JPH10312472A - オブジェクトの構造グラフ生成方法および装置、ならびにそれらを利用することの可能なデータ変換方法、装置、システムおよび記録媒体 - Google Patents
オブジェクトの構造グラフ生成方法および装置、ならびにそれらを利用することの可能なデータ変換方法、装置、システムおよび記録媒体Info
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- JPH10312472A JPH10312472A JP9362413A JP36241397A JPH10312472A JP H10312472 A JPH10312472 A JP H10312472A JP 9362413 A JP9362413 A JP 9362413A JP 36241397 A JP36241397 A JP 36241397A JP H10312472 A JPH10312472 A JP H10312472A
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Abstract
(57)【要約】
【課題】 CADやCGにおける形状表現はポリゴンデ
ータでなされることが多かった。ポリゴン表現の場合、
精緻性を追求すればデータ量が非常に大きくなる。既存
のポリゴンデータ資産を活かしながら別の形状表現を提
案する。 【解決手段】 オブジェクトの形状を示すポリゴンデー
タを取得する。このポリゴンデータから、オブジェクト
が持つ位相情報を抽出する(S20)。その情報をもと
に、ポリゴンデータを位相幾何学的データへと変換する
(S21)。必要に応じて、その逆変換も行う。
ータでなされることが多かった。ポリゴン表現の場合、
精緻性を追求すればデータ量が非常に大きくなる。既存
のポリゴンデータ資産を活かしながら別の形状表現を提
案する。 【解決手段】 オブジェクトの形状を示すポリゴンデー
タを取得する。このポリゴンデータから、オブジェクト
が持つ位相情報を抽出する(S20)。その情報をもと
に、ポリゴンデータを位相幾何学的データへと変換する
(S21)。必要に応じて、その逆変換も行う。
Description
【0001】
【発明の属する技術分野】この発明は、オブジェクトの
構造を示すグラフを生成する方法と装置、およびそれら
を利用することの可能なデータ変換の方法、装置、シス
テムおよび記録媒体に関する。この発明は、例えばCA
D(コンピュータ支援設計)やCG(コンピュータグラ
フィクス)における立体のデータに適用することができ
る。
構造を示すグラフを生成する方法と装置、およびそれら
を利用することの可能なデータ変換の方法、装置、シス
テムおよび記録媒体に関する。この発明は、例えばCA
D(コンピュータ支援設計)やCG(コンピュータグラ
フィクス)における立体のデータに適用することができ
る。
【0002】
【従来の技術】CADやCGの分野で物体または立体な
どのオブジェクトを記述するとき、従来よりポリゴン
(多角形)を用いた近似表現が知られている。この方法
はオブジェクトの表面を細分化してポリゴンパッチを貼
り付けていくもので、今日まで数多くのオブジェクトが
ポリゴンデータの形で作成され、データベース等に保持
されている。ポリゴン表現がこれほど普及した理由とし
て、方法が単純で理解しやすいことや、どのようなオブ
ジェクトでも、根気よく作業をすれば必ず三角形パッチ
で覆い尽くせることがあげられる。
どのオブジェクトを記述するとき、従来よりポリゴン
(多角形)を用いた近似表現が知られている。この方法
はオブジェクトの表面を細分化してポリゴンパッチを貼
り付けていくもので、今日まで数多くのオブジェクトが
ポリゴンデータの形で作成され、データベース等に保持
されている。ポリゴン表現がこれほど普及した理由とし
て、方法が単純で理解しやすいことや、どのようなオブ
ジェクトでも、根気よく作業をすれば必ず三角形パッチ
で覆い尽くせることがあげられる。
【0003】すでに指摘されて久しいが、ポリゴン表現
の問題は、精緻性の追求がデータ量の増加に直結する点
にある。ポリゴン自体は平面的であるから、曲面の滑ら
かさや複雑な形状を表現する場合、より小さなポリゴン
をより多数貼り付ける他に有効な手がない。例えば人物
をある程度精緻にモデリングするとき、一般に数万から
数十万のポリゴンが必要である。ジュラシックパークや
アポロ13など、CGを駆使した映画の驚異的な映像に
慣らされてしまった現在、ユーザはCGによってどのよ
うな映像でも創り出すことができると考える。こうした
ユーザの要求に少しでも沿おうとすれば、ポリゴン表現
を使う限り、自ずとポリゴン数増加の途を辿るほかな
い。
の問題は、精緻性の追求がデータ量の増加に直結する点
にある。ポリゴン自体は平面的であるから、曲面の滑ら
かさや複雑な形状を表現する場合、より小さなポリゴン
をより多数貼り付ける他に有効な手がない。例えば人物
をある程度精緻にモデリングするとき、一般に数万から
数十万のポリゴンが必要である。ジュラシックパークや
アポロ13など、CGを駆使した映画の驚異的な映像に
慣らされてしまった現在、ユーザはCGによってどのよ
うな映像でも創り出すことができると考える。こうした
ユーザの要求に少しでも沿おうとすれば、ポリゴン表現
を使う限り、自ずとポリゴン数増加の途を辿るほかな
い。
【0004】ポリゴン数の激増を受容した背景に、最近
のコンピュータハードウエアの長足の進歩がある。メイ
ンメモリ搭載量、二次記憶装置容量、CPU性能のいず
れをとっても数年前とは比較にならない改善がなされて
おり、大きなポリゴンデータにもある程度対応ができ
る。しかし、インターネットを利用した通信の普及に伴
い、電話回線を介した精緻画像の伝送にきわめて長時間
を要する問題が露呈し、画像のデータ量が一般に大きい
ことが広く認識されるようになった。今後、さらに大き
なポリゴンデータを扱うのであれば、回線等のインフラ
ストラクチャも含めたハードウエアのさらなる改良の他
に手だてはなく、ハードウエアとポリゴン数の「いたち
ごっこ」には終わりが見えない。
のコンピュータハードウエアの長足の進歩がある。メイ
ンメモリ搭載量、二次記憶装置容量、CPU性能のいず
れをとっても数年前とは比較にならない改善がなされて
おり、大きなポリゴンデータにもある程度対応ができ
る。しかし、インターネットを利用した通信の普及に伴
い、電話回線を介した精緻画像の伝送にきわめて長時間
を要する問題が露呈し、画像のデータ量が一般に大きい
ことが広く認識されるようになった。今後、さらに大き
なポリゴンデータを扱うのであれば、回線等のインフラ
ストラクチャも含めたハードウエアのさらなる改良の他
に手だてはなく、ハードウエアとポリゴン数の「いたち
ごっこ」には終わりが見えない。
【0005】こうした事情に鑑み、ポリゴンのデータ量
削減については従来よりいろいろな取り組みがなされて
きた。特開平8−153211号公報(コンピュータグ
ラフィックスデータのポリゴン削減装置)には、視点情
報に応じて冗長なポリゴンを削減する装置が開示されて
いる。この装置によれば、表示品質を維持しながら描画
速度を高めることができる。しかしこの装置の場合、オ
ブジェクトを表現するオリジナルのポリゴンデータはそ
のまま残されているから、その意味でデータ量は削減さ
れない。
削減については従来よりいろいろな取り組みがなされて
きた。特開平8−153211号公報(コンピュータグ
ラフィックスデータのポリゴン削減装置)には、視点情
報に応じて冗長なポリゴンを削減する装置が開示されて
いる。この装置によれば、表示品質を維持しながら描画
速度を高めることができる。しかしこの装置の場合、オ
ブジェクトを表現するオリジナルのポリゴンデータはそ
のまま残されているから、その意味でデータ量は削減さ
れない。
【0006】特開平7−262402号公報(曲面の表
示方法)には、ポリゴンの辺をその両端点の法線方向に
注目して円弧に変換し、オブジェクトの輪郭線をより滑
らかに表示する方法が開示されている。一般に、ポリゴ
ン数が少ない場合、オブジェクトの曲面に凹凸が目立つ
が、この方法によればその欠点が緩和される。しかしな
がら、この方法はオリジナルのポリゴン数が少ないとき
に効果的であっても、この方法によってポリゴンデータ
量が減るわけではない。
示方法)には、ポリゴンの辺をその両端点の法線方向に
注目して円弧に変換し、オブジェクトの輪郭線をより滑
らかに表示する方法が開示されている。一般に、ポリゴ
ン数が少ない場合、オブジェクトの曲面に凹凸が目立つ
が、この方法によればその欠点が緩和される。しかしな
がら、この方法はオリジナルのポリゴン数が少ないとき
に効果的であっても、この方法によってポリゴンデータ
量が減るわけではない。
【0007】一方、ポリゴンではなく、パラメトリック
パッチと呼ばれる曲面要素によってオブジェクトを表現
する方法もある。一般に曲面要素によれば、より滑らか
な曲面を比較的少ないデータで表現できる。共立出版株
式会社「3次元CADの基礎と応用」(鳥谷浩志、千代
倉弘明編著)の62ページには、特徴線によって曲線メ
ッシュを生成し、曲面パッチを貼り付ける旨が記載され
ている。この教科書では、曲面パッチをどのような数式
で記述するか、パッチどうしの継ぎ目をいかに滑らかに
するか、四辺形以外の不規則形状のパッチをどのように
記述するか、などについても解説がなされている。
パッチと呼ばれる曲面要素によってオブジェクトを表現
する方法もある。一般に曲面要素によれば、より滑らか
な曲面を比較的少ないデータで表現できる。共立出版株
式会社「3次元CADの基礎と応用」(鳥谷浩志、千代
倉弘明編著)の62ページには、特徴線によって曲線メ
ッシュを生成し、曲面パッチを貼り付ける旨が記載され
ている。この教科書では、曲面パッチをどのような数式
で記述するか、パッチどうしの継ぎ目をいかに滑らかに
するか、四辺形以外の不規則形状のパッチをどのように
記述するか、などについても解説がなされている。
【0008】
【発明が解決しようとする課題】しかしながら、曲面パ
ッチの利用における最大の課題は、処理自動化の困難性
にある。円筒など単純な形状であればパッチの貼り付け
も容易であるが、複雑なオブジェクトの場合、どこをど
のように分割すればうまく曲面パッチが貼れるか、ま
た、必要最小限の分割はどのようになせばよいのか、な
どに理論的な裏付けを与えるシステムの設計はきわめて
難しい。このため一般に、オペレータが手作業でパッチ
の貼り方を指定したり、修正する必要があった。パッチ
の貼り付けは、オペレータの経験や勘に頼る部分が大き
かった。その一方、自由曲面表現に対する取り組みを諦
めてポリゴン表現に終始すれば、重くなる一方の形状表
現に将来的展望は開けない。
ッチの利用における最大の課題は、処理自動化の困難性
にある。円筒など単純な形状であればパッチの貼り付け
も容易であるが、複雑なオブジェクトの場合、どこをど
のように分割すればうまく曲面パッチが貼れるか、ま
た、必要最小限の分割はどのようになせばよいのか、な
どに理論的な裏付けを与えるシステムの設計はきわめて
難しい。このため一般に、オペレータが手作業でパッチ
の貼り方を指定したり、修正する必要があった。パッチ
の貼り付けは、オペレータの経験や勘に頼る部分が大き
かった。その一方、自由曲面表現に対する取り組みを諦
めてポリゴン表現に終始すれば、重くなる一方の形状表
現に将来的展望は開けない。
【0009】本発明はこうした現状に鑑みてなされたも
のであり、その目的は、既存のポリゴン表現に代わる表
現方法の提供にある。本発明の別の目的は、ポリゴンデ
ータを自由曲面表現に向く、より精緻な形状データに変
換する技術の提供にある。本発明のさらに別の目的は、
理論的な裏付けにもとづき、ポリゴンデータを他の表現
形式のデータに一意的かつ確実に変換する技術の提供に
ある。本発明のさらに別の目的は、単なるデータの圧縮
技術ではなく、ポリゴン表現とは本質的に異なる表現形
式のデータを生成する技術の提供にある。本発明のさら
に別の目的は、ポリゴンデータよりもデータ量の少ない
形状データを必要に応じてポリゴンデータに戻す技術の
提供にある。本発明のさらに別の目的は、ポリゴンとは
異なる形状表現を行う際に、莫大な既存のポリゴンデー
タ資産を活かす技術の提供にある。本発明のさらに別の
目的は、以上のようなデータ変換技術の実現に利用する
ことの可能なオブジェクト構造の表現技術の提供にあ
る。
のであり、その目的は、既存のポリゴン表現に代わる表
現方法の提供にある。本発明の別の目的は、ポリゴンデ
ータを自由曲面表現に向く、より精緻な形状データに変
換する技術の提供にある。本発明のさらに別の目的は、
理論的な裏付けにもとづき、ポリゴンデータを他の表現
形式のデータに一意的かつ確実に変換する技術の提供に
ある。本発明のさらに別の目的は、単なるデータの圧縮
技術ではなく、ポリゴン表現とは本質的に異なる表現形
式のデータを生成する技術の提供にある。本発明のさら
に別の目的は、ポリゴンデータよりもデータ量の少ない
形状データを必要に応じてポリゴンデータに戻す技術の
提供にある。本発明のさらに別の目的は、ポリゴンとは
異なる形状表現を行う際に、莫大な既存のポリゴンデー
タ資産を活かす技術の提供にある。本発明のさらに別の
目的は、以上のようなデータ変換技術の実現に利用する
ことの可能なオブジェクト構造の表現技術の提供にあ
る。
【0010】本出願人は先に特願平9−303246号
において、ドローイングツール程度の簡単なシステム
で、複雑なオブジェクトも精緻かつ一意的にモデリング
することのできる技術を提案している。本発明はその技
術と従来のポリゴン表現の架け橋としての意義も持ち、
先の出願とともにポリゴンに依存する現状の形状表現に
質的な変革をもたらすことを第一の目的とする。
において、ドローイングツール程度の簡単なシステム
で、複雑なオブジェクトも精緻かつ一意的にモデリング
することのできる技術を提案している。本発明はその技
術と従来のポリゴン表現の架け橋としての意義も持ち、
先の出願とともにポリゴンに依存する現状の形状表現に
質的な変革をもたらすことを第一の目的とする。
【0011】
【課題を解決するための手段】本発明の構造グラフ生成
方法は、オブジェクトの形状を表すポリゴンデータから
そのオブジェクトの位相情報を抽出することによって、
そのオブジェクトの骨格グラフを生成する。
方法は、オブジェクトの形状を表すポリゴンデータから
そのオブジェクトの位相情報を抽出することによって、
そのオブジェクトの骨格グラフを生成する。
【0012】ここで「オブジェクト」とは、n次元デー
タの形で表現できるすべてのものをいい、CADでいう
立体(solid)のほか、温度分布などでもよい。
「オブジェクトの位相情報」とは、オブジェクトの構造
に関する情報といってもよい。この方法により、オブジ
ェクトの骨格に関する情報が得られるため、これをその
オブジェクトの形状定義に利用できる。骨格グラフの例
としてレーブグラフがある。レーブグラフは古典的なも
ののほか、本発明者が提案したアイコン表示(後述)で
もよい。その場合、オブジェクトの内部構造にも対応で
きる。
タの形で表現できるすべてのものをいい、CADでいう
立体(solid)のほか、温度分布などでもよい。
「オブジェクトの位相情報」とは、オブジェクトの構造
に関する情報といってもよい。この方法により、オブジ
ェクトの骨格に関する情報が得られるため、これをその
オブジェクトの形状定義に利用できる。骨格グラフの例
としてレーブグラフがある。レーブグラフは古典的なも
ののほか、本発明者が提案したアイコン表示(後述)で
もよい。その場合、オブジェクトの内部構造にも対応で
きる。
【0013】本発明の別の態様は、オブジェクトの形状
を表すポリゴンデータを取得する工程と、そのポリゴン
データに関するモース関数の特異点を検出する工程と、
特異点どうしの接続情報を取得する工程とを含む。構造
グラフが特異点とそれらの接続情報を用いて記述され
る。
を表すポリゴンデータを取得する工程と、そのポリゴン
データに関するモース関数の特異点を検出する工程と、
特異点どうしの接続情報を取得する工程とを含む。構造
グラフが特異点とそれらの接続情報を用いて記述され
る。
【0014】本発明のデータ変換方法は、まずオブジェ
クトの形状を表すポリゴンデータからそのオブジェクト
の位相情報を抽出する。つづいて、そのポリゴンデータ
を、前記位相情報を利用した位相幾何学的データ(以下
これを単に「位相幾何学的データ」ともいう)へ変換す
る。別の表現では、本発明はオブジェクトの位相構造に
注目することより、そのオブジェクトの形状を表すポリ
ゴンデータを曲面データへ変換する。変換後のデータは
もとのポリゴンデータと表現形式が異なり、その表現形
式において最適化された形状定義に従ってデータ量が決
まる。
クトの形状を表すポリゴンデータからそのオブジェクト
の位相情報を抽出する。つづいて、そのポリゴンデータ
を、前記位相情報を利用した位相幾何学的データ(以下
これを単に「位相幾何学的データ」ともいう)へ変換す
る。別の表現では、本発明はオブジェクトの位相構造に
注目することより、そのオブジェクトの形状を表すポリ
ゴンデータを曲面データへ変換する。変換後のデータは
もとのポリゴンデータと表現形式が異なり、その表現形
式において最適化された形状定義に従ってデータ量が決
まる。
【0015】本発明の別の態様は、まずオブジェクトの
位相情報を利用する位相幾何学的データを取得する。つ
ぎに、そのデータにおけるオブジェクトの表現形式に注
目して前記データをポリゴンデータへ変換する。このた
め、ポリゴンデータしか扱えないような機器と容易にイ
ンタフェイスをとることができる。
