JPH0443407A - 曲線或いは曲面補間式を有して成る制御装置 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 ［産業上の利用分野］ 本発明は、曲線或いは曲面補間式を有して成る制御装置
に関する。特に、ＣＡＤ或いは工作機械の制御装置に関
する。

［従来の技術］ 従来、ＣＡＤにおける或いは工作機械の切削具の移動軌
跡において、２点を与えて円弧の補間式を求める時第３
図に示す方法で求めて制御している。即ち、直交するＸ
、Ｙ軸に対して点ｐＯ１ｐ１及び接線方向の角度θを与
えて、点、ｐＯと９１間の接線角Ｏの円弧を表す補間式
を次の方法で求める。パラメータＵを含む補間式として
下記の（１）式とする。

Ｐ（ｒｊ）＝ ユニでＵはパラメータであって０≦１１≦］、即ち点ｐ
Ｏで０、点ｐ１で１とする。ｈｏｏ（ｕ）、ｈｏｌ（ｕ
）。

ｈｌｏ（ｕ）、　ｂｌｌ　（ｕ）はブレンディング関数
でｈｏｏ（ｕ）＝＝　２　ｕ　”　−−３ｕ　２＋１ｈ
ｏ１（ｕ）＝　−−２ｕ　”　＋３　ｕ　２１＋ｌ０（
ｕ）＝　ｕ　’　−２ｕ　２＋ｕｈｌｌ（ｕ）＝　ｕ　
”　−ｕ　２　　　　　　　　　　で表す。

ｑｏＸｑｌはそれぞれ点９０１点ｐ１での接線ベクトル
である。

第３図において、ＸＹ座標軸の代わりに、点９０１点ｐ
１を通る単位円の円弧の２等分線がＸ。

軸に一致するようなＸ’　、Ｙ’座標軸による表現とす
る。又、点ｐＯ，ｐｉにおける曲線の接線ベクトルの大
きさは等しくｎとし、パラメータ　Ｕ＝１／２で点（１
，Ｏ）を通るとすれば、Ｐ　（ｕ）　＝ ［ｈｏＯ（１／２）、　ｈｏｌ（１／２）、　ｈｌＯ（
１／２）、ｈｌ　１（１／２）コ従って、ｃｏｓ　（θ
）＋ｒｌｓｊｎ（θ）／４＝１となり、未知変数ｎはｎ
　＝４　（１−ｃｏｓ　（Ｏ）　）　／ｓ　１ｎ（Ｏ）
と求まる。この求まった未知変数ｎを上記の（１）式に
代入すれば、パラメータ　ｕ（０≦Ｕ≦１）に対して円
弧の位ｔＰ（ｕ）が求まり、該Ｐ　（ｕ）でもってＣＡ
ＤのＸＹプロッター或いは工作機械等を制御することが
できる。

［発明が解決しようとする課題］ 上記の方法で円弧の位置Ｐ（ｕ）を求めるとき次の問題
点がある。即ち、未知変数ｎは、ｎ＝４（１−ｃｏｓ　
（ｅ）　）　／ｓ　ｉ　ｎ　（θ）となり、５ｉｎ（θ
）が０の時、即ちθ＝：ｏ１土πの時未知変数ｎは不定
となる。又、θの値が０に近い値の時円弧の補間式Ｐ　
（ｕ）は大きな誤差を含む。

そこで本発明は、精度がよい補間式を提供して、精度よ
く制御する工作機械等の制御装置を提供するものである
。

［課題を解決するための手段］ 本発明の制御装置は、２点を通る円弧、４点を通る球面
を表すパラメータを有する補間式を推算する機能を有す
るもので、各点の位置及び未知変数として該各点におけ
る接線角度或いは接線ベクトルの何れか一方を与え、予
め２点を通る円弧或いは４点を通る球面を解析的に求め
た値と前記補間式によって求める値との差を最小と成る
ように前記未知変数を求めて、該未知変数で表した補間
式によってパラメータに対する求まった値で以て制御す
るものである。

［作用１ ２点の位置と該各点における接線角度或いは接線ベクト
ルの何れか一方を与えて、即ち与えない値を未知変数と
し、該未知変数を有する補間式と２点を通る予め解析的
に求めた種々の円弧の位置との差を最小とするような補
間式の未知変数を求める。求まった未知変数をパラメー
タを有する補間式に代入し、該パラメータに対する補間
式の値で以て工作機械等を制御する。又、球面の補間式
も同様に４点の位置及び該４点における接線角度或いは
接線ベクトルの何れか一方を未知変数として、該未知変
数を予め求めた解析解と最小になるように求め、求まっ
た未知変数の値で表した補間式によってパラメータに対
する求まった値で以て制御するものである。

