JPH0573527A - 電磁場解析装置 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【目的】 マトリクスの状態やメモリ容量に応じた最適
な解法を選択する電磁場解析装置を提供する。 【構成】 入力されたデータから得られる剛性マトリク
スの要素からなる連立一次方程式の解法に直接法（コレ
スキー法）と反復法（ＩＣＣＧ法）を用意し、剛性マト
リクスの非零要素の数が計算機のメモリに納まる所定値
以下で、かつ電源の周波数ωが入力パラメータα以下で
あると反復法（ＩＣＣＧ法）により、それ以外は直接法
（コレスキー法）により連立一次方程式を解いて電磁場
を解析し、その結果をディスプレイ８およびまたはプリ
ンタ９に出力する。 【効果】 最適な解法を選択して電磁場解析を効率的に
行う。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【産業上の利用分野】本発明は、電磁場解析装置に関
し、特に有限要素法を用いて電磁場を解析する装置に関
する。

【０００２】

【従来技術】従来、マックスウェル方程式をもとに有限
要素法による近似を行い、計算の対象となる磁性部品を
微小領域に分割して磁界の計算を行うことが知られてい
る。ここで有限要素法について説明する。なお、「電気
工学の有限要素法」（中田高義，高橋則雄 著，森北出
版）を参考文献とした。

【０００３】磁界計算を行うためには以下に示す基礎方
程式のうち（１）式を解く必要がある。一般的には変数
の扱いを容易にするため（２）式，及び（３）式を加え
て（４）式を解くことが多い。

【０００４】ｒｏｔＨ＝Ｊ・・・（１） Ｈ：磁界強度（Ａ／ｍ），Ｊ：電流密度（Ａ／ｍ²） なお、Ｈ，Ｊはベクトルを表す。

【０００５】Ｂ＝μＨ・・・（２） Ｂ：磁束密度（Ｗｂ／ｍ²），μ：透磁率 なお、Ｂ，Ｈはベクトルを表す。

【０００６】Ｂ＝ｒｏｔＡ・・・（３） Ａ：ベクトルポテンシャル（Ｗｂ／ｍ） なお、Ｂ，Ａはベクトルを表す。

【０００７】（ｒｏｔν・ｒｏｔＡ）＝Ｊ・・・（４） ν（＝１／μ）：磁気抵抗率 なお、Ａ，Ｊはベクトルを表す。

【０００８】しかし、（４）式は偏微分方程式であるた
め、これを直接解くことは極めて困難である。そこで何
らかの近似を用いて解くことになりその方法として差分
法あるいは有限要素法がある。以下これらの近似法の具
体的な説明を行う。なお、簡単にするため（４）式を２
次元場（ｘ，ｙ座標のみ）で取り扱う。

【０００９】（４）式の２次元場での方程式は、

【００１０】

【数１】

【００１１】となり、２次元場では磁束密度はＢ_X，Ｂ_Y
しか存在しないように仮定しているためベクトルポテン
シャルはＡ_Z成分しかもたない。また電流はＺ方向に無
限長に流れている状態である。以後の説明ではＡ_Zを単
にＡと書く。

【００１２】有限要素法は、計算の対象とする領域を要
素と呼ばれる微小領域に分割し要素内のベクトルポテン
シャルＡの分布を単純な関数で近似して解析を行う方法
である。要素の形状についての制限はないが、例えば図
５に示すような三角形がよく用いられる。三角形の各頂
点を節点と呼び連続した番号がつけられ、要素にも連続
した番号がつけられる。

【００１３】今、（５）式を

【００１４】

【数２】

【００１５】とおくと、Ａが方程式を満す真の解であれ
ば、 ｆ（Ａ）＝０ となる。Ａが近似解Ａ′であったとすると ｆ（Ａ′）＝Ｒ となる。このＲの計算対象領域全体にわたる積分（和）
である ∬Ｒｄｘｄｙ が最小になるようにＡ′を求めれば、Ａ＝Ａ′とするこ
とができる。そこで各要素に関する重み関数を導入して
重みつき積分を行うようにすると実際の演算操作が可能
となり定量的にＡ′を求めることができる。

