JPH02159683A - 補間方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 （１）技術分野 この発明は、コンピュータグラフィックなどの分野で、
スキャン変換や、グーローシェーディング（Ｇｏｕｒａ
ｕｄ　Ｓｈａｄｉｎｇ　）、デプスチューイングなどに
使われる補間方法に関する。

まず、補間という事について説明する。コンピュータグ
ラフィックなどに於て、画面は、縦横に多数並ぶ画素に
よって構成される。これらの画素は横方向に付したＸ座
標と縦方向に付したＸ座標によって表現できる。

画像処理の分野では、原点は左上の隅にある。

ｙ軸は上から下に向う軸である。

しかし、ここでは、考えやすくするため、ｙ軸は上向き
にとる事にする。数学的な考察を多く必要とするから、
直感的に分りやすい座標系を選ぶことにする。

たとえば、画面の上に多角形が存在するとしよう。これ
らの頂点の座標は決まっている。隣接する頂点を結ぶ直
線を引かなければならない。

この直線も画素の集合として表現される。ところが、画
素は、有限の大きさを持つ。無限分割できるものではな
い。

隣接する頂点の座標から、中間点の座標を求めるため、
中間領域のＸ座標に対してｙ、座標を求める、という事
が要求される。

第２図に単純化して示す。これは、始点Ａと終点Ｂの間
を補間しようとするものである。ｘ１ｙ座標は整数値の
みを取る。整数値をとるのは、画素が最小単位だからで
ある。ひとつの画素に対しては、同じ色が対応し、これ
を分割することができない。

始点Ａを（ｘ、、　）’ｓ　）、終点Ｂを（ｘ、、ｙｅ
）とする。これらの座標は整数である。ＡＢ間のＸに対
すＸ座標を求める事が補間である。

ｘ　＝　ｉを中間の任意の線とする。これとＡＢの交点
をＷとする。ｙ＝Ｗは整数でないとする。この場合、こ
れより下のｙ＝ｊとなるＴ点か、上のｙ＝ｊ＋１　とな
るＵ点を選ばなければならない。

ｉ、ｊは整数を表わす。

この場合、ＵとＴのどちらがＷに近いのかを計算し、近
い方の値をＸ座標とするのが最近接法（ｎｅａｒｅｓｔ
　ｎｅｉｇｈｂｏｒ　ｍｅｔｈｏｄ　）である。選ばれ
た点は一直線ＡＢより上にも下にも分布しているが、Ａ
Ｂに最も近いものの集まりである。ｘｌｙがｘｙ座標系
で整数値をとる点の事をここでは格子点（Ｌａｔｔｉｃ
ｅ　Ｐｏ１ｎｔｓ　）　トイう事ニスル。上記ノ集合は
、ＡＢに最も近い格子点の集合というように言う事がで
きる。

任意のｘ　＝　ｉに対する点Ｗのｙ座標Ｗは７ｅ　　−
７ｔｓ ｗ＝ｙ、＋（ｉ−Ｘ！ｌ）　　　　　（１）Ｘｓ　　−
ｘ。

によって与えられる。これを四捨五入すれば、最近接の
格子点（ＴかＵ）を決める事ができる。

しかし、これはコンピュータの演算を巧妙に利用した方
法ではない。コンピュータは、この場合、小数を扱うこ
とが難しいし、四捨五入の操作も時間のかかるものであ
る。

（１）式を計算する方法は、任意のｘ＝ｉ点のＸ座標を
求める局所的な特徴を持つ。人間の直観に対しては分り
やすい方法であるが、コンピュータの演算には最適でな
い。

以上に説明したものは多角形の辺を求めるものであった
。これはＸ座標が未知数ということである。

この他に、求めるべき未知数が色変数である事もある。

この場合、頂点間で連続的に色を変化させてゆくにはど
うすればよいか、という問題になる。中間部の色をＸ座
標ごとに決める事が補間という事である。

（イ）　Ｂｒｅｓｅｎｈａｍ　ノア　／Ｌ／　コ！Ｊ　
スＡＢｒｅｓｅｎｈａｍ　：　ＩＢＭ　Ｓｙｓｔｅｍｓ
　Ｊｏｕｒｎａｌ　、　Ｖｏｌ、　４゜Ｎ００１　（１
９６５）において、Ｂｒｅｓｅｎ、ｈａｍは、−ｘンビ
ュータグラフィックに適した補間方法を提案した。