［実施例コ 本発明の１実施例として、例えばＣＡＤ　（ｃ。

ｍｐｕｔｅｒ　　ａｉｄｅｄ　　ｄｅｓｉｇｐ）に対し
ては２点を与えてその間の円弧、４点に対しては球面を
表す補間式を算出して、該補間式で以てＸＹプロッター
を制御したり或いはＣＲＴ（ｃａｔｈｏｄｅ　　ｒａｙ
　　ｔｕｂｅ）に表示制御するものであり図を参照して
説明する。第１図は直交するＸ、Ｙ軸の平面上に２点ｐ
ｏ、ｐｉ　　Ｃ共に位置ベクトル）をとり、該２点を通
る接線角度Ｏの円弧の補間式を求めるものである。補間
式は従来例で表現したパラメータを有する補間式（１）
と同じである。

Ｐ　（ｕ） ・・・　（１） ここでｌ」はバラス〜りであってＯ≦Ｕ≦１、即ち点ｐ
ＯでＯ１点ｐｉで１とする。　ｈｏｏ（ｕ）、ｈｏｌ（
ｕ）。

ｈｌＯ（ｕ）、　ｈｌｌ　（ｕ）は３次式のブレンディ
ング関数でｈｏｏ（ｕ）＝２　ｕ″−３ｕ２＋１ ｈｏ１（ｕ）＝　−２ｕ　３＋３　ｕ　”ｈｌｏ（ｕ）
＝ｕ″−２Ｌ１２＋ｕ ｈｌｌ（ｕ）＝　ｕ　３−　ｕ　２　　　　　　　　　
　で表す。

ｑＯｌｑｌはそれぞれ点９０１点ｐ１での接線ベクトル
である。

上記の（１）式に於いて、既知の変数（与える値）を位
置ベクトルｐＯ１ｐ１及び点ｐｏ、ｐｌにおける接線角
θとする。それ故、未知変数は接線ベクトルｑＯ１ｑｌ
である。なお、既知変数を接線角θでなく接線ベクトル
ｑＯ１ｑｌとしてもよい。又、点ｐＯ１ｐｉを通る円弧
の補間曲線を求めるものであるため、点ｐＯ１ｐｉにお
ける接線角θは等しい、従って、未知変数の接線ベクト
ルｑｏ、ｑｌは互いに等しく、この変数をｎとすれば、
ｎ＝Ｉｑ０１＝ｌｑ４１　　となり、この変数ｎを求め
る。

位置ベクトルｐｏ　、ｐｉは既知であるため、点ｐ０、
ｐｌの距離りは、Ｌ；＝　ｌ　ｐｌ−ｐＯＩとなる。

この距離りより２点ｐＯ，ｐｉを通る円弧の曲率半径ｒ
は点Ｏを中心に　ｒ＝Ｌ／　２　ｓ　ｉ　ｎ　（ａ）と
なり、この式によって円弧上の位置Ｒが解析的に求まる
。

そこで、第１図で示す種々のθ値に対してはそれぞれ異
なった円弧を描くため、任意の角度θをＯｊとし、この
Ｏｊに対する円弧上の位［Ｒを離散（［Ｒ（ｕｉ、（３
ｊ　）で表す。ここで、パラメータｕｉはＯ≦Ｕ≦１を
ｎ分割した値である。又、この円弧上の位置に対する補
間式はＰ（ｕｉ、Ｑｊ、ｎ）で表される。この補間式Ｐ
　（ｕｉ、θｊ、ｎ）は未知変数ｎを含むため、この未
知変数ｎを次式の評価関数Ｊを最小とする、所謂最小二
乗法で求める。

Ｊ＝Σｗ（ｕｉ）［Ｐ　　（ｕｉ、Ｏｊ、ｎ）Ｒ（ｕｉ
、□ｊ　）　　］　　２ ここで、ｗ　（ｕｉ）は重み関数を示す。

第２図は上記の結果を示すものであり、重み関数ｗ（ｕ
ｉ）を１として、横軸にθをとって縦軸に求める未知変
数ｎを規格化したｎ　／　Ｌをプロットした図である。

この図から任意のＯｊに対する未知変数（ｎ；／Ｌ）ｊ
、即ち接線ベクトルｑＯ１ｑ１が求まる。この関係、即
ち離散値θＪに対する離散値（ｎ／Ｌ）ｊとしてデジタ
ルコンピュータのメモリーに記憶して、任意のＯに対し
て逐一補間計算をして未知変数ｎを求めてもよいが、計
算時間がかかり実用面において不利益である。そこで、
更に第２図に示すＯと未知変数ｎとの関係をｎ／Ｌ＝ｇ
　ｌ）の連続関数として求めておく。この関数ｇ（０）
は評価関数、Ｉ°＝Σｖ（１）［（ｎ／Ｉ、）　ｊ　−
ｇ　（Ｏｊ　）　］　２　　を最小とする、所謂最小二
乗法で求める。

以上の結果、２点ｐ　Ｏ，ｐ　１及び接線角Ｏを与える
ことによって、θと未知変数ｎ／Ｌとの関係式ｎ／Ｌ＝
ｇ（θ）によってｎ１即ち接線ベクトルｑ　Ｏ，ｑ　１
は容易に算出でき、この求まった接線ベクトルｑＯ１ｑ
１の値を式（１）式に代入すれば、パラメータＵに対す
る位置Ｐ（１３）が求まる。従って、ＣＡ、Ｄ或いは工
作機械等はパラメータＵの値にしたがって制御すれば２
点間の円弧が精度よく求まる。又、上記から明らかなよ
うに関数ｇ（θ）はＯに対して不定となるような関数型
に求める必要はなく、補間式の精度の向上を図ることが
出来る。

