得る。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明の涙滴形タンク内の液体のスロッシング
解析によるマス−ばね設計モデル作成方法に適用する涙
滴形タンクの諸元を説明するための概念図である。

【図２】図１に示す涙滴形タンクを液面に対して略直交
する方向から見た周方向座標を示す概念図である。

【図３】図１に示す涙滴形タンクの液面のψ＝ψ₁の位
置からタンク中心軸ｚを通る面における液体の縦断面図
である。

【図４】図１に示す涙滴形タンクの液面のψ＝ψ₂の位
置からタンク中心軸ｚを通る面における液体の縦断面図
である。

【図５】本発明の方法において、球座標系を設定する方
法を説明するための概念図である。

【図６】本発明の方法に基いて計算した設計モデルパラ
メータの一例を示すグラフである。

【図７】本発明の方法に基いて計算した設計モデルパラ
メータの他の例を示すグラフである。

【図８】涙滴形タンクの概要を説明するための縦断面図
である。

【図９】図８に示す涙滴形タンクのマス−ばね設計モデ
ルを図示化した概念図である。

【符号の説明】

１ 涙滴形タンク ２ 推薬液（液体） ３ 取出し口 ４ 液面 ５ タンク壁面 Ｚ スピン軸 ｚ 中心軸 Ｒ，θ 極座標 ψ 周方向座標 φ 速度ポテンシャル

Claims (1)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 スピン軸に対して中心軸が所定の角度傾
   斜した涙滴形タンクの中心軸と涙滴形タンク内の液面の
   周方向の所定の位置を通る、液体の縦断面を想定し、各
   液体の縦断面において極座標を取り、該極座標と液面の
   タンク壁面に接する部分の周方向座標とで構成した球形
   座標を用いて液体運動を支配するラプラス方程式∇²φ
   ＝０（φは速度ポテンシャル）の解を直交関数の重ね合
   せにより解析的に決定し、直交関数展開により液体運動
   を離散化して問題を展開係数に関する連立一次方程式に
   帰着させ、該連立方程式を解いてマス−ばね設計モデル
   を作成することを特徴とする涙滴形タンク内の液体のス
   ロッシング解析によるマス−ばね設計モデル作成方法。