これは、ｎｅａｒｅｓｔ　ｎｅｉｇｈｂｏｒを取るもの
であるが、始点から終点までの２点について、漸化式の
形で、Ｘ座標と、誤差函数とが与えられる。

漸化式であるので、コンピュータ演算に向いている。除
算は１回だけで、乗算がなく、途中の演算は、正負の判
別と、加算だけである。従って、高速に計算できる。た
だし、人間の直観に対しては分りにくいところがある。

ソコで、Ｂｒｅｓｅｎｈａｍのアルゴリズムをまス、簡
単に説明する。本発明は、これを改良したものであり、
Ｂｒｅｓｅｎｈａｍのアルゴリズムが明確に定義された
ければ、本発明の特徴が分りにくいものになるからであ
る。

さきに説明したように、補間の対象となる未知数はＸ座
標だけでなく、色変数である事もあるので、これを大文
字のＶで表現する。

Ｘ座標が独立変数である事に変わりはない。これを大文
字のＸで以後表現する。

第３図に線分ＡＢを対角線とする長方形を示す。

横軸はｘ１縦軸はＶである。

始点Ａは（ｘｓｌＶｓ）、終点Ｂは（Ｘｓ、”ｅ）であ
る。■座標は上向きに取っている。

始点Ａから考えればよいので、ここを原点とみなし、Ｘ
座標は、ここを）（＝Ｑとする。以後、Ｘは１．２、・
・・、１１・・・Ｓと増加してゆく。ただし、Ｓは長方
形の横の長さＡＣに等しい。

Ｓ　＝　Ｘ、　−Ｘ。

である。つまり、終点のＸ座標がＳである。

■座標も同様で、Ａ点のＶの値をｖｏとし、これを基準
にする。

長方形ＡＢＣＤの縦辺の高さをＲとする。

Ｒ：　Ｖｅ　−Ｖｓ である。

ＢｒａｓｅｎｈａｍのアルゴリズムはＡＢの勾配が１以
下 である事を条件としている。もちろん、これを１以上に
拡張するのは雑作のないことである。また、右下りの勾
配の場合に拡張することもできる。これらについては後
に述べる。

始点Ａの値を基準にするので、ここでｘ＝０、■二〇で
ある。

）（＝ｌの時、ＡＢがＸ＝１をＷｌ点で切るとする。

４点の下の格子点Ｔ１は（１，０）　　であり、上の格
子点Ｕ１は（１，１）である。どちらを選ぶべきであろ
うか？ 近い方を選ぶべきなのである。これは、線分ｔｒ１ｗ１
とＷＩＴ、のどちらが短いかを求めればよいのである。

ＷｌのＸ座標はＲ／Ｓである。

（６）の値が正であれば、Ｗｌは上点Ｕ１に近いという
事である。この場合、ｘ＝１に対し、ｖ＝Ｕ１とする。

つまりＵ、点を採用する。

（６）の値が負であれば、Ｗｌは下点Ｔ１に近いという
事である。この場合、）（＝１に対し、ｖ＝’ｒ１とす
る。つまりＴ１点を採用する。

ところが、（６）式は小数を含む計算になる。コンピュ
ータによって迅速に計算するという点で不適である。割
算と減算を含むからである。そこで、（６）式を８倍し
たものを考える。Ｓは（２）で定義されるようンテ横辺
ＡＣの長さで定数である。

８倍すると、（６）は整数の演算となる。

これを誤差函数と呼ぶことにする。ｉ番目のものをＥｉ
と書く。最初のものはＥｏで Ｅｏ＝：　２Ｒ−Ｓ　　　　　　　　　　　　　　（７
１である。これは（５）を５倍したもので確定している
。