【００１６】∬Ｒ・Ｗｄｘｄｙ＝０・・・（６） この重み関数Ｗに補間関数と呼ばれるものを導入したの
が一般にガラーキン法と呼ばれている。要素内の任意の
点のポテンシャルはそれらの節点のポテンシャルの関数
として

【００１７】

【数３】

【００１８】と表現でき、この場合のＮ_iが補間関数で
ある。図５に示した三角形要素であると、例えば節点ｉ
に関しては、 Ｎ_i＝（１／２Ｓ）×（ｂ_i＋ｃ_iｘ＋ｄ_iｙ） Ｓ：三角形の面積 ｂ_i＝ｘ_jｙ_k−ｘ_kｙ_j ｃ_i＝ｙ_j−ｙ_k ｄ_i＝ｘ_k−ｘ_j ・・・（８） で定義される。そして（６）式は具体的に、

【００１９】

【数４】

【００２０】となり、（９）式を部分積分すると、

【００２１】

【数５】

【００２２】となる。この（１０）式において、

【００２３】

【数６】

【００２４】のように補間関数の微分に置き換えられ
る。補間関数の微分は（８）式により容易に求められ、 ∂Ｎ_i／∂ｘ＝ｃ_i／２Ｓ ∂Ｎ_i／∂ｙ＝ｄ_i／２Ｓ となる。このようにして（１０）式より１つの要素に関
し、その要素を構成する節点の数だけ連立方程式をたて
ることができる。各々の要素に関して（１０）式に基づ
く連立方程式を立て近接する要素間で共用される節点に
関して重ね合わされて最終的には節点の総数の元数を持
つ連立方程式ができる。この連立方程式を解くことによ
り近似解Ａ′を求めることができる。しかし、実際には
電流源の遠方にある端の境界部分の節点のポテンシャル
はＡ＝０とおき既知の値として扱うため元数が多少減っ
た連立方程式を解くことになる。

【００２５】以上の手続きの内、要素に分割する手続
き，連立方程式を計算する手続き，求まったＡの値から
（２）式および（３）式でＨ，Ｂを求める手続きはコン
ピュータで行い既知のＡの値のインプット，材料定数で
あるν_x，ν_y，電流条件などはオペレータによる。

【００２６】以上、有限要素法を２次元場において説明
したが、３次元場においても同様な手続きにより解くこ
とが可能である。

【００２７】このような有限要素法を用いた従来の電磁
場解析プログラムにおいて、電磁場を表わす偏微分方程
式の離散近似により得られる連立一次方程式の解法は一
種類しか用意していなかった。

【００２８】

【発明が解決しようとする課題】しかし、連立一次方程
式の解法は多数存在し、マトリクスの状態やメモリ容量
に応じて最適な解法は異なってくる。この連立一次方程
式の解法には大きく分けて直接法と反復法がある。直接
法は、決められた計算回数（マトリクスの次元の３乗の
オーダー）で解が求められるが計算のためマトリクス全
体のデータを扱わなければならない。このため、直接法
で計算する場合はディスクアクセスが多い。一方、反復
法は反復計算ごとに解ベクトルを修正して真の解に近づ
けていく方法で収束の速度はマトリクスによって大きく
異なり、場合によっては収束しないこともある。一般に
マトリクスの対角要素の非対角要素に対する相対値が大
きければ収束は速い。

【００２９】例えば、連立一次方程式Ａｘ＝ｂのマトリ
クスＡを、

【００３０】

【数７】

【００３１】とすると、マトリクスＡの対角優性度β、
すなわちマトリクスの各行において対角要素の絶対値が
その行の要素全ての絶対値の和に対してどれだけの割合
を占めるかを示す平均は次式で定義しうる。

