DE4222471C2

DE4222471C2 - Verfahren zur Herstellung eines Spiegels

Info

Publication number: DE4222471C2
Application number: DE19924222471
Authority: DE
Inventors: Aki Sasaki; Izumi Mikami; Kouki Asari
Original assignee: Mitsubishi Electric Corp
Current assignee: Mitsubishi Electric Corp
Priority date: 1991-07-11
Filing date: 1992-07-08
Publication date: 1996-10-17
Anticipated expiration: 2012-07-09
Also published as: DE4222471A1; JPH0519111A; JP2641348B2

Description

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur Herstellung eines Spiegels, insbesondere eines reflektierenden Spiegels, für ein Spiegelteleskop, wobei der Spiegel insbesondere aus Spie gelsegmenten besteht, die so angeordnet und zusammengefügt sind, daß die thermische Formänderung des Spiegels, die auf den Unterschied der Wärmedehnzahl der einzelnen Spiegelseg mente zurückgeht, auf ein Minimum reduziert wird.

Fig. 7 ist eine Perspektivansicht eines Spiegels, der durch Zusammenfügen von Spiegelsegmenten gebildet ist. Ein Spiegel gemäß Fig. 7(b) wird gebildet, indem eine Vielzahl von hexa gonalen Spiegelsegmenten 2 (nachstehend als "Stacks" oder "Segmente" bezeichnet) zusammengesteckt wird, wie Fig. 7(a) zeigt. Die Oberfläche des Spiegels 1 wird durch Polieren bei spielsweise zu einem Parabol oder einem Hyperbol mit einer Präzision in der Größenordnung von 1/100 der Beobachtungswel lenlänge fertigbearbeitet, um elektromagnetische Wellen wie etwa sichtbares Licht und IR-Strahlen zu reflektieren und zu fokussieren. Wenn die Oberfläche des Spiegels 1 zu einem per fekten Parabolspiegel poliert ist, wird die von einem Him melskörper ausgesandte elektromagnetische Welle auf einen einzigen Punkt (den Brennpunkt) konvergent gemacht. In der Praxis wird die einfallende elektromagnetische Welle nicht als ein Bild fokussiert, das einen Durchmesser von praktisch gleich Null hat, und zwar wegen der Lichtbrechung, und es gibt eine theoretische Grenze des Bilddurchmessers, die durch die Öffnung D des Spiegels und die Wellenlänge λ der einfal lenden elektromagnetischen Welle bestimmt ist.

Die Halbwertsbreite im theoretischen Grenzbild wird im allge meinen wie folgt geschrieben:

Halbwertsbreite = 1,02 × (λ/D) rad = 2,1 × 10⁵ × (λ/D) arc sec (1)

Die Halbwertsbreite ist die Breite zwischen zwei Werten auf der horizontalen Achse eines Diagramms, das eine Lichtstärke- Verteilungskurve zeigt, wobei die Lichtstärke die halbe maxi male Lichtstärke ist, wie Fig 2 zeigt. Somit ist eine theo retische Grenze der Größe des Bildes eines Sterns abhängig von der Öffnung D des Spiegels 1 und der Wellenlänge λ der einfallenden elektromagnetischen Welle. Das heißt, die theo retische Grenze ist kleiner, und die Helligkeit ist größer, wenn die Öffnung D größer ist. Infolgedessen ermöglicht eine Vergrößerung der Öffnung des Spiegels 1 eine Verminderung der Bildgröße und ist daher ein signifikanter Beitrag zur Verbes serung der Auflösung und der Empfindlichkeit und sowie zur Verringerung der Belichtungszeit.

In der Praxis unterliegt der Spiegel 1 aber einer thermischen Verformung entsprechend der Temperaturänderung, weil die Wär medehnzahl der Segmente 2 nicht Null ist. Wenn sämtliche Seg mente 2 die gleiche Wärmedehnzahl haben, kann durch die Tem peraturänderung nur der Brennpunkt des Spiegels 1 geändert werden, und die Bildgüte wird nicht verschlechtert, weil die Form jedes Segments 2 vor und nach der Wärmeänderung gleich ist. In der Praxis jedoch unterscheiden sich die Segmente 2 in bezug auf ihre Wärmedehnzahl, und der Spiegel 1 unterliegt daher einer unregelmäßigen thermischen Verformung.

Da die Zahl der einzelnen Segmente 2 des Spiegels 1 mit der Öffnung D des Spiegels 1 steigt, ist die Unregelmäßigkeit der thermischen Verformung eines größeren Spiegels komplexer, und eine geringfügige Neigung des Spiegels infolge der thermi schen Verformung bewirkt eine signifikante thermische Ver formung des Spiegels. Wenn daher eine thermische Verformung im Spiegel auftritt, wird das von einem Himmelskörper empfan gene auftreffende Licht gestreut und bildet ein unscharfes Bild, das eine Lichtstärkenverteilung hat, wie sie in Fig. 3(b) durch die fortlaufende Linie angedeutet ist, und es ist somit unmöglich, die vorgenannten Vorteile einer Vergrößerung der Öffnung des Spiegels 1 wirklich optimal zu nutzen.

Eine Art von Inhomogenitäten in den jeweiligen Wärmedehn zahlen der Segmente 2, die zu der unregelmäßigen thermischen Verformung des Spiegels führen, ist der Unterschied des Gra dienten der Wärmedehnzahl jedes Segments 2 in bezug auf die Dickenrichtung der Segmente 2, was einen Bimetall-Effekt her vorruft, und eine weitere Art von Inhomogenität ist die Ver schiedenheit der mittleren Wärmedehnzahl der einzelnen Seg mente 2. Ein bekanntes Verfahren schlägt die Unterdrückung der thermischen Verformung auf das kleinste Maß vor, indem die Segmente gemäß Fig. 4 angeordnet werden.