誤差函数というのは分りに（い函数である。Ｅ。

は確定しているが、中間点Ｘ＝１．２、・・・、（Ｓ−
１）での誤差函数は予め確定したい。

始点の誤差函数Ｅｏが、Ｘ＝１での線分Ｗ１τ１、ＵＩ
Ｗｌの長さの差で決まるのであるから、誤差函数は、そ
のサフィックスよりひとつ進んだ部分の情報を含んでい
るのである。

（ｉ−１）番目の誤差函数Ｅｉ−ｘも、同様にＥｉ−ｔ
　＝　Ｓ　（Ｗｉ　Ｔｉ　　ＵｔＷｉ）　　　　　（８
）というように定義してみる。

Ｗｉ　ハ線分Ａ　Ｂ　トＸ＝　ｉ　（７）交点−１１’
　アリ、Ｔｉ５Ｕｉ＆１Ｘ＝ｉである格子点であって、
上下に並ぶものである。上下に並ぶのでＪを上点、Ｔｉ
を下点という。しかし、ＷｉがＵｉ　Ｔｉの間にあると
いうわけではない。

ＵｉＴｉの中点をＭｉとする。すると、（８）はＥｉ−
ｘ　　＝　　２Ｓ（ＷｉＭｉ）　　　　　　　（９）と
いう事になる。ただし、Ｗｉ、Ｍｉは点”ＬＸ　Ｍｉの
Ｖ座標の値を示す。（９）は、中点ＭｉよりＷｉが下で
あれば負、上であれば正という事になる。

中点Ｍｉが重要な境界になる。ＷｉがＭｉより下なら、
■の値として、Ｖ＝Ｔｉを選び、ＷがＭｉより上ならＶ
の値として、Ｖ＝Ｕｉを選ぶべきだからである。

右上りの線分ＡＢを考えているから、ｉ＋１番目のＶの
値は、１番目のＶより小さくはない。

Ｖｉ＋ｔ　　≧　Ｖｉ αＱ である。

Ｘ＝Ｌ　ｉ＋１の格子点と線分ＡＢの関係は、第４図に
示すケースＩと第５図に示すケース■に分ける事ができ
る。

（ケース■） これは第４図に示すように、Ｘ＝ｉとｉ　−）−１の間
に於て線分Ｗｉ　Ｗｉ＋ｘ　（Ａ　Ｂの一部）が、中点
Ｍｉを通りＸ軸に平行な直線ｖ＝Ｍｉを横ぎらない場合
である。Ｖ＝Ｍｉの直線を境界線と呼ぶ。

このような場合、Ｖｉ＋１はＶｉに等しいものとした方
がよい。ＶｉがＷｉに最も近い格子点であれば、Ｖ＝Ｖ
ｉでＸ＝ｉ＋１　である格子点カＷｉ＋１ニ最も近いの
は当然の事だからである。つまり、’／ｉ＋ｔ　＝　Ｖ
ｉ ａυ とするのである。

第４図ノ（ａ）ニ於テ、ｖＬ　’／ｉ＋１）ｆ、点ＷＬ
　Ｗｉ＋４　ノ下にある。（ｂ）に於ては、ＶｉはＷｉ
の上に、Ｖｉ＋ｔはＷｉ＋ｘ　ノ下Ｋ　アル、　（Ｃ）
　Ｋ於テハ、’／ｉｓ　’／ｉ＋１　ハＷＬＷｉ＋、の
上にある。

イスレニシテモ、’／ｉ　＝　Ｖｉ＋ｚ　テあり、ｗ４
．ｗｉ＋１との差は％以下である。

（ケース■） これは第５図に示すように、Ｘ＝＝ｉとｉ＋１に於て、
線分ＷｉＷｉ＋ｒが境界線を横ぎる場合である。

右上りの直線であるので、このようになる。この場合、
ＶｉはＷｉの近くの隅部であるがｓ　”ｉ＋１は正方形
の右上の点とした方がよい。つまりｌ増加するのである
。

Ｖｉ＋１　　＝　　Ｖｉ　＋　Ｉ　　　　　　　　　　
　　Ｈ第５図の（ａ）、（ｂ）、（Ｃ）のいずれであっ
ても同じことである。勾配が１以下であるので（′ｂ）
、（Ｃ）以上の勾配の大きいものはない。