【００３２】

【数８】

【００３３】ｎはマトリクスＡの次元を示す。この対角
優性度βの範囲は、０≦β≦１であり対角要素の割合が
大きければβは１に近づき、小さければ０に近づく。乱
数を使って適当なマトリクスを作り反復法の一つである
ＩＣＣＧ法で解いた結果を図６に示す。なお、マトリク
スの次元数は１００とし、ＩＣＣＧ法の収束の判定誤差
は１×１／１０⁶とした。これにより明らかに対角優性
度βの高い方が収束が速いことがわかる。

【００３４】また、３次元の交流定常状態の有限要素法
では、電磁場解析の基礎方程式は次式で表される。

【００３５】

【数９】

【００３６】ここで、σを導電率とすると次の関係が定
義される。

【００３７】

【数１０】

【００３８】基礎方程式（１１）式と、（１２），
（２），（３），（４）式に対してガラーキン法を適用
して連立一次方程式を作るとそのマトリクスは

【００３９】

【数１１】

【００４０】ｍは、解析対称の節点数を示す。（１３）
式の中のＫ_ij′は次式で示される。

【００４１】

【数１２】

【００４２】このマトリクスの各要素は、

【００４３】

【数１３】

【００４４】のようになる。（１３），（１４），（１
５）式より次の式が成立する。

【００４５】

【数１４】

【００４６】従って（１３）式のマトリクスは対称マト
リクスである。

【００４７】ここで、ν_xはｘ軸方向の磁気抵抗率，ν_y
はｙ軸方向の磁気抵抗率，ν_zはｚ軸方向の磁気抵抗
率，σ_xはｘ軸方向の導電率，σ_yはｙ軸方向の導電率，
σ_zはｚ軸方向の導電率，Ｎ_iは有限要素法における節点
ｉにおける補間関数，ω（＝２πｆ）は強制電流の周波
数をそれぞれ示す。ここで（１５）式の最下式の対角要
素はωに反比例している。よって強制電流の電源周波数
が高いほど対角要素の非対角要素に対する相対値は低く
なり、反復法の収束は遅くなる。これは、図７に示す実
測値からも分かるように強制電流の電源周波数がある値
（ｆ₀）より高くなる程、反復法の計算時間は直接法よ
りも遅くなる。

【００４８】この反復計算に必要なデータは、マトリク
スの非零要素と非零要素の位置を示すリストベクトルで
あり、有限要素法ではマトリクスの中で非零要素の占め
る割合は少ないので（粗行列）、反復法を用いればデー
タが計算機のメモリ上に載ることが多くなる。

【００４９】従って、直接法だけを用いた電磁場解析プ
ログラムはディスクアクセスが多いため計算時間がかか
り、一方反復法だけを用いた電磁場解析プログラムは収
束が速ければ計算時間は少ないが収束が遅いと直接法を
用いた場合よりも計算時間が多くなる。更に、収束しな
い場合は解析ができない。また、マトリクスの非零要素
と非零要素の位置を示すリストベクトルが計算機のメモ
リ内に治まりきらないときは反復計算ごとにディスクア
クセスが必要なので直接法よりも時間がかかる等の問題
がある。

【００５０】そこで本発明は、上記問題点を解決するた
めマトリクスの状態やメモリ容量に応じた最適な解法を
選択する電磁場解析装置を提供することを目的とする。

【００５１】

【課題を解決するための手段】本発明は、解析条件デー
タおよび入力パラメータを入力するデータ入力手段
（７）；入力されたデータに基づいて剛性マトリクスを
作成するマトリクス作成手段（１）；剛性マトリクスの
非零要素の数をカウントし、その数と所定値を比較する
第１判定手段（１）；解析条件データのうち電源の周波
数（ω）と入力パラメータ（α）を比較する第２判定手
段（１）；剛性マトリクスの非零要素の数が所定値以下
で、かつ電源の周波数（ω）が入力パラメータ（α）以
下であると反復法（ＩＣＣＧ法）により、それ以外は直
接法（コレスキー法）により剛性マトリクスの要素から
なる連立一次方程式を解いて電磁場を解析する実行手段
（１）；および、解析結果を出力する出力手段（８，
９）；を備える。なお、カッコ内の記号は、図面に示し
後述する実施例の対応要素又は対応事項を示す。

