JPH03225247A - 振動特性解析方法及び装置 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 〔産業上の利用分野〕 本発明は、工作機械、電子機器、自動車、航空機などの
一般産業機械を対象にした。加振試験などの実験データ
に基づく振動特性の解析方法及び装置に関する。

〔従来の技術〕

工作機械、電子機器、自動車、航空機などの一般産業機
械の振動特性を解析する従来の方法及び装置を、工作機
械を例に説明する。

第３図は工作機械の加振試験を示したもので。

ベツド２１にテーブル２３を載置し、コラム２２に主＃
頭を取付け、テーブル２３と主軸頭２６の間に加振機２
４を挟み、該加振機２４に正弦波あるいはランダム波の
振動を発生させてテーブル２３と主軸頭２６間に相対加
振を行い、加振機２４に取り付けた荷重センサ２５と、
主軸頭２６に取り付けた変位センサあるいは加速度セン
サ２７で振動の時間応答波形を検出する。

第４図は振動特性解析装置のブロック図を示す。

人力Ｘを加振力、人力Ｙを振動の応答波形信号として、
それぞれのアナログ信号を増幅器１，２で増幅した後、
アナログ／デジタル変換器３，４でデジタルデータに変
換し、メモリ５に記憶する。

ＣＰ　Ｕ　６は所謂マイクロコンピュータであり、メモ
リ５のデータに基づいてＸ及びＹの時１１１１応答波形
を高速フーリエ変換手法を用いて周波数領域の特性に変
換し、ＸとＹの関係を表す伝達関数、すなわち機械構造
物のコンプライアンスまたは動剛性を１ｌｌ１１定する
。ｆｌｌ１１定した伝達関数はキーボード付のＣＲ−Ｉ
”デイスプレィ装置７やＸ−Ｙプロッタ８に出力された
り、必要に応じてフロッピーディスク９に記録される。

さらに、ＣＩ）Ｕ６では、測定した伝達関数から機械系
の等値開性、固有振動数、減衰比、振動モートなどのモ
ードパラメータを計算する。この実機の加振試験の結果
から求めたモートパラメータを基にして、振動モードの
動画表示すなわち振動モードアニメーションや機械の構
造変更に伴う動特性のシミュレーションを行うことが可
能である。第５図は、全体の処理フローチャートを示し
たものである。

この種の実験モード解析システムは、ハードウェア、ソ
フトウェアとも既に市販されており、般に広く利用され
ている。

〔発明が解決しようとする課題〕

上記従来技術の振動特性解析法の大きな問題点は、モー
ド解析の理論式そのものが線形を仮定して構成されてい
るために、非線形特性を考慮することが困難であること
である。すなわち、測定した伝達関数が線形特性か、非
線形特性が含まれているのか判断することができない。

また、伝達関数に非線形特性が含まれるとき、曲線適合
法を伝達関数に適用して、固有振動数、減衰比などのモ
ードパラメータを同定した場合、そのモードパラメータ
に大きな誤差が生じ、同定したモードパラメータに基づ
く任意外力に対する応答計算や構造変更シミュレーショ
ンの結果などに大きな誤差を引き起こすこととなる。

また、得られたモードパラメータの結果を、地震などの
影響を予測計算するための耐震設計に利用する場合など
においては、特に減衰比において同定して求めた値が真
値より数倍、または桁違いとなるほど誤差を含むことが
予想されるので、その結果を用いる場合にはきわめて危
険であることが指摘されている。すなわち、実際の構造
物の動特性は、完全な線形ではなく、厳密には非線形特
性を含むことが多いにもかかわらず、適当な解析法がな
いため、従来は線形系として解析を行わざるを得なかっ
たが、これはモード解析の精度を低下させる問題を有し
ていた。

本発明の目的は、これらの従来の実験モード解析法の問
題点を改善し、線形系および非線形系に対しても適用す
ることが可能な振動特性解析方法及び装置を提供するこ
とにある。

〔課題を解決するための手段〕

上記目的を達成するために、本発明では、被測定物を加
振試験して伝達関数を測定し、該伝達関数から等価質景
、等値開性、モードで構成されるＭＳＦ関数、及び、減
衰の項、モードで構成されるＶＤＦ関数を求め、該ＭＳ
Ｆ関数、ＶＤＦ関数により伝達関数の線形性、非線形性
を判別し、該線形性、非線形性を考慮して被測定物の振
動特性を表すモードパラメータを同定するようしたこと
である。

〔作　用〕

ＭＳＦ関数は、振動系の剛性が線形のときは単純な放物
線となるが、剛性が非線形のときは、関数が零と交わる
部分で変化が見られる。従って。

任意のモードに対してＭＳＦ関数を調べることにより、
振動系の剛性が線形系であるか、非線形系であるか容易
に判別できる。また、ＶＤＦ関数は、振動系の減衰の発
生メカニズムが粘性減衰系の場合には、横軸周波数に対
して負の傾きをもつ直線となり、減衰が構造減衰系の場
合には、周波数にかかわらず傾きが零の直線となる。し
かし、実際の非線形の振動系においては、ＶＤＦ関数は
数学モデルに合う理想的な直線とはならず、なんらかの
曲線となることが多い。線形性、非線形性が判別できる
と、該線形及び非線形特性を考慮して被測定物の振動特
性を表すモードパラメータを正しく同定することが可能
になる。