ケース■、■において、ＶｉとＶｉ＋１の間の漸化式を
求める事ができた。これを補間函数と呼ぶことにする。

さて、誤差函数Ｅｉは、ケース■とケース■を区別する
ものとして規定したい。

誤差函数は、（９）で示すように、Ｗｉと中点Ｍｉの差
である。

ＷｉはＸ＝ｉとＡＢの交点であり確定している。

中点Ｍｉが確定していない。

（９）式をＥｉとして書くと、 Ｅｉ　　＝２Ｓ　（Ｗｉ＋Ｉ　　　Ｍｉ＋ｘ　）　　　
　　　α■である。Ｊ＋１はＶｉより、％上の中点であ
る、というように決めれば、第４図のタイプ■の場合、
Ｅｉはことごとく負になる。第５図のタイプ■の場合、
Ｅｉはことごとく正になる。

つまり、誤差函数Ｅｉに含まれるＭｉ＋１は、Ｖｉより
％上の中点として一義的に決定する事ができる。

そして、タイプ■のように、■の値がひとつ増えた時は
、中点Ｍｉ＋ｚもひとつふえる事シてなる。

タイプＩの場合は、中点Ｍｉ＋ｘ　＝　Ｍｉ＋２である
。

誤差函数についての漸化式を得たい。

（１）タイプ■であれば、Ｖｉ＋１＝　Ｖｉ　”？ｌ’
、中点Ｍｉ＋１＝Ｍｉ＋２である。すると、Ｗｉ＋１か
らＷｉ＋２への増分だけ（Ｒ／Ｓ　）増える。

つまり、２ＲだけＥｉがふえる。

Ｅｉ＋ｔ　＝　Ｅｉ　＋２ＲＱ４） である。

（ｉｉ）　　ｐイブＩＩ−ｔ’あれば、Ｖｉ＋ｔ　＝　
Ｖｉ　＋　１　テ、Ｍｉ＋２＝Ｍｉ＋１　＋　１である
。Ｗｉ＋２はＷｉ＋ｔより、Ｒ／Ｓだけ大きい。すると
、Ｅｉ＋ｘはＥｉよりも、０りから、２Ｒ−２Ｓだけ大
きい（実は小さい）ことになる。

Ｅｉ＋ｔ　　＝　Ｅｉ　＋　２Ｒ−２Ｓ（１５１このよ
うにすると、■の値として、常にＷに最も近い値を選ぶ
ことができる。

誤差函数をＷｉ＋ｌとＭｉ＋ｔの差と解釈すればＭｉ＋
ｔはＶｉと（Ｖｉ＋１）の間の中点である。

誤差函数を（８）のように、上点Ｕｉ＋ｔ、下点Ｔｉ＋
ｔとＷｉ＋１の距離の差として解釈する場合、下点Ｔｉ
＋ｘは、Ｖｉの右横、上点Ｕｉ＋ｔはそのひとつ上の格
子点という事になる。

以上に説明したものがＢｒｅｓｅｎｈａｍのアルゴリズ
ムである。まとめて書くと、 Ｓ：Ｘ、−Ｘｓ Ｒ＝＝Ｖｅ−Ｖｓ ａη Ｏ（−＜：Ｉ （国 Ｅｏ　＝２Ｒ−３ （１つ Ｖ＝Ｖ３ 補間函数Ｖｉ　、誤差函数Ｅｉを既知として、次の漸化
式により、Ｎ’ｉ＋ｔｓ　Ｅｉ＋１　　を求める。

（Ｉ）　　Ｅｉが負であれが（Ｅｉ≦０）Ｖｉ＋ｘ　　
＝　　’／１ （２Ｉ） Ｅｉ＋ｘ　＝　”ｉ　＋２Ｒ＠ （［Ｄ　　Ｅｉが正であれば Ｖｉ＋ｘ　　＝　Ｖｉ　＋　１ （ハ） Ｅｉ＋１　＝　　Ｅｉ＋　２Ｒ−２Ｓ　　　　　　　　
ｔ２４Ｊという事である。