【００５２】

【作用】これによれば、入力されたデータから得られる
剛性マトリクスの要素からなる連立一次方程式の解法に
直接法（コレスキー法）と反復法（ＩＣＣＧ法）を用意
し、実行手段（１）は、剛性マトリクスの非零要素の数
が例えば計算機のメモリに納まる所定値以下で、かつ電
源の周波数（ω）が入力パラメータ（α）以下であると
反復法（ＩＣＣＧ法）により、それ以外は直接法（コレ
スキー法）により連立一次方程式を解いて電磁場を解析
し、その結果を出力手段（８，９）が出力する。

【００５３】すなわち、直接法（コレスキー法）を用い
た方が計算の早い場合は直接法（コレスキー法），反復
法（ＩＣＣＧ法）を用いた方が早い場合は反復法（ＩＣ
ＣＧ法）が使用されるため電磁場解析が効率的に行われ
る。

【００５４】本発明の他の目的および特徴は図面を参照
した以下の実施例の説明により明らかになろう。

【００５５】

【実施例】図１に、本発明の一実施例の計算機１０の構
成概要を示す。この計算機１０は、全体の制御を行うＣ
ＰＵ（中央演算装置）１，制御プログラムが格納されて
いるＲＯＭ２，制御プログラムが一時的に使用するＲＡ
Ｍ３，各装置間のデータのやりとりを行う内部システム
・バス４，情報を記憶する主メモリ（ＩＣ）５と主メモ
リ５より記憶データ量が多い補助メモリ（ディスク）
６，オペレータからの指示を入力する操作入力部７，所
定の情報を表示するディスプレイ８，所定の情報を出力
するプリンタ９，および対話型グラフィック端末機２０
とシステム・バス４を接続するインタフェースＩ／Ｆ等
から構成されている。

【００５６】図２に、電磁場解析の対象となる磁性部品
３０を示す。この磁性部品３０は、スイッチング電源に
用いられているチョークコアと呼ばれるものである。符
号３１および３２はフェライトでできた磁性部材であ
り、符号３３は導線で磁性部材３１に巻線を施したコイ
ル部分である。また、符号３４は磁性部材３１および３
２の間にギャップを設けるために挿入された非磁性のス
ペーサーである。

【００５７】図３に、ＣＰＵ１のフローチャートを示し
電磁場解析の処理動作を説明する。電源が投入されると
処理モード等を初期化して（ステップ１：以下カッコ内
ではステップという語を省略する）、入力を読み込む
（２）。読み込まれる入力は、磁性部品（チョークコ
ア）３０の形状データ，物性データ，電源データ，境界
条件，パラメータα等である。

【００５８】形状データは、磁性部品（チョークコア）
３０の座標値，メッシュ分割情報等である。メッシュ分
割情報は図１に示す対話型グラフィック端末機２０を用
いて磁性部品（チョークコア）３０を微小領域に分割し
て得られる、図４に示すような三角形要素による分割の
幾何学情報であり、磁界計算に有限要素法を用いるため
必要とされる。図４は、図２のＣ−Ｃ断面図を示し、磁
性部品（チョークコア）３０を囲む空間Ｐ１−Ｐ２−Ｐ
３−Ｐ４−Ｐ１内における分割情報が読み込まれる。な
お、磁性部品（チョークコア）３０を囲む空間は操作入
力部７により指定される。

【００５９】物性データは、磁性部品（チョークコア）
３０の導電率，透磁率，磁気抵抗率等であり、電源デー
タは、周波数，電流値，位相等である。パラメータα
は、図７に示した経験値等に基づいてオペレータが入力
するパラメータであり解法の選択時に使用される。

