JP3055788B2 - 振動特性解析方法及び装置 - Google Patents
振動特性解析方法及び装置Info
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- vdf
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- Measurement Of Mechanical Vibrations Or Ultrasonic Waves (AREA)
- Testing Electric Properties And Detecting Electric Faults (AREA)
Description
【発明の詳細な説明】 〔産業上の利用分野〕 本発明は、工作機械、電子機器、自動車、航空機など
の一般産業機械を対象にした、加振試験などの実験デー
タに基づく振動特性の解析方法及び装置に関する。
の一般産業機械を対象にした、加振試験などの実験デー
タに基づく振動特性の解析方法及び装置に関する。
工作機械、電子機器、自動車、航空機などの一般産業
機械の振動特性を解析する従来の方法及び装置を、工作
機械を例に説明する。
機械の振動特性を解析する従来の方法及び装置を、工作
機械を例に説明する。
第３図は工作機械の加振試験を示したもので、ベッド
21にテーブル23を載置し、コラム22に主軸頭を取付け、
テーブル23と主軸頭26の間に加振機24を挟み、該加振機
24に正弦波あるいはランダム波の振動を発生させてテー
ブル23と主軸頭26間に相対加振を行い、加振機24に取り
付けた荷重センサ25と、主軸頭26に取り付けた変位セン
サあるいは加速度センサ27で振動の時間応答波形を検出
する。
21にテーブル23を載置し、コラム22に主軸頭を取付け、
テーブル23と主軸頭26の間に加振機24を挟み、該加振機
24に正弦波あるいはランダム波の振動を発生させてテー
ブル23と主軸頭26間に相対加振を行い、加振機24に取り
付けた荷重センサ25と、主軸頭26に取り付けた変位セン
サあるいは加速度センサ27で振動の時間応答波形を検出
する。
第４図は振動特性解析装置のブロック図を示す。入力
Ｘを加振力、入力Ｙを振動の応答波形信号として、それ
ぞれのアナログ信号を増幅器1,2で増幅した後、アナロ
グ／デジタル変換器3,4でデジタルデータに変換し、メ
モリ５に記憶する。CPU6は所謂マイクロコンピュータで
あり、メモリ５のデータに基づいてＸ及びＹの時間応答
波形を高速フーリエ変換手法を用いて周波数領域の特性
に変換し、ＸとＹの関係を表す伝達関数、すなわち機械
構造物のコンプライアンスまたは動剛性を測定する。測
定した伝達関数はキーボード付のCRTディスプレイ装置
７やＸ−Ｙプロッタ８に出力されたり、必要に応じてフ
ロッピーディスク９に記録される。さらに、CPU6では、
測定した伝達関数から機械系の等価剛性、固有振動数、
減衰比、振動モードなどのモードパラメータを計算す
る。この実機の加振試験の結果から求めたモードパラメ
ータを基にして、振動モードの動画表示すなわち振動モ
ードアニメーションや機械の構造変更に伴う動特性のシ
ミュレーションを行うことが可能である。第５図は、全
体の処理フローチャートを示したものである。
Ｘを加振力、入力Ｙを振動の応答波形信号として、それ
ぞれのアナログ信号を増幅器1,2で増幅した後、アナロ
グ／デジタル変換器3,4でデジタルデータに変換し、メ
モリ５に記憶する。CPU6は所謂マイクロコンピュータで
あり、メモリ５のデータに基づいてＸ及びＹの時間応答
波形を高速フーリエ変換手法を用いて周波数領域の特性
に変換し、ＸとＹの関係を表す伝達関数、すなわち機械
構造物のコンプライアンスまたは動剛性を測定する。測
定した伝達関数はキーボード付のCRTディスプレイ装置
７やＸ−Ｙプロッタ８に出力されたり、必要に応じてフ
ロッピーディスク９に記録される。さらに、CPU6では、
測定した伝達関数から機械系の等価剛性、固有振動数、
減衰比、振動モードなどのモードパラメータを計算す
る。この実機の加振試験の結果から求めたモードパラメ
ータを基にして、振動モードの動画表示すなわち振動モ
ードアニメーションや機械の構造変更に伴う動特性のシ
ミュレーションを行うことが可能である。第５図は、全
体の処理フローチャートを示したものである。
この種の実験モード解析システムは、ハードウェア、
ソフトウェアとも既に市販されており、一般に広く利用
されている。
ソフトウェアとも既に市販されており、一般に広く利用
されている。
上記従来技術の振動特性解析法の大きな問題点は、モ
ード解析の理論式そのものが線形を仮定して構成されて
いるために、非線形特性を考慮することが困難であるこ
とである。すなわち、測定した伝達関数が線形特性か、
非線形特性が含まれているのか判断することができな
い。また、伝達関数に非線形特性が含まれるとき、曲線
適合法を伝達関数に適用して、固有振動数、減衰比など
のモードパラメータを同定した場合、そのモードパラメ
ータに大きな誤差が生じ、同定したモードパラメータに
基づく任意外力に対する応答計算や構造変更シミュレー
ションの結果などに大きな誤差を引き起こすこととな
る。
ード解析の理論式そのものが線形を仮定して構成されて
いるために、非線形特性を考慮することが困難であるこ
とである。すなわち、測定した伝達関数が線形特性か、
非線形特性が含まれているのか判断することができな
い。また、伝達関数に非線形特性が含まれるとき、曲線
適合法を伝達関数に適用して、固有振動数、減衰比など
のモードパラメータを同定した場合、そのモードパラメ
ータに大きな誤差が生じ、同定したモードパラメータに
基づく任意外力に対する応答計算や構造変更シミュレー
ションの結果などに大きな誤差を引き起こすこととな
る。
また、得られたモードパラメータの結果を、地震など
の影響を予測計算するための耐震設計に利用する場合な
どにおいては、特に減衰比において同定して求めた値が
真値より数倍、または桁違いとなるほど誤差を含むこと
が予想されるので、その結果を用いる場合にはきわめて
危険であることが指摘されている。すなわち、実際の構
造物の動特性は、完全な線形ではなく、厳密には非線形
特性を含むことが多いにもかかわらず、適当な解析法が
ないため、従来は線形系として解析を行わざるを得なか
ったが、これはモード解析の精度を低下させる問題を有
していた。
の影響を予測計算するための耐震設計に利用する場合な
どにおいては、特に減衰比において同定して求めた値が
真値より数倍、または桁違いとなるほど誤差を含むこと
が予想されるので、その結果を用いる場合にはきわめて
危険であることが指摘されている。すなわち、実際の構
造物の動特性は、完全な線形ではなく、厳密には非線形
特性を含むことが多いにもかかわらず、適当な解析法が
ないため、従来は線形系として解析を行わざるを得なか
ったが、これはモード解析の精度を低下させる問題を有
していた。
本発明の目的は、これらの従来の実験モード解析法の
問題点を改善し、線形系および非線形系に対しても適用
することが可能な振動特性解析方法及び装置を提供する
ことにある。
問題点を改善し、線形系および非線形系に対しても適用