第６図に誤差函数、補間函数の一例を示す。Ｅは多くの
場合角であるが、増加し続け、正になった時に、■がひ
とつ増え、同時にＥは（２Ｓ−２Ｒ）だけ減少する。Ｅ
を折線でつなぐと、これは勾配が２Ｒで、段差が２Ｓの
鋸状波形となる。

再びＥは増加をし、Ｗも増える。ＷがＶを越えてもＥは
負であり続ける。Ｗが（Ｖ＋−ｙ）に来たとき、Ｅが正
になるので、■がひとつ増え、Ｅは（２Ｓ　−２Ｒ）だ
け減少する。■は階段状になる（　Ｒ／Ｓが１よりずっ
と小さい場合）。　Ｅは鋸歯状になる。

Ｂｒｅｓｅｎｈａｍのアルゴリズムは、正負の判別と加
算だけで、補間函数を求める事ができ、コンピュータの
演算に好適なアルゴリズムである。

（ｈ）特開昭６３−＝　４７８７６ Ｂｒｅｓｅｎｈａｍの°アルゴリズムは、直線の勾配Ｒ
／Ｓが０と１の間でなければならなかった。

実際には、Ｒ／Ｓが１以上である事もあるし、これが負
である事もある。負というのは右下りの直線という事で
ある。

Ｒ／Ｓが１以上、又は０以下の場合に拡張、するのは容
易な事である。それは、勾配の値を、整数Ｑと、小数分
Ｒ／Ｓに分けて、小数分についてＢｒｅｓａｎｈａｍの
アルゴリズムを使う事である。

つまり、直線ＡＢの勾配を とする。ただし、Ｒは（ハ）の除算の剰余であり、とい
う条件を満たす。Ｑは商である。

（ハ）が負である場合も同じでＣｅが成りたつように、
Ｑを決める。つまり、負数を除算した商よりさらに１を
引いたものがＱである。すると、剰余Ｒが正になる。こ
れは右下りの直線の補間に対応する。

第７図に急勾配の例を示す。簡単のため始点Ａを原点に
する。終点ＢよりＸ軸に垂線を下しその脚をｄとする。

始点Ａから勾配がＱの直線を引く。ｖ　＝　ｑＸである
。これとＢＣ′の交点をＣとする。

ＡＣに対して平行であるＢを通る直線とＶ軸の交点をＤ
とする。

直線Ａｃは、Ｑが整数なのであるから、ｘ＝０、・・・
　Ｓに対するＶの値は全て整数である。つまり、ＡＣは
、もれなく、格子点を通る。

Ｘ軸であるＡ　Ｃ’ももれな（格子点を通る。

Ａより勾配がＲ／Ｓの直線を引きＢ　Ｃ’との交点をＢ
′とする。ＢＣ＝Ｒ，Ｂ’Ｃ’＝Ｒである。ＡＣ’Ｂ’
Ｄは長方形、ＡＣＢＤは平行四辺形である。

任意の縦線と、ＡＢ、　ＡＣ，ＡＢ’、ＡＣ’の交点を
Ｗ。

Ｈ，Ｗ’、Ｈ′とする。

ＷＨ＝Ｗ’Ｈ’　　　　　　　　　　　　　罰である。

Ｈ，Ｈ’を格子点とする事ができる。ＷＨはＲより小さ
い。このような場合、平行四辺形ＡＤＢＣをそのまま長
方形に変換することができる。

長方形ＡＣ’Ｂ’Ｄの中で補間する方法はＢｒｅｓｅｎ
ｈａｍによって与えられている。これを平行四辺形ＡＣ
ＢＤに変換するには、Ｘ座標がひとつふえるごとにＶに
Ｑを加えればよい。その他は全て同じことである。