位相情報を利用する位相幾何学的データを取得する。つ
ぎに、そのデータにおけるオブジェクトの表現形式に注
目して前記データをポリゴンデータへ変換する。このた
め、ポリゴンデータしか扱えないような機器と容易にイ
ンタフェイスをとることができる。
【0016】本発明の別の態様は、オブジェクトの形状
を表すポリゴンデータを取得する工程と、そのポリゴン
データに関するモース関数の特異点を検出する工程と、
特異点どうしの接続情報を取得する工程と、オブジェク
トの断面の輪郭線情報を取得する工程とを含む。特異点
とその接続情報によって骨格グラフを生成することがで
きる。この骨格グラフに輪郭線情報を付加することでオ
ブジェクトの形式を定義することができる。
を表すポリゴンデータを取得する工程と、そのポリゴン
データに関するモース関数の特異点を検出する工程と、
特異点どうしの接続情報を取得する工程と、オブジェク
トの断面の輪郭線情報を取得する工程とを含む。特異点
とその接続情報によって骨格グラフを生成することがで
きる。この骨格グラフに輪郭線情報を付加することでオ
ブジェクトの形式を定義することができる。
【0017】一方、本発明の構造グラフ生成装置は、オ
ブジェクトの形状を表すポリゴンデータを入力する手段
と、そのポリゴンデータからオブジェクトの位相情報を
抽出することによってオブジェクトの骨格グラフを生成
する手段とを含む。本発明のデータ変換装置はこれらに
加え、入力されたポリゴンデータから、オブジェクトの
断面の輪郭線情報を取得する手段を含む。ただし、骨格
グラフを生成する手段は、骨格グラフを明示的に描く必
要はなく、その生成に必要な情報を収集すれば足りる。
ブジェクトの形状を表すポリゴンデータを入力する手段
と、そのポリゴンデータからオブジェクトの位相情報を
抽出することによってオブジェクトの骨格グラフを生成
する手段とを含む。本発明のデータ変換装置はこれらに
加え、入力されたポリゴンデータから、オブジェクトの
断面の輪郭線情報を取得する手段を含む。ただし、骨格
グラフを生成する手段は、骨格グラフを明示的に描く必
要はなく、その生成に必要な情報を収集すれば足りる。
【0018】データ変換装置の別の態様は、オブジェク
トの位相情報を利用する位相幾何学的データを入力する
手段と、そのデータにおけるオブジェクトの表現形式に
注目して前記データをポリゴンデータへ変換する手段と
を含む。すでに位相幾何学的データが存在するとき、こ
れをポリゴンデータに戻すことができる。
トの位相情報を利用する位相幾何学的データを入力する
手段と、そのデータにおけるオブジェクトの表現形式に
注目して前記データをポリゴンデータへ変換する手段と
を含む。すでに位相幾何学的データが存在するとき、こ
れをポリゴンデータに戻すことができる。
【0019】本発明のデータ変換システムは、オブジェ
クトの形状を表すポリゴンデータを位相幾何学的データ
へ変換する手段と、その結果得られたデータを記憶する
手段を含む。こうして得られたデータをポリゴンデータ
に戻すために、このシステムはさらに、記憶されたデー
タを読み出し、そのデータ構造を解析してこれをポリゴ
ンデータへ逆変換する手段を含む。データのストレージ
や伝送の際に位相幾何学的データを利用し、必要なとき
にそのデータをポリゴンデータに戻して利用する。
クトの形状を表すポリゴンデータを位相幾何学的データ
へ変換する手段と、その結果得られたデータを記憶する
手段を含む。こうして得られたデータをポリゴンデータ
に戻すために、このシステムはさらに、記憶されたデー
タを読み出し、そのデータ構造を解析してこれをポリゴ
ンデータへ逆変換する手段を含む。データのストレージ
や伝送の際に位相幾何学的データを利用し、必要なとき
にそのデータをポリゴンデータに戻して利用する。
【0020】
【発明の実施の形態】本発明の好適な実施形態を説明す
る。本発明を理解するに際し、本発明者が先に公表した
論文の内容を「前提技術」として説明することは有用で
ある。この前提技術は本発明者のひとりの論文(東京大
学博士論文1993年品川嘉久)の一部である。以下、
前提技術を引用した後、その前提技術に対して修正また
は拡張を加える形で実施形態を説明する。
る。本発明を理解するに際し、本発明者が先に公表した
論文の内容を「前提技術」として説明することは有用で
ある。この前提技術は本発明者のひとりの論文(東京大
学博士論文1993年品川嘉久)の一部である。以下、
前提技術を引用した後、その前提技術に対して修正また
は拡張を加える形で実施形態を説明する。
【0021】[前提技術][1]モース理論に基づく曲面符号化システム (1)はじめに 三次元空間におけるオブジェクト、つまり立体や曲面の
形状を符号化するとき、通常これらをなんらかの記号の
配列として表現する。ここで符号化とはモデリングに必
要な情報でそのオブジェクトを表現することをいう。自
然界に見られるオブジェクトの場合は、形状は非常に多
くの自由度をもつ。そのため符号化の際には一定の単純
化が必要となる。位相幾何学(トポロジー)はこうした
単純化を行うための数学的手段である。
形状を符号化するとき、通常これらをなんらかの記号の
配列として表現する。ここで符号化とはモデリングに必
要な情報でそのオブジェクトを表現することをいう。自
然界に見られるオブジェクトの場合は、形状は非常に多
くの自由度をもつ。そのため符号化の際には一定の単純
化が必要となる。位相幾何学(トポロジー)はこうした
単純化を行うための数学的手段である。
【0022】本システムは、位相幾何学におけるモース
(Morse)理論を数学的ツールとして三次元物体の
解釈を行う。後述のごとく、この理論によってオブジェ
クトのモデリングをきわめて効率的かつ矛盾なく行うこ
とができる。しかし、三次元の曲面を完全な正確さをも
って符号化するためにはモース理論だけでは不十分であ
る。以下、その理由を説明し、モース理論を拡張するこ
とによってこの間題の解消を図る。
(Morse)理論を数学的ツールとして三次元物体の
解釈を行う。後述のごとく、この理論によってオブジェ
クトのモデリングをきわめて効率的かつ矛盾なく行うこ
とができる。しかし、三次元の曲面を完全な正確さをも
って符号化するためにはモース理論だけでは不十分であ
る。以下、その理由を説明し、モース理論を拡張するこ
とによってこの間題の解消を図る。
【0023】(2)モース理論 もともとモース理論は変分法を取扱うために提唱され
た。そしてその目的は、無限次元の道の空間における汎
関数の極小値を記述することにあった。このことから逆
に、汎関数の極小値を利用することにより、それ以外の
方法での記述が困難であるような空間の位相的な特徴を
記述することが可能になる。以下、モース理論の概要を
説明する。
た。そしてその目的は、無限次元の道の空間における汎
関数の極小値を記述することにあった。このことから逆
に、汎関数の極小値を利用することにより、それ以外の
方法での記述が困難であるような空間の位相的な特徴を
記述することが可能になる。以下、モース理論の概要を
説明する。
【0024】◎可微分多様体 モース理論を適用できる空間は可微分多様体である。有
限次元の多様体を考えてみる。いま任意の整数nについ
て、n次元多様体は位相空間であって、そこではすべて
の点がn次元空間Rnの部分集合の上に一対一かつ両連
続に写像可能な近傍をもつとする。このような写像は
「チャート」と呼ばれ、その領域に含まれる点について
局所座標系を提供する。地球を例にとれば、緯度と経度
が局所座標系に当たる。多様体がp回微分可能であるた
めには、一方の座標系から他方の座標系への変換が、2
つの異なるチャートの値域に含まれる点についてp回微
分可能でなければならない。
限次元の多様体を考えてみる。いま任意の整数nについ
て、n次元多様体は位相空間であって、そこではすべて
の点がn次元空間Rnの部分集合の上に一対一かつ両連
続に写像可能な近傍をもつとする。このような写像は
「チャート」と呼ばれ、その領域に含まれる点について
局所座標系を提供する。地球を例にとれば、緯度と経度
が局所座標系に当たる。多様体がp回微分可能であるた
めには、一方の座標系から他方の座標系への変換が、2
つの異なるチャートの値域に含まれる点についてp回微
分可能でなければならない。
【0025】このため多様体は、可微分的に重なり合っ
たRnの領域から構成されていると考えることができ
る。例えば、直線や円周は一次元多様体の構造を与えら
れる。また、球の表面は例えば北半球と南半球のよう
に、少なくとも2つのチャートを用いた二次元多様体を
用いて表現できる。同様にトーラスの表面は、少なくと
も4つのチャートを用いた二次元多様体によって表現で
きる。R3から結び目のある円を取り除けば三次元多様
体の一例となる。
たRnの領域から構成されていると考えることができ
る。例えば、直線や円周は一次元多様体の構造を与えら
れる。また、球の表面は例えば北半球と南半球のよう
に、少なくとも2つのチャートを用いた二次元多様体を
用いて表現できる。同様にトーラスの表面は、少なくと
も4つのチャートを用いた二次元多様体によって表現で
きる。R3から結び目のある円を取り除けば三次元多様
体の一例となる。
【0026】◎可微分写像および特異点 チャートを用いることにより、p次元多様体からn次元
多様体への写像はRpの各区分からRnの各区分への写
像として(区分ごとに)数値表現することができる。こ
れらの写像については微分可能性を検証することができ
る。要素がk回連続的に微分可能であれば、その写像は
Ck級である。
多様体への写像はRpの各区分からRnの各区分への写
像として(区分ごとに)数値表現することができる。こ
れらの写像については微分可能性を検証することができ
る。要素がk回連続的に微分可能であれば、その写像は
Ck級である。
【0027】ここで局所座標系の上で高さ関数を定義す
る。高さ関数は与えられた点の高さ(物体が埋め込まれ
ている三次元空間におけるz座標など)を返す関数であ
る。 高さ関数h:R2→Rのヤコビ行列は、
る。高さ関数は与えられた点の高さ(物体が埋め込まれ
ている三次元空間におけるz座標など)を返す関数であ
る。 高さ関数h:R2→Rのヤコビ行列は、
【0028】
【数1】
【0029】で与えられる。ヤコビ行列は各点について
計算することができ、そのランクの最大値はnとpの小
さいほうである。ヤコビ行列のランクがこの最大値に等
しい点は「正則点」と呼ばれ、それ以外の点は「特異点
(singular point)」または「臨界点
(critical point)」と呼ばれる。例え
ば、高さ関数に関する特異点には、頂上点(pea
k)、鞍点(saddle point)、谷底点(p
it)がある。別のいいかたをすれば、特異点はヤコビ
行列がゼロベクトルとなる点であり、特異点では法線ベ
クトルが高さ方向と同じ方向を向く。
計算することができ、そのランクの最大値はnとpの小
さいほうである。ヤコビ行列のランクがこの最大値に等
しい点は「正則点」と呼ばれ、それ以外の点は「特異点
(singular point)」または「臨界点
(critical point)」と呼ばれる。例え
ば、高さ関数に関する特異点には、頂上点(pea
k)、鞍点(saddle point)、谷底点(p
it)がある。別のいいかたをすれば、特異点はヤコビ
行列がゼロベクトルとなる点であり、特異点では法線ベ
クトルが高さ方向と同じ方向を向く。
【0030】◎ヘッセ行列と指数 n次元多様体からRへの写豫(以下「多様体上の関数」
と呼ぶ)については、ある点における偏微分の値がすべ
て0の場合、その点が臨界点となる。そのような点にお
いて、前述の関数は二次偏微分に基づく二次形式によっ
て近似される。この行列表示はヘッセ行列と呼ばれ、そ
の要素は以下のように記述される。
と呼ぶ)については、ある点における偏微分の値がすべ
て0の場合、その点が臨界点となる。そのような点にお
いて、前述の関数は二次偏微分に基づく二次形式によっ
て近似される。この行列表示はヘッセ行列と呼ばれ、そ
の要素は以下のように記述される。
【0031】
【数2】
【0032】特異点におけるヘッセ行列の負の固有値の
数をその特異点の指数(index)と呼ぶ。指数は後
述の図1に示すとおり、被約形式におけるマイナス符号
の数に等しい。すなわち、頂上の指数は2、鞍点は1、
谷底点は0である。後述の図3(a)〜(c)のごと
く、トーラスの場合、指数2、1、0の臨界点はそれぞ
れ1個、2個、1個である。
数をその特異点の指数(index)と呼ぶ。指数は後
述の図1に示すとおり、被約形式におけるマイナス符号
の数に等しい。すなわち、頂上の指数は2、鞍点は1、
谷底点は0である。後述の図3(a)〜(c)のごと
く、トーラスの場合、指数2、1、0の臨界点はそれぞ
れ1個、2個、1個である。
【0033】臨界点におけるヘッセ行列のランクがnで
あるとき、その特異点は縮退していない、すなわち「非
縮退」と呼ばれる。どのようなC2級関数でも、モース
関数によって近似することができる。モース関数とは、
臨界点の縮退がないような関数をいう。したがって、モ
ース関数の臨界点は孤立しているはずであり、コンパク
トな多様体に関する限り、臨界点は有限個しか存在しな
い。
あるとき、その特異点は縮退していない、すなわち「非
縮退」と呼ばれる。どのようなC2級関数でも、モース
関数によって近似することができる。モース関数とは、
臨界点の縮退がないような関数をいう。したがって、モ
ース関数の臨界点は孤立しているはずであり、コンパク
トな多様体に関する限り、臨界点は有限個しか存在しな
い。
【0034】◎ホモトピーの型 モース理論によれば、多様体とその多様体上のモース関
数が与えられ、その関数の特異点の指数の列び方が判明
すれば、各特異点に対応する一連の演算を行うことによ
って、その多様体と同じホモトピータイプの位相空間を
胞複体(cell complex)として構築するこ
とができる。
数が与えられ、その関数の特異点の指数の列び方が判明
すれば、各特異点に対応する一連の演算を行うことによ
って、その多様体と同じホモトピータイプの位相空間を
胞複体(cell complex)として構築するこ
とができる。
【0035】高さを表す任意の実数について、セル(胞
体)はその実数の示す高さ以下の点からなる多様体の部
分に関するモデルを与える。Rが上下に走査されると
き、2つの連続する特異点間ではセルの位相は変化しな
いが、特異点を横切るたびに、それ以前のセルに対して
「k次元セル」をつなげていくことにより、胞セルを作
り上げていくことができる。ここでkは横切った特異点
の指数である。簡単にいえば、物体の形はその臨界点の
指数と同じ次元をもつセルというものを貼り合わせるこ
とで復元できる。
体)はその実数の示す高さ以下の点からなる多様体の部
分に関するモデルを与える。Rが上下に走査されると
き、2つの連続する特異点間ではセルの位相は変化しな
いが、特異点を横切るたびに、それ以前のセルに対して
「k次元セル」をつなげていくことにより、胞セルを作
り上げていくことができる。ここでkは横切った特異点
の指数である。簡単にいえば、物体の形はその臨界点の
指数と同じ次元をもつセルというものを貼り合わせるこ
とで復元できる。
【0036】図1は、特異点の指数、k次元セルおよび
それによって符号化される物体の関係を示す図である。
ここでは物体としてトーラスを挙げている。同図のごと
く、注目する高さが臨界点を含む高さを横切るとき、そ
の高さより下の点によって構成される位相が変化する。
この変化は、位相的に見れば後述するようにk次元セル
をつないでいくことと同じである。同図のごとく、二次
元セル(k=2)はお椀を伏せたような形、一次元セル
(k=1)は紐のような形、0次元セル(k=0)はひ
とつの点で表すことができる。もとの物体の形は、それ
らのセルをつなげた上で、粘土細工のように変形するこ
とで得られる。トーラスの場合、二次元セルを1個、一
次元セルを2個、0次元セルを1個つなげて得られる。
それによって符号化される物体の関係を示す図である。
ここでは物体としてトーラスを挙げている。同図のごと
く、注目する高さが臨界点を含む高さを横切るとき、そ
の高さより下の点によって構成される位相が変化する。
この変化は、位相的に見れば後述するようにk次元セル
をつないでいくことと同じである。同図のごとく、二次
元セル(k=2)はお椀を伏せたような形、一次元セル
(k=1)は紐のような形、0次元セル(k=0)はひ
とつの点で表すことができる。もとの物体の形は、それ
らのセルをつなげた上で、粘土細工のように変形するこ
とで得られる。トーラスの場合、二次元セルを1個、一
次元セルを2個、0次元セルを1個つなげて得られる。
【0037】ここで注意すべきは、指数の配列だけでは
セルを完全に記述することはできないことである。図2
(a)〜(c)は、それぞれが同じモースの指数の配列
をもつ3組の曲面を示す。このように、指数の配列だけ
でセルを完全に決めることはできない。そのため、セル
をつないでいくときにいずれの連結成分(それぞれ独立
した実体)が関連するかを知らなければならない。
セルを完全に記述することはできないことである。図2
(a)〜(c)は、それぞれが同じモースの指数の配列
をもつ3組の曲面を示す。このように、指数の配列だけ
でセルを完全に決めることはできない。そのため、セル
をつないでいくときにいずれの連結成分(それぞれ独立
した実体)が関連するかを知らなければならない。
【0038】レーブ(G.Reeb)は、多様体から位
相商空間として得られるグラフを提唱した。レーブグラ
フは特異点の相互関係を示すもので、物体表面を等高線
で表し、各等高線の連結成分をひとつの点として表すこ