することが可能な振動特性解析方法及び装置を提供する
ことにある。
上記目的を達成するために、本発明では、被測定物を
加振試験して伝達関数を測定し、該伝達関数から等価質
量、等価剛性、振動モードで構成される関数（これをMS
F関数という）、減衰の項、振動モードで構成される関
数（これをVDF関数という）を求め、該MSF関数、VDF関
数の特性から伝達関数の線形性、非線形性を判別し、該
線形性、非線形性を考慮して被測定物の振動特性を表す
モードパラメータを同定するようにしたことである。
加振試験して伝達関数を測定し、該伝達関数から等価質
量、等価剛性、振動モードで構成される関数（これをMS
F関数という）、減衰の項、振動モードで構成される関
数（これをVDF関数という）を求め、該MSF関数、VDF関
数の特性から伝達関数の線形性、非線形性を判別し、該
線形性、非線形性を考慮して被測定物の振動特性を表す
モードパラメータを同定するようにしたことである。
MSF（Mass and Stiffness Function）関数は、振動系
の剛性が線形のときは単純な放物線となるが、剛性が非
線形のときは、関数が零と交わる部分で変化が見られ
る。振動系を１自由度系で考えると、MSF関数は質量と
剛性からなる関数である。質量は非線形になるというこ
とはあり得ないので、MSF関数が零で交わる部分におい
て変化しているとすれば、それは振動系の剛性（バネに
相当する）が非線形になっていることを意味する。従っ
て、任意のモードに対してMSF関数の特性を調べること
により、振動系が線形系であるか、非線形系であるか容
易に判別できる。
の剛性が線形のときは単純な放物線となるが、剛性が非
線形のときは、関数が零と交わる部分で変化が見られ
る。振動系を１自由度系で考えると、MSF関数は質量と
剛性からなる関数である。質量は非線形になるというこ
とはあり得ないので、MSF関数が零で交わる部分におい
て変化しているとすれば、それは振動系の剛性（バネに
相当する）が非線形になっていることを意味する。従っ
て、任意のモードに対してMSF関数の特性を調べること
により、振動系が線形系であるか、非線形系であるか容
易に判別できる。
また、VDF（Viscous Damping Function）関数は粘性
減衰からなる関数である。振動系の減衰の発生メカニズ
ムが純粋な粘性減衰系の場合には、横軸周波数に対して
負の傾きをもつ直線となり、減衰が構造減衰系の場合に
は、周波数にかかわらず傾きが零の直線となる。しか
し、実際の非線形の振動系においては、VDF関数は数学
モデルに合う理想的な直線とはならず、なんらかの曲線
となることが多い。従って、VDF関数の特性を調べるこ
とにより、振動系が線形系であるが、非線形系であるか
容易に判別できる。
減衰からなる関数である。振動系の減衰の発生メカニズ
ムが純粋な粘性減衰系の場合には、横軸周波数に対して
負の傾きをもつ直線となり、減衰が構造減衰系の場合に
は、周波数にかかわらず傾きが零の直線となる。しか
し、実際の非線形の振動系においては、VDF関数は数学
モデルに合う理想的な直線とはならず、なんらかの曲線
となることが多い。従って、VDF関数の特性を調べるこ
とにより、振動系が線形系であるが、非線形系であるか
容易に判別できる。
線形性、非線形性が判別できると、該線形性、非線形
性を考慮して被測定物の振動特性を表すモードパラメー
タを正しく同定することが可能になる。
性を考慮して被測定物の振動特性を表すモードパラメー
タを正しく同定することが可能になる。
以下、本発明の一実施例について図面により説明す
る。
る。
第１図は本発明による振動特性解析装置の一実施例の
ブロック図である。第１図において、１および２はチャ
ネルCH1,CH2の増幅器であり、それぞれ入力信号X,Yを適
当な大きさに増幅する。入力信号Ｘは加振力、入力Ｙは
機械構造物の任意の点における変位または加速度の時間
応答信号が一般に用いられる。例えば第３図に示した工
作機械の加振試験の場合、荷重センサ25の信号が入力信
号Ｘ、変位センサあるいは加速度センサ27の信号が入力
信号Ｙとなる。加振試験を行う場合、FFT演算用CPU6は
加振信号発生器12を制御して、ランダム信号あるいは正
弦波信号などの加振波信号を発生せしめる。この加振信
号をパワー増幅器13で増幅し、動電型または油圧型など
の加振機14により、実際の構造物を加振する。例えば第
３図の加振機24が該加振機14に相当する。なお、ランダ
ム信号波形は、全く規則性のない純ランダム信号であ
り、ダイオードなどの熱雑音信号などから発生させるこ
とができる。このランダム信号は、波形の波高率を大き
くするために、ローパスフィルタにより測定周波数帯域
のみの周波数成分をもたせるようにする。
ブロック図である。第１図において、１および２はチャ
ネルCH1,CH2の増幅器であり、それぞれ入力信号X,Yを適
当な大きさに増幅する。入力信号Ｘは加振力、入力Ｙは
機械構造物の任意の点における変位または加速度の時間
応答信号が一般に用いられる。例えば第３図に示した工
作機械の加振試験の場合、荷重センサ25の信号が入力信
号Ｘ、変位センサあるいは加速度センサ27の信号が入力
信号Ｙとなる。加振試験を行う場合、FFT演算用CPU6は
加振信号発生器12を制御して、ランダム信号あるいは正
弦波信号などの加振波信号を発生せしめる。この加振信
号をパワー増幅器13で増幅し、動電型または油圧型など
の加振機14により、実際の構造物を加振する。例えば第
３図の加振機24が該加振機14に相当する。なお、ランダ
ム信号波形は、全く規則性のない純ランダム信号であ
り、ダイオードなどの熱雑音信号などから発生させるこ
とができる。このランダム信号は、波形の波高率を大き
くするために、ローパスフィルタにより測定周波数帯域
のみの周波数成分をもたせるようにする。
アナログ／デジタル変換器3,4は、増幅器1,2で増幅さ
れた入力信号X,Yについて、FFT演算用CPU6から与えられ
るサンプリング信号に従って例えばデータのサンプル長
が1024点のデジタルデータに変換する。該デジタルデー
タは、一旦、メモリ５に記憶される。入力信号X,Yのサ
ンプリングが終了すると、FFT演算用CPU6はメモリ５よ
り入力信号X,Yのデータを読出し、それぞれのチャネル
について高速フーリエ変換（FFT）を実行して、伝達関
数を求める。ここで、伝達関数ＨX,y（ω）は、信号Ｘ
のパワースペクトラムをGXX、信号ＸとＹのクロスパワ
ースペクトラムをGXyとして により求めることができる。
れた入力信号X,Yについて、FFT演算用CPU6から与えられ
るサンプリング信号に従って例えばデータのサンプル長
が1024点のデジタルデータに変換する。該デジタルデー
タは、一旦、メモリ５に記憶される。入力信号X,Yのサ
ンプリングが終了すると、FFT演算用CPU6はメモリ５よ
り入力信号X,Yのデータを読出し、それぞれのチャネル
について高速フーリエ変換（FFT）を実行して、伝達関
数を求める。ここで、伝達関数ＨX,y（ω）は、信号Ｘ
のパワースペクトラムをGXX、信号ＸとＹのクロスパワ
ースペクトラムをGXyとして により求めることができる。
