JPH0519111A

JPH0519111A - 反射鏡の生産方法

Info

Publication number: JPH0519111A
Application number: JP19611591A
Authority: JP
Inventors: Aki Sasaki; 亜紀佐々木; Izumi Mikami; 泉三神; Yukioki Asari; 幸起浅里
Original assignee: Mitsubishi Electric Corp
Current assignee: Mitsubishi Electric Corp
Priority date: 1991-07-11
Filing date: 1991-07-11
Publication date: 1993-01-29
Anticipated expiration: 2012-08-13
Also published as: JP2641348B2; DE4222471A1; DE4222471C2

Abstract

(57)【要約】【目的】反射鏡面の熱変形、あるいは該熱変形を空間
周波数の級数に展開して補正した後に残る残留熱変形を
最小にする反射鏡の生産方法を得ることを目的とする。【構成】行列方程式の対称行列における各固有ベクト
ルごとに、その固有ベクトルの成分の小さい順に対応さ
せてその熱膨張係数ベクトルの成分の大きい順及び小さ
い順に並べたときの変位の２乗和を算出し、その変位の
２乗和が最も小さくなる熱膨張係数ベクトルの成分に従
ってその部分鏡材を配置して貼り合わせるものである。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【産業上の利用分野】この発明は、例えば反射望遠鏡等
に用いられる反射鏡を部分鏡材を貼り合わせて構成する
際、各部分鏡材の熱膨張係数の違いによって生ずる熱変
形が最小になるように部分鏡材を配置して貼り合わせる
反射鏡の生産方法に関するものである。

【０００２】

【従来の技術】従来の反射鏡を生産する明確な方法はな
く、個々の場合に応じて直感的に部分鏡材の配置を決定
して貼り合わせていた。

【０００３】図６は部分鏡材を貼り合わせて構成される
反射鏡を示す斜視図であり、同図（ａ）に示すような正
六角形の部分鏡材２（以下、スタックという）を複数個
貼り合わせて同図（ｂ）に示すように構成している。そ
して、この反射鏡１の表面は、天体から到達する可視
光，赤外線等の電磁波を反射して焦点を結ぶように、観
測波長の１／１００程度の精度で、例えば放物面，双曲
面に研磨されている。

【０００４】この反射鏡１の表面が完全な放物面等に設
定されていれば、天体からの入射電磁波は幾何学的には
一点（焦点）に集束するが、実際には、光の回折現象に
より天体の星像の直径は零にはならず、該反射鏡１の口
径Ｄと入射電磁波の波長λで決まる理論限界がある。

【０００５】この理論限界ＦＷＨＭ（Full Width at Ha
lfMaximum) は一般に次のように表わされる。

【０００６】

【数１】

【０００７】このＦＷＨＭは図７に示すように光の強度
分布における強度が最高強度の１／２になる時の幅であ
る。従って、星像の大きさの理論限界は前記反射鏡１の
口径Ｄと入射電磁波の波長λで決まり、該口径Ｄが大き
くなるほど小さくなり、また、集光力が高まるため、該
反射鏡１の大口径化は星像を小さくすることで、分解能
の向上，検出限界の向上、さらには露出時間の短縮のた
めにも重要な意義を有する。

【０００８】しかし、実際には、スタック２の熱膨張係
数が零でないため、温度が変化すると反射鏡１は熱変形
を生じることになる。ここで、各スタック２の熱膨張係
数が等しければ各スタック２は相似形に変形するため反
射鏡１の焦点位置が移動するだけで、結像精度は劣化し
ないが、実際には、各スタック２ごとに熱膨張係数が異
なるため反射鏡１は不均一な熱変形を生じることにな
る。また、反射鏡１の口径が大きい場合は、スタック２
の数が増えるためそれだけ変形が複雑になるとともに少
しの傾きでも変形量としては大きなものとなる。

【０００９】従って、このような熱変形が生じると、天
体から入射される光は散乱され、星像は図８（ｂ）に示
すような強度分布となり、ぼやけた像となってしまうた
め、該反射鏡１を大口径化しても前述した利点が生かせ
なくなる。

【００１０】また、このような不均一な熱変形をおこす
スタック２の熱膨張係数の不均一性の主なものとして、
各スタック２の厚み方向の熱膨張係数の勾配が異なるも
の（バイメタル的な変形の原因となる）、また、各スタ
ック２内の熱膨張係数がばらついているものがあり、該
熱変形を極力抑える方法として、図９に示すようなスタ
ック配置が考えられる（第１の従来例）。

【００１１】図９において、各スタック２に付けられた
番号（１〜３７）はそれぞれ各スタック２の平均熱膨張
係数（以下熱膨張係数という）（α₁……α₃₇）を示し
ており、その熱膨張係数の大きなもの（α₁≧α₂……
α₃₇）から順に３グループ（クロス斜線の網掛け、点々
による網掛け、網掛けなし）に分けて示してある。

