JP4978281B2

JP4978281B2 - 宇宙機のスロッシング特性の算定方法

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Publication number: JP4978281B2
Application number: JP2007102211A
Authority: JP
Inventors: 雅彦内海
Original assignee: IHI Corp
Current assignee: IHI Corp
Priority date: 2007-04-09
Filing date: 2007-04-09
Publication date: 2012-07-18
Anticipated expiration: 2027-04-09
Also published as: JP2008254712A

Description

本発明は、宇宙機の推薬タンク等、低重力環境下における液体のスロッシング特性をリアルタイムに算定するために用いる式を作成して計算機に実装し、この式により上記宇宙機のスロッシング特性を算定するための宇宙機のスロッシング特性の算定方法に関するものである。

宇宙機の推薬タンク内で生じるスロッシング（液体の振動）は、上記宇宙機の姿勢制御に重大な影響を及ぼすため、その固有振動数等のスロッシング特性を把握することが重要になる。

又、宇宙の低重力場では、液体のスロッシングに、表面張力が大きな影響を及ぼすため、液体のスロッシング特性は、液体充填率だけでなく、ボンド数（重力と表面張力の大きさの比を代表する無次元数）にも依存するようになる。

そこで、本発明者は、図５に示す如き軸対称タンク１と液体２のスロッシングモデルについて、宇宙機における推薬タンクの静的平衡時の液面は、低重力場で表面張力が重力に比べて重要になると、メニスカス３と呼ばれる曲面形状となること、及び、このメニスカス３により宇宙機における推薬タンク１の静的平衡時の液面は、Ｚ軸に垂直な平面ではなくＺ軸に関して軸対称な曲面となることに鑑みて、メニスカス（静的平衡時の液面）３のタンク１壁面との交線でタンク１壁面に接する円錐を考え、この円錐の頂点Ｏを原点として、スロッシング解析に適した球座標ＯＲθφを設定することを提案している。かかる球座標ＯＲθφによれば、タンク形状が外側に凸の任意の軸対称な場合に対して、液体運動の特性関数（モード関数）が解析的に決定できるようにしてある。

更に、姿勢制御のためのスロッシング特性の把握に際しては、図５のスロッシングモデルを、図６のようなメカニカルモデルと一般に呼ばれるマスばねモデルに変換し，タンク１に働くｘ方向の力及びｙ軸まわりのモーメントのｘ方向タンク加振加速度に対する周波数応答が，図１のスロッシング系と同じになるように，メカニカルモデルのパラメータ（スロッシュマスｍ_１，ばね定数ｋ_１，固定マスｍ_０とスロッシュマスｍ_１の取り付け位置）を定めるようにして、これらのパラメータをスロッシング特性として扱っている。（たとえば、非特許文献１参照）。

内海雅彦（Utsumi M.），「軸対称タンク内の低重力スロッシングのメカニカルモデル（A Mechanical Model for Low-gravity Sloshing in an Axisymmetric Tank），ジャーナルオブアプライドメカニックス（Journal of Applied Mechanics），（米国），米国機械学会（ASME），２００４年，７１巻，ｐ．７２４−７３０

ところが、上記非特許文献１で提案している手法は、スロッシング特性を、大型計算機で解析理論に基づく長いプログラムを実行して求めていた。具体的には、大型計算機で解析理論に基づく長いプログラムを実行して、与えられたボンド数と液体充填率の下でのスロッシング特性を算定して、ボンド数をパラメータとした液体の充填率の関数、又は、液体充填率をパラメータとしたボンド数の関数としてグラフ表示したものを、スロッシング特性として与えるようにしていた。

したがって、任意のパラメータについてスロッシング特性を知るためには、パラメータの極めて多くの値についてグラフを描く必要が生じるというのが実状である。

そのために、本発明者は、宇宙機に搭載する小型計算機でも、運用中に変動するボンド数、液体充填率に応じてリアルタイムにスロッシング特性を知ることができるようにするための簡便な式を得るための工夫、研究を重ねて本発明をなした。