まとめて書くと、（２Ｓ）、（イ）とともにＥｏ　＝２
Ｒ−３ α）Ｅｉが負であれば　（Ｅｉ≦０） ’／ｉ＋ｘ　　＝　’／ｉ　＋　Ｑ （財） Ｅｉ＋□　＝　　Ｊ　＋　２Ｒ７２ｇ１Ｑ’Ｄ　　ＥＬ
が正であれば Ｖｉ＋ｘ　　＝　Ｖｉ　＋　１　＋　Ｑ　　　　　　　
　　（３０）Ｅｉ＋ｌ＝　Ｅｉ　＋　２Ｒ−２ＳＣ３１
）とする。

これらを、Ｂｒｅｓｅｎｈａｍのアルゴリズムと比べて
みれば、（２８）、艶でＱを加えるところだけが違う。

誤差函数は全く変わらない。

このようなアルゴリズムは特開昭６３−４７８７６（３
６３，２，２９公開）に与えられている。

に）発明が解決しようとする問題点 Ｂｒｅｓｅｎｈａｍのアルゴリズムは、多角形の辺ＡＢ
の座標を補間してゆく方法として優れｋものである。線
ＡＢと、それを挾む２つの格子点との距離の短い方を取
るので、最近接の格子点を選ぶことができる。

この場合、多角形の辺の内にあるものも外にあるものも
同様に選ばれる。

これは、多くの用途に対して有効でありうる。

しかし、特別な用途に対しては有効でないことがある。

ｋとえば多角形の内部に属する点だけを塗りつぶしたい
、という場合である。

このような場合、Ｂｒｅｓｅｎｈａｍのアルゴリズムで
求めた格子点のうち、約半分は外患であるので、これら
を捨てなければならない。外患を除いて、これよりひと
つ内側のものをかわりに選べばよい。

ところが、Ｂｒｅｓｅｎｈａｍのアルゴリズムは選ばれ
た格子点が、線分ＡＢの左にあるのか、右にあるのかと
いう事を問題にしたい。このため、外患と内点とを区別
できない。区別できないから外患だけを除くことができ
ない。

（イ）本発明の方法 本発明は、多角形などの内点を求める補間方法に関する
。内点というのは、境界をなす多角形の辺より内部にあ
る格子点の事である。これは、辺の存在する位置により
、辺に対する関係が相異する。

第８図によって説明する。

簡単のため三角形ＡＢＥとする。より複雑な多角形であ
っても差支えない。

ＡＢＥの内点というのは、辺ＡＢ、ＢＥ、ＥＡによって
囲まれる空間の内部にある格子点である。

辺を補間するというのは、辺の内部にあって、辺に最も
近い格子点を順次求める事である。

例えば辺ＡＢについていえば、ｘ＝ｉに於て、辺上の点
をＷｉとし、Ｗｉの直下の格子点Ｖｉを求める事である
。最も近い点であるので、（Ｗｉ　　’ｉ）は０と１の
間である。

つまり、ＶｉはＷｉ′の最近接下点であるという事がで
きる。簡単に辺ＡＢの最近接下点という。

このような事情は、右下りの辺ＢＥに於ても同じである
。内点というのは辺ＢＥの下にある。辺ＢＥの最近接下
点を求めることにより、辺ＢＥを補間する事ができる。

ところが、辺ＡＥについては事情が異なる。

これは、辺ＡＥＱ上にある格子点が内点という事になる
。この場合、辺Ａｌｉ：を補間するということは、ＡＥ
の最近接上点を求める事である。

辺Ａ３１８Ｅと、辺ＡＥとを区別することは簡単であり
、本発明の目的ではないが、ここに述べておく。

任意の縦線Ｘ　＝　ｉを引き、多角形の辺との交点を作
る。交点の数を、上から（或は下から）数えて奇数番（
或は偶数番）である時、その辺にとつて、内点は下にあ
る。

このように簡単に区別できる。

ＡＢｌＢＨのような辺を補間する方法についてまず説明
する。

これは、最近接下点をＶｉとすればよいのである。

町とＶｉは、Ｗｉが上であり、しかも１以上能れていな
い。

第９図に示すように、Ｖｉ、Ｖｉ＋１と、これより、１
上の点Ｖｉ　＋１、Ｖｉ＋１＋１　　の４点よりなる正
方形を考える。これを線分ＡＢが横ぎるが、縦線との交
点がＷｌ、Ｗｉ＋１である。