In Fig. 4 bedeuten Δα₁ bis Δα₃₇ (Δα₁ . . . Δα₃₇) die Ab weichungen der jeweiligen mittleren Wärmedehnzahlen von Segmenten 2 vom Mittelwert der Wärmedehnzahlen sämtlicher Segmente 2. Die Segmente 2 sind in drei Gruppen unterteilt, und zwar eine Gruppe von Segmenten mit größeren Abweichungen (dargestellt durch Segmente, die durch sich kreuzende Schräg linien schraffiert sind), eine Gruppe von Segmenten mit mitt leren Abweichungen (dargestellt durch mit Punkten schattierte Segmente) und eine Gruppe von Segmenten mit kleineren Ab weichungen (dargestellt durch leere Segmente).

Dieses bekannte Verfahren ordnet die Segmente 2 von verschie denen Gruppen entsprechend Fig. 4 an, wobei Segmente 2, die in der Gruppe von Segmenten 2 mit mittleren Abweichungen ent halten sind, und Segmente 2, die in der Gruppe von Segmenten mit kleineren Abweichungen enthalten sind, um jedes Segment 2 herum angeordnet sind, das zu der Gruppe von Segmenten mit größeren Abweichungen gehört. Diese Anordnung verringert die starke Wärmedehnung des Segments 2 mit großer Abweichung in gewissem Maß durch die relativ geringe Wärmeausdehnung der es umgebenden Segmente 2, um dadurch eine Verformung des Spie gels 1 auf eine lokale Verformung zu begrenzen. Die Verfor mung des Spiegels, der durch Anordnen der Segmente in dieser Anordnung mit dem bekannten Verfahren hergestellt ist, wird intuitiv als wesentlich kleiner als diejenige eines Spiegels angenommen, bei dem die Verteilung der Wärmedehnzahlen der Segmente lokalisiert ist.

Fig. 5 ist ein Schnitt durch einen Spiegel, der mit Stellein heiten zur Korrektur der thermischen Verformung versehen ist. Temperaturfühler 3 sind an der Rückseite des Spiegels 1 be festigt, eine Datenverarbeitungseinheit 4 berechnet Korrek turkräfte auf der Grundlage der Temperatur des Spiegels 1, die von den Temperaturfühlern 3 gemessen wird, und eine Stelleinheitensteuerung 5 steuert Stelleinheiten 6, um geeig nete Korrekturkräfte an den Spiegel 1 anzulegen, um dessen thermische Verformung auszugleichen.

Wenn es erwünscht ist, die thermische Verformung durch die Stelleinheiten 6 perfekt zu korrigieren, müssen Irregularitäten sehr kleiner Biegungen korrigiert werden, was eine große Kraft zur Korrektur erfordert und damit in der Praxis unmöglich ist. Die Verformung wird daher in eine Reihe von endlichen oder unendlichen Termen als eine Funktion der räum lichen Frequenz entwickelt, und nur die Terme mit großen Bie gungs-Irregularitäten werden korrigiert. Die Restverformung der Spiegeloberfläche aufgrund von Irregularitäten kleiner Biegungen, die nicht korrigiert worden sind, verschlechtern die Bildgüte.

Fig. 6 zeigt eine Anordnung von Segmenten, bei der intuitiv erwartet wird, daß eine thermische Verformung lokal in den Termen mit großen Irregularitäts-Biegungen auftritt, wobei nur die Terme mit großen Irregularitäts-Biegungen korrigiert werden. In Fig. 6 entsprechen Δα₁ bis Δα₃₇ der Segmente 2 jeweils den Bezeichnungen der Segmente 2 von Fig. 4.

Da der bekannte Spiegel auf diese Weise hergestellt wird, wird die Anordnung der Segmente intuitiv bestimmt. Eine solche Anordnung von Segmenten ist daher nicht unbedingt wirksam, um the thermische Verformung auf das kleinste Maß zu verringern.

Weiterhin sind aus den deutschen Patentschriften DE 37 39 841 C1 und DE 40 39 878 C1 segmentierte Spiegel für Spiegelteleskope bekannt, bei denen jedes einzelne Spiegel segment rechnergesteuert justierbar ist. In diesen Druck schriften wird jedoch nicht explizit auf das Problem der thermischen Verformung der Spiegelelemente Bezug genommen.

Aufgabe der Erfindung ist somit die Bereitstellung eines Ver fahrens zur Herstellung eines Spiegels, wobei die thermische Verformung des Spiegels oder die thermische Restverformung, die im Spiegel nach Korrektur der thermischen Verformung verbleibt, durch Reihenentwicklung der thermischen Verformung als Funktion der räumlichen Frequenz auf das kleinste Maß verringert werden kann.

Bei einer ersten Ausführungsform der Erfindung besteht die Lösung des Problems darin, ein Verfahren zur Herstellung eines zusammengesetzten Spiegels durch Positionieren und Zusammen fügen einer Vielzahl von Spiegelsegmenten anzugeben, das gekennzeichnet ist durch die folgenden Schritte:

a) Messen der Wärmedehnzahlen der jeweiligen Spiegelsegmente an mindestens einem Prüfpunkt an der Oberfläche von jedem einzelnen Spiegelsegment, die eine Vielzahl von Prüfpunkten bilden,
b) Entwickeln einer Matrix, die die Beziehung zwischen den räumlichen Verlagerungen der Vielzahl von Prüfpunkten an der Oberfläche des Spiegels und einem Wärmedehnzahlvektor ausdrückt, dessen Komponenten von den jeweiligen Wärme dehnzahlen der Spiegelsegmente an ihrer jeweiligen Position abhängen,
c) Aufstellen einer Vielzahl von Wärmedehnzahlvektoren durch Umgruppieren der Komponenten des besagten Wärmedehnzahl vektors und Auswählen eines solchen Wärmedehnzahlvektors, mit dem die Summe der Quadrate der räumlichen Verlage rungen zu einem Minimum gemacht wird,
d) Anordnen der Spiegelsegmente unter Verwendung der Positionen, die den Komponenten des ausgewählten Wärme dehnzahlvektors entsprechen,
e) Zusammenfügen der so positionierten Spiegelsegmente.

