JPH10111803A - 論理式の対話的証明構築装置 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【課題】本発明は対話的証明構築装置に関し，証明の各
導出ステップにおいて検証すべき付帯条件または除去さ
れている仮定を即座に知ることができる証明の内部表現
を採用してメタ変数の具体化による付帯条件の再検証や
証明の分離による仮定式の再ラベル付けを効率的に行う
ことを目的とする。 【解決手段】コマンド入力部，メタ変数を使用した証明
を表示する証明表示部，証明データを内部表現の形式で
記憶する証明データ記憶部及び内部表現処理部とを備え
る。内部表現処理部は証明表示部に表示されたメタ変数
と推論規則を含む証明に対し，前記コマンド入力部から
の指示に対応した証明を生成し，各証明の内部表現に証
明の各導出過程に適用される導出規則の付帯条件または
その導出の際に除去された仮定に関する情報の一方また
は両方を付加して証明データ記憶部に保持するよう構成
する。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は計算機を利用した論
理式の対話的証明構築装置に関し，特に対話的な証明エ
ディタにおいて，自由に具体化することのできるメタ変
数を使用した証明や証明木の分離による証明木の再利用
を行うための論理式の対話的証明構築装置に関する。

【０００２】数理論理学は，数学的な議論の仕方そのも
のを形式化した理論であり，これがプログラムの正し
さ，同一性の証明を厳密に行う場合に利用できるように
なった。プログラミング言語は形式的な言語であり，そ
のコマンド，ステートメント等の各部品に対し形式的な
意味を与えて，そのプログラムが作成者の意図したとう
りの働きをすることを証明する場合に利用されるように
なった。同様にハードウェアの検証についても適用する
ことができる。

【０００３】対話的な証明エディタを使用して効率的に
証明を行うには，人間の行う証明スタイルに則した証明
方法を支援することが要求されている。人間の行う証明
には，通常の導出規則の適用による証明方法のほかにメ
タ変数を使用して証明した補題及び定理を状況に応じて
具体化して証明の一部で使用したり，既に構築した証明
の一部分を一旦切離し，具体化し他の証明と結合した
り，導出規則のように利用する方法などがある。

【０００４】

【従来の技術】証明の中で使用されている推論規則に
は，規則を適用する際に満たされていなければならない
制約（付帯条件）を持つものや，仮定を除去するものが
あり，メタ変数の具体化や証明の分離，結合を行うこと
によって証明が不正なものとなる可能性がある。従っ
て，このような証明方法を支援するためには，付帯条件
の再検証や仮定に付されているラベルの付替の技術が必
要である。

【０００５】

【数１】

【０００６】上記式（１）は，∧の導入規則と呼ばれる
推論規則を表しており，ＡとＢがそれぞれ成立つ時に，
Ａ∧Ｂ（Ａが成立ち，しかもＢも成立つことを意味する
論理式）を結論として導出することを意味する。

【０００７】式（２）は，⊃の導入規則を表しており，
Ａという仮定のもとでＢが導出されている時に，Ａ⊃Ｂ
（Ａが成立つならば，Ｂが成立つことを意味する論理
式）を結論として導出することを意味する。なお，この
推論規則の適用の際には，仮定としてのＡは意味的に結
論式Ａ⊃Ｂに含まれるので，証明中のＡはもはや仮定と
しての意味を持たなくなる。このような仮定を除去され
た仮定と呼び，他の仮定と区別するために“［”
と“］”でくくる。

【０００８】

【数２】

【０００９】上記の式（３）は，∀の導入規則を表して
おり，Ｆ(y/x) という論理式（変数を含む論理式Ｆ(x)
中のすべてのｘにｙを代入した論理式）が成立つ時に，
∀x.Ｆ(x) （全てのｘに対してＦ(x) が成立つことを意
味する論理式）を導出することを意味する。但し，この
推論規則を適用するためには「変数ｙはＦ(y/x) を導出
する証明中の全ての除去されていない仮定（以後，開い
た仮定と呼ぶ）に自由に出現しない」という条件が成立
している必要がある。このように，ある規則を適用する
際に，満たされていなければならない条件を付帯条件と
呼ぶ。

