JP4232529B2 - コリオリ加速度を考慮した涙滴形タンク内スロッシングのメカニカルモデル作成方法 - Google Patents
コリオリ加速度を考慮した涙滴形タンク内スロッシングのメカニカルモデル作成方法 Download PDFInfo
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Description
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、コリオリ加速度を考慮した涙滴形タンク内スロッシングのメカニカルモデル作成方法に関するものである。
【０００２】
【従来の技術】
低重力あるいは無重力の宇宙空間を航行する衛星には、スピン衛星と呼ばれる衛星があり、該スピン衛星は自転しつつ航行を行うようになっている。
【０００３】
而して、スピン衛星では、推薬液を収納するタンクとして、略半球状の外殻の開口部側に円錐状の外殻を、略半球状の外殻から離れる方向へ向けて先細りとなるよう接続した、いわゆる涙滴形タンクが使用されており、斯かる涙滴形タンクの一例は図１０に示されている。
【０００４】
図１０中、１は涙滴形タンク（以下単にタンクという）であり、該タンク１は、スピン衛星の自転軸であるスピン軸Ｚから離れた位置に、円錐状の外殻の先細り状の先端がスピン軸Ｚを基準として外方へ向くよう、配設され、先細り状の円錐部の先端には推薬液２の取出し口３が設けられている。
【０００５】
又、タンク１の中心軸ｚは、タンク１の半球状の外殻の頂部が中心軸ｚに近接し円錐状の外殻に設けた取出し口３が中心軸ｚから離反するよう、スピン軸Ｚに対し傾斜角度γで傾いている。
【０００６】
なお、図１０中、Ωはスピン衛星のスピン軸Ｚに対するタンク１のスピン角速度、ａはタンク１の半球状の外殻の部分の半径、Ｌはスピン軸Ｚからタンク１の半球状の外殻の半径ａの起点となる点までの最短距離、θＣはタンク１における円錐状の外殻のタンク１の中心軸ｚに対する半頂角、ｇはスピン衛星が推進加速することによりスピン衛星に作用する慣性力である見掛けの重力、ｘはタンク１の円錐状の外殻の取出し口３側の頂点を通り中心軸ｚに直交する座標軸、ｙは中心軸ｚと座標軸ｘの交点を通ると共にｘ、ｙ軸に直交する方向（図１０の場合は紙面と直交する方向）へ延在する座標軸である。
【０００７】
図１０に示すごとき構造のタンク１を用いるのは、スピン衛星のスピンによる遠心力と見掛け上の重力ｇを利用して、推薬液（液体）２を常に取出し口３に保持するためである。
【０００８】
一方、航行中のスピン衛星の機体に揺れ等による強制加速度外乱が作用すると、タンク１内で推薬液２の振動（スロッシング）が生じるが、これは推薬液２の揺れに伴い生じる動圧がタンク１を介して機体に伝達され、その結果機体に力及びトルクを作用させるため、機体の姿勢を制御するための姿勢制御系にとって望ましくない外乱となる。
【０００９】
従って、スピン衛星の設計に際しては、推薬液２のスロッシングが機体に及ぼす力やトルクを考慮に入れた姿勢制御系の設計が重要な課題となり、斯かる設計を行うためにはタンク１内の推薬液２のスロッシングの状態を解析すると共にその解析結果からスロッシングと等価な動特性（固有振動数及びタンク１に及ぼす力やトルク）を持った設計マスばねモデル（メカニカルモデルという）を作成することが必要である。
【００１０】
ところが、推薬液２のような液体は、連続体であるため、制御対象としての取扱いが難しく、設計に便利ではない。そこで、設計を容易に行うためにタンク１内の推薬液２を図１１に示すような設計マスばねモデルに置き換え、設計マスばねモデルのパラメータｍ，ｍ０，ｋ，ｌ，ｌ０を適切な値に設定してそのデータを基に制御系を設計することが従来から行われている。
【００１１】
ここで、適切な値に設定するとは、置き換えられた設計マスばねモデル系ともとの推薬液２のスロッシング系とで、タンク１に及ぼす力、トルクの強制加速度外乱に対する周波数特性が、重要な低い周波数帯域において一致するように設定することである。
【００１２】
又、図１１のパラメータ中、ｍはタンク１内においてタンク１の中心軸ｚに直交する方向であるｘ方向へ可動な可動物体の質量、ｍ０はタンク１内に固定された固定物体の質量、ｋは可動物体のばね定数、ｌはタンク１の円錐状の外殻の頂点に設定したｘ軸、ｙ軸、ｚ軸の原点から可動物体までの距離、ｌ０は原点から固定物体までの距離である。
【００１３】
ところで、マスばね系の設計モデルを作成するにあたっては、その前の段階としてスロッシングの解析が必要であるが、斯かるスロッシングの解析手段として従来から有限要素法（ＦＥＭ）等の数値解析手法と解析的手法が知られている。
【００１４】
数値解析手法の場合には、一般に妥当な精度の解を得るためには、計算領域となる液体を多数の要素に分割し、分割した要素ごとに多数の独立点の物理量を未知変数として方程式を解く必要がある。従って細かい要素分割が必要で、自由度が膨大となり、計算時間が長くなって計算コストが嵩むという問題がある。
【００１５】
一方、解析的手法では、細かい要素分割が不要で計算コストを安価にすることはできるが、一般に解析的手法を適用できるのは、円筒形タンクのごとき軸対称の場合、すなわち軸対称問題の場合である。
【００１６】
しかるに、図１０に示すごとき涙滴形のタンク１内の推薬液２のスロッシングは、スピン軸Ｚと見掛け上の重力ｇの方向がタンク１の軸対称軸である中心軸ｚに全く一致しない典型的な非軸対称問題となって解析的な手法の適用は困難であり、従って上述のごとき非軸対称問題の算定に対しては数値的手法に依存せざるを得ず、計算時間が長く掛り、計算コストが嵩むという弊害を排除することができない。
【００１７】
特許出願人は、スピン軸に対して中心軸が所定の角度傾斜した涙滴形タンクの中心軸と涙滴形タンク内の液面の周方向の所定の位置を通る、液体の縦断面を想定し、各液体の縦断面において極座標を取り、該極座標と液面のタンク壁面に接する部分の周方向座標とで構成した球形座標を用いて液体運動を支配するラプラス方程式∇2Φ＝０（Φは速度ポテンシャル）の解を直交関数の重ね合せにより解析的に決定し、直交関数展開により液体運動を離散化して問題を展開係数に関する連立一次方程式に帰着させ、該連立方程式を解いて設計マスばねモデルを作成するという特許出願を行った（特許文献１参照）。
【００１８】
【特許文献１】
特開平１１−０５３３４１号公報
【００１９】
【発明が解決しようとする課題】
特許文献１の発明では、球座標の軸をタンク円錐部の頂点からとるようにして涙滴形タンクの加振に対するスロッシングの周波数特性の評価を行っており、また、コリオリ加速度を考慮していない。この発明は、コリオリ加速度を省略しても、作成した設計マスばねモデルがタンクに付けられて回転させられれば、コリオリ加速度を受けることになるので、問題ないだろうと考えられてなしたものである。
【００２０】
しかし、上記特許文献１に示された涙滴形タンク内スロッシングの設計マスばねモデルの作成において、コリオリ加速度を定量的に考慮することができれば、実際のスロッシングの周波数特性により近似した設計マスばねモデルが作成できて衛星の姿勢制御性の精度向上に寄与できる。
【００２１】
本発明は、上述の実情に鑑みてなしたもので、涙滴形タンク内の推薬液のような液体のスロッシングのごとき非軸対称問題に対し、解析的アプローチを可能にし、以って計算時間の短縮、計算コストの削減が可能で、且つ実際のコリオリ加速度を含むスロッシング系の周波数特性を高い精度で近似できる、コリオリ加速度を考慮した涙滴形タンク内スロッシングのメカニカルモデル作成方法を提供することを目的としてなしたものである。
【００２２】
【課題を解決するための手段】
請求項１に記載の発明は、スピン軸に対して中心軸が所定の角度傾斜したスピン衛星における涙滴形タンクの液面の中央で液面と直交する第３の座標軸と該第３の座標軸と直交し且つ互いに直交した第１及び第２の座標軸を有する直交座標系を設定し、且つ前記第３の座標軸回りに周方向座標をとり、該周方向座標の０度から３６０までの間を複数区間に分割し、その各区間について液面とタンク壁面との交線でタンク壁面に接線を引き、この接線と前記第３の座標軸との交点を原点とする球座標を設定し、前記涙滴形タンクのスロッシング系において第１の座標軸方向にタンクを加振したときにタンクが受ける第１の座標軸方向の力と第２の座標軸回りのモーメントの周波数特性を求めて、この第１の座標軸方向加振での周波数特性を近似的に表わせる設計マスばねモデルを作成し、また、第２の座標軸方向にタンクを加振したときにタンクが受ける第２の座標軸方向の力と第１の座標軸回りのモーメントの周波数特性を求めて、この第２の座標軸方向加振での周波数特性を近似的に表わせる設計マスばねモデルを作成し、一方、非ポテンシャル流にも適用可能な変分原理、解の表示を導入してコリオリ加速度により分離したスロッシングの固有振動数を評価し、該評価した分離固有振動数を近似的に表わすように前記各設計マスばねモデルのばね定数を修正することを特徴とするコリオリ加速度を考慮した涙滴形タンク内スロッシングのメカニカルモデル作成方法、に係るものである。
【００２４】