Gemäß einer zweiten Ausführungsform der Erfindung besteht die Lösung des Problems darin, ein Verfahren zur Herstellung eines zusammengesetzten Spiegels durch Positionieren und Zusammen fügen einer Vielzahl von Spiegelsegmenten anzugeben, bei dem der Spiegel einer vorbestimmten Verformungskorrektur unter zogen wird, wobei das Verfahren gekennzeichnet ist durch die folgenden Schritte:

a) Messen der Wärmedehnzahlen der jeweiligen Spiegelsegmente an mindestens einem Prüfpunkt an der Oberfläche von jedem einzelnen Spiegelsegment, die eine Vielzahl von Prüf punkten bilden,
b) Berechnen von Restverlagerungen für diejenige Vielzahl von Prüfpunkten, die nach einer Korrektur von vorbestimmten Termen in einer Reihenentwicklung verbleiben, welche die thermische Verformung des Spiegels repräsentiert,
c) Entwickeln einer Matrix, die die Beziehung zwischen einem Restverlagerungsvektor, dessen Komponenten die Restverla gerungen für diese Vielzahl von Prüfpunkten repräsen tieren, und einem Wärmedehnzahlvektor ausdrückt, dessen Komponenten von den jeweiligen Wärmedehnzahlen der Spiegelsegmente an ihrer jeweiligen Position abhängen,
d) Aufstellen einer Vielzahl von Wärmedehnzahlvektoren durch Umgruppieren der Komponenten des besagten Wärmedehnzahl vektors und Auswählen eines solchen Wärmedehnzahlvektors, mit dem die Summe der Quadrate der Komponenten des Restverlagerungsvektors zu einem Minimum gemacht wird,
e) Anordnen der Spiegelsegmente unter Verwendung der Posi tionen; die den Komponenten des ausgewählten Wärmedehn zahlvektors entsprechen, und
f) Zusammenfügen der so positionierten Spiegelsegmente.

Vorteilhafte Weiterbildungen der Verfahren gemäß der Erfindung sind in den Unteransprüchen angegeben.

Die Erfindung wird nachstehend anhand der Beschreibung von Ausfüh rungsbeispielen und unter Bezugnahme auf die beiliegenden Zeichnungen näher erläutert.

Die Zeichnungen zeigen in

Fig. 1 eine Draufsicht, die die Positionsnummern der Anordnung der Segmente eines Spiegels zeigt;

Fig. 2 ein Diagramm, das die Lichtstärkeverteilung eines stellaren Bilds zeigt, das von einem nichtverform ten Spiegel gebildet ist;

Fig. 3 einen Schnitt durch einen verformten Spiegel sowie ein Diagramm, das die Lichtstärkeverteilung in einem stellaren Bild zeigt, das von dem verformten Spiegel gebildet ist;

Fig. 4 eine Perspektivansicht zur besseren Erläuterung einer Anordnung der Segmente eines Spiegels, der nach einem bekannten Verfahren hergestellt ist;

Fig. 5 ein Blockbild eines Systems zur Korrektur der thermischen Verformung, das in einen bekannten Spiegel eingebaut ist;

Fig. 6 eine Draufsicht, die die Anordnung der Segmente des Spiegels von Fig. 5 zeigt;

Fig. 7 eine Perspektivansicht eines Spiegels;

Fig. 8 ein Flußdiagramm, das Schritte eines Verfahrens zur Herstellung eines Spiegels bei einem ersten Ausfüh rungsbeispiel der Erfindung erläutert;

Fig. 9 Draufsichten auf Konturlinien in Eigenmoden;

Fig. 10 ein Flußdiagramm zur Erläuterung von Schritten eines Verfahrens zur Herstellung eines Spiegels gemäß einem zweiten Ausführungsbeispiel der Erfindung; und

Fig. 11 eine Draufsicht auf die Anordnung der Segmente eines Spiegels, der nach einem Verfahren gemäß der Erfin dung hergestellt ist.

Fig. 1 ist eine Draufsicht auf einen Spiegel 1, der aus sie benunddreißig Segmenten 2 besteht, wobei die auf den Segmenten 2 befindlichen Zahlen 1-37 die Nummern der Positionen der Segmente 2 im Spiegel und nicht die mittleren Wärmedehnzahlen bezeichnen.