とで得られる。レーブは、多様体(コンパクトとする)
において、モース関数の下で同じ値をもち、かつ対応す
る断面として同じ連結成分に含まれるすべての点をアイ
デンティファイすることにより、このグラフを導出し
た。つまり、2つの臨界点を含む平面間に存在する多様
体の部分の連結成分はグラフのエッジ(辺)として表現
され、各特異点はグラフの各頂点に対応する。レーブグ
ラフは物体の骨格を示すグラフということができる。
相商空間として得られるグラフを提唱した。レーブグラ
フは特異点の相互関係を示すもので、物体表面を等高線
で表し、各等高線の連結成分をひとつの点として表すこ
とで得られる。レーブは、多様体(コンパクトとする)
において、モース関数の下で同じ値をもち、かつ対応す
る断面として同じ連結成分に含まれるすべての点をアイ
デンティファイすることにより、このグラフを導出し
た。つまり、2つの臨界点を含む平面間に存在する多様
体の部分の連結成分はグラフのエッジ(辺)として表現
され、各特異点はグラフの各頂点に対応する。レーブグ
ラフは物体の骨格を示すグラフということができる。
【0039】図3(a)〜(c)は、トーラスとそのレ
ーブグラフの関係を示す図である。図3(a)は、もと
のトーラス、図3(b)はその断面図、図3(c)はレ
ーブグラフを示している。図3 (b)において、同一
平面内にあって重なり合わない円の部分が、(c)にお
ける2つの別々のエッジに相当する。このレーブグラフ
はアイコンとして極めて表現力に優れているため、以降
必要に応じてこのグラフをアイコン表示に用いる。
ーブグラフの関係を示す図である。図3(a)は、もと
のトーラス、図3(b)はその断面図、図3(c)はレ
ーブグラフを示している。図3 (b)において、同一
平面内にあって重なり合わない円の部分が、(c)にお
ける2つの別々のエッジに相当する。このレーブグラフ
はアイコンとして極めて表現力に優れているため、以降
必要に応じてこのグラフをアイコン表示に用いる。
【0040】(3)理論上の限界 重要なのは、モース理論をこのように古典的な方法で用
いた場合、多様体に内在する位相的な性質を発見するこ
とができるに過ぎないことである。指数の配列だけで
は、多様体が空間に埋め込まれている状態を符号化する
ことができない。例えば、空間に埋め込まれたトーラス
に結び目があるかどうかは知ることができない。図2
(b)に示すとおり、2つの異なる形状が同じ特異点に
帰着するためである。同様に図2(c)に示すとおり、
連結があるかどうかもモース理論による単純な符号化で
は示せない。
いた場合、多様体に内在する位相的な性質を発見するこ
とができるに過ぎないことである。指数の配列だけで
は、多様体が空間に埋め込まれている状態を符号化する
ことができない。例えば、空間に埋め込まれたトーラス
に結び目があるかどうかは知ることができない。図2
(b)に示すとおり、2つの異なる形状が同じ特異点に
帰着するためである。同様に図2(c)に示すとおり、
連結があるかどうかもモース理論による単純な符号化で
は示せない。
【0041】(4)モース理論に基づく符号化の拡張 ここでは、議論の対象をC2級(三次元空間に埋め込ま
れたC2)のコンパクトな二次元多様体の表面に限る。
本システムが用いる曲面上のモース関数は、空間におけ
る高さ関数から誘導する。事実、C2曲面をわずかに回
転させれば臨界点の縮退をなくすことができるため、そ
の高さ関数をモース関数にすることができる。
れたC2)のコンパクトな二次元多様体の表面に限る。
本システムが用いる曲面上のモース関数は、空間におけ
る高さ関数から誘導する。事実、C2曲面をわずかに回
転させれば臨界点の縮退をなくすことができるため、そ
の高さ関数をモース関数にすることができる。
【0042】モース理論によれば、2つの臨界レベル
(臨界点が含まれる平面の高さ)の間では断面の位相は
変化しない。このことから、曲り具合の異なる多くの円
筒を用いて、2つの臨界レベルの間の曲面をモデル化す
ることができる。この事実を利用してシステムを構築す
る。特異点のない断面は平面に埋め込まれた円から構成
されるため、輪郭線どうしの包含関係を表示するために
構造的な符号化が必要となる。すなわち同じ円に含まれ
る複数の円をグループ化する符号化である。
(臨界点が含まれる平面の高さ)の間では断面の位相は
変化しない。このことから、曲り具合の異なる多くの円
筒を用いて、2つの臨界レベルの間の曲面をモデル化す
ることができる。この事実を利用してシステムを構築す
る。特異点のない断面は平面に埋め込まれた円から構成
されるため、輪郭線どうしの包含関係を表示するために
構造的な符号化が必要となる。すなわち同じ円に含まれ
る複数の円をグループ化する符号化である。
【0043】本システムは、レーブグラフから得られる
情報(すなわち各頂点間の接続状態)の他に、モースの
指数に新たな情報を付け加える拡張符号化を提案する。
すなわちこの情報は、2つの連続する臨界値の間で複数
の円筒がどのように交換され、どのような向きに接続さ
れるかに関する情報である。
情報(すなわち各頂点間の接続状態)の他に、モースの
指数に新たな情報を付け加える拡張符号化を提案する。
すなわちこの情報は、2つの連続する臨界値の間で複数
の円筒がどのように交換され、どのような向きに接続さ
れるかに関する情報である。
【0044】(5)符号化システムの例 符号化システムの概要を説明する。このシステムでは、
曲面に対してk次元セルを次々につないでいくことによ
り曲面を表現する。そして各断面における輪郭線の階層
構造を追跡する。ここで、セルの接続を示す演算子を導
入し、これらの演算子を用いて曲面を符号化する。演算
子によって接続されていくセルをアイコンで表現するこ
とにより、符号化の対象となる曲面の構造の理解を容易
にする。この符号化システムの最大の特徴は、得られる
符号化の結果が位相の正しさを保証することにある。
曲面に対してk次元セルを次々につないでいくことによ
り曲面を表現する。そして各断面における輪郭線の階層
構造を追跡する。ここで、セルの接続を示す演算子を導
入し、これらの演算子を用いて曲面を符号化する。演算
子によって接続されていくセルをアイコンで表現するこ
とにより、符号化の対象となる曲面の構造の理解を容易
にする。この符号化システムの最大の特徴は、得られる
符号化の結果が位相の正しさを保証することにある。
【0045】◎親子関係と輪郭線 輪郭線の階層構造の表現方法を説明する。ここでは木構
造を用いる。まず、ある輪郭線が別の輪郭線を包含する
とき、前者を後者の親輪郭線、後者を前者の子輪郭線と
呼ぶ。図4(a)と(b)は輪郭線の親子関係、および
その木構造による表現を示す図である。図4(a)のご
とく、親子関係はネスティング構造にすることができ
る。以下、輪郭線の一番目を♯1で示す。♯1は♯2の
親輪郭線、♯2は♯4の親輪郭線である。♯1や♯7の
ように親輪郭線をもたない輪郭線は「仮想輪郭線♯0」
の子輪郭線と表現する。したがって、♯0は木構造の頂
点にくる。
造を用いる。まず、ある輪郭線が別の輪郭線を包含する
とき、前者を後者の親輪郭線、後者を前者の子輪郭線と
呼ぶ。図4(a)と(b)は輪郭線の親子関係、および
その木構造による表現を示す図である。図4(a)のご
とく、親子関係はネスティング構造にすることができ
る。以下、輪郭線の一番目を♯1で示す。♯1は♯2の
親輪郭線、♯2は♯4の親輪郭線である。♯1や♯7の
ように親輪郭線をもたない輪郭線は「仮想輪郭線♯0」
の子輪郭線と表現する。したがって、♯0は木構造の頂
点にくる。
【0046】ある輪郭線の親を示すために、配列Par
ent♯[]を定義する。たとえばParent♯
[1]=0である。一方、ある輪郭線の子輪郭線はCh
ildrenという配列にリストされ、その配列へのポ
インタが付される。例えば♯3の子輪郭線である♯5お
よび♯6は、以下のように記述される。Childre
n[3]↑[1]=5、Children[3]↑
[2]=6同じ親輪郭線をもつ輪郭線同士は兄弟輪郭線
と呼ばれる。図4(a)の場合、♯2と♯3が兄弟輪郭
線である。親輪郭線の親は祖父輪郭線、子輪郭線の子は
孫輪郭線と呼ばれる。また、内部に物体が存在する輪郭
線を中実輪郭線、存在しない輪郭線を中空輪郭線と呼
ぶ。図4(a)の場合、♯1、♯4、♯5、♯6、♯7
は中実輪郭線、♯2および♯3は中空輪郭線である。
ent♯[]を定義する。たとえばParent♯
[1]=0である。一方、ある輪郭線の子輪郭線はCh
ildrenという配列にリストされ、その配列へのポ
インタが付される。例えば♯3の子輪郭線である♯5お
よび♯6は、以下のように記述される。Childre
n[3]↑[1]=5、Children[3]↑
[2]=6同じ親輪郭線をもつ輪郭線同士は兄弟輪郭線
と呼ばれる。図4(a)の場合、♯2と♯3が兄弟輪郭
線である。親輪郭線の親は祖父輪郭線、子輪郭線の子は
孫輪郭線と呼ばれる。また、内部に物体が存在する輪郭
線を中実輪郭線、存在しない輪郭線を中空輪郭線と呼
ぶ。図4(a)の場合、♯1、♯4、♯5、♯6、♯7
は中実輪郭線、♯2および♯3は中空輪郭線である。
【0047】◎セルを接続するための演算子 4つの演算子、Put e0、Put e1 merg
e、Put e1 divide、Put e2を定義
する。これらがセルを貼り付ける演算子である。以下、
k次元セルをekと表示する。物体の構成は頂上から谷
底に向けて進む。処理は、それ以上セルを接続すること
ができなくなった時点で終了する。演算子によって構成
しようとする曲面の状態を示すために、各断面における
輪郭線を用いる。図5は、これらの演算子を用いてトー
ラスを構成する方法を示す。以下この図を用いて演算子
の機能を説明する。
e、Put e1 divide、Put e2を定義
する。これらがセルを貼り付ける演算子である。以下、
k次元セルをekと表示する。物体の構成は頂上から谷
底に向けて進む。処理は、それ以上セルを接続すること
ができなくなった時点で終了する。演算子によって構成
しようとする曲面の状態を示すために、各断面における
輪郭線を用いる。図5は、これらの演算子を用いてトー
ラスを構成する方法を示す。以下この図を用いて演算子
の機能を説明する。
【0048】1.同図の一番上に示すとおり、e2を生
成するためにPut e2(0)を実行する。このパラ
メータ「0」は♯1が♯0の内側に生成されることを示
す。このセルの断面は同図の「断面表示」の箇所に示さ
れる。図のように、Put e2は断面の平面上に輪郭線
を生成する機能をもつ。演算子によって生成される輪郭
線に生成順の数字を与えるため、Put e2(0)に
よって生成された輪郭線は♯1である。新たに生成され
た輪郭線の状態は、初期値として常に「イネーブル」で
ある。イネーブルとは、その輪郭線に対してセルを接続
することが許される状態を示す。e2のアイコン表示を
同図「アイコン」の下に示す。
成するためにPut e2(0)を実行する。このパラ
メータ「0」は♯1が♯0の内側に生成されることを示
す。このセルの断面は同図の「断面表示」の箇所に示さ
れる。図のように、Put e2は断面の平面上に輪郭線
を生成する機能をもつ。演算子によって生成される輪郭
線に生成順の数字を与えるため、Put e2(0)に
よって生成された輪郭線は♯1である。新たに生成され
た輪郭線の状態は、初期値として常に「イネーブル」で
ある。イネーブルとは、その輪郭線に対してセルを接続
することが許される状態を示す。e2のアイコン表示を
同図「アイコン」の下に示す。
【0049】2.つづいて、Put e1 divid
e(1,nil,inside)により、e2に対して
e1を貼り付ける。新たに生成された輪郭線を♯2とす
る。パラメータ「inside」は♯2がParent
♯[1]=0の子輪郭線として生成されることを示す。
二番目のパラメータは参照すべき子輪郭線のリストを示
す。ここでは2番目のパラメータが「nil」であり、
ここでは子輪郭線に対する操作、具体的には子輪郭線の
削除はない。
e(1,nil,inside)により、e2に対して
e1を貼り付ける。新たに生成された輪郭線を♯2とす
る。パラメータ「inside」は♯2がParent
♯[1]=0の子輪郭線として生成されることを示す。
二番目のパラメータは参照すべき子輪郭線のリストを示
す。ここでは2番目のパラメータが「nil」であり、
ここでは子輪郭線に対する操作、具体的には子輪郭線の
削除はない。
【0050】3.つぎに、Put e1 merge
(1,2)を用いて別のe1を貼り付け、♯1と♯2を
マージする。この演算子は、1番目、2番目のパラメー
タによって示される輪郭線を1番目のパラメータの側に
マージする。マージによって2番目のパラメータの示す
輪郭線は消滅するため、それがその親輪郭線のもつ子輪
郭線のリストから削除される。同時に、その輪郭線の状
態が「イネーブル」から「ディセーブル」に変更され
る。したがって、この輪郭線に新たにセルを接続するこ
とができない。
(1,2)を用いて別のe1を貼り付け、♯1と♯2を
マージする。この演算子は、1番目、2番目のパラメー
タによって示される輪郭線を1番目のパラメータの側に
マージする。マージによって2番目のパラメータの示す
輪郭線は消滅するため、それがその親輪郭線のもつ子輪
郭線のリストから削除される。同時に、その輪郭線の状
態が「イネーブル」から「ディセーブル」に変更され
る。したがって、この輪郭線に新たにセルを接続するこ
とができない。
【0051】4.最後にPut e0(1)を用いてe
0を貼り付け、♯1を閉じる。♯1の状態はイネーブル
からディセーブルに変更される。アイコンがこの変更を
反映している。ある輪郭線にセルe0が接続されたと
き、その輪郭線のもつすべての子輪郭線が予めディセー
ブルされていなければならない。以上の手順により、イ
ネーブルの状態で残っている輪郭線がなくなるため、演
算子によるセルの貼り付けは完了する。
0を貼り付け、♯1を閉じる。♯1の状態はイネーブル
からディセーブルに変更される。アイコンがこの変更を
反映している。ある輪郭線にセルe0が接続されたと
き、その輪郭線のもつすべての子輪郭線が予めディセー
ブルされていなければならない。以上の手順により、イ
ネーブルの状態で残っている輪郭線がなくなるため、演
算子によるセルの貼り付けは完了する。
【0052】図6〜8は疑似パスカルコードによって演
算子のプログラミング例を示す図である。図において、
Max childrenとMax contour
numberは十分大きな正の整数であり、メモリーア
ロケーションのためだけに用いられる。図6において、
Number of childrenは各輪郭線の子
輪郭線の数、Most recently creat
ed♯は、最も最近生成された輪郭線の番号、Cont
our statusは、各輪郭線がイネーブルである
かディセーブルであるかを示す。Childrenはあ
る輪郭線の子輪郭線のリストを保持するChild l
istという配列に対するポインタである。Child
listの終了は定数End of listによっ
て示される。これらの変数は以下の手順で初期化され
る。 most recently created♯:=0; for i:=0 to max contour−number do number of children[i]:=0; for i:=1 to max cntour number do contour status[i]:=disabled; contour status[0]:=enabled: これにより、仮想輪郭線がイネーブルされる。つぎのc
reate new contourは新しい輪郭線を作
り、Most recently created♯を
増加させ、その状態を初期化する。
算子のプログラミング例を示す図である。図において、
Max childrenとMax contour
numberは十分大きな正の整数であり、メモリーア
ロケーションのためだけに用いられる。図6において、
Number of childrenは各輪郭線の子
輪郭線の数、Most recently creat
ed♯は、最も最近生成された輪郭線の番号、Cont
our statusは、各輪郭線がイネーブルである
かディセーブルであるかを示す。Childrenはあ
る輪郭線の子輪郭線のリストを保持するChild l
istという配列に対するポインタである。Child
listの終了は定数End of listによっ
て示される。これらの変数は以下の手順で初期化され
る。 most recently created♯:=0; for i:=0 to max contour−number do number of children[i]:=0; for i:=1 to max cntour number do contour status[i]:=disabled; contour status[0]:=enabled: これにより、仮想輪郭線がイネーブルされる。つぎのc
reate new contourは新しい輪郭線を作
り、Most recently created♯を
増加させ、その状態を初期化する。
【0053】 図7において、後に使用するために2つのプロシージャ
と3つの関数を定義する。Add listed ch
ildrenは第2パラメータであるclistにリス
トされている輪郭線を第1パラメータの子輪郭線(ch
ildren[n]↑)のリストに追加する。Remo
ve listed childrenは第1パラメー
タの子輪郭線(children[n]↑)のリストか
ら第2パラメータであるclistにリストされている