【００１０】証明は，公理，定理，仮定の上記のような
推論規則や，幾つかの推論規則を組合わせた派生規則な
どの導出規則を繰り返し適用して構成される図式であ
る。メタ変数を使用して構築した証明木を具体化する際
には，具体化する以前には充足されていた推論規則の付
帯条件が成立しなくなることがあり，得られた証明が不
正なものとなる場合がある。例えば，ｘ，ｙを任意の変
数を表すメタ変数Ａ，Ｂを任意の論理式を表すメタ変数
とし，次の式（４）の証明を考える。

【００１１】

【数３】

【００１２】但し式（４）では，ここでの説明に関係な
い仮定が“・・・”で省略してあり，全ての開いた仮定
にｘは自由に出現していないものとする。そして，横線
右側の∀Ｉは，この導出ステップで適用された推論規則
を表している。∀Ｉは∀の導入規則（Introduction rul
e)を表す。上記の式（４）については，この中のメタ変
数ｘ，ｙ，Ａ，Ｂをそれぞれｕ，ｕ，Ｃ，Ｄで具体化す
ると，証明は形式的に，式（５）となる。

【００１３】

【数４】

【００１４】しかし，次の上記の式（３）に示す推論規
則∀Ｉは，付帯条件“（NOT-FREE-IN-ASSM "y" "F(y/
x)")" ( 「変数ｙはF(y/x)を導くすべての開いた仮定に
自由に出現しない」という意味を表す形式的表現）をも
つ。

【００１５】この式（３）の付帯条件を具体化する以前
の証明に照らし合わせると，（NOT-FREE-IN-ASSM "x" "
A(x/y)")であり，これは「ｘがA(x,y)を導くすべての開
いた仮定に自由に出現しない」という制約を表し，実際
に成立している。ところが，具体化した後では，（NOT-
FREE-IN-ASSM "u" "C(u,u)")であり，「ｕがC(u,u)を導
くすべての仮定に自由に出現しない」ことを意味する
が，この証明には D(u) という仮定が使用され，Ｄ(u)
中にはｕが自由に出現するために, この付帯条件は成立
していない。したがって，得られた証明は不正なもので
あり，施した具体化が適切ではなかったことを意味す
る。このような，メタ変数の具体化の際には，付帯条件
の再検証が不可欠である。

【００１６】また，規模の大きな証明があった場合，そ
の一部分を切り離して利用して証明を効率化したい場合
がある。その一部分の証明を分離する際には，分離する
以前には除去されていた仮定が証明を分離することによ
って，開いた仮定となることがある。例えば，次の式
（６）の証明について，

【００１７】

【数５】

【００１８】＊印が付いている論理式Ｃの上下で証明を
分離する場合を考えると，結果は以下の式（７），
（８）のようになる。

【００１９】

【数６】

【００２０】この時，（７）の証明図については，最初
の証明図の中で除去されていた仮定Ａ（仮定番号１）と
Ａ⊃Ｂ（仮定番号２）が，開いた仮定に変更されてい
る。一方，（８）の証明図については，Ａ（仮定番号
１）とＡ⊃Ｂ（仮定番号２）が除去された仮定として残
っている。このように，証明を分離する際には，分離を
行う個所から結論までの導出に出現する推論規則によっ
て，どの仮定が除去されているのかを調べ，証明を補う
必要がある。

【００２１】従来の対話型証明エディタでは，証明の内
部表現はせいぜい全体の証明の中の各論理式間の導出の
関係のみを表現しているに過ぎない。例えば，仮定と結
論の関係のみしか保持していないものもある。そして，
推論規則の付帯条件のチェックは，その規則を適用する
時点でのみ行われている。

【００２２】付帯条件は，推論規則に出現する記号を使
用して規定されているので，規則と同様に一種のパター
ンであるということができる。そのため，付帯条件のチ
ェックを行うには，規則の前提式や結論式を証明の適用
個所の論理式とパターンマッチングして具体化するのと
同様に，付帯条件も具体化する必要がある。