【００１２】この方法によれば、熱膨張係数が大きなグ
ループに属するスタック２の周囲に、熱膨張係数が中く
らいのグループ、小さなグループに属するスタック２を
配している。このようにすると、熱膨張係数の大きなグ
ループに属するスタック２の大きな熱膨張が、周囲のス
タック２の小さな熱膨張によって緩和されることになり
変形が局所的となり、直感的に変形量は、分布が片寄っ
ている場合よりはるかに小さなものとなると期待でき
る。

【００１３】また、図１０は熱変形を補正すアクチュエ
ータを備えた反射鏡の断面図であり（第２の従来例）、
１は反射鏡、３は反射鏡１の裏面にとりつけられた温度
センサ、４は温度センサ３により得られる反射鏡１の温
度測定値から補正力を計算する処理部、５はアクチュエ
ータコントローラ、６は反射鏡１に補正力を加えて熱変
形を補正するアクチュエータである。

【００１４】この方法によれば、熱変形を補正する際、
変形をすべて補正しようとするとピッチの小さな凹凸も
補正することになり大きな補正力が必要となり現実的で
ないため、変形を空間周波数の関数である、有限項また
は無限項の級数に展開し、凹凸のピッチの大きな項のみ
とり出して補正している。このとき、補正されずに残っ
たピッチの小さな凹凸が鏡面の残留変形となり、星像の
質を劣化させる。

【００１５】また、図１１は前述したように凹凸のピッ
チの大きな項のみ補正する場合に、熱変形が凹凸のピッ
チの大きな項に集中すると直感的に予測された部分鏡材
の配置であり、図中、各スタック２に付けられた番号
（１〜３７）は前述した図９と同様である。

【００１６】

【発明が解決しようとする課題】従来の反射鏡の生産方
法は以上のように構成されているので、各スタックにつ
いて直感的な配置決定しか行えないため、必ずしも熱変
形を最小とするような配置になっていないなどの課題が
あった。

【００１７】この発明は上記のような課題を解消するた
めになされたもので、反射鏡面の熱変形、あるいは該熱
変形を空間周波数の級数に展開して補正した後に残る残
留熱変形を最小にする反射鏡の生産方法を得ることを目
的とする。

【００１８】

【課題を解決するための手段】請求項１記載の発明に係
る反射鏡の生産方法は、反射鏡の鏡面上の複数のサンプ
ル点における変位の２乗和と、全部分鏡材における熱膨
張係数の平均値と各部分鏡材の熱膨張係数との偏差を成
分とし、その成分が各部分鏡材の配置位置に対応してい
る熱膨張係数ベクトルとを行列方程式で定式化し、その
行列方程式の対称行列における各固有ベクトルごとに、
その固有ベクトルの成分の小さい順に対応させてその熱
膨張係数ベクトルの成分の大きい順及び小さい順に並べ
たときの変位の２乗和を算出し、その変位の２乗和が最
も小さくなる熱膨張係数ベクトルの成分に従ってその部
分鏡材を配置して貼り合わせるものである。

【００１９】また、請求項２記載の発明に係る反射鏡の
生産方法は、反射鏡の熱変形を空間周波数の関数である
有限項あるいは無限項の級数に展開し、そのうち所定の
項を補正した後の残留変形量を示す残留変形ベクトルの
成分の２乗和と、全部分鏡材における熱膨張係数の平均
値と各部分鏡材の熱膨張係数との偏差を成分とし、その
成分が各部分鏡材の配置位置に対応している熱膨張係数
ベクトルとを行列方程式で定式化し、その行列方程式の
対称行列における各固有ベクトルごとに、その固有ベク
トルの成分の小さい順に対応させてその熱膨張係数ベク
トルの成分の大きい順及び小さい順に並べたときの残留
変形ベクトルの成分の２乗和を算出し、その残留変形ベ
クトルの成分の２乗和が最も小さくなる熱膨張係数ベク
トルの成分に従ってその部分鏡材を配置して貼り合わせ
たものである。

【００２０】また、請求項３記載の発明に係る反射鏡の
生産方法は、熱膨張係数ベクトルの成分を各部分鏡材の
厚さ方向の熱膨張係数の勾配としたものである。

【００２１】

【作用】請求項１，２及び３記載の発明における反射鏡
の生産方法は、行列方程式の対称行列における各固有ベ
クトルごとに、その固有ベクトルの成分の小さい順に対
応させてその熱膨張係数ベクトルの成分の大きい順及び
小さい順に並べたときの変位又は残留変形ベクトルの成
分の２乗和を算出し、その変位又は残留変形ベクトルの
成分の２乗和が最も小さくなる熱膨張係数ベクトルの成
分に従って部分鏡材を配置して貼り合わせるようにした
ことにより、反射鏡の鏡面の熱変形量又は補正後の残留
熱変形量が最小となる。