Nachstehend wird ein erstes Ausführungsbeispiel des Verfahrens zur Herstellung eines Spiegels unter Bezugnahme auf das Flußdiagramm von Fig. 8 beschrieben. In der nachstehenden Beschreibung werden die Abweichungen der Wärmedehnzahlen der Segmente 2 von dem Mittelwert der Wärmedehnzahlen der 37 Segmente 2 einfach als "Wärmedehnzahlen" α₁, α₂, . . . , α₃₇ (α₁ α₂ . . . α₃₇) bezeichnet. Wärmeverlagerungs- Prüfpunkte bzw. -Abtastpunkte, von denen hier eintausend Punkte angenommen werden, sind nahezu gleichbeabstandet auf der Oberfläche des Spiegels 1 verteilt, und die Verlagerungen der Prüfpunkte sind repräsentiert durch ΔZ_k (k = 1, 2, . . . , 1000). Die Positionen der Segmente 2 werden bestimmt durch Zuordnen der jeweiligen Wärmedehnzahlen α_j der Segmente 2 zu den Segmentpositionen, die durch die Zahlen j (j = 1, . . . , 37) von Fig. 1 bezeichnet sind. Nachstehend wird nun die Wärme dehnzahl des Segments an der Position j als α_j ausgedrückt. Wenn die Wärmedehnzahlen α_j (j = 1, 2, . . . , 37) der Segmente 2 gegeben sind, können die Verlagerungen αZ_k der Prüfpunkte für eine Temperaturänderung ΔT mit einer Methode der finiten Ele mente berechnet werden. Daher kann die Beziehung zwischen den Wärmedehnzahlen α_j (j = 1, 1, . . . , 37) und den Verlagerungen ΔZ_k (k = 1, 2, . . . , 1000) durch eine 1000×37-Matrix S unabhängig von den Wärmedehnzahlen α_j geschrieben werden:

Werte in der ersten Zeile können durch den Ausdruck (2) als Verlagerungsvektor (ΔZ₁, ΔZ₂, . . . . ΔZ₁₀₀₀) berechnet werden, wenn der Vektor von Wärmedehnzahlen (α₁, α₂, . . . , α₃₇) (1, 0, . . . , 0) und ΔT = 1°C ist. Ebenso können Werte in sämtlichen Zeilen durch Berechnen von ΔZ_k (k = 1, 2, . . . , 1000) bestimmt werden, wenn (α₁, α₂, . . . , α₃₇) = (0, 1, 0, . . . 0) , (0, 0, 1, 0, . . . , 0) usw. Somit können Werte in den Zeilen der Matrix S berechnet werden (Schritt ST1).

Der Verlagerungsvektor U und der Wärmedehnzahlvektor α sind durch den folgenden Ausdruck definiert:

Durch Substitution der Gleichung (3) in Gleichung (2) erhält man somit:

U = S · α · ΔT (4).

Die Größe der Verformung kann im allgemeinen durch den qua dratischen Mittelwert (rms) der Verformungen ausgewertet werden. Daher gilt:

Aus der Gleichung (5) ist ersichtlich, daß der quadratische Mittelwert Minimum ist, wenn die Summe der Quadrate der Ver lagerungen Σ(ΔZ_k)² (k = 1, 2, . . ., 1000) Minimum ist. Die Summe der Quadrate der Verlagerungen kann wie folgt geschrieben werden:

wobei ||U||² das Quadrat der Norm des Verlagerungsvektors U ist und der Index "t" eine transponierte Matrix bezeichnet.

Aus der Gleichung (6) ist bekannt, daß die thermische Ver formung zu Minimum vermindert werden kann, wenn der Wert von t_α·t_S·S· _α zu Minimum vermindert wird. Wenn t_S·S durch eine Matrix R ausgedrückt wird, ist die Matrix R eine symmetrische 37×37-Matrix unabhängig von dem Wärmedehnzahlvektor α (Schritt ST2). Daher kann eine optimale Anordnung der Segmente 2 durch Bestimmen der Anordnung der Werte der Wärmedehnzahl α₁, α₂, . . . , oder α₃₇ jedes einzelnen Segments als die Komponenten des Wärmedehnzahlvektors so bestimmt werden, daß ||U||² = t_α _·R· _α ein Minimum ist.

Die Anordnung der Komponenten des Wärmedehnzahlvektors α, um ||U||² zu Minimum zu machen, wird nachstehend beschrieben. ||U||² hat quadratische Form, und somit ist der Wert von ||U||² Minimum, wenn der Wärmedehnzahlvektor α dem Eigenvektor der symmetrischen Matrix R parallel ist. Da jedoch der Wärme dehnzahlvektor α nur im Umordnungsbereich der Komponenten geändert werden kann, wird ein Wärmedehnzahlvektor einer Richtung, die der Richtung des Eigenvektors der symmetrischen Matrix R am nächsten ist, als optimaler Wärmedehnzahlvektor unter den durch die Umgruppierung der Komponenten gegebenen Wärmedehnzahlvektors ausgewählt.

Der Wärmedehnzahlvektor α einer Richtung, die der Richtung des Eigenvektors der symmetrischen Matrix R am nächsten ist, kann durch Verwendung des Skalarprodukts erhalten werden.

Es sei angenommen, daß der Eigenvektor der symmetrischen Matrix R x ist und der Winkel zwischen dem Eigenvektor der symmetrischen Matrix R und dem Wärmedehnzahlvektor α Θ ist. Dann kann ein Wärmedehnzahlvektor α so gewählt werden, daß der entsprechende Winkel Θ am nächsten zu 0 oder π liegt. Da also

(α, x) = |α| |x| cos Θ,

wobei (α, x) das Skalarprodukt ist, macht ein Wärmedehnzahl vektor α nächst dem Eigenvektor x das Skalarprodukt (α, x) zu Maximum oder zu Minimum. Eine solche Anordnung kann wie folgt festgelegt werden.

[Lemma] (Maximierung des Skalarprodukts durch die Umgruppie rung der Komponenten) Eine Anordnung, die für ein Skalarpro dukt (α, x) ein Maximum ergibt, ist eine Anordnung von α_j in aufsteigender Folge entsprechend der Anordnung der Komponenten des Eigenvektors x der symmetrischen Matrix R in aufsteigender Folge. Beim Anordnen der Wärmedehnzahlvektoren α wird eine kleinste Komponente unter den Komponenten von α an der Posi tion der Komponente des Vektors α angeordnet, die der Position der Komponente entspricht, an der die kleinste Komponente von x liegt, und dann wird die n-te (n = 2-37) Komponente aus der kleinsten Komponente von α an einer Position angeordnet, die der Position der n-ten Komponente aus der kleinsten Komponente von x entspricht.