輪郭線を削除する。これらのプロシージャはまた、Nu
mber of childrenおよびParent
♯の配列を更新する。
と3つの関数を定義する。Add listed ch
ildrenは第2パラメータであるclistにリス
トされている輪郭線を第1パラメータの子輪郭線(ch
ildren[n]↑)のリストに追加する。Remo
ve listed childrenは第1パラメー
タの子輪郭線(children[n]↑)のリストか
ら第2パラメータであるclistにリストされている
輪郭線を削除する。これらのプロシージャはまた、Nu
mber of childrenおよびParent
♯の配列を更新する。
【0054】一方、関数Add children
(n,clist)はclistのすべての輪郭線が♯
nの子輪郭線であるとき「真」を返す。それ以外の場合
「偽」を返す。関数in list(n,clist)
はclistが♯nを含むとき「真」を返し、それ以外
の場合「偽」を返す。関数List containi
ng only(n)は2つプロシージャ、Add l
isted childrenおよびRemove L
isted childrenに対して与えるべき輪郭
線を1つだけ含むリストを作るために定義される。
(n,clist)はclistのすべての輪郭線が♯
nの子輪郭線であるとき「真」を返す。それ以外の場合
「偽」を返す。関数in list(n,clist)
はclistが♯nを含むとき「真」を返し、それ以外
の場合「偽」を返す。関数List containi
ng only(n)は2つプロシージャ、Add l
isted childrenおよびRemove L
isted childrenに対して与えるべき輪郭
線を1つだけ含むリストを作るために定義される。
【0055】これらにより、4つの演算子Put e
2、Put e0、Put e1 divideおよび
Put e1 mergeを定義することができる。こ
れらは図8に示される。 1.Put e2(n)は♯nの子輪郭線として新たな
輪郭線を生成する。 2.Put e0(n)はe0を貼り付けることによ
り、♯nを削除する。ここで、All success
ors disabled(n,contour num
ber)は、♯nのすべての子輪郭線がディセーブルで
あるときに限り「真」を返す。
2、Put e0、Put e1 divideおよび
Put e1 mergeを定義することができる。こ
れらは図8に示される。 1.Put e2(n)は♯nの子輪郭線として新たな
輪郭線を生成する。 2.Put e0(n)はe0を貼り付けることによ
り、♯nを削除する。ここで、All success
ors disabled(n,contour num
ber)は、♯nのすべての子輪郭線がディセーブルで
あるときに限り「真」を返す。
【0056】3.Put e1 divide(n,c
list,inside)は、♯nを分割して新たな輪
郭線を作る。Clistにリストされている輪郭線は新
たに生成される輪郭線の子輪郭線になる。それらは、♯
r=♯nまたは♯r=parent♯[n]の一方が成
り立つとき、♯rの子輪郭線のリストから削除される。
(これは♯nまたはparent♯[n]のいずれの子
輪郭線であったかに依存する)。これら2つの場合のみ
が許される。
list,inside)は、♯nを分割して新たな輪
郭線を作る。Clistにリストされている輪郭線は新
たに生成される輪郭線の子輪郭線になる。それらは、♯
r=♯nまたは♯r=parent♯[n]の一方が成
り立つとき、♯rの子輪郭線のリストから削除される。
(これは♯nまたはparent♯[n]のいずれの子
輪郭線であったかに依存する)。これら2つの場合のみ
が許される。
【0057】4.Put e1 merge(c1,c
2)は♯c2を♯c1にマージする。♯c2はPare
nt♯[c2]の子輪郭線のリストから削除される。♯
c2のすべての子輪郭線はParent♯[c1]また
は♯c1の子輪郭線になる(そのいずれであるかは、♯
c1が♯c2の親輪郭線であるか兄弟輪郭線であるかに
依存する)。これら2つの場合のみが許される。
2)は♯c2を♯c1にマージする。♯c2はPare
nt♯[c2]の子輪郭線のリストから削除される。♯
c2のすべての子輪郭線はParent♯[c1]また
は♯c1の子輪郭線になる(そのいずれであるかは、♯
c1が♯c2の親輪郭線であるか兄弟輪郭線であるかに
依存する)。これら2つの場合のみが許される。
【0058】これらの演算子によって符号化される曲面
の構造を容易に理解するために、曲面のレーブグラフを
構成するセルの視覚的表示を提案する。図9に示すアイ
コンはそれぞれセルを表している。セルの貼り合わせ
は、一方のセルの平らな頂面と他方のセルの平らな底面
を接触させることによって行われる。中空輪郭線には白
いアイコン、中実輪郭線には黒いアイコンを用いる。e
1に関しては複数のアイコンが存在する。
の構造を容易に理解するために、曲面のレーブグラフを
構成するセルの視覚的表示を提案する。図9に示すアイ
コンはそれぞれセルを表している。セルの貼り合わせ
は、一方のセルの平らな頂面と他方のセルの平らな底面
を接触させることによって行われる。中空輪郭線には白
いアイコン、中実輪郭線には黒いアイコンを用いる。e
1に関しては複数のアイコンが存在する。
【0059】図10はセルの貼り合わせを示す図であ
り、同図に示すごとく子輪郭線のアイコンはその親輪郭
線のアイコンの内側に描かれる。鉛直な軸に関する鏡像
のアイコンも認められる。アイコンの特徴は、それが貼
り付けられる輪郭線の構造を維持する点にある。例えば
図10の上半分に示されるように、e1がセルに接続さ
れるとき、アイコンが接続されることになるセルの親子
関係の構造が維持される。
り、同図に示すごとく子輪郭線のアイコンはその親輪郭
線のアイコンの内側に描かれる。鉛直な軸に関する鏡像
のアイコンも認められる。アイコンの特徴は、それが貼
り付けられる輪郭線の構造を維持する点にある。例えば
図10の上半分に示されるように、e1がセルに接続さ
れるとき、アイコンが接続されることになるセルの親子
関係の構造が維持される。
【0060】図10の下半分に示すように、セルの高さ
の調整が必要な場合にはダミーアイコンを挿入する。レ
ーブグラフは平面グラフではないため、ダミーアイコン
を用いてセルを交差させることもできる。この結果、e
1を離れたセルに接続することが可能となる。e1がセ
ルを交換するとき、同時にその内部構造も交換する。階
層的な輪郭線の構造を保持するために、ダミーアイコン
はそれが貼り付けられる輪郭線の親輪郭線の境界を越え
ることはできないし、他の輪郭線に侵入することもでき
ない。この理由から、ダミーアイコンを用いて交換する
ことのできる輪郭線は兄弟輪郭線に限られる。
の調整が必要な場合にはダミーアイコンを挿入する。レ
ーブグラフは平面グラフではないため、ダミーアイコン
を用いてセルを交差させることもできる。この結果、e
1を離れたセルに接続することが可能となる。e1がセ
ルを交換するとき、同時にその内部構造も交換する。階
層的な輪郭線の構造を保持するために、ダミーアイコン
はそれが貼り付けられる輪郭線の親輪郭線の境界を越え
ることはできないし、他の輪郭線に侵入することもでき
ない。この理由から、ダミーアイコンを用いて交換する
ことのできる輪郭線は兄弟輪郭線に限られる。
【0061】以上のまとめとして、図11〜13に演算
子を用いた物体の符号化の例を示す。図11は、対象と
なる物体のレーブグラフをアイコンによって示したも
の、図12はその物体の断面の輪郭線を示したもの、図
13はその物体を構成するための演算子である。
子を用いた物体の符号化の例を示す。図11は、対象と
なる物体のレーブグラフをアイコンによって示したも
の、図12はその物体の断面の輪郭線を示したもの、図
13はその物体を構成するための演算子である。
【0062】[2]演算子を用いた符号からの曲面の構
成 (1)ホモトピーの軌跡としての曲面の生成 前述の方法によって得られた符号化データをもとに物体
の曲面を構成する。すでに述べたとおり、臨界点を含む
断面どうしの間では輪郭線の位相は変化しない。頂点か
ら底辺まで走査したとき、輪郭線の形状は変化する。こ
の輪郭線の変形はホモトピーを用いてうまく表現するこ
とができる。ホモトピーはある関数を他の関数に変換す
る。以下の説明においては、すべての輪郭線は形状関数
によって表され、変形はホモトピーによって表されると
する。ホモトピーの定義は以下のとおりである。
成 (1)ホモトピーの軌跡としての曲面の生成 前述の方法によって得られた符号化データをもとに物体
の曲面を構成する。すでに述べたとおり、臨界点を含む
断面どうしの間では輪郭線の位相は変化しない。頂点か
ら底辺まで走査したとき、輪郭線の形状は変化する。こ
の輪郭線の変形はホモトピーを用いてうまく表現するこ
とができる。ホモトピーはある関数を他の関数に変換す
る。以下の説明においては、すべての輪郭線は形状関数
によって表され、変形はホモトピーによって表されると
する。ホモトピーの定義は以下のとおりである。
【0063】〔定義〕X、Yが位相空間であるとき、
f、g:X→Yという写像を考える。ここで、x∈Xな
るすべての点xに対して、 F(x,0)=f(x) F(x,1)=g(x) が成り立つような写像F:X×I→Yが存在する場合、
「fとgはホモトープである」といわれる。ここでI=
[0,1]∈Rである。またこのとき、写像Fは「fか
らgへのホモトピー」と呼ばれる。Fが、 F(x,t)=(1−t)f(x)+tg(x) で定義されるとき、これは直線ホモトピーと呼ばれる。
図14には輪郭線のホモトピー変形が示されている。こ
の図において、一番上の輪郭線が形状関数f、一方いち
ばん下の輪郭線はgによって表されている。曲面はfか
らgへのホモトピーFの軌跡として生成される。
f、g:X→Yという写像を考える。ここで、x∈Xな
るすべての点xに対して、 F(x,0)=f(x) F(x,1)=g(x) が成り立つような写像F:X×I→Yが存在する場合、
「fとgはホモトープである」といわれる。ここでI=
[0,1]∈Rである。またこのとき、写像Fは「fか
らgへのホモトピー」と呼ばれる。Fが、 F(x,t)=(1−t)f(x)+tg(x) で定義されるとき、これは直線ホモトピーと呼ばれる。
図14には輪郭線のホモトピー変形が示されている。こ
の図において、一番上の輪郭線が形状関数f、一方いち
ばん下の輪郭線はgによって表されている。曲面はfか
らgへのホモトピーFの軌跡として生成される。
【0064】(2)演算子をインプリメントするための
要素 図14の曲面を生成するための演算子は、ホモトピーに
よって輪郭線を変形するものとして記述することができ
る。
要素 図14の曲面を生成するための演算子は、ホモトピーに
よって輪郭線を変形するものとして記述することができ
る。
【0065】1.演算子を構成する要素 図15には、演算子を構成する以下の主な4つの要素が
描かれている。 (i) f:I→R3 上の輪郭線の形状を与える (ii) g:I→R3 下の輪郭線の形状を与える (iii)F:fからgへのホモトピー (iv) h:2つの輪郭線の高さの差2.形状関数 f、gとして以下の形状関数を準備する。 (i) 点 :常に固定点の位置を与える定数関数 (ii) 円 :円の形状を与える (iii)多角形:任意の頂点を結ぶ多角形の形状を与
える (iv) ベジェ:n次元のベジェ曲線で、次式で記述
される。
描かれている。 (i) f:I→R3 上の輪郭線の形状を与える (ii) g:I→R3 下の輪郭線の形状を与える (iii)F:fからgへのホモトピー (iv) h:2つの輪郭線の高さの差2.形状関数 f、gとして以下の形状関数を準備する。 (i) 点 :常に固定点の位置を与える定数関数 (ii) 円 :円の形状を与える (iii)多角形:任意の頂点を結ぶ多角形の形状を与
える (iv) ベジェ:n次元のベジェ曲線で、次式で記述
される。
【0066】
【数3】
【0067】この関数は制御点Pi∈R3と呼ばれるn
個の点の集合(順序つき)によって特定される。この制
御点はユーザーによって修正することができる。ここ
で、Bni(t)はベルンシュタインの基底関数であ
り、次式で定義される。
個の点の集合(順序つき)によって特定される。この制
御点はユーザーによって修正することができる。ここ
で、Bni(t)はベルンシュタインの基底関数であ
り、次式で定義される。
【0068】
【数4】
【0069】(v)NURBS(Non Unifor
m Rational B−Spline)曲線:この
曲線の制御点もユーザーによって定義される。NURB
S曲線は次の式で定義される。
m Rational B−Spline)曲線:この
曲線の制御点もユーザーによって定義される。NURB
S曲線は次の式で定義される。
【0070】
【数5】
【0071】ここでWiは各制御点の重みである。N
i,k(t)はBスプライン基底関数と呼ばれる(k−
1)次の多項式の各区分の値を示す。これは次式で定義
される。
i,k(t)はBスプライン基底関数と呼ばれる(k−
1)次の多項式の各区分の値を示す。これは次式で定義
される。
【0072】
【数6】
【0073】NURBSは、非常に多くのCADシステ
ムで用いられている。NURBSは二次曲面を正確に表
現することができ、また局所的な近似特性をもってい
る。すなわち、制御点またはそれに関連する重みが変化
したとき、その点の近傍でしか曲面の形状に影響を与え
ないため、局所変形操作に向く。
ムで用いられている。NURBSは二次曲面を正確に表
現することができ、また局所的な近似特性をもってい
る。すなわち、制御点またはそれに関連する重みが変化
したとき、その点の近傍でしか曲面の形状に影響を与え
ないため、局所変形操作に向く。
【0074】3.ホモトピーF 一方、ホモトピーFとして以下の関数が導入される。こ
れらの関数は断面の輪郭線を出力する。 (i)線形:直線ホモトピー (ii)四分円形:
れらの関数は断面の輪郭線を出力する。 (i)線形:直線ホモトピー (ii)四分円形:
【0075】
【数7】
【0076】(iii)放物線:F(x,t)=(1−
t2)f(x)+t2g(x) (iv) カージナルスプライン:カージナルスプライ
ンは、一番上および一番下の輪郭線を内挿補間する。輪
郭線間の対応点を示す既知のトロイダルグラフを使うこ
とによってパラメータの決定を自動化することができ
る。
t2)f(x)+t2g(x) (iv) カージナルスプライン:カージナルスプライ
ンは、一番上および一番下の輪郭線を内挿補間する。輪
郭線間の対応点を示す既知のトロイダルグラフを使うこ
とによってパラメータの決定を自動化することができ
る。
【0077】(v)ガイディングカーブ:輪郭線上の点
をガイディングカーブに沿って動かすことにより、輪郭
線を変形することができる。輪郭線に対して複数のガイ
ディングカーブを付けることができる。輪郭線がベジェ
曲線またはNURBS曲線で表されるとき、ガイディン
グカーブは制御点に付けられ、変形は制御点の動きによ
って決定される。ガイディングカーブが付けられていな
い制御点の動きは、隣接する制御点のガイディングカー
ブを用いて計算することができる。
をガイディングカーブに沿って動かすことにより、輪郭
線を変形することができる。輪郭線に対して複数のガイ
ディングカーブを付けることができる。輪郭線がベジェ
曲線またはNURBS曲線で表されるとき、ガイディン
グカーブは制御点に付けられ、変形は制御点の動きによ
って決定される。ガイディングカーブが付けられていな
い制御点の動きは、隣接する制御点のガイディングカー
ブを用いて計算することができる。
【0078】図16は、ユーザーがガイディングカーブ
を付けることにより、上の輪郭線が徐々に下の輪郭線に
変形される様子を示している。いずれの場合も、結果的
に得られた輪郭線の間をカージナルスプラインを用いて
パッチを当て、曲面を生成することができる。
を付けることにより、上の輪郭線が徐々に下の輪郭線に
変形される様子を示している。いずれの場合も、結果的
に得られた輪郭線の間をカージナルスプラインを用いて
パッチを当て、曲面を生成することができる。
【0079】4.演算子のための輪郭線の形状関数 演算子のための輪郭線の形状関数は以下のように与えら
れる。 (i) Put−e2 f:点 g:ユーザーが特定(デフォルト:円) F:ユーザーが特定(デフォルト:四分円形) (ii)Put−e0 f:e0 が付けられる輪郭線の形状関数 g:点 F:ユーザーが指定(デフォルト:四分円形) (iii)Put−el−divide、Put−el
−merge e1の道c:[0,1]→R3を決めなければならな
い。実際にインプリメントする場合、道cはc(0)、
c(1/2)およびc(1)の位置によって特定され
る。道は滑らかでなければならず、またc(1/2)に
おける接線のベクトルはxy平面に平行でなければなら
ない。したがって、c(1/2)は生成された曲面の鞍
点になる。c(1/2)の初期位置は、
れる。 (i) Put−e2 f:点 g:ユーザーが特定(デフォルト:円) F:ユーザーが特定(デフォルト:四分円形) (ii)Put−e0 f:e0 が付けられる輪郭線の形状関数 g:点 F:ユーザーが指定(デフォルト:四分円形) (iii)Put−el−divide、Put−el
−merge e1の道c:[0,1]→R3を決めなければならな
い。実際にインプリメントする場合、道cはc(0)、
c(1/2)およびc(1)の位置によって特定され