【００２２】

【実施例】

実施例１．以下、この発明の一実施例を図について説明
する。図１は３７個のスタック２から構成される反射鏡
１を示す平面図であり、図中、各スタック２に付けられ
た番号（１〜３７）は該反射鏡１内での位置を示す（平
均熱膨張係数ではない）。

【００２３】次に、請求項（１）の発明の動作について
図２のフローチャートを用いて説明する。

【００２４】ここで、スタック位置にそれぞれ配置すべ
き３７個のスタック２の熱膨張係数の平均値と各スタッ
ク２の熱膨張係数との偏差を大きい順にΔα₁，Δ
α₂，……，Δα₃₇（Δα₁≧Δα₂≧……≧Δα₃₇）
とし、反射鏡１の鏡面上に略等間隔になるように、例え
ば１０００個設定された各熱変位測定点（サンプル点）
での変位をΔＺ_K（_K=1,_{・・・・1000}）とする。従って、ス
タック位置を決定するということは、偏差Δα_i（
_{i=1,・・・・37}) を図１のスタック位置に対応付けるという
ことになる。

【００２５】まず、各スタック２にそれぞれ熱膨張係数
Δα_j（_{j=1,・・・・37}) を与えると、有限要素法によって
温度ＴがΔＴだけ変化した場合の各熱変位測定点での変
位ΔＺ_K（_K=1,_{・・・・1000}）を計算することができること
から、該スタック２の熱膨張係数Δα_j（_{j=1,・・・・37})
によらない１０００×３７行列Ｓαを用いてΔα_j（
_{j=1,・・・・37}) とΔＺ_K（_K=1,_{・・・・1000}）を関係付けるこ
とができる。

【００２６】

【数２】

【００２７】この式からもわかるように、行列Ｓαの第
１行は熱膨張係数ベクトル（Δα₁，Δα₂，……，Δ
α₃₇）を（１，０，……，０）、ΔＴ＝１℃としたとき
の変位ベクトル（ΔＺ₁，ΔＺ₂，……，ΔＺ₁₀₀₀）を
計算することができ、以下、同様に（Δα₁，Δα₂，
……，Δα₃₇）＝（０，１，０，……，０）、（０，
０，１，０，……，０）としたときのΔＺ_K（_K=1,
_{・・・・1000}）を計算することで、行列Ｓαの各行を計算す
ることができる（ステップＳＴ１）。

【００２８】ここで、変位ベクトルＵ及び熱膨張係数ベ
クトルαを次のように定義すると、

【００２９】

【数３】

【００３０】従って、数２は次のように書ける。

【００３１】

【数４】

【００３２】また、変形の大小は、通常ｒｍｓ（root m
ean square）で評化することができ、この例では次のよ
うになる。

【００３３】

【数５】

【００３４】これにより、ｒｍｓを最も小さくするには
各変位の２乗和Σ（ΔＺ_K)²，（_K= ₁,_{・・・・1000}）を最も
小さくすればよいことがわかる。

【００３５】

【数６】

【００３６】この数６より、熱変形を最小にするには、
該^tα・^tＳα・Ｓα・αの値を最小にすればよいこと
がわかる。ここで、Ｒ＝^tＳα・Ｓαとおくと、この対
称行列Ｒは該熱膨張係数ベクトルαによらない３７×３
７の対称行列となる（ステップＳＴ２）。従って、最適
配置の問題は、‖Ｕ‖²＝^tα・Ｒ・αを最小とするよ
うに、偏差Δα₁……Δα₃₇を熱膨張係数ベクトルαの
要素に並べるという問題になる。

【００３７】次に、‖Ｕ‖²が最小になる熱膨張係数ベ
クトルαの要素の並べ方について説明する。まず、‖Ｕ
‖²は２次形式であり、その性質から、‖Ｕ‖²は熱膨
張係数ベクトルαが対称行列Ｒの固有ベクトルと平行に
なったとき極小値となる。しかし、熱膨張係数ベクトル
αの並べかえの範囲でしか変化できないため、要素の並
べかえによる熱膨張係数ベクトルαのうちで、対称行列
Ｒの固有ベクトルに方向が最も近いものを求めることに
なる。

【００３８】また、対称行列Ｒの固有ベクトルに方向が
最も近い熱膨張係数ベクトルαを求めるに際しては、内
積を利用することにより求めることができる。ここで、
Ｒの固有ベクトルをｘ，αとｘのなす角をθとするとθ
が０かπに最も近いαを求めればよい。ところが今、（α，ｘ）＝｜α‖ｘ｜cos θ ただし、（α，ｘ）は、内積を示す。であるから、ｘに
最も近いα（α，ｘ）の最大値または最小値を与えるα
として求めればよい。このような並べ方は次のようにし
て得られる。