〔実施例〕

以下、本発明の一実施例について図面により説明する。

第１図は本発明による振動特性解析装置の一実施例のブ
ロック図である。第１図において、■および２はチャネ
ルＣＨＩ、ＣＨ２の増幅器であり、それぞれ入力信号Ｘ
、Ｙを適当な大きさに増幅する。人力信号Ｘは加振力、
入力Ｙは機械構造物の任意の点における変位または加速
度の時間応答信号が一般に用いられる。例えば第３図に
示した工作機械の加振試験の場合、荷重センサ２５の信
号が入力信号Ｘ、変位センサあるいは加速度センサ２７
の信号が入力信号Ｙとなる。加振試験を行う場合、ＦＦ
Ｔ演算用ＣＩ）　Ｕ　６は加振信号発生器１２を制御し
て、ランダム信号あるいは正弦波信号などの加振波信号
を発生せしめる。この加振信号をパワー増幅器１３で増
幅し、動電型または油圧型などの加振機１４により、実
際の構造物を加振する。例えば第３図の加振機２４が該
加振機１４に相当する。なお、ランダム信号波形は、全
く規則性のない純ランダム信号であり、ダイオードなど
の熱雑行信号などから発生させることができる。

このランダム信号は、波形の波高率を大きくするために
、ローパスフィルタにより測定周波数帯域のみの周波数
成分をもたせるようにする。

アナログ／デジタル変換器３．４は、増幅器１゜２で増
幅された入力信号Ｘ、Ｙについて、ＦＦＴ演算用ＣＰＵ
６から与えられるサンプリング信号に従って例えばデー
タのサンプル長が１０２４点のデジタルデータに変換す
る。該デジタルデータは、−旦、メモリ５に記憶される
。入力信号Ｘ。

Ｙのサンプリングが終了すると、ＦＦＴ演算用ＣＰＵ６
はメモリ５より入力信号Ｘ、−Ｙのデータを読出し、 工変換 ここで、 −スペク ースペク それぞれのチャネルについて高速フーリ（ＦＦＴ）を実
行して、伝達関数を求める。

伝達関数Ｈ，ｔ、ｙ（ω）は、信号ＸのパワトラムをＧ
ｘＸ、信号ＸとＹのクロスパワトラムをＧｘｙとして Ｇｘｙ により求めることができる。

伝達関数の測定結果はディスク装置１０に記憶されるが
、同時にフロッピーディスク９に記録することも可能で
ある。さらに、キーボード付のＣＲＴデイスプレィ装置
７またはＸ−Ｙプロッタ８に出力することも可能である
。

全データの測定後、モード解析用ＣＰＵＩＩはディスク
装置１０から伝達関数データを逐次読比して解析を行う
。ここで、モード解析用ＣＰＵ１１では、直線及び非線
形特性を考慮したモード解析（モードパラメータの同定
、振動モードの計算など）を行う。モード解析結果はフ
ロッピーディスク９に記録され、さらに、必要に応じて
ＣＲＴデイスプレィ装置７またはＸ−Ｙプロッタ８に出
力される。

第１図の構成では、ＦＦＴ演算用ＣＰＵ６とモード解析
用ＣＰＵＩＩの二つのＣＰＵ　（マイクロプロセッサ）
を用いるとしたが、これらは一つＣＰＵに統合すること
も可能である。

第２図は、直線及び非線形特性を考慮した本発明による
モード解析の処理フローチャートの一例である。第２図
において１手順１〜４がＦ　Ｆ　’ｒ演算用ＣＰＵ６で
の処理、手順５〜８がモード解析用ＣＰＵＩＩでの処理
である。以下、第２図に従って説明する。

手順１ 初めに正弦波掃引加振試験を行う理由は、正弦波による
加振が、線形系、非線形系のいずれの振動系においても
最も正確に伝達関数を測定できることによる。ここで、
正弦波掃引加振試験で測定された伝達関数、すなわち機
械構造物のコンプライアンスをＶＮとする。

いま、正弦波掃引加振試験により測定した伝達関数、す
なわちコンプライアンスｖＮが第６図に示すように、山
頂が１個の場合には、近似的に１自由度系の振動系とし
てみることができ、この場合には１手順５にすすむ。一
方、第７図に示したように、山頂が複数個の場合には、
多自由非線形系として扱う必要があり１手順２に進み、
ランダム信号波形により加振試験を行う。■自由度系、
多自由度系の伝達関数がＣＲＴデイスプレィ装置７に表
示されるので、オペレータは速やかにその判断をするこ
とができる。