[Beweis] Der Wärmedehnzahlvektor wird gebildet durch Anordnen von α_j in einer aufsteigenden Folge, so daß sie der aufstei genden Folge der Komponenten des Eigenvektors der symmetri schen Matrix R entspricht.

(Skalarprodukt (α, x) = α₁x₁ + α₁x₂ + . . . + α₃₇x₃₇).

Wenn in der Gleichung (7) beispielsweise x₁₀ der kleinste Wert unter x_n (n = 1-37) ist, so wird der kleinste Wert unter α₁ bis α₃₇, nämlich α₃₇, α₁₀ zugeordnet. Wenn x₅ nach x₁₀ am nächstkleinsten ist, so wird der zweitkleinste Wert unter α₁ bis α₃₇, nämlich α₃₆, α₅ zugeordnet. Es sollen nun zwei beliebige Terme des Skalarprodukts α_ix_i + α_jx_j betrachtet werden, wobei im mathematischen Sinn folgendes angenommen wird:

a_j = α_i + δα (δα 0).

x_j = x_i + δx (δx 0).

Da die aufsteigende Folge von Komponenten von x der aufstei genden Folge der Komponenten von α entspricht, ist x_j zwangs läufig größer als x_i, wenn α_j größer ist als α_i ist, so daß diese Definition möglich ist. Wenn die Komponenten von α ausgetauscht werden, sind die beiden Terme α_jx_i + α_ix_j.

(α_jx_i + α_ix_j) - (α_ix_i + α_jx_j) = {(α_i + δα)x_i + α_i (x_i + δx)} - {α_ix_i + (α_i + δα) (x_i + δx)} = -δαδx 0 (8)

Somit ist das Skalarprodukt, das auf Ausdrücke bezogen ist, die durch Umgruppierung der Komponenten des Ausdrucks (7) erhalten werden, zwangsläufig verringert. Daher ist der Aus druck (7) die Anordnung, um das Skalarprodukt zu Minimum zu machen.

[Lemma] (Minimierung des Skalarprodukts durch die Umgruppie rung der Komponenten) In Übereinstimmung mit der Anordnung der Komponenten von x in einer aufsteigenden Folge wird α_i in einer absteigenden Folge angeordnet, um das Skalarprodukt (α, x) zu Minimum zu machen. Das heißt, die größte Komponente unter den Komponenten von α wird an die Stelle der Komponente des Vektors α gesetzt, die der Stelle der kleinsten Komponente unter denjenigen von x entspricht. Gleichermaßen werden die n ten größten Komponenten unter denjenigen von α an eine Posi tion gesetzt, die der Position der n-ten (n = 2-37) kleinsten Komponente unter denjenigen von x entspricht.

[Beweis] Der Wärmedehnzahlvektor wird gebildet durch Umordnen von α_i in absteigender Folge, um den Komponenten des Eigen vektors x von R, die in aufsteigender Folge angeordnet sind, zu entsprechen.

[Skalarprodukt (α, x) = α₁x₁ + α₂x₂ + . . . + α₃₇x₃₇].

Wenn in dem Ausdruck (9) beispielsweise x₁₀ die kleinste Kom ponente unter x_n (n = 1-37) ist, so wird der größte Wert unter α₁ bis α₃₇, α₁₀ zugeordnet. Wenn x₅ die zweitkleinste ist, so wird der zweitgrößte Wert unter α₁ bis α₃₇, α₅ zugeordnet. Es sollen nun zwei beliebige Terme des Skalarprodukts α_ix_i + α_jx_j betrachtet werden, wobei folgendes angenommen werden kann:

α_j = α_i + δα (δα 0)

x_j = x_i + δx (δx 0)

Da die aufsteigende Folge der Komponenten von x der abstei genden Folge der Komponente von α entspricht, ist x_j notwen digerweise kleiner als x_i, wenn α_j größer als α_i ist. Wenn die Komponenten von α ausgetauscht werden, sind die beiden Terme

α_jx_i + α_ix_j

und

(α_jx_i + α_ix_j) - (α_ix_i + α_jx_j) = {(α_i + δα)x_i + (α_i (x_i - δx)} - {(α_ix_i + (α_i + δα) (x_i - δx)} = -δα · 0.

Das Skalarprodukt, das sich auf Ausdrücke bezieht, die durch Umgruppierung der Komponenten des Ausdrucks (9) erhalten sind, wird zwangsläufig erhöht. Daher ist der Ausdruck (9) die Anordnung, um das Skalarprodukt zu Minimum zu machen.

Infolgedessen kann eine optimale Anordnung aus diesen beiden Lemmas durch das folgende Vorgehen bestimmt werden.

(1) Die Komponenten von α werden in einer aufsteigenden Folge in Übereinstimmung mit der Anordnung der Komponenten von x in aufsteigender Folge angeordnet. Die n-te kleinste Komponente von α wird an eine Position gesetzt, die der Position der n ten kleinsten Komponente von x entspricht, um einen Vektor a₁ zu bilden.
(2) Die Komponenten von α werden in einer absteigenden Folge in Übereinstimmung mit der Anordnung der Komponenten von x in aufsteigender Folge angeordnet. Die n-te größte Komponente von α wird an eine Position gesetzt, die der Position der n-ten kleinsten Komponente von x entspricht, um einen Vektor a₂ zu bilden.
(3) Die Vektoren a₁ und a₂ werden für sämtliche Eigenvektoren erhalten. Eine Gleichung ||U||² = t_α _·R· _α wird für jeden Eigenvektor berechnet. Ein Vektor, der unter sämtlichen Vek toren a₁ und a₂ ||U||² zu Minimum macht, wird als α ausge wählt (Schritte ST4 und ST5).