【００３９】「補題」（成分の並べ換えによる内積の最
大化）（α，ｘ）を最大にする並べ方は、ｘの成分の小
さい順に対応して、Δα_iを小さい方から順に並べる。

【００４０】「証明」熱膨張係数ベクトルα，Ｒの固有
ベクトルｘを以下に示すように並べたとき、

【００４１】

【数７】

【００４２】内積の任意の２項を、α_iｘ_i＋α_jｘ_j
とする。ただし、 α_j＝α_i＋Δα（Δα≧０）ｘ_j＝ｘ_i＋Δｘ（Δｘ≧０）とおく（ｘの成分の大小順とαの成分の大小順は対応し
ているので、α_jがα_iより大きいなら必ずｘ_jはｘ_i
より大きいので、このようにおける）。αの成分を置換
するとこの２項はα_jｘ_i＋α_iｘ_j となる。こ
のとき、

【００４３】

【数８】

【００４４】よって、数７から成分の並べ換えを行うと
内積は必ず減少する。ゆえに数７が内積を最大にする並
べ方である。

【００４５】「補題」（成分の並べ換えによる内積の最
小化）（α，ｘ）を最小にする並べ方は、ｘの成分の小
さい順に対応して、Δα_iを大きい方から順に並べる。

【００４６】「証明」熱膨張係数α，Ｒの固有ベクトル
ｘを以下に示すように並べたとき、

【００４７】

【数９】

【００４８】内積の任意の２項を、α_iｘ_i＋α_jｘ_j
とする。ただし、 α_j＝α_i＋Δα（Δα≧０）ｘ_j＝ｘ_i−Δｘ（Δｘ≧０）とおく（ｘの成分の大小順とαの成分の大小順は逆に対
応しているので、α_jがα_iより大きいなら必ずｘ_jは
ｘ_iより小さいので、このようにおける）。αの成分を
置換するとこの２項はα_jｘ_i＋α_iｘ_j とな
る。このとき、

【００４９】

【数１０】

【００５０】よって、数９から成分の並べ換えを行うと
内積は必ず増大する。ゆえに数９が内積を最小にする並
べ方である。

【００５１】従って、上記の２補題から最適配置を求め
るには以下の手順をとればよいことが分かる。（１）ｘの成分の小さい順に対応して、αの成分を小さ
い方から順に並べる。これをα₁とする。（２）ｘの成分の小さい順に対応して、αの成分を大き
い方から順に並べる。これをα₂とする。（３）すべての固有ベクトルについてそれぞれα₁とα
₂ができる。それぞれについて‖Ｕ‖²＝^tαＲαを計
算し‖Ｕ‖²を最も小さくするαを選べばよい（ステッ
プＳＴ３，ＳＴ４）。

【００５２】最後に、‖Ｕ‖²を最も小さくするαの成
分に従って各スタック２を配置して貼り合わせる（ステ
ップＳＴ５）。

【００５３】実施例２．次に、請求項２記載の発明の動
作について説明する。

【００５４】この発明は、熱変形をモード展開し、所定
の項を補正をする際、補正後に残る変形が最小になるよ
うに各スタック２を配置するものである。

【００５５】まず、変位ベクトルＵと熱膨張係数ベクト
ルαの関係は、前述したように、Ｕ＝Ｓα・α・ΔＴとなり、補正後の残留変形は、この変位ベクトルＵから
補正量を引いたものであるため、残留変形と熱膨張係数
ベクトルαの関係を求めるには、補正量と熱膨張係数ベ
クトルαの関係を求めればよいことになる。

【００５６】以下、具体的に１次から３２次までのモー
ドを補正する場合について説明する。

【００５７】変位ベクトルＵは、無限項の固有振動モー
ドの重ね合わせとして表現することができ、ｍ番目の固
有振動モードの変形パターンｑ_mを変位ベクトルＵと同
じ座標点の変位ｑ_miで表わすとすると次のようになる。

【００５８】

【数１１】

【００５９】また、展開係数（振動モードの振幅に相当
する）をＡ_mとすると、変位ベクトルＵは固有振動モー
ドの重ね合わせとして、次のように表わせる。

【００６０】

【数１２】

【００６１】この変位ベクトルＵのうち、３２次までの
成分が補正量となる。

【００６２】

【数１３】

【００６３】また、これを、次のようにおくと、

【００６４】

【数１４】

【００６５】補正量＝Ｑ・Ａと書ける。ところで、熱
膨張係数ベクトルαと変位ベクトルＵは、数４に示され
るように線型の関係にあり、変位ベクトルＵと展開級数
Ａも線型の関係にあるため、熱膨張係数ベクトルαと展
開級数Ａも線型の関係となる。従って、ある行列Ｐαを
用いて下記のように結びつけることができる。