次に、４点の位置ベクトルｐ　（００）、　　ｐ　（Ｏ
ｌ）、　　ｐ（１０）　、　ｐ　（Ｈ）を与えて球面の
補間式について説明する。

補間式Ｐ（ｕ、Ｗ）は、 ｐ　（ｕ、ｗ）”” ［ｈｏｏ（ｕ）、ｈｏｌ（ｕ）、ｈｌＯ（ｕ）、ｈｌｌ
（ｕ）　］で表し、ｕ、ｗはパラメータ、ｈｏｏ（ｕ）
、　ｈｏｌ（ｕ）、　ｈ００（ｗ）、　ｈｏｌ（ｗ）等
はブレンディング関数、ｑ　ｗ（００）は点ｐ　（００
）におけるＷ方向の接線ベクトル、ｑｕ（００）は点ｐ
　（００）におけるＵ方向の接線ベクトルである。

また、４点を通る球面上の位置はＲ（ｕ、ｗ、　　θ、
φ）で表せる。又、位置ベクトルｐ　（００）、　ｐ　
（０１）、　ｐ　（１’Ｏ）　、　ｐ　（１１）及び接
線角度を０１φ与えれば、未知変数は接線ベクトルであ
るｎｏ、ｎφとなる。

そこで、評価関数Ｊを下式で表す。

Ｊ＝ΣＸ（ｕ、ｗ）　　［Ｐ　（ｕ、　ｗ、　　θ、φ
、ｎｏ、ｎφ）−Ｒ（ｕ、ｗ、Ｏ，φ）］２ ここで、Ｘは重み関数を示す。なお、添字は省略しであ
る。

上記の評価関数Ｊを最小にする未知変数の接線ベクトル
を求めることは上記した円弧を求める方法と同じである
ため詳細な説明を省略し概略を述べると、上記の評価関
数Ｊを最小とする各θ、φに対して接線ベクトルｑ　ｗ
（００）　、　　ｑ　ｗ（０１）等と、ｑｕ（００）、
　ｑ　ｕ（０１）等を傾斜法、共役傾斜法等の手法によ
−）で求める。そして求まった未知変数に対して演算を
容易に行なうため更に各θ、φに対して最小２乗法で連
続の関数列ｇｌ（θ、φ）、ｇ２（θ、φ）等を同様に
傾斜法、共役傾斜法等の手法によって求める。従って、
上記した円弧を求めると同様に球面を表す補間式が求ま
り、該補間式によって容易にＣＡＤ或いは工作機械等の
制御が容易となる。

なお、上記の評価関数、１．Ｊ’はいずれも２乗和であ
るが絶対値の和の評価でもよいゆ又、未知変数を接線ベ
クトルでなく、接線ベクトルの値を与えて接線角度とし
てもよい。

［発明の効果］ 本発明の制御装置によれば、２点の位置及び該各点の接
線角度或いは接線ベクトルの何れか一方の値を与えて２
点を通る円弧、或いは４点の位置及び該各点の接線角度
或いは接線ベクトルの何れか一方の値を与えて４点を通
る球面を表すパラメータを有する補間式が精度よく求ま
るため、該補間式によって容易に精度がよい制御が行な
える。

【図面の簡単な説明】

第１図は２点の位置を通る円弧を示す図、第２図は接線
角Ｏに対する補間式の未知変数（ｎ　／　Ｌ）を表す図
、第３図は゛従来例で未知変数を求めるための関係図で
ある。 ｐＯ，ｐｌ　、　　ｐ（００）　、ｐ（０１）　　・・
・１８７置ベクトル（１０、（１１、ｑｗ（００）　　
ｑｗ（０１）、Ｑ　Ｗ（１０）　　ｑｗ（１１）　　Ｑ
　ｕ（００）　　ｑ　ｕ（０１）、ｑｕ（ＩＱ）　ｑ　
ｕ（１１）　　　　　　、、、接線ベクトルＪ、Ｊ’　
・・・評価関数 出願人　　　　三洋機工株式会社 代理人　　　　弁理士　犬飼達彦 第２図

Claims (1)

【特許請求の範囲】
1. ２点を通る円弧、４点を通る球面を表すパラメータを有
   する補間式を推算する機能を有する制御装置において、
   各点の位置及び未知変数として該各点における接線角度
   或いは接線ベクトルの何れか一方を与え、予め２点を通
   る円弧或いは４点を通る球面を解析的に求めた値と前記
   補間式によつて求める値との差を最小と成るように前記
   未知変数を求めて、該未知変数で表した補間式によつて
   パラメータに対する求まつた値で以て制御することを特
   徴とする制御装置。