請求項２に記載の発明は、前記各設計マスばねモデルのばね定数の修正は、各設計マスばねモデルにコリオリ加速度が作用したときに生じる第１の座標軸と第２の座標軸の加振方向の連成項に固有振動数の分離度合を制御する定数を導入し、各加振方向のばね定数を前記評価したスロッシングの分離固有振動数に合わせて修正することを特徴とする請求項１に記載のコリオリ加速度を考慮した涙滴形タンク内スロッシングのメカニカルモデル作成方法、に係るものである。
【００２５】
上記手段によれば、以下のように作用する。
【００２６】
涙滴形タンクの加振に対するスロッシングの周波数特性の評価に際し、球座標の軸が液面と大体直角に液面の中央近くで交わるようにしてタンク円錐部のどこからでもとれるようにし、解の表示を、どの座標方向にも直交関数となる直交モード関数の重ね合わせで与えることにより、非ポテンシャル流にも適用可能にしてコリオリ加速度を含むスロッシングの周波数特性が解析的方法で評価可能となり、自由度が低減し、従って従来の有限要素法の数値的手法に比べてスロッシング系の解析、延いては設計マスばねモデル作成のための計算時間が短くなり、計算コストが安価になる。
【００２７】
従って、前記解の表示に基づき、まず、コリオリ加速度を考慮せずに、液面とほぼ平行で互いに直交する２つの加振方向について周波数特性を近似的に表わす設計マスばねモデルを別個に作成し、次に、これらの設計マスばねモデルを連成させてコリオリ加速度による固有振動数の分離が取り込めるようにし、コリオリ加速度により分離したスロッシングの固有振動数を評価して、この評価した分離固有振動数を近似的に表わせるように前記各設計マスばねモデルのばね定数を修正するようにしたので、コリオリ加速度を含む実際のスロッシング系の周波数特性に非常に近似した周波数特性を持つ設計マスばねモデルが作成できる。
【００２８】
このように、スロッシング系によるコリオリ加速度を含むスロッシングの周波数特性と近似した周波数特性を持つ設計マスばねモデルの作成が可能になることによって、衛星に対するスロッシングの影響を正確に評価して衛星の姿勢制御性を大幅に向上させることができる。
【００２９】
【発明の実施の形態】
以下、本発明の好適な実施の形態を図面に基づいて説明する。
【００３０】
図１〜図４は本発明の形態の概要を示す概念図であり、図１は本発明を適用する涙滴形タンクとその座標系を示す概念図、図２は力参照座標とメカニカルモデルの概念図、図３は球座標の設定方法の概念図、図４は球座標の原点と軸を決める座標変換の概念図である。
【００３１】
１．方法の詳細
［問題の設定と手順］
図１に示す液滴形タンク１は、円錐形と球形の部分とが接合された形をしており、円錐部の母線をスピン軸とほぼ平行となるように傾けて設置されている。このため、スピンによる遠心力と推進加速度による重力のうちどちらが支配的な場合にも、推薬液２をその取出し口３(円錐部の頂点)に保持できる機能をもつ。図１で、
ａ：球形部の半径
θＣ ：円錐部の半頂角
Ω：スピン角速度
ｇ：推進加速度による重力
γ：タンクの中心線がスピン軸方向となす角（θＣよりわずかに大きい角）
Ｌｃｅｎｔ、Ｈｃｅｎｔ：タンクの球形部中心のスピン軸からの距離、基準面からの高さ
（Ｘ，Ｙ，Ｚ）：空間に固定された座標系
（ｘ，ｙ，ｚ）：衛星に固定された座標系
α：タンクの球形部中心の位置を規定する角
（ｘ'，ｙ'，ｚ'）：（ｘ，ｙ，ｚ）をｚ軸回りにα回転させた座標系
（［ｘ］,［ｙ］,［ｚ］）：タンク参照座標系（［ｚ］がタンクの中心線でｚ'ｘ'面内にある）。(ｘ'，ｙ'，ｚ'）をｙ'軸回りに180度−γだけ回転させ、原点を円錐部頂点まで移動させて得られる。
【００３２】
目的は、液面にほぼ平行な互いに直交する２方向にタンクが加振された時、この加振に対するスロッシングによる力とモーメントの周波数応答を近似的に表せるメカニカルモデル（設計マスばねモデル）を作成することである。以下の手順でこのようなメカニカルモデルを作成する：
(1)力参照座標系（加振方向と着目する力、モーメントの方向を決める座標系）を図２のように設定する。図２で、
（〈ｘ〉，〈ｙ〉，〈ｚ〉）：力参照座標系。（ｘ'，ｙ'，ｚ'）をｙ'軸回りに180度−回転させ、原点を（ｘ'，ｙ'，ｚ'）＝（ｘ'０，０，ｚ'０)まで移動させて得られる。〈γ〉，ｘ'０，ｚ'０は、〈ｚ〉軸が液面と液面中央付近で大体直角に交わるように設定する（あとの適用例参照）。したがって図２は重力が支配的で液面がほとんど水平な場合である。
(2)解析的方法の適用を可能にする球座標を設定する（ステップＩ）。
(3)コリオリ加速度を省略したスロッシング系において、
〈ｘ〉方向のタンク加振加速度
【外１】
に対する、タンクに作用する〈ｘ〉方向の力と〈ｙ〉軸回りのモーメントの周波数特性
を求める（ステップＩＩ〜Ｖ）。
(4)このスロッシングに対して図２のメカニカルモデル５を考え、以下の条件：〈ｘ〉方向のタンク加振加速度
【外２】
を受けた時の、タンクに作用する〈ｘ〉方向の力と〈ｙ〉軸回りのモーメントの周波数特性が、(3)で求めたスロッシング系のものと一致する
を満たすようにメカニカルモデル５の以下のパラメータを定める（ステップＶＩ）。
ｍ１、ｍ０：スロッシュマス、固定マス
ｌ１、ｌ０：スロッシュマス、固定マスの取付け位置
ｋ１：スロッシュマス取付けばね６のばね定数
(5)方向のタンク加振加速度
【外３】
に対しても上の(3),(4)同様にメカニカルモデル５を作成する。
(6)コリオリ加速度により分離したスロッシングの固有振動数を評価する。このために非ポテンシャル流にも適用可能な変分原理、解の表示を導入する。
(7)(4),(5)のメカニカルモデル５を、(6)で評価したスロッシング周波数特性を近似的に表わせるものに修正する。具体的には、メカニカルモデル５にコリオリ加速度が作用したときに生じる２加振方向の連成項に固有振動数の分離度合いを制御する定数を導入し、２加振方向のばね６のばね定数を(6)で評価したスロッシングの分離固有振動数に合わせて修正する（ステップＶＩＩ、ＶＩＩＩ）。
【００３３】
以上が本発明の実施の形態において推薬液のスロッシングの設計マスばねモデル５（メカニカルモデル）の作成を行う際の概要であり、これらは［Ｉ］〜［ＶＩＩＩ］のステップに分けられる。
【００３４】
即ち、
［Ｉ］球座標系の導入
［ＩＩ］液体の運動方程式
［ＩＩＩ］静的液面形状
［ＩＶ］重力、遠心力下での変分原理
［Ｖ］重力、遠心力下でのスロッシング解析
［ＶＩ］重力、遠心力下でのメカニカルモデル作成
［ＶＩＩ］コリオリ加速度による分離固有振動数の算定
［ＶＩＩＩ］修正メカニカルモデル
【００３５】
次に、上記［Ｉ］〜［ＶＩＩＩ］のステップについて詳述する。
【００３６】
スロッシング解析は以下の仮定下で行う。(i)液体は非圧縮完全流体、タンクは剛体とする。(ii)回転座標系からみた流速成分、液面の静的平衡位置からの振動変位は微小で、線形理論が適用できる。
【００３７】
［Ｉ］球座標系の導入
液滴形タンクに関する液体運動解析は、液体の静的形状が非軸対称であるため解析的取り扱いが困難であり、ＣＦＤに頼るのが通例であるが、以下のように球座標を設定すれば液体運動の特性関数系を解析的に決定して直交関数展開法を適用することができ、これによって、ＣＦＤに比べ計算時間、コストが著しく低減できる利点が得られる。まず、図３のように
（［ｘ'］、［ｙ'］、［ｚ'］）；［ｚ'］軸が液面の中央付近と大体直角に交わる直交座標系
を設定し、［ｚ'］軸回りに周方向座標φをとり、φの０度から３６０度までの区間をＮ個の区間に分割する。尚本文中のφは、下記各式中においては
【外４】
と記載するが、同一のものを表わす。その各区間
φｊ−０．５Δφ≦φ≦φｊ＋０．５Δφ
(Δφ＝２π／Ｎ； φｊ＝０．５Δφ＋（ｊ−１）Δφ； ｊ＝１，２，．．．Ｎ) …(1)
について、液面Ｍとタンク壁面４との交線でタンク壁面４に接線を引き（平面φ＝φｊ内で）、この接線と［ｚ'］軸との交点を原点として球座標ＯＲθφを設定する（周方向分割区間を表わす添え字ｊは数式の煩雑さを避けるため省略する）。このような球座標設定の例を２つのｊの値について図３に示す。このような球座標を用いて、静的平衡時の液面Ｍ、振動している液面Ｆ、タンク壁面Ｗを
Ｍ：Ｒ＝ＲＭ（θ）, Ｆ：Ｒ＝ＲＦ（θ，φ，ｔ）＝ＲＭ（θ）＋ζ（θ，φ，ｔ），Ｗ：Ｒ＝ＲＷ（θ） …(2a,b,c)
と表わす。ここで
ＲＭ（θ）：静的平衡時の液面のＲ座標
ＲＷ（θ）：タンク壁面のＲ座標
ζ（θ，φ，ｔ）：液面の振動変位
【００３８】
式(2)のような表わし方には以下の利点がある。すなわち、液面変位がタンク壁面でタンク壁面に沿う（接する）べきであるという運動学的適合性を、タンク壁面が湾曲していても変位ベクトルの１方向成分（Ｒ成分）のみの設定で満足でき、幾何学的取り扱いが便利である。
【００３９】
ひとつ注意すべきことは、図３で原点Ｏがあるφでタンクの上側から下側に飛び移ることがあり、このようなφで＋Ｒ方向に定義された液面変位ζが不連続に変化することである。これに対しては、原点がタンクの上側、下側のどちら側にあるかに応じて−１，１をとるパラメータεを導入してζを符号反転させ、−εζ（液体領域から外側への液面変位）を連続関数とみて特性関数で展開する配慮を施す（式(18)）。
【００４０】
２つの座標系（図３参照）
（［ｘ'］，［ｙ'］，［ｚ'］）：球座標参照座標系
（［ｘ］，［ｙ］，［ｚ］）： タンク参照座標系
の関係は、原点移動とオイラー(Euler)角による回転（図４）で一般的に与えておく：
【数１】
ここで、回転に対応する行列成分の一例は
Ｅ１１＝ｃｏｓφＥｃｏｓθＥｃｏｓΨＥ−ｓｉｎφＥｓｉｎΨＥ，