【００６６】

【数１５】

【００６７】ここで、Ｐαは次のように計算できる。Ｐ
αの第１行目は熱膨張係数ベクトルαを（１，０，０，
……０）としたときの熱変形（前述のＳαの第１行目と
同じ）を固有振動モードで展開した展開級数であり、熱
変形は有限要素法で計算し、モード展開は最小２乗法に
よるフィッティングなどの方法で計算する。第２行目は
α＝（０，１，０，……０）として同様に計算できる。

【００６８】これにより、補正量Ｑ・Ａは、熱膨張係数
ベクトルαと結びつけることができる。Ｑ×Ａ＝Ｑ・Ｐα・α・ΔＴよって、残留変形ベクトルＵ_zは、変位ベクトルＵから
補正量を引き算をすると次のように表わせる。

【００６９】

【数１６】

【００７０】従って、実施例１の変位ベクトルＵの代り
に、この残留変形ベクトルＵ_zを用いることにより、実
施例１と同様に最適配置を求めることができる。以下実
施例１と同様のため説明を省略する。

【００７１】なお、上記請求項１及び２記載の実施例１
及び２では、熱膨張係数ベクトルαとして各スタック２
の熱膨張係数の偏差を用いて、反射鏡１の熱変形量、あ
るいは補正後の残留熱変形量を最小にする反射鏡の生産
方法について説明したが、該熱膨張係数ベクトルαとし
て各スタック２の厚さ方向の熱膨張係数の勾配を用いて
も同様の効果を奏する。

【００７２】また、熱膨張係数ベクトルαとして前記各
スタック２の厚さ方向の熱膨張係数の勾配を用いた場合
に、熱変形の固有振動モードの第１次から第３２次まで
を補正した後の残留変形量を最小にするスタック配置に
より貼り合わせた例を図５に示す。

【００７３】なお、図５において、各スタック２に付け
られた符号Δα₁〜Δα₃₇，（Δα₁≧Δα₂≧Δ
α₃₇）は該各スタックの厚さ方向の熱膨張係数の勾配の
大きさを示す。

【００７４】

【発明の効果】以上のように、請求項１，２及び３記載
の発明によれば、行列方程式の対称行列における各固有
ベクトルごとに、その固有ベクトルの成分の小さい順に
対応させてその熱膨張係数ベクトルの成分の大きい順及
び小さい順に並べたときの変位又は残留変形ベクトルの
成分の２乗和を算出し、その変位又は残留変形ベクトル
の成分の２乗和が最も小さくなる熱膨張係数ベクトルの
成分に従って部分鏡材を配置して貼り合わせるようにし
たので、各スタックの最適配置が解折的に求められ、熱
変形又は補正後の残留変形量が最小となる反射鏡が確実
に得られるという効果がある。

【図面の簡単な説明】

【図１】反射鏡におけるスタックの配置位置を示す平面
図である。

【図２】請求項１記載の発明の一実施例による反射鏡の
生産方法の工程を説明するフローチャートである。

【図３】反射鏡の固有振動モードの各モードにおける等
高線図の一例を示す平面図である。

【図４】請求項２記載の発明の一実施例による反射鏡の
生産方法の工程を説明するフローチャートである。

【図５】請求項３記載の発明の一実施例による反射鏡の
生産方法の実施結果を示す平面図である。

【図６】反射鏡の構成を示す斜視図である。

【図７】反射鏡面に熱変形がない場合の星像の強度分布
を示す特性図である。

【図８】熱変形した場合の反射鏡の断面図及びその星像
の強度分布を示す分布図である。

【図９】第１の従来例の反射鏡の部分鏡材の生産方法に
よるスタック配置を示す斜視図である。

【図１０】第２の従来例による熱変形を補正するアクチ
ュエータを備えた反射鏡の断面を示す断面図である。

【図１１】図１０の第２の従来例によるスタック配置の
一例を示す平面図である。

【符号の説明】

１反射鏡２スタック（部分鏡材）

─────────────────────────────────────────────────────

【手続補正書】

【提出日】平成４年１月２１日

【手続補正１】

【補正対象書類名】明細書

【補正対象項目名】全文

【補正方法】変更

【補正内容】

【書類名】明細書

【発明の名称】反射鏡の生産方法

【特許請求の範囲】

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【０００２】

【０００６】

【数１】

【００１０】また、このような不均一な熱変形をおこす
スタック２の熱膨張係数の不均一性の主なものとして、
各スタック２の厚み方向の熱膨張係数の勾配が異なるも
の（バイメタル的な変形の原因となる）、また、各スタ
ック２の平均熱膨張係数がばらついているものがあり、
該熱変形を極力抑える方法として、図９に示すようなス
タック配置が考えられる（第１の従来例）。