したがって、本発明の目的とするところは、運用中のボンド数、液体充填率の変化に応じたスロッシングのリアルタイム算定を行うことができ、且つ宇宙機に搭載する小型計算機に実装可能な簡便な計算式を作成するための宇宙機のスロッシング特性の算定方法を提供しようとするものである。

本発明は、上記課題を解決するために、請求項１に対応して、宇宙機に搭載した計算機により、該宇宙機のタンクにおけるタンク内液体のスロッシング特性を算定する、宇宙機のスロッシング特性の算定方法において、上記宇宙機のタンク内液体のボンド数の対数ｙを独立変数とし、その或る固定値に対して、スロッシング特性を決めるパラメータＱの液体充填率ｘに対する依存性を連続関数で表す式

を求め、該式をフーリエ級数展開すると共に、フーリエ級数展開の基底関数として境界でゼロになるものを選び、且つ上記パラメータＱが境界で外挿値に等しくなるための上記液体充填率ｘに関する１次関数項を加えてフーリエ級数展開式

を形成し、更に、該フーリエ級数展開式の各項を連続関数で表す式をフーリエ級数展開すると共に、それぞれのフーリエ級数展開の基底関数として境界でゼロになるものを選び、且つ上記フーリエ級数展開式の各項が境界でこれらの外挿値に等しくなるための上記ボンド数の対数ｙの１次関数項を加えてなる式

ここで、

を求めて、上記各式（３）乃至式（１０）を計算機に実装し、該各式により、上記宇宙機のタンク内液体のボンド数と液体充填率ｘを基に該宇宙機のスロッシング特性を算定する方法とする。

本発明の宇宙機のスロッシング特性の算定方法によれば、以下のような優れた効果を発揮する。
（１）宇宙機に搭載した計算機により、該宇宙機のタンクにおけるタンク内液体のスロッシング特性を算定する、宇宙機のスロッシング特性の算定方法において、上記宇宙機のタンク内液体のボンド数の対数ｙを独立変数とし、その或る固定値に対して、スロッシング特性を決めるパラメータＱの液体充填率ｘに対する依存性を連続関数で表す式

ここで、

を求めて、上記各式（３）乃至式（１０）を計算機に実装し、該各式により、上記宇宙機のタンク内液体のボンド数と液体充填率ｘを基に該宇宙機のスロッシング特性を算定するようにしてあるので、スロッシング特性のボンド数の対数と、液体充填率に依存する変化をリアルタイムで算定することが可能な式を容易な計算で作成できる。
（２）又、スロッシング特性のボンド数と液体充填率に対する依存性を、２重のフーリエ級数展開式によって表し、更に、境界で誤差が生じやすいというフーリエ級数の特性を、境界条件を厳密に満たす項の導入によって補完するようにしてあるため、宇宙機の運用中のボンド数と、液体充填率の変動に応じたスロッシング特性の算定を行うことができる。
（３）以上により、ボンド数と液体充填率に依存する宇宙機のスロッシング特性を、リアルタイムで算定するための式を、宇宙機に搭載する小型計算機にも実装可能な簡便な式として作成することが可能になる。
（４）スロッシング特性を決める所要のパラメータの液体充填率に対する依存性を連続関数で表す式を、上記所要のパラメータの液体充填率に対する依存性を表す１次式による内挿と外挿によって求めるようにする構成とすることにより、上記スロッシング特性を決める所要のパラメータの液体充填率に対する依存性を連続関数で表す式を容易に求めて、フーリエ級数展開することが可能になる。
（５）フーリエ級数展開式の各項を連続関数で表す式を、該各項を表す式の内挿と外挿により求めるようにする構成とすることにより、上記フーリエ級数展開式の各項を連続関数で表す式を容易に求めて、フーリエ級数展開することが可能になる。