Ｅ１２＝ｃｏｓφＥｃｏｓθＥｓｉｎΨＥ−ｓｉｎφＥｓｉｎΨＥ，Ｅ１３＝ｃｏｓφＥｓｉｎθＥ …(3b)
（φＥ，θＥ，ΨＥ）：オイラー角
【００４１】
［ＩＩ］液体の運動方程式
液体の運動方程式は次式で与えられる。
（δｖｘ）／（δｔ）−２Ωｖｙ＋１／ρ（δＰ）／（δｘ）＝０，（δｖｙ）／（δｔ）＋２Ωｖｘ＋１／ρ（δＰ）／（δｙ）＝０，（δｖｚ）／（δｔ）＋１／ρ（δＰ）／（δｚ）＝０ …(4a,b,c)
ここで
Ｐ＝ｐ−ρｇｚ−（１／２）ρΩ２（ｘ２＋ｙ２） …(5)
ｖｘ，ｖｙ，ｖｚ：流速成分
ｐ：圧力
ρ：液体の密度
尚本文中のδは、下記各式中においては
【外５】
と記載するが、同一のものを表わす。
【００４２】
運動方程式(4)をステップ［Ｉ］で導入した球座標に変換し、加振加速度による慣性力を考慮して次式を得る。
【００４３】
【数２】
ここで
ｆ１（θ，φ）＝ｃｏｓ（Ｒ，ｙ）ｃｏｓ（θ，ｘ）−ｃｏｓ（Ｒ，ｘ）ｃｏｓ（θ，ｙ）
ｆ２（θ，φ）＝ｃｏｓ（Ｒ，ｙ）ｃｏｓ（φ，ｘ）−ｃｏｓ（Ｒ，ｘ）ｃｏｓ（φ，ｙ）
ｆ３（θ，φ）＝ｃｏｓ（θ，ｙ）ｃｏｓ（φ，ｘ）−ｃｏｓ（θ，ｘ）ｃｏｓ（φ，ｙ） …(7)
【００４４】
［ＩＩＩ］静的液面形状
スロッシング解析に先立ち、遠心力と重力との静的平衡条件によって決まる静的液面形状を求めておく必要がある。運動方程式(6)で、流速と加振加速度を０におき、圧力ｐを静圧ｐｓｔとみなしてつりあい方程式に帰着させる。この式を積分してｐ＝Ｃ１（Ｃ１は積分定数）すなわち
ｐｓｔ＝ρ［ｇｚ＋（１／２）Ω２（ｘ２＋ｙ２）］＋Ｃ１ …(8)
を得る。ｐｓｔが未知形状の液面ｚ＝ｚｓｔ（ｘ，ｙ）において０になる条件より、液面形状を表わす関数形ｚｓｔ（ｘ，ｙ）が決定される：
ｚ＝ｚｓｔ（ｘ，ｙ）＝−（Ω２／２ｇ）（ｘ２＋ｙ２）−（Ｃ１／ρｇ） …(9)
定数Ｃ１はタンクの液体充填率より定まる。式(9)より、静的液面は回転放物面である。
【００４５】
［ＩＶ］重力、遠心力下での変分原理
式(6)で圧力ｐを以下のように表わす：
ｐ＝ｐｓｔ＋ｐｓｌｏ＋ｐｉｍｐ …(10)
ここで
ｐｓｔ： ステップ［ＩＩＩ］で決定した静圧。
ｐｓｌｏ： 液面の振動によって発生するスロッシュ圧（未知）。
ｐｉｍｐ： 衝撃圧力。タンクの強制加速度によって液体が一体となって剛体移動する際の慣性によって生じ、次式によって与えられる。
【数３】
ここで液面Ｍ上での平均圧力０の条件より
【数４】
【００４６】
式(10)を運動方程式(6)に代入して静的な関係(8)を考慮し、コリオリ加速度を省略すると
（δ／δｔ）｛ｖＲ，ｖθ，ｖφ｝Ｔ＝−ｇｒａｄ（ｐｓｌｏ／ρ） …(13)
なる関係が導かれるので、スロッシュ圧と
（δ／δｔ）Φ＝−ｐｓｌｏ／ρ …(14)
の関係にある速度ポテンシャルΦが存在する。そこで、速度ポテンシャルで表わされた変分原理[文献(1)の式(19)、文献(2)の式(18)]を適用し、さらに文献(3)p.600にならい速度ポテンシャルΦの代わりにスロッシング圧力ｐｓｌｏと流体変位成分
【数５】
で表わして時間に関する部分積分を行う。そして、変分原理中に現れる法線ベクトルなどを球座標で表示し、液面境界条件を線形近似して次式を得る。
【００４７】
【数６】
（ｆ４（θ，φ），ｆ５（θ，φ）：タンクの位置によって決まる関数、表記省略）
【００４８】
［Ｖ］重力、遠心力下でのスロッシング解析
この変分原理をガレルキン法によりモード方程式に変換する。解を解析的に表示するためにステップ［Ｉ］で導入した球座標が効力を発揮する。圧力の解をラプラス方程式の解としてもとめ、次にこの結果を式(13)に用い時間積分して流体変位成分の解を導く：
【数７】
ここで、右辺に現れる特性関数系は下記の通りである。
【００４９】
【数８】
ここで
Ｌｌ：規格化定数
λｍｋとΘｍｋ：次の境界値問題の解として定まるｋ番目の固有値、固有関数
Θ''＋ｃｏｔθΘ'+[λ−（ｍ２／ｓｉｎ２θ)］Θ＝０ …(22)
Θ'＝０ ａｔ θ＝θｍａｘ …(23)
αｍｋ１：方程式α（α＋１）＝λｍｋの２根、すなわち
αｍｋ１＝１／２［−１−（１＋４λｍｋ）１／２］，αｍｋ２＝１／２［−１＋（１＋４λｍｋ）１／２］
【００５０】
式(17),(18)を変分原理(16)の強制加速度項を省略した式に代入し、未定定数Ａｍｋｌｑ，Ｃｍｋｑの変分に関する停留条件を課して、これらの未定定数に関する同次１次方程式系を導く。これは固有値問題の形
（−ω２Ｍ＋Ｋ）Ｘ＝０ …(24)
（Ｘ：Ａｍｋｌｑ，Ｃｍｋｑを並べた列ベクトル）
になり、さらにＣｍｋｑのみに関する固有値問題に縮小できて、これを解くことにより固有振動数とモード関数を決定する。
【００５１】
メカニカルモデル５（図２参照）を
２つの加振方向:〈ｘ〉，〈ｙ〉
について求めるが、各モデルともその加振方向に振動するモードのうちの最低次モードについて求める。これらのメカニカルモデル５は、独立かつ同様に求められるので、図２紙面内の加振方向についてのみ説明する：解をモード関数で次のように表わす。
【００５２】
【数９】
【００５３】
式(25-27)を変分原理(16)に代入してモード座標ｑ(t)に関して変分をとり、次の形のモード方程式を導く：
【数１０】
タンクが液体から受ける動的な力とモーメントを、タンク壁での動圧を積分して計算すると、次のような形に表わされる：
【数１１】
（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄは定数）
モード方程式(28)の正弦波加振
【数１２】
に対する定常振動解を求め、式(29)に代入すると力、モーメントの加振加速度に対する周波数応答が以下のように求められる。
【００５４】
【数１３】
【００５５】
［ＶＩ］重力、遠心力下でのメカニカルモデル作成
図２のメカニカルモデル５が同様な加振(30)を受けたときのスロッシュマスの運動方程式、タンクに作用する力、モーメントを計算し、以下の式を得る。
【００５６】
【数１４】
ここで
Ｐ０〈ｘ〉＝Ω２ｃｏｓ２〈γ〉，Ｐ１〈ｘ〉＝Ω２（ｃｏｓ２〈γ〉−ｓｉｎ２〈γ〉），
Ｐ２〈ｘ〉＝Ω２ｘ'０ｓｉｎ〈γ〉＋ｇｃｏｓ〈γ〉 …(34)
【００５７】
式(32),(33)より、メカニカルモデルの力、モーメントの正弦波加振(30)に対する応答を計算すると
【数１５】
ここで
ω〈ｘ〉，ｍｅｃｈ＝［(ｋ１〈ｘ〉−ｍ１〈ｘ〉Ｐ０〈ｘ〉）ｍ１〈ｘ〉 ]１／２ …(36)
【００５８】
式(31)の力、モーメントが式(35)の力、モーメントに任意の加振周波数ωｆについて等しい条件より、メカニカルモデルの諸定数が次のように定まる。
【００５９】
ｍ０〈ｘ〉＝−Ａ〈ｘ〉β〈ｘ〉−Ｂ〈ｘ〉，ｍ１〈ｘ〉＝Ａ〈ｘ〉β〈ｘ〉／（１＋ω〈ｘ〉 −２Ｐ０〈ｘ〉），ｋ１〈ｘ〉＝ｍ１〈ｘ〉（ω〈ｘ〉 ２＋Ｐ０〈ｘ〉） …(37a,b,c)
ｌ０〈ｘ〉＝（Ｃ〈ｘ〉β〈ｘ〉＋Ｄ〈ｘ〉）／（−ｍ０〈ｘ〉），ｌ１〈ｘ〉＝（Ｃ〈ｘ〉β〈ｘ〉ω〈ｘ〉 ２−ｍ１〈ｘ〉Ｐ２〈ｘ〉）／（ｋ１〈ｘ〉＋ｍ１〈ｘ〉Ｐ１〈ｘ〉） …(38a,b)
【００６０】
[ＶＩＩ］ コリオリ加速度による分離固有振動数の算定
ステップ［Ｖ］で定まる固有振動数は２つの加振方向で大体等しく（図７参照）、ひとつの固有振動数ω０，ｓｌｏとみなせる。この固有振動数がコリオリ加速度の影響で２つの固有振動数ω１，ｓｌｏとω２，ｓｌｏに分離する。本ステップ［ＶＩＩ］ではメカニカルモデル修正のための第一歩として、これらの値を予測する。コリオリ加速度のある場合にはラプラス方程式の理論が使えないので、より一般的な変分原理と解の表示が必要になる。まず、変分原理として、運動方程式(6)を変分表示して式(16)に付加した次式を用いる。
【００６１】
【数１６】
ここで
【数１７】
【００６２】
次に、解の表示について考える。ラプラス方程式が使えないので、Ｒに依存する部分にも一般的な直交関数を使いたい。しかしＲの上下限ＲＷ、ＲＭが一定でなくθの関数として変化するのが問題である。このような場合の従来からの頻用手法は、θの定義域を多くの区間に分割し、その各区間ごとに解を、局所的に一定な不連続固有値と、独立な一般化座標で表わし、これらの一般化座標を隣接区間との境界での連続条件から決める方法であった。このような方法とは異なり、本評価法では次式
【数１８】
のように解を表わし、固有値に相当するｃｏｓの中の
π（ｌ−１）／（Ｒｗ−ＲＭ） …(43)
を連続関数として扱いその微分を考慮することによって隣接区間との境界での連続性を満たさせ、θの定義域全体に渡って共通の一般化座標
ａｍｋｌｑ，ｂｍｋｌｑ，ｃｍｋｌｑ，ｄｍｋｌｑ，ｅｍｋｑ
を使うことによって自由度数、計算時間、コストの低減を計る。式(41),(42)を式(40)に代入し、一般化座標に関する変分計算を実行すると
（−ω２Ｍｓ＋ｉωＣｓ＋Ｋｓ）Ｘｓ＝Ｆｓ …(44)
の形の行列方程式が導かれる。ここで
Ｍｓ，Ｋｓ：質量および剛性行列
Ｃｓ：コリオリ加速度項に由来する逆対称行列
Ｘｓ：一般化座標を並べた列ベクトルである
【００６３】
これを解いて共振ピ−クの現れる周波数を捜すと、スロッシングの基本次固有振動数がコリオリ加速度によって２つに分離した値ω１，ｓｌｏとω２，ｓｌｏが分かる。
【００６４】
［ＶＩＩＩ］ 修正メカニカルモデル
ひとつのマスｍ１が加振２方向にそれぞれ別のばね定数のばね６でタンクにつながれ、タンクがｚ軸回りにスピンを受けた場合を考え、このマスの加振２方向の運動方程式を導くと、