【００１１】図９において、各スタック２に付けられた
番号（Δα₁〜Δα₃₇ ）はそれぞれ全スタックにおける
熱膨張係数の平均値と各スタック２の平均熱膨張係数と
の偏差（以下熱膨張係数という）（Δα₁……Δα₃₇）
を示しており、その熱膨張係数の大きなもの（Δα₁≧
Δα₂……Δα₃₇）から順に３グループ（クロス斜線の
網掛け、点々による網掛け、網みかけなし）に分けて示
してある。

【００１３】また、図１０は熱変形を補正するアクチュ
エータを備えた反射鏡の断面図であり（第２の従来
例）、１は反射鏡、３は反射鏡１の裏面にとりつけられ
た温度センサ、４は温度センサ３により得られる反射鏡
１の温度測定値から補正力を計算する処理部、５はアク
チュエータコントローラ、６は反射鏡１に補正力を加え
て熱変形を補正するアクチュエータである。

【００１５】また、図１１は前述したように凹凸のピッ
チの大きな項のみ補正する場合に、熱変形が凹凸のピッ
チの大きな項に集中すると直感的に予測された部分鏡材
の配置であり、図中、各スタック２に付けられた番号
（Δα₁〜Δα₃₇ ）は前述した図９と同様である。

【００１６】

【００１８】

【課題を解決するための手段】請求項１記載の発明に係
る反射鏡の生産方法は、反射鏡の鏡面上の複数のサンプ
ル点における変位の２乗和と、全部分鏡材における熱膨
張係数の平均値と各部分鏡材の熱膨張係数の平均値との
偏差を成分とし、その成分が各部分鏡材の配置位置に対
応している熱膨張係数ベクトルとを行列方程式で定式化
し、その行列方程式の対称行列における各固有ベクトル
ごとに、その固有ベクトルの成分の小さい順に対応させ
てその熱膨張係数ベクトルの成分の大きい順及び小さい
順に並べたときの変位の２乗和を算出し、その変位の２
乗和が最も小さくなる熱膨張係数ベクトルの成分に従っ
てその部分鏡材を配置して貼り合わせるものである。

【００１９】また、請求項２記載の発明に係る反射鏡の
生産方法は、反射鏡の熱変形を空間周波数の関数である
有限項あるいは無限項の級数に展開し、そのうち所定の
項を補正した後の残留変形量を示す残留変形ベクトルの
成分の２乗和と、全部分鏡材における熱膨張係数の平均
値と各部分鏡材の熱膨張係数の平均値との偏差を成分と
し、その成分が各部分鏡材の配置位置に対応している熱
膨張係数ベクトルとを行列方程式で定式化し、その行列
方程式の対称行列における各固有ベクトルごとに、その
固有ベクトルの成分の小さい順に対応させてその熱膨張
係数ベクトルの成分の大きい順及び小さい順に並べたと
きの残留変形ベクトルの成分の２乗和を算出し、その残
留変形ベクトルの成分の２乗和が最も小さくなる熱膨張
係数ベクトルの成分に従ってその部分鏡材を配置して貼
り合わせたものである。

【００２１】

【００２２】

【実施例】実施例１．以下、この発明の一実施例を図について説明
する。図１は３７個のスタック２から構成される反射鏡
１を示す平面図であり、図中、各スタック２に付けられ
た番号（Δα₁〜Δα₃₇ ）は該反射鏡１内での位置を示
す（平均熱膨張係数ではない）。

【００２４】ここで、スタック位置にそれぞれ配置すべ
き３７個のスタック２の熱膨張係数の平均値と各スタッ
ク２の熱膨張係数の平均値との偏差（以下、熱膨張係数
という）を大きい順にΔα₁，Δα₂，……，Δα
₃₇（Δα₁≧Δα₂≧……≧Δα₃₇）とし、反射鏡１の
鏡面上に略等間隔になるように、例えば１０００個設定
された各熱変位測定点（サンプル点）での変位をΔＺ_K
（_K=1,_{・・・・1000}）とする。従って、スタック位置を決定
するということは、偏差Δα_i（_{i=1,・・・・37}) を図１の
スタック位置に対応付けるということになる。

【００２５】まず、各スタック２にそれぞれ熱膨張係数
Δα_j（_{j=1,・・・・37}) を与えると、有限要素法によって
温度ＴがΔＴだけ変化した場合の各熱変位測定点での変
位ΔＺ_K（_K=1,_{・・・・1000}）を計算することができること
から、該スタック２の熱膨張係数Δα_j（_{j=1,・・・・37})
によらない１０００×３７行列Ｓを用いてΔα_j（_j=
_{1,・・・・37}) とΔＺ_K（_K=1,_{・・・・1000}）を関係付けること
ができる。