【００２３】しかし，従来の内部表現は具体化に関する
情報を含まないので，規則を適用し終わった後で，付帯
条件の検証を行うためには，規則の前提式や結論式のパ
ターンマッチング（元の変数と具体化の対応関係を検証
すること）を再度行わなければならない。また，証明の
分離に関しても，従来の対話型証明エディタには取り入
れられていない機能であるが，あえて行うとすれば，証
明の分離された部分の各導出ステップを順に操作し，全
ての仮定に対して除去されているか否かをチェックする
方法が考えられる。

【００２４】

【発明が解決しようとする課題】従って，従来の方法で
は規模の大きな証明を行う際に，メタ変数の具体化によ
る付帯条件の再検証や証明の分離による仮定式の再ラベ
ル付けに時間を要し，効率的な証明作業を行うことがで
きないという問題を生じていた。

【００２５】本発明は証明の各導出ステップにおいて検
証すべき付帯条件または除去されている仮定を即座に知
ることができる証明の内部表現を採用することにより，
メタ変数の具体化による付帯条件の再検証や証明の分離
による仮定式の再ラベル付けを効率的に行うことができ
る論理式の対話的証明構築装置を提供することを目的と
する。

【００２６】

【課題を解決するための手段】図１は本発明の原理構成
図である。図中，１はコマンド入力部，２は証明表示
部，３は内部表現処理部，４は証明データ記憶部であ
る。

【００２７】利用者は証明表示部２に表示されている証
明図をみて，その証明に対して次に何を行えばよいかを
コマンド入力部１からコマンドによって指示する。証明
表示部２に表示される証明は，証明データ記憶部４に内
部表現形式で保持され，利用者からのコマンドに従っ
て，証明の内部表現は内部表現処理部３において更新さ
れ，再び証明データ記憶部４に記憶される。この内部表
現処理部３で生成される証明の内部表現は，各導出ステ
ップに対応する個所にその導出を行うために成立する必
要がある付帯条件と，その導出の際に除去された仮定を
示すラベルが付加されたものである。

【００２８】本発明では，証明の各導出ステップに対応
する部分に，付帯条件を具体化した情報と除去された仮
定に付与されているラベルを組込み，メタ変数を具体化
する際には付帯条件も同時に具体化することで，検証す
べき付帯条件が常に証明の状況にあった形式で証明の内
部表現中に与えられているため，付帯条件の再検証の際
にパターンマッチングを行う必要がなく，検証を効率良
く行うことが可能となる。

【００２９】また，証明の分離の際には，分離する個所
から結論式までの導出過程が除去されている過程を即座
に知ることができ，これらの過程に付与されている「除
去された」（discharged) というラベルを, 「仮定」(a
ssumption)に変更するだけで良く, すべての仮定を抽出
し, それぞれに対して除去されているかどうかをしらみ
つぶしに調べ上げる必要がなく, 効率良く分離された証
明を構成することができる。

【００３０】

【発明の実施の形態】本発明による証明の内部表現は次
のようなリスト形式で与える。 ａ．公理と定理 公理と定理はそれぞれ自身が完結した証明であり，次の
ような形式で表す。

【００３１】 公理 ((axion . "名前") . "論理式の内部表現") 定理 ((theorem . "名前") . "論理式の内部表現") ｂ．仮定 このデータはコマンド入力部１から与えられ証明データ
記憶部４に記憶される。仮定には通常の意味の仮定と既
に除去された仮定の２種類があり，次のような構造を持
つ。

【００３２】仮定 ((assumption . "仮定のラベル")
. "論理式の内部表現") 除去された仮定 ((discharged . "仮定のラベル") .
"論理式の内部表現") は通常の仮定式（開いた仮定）で，まだ除去されてい
ないものを表し，は何らかの推論によって除去された
仮定である。従って，後者のタイプの仮定はそれ自身単
独で証明として出現することはない。“仮定のラベル”
は各仮定に付けられた識別番号（仮定の右肩に付与され
る数字）で，同じ番号を持つ仮定は同一のものとして扱
われる。このように仮定について内部表現を行うことに
より，証明の結論においてもこれらの内容が証明の内部
表現に残っているため従来のようなパターンマッチング
を行う必要がなくなる。