伝達関数の測定結果はディスク装置10に記憶される
が、同時にフロッピーディスク９に記録することも可能
である。さらに、キーボード付のCRTディスプレイ装置
７またはＸ−Ｙプロッタ８に出力することも可能であ
る。
が、同時にフロッピーディスク９に記録することも可能
である。さらに、キーボード付のCRTディスプレイ装置
７またはＸ−Ｙプロッタ８に出力することも可能であ
る。
全データの測定後、モード解析用CPU11はディスク装
置10から伝達関数データを逐次読出して解析を行う。こ
こで、モード解析用CPU11では、直線及び非線形特性を
考慮したモード解析（モードパラメータの同定、振動モ
ードの計算など）を行う。モード解析結果はフロッピー
ディスク９に記録され、さらに、必要に応じてCRTディ
スプレイ装置７またはＸ−Ｙプロッタ８に出力される。
置10から伝達関数データを逐次読出して解析を行う。こ
こで、モード解析用CPU11では、直線及び非線形特性を
考慮したモード解析（モードパラメータの同定、振動モ
ードの計算など）を行う。モード解析結果はフロッピー
ディスク９に記録され、さらに、必要に応じてCRTディ
スプレイ装置７またはＸ−Ｙプロッタ８に出力される。
第１図の構成では、FFT演算用CPU6とモード解析用CPU
11の二つのCPU（マイクロプロセッサ）を用いるとした
が、これらは一つCPUに結合することも可能である。
11の二つのCPU（マイクロプロセッサ）を用いるとした
が、これらは一つCPUに結合することも可能である。
第２図は、直線及び非線形特性を考慮した本発明によ
るモード解析の処理フローチャートの一例である。第２
図において、手順１〜４がFFT演算用CPU6での処理、手
順５〜８がモード解析用CPU11での処理である。以下、
第２図に従って説明する。
るモード解析の処理フローチャートの一例である。第２
図において、手順１〜４がFFT演算用CPU6での処理、手
順５〜８がモード解析用CPU11での処理である。以下、
第２図に従って説明する。
手順１ 初めに正弦波掃引加振試験を行う理由は、正弦波によ
る加振が、線形系、非線形系のいずれの振動系において
も最も正確に伝達関数を測定できることによる。ここ
で、正弦波掃引加振試験で測定された伝達関数、すなわ
ち機械構造物のコンプライアンスをVNとする。
る加振が、線形系、非線形系のいずれの振動系において
も最も正確に伝達関数を測定できることによる。ここ
で、正弦波掃引加振試験で測定された伝達関数、すなわ
ち機械構造物のコンプライアンスをVNとする。
いま、正弦波掃引加振試験により測定した伝達関数、
すなわちコンプライアンスVNが第６図に示すように、山
頂が１個の場合には、近似的に１自由度系の振動系とし
てみることができ、この場合には、手順５にすすむ。一
方、第７図に示したように、山頂が複数個の場合には、
多自由非線形系として扱う必要があり、手順２に進み、
ランダム信号波形により加振試験を行う。１自由度系、
多自由度系の伝達関数がCRTディスプレイ装置７に表示
されるので、オペレータは速やかにその判断をすること
ができる。
すなわちコンプライアンスVNが第６図に示すように、山
頂が１個の場合には、近似的に１自由度系の振動系とし
てみることができ、この場合には、手順５にすすむ。一
方、第７図に示したように、山頂が複数個の場合には、
多自由非線形系として扱う必要があり、手順２に進み、
ランダム信号波形により加振試験を行う。１自由度系、
多自由度系の伝達関数がCRTディスプレイ装置７に表示
されるので、オペレータは速やかにその判断をすること
ができる。
手順２ ランダム信号波形による加振を行い伝達関数を測定す
る。ランダム信号波形としては、加振力に充分なパワー
をもたせるために、例えば帯域制限型ランダム信号波形
を用いる。また、高速フーリエ変換における漏れ誤差を
少なくするために、バーストランダム加振法などを用い
て伝達関数を測定する。ランダム信号を用いる理由は、
構造物に非線形を有する場合、非線形性のために発生す
る高調波歪成分を除去でき、あたかも線形系の構造物を
加振した場合と同じ結果が得られるからである。したが
って、この加振法で測定した伝達関数には、非線形特性
の影響が表れず、線形化された特性が得られるので、こ
れを線形のコンプライアンスVLとする。
る。ランダム信号波形としては、加振力に充分なパワー
をもたせるために、例えば帯域制限型ランダム信号波形
を用いる。また、高速フーリエ変換における漏れ誤差を
少なくするために、バーストランダム加振法などを用い
て伝達関数を測定する。ランダム信号を用いる理由は、
構造物に非線形を有する場合、非線形性のために発生す
る高調波歪成分を除去でき、あたかも線形系の構造物を
加振した場合と同じ結果が得られるからである。したが
って、この加振法で測定した伝達関数には、非線形特性
の影響が表れず、線形化された特性が得られるので、こ
れを線形のコンプライアンスVLとする。
手順３ VLはほぼ線形に近い結果が得られるので、従来から行
われている線形系を仮定したMDOF法、例えば偏分反復
法、または複素指数法などを利用してモードパラメータ
を同定することができる。線形の伝達関数から同定する
モードパラメータは、等価質量ｍ＊L,l、等価剛性ｋ＊
L,l、等価減衰ｃ＊L,l、振動モードφLp,l、φLq,lなど
である。
われている線形系を仮定したMDOF法、例えば偏分反復
法、または複素指数法などを利用してモードパラメータ
を同定することができる。線形の伝達関数から同定する
モードパラメータは、等価質量ｍ＊L,l、等価剛性ｋ＊
L,l、等価減衰ｃ＊L,l、振動モードφLp,l、φLq,lなど
である。
手順４ 正弦波掃加振法によって得られたコンプライアンスVN
を対象に、注目している任意のモードに関して、他のモ
ードの影響を除去し、１自由度系の伝達関数を以下に示
す方法により計算する。
を対象に、注目している任意のモードに関して、他のモ
ードの影響を除去し、１自由度系の伝達関数を以下に示
す方法により計算する。
ｐ点加振、ｑ応答のｌ次モードの１自由度非線形系の
コンプライアンスＶNS,pq,lは、手順１で求めて保持さ
れているＶN,pqと手順３で同定された線形のモードパラ
メータｍ＊L,l,k＊L,l、ｃ＊L,l、φl,pl、φL,qlか
ら、 により計算することができる。この式はモードが互いに
離れ、それぞれのモードの非線形特性が、ｌ次モードに
ほとんど影響していないことを仮定することにより成り
立つものである。
コンプライアンスＶNS,pq,lは、手順１で求めて保持さ
れているＶN,pqと手順３で同定された線形のモードパラ
メータｍ＊L,l,k＊L,l、ｃ＊L,l、φl,pl、φL,qlか
ら、 により計算することができる。この式はモードが互いに
離れ、それぞれのモードの非線形特性が、ｌ次モードに
ほとんど影響していないことを仮定することにより成り
立つものである。
ｌ次モードのｐ点加振、qw点応答の、１自由度非線形
系の伝達関数ＶNS,pq,lは と表すことができる。ここでｍ＊L,lは非線形系におけ
るｌ次モードの等価質量、ｋ＊L,lは同じくｌ次モード
の等価剛性であり、δｋ＊N,lはｋ＊L,lからの偏差分で