る。道は滑らかでなければならず、またc(1/2)に
おける接線のベクトルはxy平面に平行でなければなら
ない。したがって、c(1/2)は生成された曲面の鞍
点になる。c(1/2)の初期位置は、
【0080】
【数8】
【0081】である。ここで、
【0082】
【数9】
【0083】である。道の初期値はc(0)とc(1)
を接続する楕円の弧であり、0≦t≦1/2について
は、
を接続する楕円の弧であり、0≦t≦1/2について
は、
【0084】
【数10】
【0085】で与えられ、一方、1/2≦t≦1につい
ては、
ては、
【0086】
【数11】
【0087】で与えられる。この道の初期値のxy平面
への射影は、c(0)およびc(1)を結ぶ線分にな
る。このc(t)の式において、ルート(1/2乗)の
部分を(1−x2)に置き換えれば放物線の道を得るこ
ともできる。Put−el−divideおよびPut
−e1−mergeの要素は以下のとおりである。 ・Put−el−divide f:e1が付けられる輪郭線の形状関数 c.e c(0)、c(1): c(0)=f(s1),c(1)=f(s2)なる
s1、s2∈[0,1]で特定される g1、g2:輪郭線を道cに沿って分割することにより
得られる ・Put−el−merge c:e1の道 f1、f2:e1が付けられる輪郭線の形状関数 c(0)、c(1): c(0)=f1(s1),c(1)=f2(s2)なる
s1、s2∈[0,1]で特定される g:道cに沿って輪郭線をマージすることにより得られ
る Put−el−divideによる変形は、e1の道を
ガイディングカーブとして用いることにより、輪郭線を
変形することで行われる。すなわち、 ・F(s1,t)=c(t/2) ・F(s2,t)=c(1−t/2) である。一方、Put−el−mergeの変形は次式
によって得られる。
への射影は、c(0)およびc(1)を結ぶ線分にな
る。このc(t)の式において、ルート(1/2乗)の
部分を(1−x2)に置き換えれば放物線の道を得るこ
ともできる。Put−el−divideおよびPut
−e1−mergeの要素は以下のとおりである。 ・Put−el−divide f:e1が付けられる輪郭線の形状関数 c.e c(0)、c(1): c(0)=f(s1),c(1)=f(s2)なる
s1、s2∈[0,1]で特定される g1、g2:輪郭線を道cに沿って分割することにより
得られる ・Put−el−merge c:e1の道 f1、f2:e1が付けられる輪郭線の形状関数 c(0)、c(1): c(0)=f1(s1),c(1)=f2(s2)なる
s1、s2∈[0,1]で特定される g:道cに沿って輪郭線をマージすることにより得られ
る Put−el−divideによる変形は、e1の道を
ガイディングカーブとして用いることにより、輪郭線を
変形することで行われる。すなわち、 ・F(s1,t)=c(t/2) ・F(s2,t)=c(1−t/2) である。一方、Put−el−mergeの変形は次式
によって得られる。
【0088】・F1(s1,t)=c(t/2) ・F2(s2,t)=c(1−t/2) 以上が前提技術である。この前提技術を本発明との関連
を中心にまとめれば以下のとおりである。
を中心にまとめれば以下のとおりである。
【0089】[1]について モース理論によれば、特異点と指数の情報をもとに、多
様体であるもとのオブジェクトと同じホモトピータイプ
の位相空間を胞体(セル)によって構築することができ
る。数学的な厳密さを無視していえば、モース理論によ
って、もとのオブジェクトの三次元形状をきわめて少な
い特異点関連情報、ここでは特異点とその指数、および
特異点の並び方から概念的に再現することができる。し
かし、モース理論ではセルを具体的にどのように接続し
ていくか、つまりセルの連結成分まではわからない。
様体であるもとのオブジェクトと同じホモトピータイプ
の位相空間を胞体(セル)によって構築することができ
る。数学的な厳密さを無視していえば、モース理論によ
って、もとのオブジェクトの三次元形状をきわめて少な
い特異点関連情報、ここでは特異点とその指数、および
特異点の並び方から概念的に再現することができる。し
かし、モース理論ではセルを具体的にどのように接続し
ていくか、つまりセルの連結成分まではわからない。
【0090】レーブグラフはそうしたモース理論の問題
点の解消に役立つ。レーブグラフはまさにセルの連結成
分を示すものであり、特異点間、すなわちノード間の接
続関係がエッジ、つまりグラフの辺からわかる。モース
理論とレーブグラフを組み合わせることにより、オブジ
ェクトの三次元形状が判明する。より具体的には、オブ
ジェクトの形状を示す既存のポリゴンデータを取得し、
そのデータに対して設定されたモース関数の特異点に関
連する情報を抽出し、特異点間の接続情報を取得する。
原則としてそれだけの情報でもとのオブジェクトの形状
を捉えることができる。この捉え方は、オブジェクトに
一意的に曲面パッチが貼れるよう最も効率的にオブジェ
クトの表面を分割することのできる捉え方である。
点の解消に役立つ。レーブグラフはまさにセルの連結成
分を示すものであり、特異点間、すなわちノード間の接
続関係がエッジ、つまりグラフの辺からわかる。モース
理論とレーブグラフを組み合わせることにより、オブジ
ェクトの三次元形状が判明する。より具体的には、オブ
ジェクトの形状を示す既存のポリゴンデータを取得し、
そのデータに対して設定されたモース関数の特異点に関
連する情報を抽出し、特異点間の接続情報を取得する。
原則としてそれだけの情報でもとのオブジェクトの形状
を捉えることができる。この捉え方は、オブジェクトに
一意的に曲面パッチが貼れるよう最も効率的にオブジェ
クトの表面を分割することのできる捉え方である。
【0091】ここで注意すべきは、モース理論とレーブ
グラフで再現できるのが主にオブジェクトの構造または
骨格である点である。したがって、より正確な形状は付
加的な形状情報または外形情報に頼ることになる。本発
明ではそのためにオブジェクトの輪郭線情報を取得す
る。
グラフで再現できるのが主にオブジェクトの構造または
骨格である点である。したがって、より正確な形状は付
加的な形状情報または外形情報に頼ることになる。本発
明ではそのためにオブジェクトの輪郭線情報を取得す
る。
【0092】[2]について [1]によってオブジェクトの骨格が記述された後、オ
ブジェクトに曲面を貼る方法を示している。[1]では
ホモトピータイプという概念が現れたが、[2]では関
数のホモトピーという概念が登場する。本発明では、も
とのポリゴンデータが表現する曲面をホモトピーによっ
てより滑らかに、より少ないデータで表現する。
ブジェクトに曲面を貼る方法を示している。[1]では
ホモトピータイプという概念が現れたが、[2]では関
数のホモトピーという概念が登場する。本発明では、も
とのポリゴンデータが表現する曲面をホモトピーによっ
てより滑らかに、より少ないデータで表現する。
【0093】[1][2]によれば、臨界断面の間をホ
モトピーによって連続変形すればオブジェクトに曲面を
貼ることができる。臨界断面の間で輪郭線の位相が変化
することはなく、ホモトピーによる表現に向く。その一
方、臨界断面を横切れば輪郭線の位相が変化するため、
それまでとは別のホモトピーで曲面を表現する。つま
り、ホモトピーのような連続関数で表すことのできる必
要十分な数の分割を実現する断面が臨界断面である。
モトピーによって連続変形すればオブジェクトに曲面を
貼ることができる。臨界断面の間で輪郭線の位相が変化
することはなく、ホモトピーによる表現に向く。その一
方、臨界断面を横切れば輪郭線の位相が変化するため、
それまでとは別のホモトピーで曲面を表現する。つま
り、ホモトピーのような連続関数で表すことのできる必
要十分な数の分割を実現する断面が臨界断面である。
【0094】従来よりCADのサーフェスモデルではス
キニング(skining)と呼ばれる手法がある。こ
の手法は、例えば飛行機の翼のようなオブジェクトを設
計するとき、まずそのリブの形状をいくつか指定する。
その後、リブの輪郭線間に曲面を貼り付けてオブジェク
トの表面を生成する。しかしこの手法では、例えばオブ
ジェクトに分岐があるときには対応できない。位相幾何
学的考察に基づかないためである。
キニング(skining)と呼ばれる手法がある。こ
の手法は、例えば飛行機の翼のようなオブジェクトを設
計するとき、まずそのリブの形状をいくつか指定する。
その後、リブの輪郭線間に曲面を貼り付けてオブジェク
トの表面を生成する。しかしこの手法では、例えばオブ
ジェクトに分岐があるときには対応できない。位相幾何
学的考察に基づかないためである。
【0095】本発明では臨界断面はレーブグラフのノー
ドに対応する。臨界断面の間はエッジに相当する。した
がって、臨界断面間にホモトピーで曲面を貼ることは、
レーブグラフのエッジごとにその周りに円筒と同相の曲
面を貼ることに等しい。オブジェクトをレーブグラフで
表現しておけば、ノード間は必ずひとつの円筒と同相の
曲面が貼れる。円筒と同相の曲面は複数の四辺形領域に
分割できるため、ノード間は必ず複数の四辺形の曲面パ
ッチに分割できる。このことは、[1][2]の理論に
より、どのようなオブジェクトにも恒常的かつ効率的に
曲面パッチが貼れることを意味し、複雑なオブジェクト
の自由曲面による容易かつ確実な表現という従来の課題
を解決する。この結果、ポリゴンデータという線形的な
表現を位相幾何学的データという非線形的な表現へ自動
変換する途が開ける。
ドに対応する。臨界断面の間はエッジに相当する。した
がって、臨界断面間にホモトピーで曲面を貼ることは、
レーブグラフのエッジごとにその周りに円筒と同相の曲
面を貼ることに等しい。オブジェクトをレーブグラフで
表現しておけば、ノード間は必ずひとつの円筒と同相の
曲面が貼れる。円筒と同相の曲面は複数の四辺形領域に
分割できるため、ノード間は必ず複数の四辺形の曲面パ
ッチに分割できる。このことは、[1][2]の理論に
より、どのようなオブジェクトにも恒常的かつ効率的に
曲面パッチが貼れることを意味し、複雑なオブジェクト
の自由曲面による容易かつ確実な表現という従来の課題
を解決する。この結果、ポリゴンデータという線形的な
表現を位相幾何学的データという非線形的な表現へ自動
変換する途が開ける。
【0096】[実施の形態]図17は本発明に係る構造
グラフ生成方法の処理手順を示すフローチャートであ
る。この図により、まず処理の概略を説明する。前提技
術では、設計者が自らレーブグラフを生成していった
が、本実施の形態では既存のポリゴンデータからレーブ
グラフを自動生成する。同図のごとく、オブジェクトの
形状を示すポリゴンデータを取得した後、まずオブジェ
クトの位相情報を抽出する(S1)。この位相情報はオ
ブジェクトの大域的(global)な構造を特徴づけ
るもので、単に、あるポリゴンの隣はどのポリゴンかと
いった局所的(local)な位相情報ではない。いず
れの場合もトポロジーと訳されることがあるが、前者は
主に数学で用いられることば、後者は主にCADについ
て用いられることばである。
グラフ生成方法の処理手順を示すフローチャートであ
る。この図により、まず処理の概略を説明する。前提技
術では、設計者が自らレーブグラフを生成していった
が、本実施の形態では既存のポリゴンデータからレーブ
グラフを自動生成する。同図のごとく、オブジェクトの
形状を示すポリゴンデータを取得した後、まずオブジェ
クトの位相情報を抽出する(S1)。この位相情報はオ
ブジェクトの大域的(global)な構造を特徴づけ
るもので、単に、あるポリゴンの隣はどのポリゴンかと
いった局所的(local)な位相情報ではない。いず
れの場合もトポロジーと訳されることがあるが、前者は
主に数学で用いられることば、後者は主にCADについ
て用いられることばである。
【0097】つづいて、この大域的な位相情報に基づ
き、オブジェクトの骨格グラフが生成される(S2)。
前提技術ではレーブグラフを用いたが、ここでは必ずし
もレーブグラフでなくともよい。例えばトーラスを単に
円で表現するごとく、オブジェクトの構造を単純化、符
号化、象徴化などするグラフであればよい。グラフは通
常ノードとエッジで構成されるが、トーラスを円で表現
する場合、この円にはノードがないともいえる。そうし
た場合、仮想的なノードを想定してグラフと呼ぶことに
決める。また、骨格グラフを生成するといっても、必ず
しもグラフの可視化は必要でない。したがって、骨格グ
ラフを生成するに足る情報を収集すればよいと決める。
これらふたつの規則は本明細書を通して有効とする。
き、オブジェクトの骨格グラフが生成される(S2)。
前提技術ではレーブグラフを用いたが、ここでは必ずし
もレーブグラフでなくともよい。例えばトーラスを単に
円で表現するごとく、オブジェクトの構造を単純化、符
号化、象徴化などするグラフであればよい。グラフは通
常ノードとエッジで構成されるが、トーラスを円で表現
する場合、この円にはノードがないともいえる。そうし
た場合、仮想的なノードを想定してグラフと呼ぶことに
決める。また、骨格グラフを生成するといっても、必ず
しもグラフの可視化は必要でない。したがって、骨格グ
ラフを生成するに足る情報を収集すればよいと決める。
これらふたつの規則は本明細書を通して有効とする。
【0098】以上の処理により、オブジェクトの骨格グ
ラフがポリゴンデータから生成される。図17の処理に
より、オブジェクトの形状データにオブジェクトの大域
構造情報が与えられる。図18は図17の処理を実現す
る構造グラフ生成装置1の構成図である。装置1は、ポ
リゴンデータを取得するデータ入力部2をもつ。データ
入力部2は、ネットワークからポリゴンデータを受信す
る通信部でもよいし、記憶装置からポリゴンデータを読
み出す記憶制御部でもよい。また、オブジェクトを撮影
してその曲面をポリゴン化する三次元ディジタイザな
ど、オブジェクトの座標を取得する装置でもよい。装置
1はさらに、取得されたポリゴンデータに対してモース
関数を定めるモース関数決定部3と、そのモース関数の
特異点を検出する特異点検出部4と、特異点どうしの接
続情報を取得する特異点接続情報取得部5を含む。
ラフがポリゴンデータから生成される。図17の処理に
より、オブジェクトの形状データにオブジェクトの大域
構造情報が与えられる。図18は図17の処理を実現す
る構造グラフ生成装置1の構成図である。装置1は、ポ
リゴンデータを取得するデータ入力部2をもつ。データ
入力部2は、ネットワークからポリゴンデータを受信す
る通信部でもよいし、記憶装置からポリゴンデータを読
み出す記憶制御部でもよい。また、オブジェクトを撮影
してその曲面をポリゴン化する三次元ディジタイザな
ど、オブジェクトの座標を取得する装置でもよい。装置
1はさらに、取得されたポリゴンデータに対してモース
関数を定めるモース関数決定部3と、そのモース関数の
特異点を検出する特異点検出部4と、特異点どうしの接
続情報を取得する特異点接続情報取得部5を含む。
【0099】図19は装置1の動作を示すフローチャー
トである。まず、データ入力部2がオブジェクトのポリ
ゴンデータを入力する(S10)。このポリゴンデータ
はモース関数決定部3に渡される。モース関数として高
さ関数を用いる。したがって、モース関数を決定するこ
とは高さ方向を決めることに還元される。高さ方向の決
め方の例は以下のとおりである。
トである。まず、データ入力部2がオブジェクトのポリ
ゴンデータを入力する(S10)。このポリゴンデータ
はモース関数決定部3に渡される。モース関数として高
さ関数を用いる。したがって、モース関数を決定するこ
とは高さ方向を決めることに還元される。高さ方向の決
め方の例は以下のとおりである。
【0100】i)ポリゴンデータ自身が有するz方向
(高さ方向)をそのままモース関数の高さ方向とする。 ii)オブジェクトの形状に応じて決める。例えば、オ
ブジェクトの高さ方向の長さが最長になるように決め
る。 iii)オブジェクトの位相幾何学的な特徴に応じて決
める。例えば、特異点がある程度多くとれるように決め
る。 iv)ユーザの指示に従う。
(高さ方向)をそのままモース関数の高さ方向とする。 ii)オブジェクトの形状に応じて決める。例えば、オ
ブジェクトの高さ方向の長さが最長になるように決め
る。 iii)オブジェクトの位相幾何学的な特徴に応じて決
める。例えば、特異点がある程度多くとれるように決め
る。 iv)ユーザの指示に従う。
【0101】モース関数決定部3では、これらのまたは
その他の方法のいずれかに基づき、モース関数を決定す
る(S11)。なお、高さ関数以外のモース関数の例と
して、オブジェクト表面の曲率を採用してもよい。その
場合、z軸の方向によらないという利点がある。
その他の方法のいずれかに基づき、モース関数を決定す
る(S11)。なお、高さ関数以外のモース関数の例と
して、オブジェクト表面の曲率を採用してもよい。その
場合、z軸の方向によらないという利点がある。
【0102】つづいて、処理は特異点検出部4に移る。
通常の滑らかな曲面からなるオブジェクトの場合、前提
技術で説明したごとく、オブジェクトを高さ方向にサー
チしていくことで特異点とその指数が判明する。しか
し、ここでは対象が微分不可能な頂点を含むポリゴンデ
ータであるから、特異点に新たな定義が要る。指数に応
じ、特異点を以下のように定義する。なお、あるポリゴ
ンのある頂点Vに集まる辺を時計回りに(または反時計
回りに)Ei(i=1、2、・・・n)と表記し、Vか
ら見て辺Eiが上昇線(ascending lin
e)であるときその辺を「+」、下降線(descen