【００３３】ｃ．ある規則によって導出された証明 このデータは幾つかの証明からある導出規則を適用して
得られる証明のデータ形式であり，次のような内部表現
となる。

【００３４】 (( "結論式の内部表現". (( "適用された規則の名前" "規則の付帯条件" "除去された仮定のラベルのリスト"). ("証明の内部表現1" … "証明の内部表現n"))) また，上記ｃ．の内部表現中の "規則の付帯条件" は，
次のような表現形式のリストとする。一方，FREE-FOR,N
OT-FREE,NOT-FREE-IN-ASSMは予約語で，この文字列その
ものを指している。

【００３５】(FREE-FOR Term Variable Formula) :代
入可能条件を表し, 論理式｜Formula ｜の中の変数Vari
ableに項｜Term｜を代入しても, 新たに束縛される変数
がない。

【００３６】(NOT-FREE Variable Formula) : 変数出
現条件を表し, 論理式｜Formula ｜の中に変数｜Variab
le｜が自由に出現しない。 (NOT-FREE-IN-ASSM Variable Formula):固有変数条件
を表し，論理式｜Formula ｜を導くすべての開いた仮定
に変数｜Variable｜が自由に出現しない。

【００３７】図２は本発明による内部表現の例であり，
Ａ．は証明であり，Ｂ．はその内部表現である。Ｂ．に
示すリストの(1) は，Ａ．の結論式の内部表現であ
り，Ｂ．の(2) の部分は適用された推論規則を表し，
Ａ．のに対応し，Ｂ．の(3) の部分はＡ．のに対応
する。また，Ｂ．の(4) の部分は導出規則を表し，Ａ．
の式のに対応する。この(4) の第１要素は導出規則の
名前を表し，第２要素" nil"は付帯条件なしを意味し，
第３要素“２”はこの導出ステップで除去された仮定の
識別番号（ラベル）を表し，Ｂ．の(8) の除去された仮
定のラベル２に対応する。また，Ｂ．の(5) はＡ．の
に対応し，Ｂ．の(6) はＡ．のに対応する。次にＢ．
の(7),(8) はそれぞれ，Ａ．ののＡ（ラベル１を持つ
仮定）とＢ(x) （ラベル２の除去された仮定）に対応す
る内部表現を表す。Ｂ．の(9) 〜(11)はそれぞれ，Ｂ．
の(5),(3),(1) の各内部表現の終端を表す。

【００３８】図３は実施例の構成図である。図中，１〜
４は図１で示した各符号と同様であり，１はコマンド入
力部，２は証明表示部，３は内部表現処理部，４は証明
データ記憶部であり，５は論理系データ記憶部である。

【００３９】図２の内部表現処理部３において，３０は
導出規則の適用を処理する導出規則適用部，３１はメタ
変数具体化処理部，３２は証明の中の一部を分離するた
めの証明分離処理部，３３は分離された証明を結合する
ための証明結合処理部，３４は証明について証明中の付
帯条件の検証を行う付帯条件検証部である。

【００４０】また，図３の論理系データ記憶部５におい
て，５０は公理記憶部，５１は推論規則記憶部，５２は
上記記載した形式で記憶された定理記憶部である。な
お，証明データ記憶部４の中の完成した証明の結論式は
定理とみなして論理系記憶部５の定理記憶部５２に格納
される。

【００４１】図３に示す実施例の構成の内部表現処理部
３を構成する３０〜３４で示す各部の処理フローを図４
乃至図８を用いて説明する。なお，各処理において，論
理系データ記憶部５の公理記憶部５０の公理データ，推
論規則記憶部５１の推論規則データ，及び定期記憶部５
２の推論規則データを用い，証明データは証明データ記
憶部４に格納する。