ある。またｃ＊L,lはｌ次モードの等価減衰である。非
線形の場合にはモー僅か変化することが考えられるの
で、線形のモードと区別してｐ点におけるｌ次モードを
φN,p,lとしている。
系の伝達関数ＶNS,pq,lは と表すことができる。ここでｍ＊L,lは非線形系におけ
るｌ次モードの等価質量、ｋ＊L,lは同じくｌ次モード
の等価剛性であり、δｋ＊N,lはｋ＊L,lからの偏差分で
ある。またｃ＊L,lはｌ次モードの等価減衰である。非
線形の場合にはモー僅か変化することが考えられるの
で、線形のモードと区別してｐ点におけるｌ次モードを
φN,p,lとしている。
手順５ MSF関数とVDF関数は、伝達関数ＶNS,pq,lから次のよ
うに導びいて定義する。ＶNS,pq,lの実数部は と表され、虚数部は、 により表される。また、|VNS,pq,l|2は と導かれるから、MSFNS,pq,l、VDFNS,pq,lはそれぞれ、 と与えられる。ここでΦpq,lは である。ここで、（７）式の関数をMSF（Mass and Stif
fness Function）関数、（８）式の関数をVDF（Viscous
Damping Function）関数と称す。
うに導びいて定義する。ＶNS,pq,lの実数部は と表され、虚数部は、 により表される。また、|VNS,pq,l|2は と導かれるから、MSFNS,pq,l、VDFNS,pq,lはそれぞれ、 と与えられる。ここでΦpq,lは である。ここで、（７）式の関数をMSF（Mass and Stif
fness Function）関数、（８）式の関数をVDF（Viscous
Damping Function）関数と称す。
手順６ MSF関数とVDF関数から線形、非線形の判断は以下のよ
うに行われる。
うに行われる。
MSF関数は、（７）式より振動系の等価質量と等価剛
性のモードパラメータにより、特性曲線が構成される。
第８図は線形系と非線形系のMSF関数の比較を示してい
る。振動系の剛性が線形のときは、第８図に点線で示す
ように、上を凸とする放物線となるが、剛性が非線形の
場合は、実線で示すように、MSF関数が零と交わる部分
で線形の場合と比較して変化が見られる。このように任
意のモードに対してMSF関数を調べることにより、振動
系の剛性が線形系であるか、非線形であるかを容易に判
断することが可能である。
性のモードパラメータにより、特性曲線が構成される。
第８図は線形系と非線形系のMSF関数の比較を示してい
る。振動系の剛性が線形のときは、第８図に点線で示す
ように、上を凸とする放物線となるが、剛性が非線形の
場合は、実線で示すように、MSF関数が零と交わる部分
で線形の場合と比較して変化が見られる。このように任
意のモードに対してMSF関数を調べることにより、振動
系の剛性が線形系であるか、非線形であるかを容易に判
断することが可能である。
VDF関数は、（８）式より振動系の減衰項によって構
成される。第９図はVDF関数の一例を示している。振動
系の減衰の発生メカニズムが粘性減衰系の場合には、第
９図に点線で示すように、横軸周波数に対して負の傾き
をもつ直線となる。また、減衰が構造減衰系の場合に
は、１点鎖線で示すように、周波数にかかわらず傾きが
零の直線となる。実際の振動系においては、VDF関数は
数学モデルに合う理想的な直線とはならず、第９図の実
線に示すように、なんらかの曲線となることが多い。こ
れは実際の減衰特性は単なる粘性減衰系や構造減衰では
なく、非線形の特性を示し、減衰発生のメカニズムが複
雑であることを示している。
成される。第９図はVDF関数の一例を示している。振動
系の減衰の発生メカニズムが粘性減衰系の場合には、第
９図に点線で示すように、横軸周波数に対して負の傾き
をもつ直線となる。また、減衰が構造減衰系の場合に
は、１点鎖線で示すように、周波数にかかわらず傾きが
零の直線となる。実際の振動系においては、VDF関数は
数学モデルに合う理想的な直線とはならず、第９図の実
線に示すように、なんらかの曲線となることが多い。こ
れは実際の減衰特性は単なる粘性減衰系や構造減衰では
なく、非線形の特性を示し、減衰発生のメカニズムが複
雑であることを示している。
このように、MSF関数、VDF関数は、例えば伝達関数の
実数部や虚数部をみるだけでは得られない多くの情報を
含んでおり、振動系が線形か非線形か判定するのに適し
ている。振動系が線形か非線形かの判定は、MSF関数、V
DF関数をCRTディスプレイ装置７に表示し、これを見て
オペレータが判定するか、あるいは、装置が曲線の性質
を調べ、自動的に判定するようにしてもよい。
実数部や虚数部をみるだけでは得られない多くの情報を
含んでおり、振動系が線形か非線形か判定するのに適し
ている。振動系が線形か非線形かの判定は、MSF関数、V
DF関数をCRTディスプレイ装置７に表示し、これを見て
オペレータが判定するか、あるいは、装置が曲線の性質
を調べ、自動的に判定するようにしてもよい。
手順７ 振動系が線形のモードパラメータを以下のようにして
同定する。
同定する。
線形系のMSF関数、VDF関数はそれぞれ MSFLS,pq,l＝Φpq,l（−ｍ＊L,lω２＋ｋ＊L,l） （10） VDFNS,pq,l＝Φpq,l（−ωｃ＊L,l） （11） と表され、Φpq,lは である。いま、ｍ＊L,pq,l′,k＊L,pq,l′,c＊L,pq,l′
をそれぞれ ｍ＊L,pq,l′＝Φpq,lｍ＊L,l （13） ｋ＊L,pq,l′＝Φpq,lｋ＊L,l （14） ｃ＊L,pq,l′＝Φpq,lｃ＊L,l （15） とおくと、MSFLS,pq,lは、 MSFLS,pq,l＝−ｍ＊L,pq,l′ω２＋ｋ＊L,pq,l′ （1
6） と与えられる。またVDFNS,pq,lは、 VDFNS,pq,l＝−ωｃ＊L,pq,l′ （17） と与えられる。MSFNS,pq,lのデータは、角振動数毎の値
が得られるので、 と表すことができる。（18）を ｛MSF｝＝［Ｕ］｛ξ｝ （19） と書き、最小二乗法を適用する。両辺に［Ｕ］Ｔ［Ｗ］
を掛けると、 ［Ｕ］Ｔ［Ｗ］｛MSF｝＝［Ｕ］Ｔ［Ｗ］［Ｕ］
｛ξ｝ （20） が得られる。ここで［Ｗ］は対角行列とした重み行列で
ある。これから｛ξ｝は ｛ξ｝＝［［Ｕ］Ｔ［Ｗ］［Ｕ］］-1［Ｕ］Ｔ［Ｗ］｛MSF｝ （21） により求められる。ここで［Ｗ］は全データをすべて一
様に使用する場合には単位行列とする。このときの固有
振動数ωnL,lは、 により求めることができる。減衰比ζL,lはVDFLS,pq,l
関数から により求めることができる。
をそれぞれ ｍ＊L,pq,l′＝Φpq,lｍ＊L,l （13） ｋ＊L,pq,l′＝Φpq,lｋ＊L,l （14） ｃ＊L,pq,l′＝Φpq,lｃ＊L,l （15） とおくと、MSFLS,pq,lは、 MSFLS,pq,l＝−ｍ＊L,pq,l′ω２＋ｋ＊L,pq,l′ （1
6） と与えられる。またVDFNS,pq,lは、 VDFNS,pq,l＝−ωｃ＊L,pq,l′ （17） と与えられる。MSFNS,pq,lのデータは、角振動数毎の値
が得られるので、 と表すことができる。（18）を ｛MSF｝＝［Ｕ］｛ξ｝ （19） と書き、最小二乗法を適用する。両辺に［Ｕ］Ｔ［Ｗ］