ding line)のとき「−」と表記する。
通常の滑らかな曲面からなるオブジェクトの場合、前提
技術で説明したごとく、オブジェクトを高さ方向にサー
チしていくことで特異点とその指数が判明する。しか
し、ここでは対象が微分不可能な頂点を含むポリゴンデ
ータであるから、特異点に新たな定義が要る。指数に応
じ、特異点を以下のように定義する。なお、あるポリゴ
ンのある頂点Vに集まる辺を時計回りに(または反時計
回りに)Ei(i=1、2、・・・n)と表記し、Vか
ら見て辺Eiが上昇線(ascending lin
e)であるときその辺を「+」、下降線(descen
ding line)のとき「−」と表記する。
【0103】1.指数0(谷底点:pit) 図20に示すごとく、Eiがすべて「+」であるとき、
Vは指数0の特異点である。 2.指数1(鞍点:saddle) 図21に示すごとく、n=4の場合、E1〜4が「+−
+−」または「−+−+」という順序ならVは指数1の
特異点である。一般には、El〜Es、Es+1〜E
t、Et+1〜Eu、Eu+1〜Enの4つの群が群単
位で「+−+−」か「−+−+」の順序であればよい。
ただし、s≧1、t≧s+1、u≧t+1、n≧u+1
である。 3.指数2(頂点:peak) 図22に示すごとく、Eiがすべて「−」であるとき、
Vは指数2の特異点である。
Vは指数0の特異点である。 2.指数1(鞍点:saddle) 図21に示すごとく、n=4の場合、E1〜4が「+−
+−」または「−+−+」という順序ならVは指数1の
特異点である。一般には、El〜Es、Es+1〜E
t、Et+1〜Eu、Eu+1〜Enの4つの群が群単
位で「+−+−」か「−+−+」の順序であればよい。
ただし、s≧1、t≧s+1、u≧t+1、n≧u+1
である。 3.指数2(頂点:peak) 図22に示すごとく、Eiがすべて「−」であるとき、
Vは指数2の特異点である。
【0104】特異点検出部4はこれらの定義に従い、ポ
リゴンデータの座標から特異点の座標とその指数を検出
する(S12)。特異点の座標は特異点に関する幾何情
報の一種である。
リゴンデータの座標から特異点の座標とその指数を検出
する(S12)。特異点の座標は特異点に関する幾何情
報の一種である。
【0105】指数0と指数2の特異点付近の断面形状は
それぞれ円(と同相の図形)に決まるが、指数1の特異
点は図23のようにふたつの輪郭線が外接する点N1に
生じる場合と、図24のようにひとつの輪郭線の中に他
の輪郭線があり、それらが接する点N2に生じる場合が
ある。点N1は、傾斜の「+」「−」を考慮すれば、図
3(a)に示したトーラスに関するふたつの鞍点のうち
上にあるほうに相当する。点N2は、図25のように斜
めに切った中空円筒の内壁上端N3に現れる。この実施
の形態でも、前提技術同様オブジェクトの内部構造まで
記述できるアイコン表示のレーブグラフを作ることがで
きる。その際、点N1の場合はふたつの輪郭線が「兄
弟」、N2では「親子」であり、処理が異なる。そのた
め、ここで予めいずれの形状であるか調べておく。アル
ゴリズムとしては、指数1の特異点が見つかったとき、
その点を含む断面の輪郭線の形を調べ、図23、図24
のいずれのパターンに当てはまるか調べればよい。
それぞれ円(と同相の図形)に決まるが、指数1の特異
点は図23のようにふたつの輪郭線が外接する点N1に
生じる場合と、図24のようにひとつの輪郭線の中に他
の輪郭線があり、それらが接する点N2に生じる場合が
ある。点N1は、傾斜の「+」「−」を考慮すれば、図
3(a)に示したトーラスに関するふたつの鞍点のうち
上にあるほうに相当する。点N2は、図25のように斜
めに切った中空円筒の内壁上端N3に現れる。この実施
の形態でも、前提技術同様オブジェクトの内部構造まで
記述できるアイコン表示のレーブグラフを作ることがで
きる。その際、点N1の場合はふたつの輪郭線が「兄
弟」、N2では「親子」であり、処理が異なる。そのた
め、ここで予めいずれの形状であるか調べておく。アル
ゴリズムとしては、指数1の特異点が見つかったとき、
その点を含む断面の輪郭線の形を調べ、図23、図24
のいずれのパターンに当てはまるか調べればよい。
【0106】つぎに、特異点接続情報取得部5で特異点
どうし接続関係を把握する(S13)。これは特異点に
関する位相情報である。図26、図27はそれぞれ、
「ふたつの独立したトーラス」からなるオブジェクト
(図2(a))、および「一回ひねったトーラス」(図
2(b))に対応するレーブグラフである。これらのオ
ブジェクトは特異点とその指数が全く同じであるにも拘
らず、レーブグラフが異なる。このため特異点接続情報
取得部5は、ポリゴンの辺を辿ることによって接続情報
を得る。「ふたつトーラス」の場合、特異点N1とN
2、N2とN3を結ぶポリゴンの辺があるが、N2とN
7を結ぶものはない。「ひねったトーラス」の場合はN
2とN7を結ぶ辺が存在する。この方法を繰り返すこと
で特異点どうしの接続関係がすべて判明するため、レー
ブグラフが完成する。図26、27の場合、レーブグラ
フは特異点とその指数、および特異点間の接続情報で記
述されるが、オブジェクトの内部構造も考慮してレーブ
グラフを生成する場合、図5〜13に示した演算子やそ
のアイコン表現でそれが記述される。
どうし接続関係を把握する(S13)。これは特異点に
関する位相情報である。図26、図27はそれぞれ、
「ふたつの独立したトーラス」からなるオブジェクト
(図2(a))、および「一回ひねったトーラス」(図
2(b))に対応するレーブグラフである。これらのオ
ブジェクトは特異点とその指数が全く同じであるにも拘
らず、レーブグラフが異なる。このため特異点接続情報
取得部5は、ポリゴンの辺を辿ることによって接続情報
を得る。「ふたつトーラス」の場合、特異点N1とN
2、N2とN3を結ぶポリゴンの辺があるが、N2とN
7を結ぶものはない。「ひねったトーラス」の場合はN
2とN7を結ぶ辺が存在する。この方法を繰り返すこと
で特異点どうしの接続関係がすべて判明するため、レー
ブグラフが完成する。図26、27の場合、レーブグラ
フは特異点とその指数、および特異点間の接続情報で記
述されるが、オブジェクトの内部構造も考慮してレーブ
グラフを生成する場合、図5〜13に示した演算子やそ
のアイコン表現でそれが記述される。
【0107】図28は本発明のデータ変換方法の原理を
示すフローチャートである。ポリゴンデータを取得した
後、まずオブジェクトの位相情報を抽出する(S2
0)。この処理は図17のS1と同様である。つづい
て、これらの情報を位相幾何学的データへ変換する(S
21)。S20とS21の処理をコンピュータで読み取
り可能な記録媒体に記録して頒布等してもよい。
示すフローチャートである。ポリゴンデータを取得した
後、まずオブジェクトの位相情報を抽出する(S2
0)。この処理は図17のS1と同様である。つづい
て、これらの情報を位相幾何学的データへ変換する(S
21)。S20とS21の処理をコンピュータで読み取
り可能な記録媒体に記録して頒布等してもよい。
【0108】図29はデータ変換の原理を別の表現で示
すフローチャートである。ポリゴンデータを取得した
後、そのデータを用いてまずオブジェクトの位相構造に
注目し(S30)、その結果得られた情報をもとにポリ
ゴンデータを曲面データへ変換する(S31)。この場
合もS30とS31の処理を記録媒体に記録することが
できる。
すフローチャートである。ポリゴンデータを取得した
後、そのデータを用いてまずオブジェクトの位相構造に
注目し(S30)、その結果得られた情報をもとにポリ
ゴンデータを曲面データへ変換する(S31)。この場
合もS30とS31の処理を記録媒体に記録することが
できる。
【0109】図30はこれらのフローチャートに基づく
データ変換を行うデータ変換器20を内蔵するデータ編
集装置10の構成図である。装置10は、データ変換器
20の他に、変換したデータを確認するためデータを可
視化するレンダリング部30と、可視化されたデータを
表示装置43に出力するための制御を行う表示制御部4
0を含む。これらの構成はソフトウエアのモジュールで
実現してもよいし、ハードウエア回路などで実現しても
よい。
データ変換を行うデータ変換器20を内蔵するデータ編
集装置10の構成図である。装置10は、データ変換器
20の他に、変換したデータを確認するためデータを可
視化するレンダリング部30と、可視化されたデータを
表示装置43に出力するための制御を行う表示制御部4
0を含む。これらの構成はソフトウエアのモジュールで
実現してもよいし、ハードウエア回路などで実現しても
よい。
【0110】データ変換器20は、ポリゴンデータ記憶
部41から必要なオブジェクトのポリゴンデータを入力
するデータ入力部21と、ポリゴンデータからオブジェ
クトの骨格グラフを生成する構造グラフ生成部22と、
オブジェクトを適切な位置で切断する断面生成部23
と、断面の輪郭線を滑らかにする輪郭線円滑化部24
と、断面の輪郭線に関する情報を取得してこれを骨格グ
ラフに付加する輪郭線情報取得部25を含む。構造グラ
フ生成部22として、ここでは図18に示した装置1を
そのまま利用する。
部41から必要なオブジェクトのポリゴンデータを入力
するデータ入力部21と、ポリゴンデータからオブジェ
クトの骨格グラフを生成する構造グラフ生成部22と、
オブジェクトを適切な位置で切断する断面生成部23
と、断面の輪郭線を滑らかにする輪郭線円滑化部24
と、断面の輪郭線に関する情報を取得してこれを骨格グ
ラフに付加する輪郭線情報取得部25を含む。構造グラ
フ生成部22として、ここでは図18に示した装置1を
そのまま利用する。
【0111】図31は装置10によってデータが変換さ
れる手順を示すフローチャートである。データ入力部2
1により、オブジェクトのポリゴンデータが入力され、
構造グラフ生成部22で既述の方法によって骨格グラフ
が生成される(S40)。つづいて、断面生成部23が
オブジェクトを切断する(S41)。切断は前提技術で
述べたごとく特異点を含む高さでz軸に垂直に行う。
れる手順を示すフローチャートである。データ入力部2
1により、オブジェクトのポリゴンデータが入力され、
構造グラフ生成部22で既述の方法によって骨格グラフ
が生成される(S40)。つづいて、断面生成部23が
オブジェクトを切断する(S41)。切断は前提技術で
述べたごとく特異点を含む高さでz軸に垂直に行う。
【0112】図32は概略ハート型のオブジェクトのポ
リゴンデータを可視化して示す図である。同図で点N1
とN2は頂点、N3は鞍点、N4は谷底点である。これ
らのうち、N3以外の点における断面は点であるから、
理論上はN3における断面の形状のみを知る必要があ
る。しかし位相幾何学データによる形状表現の精度を高
めるため、ここでは特異点以外の高さ、具体的にはN1
とN3の間の高さz=z13およびN3とN4の間の高
さz=z34に一箇所ずつ断面をとる。断面を追加すべ
き位置は自動判定してもよい。たとえば特異点間の距離
がある程度大きいとき、その中間に新たな断面を設ける
などの処理が考えられる。
リゴンデータを可視化して示す図である。同図で点N1
とN2は頂点、N3は鞍点、N4は谷底点である。これ
らのうち、N3以外の点における断面は点であるから、
理論上はN3における断面の形状のみを知る必要があ
る。しかし位相幾何学データによる形状表現の精度を高
めるため、ここでは特異点以外の高さ、具体的にはN1
とN3の間の高さz=z13およびN3とN4の間の高
さz=z34に一箇所ずつ断面をとる。断面を追加すべ
き位置は自動判定してもよい。たとえば特異点間の距離
がある程度大きいとき、その中間に新たな断面を設ける
などの処理が考えられる。
【0113】図33はこうして得られた3つの断面にお
ける輪郭線を示す図である。ここではN3の高さz=z
3における左右の輪郭線をそれぞれC3a、C3bと
し、z=z13における左右の輪郭線をそれぞれC13
a、C13bとし、z=z34における左右の輪郭線を
それぞれC34a、C34bとする。同図のごとく、こ
れらの輪郭線は多角形になる。輪郭線円滑化部24はこ
れらの輪郭線に自由曲線を当てはめる。そのひとつの方
法として、、輪郭線の頂点を制御点として利用し、NU
RBS曲線などのスプライン曲線やベジエ曲線をフィッ
ティングする(S42)。この処理により、ポリゴンデ
ータの凹凸感がなくなる。
ける輪郭線を示す図である。ここではN3の高さz=z
3における左右の輪郭線をそれぞれC3a、C3bと
し、z=z13における左右の輪郭線をそれぞれC13
a、C13bとし、z=z34における左右の輪郭線を
それぞれC34a、C34bとする。同図のごとく、こ
れらの輪郭線は多角形になる。輪郭線円滑化部24はこ
れらの輪郭線に自由曲線を当てはめる。そのひとつの方
法として、、輪郭線の頂点を制御点として利用し、NU
RBS曲線などのスプライン曲線やベジエ曲線をフィッ
ティングする(S42)。この処理により、ポリゴンデ
ータの凹凸感がなくなる。
【0114】なお、ここでは断面をz軸と垂直にとった
が、別の実施の形態ではポリゴンの辺を含むように断面
をとる。図34は図33でz=z13の左に存在する輪
郭線C13a付近のポリゴンを拡大した図である。仮に
z軸と垂直な断面が同図の破線50のごとくポリゴンの
中を通る場合、これを同図の太線52のごとくポリゴン
の辺L1、L2を通るような位置に修正する。この措置
により、輪郭線の頂点がポリゴンの頂点に一致し、計算
に好都合である。断面は必ずしもある一平面に乗ってい
なくともよく、できるだけ多くの辺を含むようにとって
もよい。
が、別の実施の形態ではポリゴンの辺を含むように断面
をとる。図34は図33でz=z13の左に存在する輪
郭線C13a付近のポリゴンを拡大した図である。仮に
z軸と垂直な断面が同図の破線50のごとくポリゴンの
中を通る場合、これを同図の太線52のごとくポリゴン
の辺L1、L2を通るような位置に修正する。この措置
により、輪郭線の頂点がポリゴンの頂点に一致し、計算
に好都合である。断面は必ずしもある一平面に乗ってい
なくともよく、できるだけ多くの辺を含むようにとって
もよい。
【0115】つづいて、輪郭線情報取得部25により、
輪郭線に関する位相情報と幾何情報を取得する(S4
3、S44)。輪郭線の位相情報には、輪郭線の包含関
係と対応関係がある。前者についてはすでに構造グラフ
生成部22に内蔵される特異点検出部4(図18)で取
得しており、ここではそれを流用する。後者について
は、例えば図33においてz=z13における輪郭線C
13aとz=z3における輪郭線C3a、C3bのいず
れが対応しあうか知る必要がある。特異点接続情報取得
部5では特異点どうしの接続関係は判明するが、輪郭線
どうしの接続関係は判明しない。そこで、今回は特異点
からではなく、ある輪郭線からポリゴンの辺を辿って別
の輪郭線に到達する経路を見つける。図32および図3
3の場合、z=z13において左にあった輪郭線C13
aから出る辺はz=z3においても左にある輪郭線C3
aに到達する。この方法により、(C13a,C3a,
C34)および(C13b,C3b,C34)という対
応関係がわかる。
輪郭線に関する位相情報と幾何情報を取得する(S4
3、S44)。輪郭線の位相情報には、輪郭線の包含関
係と対応関係がある。前者についてはすでに構造グラフ
生成部22に内蔵される特異点検出部4(図18)で取
得しており、ここではそれを流用する。後者について
は、例えば図33においてz=z13における輪郭線C
13aとz=z3における輪郭線C3a、C3bのいず
れが対応しあうか知る必要がある。特異点接続情報取得
部5では特異点どうしの接続関係は判明するが、輪郭線
どうしの接続関係は判明しない。そこで、今回は特異点
からではなく、ある輪郭線からポリゴンの辺を辿って別
の輪郭線に到達する経路を見つける。図32および図3
3の場合、z=z13において左にあった輪郭線C13
aから出る辺はz=z3においても左にある輪郭線C3
aに到達する。この方法により、(C13a,C3a,
C34)および(C13b,C3b,C34)という対
応関係がわかる。
【0116】一方、輪郭線の幾何情報には、輪郭線の形
状情報と輪郭線間の対応点の位置情報がある。前者は輪
郭線円滑化部24で輪郭線の近似式である自由曲線式が
得られているため、これを流用する。後者は例えば以下
の方法で取得される。
状情報と輪郭線間の対応点の位置情報がある。前者は輪
郭線円滑化部24で輪郭線の近似式である自由曲線式が
得られているため、これを流用する。後者は例えば以下
の方法で取得される。
【0117】i)ポリゴンの辺を利用する。例えば図3
5のように、輪郭線Cs上の点Qsからポリゴンの辺を
辿る経路のうち、輪郭線Ctまでの距離が最短の経路6
0を選択すると点Qtに到達する場合、QsとQtを対
応点とし、それらの座標を取得する。 ii)輪郭線どうしの距離を利用する。輪郭線CsとC
t上にそれぞれ複数の点を設け、それらのうち互いに最
も近いものどうしを対応点として座標を取得する。 iii)輪郭線の周上位置を利用する。図36のごと
く、まず輪郭線CsとCtでx座標が最小になる点Q1
s、Q1tをそれぞれを検出する。つぎにQ1s、Q1
tから輪郭線の周囲の1/4進んだ点をそれぞれQ2
s、Q2tとし、同様にQ3s、Q3t、Q4s、Q4
tを決める。その後、Q1sとQ1t、Q2sとQ2
t、Q3sとQ3t、Q4sとQ4tをそれぞれ対応点
とし、座標を取得する。以上で輪郭線情報取得部25の
処理が終わる。
5のように、輪郭線Cs上の点Qsからポリゴンの辺を
辿る経路のうち、輪郭線Ctまでの距離が最短の経路6