【数１９】
ここで
ｋ１〈ｘ〉, ｋ１〈ｙ〉：加振２方向のばね定数
ｕ，ｖ：加振２方向の動的変位
【００６５】
これに基づき、ステップ［ＶＩ］のメカニカルモデル５（式(32)ともう一方の加振方向に対して同様に導かれる式、省略）を修正したメカニカルモデル５を次のように表わす。
【００６６】
【数２０】
ここで
ｍ１〈ｘ〉、ｍ１〈ｙ〉：〈ｘ〉，〈ｙ〉方向の運動に関する慣性マスでステップ［ＶＩ］で求めた値とする。
ｃ： コリオリ加速度による連成項によって生ずる固有振動数の分離の度合いをコントロールする定数；
ｋ'１〈ｘ〉、ｋ'１〈ｙ〉：分離した固有振動数の値を調整するための修正ばね定数
【００６７】
そして力、モーメントは次式によって与えられる：
【数２１】
【００６８】
式(46)の振動数方程式は
Ａω４＋Ｂω２＋Ｃ＝０ …(48)
ここで
Ａ＝ｍ１〈ｘ〉ｍ１〈ｙ〉
Ｂ＝ｍ１〈ｙ〉（−ｋ'１〈ｘ〉＋ｍ１〈ｘ〉Ω２ｃｏｓ２〈γ〉）＋ｍ１〈ｘ〉（−ｋ'１〈ｙ〉＋ｍ１〈ｙ〉Ω２）−４ｍ１〈ｘ〉ｍ１〈ｙ〉Ω２ｃｏｓ２〈γ〉・ｃ２
Ｃ＝（ｋ'１〈ｘ〉−ｍ１〈ｘ〉Ω２ｃｏｓ２〈γ〉）（ｋ'１〈ｙ〉−ｍ１〈ｙ〉Ω２） …(49)
【００６９】
式(48)のω２に関する２根の平均と差が、ステップ［ＶＩＩ］で求めた分離固有振動数の２乗の平均と差にそれぞれ等しい条件を課すと
（−Ｂ）／（２Ａ）＝（ω１，ｓｌｏ ２＋ω２，ｓｌｏ ２）／２，（（Ｂ２−４ＡＣ）１／２）／Ａ＝ω２，ｓｌｏ ２−ω１，ｓｌｏ ２ …(50a,b)
式(50a),(50b)よりＢを消去して
Ｃ／Ａ＝ω１，ｓｌｏ ２ω２，ｓｌｏ ２ …(51)
を導き、式(49)を代入すると、次のようになる。
【００７０】
ω１，ｓｌｏ ２ω２，ｓｌｏ ２＝（ｋ'１〈ｘ〉−ｍ１〈ｘ〉Ω２ｃｏｓ２〈γ〉）／ｍ１〈ｘ〉・（ｋ'１〈ｙ〉−ｍ１〈ｙ〉Ω２）／ｍ１〈ｙ〉 …(52)
【００７１】
式(52)の右辺の第１、２因数が積ω１，ｓｌｏω２，ｓｌｏに等しくなるようにｋ'１〈ｘ〉、ｋ'１〈ｙ〉を定める。このようにして求めたメカニカルモデル５の周波数応答が、スロッシングの周波数応答の共振挙動をよく表わすことを、次節で確かめる。
【００７２】
２．適用例
まず、重力のみでスピンのない場合についてステップ［ＶＩ］のメカニカルモデルのパラメータを計算した。その結果を図５に示す。
【００７３】
図５の(a)は固有振動数ω１〈ｘ〉／２π、ω１〈ｙ〉／２π（Ｈｚ）、
(b)は スロッシュマスｍ１〈ｘ〉、ｍ１〈ｙ〉（ｋｇ）、
(c)はスロッシュマスｍ１〈ｘ〉、ｍ１〈ｙ〉（液体の全質量ｍｌｉｑｕｉｄで無次元化した値）、
(d)はスロッシュマスの取付け位置ｌ１〈ｘ〉、ｌ１〈ｙ〉(球形部半径で無次元化した値)、
(e)は固定マスの取付け位置ｌ０〈ｘ〉、ｌ０〈ｙ〉(球形部半径で無次元化した値)である（重力支配下; 実線、一点鎖線は〈ｘ〉、〈ｙ〉加振に対する値）。
［ａ＝０．２５ｍ，θＣ＝４０ｄｅｇ，γ＝４３ｄｅｇ，Ｌｃｅｎｔ＝０．５ｍ，Ｈｃｅｎｔ＝０ｍ，α＝０，Ω＝０ｒｐｍ，ｇ＝２ｍ／ｓ２，ρ＝１００９ｋｇ／ｍ３；
力参照座標（〈ｘ〉，〈ｙ〉，〈ｚ〉）の傾き〈γ〉＝０、原点の（ｘ'，ｙ'，ｚ'）座標（Ｌｃｅｎｔ，０，Ｈｃｅｎｔ＋ａ（図２参照）；
球座標参照座標（［ｘ'］，［ｙ'］，［ｚ'］）の傾き（φＥ，θＥ，ΨＥ）＝（０，−３８°，０），原点の［ｘ］，［ｙ］，［ｚ］）座標（０．１４，０，０．１７）ｍ（図３，４参照）］
【００７４】
注意すべきことは、スロッシュマスが液体充填率の増加とともに単調増加せず、途中の充填率で最大となることである。この理由は、充填率が１００％に近づくと液面の面積が小さくなって拘束が強くなり、一方、低い充填率では全液体量が小さいためスロッシュマスも小さくなるためである。以上の結果、スロッシュマスは中間より多少高い充填率で最大となる。
【００７５】
本計算法は、静的平衡時の液体形状が非軸対称な場合を対象として考案したものであるが、検証のため、円錐部を小さく（円錐部の頂角を大きく）して球形タンクに近づけた場合についてメカニカルモデルのパラメータの計算を行い、過去の文献(4)と比較して図６に示した。
【００７６】
図６の(a)は無次元固有振動数ω１〈ｘ〉／（ｇ／ａ）１／２、ω１〈ｙ〉／（ｇ／ａ）１／２、
(b)はスロッシュマスｍ１〈ｘ〉、ｍ１〈ｙ〉（液体の全質量ｍｌｉｑｕｉｄで無次元化した値）、
(c)はスロッシュマスの取付け位置ｌ１〈ｘ〉、ｌ１〈ｙ〉(球形部半径で無次元化した値)、
(d)は固定マスの取付け位置ｌ０〈ｘ〉、ｌ０〈ｙ〉(球形部半径で無次元化した値)である（重力支配下、球タンクに帰着させて検証、文献(4)p.13の結果と別曲線で表わせないほど一致；実線、一点鎖線は、〈ｘ〉、〈ｙ〉加振に対する値）。
［ａ＝０．２５ｍ，θＣ＝７０ｄｅｇ，γ＝２２ｄｅｇ，Ｌｃｅｎｔ＝０．５ｍ，Ｈｃｅｎｔ＝０ｍ，α＝０，Ω＝０ｒｐｍ，ｇ＝２ｍ／ｓ２，ρ＝１００９ｋｇ／ｍ３；
力参照座標（〈ｘ〉，〈ｙ〉，〈ｚ〉）の傾き〈γ〉＝０、原点の（ｘ'，ｙ'，ｚ'）座標（Ｌｃｅｎｔ，０，Ｈｃｅｎｔ＋ａ）（図２参照）；
球座標参照座標（［ｘ'］，［ｙ'］，［ｚ'］）の傾き（φＥ，θＥ，ΨＥ）＝（０，−１７°，０），原点の［ｘ］，［ｙ］，［ｚ］）座標（０．０７，０，０．０１）ｍ（図３，４参照）］
【００７７】
文献(4)の結果との一致は非常によいことを確認している。
【００７８】
図７に本題のスピンのある場合のメカニカルモデルのパラメータの計算結果を示す。
【００７９】
図７の(a)は固有振動数ω１〈ｘ〉／２π、ω１〈ｙ〉／２π（Ｈｚ）、
(b)は スロッシュマスｍ１〈ｘ〉、ｍ１〈ｙ〉（ｋｇ）、
(c)はスロッシュマスｍ１〈ｘ〉、ｍ１〈ｙ〉（液体の全質量ｍｌｉｑｕｉｄで無次元化した値）、
(d)はスロッシュマスの取付け位置ｌ１〈ｘ〉、ｌ１〈ｙ〉(球形部半径で無次元化した値)、
(e)は固定マスの取付け位置ｌ０〈ｘ〉、ｌ０〈ｙ〉(球形部半径で無次元化した値)である（実線、一点鎖線は〈ｘ〉、〈ｙ〉加振に対する値）。
［ａ＝０．２５ｍ，θＣ＝４０ｄｅｇ，γ＝４３ｄｅｇ，Ｌｃｅｎｔ＝０．５ｍ，Ｈｃｅｎｔ＝０ｍ，α＝０，Ω＝２０ｒｐｍ，ｇ＝２ｍ／ｓ２，ρ＝１００９ｋｇ／ｍ３；
力参照座標（〈ｘ〉，〈ｙ〉，〈ｚ〉）と球座標参照座標（［ｘ'］，［ｙ'］，［ｚ'］）はタンク対象座標（［ｘ］，［ｙ］，［ｚ］）に一致（図２，３参照）］
【００８０】
スピンによって生じる液面の勾配は、液面がタンク中心線と交わる位置で
ｄｚ'／ｄｘ'
が−０．８から−１．３となる程度であり、重力が小さいためかなり大きく、コリオリ加速度による固有振動数の分離も次にみるように顕著である。
【００８１】
図８、９は、ステップ［ＶＩＩＩ］の修正メカニカルモデルによって、ステップ［ＶＩＩ］の解析で求めたスロッシングによる力とモーメントの周波数応答が近似的に表わせることを示したものである。
【００８２】
図８は
【数２２】
に対する力、モーメントの周波数応答［液体充填率４８％；実線、メカニカルモデル；点線、スロッシング系；他のパラメータは図７と同じ］を表わし、図９は
【数２３】
に対する力、モーメントの周波数応答［液体充填率４８％；実線、メカニカルモデル；点線、スロッシング系；他のパラメータは図７と同じ］を表わす。スロッシュマスが大きいため重要な中間的充填率の代表値について示した。特に分離した２つの固有振動数の間の帯域での一致がよく、２つの固有振動数の外側で多少一致が悪くなるのは、スロッシング系の計算結果では隣接するモードの寄与が含まれるためである（低周波数側にも内部振動と呼ばれるモードがある）。特に、コリオリ加速度による２加振方向の振動の連成によって、以下のことが起こる点に注意が必要である。
【００８３】
〈ｘ〉方向加振に対しても〈ｙ〉方向の力、〈ｘ〉方向のモーメントが生じる（これらはコリオリ加速度なしの場合には出ない）
〈ｙ〉方向加振に対しても〈ｘ〉方向の力、〈ｙ〉方向のモーメントが生じる（これらはコリオリ加速度なしの場合には出ない）
【００８４】
これらの連成によって生じる力、モーメント成分の位相変化が修正メカニカルモデルとスロッシング系とで一致している。
【００８５】
文献
[1] Utsumi, M., 1998, "Low-gravity Propellant Slosh Analysis Using Spherical Coordinates," Journal of Fluids and Structures, 12, pp. 57-83.
[2] Utsumi, M., 2000, "Low-gravity Sloshing in an Axisymmetrical Container Excited in the Axial Direction," ASME Journal of Applied Mechanics, 67, pp. 344-354.
[3] Utsumi, M., 2000, "Development of Mechanical Models for Propellant Sloshing in Teardrop Tanks," Journal of Spacecraft and Rockets, 37, pp. 597-603.
[4] NASA SP-8009, NASA Space Vehicle Design Criteria (Structures), Propellant Slosh Loads, August 1968.