【００６０】再度、図３のフローチャートに戻る。入力
を読み込むと、オペレータによりスタート指示があるま
で、その他のモード処理を行う（３，４）。スタート指
示があると入力されたデータから（１１）式に示すよう
な連立一次方程式の剛性マトリクスを作成する（５）。
そして、剛性マトリクスの中の非零要素の数をカウント
し反復法（本実施例ではＩＣＣＧ法）を行うのに必要な
メモリ容量が計算される（６）。次に、カウントされた
非零要素の数が所定値以下であるかをチェックする、す
なわちステップ６で計算されたメモリ容量と計算機１０
で使用できる主メモリ５のメモリ容量とを比較する
（７）。非零要素数が所定値より多い（計算機１０のメ
モリ容量が少ない）場合は直接法（本実施例ではコレス
キー分解）で連立一次方程式が解かれる（９）。

【００６１】ここでコレスキー分解（Choleski decompo
sition）について説明する。連立一次方程式 Ａｘ＝ｂ

【００６２】

【数１５】

【００６３】においてコレスキー分解は対称行列に対し
て適用される。従ってａ_ij＝ａ_jiでなければならない。
ここで、前進消去としてマトリクスＡ，ベクトルｂの要
素を以下のように変更する。

【００６４】

【数１６】

【００６５】なお、ｉは１からｎまでの値をとる。次に
後退代入として（１６）式で計算されたマトリクスＡ，
ベクトルｂの要素を用いて解ベクトルｘを以下の式で計
算する。

【００６６】

【数１７】

【００６７】なお、ｉはｎから１までの値をとる。以上
（１６）式および（１７）式の２つの段階により解ベク
トルｘが求まる。このように２回限の計算でよいためデ
ータ量の多い補助メモリ６が使用される。ただしこの場
合、計算は確実に行うことができるが計算速度は遅い。

【００６８】再度、フローチャートの説明に戻る。ステ
ップ７で非零要素数が所定値以下（計算機１０のメモリ
容量が反復法に必要なメモリ容量より多い場合）である
と、入力されたパラメータαと強制電流の周波数ω（＝
２πｆ）を比較し（８）、パラメータαが周波数ωより
小さい場合は前述のコレスキー法で連立一次方程式が解
かれるが（９）、パラメータαが周波数ω以上であると
ＩＣＣＧ法で連立一次方程式が解かれる（１０）。

【００６９】ここでＩＣＣＧ法（Incomplete Choleski
Conjugate Gradient method）について説明する。連立
一次方程式 Ａｘ＝ｂ

【００７０】

【数１８】

【００７１】においてＩＣＣＧ法は対称行列に対して適
用されるのでａ_ij＝ａ_jiでなければならない。まず、Ｉ
ＣＣＧ法ではマトリクスＡを不完全コレスキー分解し
Ｕ，Ｄを求める。

【００７２】

【数１９】

【００７３】ここでＵは上三角行列，Ｄは対角行列であ
り、添字のＴは転置行列（元の行列の行と列が入れ換っ
たもの）を表す。よってＵの転置行列は下三角行列であ
る。Ｕ，Ｄの要素は以下の式から計算される。

【００７４】

【数２０】

【００７５】なお、ｉは１からｎまでの値をとる。上式
の計算中にａ_ijが０でなければ、

【００７６】

【数２１】

【００７７】である。なお、ｊはｉ＋１からｎまでの値
をとる。

【００７８】次に、ＩＣＣＧ法では以下の反復計算で解
ベクトルｘを修正し真の値に近づけてゆく。初期値ｘ₀
を用意し、

【００７９】

【数２２】

【００８０】とイニシャライズする。上式においてｒは
残差ベクトルと呼ばれ解ベクトルｘがどれだけ真の解に
近づいたかを測定する目安になる。また、Ｐは修正ベク
トルと呼ばれ解ベクトルｘの修正方向を決定する。な
お、添字のＫは何回目の反復計算であるかを示してい
る。