千星ス ランダム信号波形による加振を行い伝達関数を測定する
。ランダム信号波形としては、加振力に充分なパワーを
もたせるために、例えば帯域制限型ランダム信号波形を
用いる。また、高速フーリエ変換における漏れ誤差を少
なくするために、バーストランダム加振法などを用いて
伝達関数を測定する。ランダム信号を用いる理由は、構
造物に非線形を有する場合、非線形性のために発生する
高調波歪成分を除去でき、あたかも線形系の構造物を加
振した場合と同じ結果が得られるからである。したがっ
て、この加振法で測定した伝達関数には、非線形特性の
影響が表れず、線形化された特性が得られるので、これ
を線形のコンプライアンスｖＬとする。

手順３ ■Ｌはほぼ線形に近い結果が得られるので、従来から行
われている線形系を仮定したＭＤＯＦ法、例えば偏分反
復法、または複素指数法などを利用してモードパラメー
タを同定することができる。

線形の伝達関数から同定するモードパラメータは、等価
質ｋｋｍ　”　ｔ、　＊、等価剛性１（”ｔ、ａ、等価
減衰Ｃ傘Ｌ１、振動モードφｔｐ、ａ、　　φＬ’１．
１などである。

手順４ 正弦波掃加振法によって得られたコンプライアンス■、
を対象に、注目している任意のモードに関して、他のモ
ードの影響を除去し、１自由度系の伝達関数を以下に示
す方法により計算する。

２点加振、ｑ応答の２次モードの１自由度非線形系のコ
ンプライアンスＶＮＳ、Ｐｑ、１ｍは、手順１で求めて
保持されているＶＮ、Ｐｑと手順３で同定された線形の
モードパラメータｍｏＬ、＠、ｋ”Ｌ、ｌｌ、Ｃ申り、
ｌ、φｔ、　ｐｍ・　φＬ、’ｌｌｌから・ｉ＝ｌ　　
−ｍａｐ、＠ω２＋に＊□、、＋ｊωＣ拳１．。

により計算することができる。この式はモードが互いに
離れ、それぞれのモードの非線形特性が。

２次モードにほとんど影響していないことを仮定するこ
とにより成り立つものである。

２次モードの２点加振、ｑｗ点応答の、■自由度非線形
系の伝達関数Ｖ１１１．Ｐ’１．ｌはと表すことができ
る。ここでｍ＊１．ｌは非線形系における２次モードの
等価質量、ｋ”Ｌ、１は同じく２次モードの等価剛性で
あり、δｋ”Ｎ、ｌはｋ”Ｌ、ｌからの偏差分である。

またｃ傘ｔ、ｉは２次モードの等価減衰である。非線形
の場合にはモー僅か変化することが考えられるので、 線形のモー ドと区別して１点におけるＱ次モードをφ９．Ｐ１とし
ている。

手順５ Ｍ５Ｆ関数とＶＤＦ関数は、 以下に示す式で計 算できる。

最初に、 ＶＮＳ、Ｐｑ、＠の実数部は （４） と表され、 虚数部は、 （５） により表される。

また、 ＶＮＳ、Ｐｑ、＠Ｖは （６） と導かれるから、 ＭＳＦ関数、 ＶＤＦ関数はそれ ぞれ。

Ｉ　ＶＮＳ、　ｐｑ、　ｍｌ” ；Φｐｑ、ａｃ−ｍ’Ｎ、＠Ｊ＋に’）４．＠＋δｋ　
”　Ｎ、　Ｊ（７） と与えられる。ここでΦＰ（，１は である。

手Ｊ１ ＭＳＦ関数とＶＤＦ関数から線形、非線形の判断は以下
のように行われる。

ＭＳＦ関数は、（７）式より振動系の等価質菫と等値開
性のモードパタラメータにより、特性曲線が構成される
。第８図は線形系と非線形系のＭＳＦ関数の比較を示し
ている。振動系の剛性が線形のときは、第８図に点線で
示すように、上を凸とする放物線となるが、剛性が非線
形の場合は、実線で示すように、ＭＳＦ関数が零と交わ
る部分で線形の場合と比較して変化が見られる。このよ
うに任意のモードに対してＭＳＦ関数を調べることによ
り、振動系の剛性が線形系であるか、非線形であるかを
容易に判断することが可能である。

ＶＤＦ関数は、（８）式より振動系の減衰項によって構
成される。第９図はＶＤＦ関数の一例を示している。振
動系の減衰の発生メカニズムが粘性減衰系の場合には、
第９図に点線で示すように、横軸周波数に対して負の傾
きをもつ直線となる。

また、減衰が構造減衰系の場合には、１点鎖線で示すよ
うに１周波数にかかわらず傾きが零の直線となる。実際
の振動系においては、ＶＤＦ関数は数学モデルに合う理
想的な直線とはならず、第９図の実線に示すように、な
んらかの曲線となることが多い。これは実際の減衰特性
は単なる粘性減衰系や構造減衰ではなく、非線形の特性
を示し、減衰発生のメカニズムが複雑であることを示し
ている。