以下、本発明を実施するための最良の形態を図面を参照して説明する。

図１は本発明の宇宙機のスロッシング特性の算定方法の実施の一形態を示すもので、以下のようにしてある。

先ず、軸対称タンクのスロッシングモデルを図１のように設定し、ボンド数を、

とする。

ｙ≡ｌｏｇ_１０Ｂｏのある固定した値に対し、図６に示したと同様のメカニカルモデルの或るパラメータＱの液体充填率ｘ＝（液体の体積）/（タンクの体積）に対する依存性は、解析した離散点ｘ_ｉ（ｉ＝１，２，…，ｉ_ｍａｘ；０＜ｘ_ｉ＜…＜ｘ_ｉｍａｘ＜１）でのＱの値の１次式による内挿（補間）と外挿である

によって連続関数として表される。従って、次のようにフーリエ級数展開によって表すことができる。

である。上記においては、フーリエ展開に伴う境界ｘ＝０，ｘ＝１の近くでの誤差を防ぐため、フーリエ展開の基底関数として境界で０になるものを選び、Ｑが境界で外挿値Ｑ（０，ｙ）、Ｑ（１，ｙ）に等しくなるためのｘの１次関数項として、上記式（３）の右辺第１項及び第２項を加えるようにしてある。

以上の過程をいくつかの離散点ｙ_ｊ（ｊ＝１，２，…,ｊ_ｍａｘ；ｙ_ｍｉｎ＜ｙ_１＜…＜ｙ_ｊｍａｘ＜ｙ_ｍａｘ）に対して繰り返し、上のｘに関する内外挿と同様な内外挿によりｆ_１（ｙ），ｆ_２（ｙ），ｆ_３ｍ（ｙ）を連続関数として定義することによって、次のようにフーリエ級数展開する。

ここで、

である。ここでもまた、フーリエ展開に伴う境界ｙ＝ｙ_ｍｉｎ，ｙ＝ｙ_ｍａｘの近くでの誤差を防ぐために、フーリエ展開の基底関数として境界で０になるものを選び、ｆ_１（ｙ），ｆ_２（ｙ），ｆ_３ｍ（ｙ）が境界でこれらの外挿値に等しくなるためのｙの１次関数項として、上記式（５）、式（６）、式（７）にて、それぞれ右辺第１項及び第２項を加えるようにしてある。なお、スロッシング特性のボンド数Ｂｏに対する変動は、ボンド数Ｂｏの小さい領域で局所的に激しくなるので、上記ボンド数Ｂｏをそのままではなく、その対数ｙ＝ｌｏｇ_１０Ｂｏを独立変数としている点に注意が必要である。

したがって、上記式（８）、式（９）、式（１０）で求められる係数を用いて上記式（５）、式（６）、式（７）、更には、式（４）を計算すると、上記式（３）によって、上記パラメータＱの上記ボンド数Ｂｏの対数ｙと、液体充填率ｘに依存する変化を、リアルタイムに算定することができるようになる。

なお、図１において、図５に示したものと同一のものには同一符号が付してある。

このように、本発明の宇宙機のスロッシング特性の算定方法によれば、宇宙機の上記パラメータＱとして示されるスロッシング特性のボンド数Ｂｏの対数ｙと、液体充填率ｘに依存する変化をリアルタイムで算定することが可能な式を容易な計算で作成できる。このことは、後述する実施例の図２（イ）（ロ）（ハ）（ニ）乃至図４に示すように、上記本発明の方法による各スロッシング特性の算定結果が、解析値によく一致していることからも明らかである。

又、スロッシング特性のボンド数と液体充填率に対する依存性を、２重のフーリエ級数展開式によって表し、更に、境界で誤差が生じやすいというフーリエ級数の特性を、境界条件を厳密に満たす項の導入によって補完するようにしてあるため、運用中のボンド数Ｂｏと、液体充填率ｘの変動に応じたスロッシング特性のリアルタイム算定を行うことができる。すなわち、たとえば、後述する実施例の図２（イ）及び図４に示す結果から明らかなように、ボンド数Ｂｏが小さい場合には、固有振動数がある液体充填率ｘで急変するが、このような固有角振動数の急変についても、上記本発明の方法で算定する結果により高精度で表すことができる。