３本の線分を示しているが、このいずれであっても、補
間点Ｖｉ１Ｖｉ＋１は、下の２つの隅点である。

境界線はこれらよりひとつ上のＶｉ　＋　１　　の線で
ある。誤差函数Ｅｉは、この間で負であるようにする。

第１０図に示すように、線分Ｗｉ　Ｗｉ＋ｘが境界線を
越える事がある。この場合、ｉ＋１番目の格子点は、ｉ
番目のものよりひとつ上に移るべきである。境界線も上
に移るべきである。

結局、このように、最近接下点を求める場合、誤差函数
Ｅｉとして、０３）のかわりにＥｉ　　＝　　２Ｓ（Ｗ
ｉ＋ｘ　　　　Ｉ　　　Ｖｉ）　　　　　Ｃ３３として
、定着すればよいのである。

境界線ハＶ＝Ｖｉ　＋　１　テアリ、これより、Ｗｉ＋
ｘが下にあれば、Ｅｉは負であり、上にあれば正である
。

誤差函数の漸化式を求める。

第９図のような場合。Ｗはｉから（ｉ＋Ｘ　）までで２
Ｒ増加する（ＡＢの勾配がＲ／Ｓで、これに２Ｓを掛け
るから）。ところがＶ４はＶｉ＋ｔに等しいのでＣ３２
＋は２Ｒだけ増える。

第１０図のような場合、Ｗはｉから（ｉ＋１）までで、
２Ｒ増加する。Ｖｉ÷１はＶｉより１大きい。このため
、誤差函数は（２Ｒ−２Ｓ）増える。

すると、漸化式に関しては、補間函数、誤差函数につい
て、Ｂｒｅａｅｎｈａｍのアルゴリズムと全く同じで、 ０）　　Ｅｉ≦０　のとき ”ｉ＋ｌ＝　Ｅｉ　＋　２Ｒ（３３） Ｖｉ＋ｔ　　＝　Ｖｉ　　　　　　　　　　　　　　（
３４）（ＩＩ）　Ｅｉ　）　Ｏのとき Ｅｉ＋ｘ　　＝　　Ｅｉ　　＋　２Ｒ−２Ｓ　　　　　
　　　　（３つＶｉ＋ｚ　　＝　Ｖｉ　＋　１　　　　
　　　　　　　（３６）となる。

漸化式のうえでは、最近接下点を求める補間も、Ｂｒｅ
ｓｅｎｈａｍの補間も変わりがない。

どうして、それでは差が出てくるのか？ということが問
題になる。

それは初期条件である。

第１１図に）（＝Ｑ、１、Ｖ＝＝０．１の近傍のみを図
示する。線分ＡＢの）（＝１との交点をＷｌとする。ｘ
＝１の時、Ｗｌ＞Ｖｔ　となる整数はＯだけであるので
、内点として選ばれる点ｖ１は（１，０）の点である。

これは、線分ムＷ１の勾配Ｒ／ＳがＯから１まで変化し
ても、必ずｖ１点なのである。

Ｃ３つのｉを０と置くと Ｅｏ　＝　２Ｓ（Ｗｔ　−１−Ｖｏ　）　　　　Ｃ３３
’＝　２Ｓ（Ｒ／Ｓ　−１）　　　　　　　（至）′＝
２Ｒ−２Ｓ　　　　　　　　　　　　Ｃ３５１となる。

このように初期条件が求まる。Ｂｒｅｓｅｎｈａｍの場
合は（５）〜（７）に示すように（２Ｒ−Ｓ）であった
が、これよりＳだけ小さくなる。

結局最近接下点を補間するアルゴリズムは、−般の勾配
（Ｑ＋Ｒ／Ｓ　）の場合に、次のように書く事ができる
。

ｓ””ｘｅ−Ｘ、　　　　　　　　　　　　（至）′Ｑ
５＋Ｒ＝Ｖｅ　　ｖ、　　　　　　　　（３７）Ｒ（至
） ０＜７＜１ Ｅｏ−＝２Ｒ−２Ｓ ｖＯ＝ｖＳ として諸定数を定義し、ＥｉとＶｉを既知として、次の
漸化式によりＥｉ＋１、Ｖｉ＋ｔを求める。