このように、ＭＳＦ関数、ＶＤＦ関数は、例えば伝達関
数の実数部や虚数部をみるだけでは得らない多くの情報
を含んでおり、振動系が線形か非線形か判定するのに適
している。振動系が線形か非線形かの判定は、ＭＳＦ関
数、ＶＤＦ関数をＣＲＴデイスプレィ装Ｖｌｉ７に表示
し、これを見てオペレータが判定するか、あるいは、装
置が曲線の性質を調べ、自動的に判定するようにしても
よい。

王皿ユ 振動系が線形のモードパラメータを以下のようにして同
定する。

線形系のＭＳＦ関数、ＶＤＦ関数はそれぞれＭＳＦＬＳ
、Ｆｌ、ｌ”ΦＦ１．ｌｌ（−ｍ傘１，１ω２＋に串り
、　Ｊ　　　　　　　　　　　（１０）ＶＤ　ＦＦ１ｓ
、Ｐｑ、　＊＝＝４）ｐｑ、　１（−（＋Ｊｅ”　Ｌ、
　ａ）　　　　　　　　　　　　　　　　　（１１）と
表され、Φｐｑ、ａは である。いま、ｍ＊ＬＩＰｑ、鳳 Ｃ嘲ｔ、ｐｑ、ｍ’　をそれぞれ ｍ申り、Ｍ、ｌ’　　”ΦＭ、ｍｌｌ”Ｌ、ｍｋ”Ｌ、
Ｆｌ、ｌ’　　＝Φ丙、ｌｋ”Ｌ、鎮Ｃ”Ｌ、Ｍ、鉋′
　２Φ四１ｍＣ申り、１ｍとおくと、Ｍ　Ｓ　Ｆ　ＬＳ
、　Ｐ’１．１は、ｋ　”　Ｌ、Ｐｌ、１ ＭＳＦＬ、、、ｑ、、＝−ｍ串り、　ｐｑ、　ｆｉ’　
ω’ｋ　”　Ｌ、　Ｐｑ、　１と与えられる。またＶ　
Ｄ　Ｆ　Ｎｓ、　ｐｑ、　＊は。

ＶＤＦＮｓ、ｐｑ、鳳２−ωＣ”Ｌ、Ｐｑ、１と与えら
れる。Ｍ　Ｓ　Ｆ　ＮＳ、　ｐｑ、　ｓのデータは、動
数毎の値が得られるので、 （１６） （１７） 角振 と表すことができる。（１８）を （ＭＳＦ）＝　［Ｕｌ　（ξ）　　　　　　　　（１９
）と書き、最小二乗法を適用する。両辺に［Ｕｌ１［Ｗ
］を掛けると、 ［ＵｌＴ　〔ｖＶ］　（ＭＳＦ）　＝　［ＵコＴ　［Ｗ
コ　［Ｕｌ　（ξ）　　　　　　　　　　　　　　（２
０）が得られる。ここで［Ｗ］は対角行列とした重み行
列である。これから（ξ）は （ξ）　　＝　　［［Ｕｌ”　　［Ｗ］［Ｕ］］−１［
Ｕｌ”　　［Ｗ］　　（ＭＳ　Ｆ）　　　　　　　　　
　（２１）により求められる。ここで［Ｗ］は全データ
をすべて一様に使用する場合には単位行列とする。この
ときの固有振動数ωｎＬ、　ｆｉは、により求めること
ができる。減衰比ζ１０．はＶＤＦＬＳ、Ｐｑ、＊関数
から により求めることができる。

毛駿足 非線形系におけるモードパラメータを以下のようにして
同定する。ＭＳＦＮｓ関数とＶＤＦＮｓ関数から同定さ
れるパラメータは［ｍ傘、コ、［ｋ串Ｎ］　ｒ［δ”Ｎ
］ｌ［ｃ拳、コ、［φＮ］等である。

ｍ傘Ｎ−Ｐｑ−１’Ｉ　”Ｎ、Ｐｑ、Ｉ’＋　　δに傘
Ｎ−Ｐｑ０ｍ　　＊　Ｃ−傘Ｎ、Ｐｑ１″をそれぞれ ！１１”Ｎ、Ｐ’１．ｌ””Φｐｑ、ｉｍ串Ｎ、１　　
　　　　　（２４）ｋ”Ｎ、Ｐ’１．ｍ″＝Φｐｑ、ｉ
ｌｔ傘Ｎ、１　　　　　　　（２５）δに申Ｎ、Ｐｑ、
Ｉｌ””Φｐｑ、＠　　δｋ”Ｎ、ａ　　　　　（２６
）Ｃ”Ｎ、Ｐｌｌ、烏′２ΦＰｑ、＊Ｃ”Ｎ、鳳　　　
　　　　（２７）とおくと、Ｍ　Ｓ　Ｆ　ＮＳ、　Ｐｑ
、　＠は、ＭＳ　ＦＮＳ、　ｐｑ、　＠＝−ａｍ　Ｎ、
　ｐＨ，＠’ω”ｋ”Ｎ、Ｐｑ、ｌ’十δｋ”Ｎ、ｐｑ
、ｍ　　　（２ｇ）と与えられる。振動系の剛性が非線
形特性を有する場合は、δに串Ｎ、ＰＩ１．ｌ’を考慮
する。δに串Ｎ、Ｐｑ。