【００８１】そして、｜ｒ_K｜〉ε＊｜ｂ｜（εはＩＣ
ＣＧ法のオペレータが指定する収束判定用のパラメータ
である）である限り以下の計算を行う。

【００８２】

【数２３】

【００８３】そして｜ｒ_K｜≦ε＊｜ｂ｜となった時点
で計算をやめ、その時のｘを解とする。なお上式の、

【００８４】

【数２４】

【００８５】は以下の方法で計算する。

【００８６】

【数２５】

【００８７】とおくと、

【００８８】

【数２６】

【００８９】となり、 Ｓ＝（ＤＵ）ｑ・・・（１８） とおくと上式より、

【００９０】

【数２７】

【００９１】となる。

【００９２】また、Ｓは次の計算で求められる。

【００９３】

【数２８】

【００９４】なお、ｉは１からｎまでの値をとる。

【００９５】ここで、 ｔ＝Ｕｑ・・・（１９） とおくと、（１８）式より、Ｓ＝Ｄｔとなり、ｔは次の
計算で求められる。

【００９６】

【数２９】

【００９７】従って、（１９）式よりｑは以下の式で求
められる。

【００９８】

【数３０】

【００９９】以上示したＩＣＣＧ法は収束計算であるた
めデータ量の少ない主メモリ５でしか行えない。ここで
は通常数百回〜数千回の計算が行われる。ただし、補助
メモリ６を使用する場合と比較して計算速度は速い。

【０１００】再度、フローチャートの説明に戻る。コレ
スキー法又はＩＣＣＧ法により連立一次方程式の解が得
られた後はその解を用いてオペレータが必要とする物理
的な値（電位，磁束密度等）を計算処理して（１１）、
ディスプレイ８およびまたはプリンタ９に出力する（１
２）。

【０１０１】

【発明の効果】本発明の電磁場解析装置によれば、連立
一次方程式のマトリクスが直接法（コレスキー法）に適
している場合は直接法，反復法（ＩＣＣＧ法）に適して
いる場合は反復法（ＩＣＣＧ法）が使用され、入力され
たデータに適した解法が選択されるため、電磁場解析が
効率的に行われる。

【図面の簡単な説明】

【図１】 本発明の一実施例の計算機１０の構成を示す
ブロック図である。

【図２】 解析の対象となる磁性部品（チョークコア）
３０を示す拡大斜視図である。

【図３】 図１に示すＣＰＵ１の処理動作を示すフロー
チャートである。

【図４】 メッシュ分割された、図２に示す磁性部品
（チョークコア）３０のＣ−Ｃ断面図である。

【図５】 有限要素法による分割の一例を示す平面図で
ある。

【図６】 対角優性度βに対する反復回数の関係を示す
表である。

【図７】 強制電流の周波数ｆに対する反復法および直
接法の計算時間ｔの関係を示すグラフである。

【符号の説明】

１：ＣＰＵ（マトリクス作成手段，第１判定手段，第２
判定手段，実行手段） ２：ＲＯＭ ３：ＲＡＭ ４：システム・バス ５：主メモリ ６：補助メモリ ７：操作入力部（デ
ータ入力手段） ８：ディスプレイ（出力手段） ９：プリンタ（出力
手段） １０：計算機 ２０：対話型グラフ
ィック端末機 ３０：磁性部品

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (72)発明者 平 野 芳 生 川崎市中原区井田1618番地 新日本製鐵株 式会社先端技術研究所内 (72)発明者 岩 田 圭 司 川崎市中原区井田1618番地 新日本製鐵株 式会社先端技術研究所内

Claims (1)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】解析条件データおよび入力パラメータを入
   力するデータ入力手段；入力されたデータに基づいて剛
   性マトリクスを作成するマトリクス作成手段；前記剛性
   マトリクスの非零要素の数をカウントし、その数と所定
   値を比較する第１判定手段；前記解析条件データのうち
   電源の周波数と入力パラメータを比較する第２判定手
   段；前記剛性マトリクスの非零要素の数が所定値以下
   で、かつ電源の周波数が入力パラメータ以下であると反
   復法により、それ以外は直接法により剛性マトリクスの
   要素からなる連立一次方程式を解いて電磁場を解析する
   実行手段；および、解析結果を出力する出力手段；を備
   える、電磁場解析装置。