【００８６】
尚、本発明は上記形態例にのみ限定されるものではなく、その他本発明の要旨を逸脱しない範囲内において種々変更を加え得ること、等は勿論である。
【００８７】
【発明の効果】
本発明のコリオリ加速度を考慮した涙滴形タンク内スロッシングのメカニカルモデル作成方法よれば、以下のような優れた効果を奏し得る。
【００８８】
涙滴形タンクの加振に対するスロッシングの周波数特性の評価に際し、球座標の軸が液面と大体直角に液面の中央近くで交わるようにしてタンク円錐部のどこからでもとれるようにし、解の表示を、どの座標方向にも直交関数となる直交モード関数の重ね合わせで与えることにより、非ポテンシャル流にも適用可能にしてコリオリ加速度を含むスロッシングの周波数特性が解析的方法で評価可能となり、自由度が低減し、従って従来の有限要素法の数値的手法に比べてスロッシング系の解析、延いては設計マスばねモデル作成のための計算時間が短くなり、計算コストが安価になる。
【００８９】
従って、前記解の表示に基づき、まず、コリオリ加速度を考慮せずに、液面とほぼ平行で互いに直交する２つの加振方向について周波数特性を近似的に表わす設計マスばねモデルを別個に作成し、次に、これらの設計マスばねモデルを連成させてコリオリ加速度による固有振動数の分離が取り込めるようにし、コリオリ加速度により分離したスロッシングの固有振動数を評価して、この評価した分離固有振動数を近似的に表わせるように前記各設計マスばねモデルのばね定数を修正するようにしたので、コリオリ加速度を含む実際のスロッシング系の周波数特性に非常に近似した周波数特性を持つ設計マスばねモデルが作成できる。
【００９０】
このように、スロッシング系によるコリオリ加速度を含むスロッシングの周波数特性と近似した周波数特性を持つ設計マスばねモデルの作成が可能になることによって、衛星に対するスロッシングの影響を正確に評価して衛星の姿勢制御性を大幅に向上させることができる。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明を適用する涙滴形タンクとその座標系を示す概念図である。
【図２】力参照座標とメカニカルモデルの概念図である。
【図３】球座標の設定方法の概念図である。
【図４】球座標の原点と軸を決める座標変換の概念図である。
【図５】（ａ）、（ｂ）、（ｃ）、（ｄ）、（ｅ）は重力のみでスピンのない場合についてステップＶＩのメカニカルモデルのパラメータを計算した結果を示す線図である。
【図６】（ａ）、（ｂ）、（ｃ）、（ｄ）は円錐部を小さくして球形タンクに近付けた涙滴形タンクについてパラメータを計算して過去の文献と比較して示した線図である。
【図７】（ａ）、（ｂ）、（ｃ）、（ｄ）、（ｅ）は本題のスピンのある場合の計算結果を示す線図である。
【図８】（ａ）、（ｂ）、（ｃ）、（ｄ）はステップＶＩＩＩの修正メカニカルモデルによって、ステップＶＩＩの解析で求めたスロッシングによる力とモーメントの周波数応答が近似的に表せることを示した線図である。
【図９】（ａ）、（ｂ）、（ｃ）、（ｄ）はステップＶＩＩＩの修正メカニカルモデルによって、ステップＶＩＩの解析で求めたスロッシングによる力とモーメントの周波数応答が近似的に表せることを図８と異なる条件で示した線図である。
【図１０】涙滴形タンクの概要を説明するための縦断面図である。
【図１１】図１０に示す涙滴形タンクの設計マスばねモデルを図示化した概念図である。
【符号の説明】
１ 涙滴形タンク
４ タンク壁面
５ 設計マスばねモデル
６ ばね
Ｍ 液面
ｍ１ マス
ｋ ばね定数
【発明の属する技術分野】
本発明は、コリオリ加速度を考慮した涙滴形タンク内スロッシングのメカニカルモデル作成方法に関するものである。
【０００２】
【従来の技術】
低重力あるいは無重力の宇宙空間を航行する衛星には、スピン衛星と呼ばれる衛星があり、該スピン衛星は自転しつつ航行を行うようになっている。
【０００３】
而して、スピン衛星では、推薬液を収納するタンクとして、略半球状の外殻の開口部側に円錐状の外殻を、略半球状の外殻から離れる方向へ向けて先細りとなるよう接続した、いわゆる涙滴形タンクが使用されており、斯かる涙滴形タンクの一例は図１０に示されている。
【０００４】
図１０中、１は涙滴形タンク（以下単にタンクという）であり、該タンク１は、スピン衛星の自転軸であるスピン軸Ｚから離れた位置に、円錐状の外殻の先細り状の先端がスピン軸Ｚを基準として外方へ向くよう、配設され、先細り状の円錐部の先端には推薬液２の取出し口３が設けられている。
【０００５】
又、タンク１の中心軸ｚは、タンク１の半球状の外殻の頂部が中心軸ｚに近接し円錐状の外殻に設けた取出し口３が中心軸ｚから離反するよう、スピン軸Ｚに対し傾斜角度γで傾いている。
【０００６】
なお、図１０中、Ωはスピン衛星のスピン軸Ｚに対するタンク１のスピン角速度、ａはタンク１の半球状の外殻の部分の半径、Ｌはスピン軸Ｚからタンク１の半球状の外殻の半径ａの起点となる点までの最短距離、θＣはタンク１における円錐状の外殻のタンク１の中心軸ｚに対する半頂角、ｇはスピン衛星が推進加速することによりスピン衛星に作用する慣性力である見掛けの重力、ｘはタンク１の円錐状の外殻の取出し口３側の頂点を通り中心軸ｚに直交する座標軸、ｙは中心軸ｚと座標軸ｘの交点を通ると共にｘ、ｙ軸に直交する方向（図１０の場合は紙面と直交する方向）へ延在する座標軸である。
【０００７】
図１０に示すごとき構造のタンク１を用いるのは、スピン衛星のスピンによる遠心力と見掛け上の重力ｇを利用して、推薬液（液体）２を常に取出し口３に保持するためである。
【０００８】
一方、航行中のスピン衛星の機体に揺れ等による強制加速度外乱が作用すると、タンク１内で推薬液２の振動（スロッシング）が生じるが、これは推薬液２の揺れに伴い生じる動圧がタンク１を介して機体に伝達され、その結果機体に力及びトルクを作用させるため、機体の姿勢を制御するための姿勢制御系にとって望ましくない外乱となる。
【０００９】
従って、スピン衛星の設計に際しては、推薬液２のスロッシングが機体に及ぼす力やトルクを考慮に入れた姿勢制御系の設計が重要な課題となり、斯かる設計を行うためにはタンク１内の推薬液２のスロッシングの状態を解析すると共にその解析結果からスロッシングと等価な動特性（固有振動数及びタンク１に及ぼす力やトルク）を持った設計マスばねモデル（メカニカルモデルという）を作成することが必要である。
【００１０】
ところが、推薬液２のような液体は、連続体であるため、制御対象としての取扱いが難しく、設計に便利ではない。そこで、設計を容易に行うためにタンク１内の推薬液２を図１１に示すような設計マスばねモデルに置き換え、設計マスばねモデルのパラメータｍ，ｍ０，ｋ，ｌ，ｌ０を適切な値に設定してそのデータを基に制御系を設計することが従来から行われている。
【００１１】
ここで、適切な値に設定するとは、置き換えられた設計マスばねモデル系ともとの推薬液２のスロッシング系とで、タンク１に及ぼす力、トルクの強制加速度外乱に対する周波数特性が、重要な低い周波数帯域において一致するように設定することである。
【００１２】
又、図１１のパラメータ中、ｍはタンク１内においてタンク１の中心軸ｚに直交する方向であるｘ方向へ可動な可動物体の質量、ｍ０はタンク１内に固定された固定物体の質量、ｋは可動物体のばね定数、ｌはタンク１の円錐状の外殻の頂点に設定したｘ軸、ｙ軸、ｚ軸の原点から可動物体までの距離、ｌ０は原点から固定物体までの距離である。
【００１３】
ところで、マスばね系の設計モデルを作成するにあたっては、その前の段階としてスロッシングの解析が必要であるが、斯かるスロッシングの解析手段として従来から有限要素法（ＦＥＭ）等の数値解析手法と解析的手法が知られている。
【００１４】
数値解析手法の場合には、一般に妥当な精度の解を得るためには、計算領域となる液体を多数の要素に分割し、分割した要素ごとに多数の独立点の物理量を未知変数として方程式を解く必要がある。従って細かい要素分割が必要で、自由度が膨大となり、計算時間が長くなって計算コストが嵩むという問題がある。
【００１５】
一方、解析的手法では、細かい要素分割が不要で計算コストを安価にすることはできるが、一般に解析的手法を適用できるのは、円筒形タンクのごとき軸対称の場合、すなわち軸対称問題の場合である。
【００１６】
しかるに、図１０に示すごとき涙滴形のタンク１内の推薬液２のスロッシングは、スピン軸Ｚと見掛け上の重力ｇの方向がタンク１の軸対称軸である中心軸ｚに全く一致しない典型的な非軸対称問題となって解析的な手法の適用は困難であり、従って上述のごとき非軸対称問題の算定に対しては数値的手法に依存せざるを得ず、計算時間が長く掛り、計算コストが嵩むという弊害を排除することができない。
【００１７】
特許出願人は、スピン軸に対して中心軸が所定の角度傾斜した涙滴形タンクの中心軸と涙滴形タンク内の液面の周方向の所定の位置を通る、液体の縦断面を想定し、各液体の縦断面において極座標を取り、該極座標と液面のタンク壁面に接する部分の周方向座標とで構成した球形座標を用いて液体運動を支配するラプラス方程式∇2Φ＝０（Φは速度ポテンシャル）の解を直交関数の重ね合せにより解析的に決定し、直交関数展開により液体運動を離散化して問題を展開係数に関する連立一次方程式に帰着させ、該連立方程式を解いて設計マスばねモデルを作成するという特許出願を行った（特許文献１参照）。
【００１８】
【特許文献１】
特開平１１−０５３３４１号公報
【００１９】
【発明が解決しようとする課題】
特許文献１の発明では、球座標の軸をタンク円錐部の頂点からとるようにして涙滴形タンクの加振に対するスロッシングの周波数特性の評価を行っており、また、コリオリ加速度を考慮していない。この発明は、コリオリ加速度を省略しても、作成した設計マスばねモデルがタンクに付けられて回転させられれば、コリオリ加速度を受けることになるので、問題ないだろうと考えられてなしたものである。
【００２０】
しかし、上記特許文献１に示された涙滴形タンク内スロッシングの設計マスばねモデルの作成において、コリオリ加速度を定量的に考慮することができれば、実際のスロッシングの周波数特性により近似した設計マスばねモデルが作成できて衛星の姿勢制御性の精度向上に寄与できる。
【００２１】
本発明は、上述の実情に鑑みてなしたもので、涙滴形タンク内の推薬液のような液体のスロッシングのごとき非軸対称問題に対し、解析的アプローチを可能にし、以って計算時間の短縮、計算コストの削減が可能で、且つ実際のコリオリ加速度を含むスロッシング系の周波数特性を高い精度で近似できる、コリオリ加速度を考慮した涙滴形タンク内スロッシングのメカニカルモデル作成方法を提供することを目的としてなしたものである。
【００２２】
【課題を解決するための手段】