、′は等値開性ｋ”Ｎ、Ｐ’１．１１’の偏差分として
考えることができ、応答振幅の関数として多項式で表す
と、δｋ”Ｈ，ｐｑ、＠’　＝ｔ　ｌＡ”　＋［２Ａ’
＋ｔ３Ａ’＋Ｅ４Ａ”　　　　　　　　　（２９）で与
えられる。多項式の項数は任意でよいが、ここではＡ”
、Ａ’、Ａ’、Ａ’までの項を採用する。

なお、Ａ３．　Ａｓ、　Ａ７．　Ａ９の項を考慮してい
ない理由は、理論的に有り得ない項であること、また計
算を容易にするためである。一方、振幅ＡはＡ＝Ｖｓ、
ｐｑ、ａ　Ｆ（ω）　　　　　　　　　（３０）である
。ここでＦ（ω）は加振したときの各周波数の加振力で
ある。

等値開性を多項式で表したときのＭＳＦ関数は、Ｍ　Ｓ
　Ｆ　ＮＳ、　ｐｑ、　１＝−１１１”　）１．ｐｑ、
　＠’ω２＋ｋ　＊　Ｎ、　ｐｑ、　＠’　＋　ｉ　１
　Ａ”＋ε２Ａ４＋ｆ３Ａ’−？、Ａ”　　　　　　　
　　（３１）により表すことができるので、各周波数ω
毎にＭＳＦ関数を表すと、 （３２） となり、これを （ＭＳＦ）＝　［Ｕｌ　（ξ）　　　　　　　　（３３
）と表し、最小二乗法を適用する。（３３）の両辺に［
Ｕｌ”　［Ｗ］を掛けると、 ［Ｕｌ”　［Ｗ］　　（ＭＳＦ）　＝　［ＵコＴ［Ｗ］
　［Ｕｌ　（ξ’ｔ　　　　　　　　（３４）となる。

ここで［Ｗ］は対角行列として重み行列である。これか
ら（ξ）は （ξ）　＝　［［Ｕｌ”　［Ｗコ［Ｕｌ　−’　［Ｕｌ
”　［Ｗ］（ＭＳ　Ｆ）　　　　　　　（３５）により
求められる。ここで［Ｗ］は、全データをすべて一様に
使用する場合には単位行列とする。

第８図に示したように、ＭＳＦ関数は共振周波数近傍で
線形系と異なった挙動を示すから、［Ｗ］の要素を共振
周波数近傍で零とすることにより、共振周波数近傍の影
響をほとんど考慮しないｌ−Ｎ、　Ｐｑ、　＊’　＋　
ｋ　”　Ｎ、　Ｐｑｒ　ａ’を求めることになり、この
ことはｍ拳Ｎ、Ｐ（、ｉ’＋　ｋ傘Ｎ、Ｐｑ、１’が近
傍的に線形系の値として同定することが可能となる。

（３５）式の計算により、ｍ”　Ｎ、Ｐ’１．Ｉ’　＋
　ｋ”　Ｎ、Ｐ’１．ｌ’　ｔＣ□、ｆ２．・・・Ｅｑ
を求めることができる。ε１１　　ｆ２、・・・ｔｑが
すべて零であれば、振動系が線形特性である。

Ｍ　Ｓ　Ｆ関数を上記に示したような多項式で完全に表
すことができるのは、第１０図に示すような、Ｄ　ｕｆ
ｆｉｎｇ型非線形ば型中線形ねの復元力特性がｆ　ｏｋ
＝　ｋ　Ｘ十β、Ｘ３＋β２Ｘ″′＋β、　Ｘ’　＋−
（３６）で表される場合である。

一方、第１１図に示されるような断片線形型の非線形ば
ね形特性の場合には、上述のように多項式で表した場合
には、近似的なモデル化となるので、以下に示す方法に
より同定を行う。

（２８）式から、ＭＳＦ関数から線形のモードパラメー
タ類、すなわち、’Ｎ、　Ｐｑ１’　＋　ｋＮ、　Ｐｑ
、　Ｉ’の影響を除去することにより、線形からの偏差
分すい、Ｐｌ、１′を求めることができる。この場合、
δｋｆＮ、Ｐｑ１′は。