Schließlich werden die Segmente 2 entsprechend den Kompo nenten des α, das ||U||² ein Minimum macht, angeordnet, und die Segmente 2 werden zusammengefügt (Schritt ST6).

Ein Verfahren zum Herstellen eines Spiegels gemäß einem zweiten Ausführungsbeispiel der Erfindung wird nachstehend unter Bezugnahme auf das Flußdiagramm von Fig. 10 beschrie ben. Bei dem zweiten Ausführungsbeispiel wird die thermische Verformung einer modalen Entwicklung unterworfen, und Seg mente 2 werden so angeordnet, daß die nach der Korrektur von vorbestimmten Termen verbleibende Restverformung auf ein Minimum reduziert ist. Das heißt, die Anordnung der Segmente 2 wird so bestimmt, daß die nach der Korrektur der Verformung durch das Korrektursystem von Fig. 5 verbleibende Restver formung minimal ist.

Wie oben erwähnt, wird die Beziehung zwischen einem Verlage rungsvektor U und einem Wärmedehnzahlvektor α durch

U = S · α · ΔT

ausgedrückt, und die Restverformung wird durch Subtraktion einer Korrektur von dem Verlagerungsvektor U erhalten. In folgedessen wird die Beziehung zwischen der Restverformung und dem Wärmedehnzahlvektor α aus der Beziehung zwischen der Korrektur und dem Wärmedehnzahlvektor α bestimmt.

Die Korrektur eines ersten Eigenmodes zu einem Dreißig- Sekunden-Eigenmode wird nachstehend beschrieben.

Der Verlagerungsvektor U kann durch die Überlagerung von unendlichen Einheiten von Eigenmoden ausgedrückt werden. Die Eigenmoden können mit einer Methode der finiten Elemente berechnet werden. Fig. 9 zeigt Beispiele von Mustern von Eigenmoden. Ein Verformungsmuster q_m des m-ten Eigenmodes ist durch die Verlagerung q_mi des gleichen Koordinatenpunkts wie der Verlagerungsvektor U durch einen Ausdruck (11) repräsen tiert:

Der Verlagerungsvektor U wird durch die Überlagerung von Eigenmoden ausgedrückt:

Daher gilt

wobei A_m Entwicklungskoeffizienten sind.

Die erste bis zweiunddreißigste Komponente unter diesen Kom ponenten sind Korrekturen.

Wenn A und Q ausgedrückt sind durch

Korrektur = Q · A. Die Elemente der Matrix Q werden mit einer Methode der finiten Elemente berechnet (Schritt ST12).

Im übrigen stehen der Wärmedehnzahlvektor α und der Verlage rungsvektor U in linearer Beziehung zueinander entsprechend dem Ausdruck (4), der Verlagerungsvektor U steht außerdem in linearer Beziehung zu dem Entwicklungskoeffizienten A, und somit stehen der Wärmedehnzahlvektor α und der Entwicklungs koeffizient A in linearer Beziehung zueinander. Infolgedessen kann die Beziehung zwischen dem Wärmedehnzahlvektor a und dem Entwicklungskoeffizienten A durch den folgenden Ausdruck un ter Verwendung einer Matrix P ausgedrückt werden:

Werte in der ersten Reihe der Matrix P sind Entwicklungs koeffizienten zur Entwicklung der thermischen Verformung, die den Werten in der ersten Reihe der Matrix S entsprechen. Die thermische Verformung wird mit einer Methode der finiten Ele mente berechnet, und die Modenentwicklung wird mit der Metho de der kleinsten Quadrate berechnet. Werte in der zweiten Reihe der Matrix P können aus der zweiten Reihe der Matrix S in ähnlicher Weise berechnet werden (Schritt ST13).

Somit kann die Korrektur Q · A zu dem Wärmedehnungsvektor α in Beziehung gesetzt werden.

Q × A = Q · P · α · ΔT.

Daher kann ein Restverformungsvektor U_z bestimmt werden durch Subtraktion der Korrektur von dem Verlagerungsvektor U (Schritt ST14).

U_z = U - Q · P · α · ΔT = S · α · ΔT - Q · P · α · ΔT

= (S - Q · P)α · ΔT.

Wenn man S_z für S - Q · P substituiert, erhält man

U_z = S_z · α · ΔT.

Somit kann eine optimale Anordnung mit dem zweiten Ausfüh rungsbeispiel ebenso wie mit dem ersten Ausführungsbeispiel dadurch bestimmt werden, daß der Restverformungsvektor U_z anstelle des Verlagerungsvektors U des ersten Ausführungsbei spiels verwendet wird. Das restliche Vorgehen ist das gleiche wie beim ersten Ausführungsbeispiel und wird daher nicht nochmals erläutert.

Das erste und das zweite Ausführungsbeispiel verwenden zwar die Abweichungen der Wärmedehnzahlen der Segmente 2 als die Wärme dehnzahlvektoren α, um die thermische Verformung des Spiegels 1 oder die restliche thermische Verformung, die in dem Spiegel 1 nach der Korrektur der thermischen Verformung verbleibt, bei der Herstellung des Spiegels 1 zu minimieren, aber die Anwen dung der Gradienten der Wärmedehnzahlen in bezug auf die Dickenrichtung der Segmente 2 als die Wärmedehnzahlvektoren α ergibt die gleiche Auswirkung.

Fig. 11 zeigt eine Anordnung von Segmenten, bei der die nach der Korrektur der ersten bis zweiunddreißigsten Eigenmoden der thermischen Verformung verbleibende Restverformung zu Minimum gemacht wird, wenn die Gradienten der Wärmedehnzahlen der Segmente 2 in bezug auf die Dickenrichtung der Segmente 2 als die Wärmedehnzahlvektoren α verwendet werden.