0を選択すると点Qtに到達する場合、QsとQtを対
応点とし、それらの座標を取得する。 ii)輪郭線どうしの距離を利用する。輪郭線CsとC
t上にそれぞれ複数の点を設け、それらのうち互いに最
も近いものどうしを対応点として座標を取得する。 iii)輪郭線の周上位置を利用する。図36のごと
く、まず輪郭線CsとCtでx座標が最小になる点Q1
s、Q1tをそれぞれを検出する。つぎにQ1s、Q1
tから輪郭線の周囲の1/4進んだ点をそれぞれQ2
s、Q2tとし、同様にQ3s、Q3t、Q4s、Q4
tを決める。その後、Q1sとQ1t、Q2sとQ2
t、Q3sとQ3t、Q4sとQ4tをそれぞれ対応点
とし、座標を取得する。以上で輪郭線情報取得部25の
処理が終わる。
【0118】図37はこれまでの処理で得られた特異点
N1〜N4、レーブグラフ62、輪郭線C13a、C1
3b、C3a、C3b、C34、および破線64でその
一部が示される対応点間の接続情報を表す。対応点間は
それらを制御点とする自由曲線でつながれており、これ
を前提技術同様ガイディングカーブとよぶ。ガイディン
グカーブは輪郭線の対応点をつなぐ経路の形状情報を与
える。
N1〜N4、レーブグラフ62、輪郭線C13a、C1
3b、C3a、C3b、C34、および破線64でその
一部が示される対応点間の接続情報を表す。対応点間は
それらを制御点とする自由曲線でつながれており、これ
を前提技術同様ガイディングカーブとよぶ。ガイディン
グカーブは輪郭線の対応点をつなぐ経路の形状情報を与
える。
【0119】図38は以上の処理から得られた情報(以
下「基本情報」とよぶ)を構成するデータ要素を示す。
図38のごとく、レーブグラフに含まれるノードN1等
はその三次元座標(x1,y1,z1)等およびそれら
の指数index1等で記述される。エッジE1等はそ
れが貼られるノードの組(N1,N2)等で記述され
る。輪郭線C1等はそれが関連付けられるノードN1等
またはそれらのz座標、自由曲線式Ceq1等、および
それに対応する他の輪郭線C2の表示等で記述される。
ガイディングカーブG1等は、それが通過するノードN
1等と輪郭線上の点Q1s、Q1t等の座標で記述され
る。なお、ガイディングカーブには自由曲線を採用した
が、より簡易的には、単にポリゴンの辺をつなぐ複数線
分としてもよい。
下「基本情報」とよぶ)を構成するデータ要素を示す。
図38のごとく、レーブグラフに含まれるノードN1等
はその三次元座標(x1,y1,z1)等およびそれら
の指数index1等で記述される。エッジE1等はそ
れが貼られるノードの組(N1,N2)等で記述され
る。輪郭線C1等はそれが関連付けられるノードN1等
またはそれらのz座標、自由曲線式Ceq1等、および
それに対応する他の輪郭線C2の表示等で記述される。
ガイディングカーブG1等は、それが通過するノードN
1等と輪郭線上の点Q1s、Q1t等の座標で記述され
る。なお、ガイディングカーブには自由曲線を採用した
が、より簡易的には、単にポリゴンの辺をつなぐ複数線
分としてもよい。
【0120】図37に示すごとく、オブジェクトの輪郭
線間の部分(臨界断面は除く)はいずれも円筒と同相で
あり、必ず曲面パッチが貼れる。したがって、この基本
情報がポリゴンデータから変換された位相幾何学的デー
タの一例である。基本情報のうちガイディングカーブ
は、それが対応点から自動生成でき、対応点は輪郭線情
報から自動生成できるから、必須ではない。また、再現
される形状の精度を問題にしなければ、少なくとも特異
点を含まない断面に関する輪郭線も不要である。データ
編集装置10はもとのポリゴンデータから基本情報を一
意的に生成することができるため、処理の自動化に向
く。
線間の部分(臨界断面は除く)はいずれも円筒と同相で
あり、必ず曲面パッチが貼れる。したがって、この基本
情報がポリゴンデータから変換された位相幾何学的デー
タの一例である。基本情報のうちガイディングカーブ
は、それが対応点から自動生成でき、対応点は輪郭線情
報から自動生成できるから、必須ではない。また、再現
される形状の精度を問題にしなければ、少なくとも特異
点を含まない断面に関する輪郭線も不要である。データ
編集装置10はもとのポリゴンデータから基本情報を一
意的に生成することができるため、処理の自動化に向
く。
【0121】基本情報を生成した後、データ変換器20
はこれを位相幾何学的データ記憶部42に出力する(図
30)。これで変換処理はひととおり終了するが、変換
結果を確かめるため、データ編集装置10にはオプショ
ナルな構成としてレンダリング部30が設けられてい
る。
はこれを位相幾何学的データ記憶部42に出力する(図
30)。これで変換処理はひととおり終了するが、変換
結果を確かめるため、データ編集装置10にはオプショ
ナルな構成としてレンダリング部30が設けられてい
る。
【0122】レンダリング部30は、基本情報を受けて
曲面パッチを貼り付ける曲面パッチ生成部31を含む。
曲面パッチ生成部31は、輪郭線とガイディングカーブ
によって囲まれたそれぞれ四辺形の領域にパッチを貼る
(S45)。可視化部32は貼られた各パッチを既存の
手法、例えばコンスタントシェーディングや自由曲面に
直接レイトレーシングを行うなどの処理で可視化する
(S46)。可視化されたデータは表示制御部40を経
て表示装置43に表示される(S47)。もとのポリゴ
ンデータが図32に示すようなハート型である場合、こ
こで表示されるオブジェクトは図39のごとくより滑ら
かなものとなる。
曲面パッチを貼り付ける曲面パッチ生成部31を含む。
曲面パッチ生成部31は、輪郭線とガイディングカーブ
によって囲まれたそれぞれ四辺形の領域にパッチを貼る
(S45)。可視化部32は貼られた各パッチを既存の
手法、例えばコンスタントシェーディングや自由曲面に
直接レイトレーシングを行うなどの処理で可視化する
(S46)。可視化されたデータは表示制御部40を経
て表示装置43に表示される(S47)。もとのポリゴ
ンデータが図32に示すようなハート型である場合、こ
こで表示されるオブジェクトは図39のごとくより滑ら
かなものとなる。
【0123】このデータ編集装置10によれば、位相幾
何学的データ記憶部42に記憶された基本情報のデータ
量は非常に少ない。それにも拘らず、もとのポリゴンデ
ータよりも一般に滑らかなオブジェクトを再現すること
ができる。人の掌のモデリングについて実験したとこ
ろ、VRMLによって約6000のポリゴンの頂点を記
述した場合のデータ量が約640キロバイト(gzip
による圧縮時は約200キロバイト)、これをデータ編
集装置10による位相幾何学的データで記述した場合、
約3キロバイト(gzipによる圧縮時は約1.5キロ
バイト)であった。他のオブジェクトについても、肉眼
でポリゴンの頂点が確認できる程度のポリゴン数におい
て、ポリゴンデータの100分の1程度のデータ量で形
状を表現することできた。これは本発明が単なるデータ
の圧縮技術ではなく、根本的に異なる形状表現を実現し
ていることを意味している。
何学的データ記憶部42に記憶された基本情報のデータ
量は非常に少ない。それにも拘らず、もとのポリゴンデ
ータよりも一般に滑らかなオブジェクトを再現すること
ができる。人の掌のモデリングについて実験したとこ
ろ、VRMLによって約6000のポリゴンの頂点を記
述した場合のデータ量が約640キロバイト(gzip
による圧縮時は約200キロバイト)、これをデータ編
集装置10による位相幾何学的データで記述した場合、
約3キロバイト(gzipによる圧縮時は約1.5キロ
バイト)であった。他のオブジェクトについても、肉眼
でポリゴンの頂点が確認できる程度のポリゴン数におい
て、ポリゴンデータの100分の1程度のデータ量で形
状を表現することできた。これは本発明が単なるデータ
の圧縮技術ではなく、根本的に異なる形状表現を実現し
ていることを意味している。
【0124】データ編集装置10で得られた位相幾何学
的データは軽く、当然ながら伝送、記憶、編集に有利で
ある。しかも今日まで蓄積されてきた膨大なポリゴンデ
ータを活かすことができる。いったん生成された位相幾
何学的データに編集を加えることで容易に別のオブジェ
クトを設計することもできる。編集は例えば輪郭線の形
状を変えたり、特異点の位置をずらすなど、ドローイン
グソフトウエア程度の簡単なユーザインタフェイスで実
現できる。
的データは軽く、当然ながら伝送、記憶、編集に有利で
ある。しかも今日まで蓄積されてきた膨大なポリゴンデ
ータを活かすことができる。いったん生成された位相幾
何学的データに編集を加えることで容易に別のオブジェ
クトを設計することもできる。編集は例えば輪郭線の形
状を変えたり、特異点の位置をずらすなど、ドローイン
グソフトウエア程度の簡単なユーザインタフェイスで実
現できる。
【0125】オブジェクトの可視化を考えた場合、市販
のレンダラーなどの中にはモデリングがポリゴンでなさ
れていないと動作しないものがある。図40はそうした
場合に対応する処理の原理を示すフローチャートであ
る。同図のごとく、まず位相幾何学的データを取得し
(S50)、そのデータ表現形式またはデータ構造に注
目しながらポリゴンデータへ逆変換する(S51)。
のレンダラーなどの中にはモデリングがポリゴンでなさ
れていないと動作しないものがある。図40はそうした
場合に対応する処理の原理を示すフローチャートであ
る。同図のごとく、まず位相幾何学的データを取得し
(S50)、そのデータ表現形式またはデータ構造に注
目しながらポリゴンデータへ逆変換する(S51)。
【0126】図41は図40の処理を実現するデータ逆
変換器70の構成図である。この装置は、位相幾何学的
データ記憶部75からデータを入力するデータ入力部7
1と、入力したデータの構造を解析してオブジェクトの
曲面を構成するための要素を抽出するデータ構造解析部
72と、抽出された要素から構成される曲面上に離散的
に点をとってこれをポリゴンの頂点と決めるポリゴン頂
点定義部73をもつ。ポリゴンの頂点はポリゴンデータ
記憶部76へ出力される。
変換器70の構成図である。この装置は、位相幾何学的
データ記憶部75からデータを入力するデータ入力部7
1と、入力したデータの構造を解析してオブジェクトの
曲面を構成するための要素を抽出するデータ構造解析部
72と、抽出された要素から構成される曲面上に離散的
に点をとってこれをポリゴンの頂点と決めるポリゴン頂
点定義部73をもつ。ポリゴンの頂点はポリゴンデータ
記憶部76へ出力される。
【0127】この構成にて、まず位相幾何学的データま
たは基本情報が位相幾何学的データ記憶部75からデー
タ入力部71へ入力される。入力されたデータはデータ
構造解析部72へ送られる。データは例えば図38に示
す構造であり、データ構造解析部72はそれらの中から
輪郭線とガイディングカーブに関する情報を読み出す。
たは基本情報が位相幾何学的データ記憶部75からデー
タ入力部71へ入力される。入力されたデータはデータ
構造解析部72へ送られる。データは例えば図38に示
す構造であり、データ構造解析部72はそれらの中から
輪郭線とガイディングカーブに関する情報を読み出す。
【0128】つづいて、処理はポリゴン頂点定義部73
に進む。図42はふたつの輪郭線C1、C2と、ふたつ
のガイディングカーブG1、G2で囲まれる四辺形の領
域80である。ポリゴン頂点定義部73は、まず領域8
0にテンソル積曲面、クーンズ(Coons)曲面、グ
レゴリー(Gregory)曲面などのパラメトリック
パッチS(u,v)(0≦u,v≦1)を貼る。ノード
を含む領域は三角形になるが、これは四辺形の縮退とし
て扱えばよく、従来の技術で対応できる。つづいて、パ
ラメータu,vを少しずつ変化させながらS(u,v)
の位置をプロットしていく。ポリゴンデータの精度を高
めたければu、vのステップを小さくとる。
に進む。図42はふたつの輪郭線C1、C2と、ふたつ
のガイディングカーブG1、G2で囲まれる四辺形の領
域80である。ポリゴン頂点定義部73は、まず領域8
0にテンソル積曲面、クーンズ(Coons)曲面、グ
レゴリー(Gregory)曲面などのパラメトリック
パッチS(u,v)(0≦u,v≦1)を貼る。ノード
を含む領域は三角形になるが、これは四辺形の縮退とし
て扱えばよく、従来の技術で対応できる。つづいて、パ
ラメータu,vを少しずつ変化させながらS(u,v)
の位置をプロットしていく。ポリゴンデータの精度を高
めたければu、vのステップを小さくとる。
【0129】図43はこうしてプロットされた点を示し
ており、これらの点をポリゴンの頂点と決める。図44
のごとく、例えばある三角形領域82は、それを構成す
る3つの頂点(Na,Nb,Nc)で記述しておく。こ
うしてポリゴンデータへの変換が完了し、当該データが
ポリゴンデータ記憶部76へ記録される。
ており、これらの点をポリゴンの頂点と決める。図44
のごとく、例えばある三角形領域82は、それを構成す
る3つの頂点(Na,Nb,Nc)で記述しておく。こ
うしてポリゴンデータへの変換が完了し、当該データが
ポリゴンデータ記憶部76へ記録される。
【0130】図45はデータ変換器90とデータ逆変換
器91をともに含むシステムの構成図である。同図のご
とく、データ変換器90はまず、オブジェクト指定部9
5の指示に従ってユーザが求めるオブジェクトのポリゴ
ンデータを第1記憶部92から読み出し、既述の方法で
位相幾何学的データへ変換して第2記憶部93へ格納す
る。データ逆変換部91は、オブジェクトの基本情報ま
たは位相幾何学的データを第2記憶部93から読み出
し、これをポリゴンデータへ戻して第3記憶部94へ格
納する。その際、ポリゴン数指定部96で指定されたポ
リゴンの概数に近くなるよう前述のパラメータu、vの
ステップを決める。ポリゴン数指定部96では、ポリゴ
ン数を直接指定するほか、ポリゴン数を多くする、少な
くする、といった指定も可能にすることが望ましい。ま
た、トータルのデータ量を指定する方法もある。このシ
ステムによれば、例えば粗いポリゴンデータをより細か
いポリゴンデータに変換するという、ポリゴンデータ間
の変換機能も実現する。
器91をともに含むシステムの構成図である。同図のご
とく、データ変換器90はまず、オブジェクト指定部9
5の指示に従ってユーザが求めるオブジェクトのポリゴ
ンデータを第1記憶部92から読み出し、既述の方法で
位相幾何学的データへ変換して第2記憶部93へ格納す
る。データ逆変換部91は、オブジェクトの基本情報ま
たは位相幾何学的データを第2記憶部93から読み出
し、これをポリゴンデータへ戻して第3記憶部94へ格
納する。その際、ポリゴン数指定部96で指定されたポ
リゴンの概数に近くなるよう前述のパラメータu、vの
ステップを決める。ポリゴン数指定部96では、ポリゴ
ン数を直接指定するほか、ポリゴン数を多くする、少な
くする、といった指定も可能にすることが望ましい。ま
た、トータルのデータ量を指定する方法もある。このシ
ステムによれば、例えば粗いポリゴンデータをより細か
いポリゴンデータに変換するという、ポリゴンデータ間
の変換機能も実現する。
【0131】図46はこのシステムを応用したサーバ・
クライアントシステム100の構成図である。サーバ1
10は既存のポリゴンデータを保持する第1サーバ記憶
部111と、データ変換器112と、変換で得られた位
相幾何学的データを格納する第2サーバ記憶部113
と、ネットワーク130を介してクライアント120と
通信する第1通信部114を含む。
クライアントシステム100の構成図である。サーバ1
10は既存のポリゴンデータを保持する第1サーバ記憶
部111と、データ変換器112と、変換で得られた位
相幾何学的データを格納する第2サーバ記憶部113
と、ネットワーク130を介してクライアント120と
通信する第1通信部114を含む。
【0132】クライアント120はサーバ110と通信
する第2通信部121と、受け取った位相幾何学的デー
タを格納する第1クライアント記憶部122と、データ
逆変換器123と、逆変換されたデータを格納する第2
クライアント記憶部124を含む。
する第2通信部121と、受け取った位相幾何学的デー
タを格納する第1クライアント記憶部122と、データ
逆変換器123と、逆変換されたデータを格納する第2
クライアント記憶部124を含む。
【0133】図47は図46のシステム100における
サーバ110、クライアント120間のやりとりを示す
図である。クライアント120で、あるオブジェクトの
データが必要になったとき、まず第2通信部121を通
してサーバ110にデータの要求を出す(S60)。ネ
ットワーク130、第1通信部114を介してサーバ1
10がその要求を受信する(S61)。サーバ110
は、必要なポリゴンデータを第1サーバ記憶部111か
ら読み出した後データ変換器112で位相幾何学的デー
タに変換する(S62)。この位相幾何学的データは第
2サーバ記憶部113に格納され(S63)、クライア
ント120に送信される(S64)。
サーバ110、クライアント120間のやりとりを示す
図である。クライアント120で、あるオブジェクトの
データが必要になったとき、まず第2通信部121を通
してサーバ110にデータの要求を出す(S60)。ネ
ットワーク130、第1通信部114を介してサーバ1
10がその要求を受信する(S61)。サーバ110
は、必要なポリゴンデータを第1サーバ記憶部111か
ら読み出した後データ変換器112で位相幾何学的デー
タに変換する(S62)。この位相幾何学的データは第
2サーバ記憶部113に格納され(S63)、クライア
ント120に送信される(S64)。