δｋｍ、、Ｐｑ、、’＝Ｍｓ　ＦＮＳ、Ｐｌ、１＋Ｉ”
Ｎ、Ｐｑ、ａ’ω”　　Ｉｓ、　ｐｑ、　＊’　　　　
　（３７）と表される。

（３７）式で示されたδｋ”Ｎ、Ｐ’１．１’は、−見
するとωの関数となっているが、振幅Ａの関数でもある
。

非線形特性を表しているδｋ”Ｎ、Ｐｑ□′は、問題の
性質によってωに強く依存する場合と、Ａに強く依存す
る両方の場合が考えられる。δｋ”Ｎ、Ｐｑ、１の性質
を調べる方法として、δｋ”Ｎ、Ｐ’ｌ、ｌ’が与えら
れたときの振幅Ａは、（３０）式から求められるので、
Ａの小さい順から大きい順にδｋ”Ｎ、Ｐｑ、＠’を並
び変えて八−δｋ”Ｎ、Ｐｑ、ｌ’の関係を求めること
ができ、この関係からＡに対するδｋ”Ｎ、Ｐ’１．Ｉ
’の関係を最小二乗法により、任意の数学モデルの適合
させ、非線形特性を定式化することが可能である。

一例として、第１１図に示されるような断片線形型非線
形ばねが振動系に含まれている場合には、近似的に断片
線形型非線形ばねの記述関数、または等価伝達関数でモ
ードパラメータを同定することができる。これを以下に
示す。

第１１図に示した断片線形型の非風形ばねをもつ、１自
由度非線形系の場合を例として同定法を示す。１自由度
非線形系の線形剛性からの偏差分をδｋＮ（Ａ）とする
と、δｋＮ（Ａ）は、δｋＮ（Ａ）　”２μに１／π十
（１−２μ／π）　ｋ、−に、　　　　　　　（３８）
で表すことができる。但しＡは、 Ａ≧ｘ、　　　　　　　　　　　　　　　　（３９）で
あり、λ、μは、 λ＝Ｘ、／Ａ　　　　　　　　　　　　　　（４０）μ
＝ｓｉｎ−１（λ）＋λｖ／ＴＴＴｒ　　　　　（４１
）により与えられる。ここで非線形特性を表すパラメー
タはに１．　ｋ２．　ｋ、であり、ＸｏはＡ−δｋＮ（
Ａ）８図の関係から既知とすると、（３８）式からが導
びかれ。

これを。

（Ｇｎ）　　＝［ｘｌ　（ｋ）　　　　　　　　　　　
　（４３）とおいて、正規方程式に基づく最小二乗法を
適用すれば、 （ｋ）　＝　［［ｘｌ”　［ｘｌＦ　−”［ｘｌ”　（
Ｇｎ　　　　　　　　　　（４４）によりに４．に２を
求めることができる。

次にモード行列［φＮ］を求める方法を示す。

非線形系のコンプライアンス行列を［ＶＮ］とすると、
［ＶＮ］は、 ト書Ｌｆｙ、、二ｚ枠線ノ（ＶＮ１□−ＶＮ−９”　Ｖ
Ｎｈｌ）の列は、加振点を１に固定して、応答点を移動
して測定した場合のコンプライアンス列であり、実線枠
の［ｖＮ□０．Ｖｓｔｚ　、−ＶＮｔｈｌ　ハ応答点を
１に固定して、加振点を移動する場合のコンブライアン
ス行を示している。線形の場合は、行または列いずれか
らでも同じモードが得られる。

非線形系の場合はできるだけ正確な伝達関数を副室する
必要性から、加振機の使用が前提となること、また実際
の現象を観察する点から、実機の振動源となる位置に加
振機を固定して各点応答をみる必要性から（Ｖ　Ｎ□ｍ
ｌ　　Ｎｚｘ＋・・・ＶＮｈｘ）のよ■ うに列のコンプライアンスからモードの特性を求めるこ
とが行われる。

上記に示した方法により各々のコンプライアンスからｌ
ｌ−ｘ、ｐｑ、にｌ　”Ｎ、Ｐｑ、Ｌ’＋　δに・Ｎ、
Ｐｑ、１’を同定しておき、この結果からモード［φＮ
］を求める。

モードの値のスケーリングとして、すべてのモードにお
いて等価質量＠申、、□が ｍ傘、、、＝１　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　（４６）となるように［ｋ串Ｎ］、［φＮ］をスケ
ーリングする。このようにモードパラメータを正規化す
る理由は、同定結果に一連の互換性が得られることと、
ＦＥＭ等による解析結果などとの比較を容易にするため
である。

（１２）式を（２４）式に代入し、 １１１”Ｎ、ｉを１とすると、 ｍ傘Ｎ、　Ｐ’１．１’　” （４７） φＮ、Ｐ、１ φＮ、ｑ、鳳 が得られる。

９を加振して、 ９点の応答から が得られる・ここで、ｍ傘Ｎ、ｑｑ、ｉ’及びＩｌｌ”
Ｎ、Ｐ’１．１は最小二乗法により求められているとす
ると、（４８）式からφＮ、Ｑ、＠は、 により計算できる。またφ９．ｑ１を（４７）式に代入
するとφ９．ｑ１は、 φＮ、ｑ、皇　０ ”Ｎ＋Ｐ’ｌ＠’φＮ、ｑ、１ による計算できる。