を掛けると、 ［Ｕ］Ｔ［Ｗ］｛MSF｝＝［Ｕ］Ｔ［Ｗ］［Ｕ］
｛ξ｝ （20） が得られる。ここで［Ｗ］は対角行列とした重み行列で
ある。これから｛ξ｝は ｛ξ｝＝［［Ｕ］Ｔ［Ｗ］［Ｕ］］-1［Ｕ］Ｔ［Ｗ］｛MSF｝ （21） により求められる。ここで［Ｗ］は全データをすべて一
様に使用する場合には単位行列とする。このときの固有
振動数ωnL,lは、 により求めることができる。減衰比ζL,lはVDFLS,pq,l
関数から により求めることができる。
手順８ 非線形におけるモードパラメータを以下のようにして
同定する。MSFNS関数とVDFNS関数から同定されるパラメ
ータは［ｍ＊Ｎ］，［ｋ＊Ｎ］，［δｋ＊Ｎ］，［ｃ＊
Ｎ］，［φＮ］等である。
同定する。MSFNS関数とVDFNS関数から同定されるパラメ
ータは［ｍ＊Ｎ］，［ｋ＊Ｎ］，［δｋ＊Ｎ］，［ｃ＊
Ｎ］，［φＮ］等である。
ｍ＊N,pq,l′,k＊N,pq,l′，δｋ＊N,pq,l′,c
＊N,pq,l′をそれぞれ ｍ＊N,pq,l′＝Φpq,lｍ＊N,l （24） ｋ＊N,pq,l′＝Φpq,lｋ＊N,l （25） δｋ＊N,pq,l′＝Φpq,lδｋ＊N,l （26） ｃ＊N,pq,l′＝Φpq,lｃ＊N,l （27） とおくと、MSFNS,pq,lは、 MSFNS,pq,l＝−ｍ＊N,pq,l′ω２＋ｋ＊N,pq,l′ ＋δｋ＊N,pq,l′ （28） と与えられる。振動系の剛性が非線形特性を有する場合
は、δｋ＊N,pq,l′を考慮する。δｋ＊N,pq,l′は等価
剛性ｋ＊N,pq,l′の偏差分として考えることができ、応
答振幅の関数として多項式で表すと、 δｋ＊N,pq,l′＝ε1A2＋ε2A4＋ε3A6＋ε4A8（29） で与えられる。多項式の項数は任意でよいが、ここでは
A2,A4,A6,A8までの項を採用する。なお、A3,A5,A7,A9の
項を考慮していない理由は、理論的に有り得ない項であ
ること、また計算を容易にするためである。一方、振幅
Ａは Ａ＝ＶN,pq,lＦ（ω） （30） である。ここでＦ（ω）は加振したときの各周波数の加
振力である。
＊N,pq,l′をそれぞれ ｍ＊N,pq,l′＝Φpq,lｍ＊N,l （24） ｋ＊N,pq,l′＝Φpq,lｋ＊N,l （25） δｋ＊N,pq,l′＝Φpq,lδｋ＊N,l （26） ｃ＊N,pq,l′＝Φpq,lｃ＊N,l （27） とおくと、MSFNS,pq,lは、 MSFNS,pq,l＝−ｍ＊N,pq,l′ω２＋ｋ＊N,pq,l′ ＋δｋ＊N,pq,l′ （28） と与えられる。振動系の剛性が非線形特性を有する場合
は、δｋ＊N,pq,l′を考慮する。δｋ＊N,pq,l′は等価
剛性ｋ＊N,pq,l′の偏差分として考えることができ、応
答振幅の関数として多項式で表すと、 δｋ＊N,pq,l′＝ε1A2＋ε2A4＋ε3A6＋ε4A8（29） で与えられる。多項式の項数は任意でよいが、ここでは
A2,A4,A6,A8までの項を採用する。なお、A3,A5,A7,A9の
項を考慮していない理由は、理論的に有り得ない項であ
ること、また計算を容易にするためである。一方、振幅
Ａは Ａ＝ＶN,pq,lＦ（ω） （30） である。ここでＦ（ω）は加振したときの各周波数の加
振力である。
等価剛性を多項式で表したときのMSF関数は、 MSFNS,pq,l＝−ｍ＊N,pq,l′ω２＋ｋ＊N,pq,l′ ＋ε1A2＋ε2A4＋ε3A6＋ε4A8 （31） により表すことができるので、各周波数ε毎にMSF関数
を表すと、 となり、これを ｛MSF｝＝［Ｕ］｛ξ｝ （33） と表し、最小二乗法を適用する。（33）の両辺に［Ｕ］
Ｔ［Ｗ］を掛けると、 ［Ｕ］Ｔ［Ｗ］｛MSF｝＝［Ｕ］Ｔ［Ｗ］［Ｕ］
｛ξ｝ （34） となる。ここで［Ｗ］は対角行列として重み行列であ
る。これから｛ξ｝は ｛ξ｝＝［［Ｕ］Ｔ［Ｗ］［Ｕ］-1［Ｕ］Ｔ［Ｗ］｛MSF｝ （35） により求められる。ここで［Ｗ］は、全データをすべて
一様に使用する場合には単位行列とする。
を表すと、 となり、これを ｛MSF｝＝［Ｕ］｛ξ｝ （33） と表し、最小二乗法を適用する。（33）の両辺に［Ｕ］
Ｔ［Ｗ］を掛けると、 ［Ｕ］Ｔ［Ｗ］｛MSF｝＝［Ｕ］Ｔ［Ｗ］［Ｕ］
｛ξ｝ （34） となる。ここで［Ｗ］は対角行列として重み行列であ
る。これから｛ξ｝は ｛ξ｝＝［［Ｕ］Ｔ［Ｗ］［Ｕ］-1［Ｕ］Ｔ［Ｗ］｛MSF｝ （35） により求められる。ここで［Ｗ］は、全データをすべて
一様に使用する場合には単位行列とする。
第８図に示したように、MSF関数は共振周波数近傍で
線形系と異なった挙動を示すから、［Ｗ］の要素を共振
周波数近傍で零とすることにより、共振周波数近傍の影
響をほとんど考慮しないｍ＊N,pq,l′,k＊N,pq,l′を求
めることになり、このことはｍ＊N,pq,l′,k＊N,pq,l′
が近傍的に線形系の値として同定することが可能とな
る。
線形系と異なった挙動を示すから、［Ｗ］の要素を共振
周波数近傍で零とすることにより、共振周波数近傍の影
響をほとんど考慮しないｍ＊N,pq,l′,k＊N,pq,l′を求
めることになり、このことはｍ＊N,pq,l′,k＊N,pq,l′
が近傍的に線形系の値として同定することが可能とな
る。
（35）式の計算により、ｍ＊N,pq,l′,k＊N,pq,l′，
ε1,ε2,…εｑを求めることができる。ε1,ε2,…εｑ
がすべて零であれば、振動系が線形特性である。
ε1,ε2,…εｑを求めることができる。ε1,ε2,…εｑ
がすべて零であれば、振動系が線形特性である。
MSF関数を上記に示したような多項式で完全に表すこ
とができるのは、第10図に示すような、Duffing型非線
形ばねや、ばねの復元力特性が fnk＝kX＋β1X3＋β2X6＋β3X9＋… （36） で表される化合物である。
とができるのは、第10図に示すような、Duffing型非線
形ばねや、ばねの復元力特性が fnk＝kX＋β1X3＋β2X6＋β3X9＋… （36） で表される化合物である。
一方、第11図に示されるような断片線形型の非線形ば
ね形特性の場合には、上述のように多項式で表した場合
には、近似的なモデル化となるので、以下に示す方法に
より同定を行う。
ね形特性の場合には、上述のように多項式で表した場合
には、近似的なモデル化となるので、以下に示す方法に
より同定を行う。
（28）式から、MSF関数から線形のモードパラメータ
項、すなわち、ｍN,pq,l′,kN,pq,l′の影響を除去する
ことにより、線形からの偏差分δfN,pq,l′を求めるこ
とができる。この場合、δｋfN,pq,l′は、 δｋ＊N,pq,l′＝MSFNS,pq,l＋ｍN,pq,l′ω２ −ｋN,pq,l′ （37） と表される。
項、すなわち、ｍN,pq,l′,kN,pq,l′の影響を除去する
ことにより、線形からの偏差分δfN,pq,l′を求めるこ
とができる。この場合、δｋfN,pq,l′は、 δｋ＊N,pq,l′＝MSFNS,pq,l＋ｍN,pq,l′ω２ −ｋN,pq,l′ （37） と表される。
（37）式で示されたδｋ＊N,pq,l′は、一見するとω