【００４２】図４は導出規則適用部（図３の３０）の処
理フローである。最初に，入力として証明Ｐ１，…，Ｐ
ｎと，適用する規則Ｒと適用個所を与える（図４のＳ
１）。次に規則Ｒを適用するのに必要な前提と仮定の個
数がｎ及び適用個所とそれぞれ一致するか判別し（図４
のＳ２），一致しないと導出失敗として終了する。一致
する場合，規則Ｒの前提式及び仮定式がそれぞれ適用個
所として指定した論理式とパターンマッチさせ，その具
体化をＩとする（図４のＳ３）。パターンマッチングが
成功したか判別し（図４のＳ４），成功しないと導出失
敗として終了するが，成功すると規則Ｒ中のメタ変数が
全てＩで具体化されるか判別し（同Ｓ５），具体化され
ない場合は，Ｉによって具体化の決定されていないメタ
変数に対する具体化を求め，Ｉにそれを加えて再びＩと
する（同Ｓ６）。上記Ｓ５において全てＩが具体化され
ている場合，及び前記Ｓ６の処理に続いてＲの結論式と
付帯条件をそれぞれＩで具体化する（同Ｓ７）。次に付
帯条件が充足されるかどうか調べ（同Ｓ８），充足され
ないと導出失敗とし，充足される場合は規則Ｒを適用後
の証明を作る（同Ｓ９）。

【００４３】図５はメタ変数具体化処理部（図３の３
１）の処理フローである。入力として証明Ｐと具体化Ｉ
が与えられ，最初にＰが公理，定理または仮定式の何れ
かであるか判別し（図５のＳ１），該当すると，Ｐの論
理式の部分をＩで具体化したＰ’を出力する。該当しな
いと，Ｐの結論式をconcという内部表現処理部３内のメ
モリ（図示省略）の領域に格納し, Ｐのconcを導出して
いる規則の名前をruleという領域に格納し, ruleの付帯
条件をside condという領域に設定し，ruleによって除
去されている仮定のラベルのリストをメモリのdisch
listというリストの領域に格納し,rule を適用する前提
となっている証明のリストをproof listというリスト
の領域に格納する（図５のＳ２）。続いて，上記のproo
f list の各証明に対してこの処理を再帰的に適用し
て得られる証明のリストをproof list に格納する
（同Ｓ３）。更に，上記のconcの内容をＩで具体化した
式に変更し，上記のside condもＩで具体化したものに
変更する（図５のＳ４）。最後に，上記のconc,rule,si
de cond ,disch,list及びproof listから再構成し
た証明をＰ’に格納して（同Ｓ５），メタ変数を具体化
したＰ’を出力する。

【００４４】規模の大きな証明Ｐに対して，その一部を
分離する処理は証明分離処理部３２で行われるが，図６
は証明分離処理部の処理フローである。初めに，証明表
示部（図３の２）に表示された証明Ｐの中の分離を施す
個所Ｆを指定する。これに応じて，分離点の上下で証明
Ｐを切断し，Ｆを根にもつＰの部分証明木をＰ１とし，
ＰからＰ１を除いた証明木をＰ２とする（図６のＳ
１）。次に証明の内部表現から，ＰにおいてＦから結論
式を導くに至る導出で除去された仮定のラベルのリスト
をメモリのＬの領域に格納する（同Ｓ２）。続いて，Ｐ
１中の上記Ｌで示される仮定のラベルを除去（discharg
ed) から仮定(assumption)にした証明をＰ１に格納する
（図６のＳ３）。更に，Ｐ２中のＦの部分に上記Ｌで示
される除去された仮定を追加した証明をＰ２に格納する
（同Ｓ４）。

【００４５】２つの証明を結合して一つの証明を得る処
理が証明結合処理部（図３の３３）で行われ，図７に証
明結合処理部の処理フローを示す。入力として証明Ｐ
１，Ｐ２とＰ２中の論理式Ｆを与えると，Ｆをパターン
として扱ってＦがＰ１の結論式とパターンマッチするか
判別する（図７のＳ１）。マッチしない場合は，Ｐ１の
結論式をパターンとして扱ってこれがＦとパターンマッ
チするか判別する（同Ｓ６）。マッチしないと結合が失
敗したことになるが，マッチした場合，Ｐ１の結論式と
Ｆをパターンマッチさせる具体化を行って内部表現処理
部（図３の３）のメモリ（図示省略）の領域Ｉに格納す
る（同Ｓ７）。この後，Ｐ１中のメタ変数がすべてＩに
よって具体化されるか判別し（同Ｓ８）。すべて具体化
されないと，Ｉで具体化されないＰ１のメタ変数に対す
る具体化を行いＩに格納する（同Ｓ９）。上記Ｓ８にお
いてＩによって全て具体化された場合及びＳ９の処理に
続いて，Ｐ１に具体化Ｉを施したものをＰ１に格納する
（同Ｓ１０）。これによりＰ１がＰ２と結合できる形式
になる。