【0134】クライアント120はそのデータを受信し
(S65)、第1クライアント記憶部122に格納する
(S66)。クライアント120はこのデータをそのま
ま利用してもよいが、ポリゴンデータが必要であればデ
ータ逆変換器123でポリゴンデータに戻した後(S6
7)、これを第2クライアント記憶部124に格納する
とともに利用する(S68)。
(S65)、第1クライアント記憶部122に格納する
(S66)。クライアント120はこのデータをそのま
ま利用してもよいが、ポリゴンデータが必要であればデ
ータ逆変換器123でポリゴンデータに戻した後(S6
7)、これを第2クライアント記憶部124に格納する
とともに利用する(S68)。
【0135】なお、クライアントから要求されたデータ
がすでに位相幾何学的データとして第2サーバ記憶部1
13に存在する場合、サーバ110はデータ変換を行わ
ず、単にこれを読み出してクライアント120へ送信す
ればよい。
がすでに位相幾何学的データとして第2サーバ記憶部1
13に存在する場合、サーバ110はデータ変換を行わ
ず、単にこれを読み出してクライアント120へ送信す
ればよい。
【図1】 特異点の指数、k次元セルおよびそれによっ
て符号化される物体の関係を示す図である。
て符号化される物体の関係を示す図である。
【図2】 図2(a)〜(c)はそれぞれが同じモース
の指数の配列をもつ3組の曲面を示す図である。
の指数の配列をもつ3組の曲面を示す図である。
【図3】 図3(a)〜(c)はトーラスとそのレーブ
グラフの関係を示す図である。
グラフの関係を示す図である。
【図4】 図4(a)(b)は輪郭線の親子関係、およ
びその木構造による表現を示す図である。
びその木構造による表現を示す図である。
【図5】 演算子を用いてトーラスを符号化する方法を
示す図である。
示す図である。
【図6】 疑似パスカルコードによる演算子のプログラ
ミング例を示す図である。
ミング例を示す図である。
【図7】 疑似パスカルコードによる演算子のプログラ
ミング例を示す図である。
ミング例を示す図である。
【図8】 疑似パスカルコードによる演算子のプログラ
ミング例を示す図である。
ミング例を示す図である。
【図9】 それぞれがセルに対応するアイコンを示す図
である。
である。
【図10】 セルの貼り合わせを示す図である。
【図11】 オブジェクトのレーブグラフをアイコンで
示した図である。
示した図である。
【図12】 オブジェクトの断面の輪郭線を示す図であ
る。
る。
【図13】 オブジェクトを構成するための演算子を示
す図である。
す図である。
【図14】 輪郭線のホモトピー変形を示す図である。
【図15】 演算子を構成する主な4つの要素を示す図
である。
である。
【図16】 ガイディング曲線によって上の輪郭線が徐
々に下の輪郭線に変形される様子を示す図である。
々に下の輪郭線に変形される様子を示す図である。
【図17】 オブジェクトの構造グラフの生成手順を示
すフローチャートである。
すフローチャートである。
【図18】 オブジェクトの構造グラフ生成装置の構成
図である。
図である。
【図19】 図18の構造グラフ生成装置による処理を
示すフローチャートである。
示すフローチャートである。
【図20】 谷底頂点(pit)付近のポリゴンの辺を
示す図である。
示す図である。
【図21】 鞍点(saddle)付近のポリゴンの辺
を示す図である。
を示す図である。
【図22】 頂点(peak)付近のポリゴンの辺を示
す図である。
す図である。
【図23】 指数1の特異点付近の輪郭線のひとつの形
状を示す図である。
状を示す図である。
【図24】 指数1の特異点付近の輪郭線の別の形状を
示す図である。
示す図である。
【図25】 図24に示す輪郭線が生じるオブジェクト
を示す図である。
を示す図である。
【図26】 「ふたつの独立したトーラス」のレーブグ
ラフを示す図である。
ラフを示す図である。
【図27】 「ねじれたトーラス」のレーブグラフを示
す図である。
す図である。
【図28】 データ変換方法の処理を示すフローチャー
トである。
トである。
【図29】 データ変換方法の処理を別の表現で示すフ
ローチャートである。
ローチャートである。
【図30】 データ変換装置の構成図である。
【図31】 図30のデータ変換装置による処理を示す
フローチャートである。
フローチャートである。
【図32】 ハート型オブジェクトのポリゴンデータを
可視化して示す図である。
可視化して示す図である。
【図33】 図32のオブジェクトのいくつかの輪郭線
を示す図である。
を示す図である。
【図34】 断面のとり方を示す図である。
【図35】 輪郭線の対応点を検出する方法を示す図で
ある。
ある。
【図36】 輪郭線の対応点を検出する別の方法を示す
図である。
図である。
【図37】データ変換の結果得られた位相幾何学的デー
タを可視化して示す図である。
タを可視化して示す図である。
【図38】 基本情報のデータ構成図である。
【図39】 ハート型オブジェクトの位相幾何学的デー
タを可視化して示す図である。
タを可視化して示す図である。
【図40】 データの逆変換の手順を示すフローチャー
トである。
トである。
【図41】 データ逆変換器の構成図である。
【図42】 ガイディングカーブと輪郭線で形成される
四辺形領域を示す図である。
四辺形領域を示す図である。
【図43】 図42の四辺形領域にとられた格子点を示
す図である。
す図である。
【図44】 図42の四辺形領域にとられたポリゴンを
示す図である。
示す図である。
【図45】 データ変換および逆変換を行うシステムの
構成図である。
構成図である。
【図46】 図45の応用例であるサーバ・クライアン
トシステムの構成図である。
トシステムの構成図である。
【図47】 図46のシステムの動作を示すフローチャ
ートである。
ートである。
1 構造グラフ生成装置、2 データ入力部、3 モー
ス関数決定部、4 特異点検出部、5 特異点接続情報
取得部、10 データ編集装置、20 データ変換器、
21 データ入力部、22 構造グラフ生成部、23
断面生成部、24 輪郭線円滑化部、25 輪郭線情報
取得部、30 レンダリング部、31曲面パッチ生成
部、32 可視化部、40 表示制御部、41 ポリゴ
ンデータ記憶部、42 位相幾何学的データ記憶部、4
3 表示装置、50 断面を表す線、52 修正された
断面を表す線、70 データ逆変換器、71 データ入
力部、72 データ構造解析部、73 ポリゴン頂点定
義部、75 位相幾何学的データ記憶部、76 ポリゴ
ンデータ記憶部、80 四辺形領域、90 データ変換
器、91 データ逆変換器、92 第1記憶部、93
第2記憶部、94第3記憶部、95 オブジェクト指定
部、96 ポリゴン数指定部、100 サーバ・クライ
アントシステム、110 サーバ、111 第1サーバ
記憶部、112 データ変換器、113 第2サーバ記
憶部、114 第1通信部、120クライアント、12
1 第2通信部、122 第1クライアント記憶部、1
23 データ逆変換器、124 第2クライアント記憶
部、130 ネットワーク。
ス関数決定部、4 特異点検出部、5 特異点接続情報
取得部、10 データ編集装置、20 データ変換器、
21 データ入力部、22 構造グラフ生成部、23
断面生成部、24 輪郭線円滑化部、25 輪郭線情報
取得部、30 レンダリング部、31曲面パッチ生成
部、32 可視化部、40 表示制御部、41 ポリゴ
ンデータ記憶部、42 位相幾何学的データ記憶部、4
3 表示装置、50 断面を表す線、52 修正された
断面を表す線、70 データ逆変換器、71 データ入
力部、72 データ構造解析部、73 ポリゴン頂点定
義部、75 位相幾何学的データ記憶部、76 ポリゴ
ンデータ記憶部、80 四辺形領域、90 データ変換
器、91 データ逆変換器、92 第1記憶部、93
第2記憶部、94第3記憶部、95 オブジェクト指定
部、96 ポリゴン数指定部、100 サーバ・クライ
アントシステム、110 サーバ、111 第1サーバ
記憶部、112 データ変換器、113 第2サーバ記
憶部、114 第1通信部、120クライアント、12
1 第2通信部、122 第1クライアント記憶部、1
23 データ逆変換器、124 第2クライアント記憶
部、130 ネットワーク。
Claims (46)
- 【請求項1】 オブジェクトの形状を表すポリゴンデー
タからそのオブジェクトの位相情報を抽出することによ
って、そのオブジェクトの骨格グラフを生成することを
特徴とするオブジェクトの構造グラフ生成方法。 - 【請求項2】 前記位相情報は、オブジェクトに対して
モース関数を設定したときに定まる特異点に関する情報
を含む請求項1に記載の方法。 - 【請求項3】 前記骨格グラフは、前記特異点をノード
として含むグラフである請求項2に記載の方法。 - 【請求項4】 前記特異点をノードとして含むグラフは
レーブグラフである請求項3に記載の方法。 - 【請求項5】 オブジェクトの形状を表すポリゴンデー
タを取得する工程と、 そのポリゴンデータに関するモース関数の特異点を検出
する工程と、 特異点どうしの接続情報を取得する工程と、 を含み、特異点とそれらの接続情報を用いてオブジェク
トを記述することを特徴とするオブジェクトの構造グラ
フ生成方法。 - 【請求項6】 前記モース関数は高さ関数である請求項
5に記載の方法。 - 【請求項7】 ポリゴンの辺を辿ることによって特異点
どうしの接続情報を取得する請求項5、6のいずれかに
記載の方法。 - 【請求項8】 オブジェクトの形状を表すポリゴンデー
タからそのオブジェクトの位相情報を抽出し、前記ポリ
ゴンデータを、前記位相情報を利用した位相幾何学的な
モデリングに基づくデータへ変換することを特徴とする
オブジェクトのデータ変換方法。 - 【請求項9】 オブジェクトの位相情報を利用する位相
幾何学的なモデリングに基づくデータを取得し、そのモ
デリングにおけるオブジェクトの表現形式に注目して前
記データをポリゴンデータへ変換することを特徴とする
オブジェクトのデータ変換方法。 - 【請求項10】 前記表現形式は、オブジェクトの曲面
をパラメトリックに表示する式を含み、そのパラメータ
値を離散的に与えることでポリゴンの頂点を定義する請
求項9に記載の方法。 - 【請求項11】 前記位相幾何学的なモデリングは、ホ
モトピー理論を用いたモデリングである請求項8、9の
いずれかに記載の方法。 - 【請求項12】 前記位相幾何学的なモデリングは、特
異点に関するモース理論を用いる請求項8、9のいずれ
かに記載の方法。 - 【請求項13】 前記位相幾何学的なモデリングは、オ
ブジェクトの構造を示す骨格グラフを用いる請求項8、
9のいずれかに記載の方法。 - 【請求項14】 前記骨格グラフはレーブグラフである
請求項13に記載の方法。 - 【請求項15】 前記位相情報は、オブジェクトに対し
てモース関数を設定したときに定まる特異点に関する情
報を含む請求項8、9のいずれかに記載の方法。 - 【請求項16】 前記特異点に関する情報は、特異点の
指数を含む請求項15に記載の方法。 - 【請求項17】 前記特異点に関する情報は、特異点間
の接続情報を含む請求項15に記載の方法。 - 【請求項18】 前記位相情報は、オブジェクトの断面
の輪郭線情報を含む請求項8、9のいずれかに記載の方
法。 - 【請求項19】 前記輪郭線情報は、輪郭線間の包含関
係に関する情報を含む請求項18に記載の方法。 - 【請求項20】 前記輪郭線情報は、輪郭線間の対応情
報を含む請求項18に記載の方法。 - 【請求項21】 ポリゴンの辺を辿ることによって前記
輪郭線間の対応情報を取得する請求項20に記載の方
法。 - 【請求項22】 前記位相幾何学的なモデリングは、さ
らにオブジェクトに関する幾何情報を利用する請求項
8、9のいずれかに記載の方法。 - 【請求項23】 前記幾何情報は、オブジェクトに対し
てモース関数を設定したときに定まる特異点に関する情
報を含む請求項22に記載の方法。 - 【請求項24】 前記特異点に関する情報は、特異点の
座標を含む請求項23に記載の方法。 - 【請求項25】 前記幾何情報は、オブジェクトの断面
の輪郭線情報を含む請求項22に記載の方法。 - 【請求項26】 オブジェクトの高さ方向と前記断面が
直交するようその断面がとられる請求項25に記載の方
法。 - 【請求項27】 前記断面は、輪郭線の少なくとも一部
がポリゴンの辺で形成されるようにとられる請求項25
に記載の方法。 - 【請求項28】 前記輪郭線情報は、輪郭線に当てはめ
られた自由曲線の式である請求項25に記載の方法。 - 【請求項29】 前記幾何情報は、オブジェクトの断面
の輪郭線どうしの対応点をつなぐ経路の形状情報を含む
請求項22に記載の方法。 - 【請求項30】 前記経路はポリゴンの辺によって形成
される請求項29に記載の方法。 - 【請求項31】 前記経路の形状情報は、前記経路を形
成するポリゴンの頂点を制御点とする自由曲線式である
請求項30に記載の方法。 - 【請求項32】 オブジェクトの形状を表すポリゴンデ
ータを取得する工程と、 そのポリゴンデータに関するモース関数の特異点を検出
する工程と、 特異点どうしの接続情報を取得する工程と、 オブジェクトの断面の輪郭線情報を取得する工程と、 を含むことを特徴とするオブジェクトのデータ変換方
法。 - 【請求項33】 オブジェクトの位相構造に注目するこ
とより、そのオブジェクトの形状を表すポリゴンデータ
を曲面データへ変換することを特徴とするデータ変換方
法。 - 【請求項34】 オブジェクトの形状を表すポリゴンデ
ータを入力する手段と、 そのポリゴンデータからオブジェクトの位相情報を抽出
することによってオブジェクトの骨格グラフを生成する
手段と、 を含むことを特徴とするオブジェクトの構造グラフ生成
装置。 - 【請求項35】 前記骨格グラフを生成する手段は、 ポリゴンデータに対してモース関数を設定する手段と、 そのモース関数に対して定まる特異点を検出する手段
と、 検出された特異点間の接続情報を取得する手段と、 を含む請求項34に記載の装置。 - 【請求項36】 オブジェクトの形状を表すポリゴンデ
ータを入力する手段と、 入力されたポリゴンデータからオブジェクトの位相情報
を抽出することによってオブジェクトの骨格グラフを生
成する手段と、 入力されたポリゴンデータから、オブジェクトの断面の
輪郭線情報を取得する手段と、 を含むことを特徴とするオブジェクトのデータ変換装
置。 - 【請求項37】 前記骨格グラフを生成する手段は、 ポリゴンデータに対してモース関数を設定する手段と、 そのモース関数に対して定まる特異点を検出する手段
と、 検出された特異点間の接続情報を取得する手段と、 を含む請求項36に記載の装置。 - 【請求項38】 オブジェクトの位相情報を利用する位
相幾何学的なモデリングに基づくデータを入力する手段
と、 そのモデリングにおけるオブジェクトの表現形式に注目
して前記データをポリゴンデータへ変換する手段と、 を含むことを特徴とするオブジェクトのデータ変換装
置。 - 【請求項39】 前記データをポリゴンデータへ変換す
る手段は、 入力されたデータの構造を解析して曲面を構成する要素
を抽出する手段と、 その要素から得られる曲面上で離散的にポリゴンの頂点
を定義する手段と、 を含む請求項38に記載の装置。 - 【請求項40】 オブジェクトの形状を表すポリゴンデ
ータを位相幾何学的なモデリングに基づくデータへ変換
する手段と、 その結果得られたデータを記憶する手段と、 記憶されたデータを読み出し、そのデータ構造を解析し
てこれをポリゴンデータへ逆変換する手段と、 を含むことを特徴とするオブジェクトのデータ変換シス
テム。 - 【請求項41】 逆変換によって得られるべきポリゴン
の概数を指定する手段をさらに含み、前記逆変換する手
段はその指定内容にしたがって必要数のポリゴンを生成
する請求項40に記載のシステム。 - 【請求項42】 データを逆変換すべきオブジェクトを
指定する手段をさらに含み、前記逆変換する手段はその
指定内容にしたがって必要なオブジェクトのデータを逆
変換する請求項40に記載のシステム。 - 【請求項43】 このシステムはサーバ・クライアント
システムであり、サーバとクライアントはそれぞれ通信
手段を有し、クライアントがサーバに対してあるオブジ
ェクトのデータを要求したとき、そのオブジェクトに対
応する位相幾何学的なモデリングに基づくデータがサー
バからクライアントに送信される請求項40に記載のシ
ステム。 - 【請求項44】 前記逆変換する手段はクライアント側
に設けられ、クライアントに送信された位相幾何学的な
モデリングに基づくデータがクライアント側でポリゴン
データへ逆変換される請求項43に記載のシステム。 - 【請求項45】 オブジェクトの形状を表すポリゴンデ
ータからそのオブジェクトの位相情報を抽出する手順
と、 前記ポリゴンデータを、前記位相情報を利用した位相幾
何学的なモデリングに基づくデータへ変換する手順と、 をコンピュータに実行せしめるプログラムを記録したこ
とを特徴とするコンピュータ読み取り可能な記録媒体。 - 【請求項46】 オブジェクトの位相情報を利用する位
相幾何学的なモデリングに基づくデータを取得する手順
と、 そのモデリングにおけるオブジェクトの表現形式に注目
して前記データをポリゴンデータへ変換する手順と、 をコンピュータに実行せしめるプログラムを記録したこ
とを特徴とするコンピュータ読み取り可能な記録媒体。
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