よって、ボンド数と液体充填率に依存する宇宙機のスロッシング特性を、リアルタイムで算定することができ、且つ宇宙機に搭載する小型計算機にも実装可能な簡便な式を作成することが可能になる。

なお、本発明は、上記実施の形態にのみ限定されるものではなく、宇宙機のタンクの形状は、Ｚ軸方向に軸対称な形状としてあれば、球形等、図示したタンク形状を多少変形するようにしてもよい。その他本発明の要旨を逸脱しない範囲内で種々変更を加え得ることは勿論である。

以下、本発明者が実施した本発明の有効性の検証の結果について説明する。

（１）
図６に示したメカニカルモデルにて、ばね定数ｋ_１は、固有振動数とスロッシュマスｍ_１から決まり、固定マスｍ_０はタンク内の液体のマスからスロッシュマスｍ_１を引くことによって定まる。そこで，スロッシング特性を表す４つの量である固有振動数、スロッシュマスｍ_１、スロッシュマスｍ_１と固定マスｍ_０の取り付け位置のうち、上記固有振動数について、前述した本発明の宇宙機のスロッシング特性の算定方法による算定結果を、解析値と比較検証した。

図２（イ）（ロ）（ハ）（ニ）は、ｌｏｇ_１０Ｂｏを、０，１，２，３にそれぞれ固定し、図１におけるａ／ｂ＝１、ｃ／ｂ＝１とした条件の下での固有振動数（固有角振動数／（ｇ／ｂ）**０．５）と、液体充填率との相関を求めたもので、各図中のドットは解析値を示し、又、曲線は上記算定結果を示したものである。

図２（イ）（ロ）（ハ）（ニ）のいずれの結果からも、本発明の宇宙機のスロッシング特性の算定方法を用いて算定した固有振動数の算定結果が、解析値によく一致していることが判明した。

更に、図２（イ）から明らかなように、ボンド数が小さい場合、固有振動数は、ある液体充填率で急激に変化している。この液体充填率は、メニスカスのタンク壁面との接触交線が、タンクの円筒部と、上側の楕円体部との結合部にあるときの液体充填率である。したがって、液体充填率を増して行くとき、この液体充填率でメニスカスのタンク壁面との接触角が小さいため（本計算では５度としてある）、メニスカスの面積が急に増加する。そのために、運動エネルギが急に増加し、固有振動数が急に減少していると考えられる。このように、固有振動数が急激に変化する場合であっても、本発明の宇宙機のスロッシング特性の算定方法を用いた固有振動数の算定結果が、解析値によく追従していることが判る。

（２）
上記（１）と同様にして、スロッシング特性としてのスロッシュマスｍ_１について、本発明の宇宙機のスロッシング特性の算定方法による算定結果を、解析値と比較検証した。

図３（イ）（ロ）（ハ）（ニ）は、ｌｏｇ_１０Ｂｏを、０，１，２，３にそれぞれ固定し、図１におけるａ／ｂ＝１、ｃ／ｂ＝１とした条件の下でのスロッシュマス／（タンクの体積×液体密度）と、液体充填率との相関を求めたもので、各図中のドットは解析値を示し、又、曲線は上記算定結果を示したものである。

図３（イ）（ロ）（ハ）（ニ）のいずれの結果からも、本発明の宇宙機のスロッシング特性の算定方法を用いて算定したスロッシュマスｍ_１の算定結果が、解析値によく一致していることが判明した。

（３）
上記（１）と同様の条件において、図１におけるａ／ｂ＝１．６、ｃ／ｂ＝１．６として、ｌｏｇ_１０Ｂｏ＝０のときの固有振動数（固有角振動数／（ｇ／ｂ）**０．５）と、液体充填率との相関を求めた。

その結果、図４に解析値をドットで示し、又、上記算定結果を線で示す如く、本発明の宇宙機のスロッシング特性の算定方法を用いて算定した固有振動数の算定結果が、解析値によく一致していることが判明した。