請求項１に記載の発明は、スピン軸に対して中心軸が所定の角度傾斜したスピン衛星における涙滴形タンクの液面の中央で液面と直交する第３の座標軸と該第３の座標軸と直交し且つ互いに直交した第１及び第２の座標軸を有する直交座標系を設定し、且つ前記第３の座標軸回りに周方向座標をとり、該周方向座標の０度から３６０までの間を複数区間に分割し、その各区間について液面とタンク壁面との交線でタンク壁面に接線を引き、この接線と前記第３の座標軸との交点を原点とする球座標を設定し、前記涙滴形タンクのスロッシング系において第１の座標軸方向にタンクを加振したときにタンクが受ける第１の座標軸方向の力と第２の座標軸回りのモーメントの周波数特性を求めて、この第１の座標軸方向加振での周波数特性を近似的に表わせる設計マスばねモデルを作成し、また、第２の座標軸方向にタンクを加振したときにタンクが受ける第２の座標軸方向の力と第１の座標軸回りのモーメントの周波数特性を求めて、この第２の座標軸方向加振での周波数特性を近似的に表わせる設計マスばねモデルを作成し、一方、非ポテンシャル流にも適用可能な変分原理、解の表示を導入してコリオリ加速度により分離したスロッシングの固有振動数を評価し、該評価した分離固有振動数を近似的に表わすように前記各設計マスばねモデルのばね定数を修正することを特徴とするコリオリ加速度を考慮した涙滴形タンク内スロッシングのメカニカルモデル作成方法、に係るものである。
【００２４】
請求項２に記載の発明は、前記各設計マスばねモデルのばね定数の修正は、各設計マスばねモデルにコリオリ加速度が作用したときに生じる第１の座標軸と第２の座標軸の加振方向の連成項に固有振動数の分離度合を制御する定数を導入し、各加振方向のばね定数を前記評価したスロッシングの分離固有振動数に合わせて修正することを特徴とする請求項１に記載のコリオリ加速度を考慮した涙滴形タンク内スロッシングのメカニカルモデル作成方法、に係るものである。
【００２５】
上記手段によれば、以下のように作用する。
【００２６】
涙滴形タンクの加振に対するスロッシングの周波数特性の評価に際し、球座標の軸が液面と大体直角に液面の中央近くで交わるようにしてタンク円錐部のどこからでもとれるようにし、解の表示を、どの座標方向にも直交関数となる直交モード関数の重ね合わせで与えることにより、非ポテンシャル流にも適用可能にしてコリオリ加速度を含むスロッシングの周波数特性が解析的方法で評価可能となり、自由度が低減し、従って従来の有限要素法の数値的手法に比べてスロッシング系の解析、延いては設計マスばねモデル作成のための計算時間が短くなり、計算コストが安価になる。
【００２７】
従って、前記解の表示に基づき、まず、コリオリ加速度を考慮せずに、液面とほぼ平行で互いに直交する２つの加振方向について周波数特性を近似的に表わす設計マスばねモデルを別個に作成し、次に、これらの設計マスばねモデルを連成させてコリオリ加速度による固有振動数の分離が取り込めるようにし、コリオリ加速度により分離したスロッシングの固有振動数を評価して、この評価した分離固有振動数を近似的に表わせるように前記各設計マスばねモデルのばね定数を修正するようにしたので、コリオリ加速度を含む実際のスロッシング系の周波数特性に非常に近似した周波数特性を持つ設計マスばねモデルが作成できる。
【００２８】
このように、スロッシング系によるコリオリ加速度を含むスロッシングの周波数特性と近似した周波数特性を持つ設計マスばねモデルの作成が可能になることによって、衛星に対するスロッシングの影響を正確に評価して衛星の姿勢制御性を大幅に向上させることができる。
【００２９】
【発明の実施の形態】
以下、本発明の好適な実施の形態を図面に基づいて説明する。
【００３０】
図１〜図４は本発明の形態の概要を示す概念図であり、図１は本発明を適用する涙滴形タンクとその座標系を示す概念図、図２は力参照座標とメカニカルモデルの概念図、図３は球座標の設定方法の概念図、図４は球座標の原点と軸を決める座標変換の概念図である。
【００３１】
１．方法の詳細
［問題の設定と手順］
図１に示す液滴形タンク１は、円錐形と球形の部分とが接合された形をしており、円錐部の母線をスピン軸とほぼ平行となるように傾けて設置されている。このため、スピンによる遠心力と推進加速度による重力のうちどちらが支配的な場合にも、推薬液２をその取出し口３(円錐部の頂点)に保持できる機能をもつ。図１で、
ａ：球形部の半径
θＣ ：円錐部の半頂角
Ω：スピン角速度
ｇ：推進加速度による重力
γ：タンクの中心線がスピン軸方向となす角（θＣよりわずかに大きい角）
Ｌｃｅｎｔ、Ｈｃｅｎｔ：タンクの球形部中心のスピン軸からの距離、基準面からの高さ
（Ｘ，Ｙ，Ｚ）：空間に固定された座標系
（ｘ，ｙ，ｚ）：衛星に固定された座標系
α：タンクの球形部中心の位置を規定する角
（ｘ'，ｙ'，ｚ'）：（ｘ，ｙ，ｚ）をｚ軸回りにα回転させた座標系
（［ｘ］,［ｙ］,［ｚ］）：タンク参照座標系（［ｚ］がタンクの中心線でｚ'ｘ'面内にある）。(ｘ'，ｙ'，ｚ'）をｙ'軸回りに180度−γだけ回転させ、原点を円錐部頂点まで移動させて得られる。
【００３２】
目的は、液面にほぼ平行な互いに直交する２方向にタンクが加振された時、この加振に対するスロッシングによる力とモーメントの周波数応答を近似的に表せるメカニカルモデル（設計マスばねモデル）を作成することである。以下の手順でこのようなメカニカルモデルを作成する：
(1)力参照座標系（加振方向と着目する力、モーメントの方向を決める座標系）を図２のように設定する。図２で、
（〈ｘ〉，〈ｙ〉，〈ｚ〉）：力参照座標系。（ｘ'，ｙ'，ｚ'）をｙ'軸回りに180度−回転させ、原点を（ｘ'，ｙ'，ｚ'）＝（ｘ'０，０，ｚ'０)まで移動させて得られる。〈γ〉，ｘ'０，ｚ'０は、〈ｚ〉軸が液面と液面中央付近で大体直角に交わるように設定する（あとの適用例参照）。したがって図２は重力が支配的で液面がほとんど水平な場合である。
(2)解析的方法の適用を可能にする球座標を設定する（ステップＩ）。
(3)コリオリ加速度を省略したスロッシング系において、
〈ｘ〉方向のタンク加振加速度
【外１】
を求める（ステップＩＩ〜Ｖ）。
(4)このスロッシングに対して図２のメカニカルモデル５を考え、以下の条件：〈ｘ〉方向のタンク加振加速度
【外２】
を満たすようにメカニカルモデル５の以下のパラメータを定める（ステップＶＩ）。
ｍ１、ｍ０：スロッシュマス、固定マス
ｌ１、ｌ０：スロッシュマス、固定マスの取付け位置
ｋ１：スロッシュマス取付けばね６のばね定数
(5)方向のタンク加振加速度
【外３】
(6)コリオリ加速度により分離したスロッシングの固有振動数を評価する。このために非ポテンシャル流にも適用可能な変分原理、解の表示を導入する。
(7)(4),(5)のメカニカルモデル５を、(6)で評価したスロッシング周波数特性を近似的に表わせるものに修正する。具体的には、メカニカルモデル５にコリオリ加速度が作用したときに生じる２加振方向の連成項に固有振動数の分離度合いを制御する定数を導入し、２加振方向のばね６のばね定数を(6)で評価したスロッシングの分離固有振動数に合わせて修正する（ステップＶＩＩ、ＶＩＩＩ）。
【００３３】
以上が本発明の実施の形態において推薬液のスロッシングの設計マスばねモデル５（メカニカルモデル）の作成を行う際の概要であり、これらは［Ｉ］〜［ＶＩＩＩ］のステップに分けられる。
【００３４】
即ち、
［Ｉ］球座標系の導入
［ＩＩ］液体の運動方程式
［ＩＩＩ］静的液面形状
［ＩＶ］重力、遠心力下での変分原理
［Ｖ］重力、遠心力下でのスロッシング解析
［ＶＩ］重力、遠心力下でのメカニカルモデル作成
［ＶＩＩ］コリオリ加速度による分離固有振動数の算定
［ＶＩＩＩ］修正メカニカルモデル
【００３５】
次に、上記［Ｉ］〜［ＶＩＩＩ］のステップについて詳述する。
【００３６】
スロッシング解析は以下の仮定下で行う。(i)液体は非圧縮完全流体、タンクは剛体とする。(ii)回転座標系からみた流速成分、液面の静的平衡位置からの振動変位は微小で、線形理論が適用できる。
【００３７】
［Ｉ］球座標系の導入
液滴形タンクに関する液体運動解析は、液体の静的形状が非軸対称であるため解析的取り扱いが困難であり、ＣＦＤに頼るのが通例であるが、以下のように球座標を設定すれば液体運動の特性関数系を解析的に決定して直交関数展開法を適用することができ、これによって、ＣＦＤに比べ計算時間、コストが著しく低減できる利点が得られる。まず、図３のように
（［ｘ'］、［ｙ'］、［ｚ'］）；［ｚ'］軸が液面の中央付近と大体直角に交わる直交座標系
を設定し、［ｚ'］軸回りに周方向座標φをとり、φの０度から３６０度までの区間をＮ個の区間に分割する。尚本文中のφは、下記各式中においては
【外４】
φｊ−０．５Δφ≦φ≦φｊ＋０．５Δφ
(Δφ＝２π／Ｎ； φｊ＝０．５Δφ＋（ｊ−１）Δφ； ｊ＝１，２，．．．Ｎ) …(1)
について、液面Ｍとタンク壁面４との交線でタンク壁面４に接線を引き（平面φ＝φｊ内で）、この接線と［ｚ'］軸との交点を原点として球座標ＯＲθφを設定する（周方向分割区間を表わす添え字ｊは数式の煩雑さを避けるため省略する）。このような球座標設定の例を２つのｊの値について図３に示す。このような球座標を用いて、静的平衡時の液面Ｍ、振動している液面Ｆ、タンク壁面Ｗを
Ｍ：Ｒ＝ＲＭ（θ）, Ｆ：Ｒ＝ＲＦ（θ，φ，ｔ）＝ＲＭ（θ）＋ζ（θ，φ，ｔ），Ｗ：Ｒ＝ＲＷ（θ） …(2a,b,c)
と表わす。ここで
ＲＭ（θ）：静的平衡時の液面のＲ座標
ＲＷ（θ）：タンク壁面のＲ座標
ζ（θ，φ，ｔ）：液面の振動変位
【００３８】
式(2)のような表わし方には以下の利点がある。すなわち、液面変位がタンク壁面でタンク壁面に沿う（接する）べきであるという運動学的適合性を、タンク壁面が湾曲していても変位ベクトルの１方向成分（Ｒ成分）のみの設定で満足でき、幾何学的取り扱いが便利である。
【００３９】
ひとつ注意すべきことは、図３で原点Ｏがあるφでタンクの上側から下側に飛び移ることがあり、このようなφで＋Ｒ方向に定義された液面変位ζが不連続に変化することである。これに対しては、原点がタンクの上側、下側のどちら側にあるかに応じて−１，１をとるパラメータεを導入してζを符号反転させ、−εζ（液体領域から外側への液面変位）を連続関数とみて特性関数で展開する配慮を施す（式(18)）。
【００４０】
２つの座標系（図３参照）
（［ｘ'］，［ｙ'］，［ｚ'］）：球座標参照座標系
（［ｘ］，［ｙ］，［ｚ］）： タンク参照座標系
の関係は、原点移動とオイラー(Euler)角による回転（図４）で一般的に与えておく：
【数１】
Ｅ１１＝ｃｏｓφＥｃｏｓθＥｃｏｓΨＥ−ｓｉｎφＥｓｉｎΨＥ，
Ｅ１２＝ｃｏｓφＥｃｏｓθＥｓｉｎΨＥ−ｓｉｎφＥｓｉｎΨＥ，Ｅ１３＝ｃｏｓφＥｓｉｎθＥ …(3b)
（φＥ，θＥ，ΨＥ）：オイラー角
【００４１】
［ＩＩ］液体の運動方程式
液体の運動方程式は次式で与えられる。
（δｖｘ）／（δｔ）−２Ωｖｙ＋１／ρ（δＰ）／（δｘ）＝０，（δｖｙ）／（δｔ）＋２Ωｖｘ＋１／ρ（δＰ）／（δｙ）＝０，（δｖｚ）／（δｔ）＋１／ρ（δＰ）／（δｚ）＝０ …(4a,b,c)
ここで
Ｐ＝ｐ−ρｇｚ−（１／２）ρΩ２（ｘ２＋ｙ２） …(5)