の関数となっているが、振幅Ａの関数でもある。非線形
特性を表しているδｋ＊N,pq,l′は、問題の性質によっ
てωに強く依存する場合と、Ａに強く依存する両方の場
合が考えられる。δｋ＊N,pq,l′の性質を調べる方法と
して、δｋ＊N,pq,l′が与えられたときの振幅Ａは、
（30）式から求められるので、Ａの小さい順から大きい
順にδｋ＊N,pq,l′を並び変えてＡ−δｋ＊N,pq,l′の
関係を求めることができ、この関係からＡに対するδｋ
＊N,pq,l′の関係を最小二乗法により、任意の数学モデ
ルの適合させ、非線形特性を定式化することが可能であ
る。
の関数となっているが、振幅Ａの関数でもある。非線形
特性を表しているδｋ＊N,pq,l′は、問題の性質によっ
てωに強く依存する場合と、Ａに強く依存する両方の場
合が考えられる。δｋ＊N,pq,l′の性質を調べる方法と
して、δｋ＊N,pq,l′が与えられたときの振幅Ａは、
（30）式から求められるので、Ａの小さい順から大きい
順にδｋ＊N,pq,l′を並び変えてＡ−δｋ＊N,pq,l′の
関係を求めることができ、この関係からＡに対するδｋ
＊N,pq,l′の関係を最小二乗法により、任意の数学モデ
ルの適合させ、非線形特性を定式化することが可能であ
る。
一例として、第11図に示されるような断片線形型非線
形ばねが振動系に含まれている場合には、近似的に断片
線形型非線形ばねの記述関数、または等価伝達関数でモ
ードパラメータを同定することができる。これを以下に
示す。
形ばねが振動系に含まれている場合には、近似的に断片
線形型非線形ばねの記述関数、または等価伝達関数でモ
ードパラメータを同定することができる。これを以下に
示す。
第11図に示した断片線形型の非風形ばねをもつ、１自
由度非線形系の場合を例として同定法を示す。１自由度
非線形系の線形剛性からの偏差分をδkN（Ａ）とする
と、δkN（Ａ）は、 δkN（Ａ）＝２μk1/π＋（１−２μ／π）k2−k1 （38） で表すことができる。但しＡは、 Ａ≧Xe （39） であり、λ、μは、 λ＝Xe/A （40） により与えられる。ここで非線形特性を表すパラメータ
はk1,k2,k0であり、XeはＡ−δkN（Ａ）線図の関係から
既知とすると、（38）式から が導びかれ、これを、 ｛Gn｝＝［ｘ］｛｝ （43） とおいて、正規方程式に基づく最小二乗法を適用すれ
ば、 ｛｝＝［［ｘ］Ｔ［ｘ］］-1［ｘ］Ｔ｛Gn｝（44） によりk1,k2を求めることができる。
由度非線形系の場合を例として同定法を示す。１自由度
非線形系の線形剛性からの偏差分をδkN（Ａ）とする
と、δkN（Ａ）は、 δkN（Ａ）＝２μk1/π＋（１−２μ／π）k2−k1 （38） で表すことができる。但しＡは、 Ａ≧Xe （39） であり、λ、μは、 λ＝Xe/A （40） により与えられる。ここで非線形特性を表すパラメータ
はk1,k2,k0であり、XeはＡ−δkN（Ａ）線図の関係から
既知とすると、（38）式から が導びかれ、これを、 ｛Gn｝＝［ｘ］｛｝ （43） とおいて、正規方程式に基づく最小二乗法を適用すれ
ば、 ｛｝＝［［ｘ］Ｔ［ｘ］］-1［ｘ］Ｔ｛Gn｝（44） によりk1,k2を求めることができる。
次にモード行列［φＮ］を求める方法を示す。非線形
系のコンプライアンス行列を［VN］とすると、［VN］
は、 と書ける。二重枠線の｛VN11,VN21,…VNh1｝の列は、加
振点を１に固定して、応答点を移動して測定した場合の
コンプライアンス列であり、実線枠の［VN11,VN12,…V
N1h］は応答点を１に固定して、加振点を移動する場合
のコンプライアンス行を示している。線形の場合は、行
または列いずれからでも同じモードが得られる。
系のコンプライアンス行列を［VN］とすると、［VN］
は、 と書ける。二重枠線の｛VN11,VN21,…VNh1｝の列は、加
振点を１に固定して、応答点を移動して測定した場合の
コンプライアンス列であり、実線枠の［VN11,VN12,…V
N1h］は応答点を１に固定して、加振点を移動する場合
のコンプライアンス行を示している。線形の場合は、行
または列いずれからでも同じモードが得られる。
非線形系の場合はできるだけ正確な伝達関数を測定す
る必要性から、加振機の使用が前提となること、また実
際の現象を観察する点から、実機の振動源となる位置に
加振機を固定して各点応答をみる必要性から｛VN11,V
N21,…VNh1｝のように列のコンプライアンスからモード
の特性を求めることが行われる。
る必要性から、加振機の使用が前提となること、また実
際の現象を観察する点から、実機の振動源となる位置に
加振機を固定して各点応答をみる必要性から｛VN11,V
N21,…VNh1｝のように列のコンプライアンスからモード
の特性を求めることが行われる。
上記に示した方法により各々のコンプライアンスから
ｍ＊N,pq,i′,k＊N,pq,i′，δｋ＊N,pq,i′を同定して
おき、この結果からモード［φＮ］を求める。
ｍ＊N,pq,i′,k＊N,pq,i′，δｋ＊N,pq,i′を同定して
おき、この結果からモード［φＮ］を求める。
モードの値のスケーリングとして、すべてのモードに
おいて等価質量ｍ＊N,iが ｍ＊N,i＝１ （46） となるように［ｋ＊Ｎ］，［φＮ］をスケーリングす
る。このようにモードパラメータを正規化する理由は、
同定結果に一連の互換性が得られることと、FEM等によ
る解析結果などとの比較を容易にするためである。
おいて等価質量ｍ＊N,iが ｍ＊N,i＝１ （46） となるように［ｋ＊Ｎ］，［φＮ］をスケーリングす
る。このようにモードパラメータを正規化する理由は、
同定結果に一連の互換性が得られることと、FEM等によ
る解析結果などとの比較を容易にするためである。
（12）式を（24）式に代入し、ｍ＊N,iを１とする
と、 が得られる。ｑを加振して、ｑ点の応答から が得られる。ここで、ｍ＊N,qq,l′及びｍ＊N,pq,l′は
最小二乗法により求められているとすると、（48）式か
らφN,q,lは、 により計算できる。またφN,q,lを（47）式に代入する
とφN,q,lは、 による計算できる。
と、 が得られる。ｑを加振して、ｑ点の応答から が得られる。ここで、ｍ＊N,qq,l′及びｍ＊N,pq,l′は
最小二乗法により求められているとすると、（48）式か
らφN,q,lは、 により計算できる。またφN,q,lを（47）式に代入する
とφN,q,lは、 による計算できる。
非線形系としての固有振動数ωnN,lは により求めることができる。ここでδｋ＊N,pq,l′を考
慮しない場合は等価剛性が変化しない場合を想定して、
系を線形としてみることができる。このときの固有振動
数ωnNL,lは、 により表すことができる。
慮しない場合は等価剛性が変化しない場合を想定して、
系を線形としてみることができる。このときの固有振動
数ωnNL,lは、 により表すことができる。
VDFNS,pq,l関数は１自由度線形系の場合と同様に傾き
が−Φpq,lｃ＊N,lの直線で表され、この関数から減衰
比ξN,lを求めることができる。ξN,lは により求められる。（８）からｃ＊N,lは により表され、このｃ＊N,lを（53）に代入するとξN,l