In Fig. 11 bezeichnen α₁ bis α₃₇ (α₁ α₂ . . . α₃₇) auf den Segmenten 2 die Gradienten der Wärmedehnzahlen der Segmente 2 in bezug auf die Dickenrichtung der Segmente 2.

Wie aus der vorstehenden Beschreibung ersichtlich ist, berechnet das Verfahren zu Herstellung eins Spiegels die Quadratsumme der Komponenten der Wärmedehnzahlvektoren unter Nutzung der Anordnung der Komponenten des Wärmedehnzahl vektors in einer absteigenden Folge oder in einer aufstei genden Folge entsprechend der Anordnung der Komponenten jedes Eigenvektors der symmetrischen Matrix der Matrizengleichung für jeden Eigenvektor, und die Segmente werden nach Maßgabe der Komponenten der Wärmedehnzahlvektoren, die die Quadrat summe der Komponenten des Verlagerungsvektors oder des Rest verformungsvektors zu Minimum machen, angeordnet und zusam mengefügt. Somit kann eine optimale Anordnung der Segmente analytisch festgelegt werden, was die Herstellung eines Spiegels erlaubt, der nach der Korrektur die geringstmögliche thermische Verformung oder die geringstmögliche Restverfor mung aufweist.

Claims

1. Verfahren zur Herstellung eines zusammengesetzten Spie gels durch Positionieren und Zusammenfügen einer Vielzahl von Spiegelsegmenten, gekennzeichnet durch die folgenden Schritte:

a) Messen der Wärmedehnzahlen der jeweiligen Spiegel segmente an mindestens einem Prüfpunkt an der Ober fläche von jedem einzelnen Spiegelsegment, die eine Vielzahl von Prüfpunkten bilden,
b) Entwickeln einer Matrix, die die Beziehung zwischen den räumlichen Verlagerungen der Vielzahl von Prüf punkten an der Oberfläche des Spiegels und einem Wärmedehnzahlvektor ausdrückt, dessen Komponenten von den jeweiligen Wärmedehnzahlen der Spiegelsegmente an ihrer jeweiligen Position abhängen,
c) Aufstellen einer Vielzahl von Wärmedehnzahlvektoren durch Umgruppieren der Komponenten des besagten Wärmedehnzahlvektors und Auswählen eines solchen Wärmedehnzahlvektors, mit dem die Summe der Quadrate der räumlichen Verlagerungen zu einem Minimum gemacht wird,
d) Anordnen der Spiegelsegmente unter Verwendung der Positionen, die den Komponenten des ausgewählten Wärmedehnzahlvektors entsprechen,
e) Zusammenfügen der so positionierten Spiegelseg mente

2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß der Schritt der Auswahl eines Wärmedehnzahlvektors, der die Summe der Quadrate der räumlichen Verlagerungen zu einem Minimum macht, folgende Schritte umfaßt:

- Aufstellen einer ersten Matrix, die den Zusammenhang zwischen einem Verlagerungsvektor, dessen Komponenten den räumlichen Verlagerungen an der Vielzahl von Prüf punkten an der Oberfläche des Spiegels entsprechen, und dem besagten Wärmedehnzahlvektor ausdrückt, und einer zweiten Matrix durch Transponieren der ersten Matrix,
- Berechnen der Eigenvektoren einer dritten Matrix, die sich als Produkt durch Multiplikation der ersten und der zweiten Matrix ergibt,
- Aufstellen der Komponenten des besagten Wärmedehnzahl vektors in einer aufsteigenden Folge entsprechend der Anordnung der Komponenten des Eigenvektors in einer aufsteigenden Folge, derart, daß die kleinste Kompo nente des Wärmedehnzahlvektors an eine Position ge setzt wird, die der kleinsten Komponente des Eigenvek tors entspricht, daß die zweitkleinste Komponente des Wärmedehnzahlvektors an eine Position gesetzt wird, die der zweitkleinsten Komponente des Eigenvektors entspricht, usw. und Berechnen der Summe der Quadrate von räumlichen Verlagerungen unter Verwendung eines derart gebildeten Wärmedehnzahlvektors,
- Aufstellen der Komponenten des besagten Wärmedehnzahl vektors in einer absteigenden Folge entsprechend der Anordnung der Komponenten des Eigenvektors in aufstei gender Folge, derart, daß die größte Komponente des Wärmedehnzahlvektors an eine Position gesetzt wird, die der kleinsten Komponente des Eigenvektors ent spricht, daß die zweitgrößte Komponente des Wärmedehn zahlvektors an eine Position gesetzt wird, die der zweitkleinsten Komponente des Eigenvektors entspricht, usw. und Berechnen der Summe der Quadrate von räumli chen Verlagerungen unter Verwendung eines derart ge bildeten Wärmedehnzahlvektors,
- Auswählen desjenigen Wärmedehnzahlvektors, der die kleinste Summe der berechneten Quadrate ergibt.

3. Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, daß als Komponenten des Wärmedehnzahlvektors diejenigen Werte verwendet werden, die sich als Abweichungen von der Wärmedehnzahl ergeben, die durch Mittelung von sämtlichen Wärmedehnzahlen aller betrachteten Spiegelsegmente erhal ten wird.

4. Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, daß als Komponenten des Wärmedehnzahlvektors diejenigen Werte verwendet werden, die sich als Gradienten der je weiligen Wärmedehnzahlen der einzelnen Spiegelsegmente in deren Dickenrichtung ergeben.