ｖｘ，ｖｙ，ｖｚ：流速成分
ｐ：圧力
ρ：液体の密度
尚本文中のδは、下記各式中においては
【外５】
【００４２】
運動方程式(4)をステップ［Ｉ］で導入した球座標に変換し、加振加速度による慣性力を考慮して次式を得る。
【００４３】
【数２】
ｆ１（θ，φ）＝ｃｏｓ（Ｒ，ｙ）ｃｏｓ（θ，ｘ）−ｃｏｓ（Ｒ，ｘ）ｃｏｓ（θ，ｙ）
ｆ２（θ，φ）＝ｃｏｓ（Ｒ，ｙ）ｃｏｓ（φ，ｘ）−ｃｏｓ（Ｒ，ｘ）ｃｏｓ（φ，ｙ）
ｆ３（θ，φ）＝ｃｏｓ（θ，ｙ）ｃｏｓ（φ，ｘ）−ｃｏｓ（θ，ｘ）ｃｏｓ（φ，ｙ） …(7)
【００４４】
［ＩＩＩ］静的液面形状
スロッシング解析に先立ち、遠心力と重力との静的平衡条件によって決まる静的液面形状を求めておく必要がある。運動方程式(6)で、流速と加振加速度を０におき、圧力ｐを静圧ｐｓｔとみなしてつりあい方程式に帰着させる。この式を積分してｐ＝Ｃ１（Ｃ１は積分定数）すなわち
ｐｓｔ＝ρ［ｇｚ＋（１／２）Ω２（ｘ２＋ｙ２）］＋Ｃ１ …(8)
を得る。ｐｓｔが未知形状の液面ｚ＝ｚｓｔ（ｘ，ｙ）において０になる条件より、液面形状を表わす関数形ｚｓｔ（ｘ，ｙ）が決定される：
ｚ＝ｚｓｔ（ｘ，ｙ）＝−（Ω２／２ｇ）（ｘ２＋ｙ２）−（Ｃ１／ρｇ） …(9)
定数Ｃ１はタンクの液体充填率より定まる。式(9)より、静的液面は回転放物面である。
【００４５】
［ＩＶ］重力、遠心力下での変分原理
式(6)で圧力ｐを以下のように表わす：
ｐ＝ｐｓｔ＋ｐｓｌｏ＋ｐｉｍｐ …(10)
ここで
ｐｓｔ： ステップ［ＩＩＩ］で決定した静圧。
ｐｓｌｏ： 液面の振動によって発生するスロッシュ圧（未知）。
ｐｉｍｐ： 衝撃圧力。タンクの強制加速度によって液体が一体となって剛体移動する際の慣性によって生じ、次式によって与えられる。
【数３】
【数４】
式(10)を運動方程式(6)に代入して静的な関係(8)を考慮し、コリオリ加速度を省略すると
（δ／δｔ）｛ｖＲ，ｖθ，ｖφ｝Ｔ＝−ｇｒａｄ（ｐｓｌｏ／ρ） …(13)
なる関係が導かれるので、スロッシュ圧と
（δ／δｔ）Φ＝−ｐｓｌｏ／ρ …(14)
の関係にある速度ポテンシャルΦが存在する。そこで、速度ポテンシャルで表わされた変分原理[文献(1)の式(19)、文献(2)の式(18)]を適用し、さらに文献(3)p.600にならい速度ポテンシャルΦの代わりにスロッシング圧力ｐｓｌｏと流体変位成分
【数５】
【００４７】
【数６】
【００４８】
［Ｖ］重力、遠心力下でのスロッシング解析
この変分原理をガレルキン法によりモード方程式に変換する。解を解析的に表示するためにステップ［Ｉ］で導入した球座標が効力を発揮する。圧力の解をラプラス方程式の解としてもとめ、次にこの結果を式(13)に用い時間積分して流体変位成分の解を導く：
【数７】
【００４９】
【数８】
Ｌｌ：規格化定数
λｍｋとΘｍｋ：次の境界値問題の解として定まるｋ番目の固有値、固有関数
Θ''＋ｃｏｔθΘ'+[λ−（ｍ２／ｓｉｎ２θ)］Θ＝０ …(22)
Θ'＝０ ａｔ θ＝θｍａｘ …(23)
αｍｋ１：方程式α（α＋１）＝λｍｋの２根、すなわち
αｍｋ１＝１／２［−１−（１＋４λｍｋ）１／２］，αｍｋ２＝１／２［−１＋（１＋４λｍｋ）１／２］
【００５０】
式(17),(18)を変分原理(16)の強制加速度項を省略した式に代入し、未定定数Ａｍｋｌｑ，Ｃｍｋｑの変分に関する停留条件を課して、これらの未定定数に関する同次１次方程式系を導く。これは固有値問題の形
（−ω２Ｍ＋Ｋ）Ｘ＝０ …(24)
（Ｘ：Ａｍｋｌｑ，Ｃｍｋｑを並べた列ベクトル）
になり、さらにＣｍｋｑのみに関する固有値問題に縮小できて、これを解くことにより固有振動数とモード関数を決定する。
【００５１】
メカニカルモデル５（図２参照）を
２つの加振方向:〈ｘ〉，〈ｙ〉
について求めるが、各モデルともその加振方向に振動するモードのうちの最低次モードについて求める。これらのメカニカルモデル５は、独立かつ同様に求められるので、図２紙面内の加振方向についてのみ説明する：解をモード関数で次のように表わす。
【００５２】
【数９】
式(25-27)を変分原理(16)に代入してモード座標ｑ(t)に関して変分をとり、次の形のモード方程式を導く：
【数１０】
【数１１】
モード方程式(28)の正弦波加振
【数１２】
【００５４】
【数１３】
［ＶＩ］重力、遠心力下でのメカニカルモデル作成
図２のメカニカルモデル５が同様な加振(30)を受けたときのスロッシュマスの運動方程式、タンクに作用する力、モーメントを計算し、以下の式を得る。
【００５６】
【数１４】
Ｐ０〈ｘ〉＝Ω２ｃｏｓ２〈γ〉，Ｐ１〈ｘ〉＝Ω２（ｃｏｓ２〈γ〉−ｓｉｎ２〈γ〉），
Ｐ２〈ｘ〉＝Ω２ｘ'０ｓｉｎ〈γ〉＋ｇｃｏｓ〈γ〉 …(34)
【００５７】
式(32),(33)より、メカニカルモデルの力、モーメントの正弦波加振(30)に対する応答を計算すると
【数１５】
ω〈ｘ〉，ｍｅｃｈ＝［(ｋ１〈ｘ〉−ｍ１〈ｘ〉Ｐ０〈ｘ〉）ｍ１〈ｘ〉 ]１／２ …(36)
【００５８】
式(31)の力、モーメントが式(35)の力、モーメントに任意の加振周波数ωｆについて等しい条件より、メカニカルモデルの諸定数が次のように定まる。
【００５９】
ｍ０〈ｘ〉＝−Ａ〈ｘ〉β〈ｘ〉−Ｂ〈ｘ〉，ｍ１〈ｘ〉＝Ａ〈ｘ〉β〈ｘ〉／（１＋ω〈ｘ〉 −２Ｐ０〈ｘ〉），ｋ１〈ｘ〉＝ｍ１〈ｘ〉（ω〈ｘ〉 ２＋Ｐ０〈ｘ〉） …(37a,b,c)
ｌ０〈ｘ〉＝（Ｃ〈ｘ〉β〈ｘ〉＋Ｄ〈ｘ〉）／（−ｍ０〈ｘ〉），ｌ１〈ｘ〉＝（Ｃ〈ｘ〉β〈ｘ〉ω〈ｘ〉 ２−ｍ１〈ｘ〉Ｐ２〈ｘ〉）／（ｋ１〈ｘ〉＋ｍ１〈ｘ〉Ｐ１〈ｘ〉） …(38a,b)
【００６０】
[ＶＩＩ］ コリオリ加速度による分離固有振動数の算定
ステップ［Ｖ］で定まる固有振動数は２つの加振方向で大体等しく（図７参照）、ひとつの固有振動数ω０，ｓｌｏとみなせる。この固有振動数がコリオリ加速度の影響で２つの固有振動数ω１，ｓｌｏとω２，ｓｌｏに分離する。本ステップ［ＶＩＩ］ではメカニカルモデル修正のための第一歩として、これらの値を予測する。コリオリ加速度のある場合にはラプラス方程式の理論が使えないので、より一般的な変分原理と解の表示が必要になる。まず、変分原理として、運動方程式(6)を変分表示して式(16)に付加した次式を用いる。
【００６１】
【数１６】
【数１７】
次に、解の表示について考える。ラプラス方程式が使えないので、Ｒに依存する部分にも一般的な直交関数を使いたい。しかしＲの上下限ＲＷ、ＲＭが一定でなくθの関数として変化するのが問題である。このような場合の従来からの頻用手法は、θの定義域を多くの区間に分割し、その各区間ごとに解を、局所的に一定な不連続固有値と、独立な一般化座標で表わし、これらの一般化座標を隣接区間との境界での連続条件から決める方法であった。このような方法とは異なり、本評価法では次式
【数１８】
π（ｌ−１）／（Ｒｗ−ＲＭ） …(43)
を連続関数として扱いその微分を考慮することによって隣接区間との境界での連続性を満たさせ、θの定義域全体に渡って共通の一般化座標
ａｍｋｌｑ，ｂｍｋｌｑ，ｃｍｋｌｑ，ｄｍｋｌｑ，ｅｍｋｑ
を使うことによって自由度数、計算時間、コストの低減を計る。式(41),(42)を式(40)に代入し、一般化座標に関する変分計算を実行すると
（−ω２Ｍｓ＋ｉωＣｓ＋Ｋｓ）Ｘｓ＝Ｆｓ …(44)
の形の行列方程式が導かれる。ここで
Ｍｓ，Ｋｓ：質量および剛性行列
Ｃｓ：コリオリ加速度項に由来する逆対称行列
Ｘｓ：一般化座標を並べた列ベクトルである
【００６３】
これを解いて共振ピ−クの現れる周波数を捜すと、スロッシングの基本次固有振動数がコリオリ加速度によって２つに分離した値ω１，ｓｌｏとω２，ｓｌｏが分かる。
【００６４】
［ＶＩＩＩ］ 修正メカニカルモデル
ひとつのマスｍ１が加振２方向にそれぞれ別のばね定数のばね６でタンクにつながれ、タンクがｚ軸回りにスピンを受けた場合を考え、このマスの加振２方向の運動方程式を導くと、
【数１９】
ｋ１〈ｘ〉, ｋ１〈ｙ〉：加振２方向のばね定数
ｕ，ｖ：加振２方向の動的変位
【００６５】
これに基づき、ステップ［ＶＩ］のメカニカルモデル５（式(32)ともう一方の加振方向に対して同様に導かれる式、省略）を修正したメカニカルモデル５を次のように表わす。
【００６６】
【数２０】
ｍ１〈ｘ〉、ｍ１〈ｙ〉：〈ｘ〉，〈ｙ〉方向の運動に関する慣性マスでステップ［ＶＩ］で求めた値とする。
ｃ： コリオリ加速度による連成項によって生ずる固有振動数の分離の度合いをコントロールする定数；
ｋ'１〈ｘ〉、ｋ'１〈ｙ〉：分離した固有振動数の値を調整するための修正ばね定数
【００６７】
そして力、モーメントは次式によって与えられる：
【数２１】
式(46)の振動数方程式は
Ａω４＋Ｂω２＋Ｃ＝０ …(48)
ここで
Ａ＝ｍ１〈ｘ〉ｍ１〈ｙ〉
Ｂ＝ｍ１〈ｙ〉（−ｋ'１〈ｘ〉＋ｍ１〈ｘ〉Ω２ｃｏｓ２〈γ〉）＋ｍ１〈ｘ〉（−ｋ'１〈ｙ〉＋ｍ１〈ｙ〉Ω２）−４ｍ１〈ｘ〉ｍ１〈ｙ〉Ω２ｃｏｓ２〈γ〉・ｃ２
Ｃ＝（ｋ'１〈ｘ〉−ｍ１〈ｘ〉Ω２ｃｏｓ２〈γ〉）（ｋ'１〈ｙ〉−ｍ１〈ｙ〉Ω２） …(49)
【００６９】
式(48)のω２に関する２根の平均と差が、ステップ［ＶＩＩ］で求めた分離固有振動数の２乗の平均と差にそれぞれ等しい条件を課すと
（−Ｂ）／（２Ａ）＝（ω１，ｓｌｏ ２＋ω２，ｓｌｏ ２）／２，（（Ｂ２−４ＡＣ）１／２）／Ａ＝ω２，ｓｌｏ ２−ω１，ｓｌｏ ２ …(50a,b)
式(50a),(50b)よりＢを消去して
Ｃ／Ａ＝ω１，ｓｌｏ ２ω２，ｓｌｏ ２ …(51)
を導き、式(49)を代入すると、次のようになる。
【００７０】
ω１，ｓｌｏ ２ω２，ｓｌｏ ２＝（ｋ'１〈ｘ〉−ｍ１〈ｘ〉Ω２ｃｏｓ２〈γ〉）／ｍ１〈ｘ〉・（ｋ'１〈ｙ〉−ｍ１〈ｙ〉Ω２）／ｍ１〈ｙ〉 …(52)
【００７１】
式(52)の右辺の第１、２因数が積ω１，ｓｌｏω２，ｓｌｏに等しくなるようにｋ'１〈ｘ〉、ｋ'１〈ｙ〉を定める。このようにして求めたメカニカルモデル５の周波数応答が、スロッシングの周波数応答の共振挙動をよく表わすことを、次節で確かめる。
【００７２】
２．適用例
まず、重力のみでスピンのない場合についてステップ［ＶＩ］のメカニカルモデルのパラメータを計算した。その結果を図５に示す。
【００７３】
図５の(a)は固有振動数ω１〈ｘ〉／２π、ω１〈ｙ〉／２π（Ｈｚ）、
(b)は スロッシュマスｍ１〈ｘ〉、ｍ１〈ｙ〉（ｋｇ）、
(c)はスロッシュマスｍ１〈ｘ〉、ｍ１〈ｙ〉（液体の全質量ｍｌｉｑｕｉｄで無次元化した値）、
(d)はスロッシュマスの取付け位置ｌ１〈ｘ〉、ｌ１〈ｙ〉(球形部半径で無次元化した値)、
(e)は固定マスの取付け位置ｌ０〈ｘ〉、ｌ０〈ｙ〉(球形部半径で無次元化した値)である（重力支配下; 実線、一点鎖線は〈ｘ〉、〈ｙ〉加振に対する値）。
［ａ＝０．２５ｍ，θＣ＝４０ｄｅｇ，γ＝４３ｄｅｇ，Ｌｃｅｎｔ＝０．５ｍ，Ｈｃｅｎｔ＝０ｍ，α＝０，Ω＝０ｒｐｍ，ｇ＝２ｍ／ｓ２，ρ＝１００９ｋｇ／ｍ３；
力参照座標（〈ｘ〉，〈ｙ〉，〈ｚ〉）の傾き〈γ〉＝０、原点の（ｘ'，ｙ'，ｚ'）座標（Ｌｃｅｎｔ，０，Ｈｃｅｎｔ＋ａ（図２参照）；