非線形系としての固有振動数ωｎＮ、ｌは（５０） により求めることができる。ここでδｋ”Ｎ、Ｐ’１．
ｌｌを考慮しない場合は等価剛性が変化しない場合を想
定して、系を線形としてみることができる。このときの
固有振動数ωｎＮＬ、　ｌは、により表すことができる
。

Ｖ　Ｄ　Ｆ　ｓｓ、　ｐｑ、　＊関数は１自由度線形系
の場合と同様に傾きが−Φｐｑ、　ａ　Ｃ”−Ｎ、　ａ
の直線で表され、この関数から減衰比ζＮ１を求めるこ
とができる。

ζＮ１は により求められる。（８）からＣ”Ｎ、ｌはにより表さ
れ、 このＣ傘８．、を（５３）に代入するとζＮ、ｌは、 ２ωｎＮ、畿 ωΦＰｑ、＠ 鳳傘Ｎ、烏 により求めることができる。また、ζ８を求めるときに
δに＄９を考慮しない場合は、ωｎＮＬ、　ｆｉの場合
と同様に、等価剛性が変化しない場合を想定しているの
で、系を線形としてみた場合の減衰比とすることができ
る。このときの減衰比をζＮＬ１とすると、モードが線
形と非線形とで変化が極めて少ないとすると、（５５）
式のω０．．をωｎＬ、ｌとすることにより、ζＮＬ、
　ｌは、 と求められる。

線形を仮定した、従来の同定法では、コンプライアンス
における虚数部の特性から、減衰比を同定する方法が一
般に採用されているが、この従来方法では、モードの減
衰法が低い場合には、ＦＦＴの周波数分解能が充分でな
く、減衰比の同定精度が低下する。しかし、ＶＤＦＮｓ
関数から減衰比を計算する本方法は、ばねが非線形であ
っても、ＶＤＦＮｓ関数は固有振動数近傍で山頂の性質
を示さないことから、同定に際して誤差が少なく、精度
よく減衰比を求めることができる。

全モードの同定が終了するまで、手順４から手順８まで
、以上述べた操作を繰り返して同定計算を行う。

次に実験例として、本発明による同定法を非線形振動系
に適用した結果を示す。

第１２図は実験装置を示している。非線形振動系として
は、梁の３点のうち、２点を支持しく支持ブロックＡ、
Ｂ）　、他の１点は微小隙間±３μｍ与えた支持としく
支持ブロックＣ）、梁の先端を電磁加振機で加振する振
動系とした。コンプライアンスの測定結果は第１３図に
示している。第１３図の一点鎖線は、従来の複素指数法
により同定した結果を示しているが、同定の精度が脇め
で悪いことが示されている。

第１４図は、第１３図のコンプライアンスのＭＳＦ関数
を示している。コンプライアンスの図がらは、非線形で
あると判断することができないが。

第１４図に示したＭＳＦ関数は、ＭＳＦが零の部分で折
れ曲がっているので、非線形特性を有する伝達関数であ
ることが分かる。本発明方法によりＭＳＦ関数に最小二
乗数を適用し、ｌｌ”Ｎ＋ｋ”Ｎについて同定し、同定
したモードパラメータがらＭＳＦ関数を再計算した結果
を破線で示したが、非線形の特性があるにもかかわらず
、ＭＳＦ関数の同定結果は実線の実験結果とほぼ一致す
ることが示されている。

第１５図は、モードパラメータの同定結果に基づいてコ
ンプライアンスを計算しく破線）、測定結果（実線）と
合わせて示したものであるが、同定結果は、伝達関数が
非線形特性を有するにもがかわらず、本発明によるモー
ドパラメータ同定法では、元のデータとよく一致するこ
とが示されている。

〔発明の効果〕

以上の説明から明らかなように、本発明による振動特性
解析方法及び装置によれば、測定した伝達関数が線形と
して扱ってもよいかどうか、また非線形特性を有するか
どうかを明瞭に判断することができ、振動系が非線形特
性を有する場合には。

非線形特性を考慮した固有振動数、等値開性、減衰比、
モードなどのモードパラメータを正しく同定することが
可能となる。また、線形系に対しても、無理なく適用す
ることができる。