5. Verfahren zur Herstellung eines zusammengesetzten Spie gels durch Positionieren und Zusammenfügen einer Vielzahl von Spiegelsegmenten, wobei der Spiegel einer vorbestimm ten Verformungskorrektur unterzogen wird, gekennzeichnet durch die folgenden Schritte:

a) Messen der Wärmedehnzahlen der jeweiligen Spiegel segmente an mindestens einem Prüfpunkt an der Oberfläche von jedem einzelnen Spiegelsegment, die eine Vielzahl von Prüfpunkten bilden,
b) Berechnen von Restverlagerungen für diejenige Viel zahl von Prüfpunkten, die nach einer Korrektur von vorbestimmten Termen in einer Reihenentwicklung verbleiben, welche die thermische Verformung des Spiegels repräsentiert,
c) Entwickeln einer Matrix, die die Beziehung zwischen einem Restverlagerungsvektor, dessen Komponenten die Restverlagerungen für diese Vielzahl von Prüf punkten repräsentieren, und einem Wärmedehnzahlvek tor ausdrückt, dessen Komponenten von den jeweili gen Wärmedehnzahlen der Spiegelsegmente an ihrer jeweiligen Position abhängen,
d) Aufstellen einer Vielzahl von Wärmedehnzahlvektoren durch Umgruppieren der Komponenten des besagten Wärmedehnzahlvektors und Auswählen eines solchen Wärmedehnzahlvektors, mit dem die Summe der Qua drate der Komponenten des Restverlagerungsvektors zu einem Minimum gemacht wird,
e) Anordnen der Spiegelsegmente unter Verwendung der Positionen, die den Komponenten des ausgewählten Wärmedehnzahlvektors entsprechen, und
f) Zusammenfügen der so positionierten Spiegelseg mente.

6. Verfahren nach Anspruch 5, dadurch gekennzeichnet, daß die Entwicklung der Matrix folgende Schritte umfaßt:

- Entwickeln einer ersten Matrix Q, welche die Verfor mungsmuster von jedem Term der Reihe repräsentiert, die für jeden Prüfpunkt zur Korrektur der Spiegelver formung verwendet wird;
- Entwickeln einer zweiten Matrix P, die den Zusammen hang zwischen einem Amplitudenvektor, dessen Komponen ten die Amplitude von jedem Term der Reihe repräsen tieren, und dem besagten Wärmedehnzahlvektor aus drückt;
- Entwickeln einer dritten Matrix, die den Zusammenhang zwischen dem Restverformungsvektor und dem besagten Wärmedehnzahlvektor ausdrückt unter Verwendung einer vierten Matrix, die den Zusammenhang zwischen einem Verlagerungsvektor, dessen Komponenten die Verlagerun gen vor einer Korrektur der thermischen Verformung des Spiegels repräsentieren, und dem besagten Wärmedehn zahlvektor sowie den ersten und zweiten Matrizen Q und P ausdrückt.

7. Verfahren nach Anspruch 5 oder 6, dadurch gekennzeichnet, daß der Schritt der Auswahl eines Wärmedehnzahlvektors, der die Summe der Quadrate der Komponenten des Restverla gerungsvektors zu einem Minimum macht, folgende Schritte umfaßt:

- Aufstellen einer fünften Matrix, die den Zusammenhang zwischen dem Restverlagerungsvektor und dem besagten Wärmedehnzahlvektor ausdrückt, und einer sechsten Ma trix durch Transponieren der fünften Matrix;
- Berechnen der Eigenvektoren einer siebenten Matrix, die sich als Produkt durch Multiplikation der fünften und der sechsten Matrix ergibt;
- Aufstellen der Komponenten des besagten Wärmedehnzahl vektors in einer aufsteigenden Folge entsprechend der Anordnung der Komponenten des Eigenvektors in einer aufsteigenden Folge, derart, daß die kleinste Kompo nente des Wärmedehnzahlvektors an eine Position ge setzt wird, die der kleinsten Komponente des Eigenvek tors entspricht, daß die zweitkleinste Komponente des Wärmedehnzahlvektors an eine Position gesetzt wird, die der zweitkleinsten Komponente des Eigenvektors entspricht, usw. und Berechnen der Summe der Quadrate der Komponenten der Restverlagerungen unter Verwendung eines derart gebildeten Wärmedehnzahlvektors;
- Aufstellen der Komponenten des besagten Wärmedehnzahl vektors in einer absteigenden Folge entsprechend der Anordnung der Komponenten des Eigenvektors in aufstei gender Folge, derart, daß die größte Komponente des Wärmedehnzahlvektors an eine Position gesetzt wird, die der kleinsten Komponente des Eigenvektors ent spricht, daß die zweitgrößte Komponente des Wärmedehn zahlvektors an eine Position gesetzt wird, die der zweitkleinsten Komponente des Eigenvektors entspricht, usw. und Berechnen der Summe der Quadrate der Kompo nenten der Restverlagerungen unter Verwendung eines derart gebildeten Wärmedehnzahlvektors;
- Auswählen desjenigen Wärmedehnzahlvektors, der die kleinste Summe der berechneten Quadrate ergibt.

8. Verfahren nach einem der Ansprüche 5 bis 7, dadurch gekennzeichnet, daß als Komponenten des Wärmedehnzahlvektors diejenigen Werte verwendet werden, die sich als Abweichungen von der Wärmedehnzahl ergeben, die durch Mittelung von sämtlichen Wärmedehnzahlen aller betrachteten Spiegelsegmente erhal ten wird.

9. Verfahren nach einem der Ansprüche 5 bis 7, dadurch gekennzeichnet, daß als Komponenten des Wärmedehnzahlvektors diejenigen Werte verwendet werden, die sich als Gradienten der je weiligen Wärmedehnzahlen der einzelnen Spiegelsegmente in deren Dickenrichtung ergeben.