は、 により求めることができる。また、ξＮを求めるときに
δｋ＊Ｎを考慮しない場合は、ωnNL,lの場合と同様
に、等価剛性が変化しない場合を想定しているので、系
を線形としてみた場合の減衰比とすることができる。こ
のときの減衰比をξNL,lとすると、モードが線形と非線
形とで変化が極めて少ないとすると、（55）式のωnN,l
をωnL,lとすることにより、ξNL,lは、 と求められる。
が−Φpq,lｃ＊N,lの直線で表され、この関数から減衰
比ξN,lを求めることができる。ξN,lは により求められる。（８）からｃ＊N,lは により表され、このｃ＊N,lを（53）に代入するとξN,l
は、 により求めることができる。また、ξＮを求めるときに
δｋ＊Ｎを考慮しない場合は、ωnNL,lの場合と同様
に、等価剛性が変化しない場合を想定しているので、系
を線形としてみた場合の減衰比とすることができる。こ
のときの減衰比をξNL,lとすると、モードが線形と非線
形とで変化が極めて少ないとすると、（55）式のωnN,l
をωnL,lとすることにより、ξNL,lは、 と求められる。
線形を仮定した、従来の同定法では、コンプライアン
スにおける虚数部の特性から、減衰比を同定する方法が
一般に採用されているが、この従来方法では、モードの
減衰法が低い場合には、FFTの周波数分解能が充分でな
く、減衰比の同定精度が低下する。しかし、VDFNS関数
から減衰比を計算する本方法は、ばねが非線形であって
も、VDFNS関数は固有振動数近傍で山頂の性質を示さな
いことから、同定に際して誤差が少なく、精度よく減衰
比を求めることができる。
スにおける虚数部の特性から、減衰比を同定する方法が
一般に採用されているが、この従来方法では、モードの
減衰法が低い場合には、FFTの周波数分解能が充分でな
く、減衰比の同定精度が低下する。しかし、VDFNS関数
から減衰比を計算する本方法は、ばねが非線形であって
も、VDFNS関数は固有振動数近傍で山頂の性質を示さな
いことから、同定に際して誤差が少なく、精度よく減衰
比を求めることができる。
全モードの同定が終了するまで、手順４から手順８
で、以上述べた操作を繰り返して同定計算を行う。
で、以上述べた操作を繰り返して同定計算を行う。
次に実験例として、本発明による同定法を非線形振動
系に適用した結果を示す。
系に適用した結果を示す。
第12図は実験装置を示している。非線形振動系として
は、梁の３点のうち、２点を支持し（支持ブロックA,
B）、他の１点は微小隙間±３μｍ与えた支持とし（支
持ブロックＣ）、梁の先端を電磁加振機で加振する振動
系とした。コンプライアンスの測定結果は第13図に示し
ている。第13図の一点鎖線は、従来の複素指数法により
同定した結果を示しているが、同定の精度が脇めて悪い
ことが示されている。
は、梁の３点のうち、２点を支持し（支持ブロックA,
B）、他の１点は微小隙間±３μｍ与えた支持とし（支
持ブロックＣ）、梁の先端を電磁加振機で加振する振動
系とした。コンプライアンスの測定結果は第13図に示し
ている。第13図の一点鎖線は、従来の複素指数法により
同定した結果を示しているが、同定の精度が脇めて悪い
ことが示されている。
第14図は、第13図のコンプライアンスのMSF関数を示
している。コンプライアンスの図からは、非線形である
と判断することができないが、第14図に示したMSF関数
は、MSFが零の部分で折れ曲がっているので、非線形特
性を有する伝達関数であることが分かる。本発明方法に
よりMSF関数に最小二乗数を適用し、ｍ＊N,k＊Ｎについ
て同定し、同定したモードパラメータからMSF関数を再
計算した結果を破線で示したが、非線形の特性があるに
もかかわらず、MSF関数の同定結果は実線の実験結果と
ほぼ一致することが示されている。
している。コンプライアンスの図からは、非線形である
と判断することができないが、第14図に示したMSF関数
は、MSFが零の部分で折れ曲がっているので、非線形特
性を有する伝達関数であることが分かる。本発明方法に
よりMSF関数に最小二乗数を適用し、ｍ＊N,k＊Ｎについ
て同定し、同定したモードパラメータからMSF関数を再
計算した結果を破線で示したが、非線形の特性があるに
もかかわらず、MSF関数の同定結果は実線の実験結果と
ほぼ一致することが示されている。
第15図は、モードパラメータの同定結果に基づいてコ
ンプライアンスを計算し（破線）、測定結果（実線）と
合わせて示したものであるが、同定結果は、伝達関数が
非線形特性を有するにもかかわらず、本発明によるモー
ドパラメータ同定法では、元のデータとよく一致するこ
とが示されている。
ンプライアンスを計算し（破線）、測定結果（実線）と
合わせて示したものであるが、同定結果は、伝達関数が
非線形特性を有するにもかかわらず、本発明によるモー
ドパラメータ同定法では、元のデータとよく一致するこ
とが示されている。
以上の説明から明らかなように、本発明による振動特
性解析方法及び装置によれば、MSF関数、VDF関数を用い
たことにより、測定した伝達関数が線形として扱っても
よいかどうか、また非線形特性を有するかどうかを明瞭
に判断することができ、振動系が非線形特性を有する場
合には、非線形特性を考慮した固有振動数、等価剛性、
減衰比、モードなどのモードパラメータを正しく同定す
ることが可能となる。また、線形系に対しても、無理な
く適用することができる。
性解析方法及び装置によれば、MSF関数、VDF関数を用い
たことにより、測定した伝達関数が線形として扱っても
よいかどうか、また非線形特性を有するかどうかを明瞭
に判断することができ、振動系が非線形特性を有する場
合には、非線形特性を考慮した固有振動数、等価剛性、
減衰比、モードなどのモードパラメータを正しく同定す
ることが可能となる。また、線形系に対しても、無理な
く適用することができる。
第１図は本発明の振動特性解析装置の一実施例のブロッ
ク図、第２図は本発明によるモード解析の一実施例の処
理フローを示す図、第３図は工作機械の加振試験を説明
する図、第４図は従来の振動特性解析装置のブロック
図、第５図は従来のモード解析の処理フローを示す図、
第６図は１自由度系とみなしうる伝達関数の例を示す
図、第７図は多自由度系とみなしうる伝達関数の例を示
す図、第８図は線形系と非線形系のMSF関数を示す図、
第９図は線形系と非線形系のVDF関数を示す図、第10図
はDuffing型非線形ばねの復元力と変位の関係を示す
図、第11図は断片線形型非線形ばねの復元力と変化の関
係を示す図、第12図は非線形振動梁の加振試験装置の一
例を示す図、第13図は非線形振動梁のコンプライアンス
測定結果と従来の複素指数法による同定結果を示す図、
第14図はMSF関数の測定結果と同定結果を示す図、第15
図はコンプライアンスの測定結果と同定結果を示す図で
ある。 1,2……信号増幅器、 3,4……アナログ／ディジタル変換器、 ５……メモリ、６……FFT演算用CPU、 ７……CRTディスプレィ装置、 ８……Ｘ−Ｙプロッタ、 ９……フロッピーディスク、 10……ディスク装置、 11……モード解析用CPU、 12……加振信号発生器、13……パワー増幅器、 14……加振機。