【００４６】また，上記Ｓ１において，ＦがＰ１の結論
式とパターンマッチした場合，ＦをＰ１の結論式とパタ
ーンマッチさせる具体化を行って領域Ｉに格納する（図
７のＳ２）。次にＰ２中のメタ変数がすべてＩによって
具体化されるか判別し（同Ｓ３），全て具体化されない
場合は，Ｉで具体化されないＰ２のメタ変数に対する具
体化を行い領域Ｉに格納する（同Ｓ４）。上記Ｓ３です
べて具体化された場合及びＳ４の処理に続いて，Ｐ２に
具体化Ｉを施したものを領域Ｐ２に格納する（同Ｓ
５）。これによりＰ２はＰ１と結合できる形式になる。

【００４７】このＳ５の処理に続いてＳ１１に移行し，
Ｐ２中のＦをＰ１で置き換えて結合した結果を領域Ｐに
格納し，Ｐの内容が出力される。本発明では，証明の各
導出ステップに対応する部分に付帯条件を具体化した情
報と除去された仮定に付与されているラベルを組み込
み，メタ変数を具体化する時に，付帯条件も同時に具体
化されているため，検証すべき付帯条件が常に証明の状
況に合った形式で証明の内部表現中にあるため，付帯条
件検証部（図３の３４）では，付帯条件の再検証の際に
パターンマッチングを行う必要がない。

【００４８】図８は付帯条件検証部の処理フローであ
る。入力として証明Ｐが与えられると，Ｐが公理，定理
または仮定式の何れであるか判別し（図８のＳ１），そ
の何れかに該当すると検証成功となるが，何れにも該当
しないと，Ｐの結論式を導出している規則に付与されて
いる付帯条件のリストをメモリのside cond listとい
う領域に格納する（同Ｓ２）。次にこのリストが空リス
トか判別し（同Ｓ３），空リストでない場合は，side
cond listの最初の要素をside condの領域に格納する
（同Ｓ４）。次にこのside condが成立しているか判別
し（同Ｓ５），成立されていないと検証失敗となるが，
成立されている場合は，side cond listの領域からsi
de condを除いて残りのリストをside cond listとす
る（同Ｓ６）。この後，Ｓ３に戻って，同様の処理を繰
り返す。こうして，side cond listの領域が空リスト
になると，Ｓ７に移行し，ここで，ruleを適用するため
の前提となっている証明のリストをproof list に格
納する（図８のＳ７）。次にproof list の各証明に
対してこの処理（上記Ｓ１〜Ｓ６）を再帰的に行い，す
べての処理が検証失敗に到ることなく終了したなら検証
成功の結果が得られる。

【００４９】本発明の証明構築装置による証明を具体例
により説明する。推論規則∀Ｉ

【００５０】

【数７】

【００５１】は，付帯条件として（NOT-FREE-IN-ASSM "
y" "F(y/x)")を持つ。但し, この付帯条件の意味は「y
はF(y/x)を導くすべての開いた仮定に自由に出現しな
い」である。

【００５２】この推論規則∀Ｉを，次の式（１０）に適
用する（この証明をΠとする）。

【００５３】

【数８】

【００５４】すると，推論規則中のＦ，ｙはそれぞれ
Ａ，ｙとパターンマッチし，次の式（１１）となる。

【００５５】

【数９】

【００５６】ここで，満たさなければならない付帯条件
は，（NOT-FREE-IN-ASSM "y" "A(y)")である。この証明
は，内部的には次のように表現されている。 （“∀ｘ．A(x)の内部表現”. (( "∀I"((NOT-FREE-IN-ASSM "y" "A(y)"))). ( “A(y)の内部表現”. …証明Πの内部表現… ))) この証明中のメタ変数Ａ，ｘ，ｙをそれぞれＢ，ｕ，ｖ
で具体化すると，証明と同様に付帯条件の表現も同時に
具体化され， （“∀ｕ．A(u)の内部表現”. (( "∀I"((NOT-FREE-IN-ASSM "v" "B(v)"))) . ( “B(v)の内部表現”. …証明Πの内部表現… ))) が得られる。付帯条件（NOT-FREE-IN-ASSM "v" "B(v)")
は，こうして得られた証明において検証すべき条件を表
す形となっている。