【００２６】

【数２】

【００２７】この式からもわかるように、行列Ｓαの第
１行は熱膨張係数ベクトル（Δα₁，Δα₂，……，Δ
α₃₇）を（１，０，……，０）、ΔＴ＝１℃としたとき
の変位ベクトル（ΔＺ₁，ΔＺ₂，……，ΔＺ₁₀₀₀）と
して計算することができ、以下、同様に（Δα₁，Δα
₂，……，Δα₃₇）＝（０，１，０，……，０）、
（０，０，１，０，……，０）としたときのΔＺ_K（
_K=1,_{・・・・1000}）を計算することで、行列Ｓαの各行を計
算することができる（ステップＳＴ１）。

【００２９】

【数３】

【００３０】従って、数２は次のように書ける。

【００３１】

【数４】

【００３２】また、変形の大小は、通常変位のｒｍｓ
（root mean square）で評価することができ、この例で
は次のようになる。

【００３３】

【数５】

【００３５】

【数６】

【００３６】この数６より、熱変形を最小にするには、
該^tα・ ^tＳ・Ｓ・αの値を最小にすればよいことがわ
かる。ここで、Ｒ＝^tＳ・Ｓとおくと、この対称行列Ｒ
は該熱膨張係数ベクトルαによらない３７×３７の対称
行列となる（ステップＳＴ２）。従って、最適配置の問
題は、‖Ｕ‖²＝^tα・Ｒ・αを最小とするように、偏
差Δα₁……Δα₃₇を熱膨張係数ベクトルαの要素に並
べるという問題になる。

【００３７】次に、‖Ｕ‖²が最小になる熱膨張係数ベ
クトルαの要素の並べ方について説明する。まず、‖Ｕ
‖²は２次形式であり、その性質から、‖Ｕ‖²は熱膨
張係数ベクトルαが対称行列Ｒの固有ベクトルと平行に
なったとき特異値（極小値，極大値または変曲点）をと
る。そこで、固有ベクトルと平行になるαをすべて調べ
て、その中から‖Ｕ‖²を最小にするものを選べばよ
い。しかし、熱膨張係数ベクトルαは、要素の並べかえ
の範囲でしか変化できないため、要素の並べかえによる
熱膨張係数ベクトルαのうちで、対称行列Ｒの固有ベク
トルに方向が最も近いものを求めることになる。

【００４０】「証明」Ｒの固有ベクトルｘの成分の小さ
い順に対応するように、Δｄ_iを小さい方から順に並べ
て、熱膨張係数ベクトルを構成する。その時、

【００４１】

【数７】

【００４３】

【数８】

【００４６】「証明」Ｒの固有ベクトルｘの成分の小さ
い順に対応するように、Δｄ_iを大きい方から順に並べ
て、熱膨張係数ベクトルを構成する。その時、

【００４７】

【数９】

【００４９】

【数１０】

【００５１】従って、上記の２補題から最適配置を求め
るには以下の手順をとればよいことが分かる。（１）ｘの成分の小さい順に対応して、αの成分を小さ
い方から順に並べる。これをα₁とする。（２）ｘの成分の小さい順に対応して、αの成分を大き
い方から順に並べる。これをα₂とする。（３）すべての固有ベクトルについてそれぞれα₁とα
₂ができる。それぞれについて‖Ｕ‖²＝^tαＲαを計
算し‖Ｕ‖²を最も小さくするαを選べばよい（ステッ
プＳＴ４，ＳＴ５）。

【００５２】最後に、‖Ｕ‖²を最も小さくするαの成
分に従って各スタック２を配置して貼り合わせる（ステ
ップＳＴ６）。

【００５３】実施例２．次に、請求項２記載の発明の動
作について図４のフローチャートを用いて説明する。

【００５５】まず、変位ベクトルＵと熱膨張係数ベクト
ルαの関係は、前述したように、Ｕ＝Ｓ・α・ΔＴとなり、補正後の残留変形は、この変位ベクトルＵから
補正量を引いたものであるため、残留変形と熱膨張係数
ベクトルαの関係を求めるには、補正量と熱膨張係数ベ
クトルαの関係を求めればよいことになる。

【００５６】以下、具体的に固有振動モードの１次から
３２次までのモードを補正する場合について説明する。

【００５７】変位ベクトルＵは、無限項の固有振動モー
ドの重ね合わせとして表現することができる。固有振動
モードは有限要素法を用いて計算することができる。固
有振動モードの変形パターンの例を図３に示す。ｍ番目
の固有振動モードの変形パターンｑ_mを変位ベクトルＵ
と同じ座標点の変位ｑ_miで表わすとすると次のようにな
る。