ク図、第２図は本発明によるモード解析の一実施例の処
理フローを示す図、第３図は工作機械の加振試験を説明
する図、第４図は従来の振動特性解析装置のブロック
図、第５図は従来のモード解析の処理フローを示す図、
第６図は１自由度系とみなしうる伝達関数の例を示す
図、第７図は多自由度系とみなしうる伝達関数の例を示
す図、第８図は線形系と非線形系のMSF関数を示す図、
第９図は線形系と非線形系のVDF関数を示す図、第10図
はDuffing型非線形ばねの復元力と変位の関係を示す
図、第11図は断片線形型非線形ばねの復元力と変化の関
係を示す図、第12図は非線形振動梁の加振試験装置の一
例を示す図、第13図は非線形振動梁のコンプライアンス
測定結果と従来の複素指数法による同定結果を示す図、
第14図はMSF関数の測定結果と同定結果を示す図、第15
図はコンプライアンスの測定結果と同定結果を示す図で
ある。 1,2……信号増幅器、 3,4……アナログ／ディジタル変換器、 ５……メモリ、６……FFT演算用CPU、 ７……CRTディスプレィ装置、 ８……Ｘ−Ｙプロッタ、 ９……フロッピーディスク、 10……ディスク装置、 11……モード解析用CPU、 12……加振信号発生器、13……パワー増幅器、 14……加振機。
Claims (8)
- 【請求項１】被測定物の振動特性を解析する方法におい
て、被測定物を加振試験して伝達関数を測定し、該伝達
関数から等価質量、等価剛性の項、振動モードで構成さ
れる関数（以下、MSF関数という）、減衰の項、振動モ
ードで構成される関数（以下、VDF関数という）を求
め、該MSF関数、VDF関数の特性から伝達関数の線形性、
非線形性を判別し、被測定物の振動特性を表すモードパ
ラメータを、該線形性、非線形性に応じて同定すること
を特徴とする振動特性解析方法。 - 【請求項２】MSF関数が単純な放物線のとき、VDF関数が
直線のときに線形性と判別し、MSF関数が零と交わる部
分で変化するとき、VDF関数が直線を示さないときに非
線形性と判別することを特徴とする請求項（１）記載の
振動特性解析方法。 - 【請求項３】MSF関数に最小二乗法を適用して、線形
性、非線形性の振動系の等価質量と等価剛性を同定し、
VDF関数から減衰比を同定することを特徴とする請求項
（１），（２）記載の振動特性解析方法。 - 【請求項４】MSF関数から、等価剛性の非線形特性を同
定する場合、等価剛性の線形特性からの偏差分を多項式
で表し、この数学モデルに対して最小二乗法により非線
形系に対する同定を行うことを特徴とする請求項（３）
記載の振動特性解析方法。 - 【請求項５】MSF関数から、線形の等価剛性からの偏差
分δｋ＊Ｎの項を抜き出し、振幅Ａとδｋ＊Ｎに対応し
たＡの関係から、Ａの小さい順から大きい順にδｋ＊Ｎ を並び変えて、Ａ−δｋ＊Ｎの関係から任意の数学モデ
ルを用いて非線形系のモードパラメータを同定すること
を特徴とする請求項（３）記載の振動特性解析方法。 - 【請求項６】被測定物の振動特性を解析する装置におい
て、被測定物を加振する手段と、振動の時間応答波形を
検出する手段と、該検出されたアナログ信号をデジタル
データに変換する手段と、時間領域の該データについて
高速フーリエ変換を行い伝達関数を計算する手段と、該
伝達関数からMSF関数、VDF関数を求める手段と、該MSF
関数、VDF関数の特性から伝達関数の線形性、非線形性
を判別する手段と、該線形性、非線形性に応じて、被測
定物の振動特性を表すモードパラメータを同定する手段
とを有することを特徴とする振動特性解析装置。 - 【請求項７】伝送関数の線形性、非線形性を判別する手
段は、MSF関数が単純な放物線のとき、VDF関数が直線の
ときに線形性と判別し、MSF関数が零と交わる部分で変
化するとき、VDF関数が直線を示さないときに非線形性
と判別することを特徴とする請求項（６）記載の振動特
性解析装置。 - 【請求項８】MSF関数、VDF関数を表示する手段を備え、
該表示されたMSF関数、VDF関数の特性から、オペレータ
が線形性、非線形性の判別をできるようにしたことを特
徴とする請求項（６）記載の振動特性解析装置。
Priority Applications (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP2021604A JP3055788B2 (ja) | 1990-01-31 | 1990-01-31 | 振動特性解析方法及び装置 |
Applications Claiming Priority (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP2021604A JP3055788B2 (ja) | 1990-01-31 | 1990-01-31 | 振動特性解析方法及び装置 |
Publications (2)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| JPH03225247A JPH03225247A (ja) | 1991-10-04 |
| JP3055788B2 true JP3055788B2 (ja) | 2000-06-26 |
Family
ID=12059643
Family Applications (1)
| Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
|---|---|---|---|
| JP2021604A Expired - Lifetime JP3055788B2 (ja) | 1990-01-31 | 1990-01-31 | 振動特性解析方法及び装置 |
Country Status (1)
| Country | Link |
|---|---|
| JP (1) | JP3055788B2 (ja) |
Families Citing this family (2)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| JP2001331476A (ja) * | 2000-05-23 | 2001-11-30 | Ono Sokki Co Ltd | 曲線適合方法、曲線適合装置、曲線適合プログラム記憶媒体、および損失係数測定装置 |
| CN106773678B (zh) * | 2016-11-30 | 2019-06-11 | 西安交通大学 | 用于多非线性参数耦合系统的参数辨识方法及其辨识设备 |
-
1990
- 1990-01-31 JP JP2021604A patent/JP3055788B2/ja not_active Expired - Lifetime
Also Published As
| Publication number | Publication date |
|---|---|
| JPH03225247A (ja) | 1991-10-04 |
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