更に、図４で示す結果は、上記図２（イ）で述べた固有角振動数の急変が、天井ドームの扁平化（ａ／ｂの増大）によって激しくなることを示す例である。この場合、ｃの条件を、図２（イ）（ロ）（ハ）（ニ）に示したものと同じにするため、ｃ／ｂも増大させるようにしてある。

このように固有振動数の急変が激しくなると、前述の式（３）の級数の項数ｍ_ｍａｘ
を多くとる必要がある（本例では、ｍ_ｍａｘ＝１２０）。しかし、前述の式（５）、式（６）、式（７）で計算すべき正弦関数の個数ｎ_ｍａｘは少なくて済み、本例でｎ_ｍａｘ＝８である。図２（イ）（ロ）（ハ）（ニ）の場合は、ｍ_ｍａｘ＝１８，ｎ_ｍａｘ＝８である。したがって、上記したように固有振動数の急変が激しくなる場合であっても、ｎ_ｍａｘは大きくする必要はないこと、又、計算時間制約が数ｍｓｅｃまで短くなることはないことが明らかとなった。これにより、演算時間上の問題はさほど深刻ではないと考えられることが判明した。

本発明の宇宙機のスロッシング特性の算定方法の実施の一形態を示す概要図である。本発明者が本発明の有効性を検証するために、本発明の宇宙機のスロッシング特性の算定方法による固有振動数と液体充填率との相関についての算定結果を、解析値と比較して示す図で、（イ）（ロ）（ハ）（ニ）はそれぞれボンド数の対数の設定条件を０，１，２，３と変化させた場合を示すものである。本発明者が本発明の有効性を検証するために、本発明の宇宙機のスロッシング特性の算定方法によるスロッシュマスと液体充填率との相関についての算定結果を、解析値と比較して示す図で、（イ）（ロ）（ハ）（ニ）はそれぞれボンド数の対数の設定条件を０，１，２，３と変化させた場合を示すものである。本発明者が本発明の有効性を検証するために、タンク形状を変更し、且つボンド数の対数の設定条件を０とした条件の下で、本発明の宇宙機のスロッシング特性の算定方法による固有振動数と液体充填率との相関についての算定結果を、解析値と比較して示す図である。本発明者が宇宙機のスロッシングの解析のために提案している軸対称タンクのスロッシングモデルを示す概要図である。本発明者が宇宙機のスロッシングの解析のための図５に示したスロッシングモデルをマスばね構造に置き換えるために提案しているメカニカルモデルを示す概要図である。

符号の説明

１タンク
２液体

Claims

宇宙機に搭載した計算機により、該宇宙機のタンクにおけるタンク内液体のスロッシング特性を算定する、宇宙機のスロッシング特性の算定方法において、上記宇宙機のタンク内液体のボンド数の対数ｙを独立変数とし、その或る固定値に対して、スロッシング特性を決めるパラメータＱの液体充填率ｘに対する依存性を連続関数で表す式

を求め、該式をフーリエ級数展開すると共に、フーリエ級数展開の基底関数として境界でゼロになるものを選び、且つ上記パラメータＱが境界で外挿値に等しくなるための上記液体充填率ｘに関する１次関数項を加えてフーリエ級数展開式

を形成し、更に、該フーリエ級数展開式の各項を連続関数で表す式をフーリエ級数展開すると共に、それぞれのフーリエ級数展開の基底関数として境界でゼロになるものを選び、且つ上記フーリエ級数展開式の各項が境界でこれらの外挿値に等しくなるための上記ボンド数の対数ｙの１次関数項を加えてなる式

ここで、

を求めて、上記各式（３）乃至式（１０）を計算機に実装し、該各式により、上記宇宙機のタンク内液体のボンド数と液体充填率ｘを基に該宇宙機のスロッシング特性を算定することを特徴とする宇宙機のスロッシング特性の算定方法。