【図面の簡単な説明】

第１図は本発明の振動特性解析装置の一実施例のブロッ
ク図、第２図は本発明によるモード解析の一実施例の処
理フローを示す図、第３図は工作機械の加振試験を説明
する図、第４図は従来の振動特性解析装置のブロック図
、第５図は従来のモード解析の処理フローを示す図、第
６図は１自由度系とみなしうる伝達関数の例を示す図、
第７図は多自由度系とみなしうる伝達関数の例を示す図
、第８図は線形系と非線形系のＭＳＦ関数を示す図、第
９図は線形系と非線形系のＶＤＦ関数を示す図。 第１０はＤ　ｕｆｆｉｎｇ型非線形ばねの復元力と変位
の関係を示す図、第１１図は断片線形型非線形ばねの復
元力と変化の関係を示す図、第１２図は非線形振動梁の
加振試験装置の一例を示す図、第１３図は非線形振動梁
のコンプライアンス測定結果と従来の複素指数法による
同定結果を示す図、第１４図はＭＳＦ関数の測定結果と
同定結果を示す図。 第１５図はコンプライアンスの測定結果と同定結果を示
す図である。 ■、２・・・信号増幅器、 ３．４・・・アナログ／ディジタル変換器、５・・・メ
モリ、　　６・・・ＦＦＴ演算用ＣＰＵ、７・・・ＣＲ
Ｔデイスプレィ装置、 ８・・・ｘ−ｙプロッタ。 ９・・・フロッピーディスク、 １０・・・ディスク装置、 １１・・・モード解析用ＣＰＵ。 １２・・・加振信号発生器、　１３・・・パワー増幅器
。 １４・・・加振機。 第３図 第４図 第７図 り＠曲乃ｌＲと艷ｒａシう１イ云塑り関参；Ｗ＋Ｉ＝Ｊ
Ｌ咎 Ｈ。 第１０図 Ｄｕ（イｉゴ 型絆球汁’２＋ｔ−ｈ＋杵枢 第１１図 蓼「片９１竹う型非謀（ン１は束杵子生−第１３図 キ線力復動ユ農ｉ７フン１゛ライフ〉ス５ｐυむν果と
邦り先りｎ東稽崇定ｊム＋：Ｊ”３ｎ波しろ占Ｊに。 １．２５ ０ １０Ｑ　　　　　＋５０ ＴｒｅｑｕｅｍｙＣＴｏ） ００ ５０ ２７、２５ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ＭＳＦ　Ｄａｔａｐｒｅｑｕｅｎ
ｃｙ　（Ｈｌ） ｚｏ＋、ｚｓ １．２５ Ｑ ００ Ｏ ００ ５０ Ｆｒｅ頼自ｃｙ （Ｈｌ） 手続補正書 （方式） 事件の表示 平成２年特許願第２１６０４号 ２、発明の名称 振動特性解析方法及び装置 ３、補正をする者 事件との関係　　出願人 住所　　神奈川県海老名市上今泉２１００番地名称　　
日立精工株式会社 住所 〒１５１ 東京都渋谷区代々木２丁目３８番１２号錦鶏ビル２０１
号 平成２年５月１４日 （発進口 平成２年５月２９日） ７、補正の内容 明細書筒３３頁１６行目の 「第１０は」 を 「第 １０図は」 に補正する。 以上

Claims (6)

【特許請求の範囲】
1. （１）被測定物の振動特性を解析する方法において、被
   測定物を加振試験して伝達関数を測定し、該伝達関数か
   らＭＳＦ関数、ＶＤＦ関数を求め、該ＭＳＦ関数、ＶＤ
   Ｆ関数から伝達関数の線形性、非線形性を判別し、被測
   定物の振動特性を表すモードパラメータを、該線形性、
   非線形性に応じて同定することを特徴とする振動特性解
   析方法。
2. （２）ＭＳＦ関数に最小二乗法を適用して、線形性、非
   線形性の振動系の等価質量と等価剛性を同定し、ＶＤＦ
   関数から減衰比を同定することを特徴とする請求項（１
   ）記載の振動特性解析方法。
3. （３）ＭＳＦ関数から、等価剛性の非線形特性を同定す
   る場合、等価剛性の線形特性からの偏差分を多項式で表
   し、この数学モデルに対して最小二乗法により非線形系
   に対する同定を行うことを特徴とする請求項（２）記載
   の振動特性解析方法。
4. （４）ＭＳＦ関数から、線形の等価剛性からの偏差分δ
   ｋ＾＊＿Ｎの項を抜き出し、振幅Ａとδｋ＾＊＿Ｎに対
   応したＡの関係から、Ａの小さい順から大きい順にδｋ
   ＾＊＿Ｎを並び変えて、Ａ−δｋ＾＊＿Ｎの関係から任
   意の数学モデルを用いて非線形系のモードパラメータを
   同定することを特徴とする請求項（２）記載の振動特性
   解析方法。
5. （５）被測定物の振動特性を解析する装置において、被
   測定物を加振する手段と、振動の時間応答波形を検出す
   る手段と、該検出されたアナログ信号をデジタルデータ
   に変換する手段と、時間領域の該データについて高速フ
   ーリエ変換を行い伝達関数を計算する手段と、該伝達関
   数からＭＳＦ関数、ＶＤＦ関数を求める手段と、該ＭＳ
   Ｆ関数、ＶＤＦ関数から伝達関数の線形性、非線形性を
   判別する手段と、該線形性、非線形性に応じて、被測定
   物の振動特性を表すモードパラメータを同定する手段と
   を有することを特徴とする振動特性解析装置。
6. （６）ＭＳＦ関数、ＶＤＦ関数を表示する手段を備え、
   該表示されたＭＳＦ関数、ＶＤＦ関数の特性から、オペ
   レータが線形性、非線形性の判別をできるようにしたこ
   とを特徴とする請求項（５）記載の振動特性解析装置。