【００５７】従って，付帯条件の再検証を行う際には，
導出ステップの付帯条件部分を取り出すだけで済み，パ
ターンマッチングを行わずに付帯条件の検証を行うこと
が可能である。

【００５８】次に証明分離を具体例により説明する。上
記の式（６）に示す証明を，＊という印が付いている論
理式Ｃの上下で分離する場合は，まずこの証明を次のよ
うに機械的にＣの部分で分離させて，上記の式（７），
（８）にする。ここで，式（７）の証明に対しては，元
の証明中のＣから結論（Ａ⊃Ｂ）⊃（Ａ⊃Ｃ）までの導
出ステップを調べ，ラベル１及び２を持つ仮定が除去さ
れているのが分かるので，これらの仮定式に付与されて
いる“discharged”（除去された）というラベルを“as
sumption”に変更する。そして, 式（８）の証明に対し
ては，Ｃの仮定として，それより以下の導出で除去され
ているラベル１および２を持つ仮定式をＣに追加する。
こうして，得られた証明は上記式（７）と（８）と同じ
である。

【００５９】

【発明の効果】本発明によれば，証明構築時にメタ変数
を具体化する際の各導出ステップの付帯条件の検証また
は，証明木を分離する際の除去された仮定を開いた仮定
に変更することが容易となり，対話的証明エディタにお
ける証明作業の効率を向上することができる。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明の原理構成図である。

【図２】本発明による内部表現の例を示す図である。

【図３】実施例の構成図である。

【図４】導出規則適用部の処理フローを示す図である。

【図５】メタ変数具体化処理部の処理フローを示す図で
ある。

【図６】証明分離処理部の処理フローを示す図である。

【図７】証明結合処理部の処理フローを示す図である。

【図８】付帯条件検証部の処理フローを示す図である。

【符号の説明】

１ コマンド入力部 ２ 証明表示部 ３ 内部表現処理部 ４ 証明データ記憶部

Claims (4)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 コマンド入力部，メタ変数を使用した証
   明を表示する証明表示部，証明データを内部表現の形式
   で記憶する証明データ記憶部及び内部表現処理部とを備
   え，前記内部表現処理部は前記証明表示部に表示された
   メタ変数を含む証明に対し，前記コマンド入力部からの
   指示に対応した証明を生成し，各証明の内部表現に証明
   の各導出過程に適用される導出規則の付帯条件またはそ
   の導出の際に除去された仮定に関する情報の一方または
   両方を付加して前記証明データ記憶部に保持することを
   特徴とする論理式の対話的証明構築装置。
2. 【請求項２】 請求項１において，前記内部表現処理部
   は，付帯条件を具体化した情報と除去された仮定に付与
   されたラベルを組込み，メタ変数を具体化する際に付帯
   条件も同時に具体化して証明の内部表現中に設定して前
   記証明データ記憶部に保持し，作成途中の証明において
   前記保持された内部表現を用いて付帯条件の検証を行う
   ことを特徴とする論理式の対話的証明構築装置。
3. 【請求項３】 請求項１または２において，前記内部表
   現処理部は，前記証明表示部に表示された既存の証明の
   一部を分離するため分離個所を指示すると，指示された
   分離個所の論理式を境に分離された各証明に対し分離個
   所から結論式までの導出過程で除去されている仮定に付
   与されている情報を通常の仮定に変更して分離すること
   を特徴とする論理式の対話的証明構築装置。
4. 【請求項４】 請求項１または２において，前記内部表
   現処理部は，２つの証明の中の一方の証明中の指定され
   た論理式と他方の証明の結論式との間でパターンマッチ
   の検出を行い，一致が検出されると２つの証明の一方と
   前記指定された論理式をパターンマッチさせる具体化を
   行い，具体化された証明を用いて前記一方の証明中の前
   記指定された論理式を他方の証明で置き換えて証明の結
   合を行うことを特徴とする論理式の対話的証明構築装
   置。