球座標参照座標（［ｘ'］，［ｙ'］，［ｚ'］）の傾き（φＥ，θＥ，ΨＥ）＝（０，−３８°，０），原点の［ｘ］，［ｙ］，［ｚ］）座標（０．１４，０，０．１７）ｍ（図３，４参照）］
【００７４】
注意すべきことは、スロッシュマスが液体充填率の増加とともに単調増加せず、途中の充填率で最大となることである。この理由は、充填率が１００％に近づくと液面の面積が小さくなって拘束が強くなり、一方、低い充填率では全液体量が小さいためスロッシュマスも小さくなるためである。以上の結果、スロッシュマスは中間より多少高い充填率で最大となる。
【００７５】
本計算法は、静的平衡時の液体形状が非軸対称な場合を対象として考案したものであるが、検証のため、円錐部を小さく（円錐部の頂角を大きく）して球形タンクに近づけた場合についてメカニカルモデルのパラメータの計算を行い、過去の文献(4)と比較して図６に示した。
【００７６】
図６の(a)は無次元固有振動数ω１〈ｘ〉／（ｇ／ａ）１／２、ω１〈ｙ〉／（ｇ／ａ）１／２、
(b)はスロッシュマスｍ１〈ｘ〉、ｍ１〈ｙ〉（液体の全質量ｍｌｉｑｕｉｄで無次元化した値）、
(c)はスロッシュマスの取付け位置ｌ１〈ｘ〉、ｌ１〈ｙ〉(球形部半径で無次元化した値)、
(d)は固定マスの取付け位置ｌ０〈ｘ〉、ｌ０〈ｙ〉(球形部半径で無次元化した値)である（重力支配下、球タンクに帰着させて検証、文献(4)p.13の結果と別曲線で表わせないほど一致；実線、一点鎖線は、〈ｘ〉、〈ｙ〉加振に対する値）。
［ａ＝０．２５ｍ，θＣ＝７０ｄｅｇ，γ＝２２ｄｅｇ，Ｌｃｅｎｔ＝０．５ｍ，Ｈｃｅｎｔ＝０ｍ，α＝０，Ω＝０ｒｐｍ，ｇ＝２ｍ／ｓ２，ρ＝１００９ｋｇ／ｍ３；
力参照座標（〈ｘ〉，〈ｙ〉，〈ｚ〉）の傾き〈γ〉＝０、原点の（ｘ'，ｙ'，ｚ'）座標（Ｌｃｅｎｔ，０，Ｈｃｅｎｔ＋ａ）（図２参照）；
球座標参照座標（［ｘ'］，［ｙ'］，［ｚ'］）の傾き（φＥ，θＥ，ΨＥ）＝（０，−１７°，０），原点の［ｘ］，［ｙ］，［ｚ］）座標（０．０７，０，０．０１）ｍ（図３，４参照）］
【００７７】
文献(4)の結果との一致は非常によいことを確認している。
【００７８】
図７に本題のスピンのある場合のメカニカルモデルのパラメータの計算結果を示す。
【００７９】
図７の(a)は固有振動数ω１〈ｘ〉／２π、ω１〈ｙ〉／２π（Ｈｚ）、
(b)は スロッシュマスｍ１〈ｘ〉、ｍ１〈ｙ〉（ｋｇ）、
(c)はスロッシュマスｍ１〈ｘ〉、ｍ１〈ｙ〉（液体の全質量ｍｌｉｑｕｉｄで無次元化した値）、
(d)はスロッシュマスの取付け位置ｌ１〈ｘ〉、ｌ１〈ｙ〉(球形部半径で無次元化した値)、
(e)は固定マスの取付け位置ｌ０〈ｘ〉、ｌ０〈ｙ〉(球形部半径で無次元化した値)である（実線、一点鎖線は〈ｘ〉、〈ｙ〉加振に対する値）。
［ａ＝０．２５ｍ，θＣ＝４０ｄｅｇ，γ＝４３ｄｅｇ，Ｌｃｅｎｔ＝０．５ｍ，Ｈｃｅｎｔ＝０ｍ，α＝０，Ω＝２０ｒｐｍ，ｇ＝２ｍ／ｓ２，ρ＝１００９ｋｇ／ｍ３；
力参照座標（〈ｘ〉，〈ｙ〉，〈ｚ〉）と球座標参照座標（［ｘ'］，［ｙ'］，［ｚ'］）はタンク対象座標（［ｘ］，［ｙ］，［ｚ］）に一致（図２，３参照）］
【００８０】
スピンによって生じる液面の勾配は、液面がタンク中心線と交わる位置で
ｄｚ'／ｄｘ'
が−０．８から−１．３となる程度であり、重力が小さいためかなり大きく、コリオリ加速度による固有振動数の分離も次にみるように顕著である。
【００８１】
図８、９は、ステップ［ＶＩＩＩ］の修正メカニカルモデルによって、ステップ［ＶＩＩ］の解析で求めたスロッシングによる力とモーメントの周波数応答が近似的に表わせることを示したものである。
【００８２】
図８は
【数２２】
【数２３】
【００８３】
〈ｘ〉方向加振に対しても〈ｙ〉方向の力、〈ｘ〉方向のモーメントが生じる（これらはコリオリ加速度なしの場合には出ない）
〈ｙ〉方向加振に対しても〈ｘ〉方向の力、〈ｙ〉方向のモーメントが生じる（これらはコリオリ加速度なしの場合には出ない）
【００８４】
これらの連成によって生じる力、モーメント成分の位相変化が修正メカニカルモデルとスロッシング系とで一致している。
【００８５】
文献
[1] Utsumi, M., 1998, "Low-gravity Propellant Slosh Analysis Using Spherical Coordinates," Journal of Fluids and Structures, 12, pp. 57-83.
[2] Utsumi, M., 2000, "Low-gravity Sloshing in an Axisymmetrical Container Excited in the Axial Direction," ASME Journal of Applied Mechanics, 67, pp. 344-354.
[3] Utsumi, M., 2000, "Development of Mechanical Models for Propellant Sloshing in Teardrop Tanks," Journal of Spacecraft and Rockets, 37, pp. 597-603.
[4] NASA SP-8009, NASA Space Vehicle Design Criteria (Structures), Propellant Slosh Loads, August 1968.
【００８６】
尚、本発明は上記形態例にのみ限定されるものではなく、その他本発明の要旨を逸脱しない範囲内において種々変更を加え得ること、等は勿論である。
【００８７】
【発明の効果】
本発明のコリオリ加速度を考慮した涙滴形タンク内スロッシングのメカニカルモデル作成方法よれば、以下のような優れた効果を奏し得る。
【００８８】
涙滴形タンクの加振に対するスロッシングの周波数特性の評価に際し、球座標の軸が液面と大体直角に液面の中央近くで交わるようにしてタンク円錐部のどこからでもとれるようにし、解の表示を、どの座標方向にも直交関数となる直交モード関数の重ね合わせで与えることにより、非ポテンシャル流にも適用可能にしてコリオリ加速度を含むスロッシングの周波数特性が解析的方法で評価可能となり、自由度が低減し、従って従来の有限要素法の数値的手法に比べてスロッシング系の解析、延いては設計マスばねモデル作成のための計算時間が短くなり、計算コストが安価になる。
【００８９】
従って、前記解の表示に基づき、まず、コリオリ加速度を考慮せずに、液面とほぼ平行で互いに直交する２つの加振方向について周波数特性を近似的に表わす設計マスばねモデルを別個に作成し、次に、これらの設計マスばねモデルを連成させてコリオリ加速度による固有振動数の分離が取り込めるようにし、コリオリ加速度により分離したスロッシングの固有振動数を評価して、この評価した分離固有振動数を近似的に表わせるように前記各設計マスばねモデルのばね定数を修正するようにしたので、コリオリ加速度を含む実際のスロッシング系の周波数特性に非常に近似した周波数特性を持つ設計マスばねモデルが作成できる。
【００９０】
このように、スロッシング系によるコリオリ加速度を含むスロッシングの周波数特性と近似した周波数特性を持つ設計マスばねモデルの作成が可能になることによって、衛星に対するスロッシングの影響を正確に評価して衛星の姿勢制御性を大幅に向上させることができる。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明を適用する涙滴形タンクとその座標系を示す概念図である。
【図２】力参照座標とメカニカルモデルの概念図である。
【図３】球座標の設定方法の概念図である。
【図４】球座標の原点と軸を決める座標変換の概念図である。
【図５】（ａ）、（ｂ）、（ｃ）、（ｄ）、（ｅ）は重力のみでスピンのない場合についてステップＶＩのメカニカルモデルのパラメータを計算した結果を示す線図である。
【図６】（ａ）、（ｂ）、（ｃ）、（ｄ）は円錐部を小さくして球形タンクに近付けた涙滴形タンクについてパラメータを計算して過去の文献と比較して示した線図である。
【図７】（ａ）、（ｂ）、（ｃ）、（ｄ）、（ｅ）は本題のスピンのある場合の計算結果を示す線図である。
【図８】（ａ）、（ｂ）、（ｃ）、（ｄ）はステップＶＩＩＩの修正メカニカルモデルによって、ステップＶＩＩの解析で求めたスロッシングによる力とモーメントの周波数応答が近似的に表せることを示した線図である。
【図９】（ａ）、（ｂ）、（ｃ）、（ｄ）はステップＶＩＩＩの修正メカニカルモデルによって、ステップＶＩＩの解析で求めたスロッシングによる力とモーメントの周波数応答が近似的に表せることを図８と異なる条件で示した線図である。
【図１０】涙滴形タンクの概要を説明するための縦断面図である。
【図１１】図１０に示す涙滴形タンクの設計マスばねモデルを図示化した概念図である。
【符号の説明】
１ 涙滴形タンク
４ タンク壁面
５ 設計マスばねモデル
６ ばね
Ｍ 液面
ｍ１ マス
ｋ ばね定数
Claims (2)
- スピン軸に対して中心軸が所定の角度傾斜したスピン衛星における涙滴形タンクの液面の中央で液面と直交する第３の座標軸と該第３の座標軸と直交し且つ互いに直交した第１及び第２の座標軸を有する直交座標系を設定し、且つ前記第３の座標軸回りに周方向座標をとり、該周方向座標の０度から３６０までの間を複数区間に分割し、その各区間について液面とタンク壁面との交線でタンク壁面に接線を引き、この接線と前記第３の座標軸との交点を原点とする球座標を設定し、前記涙滴形タンクのスロッシング系において第１の座標軸方向にタンクを加振したときにタンクが受ける第１の座標軸方向の力と第２の座標軸回りのモーメントの周波数特性を求めて、この第１の座標軸方向加振での周波数特性を近似的に表わせる設計マスばねモデルを作成し、また、第２の座標軸方向にタンクを加振したときにタンクが受ける第２の座標軸方向の力と第１の座標軸回りのモーメントの周波数特性を求めて、この第２の座標軸方向加振での周波数特性を近似的に表わせる設計マスばねモデルを作成し、一方、非ポテンシャル流にも適用可能な変分原理、解の表示を導入してコリオリ加速度により分離したスロッシングの固有振動数を評価し、該評価した分離固有振動数を近似的に表わすように前記各設計マスばねモデルのばね定数を修正することを特徴とするコリオリ加速度を考慮した涙滴形タンク内スロッシングのメカニカルモデル作成方法。
- 前記各設計マスばねモデルのばね定数の修正は、各設計マスばねモデルにコリオリ加速度が作用したときに生じる第１の座標軸と第２の座標軸の加振方向の連成項に固有振動数の分離度合を制御する定数を導入し、各加振方向のばね定数を前記評価したスロッシングの分離固有振動数に合わせて修正することを特徴とする請求項１に記載のコリオリ加速度を考慮した涙滴形タンク内スロッシングのメカニカルモデル作成方法。
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