【００５８】

【数１１】

【００６０】

【数１２】

【００６１】このうち、３２次までの成分が補正量とな
る。

【００６２】

【数１３】

【００６３】また、これを、次のようにおくと、

【００６４】

【数１４】

【００６５】補正量＝Ｑ・Ａと書ける。そこで、ま
ず、有限要素法を用いて行列Ｑを計算しておく（ＳＴ１
２）。ところで、熱膨張係数ベクトルαと変位ベクトル
Ｕは、数４に示されるように線型の関係にあり、変位ベ
クトルＵと展開係数Ａも線型の関係にあるため、熱膨張
係数ベクトルαと展開係数Ａも線型の関係となる。従っ
て、ある行列Ｐを用いて下記のように結びつけることが
できる。

【００６６】

【数１５】

【００６７】ここで、Ｐは次のように計算できる。Ｐの
第１行目は熱膨張係数ベクトルαを（１，０，０，……
０）としたときの熱変形（前述のＳの第１行目と同じ）
を固有振動モードで展開した展開係数であり、熱変形は
有限要素法で計算し、モード展開は最小２乗法によるフ
ィッティングなどの方法で計算する。第２行目はα＝
（０，１，０，……０）として同様に計算できる（ＳＴ
１３）。

【００６８】これにより、補正量Ｑ・Ａは、熱膨張係数
ベクトルαと結びつけることができる。Ｑ×Ａ＝Ｑ・Ｐ・α・ΔＴよって、残留変形ベクトルＵ_zは、変位ベクトルＵから
補正量を引き算をすると次のように表わせる（ＳＴ１
４）。

【００６９】

【数１６】

【００７０】従って、実施例１の変位ベクトルＵの代り
に、この残留変形ベクトルＵ_zをＳの代りにＳ_zを用い
ることにより、実施例１と同様に最適配置を求めること
ができる。以下実施例１と同様のため説明を省略する。

【００７１】なお、上記請求項１及び２記載の実施例１
及び２では、熱膨張係数ベクトルαとして各スタック２
の平均熱膨張係数の偏差を用いて、反射鏡１の熱変形
量、あるいは補正後の残留熱変形量を最小にする反射鏡
の生産方法について説明したが、該熱膨張係数ベクトル
αとして各スタック２の厚さ方向の熱膨張係数の勾配を
用いても同様の効果を奏する。

【００７３】なお、図５において、各スタック２に付け
られた符号Δα₁〜Δα₃₇，（Δα₁≧Δα ₂≧……≧
Δα₃₇）は該各スタックの厚さ方向の熱膨張係数の勾配
の大きさを示す。

【００７４】

【図面の簡単な説明】

【図６】反射鏡の構成を示す斜視図である。

【符号の説明】１反射鏡２スタック（部分鏡材）

Claims

【特許請求の範囲】

【請求項１】部分鏡材を貼り合わせて反射鏡を構成す
る際、その反射鏡の鏡面上の複数のサンプル点における
変位の２乗和と、全部分鏡材における熱膨張係数の平均
値と各部分鏡材の熱膨張係数との偏差を成分とし、その
成分が各部分鏡材の配置位置に対応している熱膨張係数
ベクトルとを行列方程式で定式化し、その行列方程式の
対称行列における各固有ベクトルごとに、その固有ベク
トルの成分の小さい順に対応させてその熱膨張係数ベク
トルの成分の大きい順及び小さい順に並べたときの変位
の２乗和を算出し、その変位の２乗和が最も小さくなる
熱膨張係数ベクトルの成分に従ってその部分鏡材を配置
して貼り合わせる反射鏡の生産方法。
【請求項２】部分鏡材を貼り合わせて反射鏡を構成す
る際、その反射鏡の熱変形を空間周波数の関数である有
限項あるいは無限項の級数に展開し、そのうち所定の項
を補正した後の残留変形量を示す残留変形ベクトルの成
分の２乗和と、全部分鏡材における熱膨張係数の平均値
と各部分鏡材の熱膨張係数との偏差を成分とし、その成
分が各部分鏡材の配置位置に対応している熱膨張係数ベ
クトルとを行列方程式で安定化し、その行列方程式の対
称行列における各固有ベクトルごとに、その固有ベクト
ルの成分の小さい順に対応させてその熱膨張係数ベクト
ルの成分の大きい順及び小さい順に並べたときの残留変
形ベクトルの成分の２乗和を算出し、その残留変形ベク
トルの成分の２乗和が最も小さくなる熱膨張係数ベクト
ルの成分に従ってその部分鏡材を配置して貼り合わせる
反射鏡の生産方法。
【請求項３】上記熱膨張係数ベクトルの成分を各部分
鏡材の厚さ方向の熱膨張係数の勾配とした請求項１又は
２記載の反射鏡の生産方法。