（Ｉ）　　Ｅｉが負であれば（Ｅｉ≦０）’Ｖｉ＋１　
　＝　Ｖｉ　＋　Ｑ Ｅｉ＋ｘ　　＝　　Ｅｉ　＋　２Ｒ σ］）　　Ｅｉが正であれば（Ｅｉ＞０）Ｖｉ＋ｔ　　
＝　Ｖｉ　＋　Ｑ　＋　１　　　　　　　　　（４４）
Ｅｉ＋ｌ　＝　　Ｅｉ　＋　２Ｒ−２Ｓ　　　　　　　
　（４５）となる。これは（ハ）〜０１）の一般化され
たＢｒｅｓｅｎｈａｍのアルゴリズムと初期条件Ｅｏが
異なるだけである。

第１２図に本発明の場合の補間函数、誤差函数の例を示
す。誤差函数が、−２Ｓ＋２Ｒから始まっている。この
ため、勾配２ＲでＥが増加しても、Ｅかなかなか正にな
らない。このため、ｖｏＱ値をしばらく保つことをζな
る。

Ｓ／Ｒの整数部分をｍとし、２Ｒずつｍ回Ｅが増えると
、Ｅは正になり、このときＶは１になる。

Ｗはこの間ｍＲ／Ｓだけ増える。ｍはＳ／Ｒの整数部で
あるからｍＲ／Ｓは１より少し大きい。これはＷｉ＋１
がここで１を越えなということで、■が１になるのは当
然のことである。

これがイ号である。Ｅが正になるので、■は１になり、
Ｅは（２Ｓ−２Ｒ）だけ減少する。折線でＥをたどると
、ここで２Ｓだけ減少する鋸歯状の波形となる。

この後、Ｅは２Ｒずつ増加し、ｍ回で正になる（四点）
。ここでｖは＋１され、Ｅハ（２Ｓ−２Ｒ）りは減少す
る。

誤差函数Ｅは、いずれにしても鋸歯状の波形を持つが、
第６図の場合、１つ目の（ト点）波形は半周期分しかな
い。第１２図では１つ目の波も１周期分ある。

このような違いは、ｋだに初期条件の違いにある。

さらに、誤差函数Ｅｉが０であるのを、ＥＪＩが負に含
めているが、これは辺上の点も内点に含めるからである
。辺上の点を省く場合は、Ｅｉ　＝＝　ＱはＥｉ＞Ｏに
含められる。

さて、今度は、第８図の辺ＥＡの部分である。

これは線分ＡＥの最近接上点を求めるものである。

ＶｉがＷｉＱ上にある。

すると、前述の場合の類推で、誤差函数Ｅｉは、Ｗｉ＋
１とＶｉの差として定義すればよい事が分る。

Ｅｉ　　＝　　２Ｓ　（Ｗｉ＋ｌＶｉ　）　　　　　　
　（４７）である。これが負であれば、Ｖｉ＋１はＶｉ
に等しく、正であればＶｉ＋ｘは（Ｖｉ＋１）とする。

漸化式は同じである。Ｗｉ＋ｘはＷｉよりＲ／Ｓ大きい
ので、Ｅｉが負であれば、Ｅｉ＋１はＥｉに２Ｒを加え
る。Ｅｉが正であれば、Ｅｉ＋１はＥｉに（２Ｒ−２Ｓ
）を加える。

ただし初期条件が違う。ｖｏは必ずＯとして定義される
ので、 Ｅｏ　　＝　　２Ｓ（Ｗｔ−ｖｏ）　　　　　　　　　
（４８＝　　２Ｒ である。これ以外は、Ｂｒｅｓｅｎｈａｍのアルゴリズ
ムと同じである。ここに列挙すると、 ５＝＝Ｘ、−Ｘｓ Ｉ ｏ（、−（ｔ　　　　　　　　　　（１）Ｅｏ＝２Ｒ＠
） Ｖｏ＝＝’／ｓ　　　　　　　　　　　　　　　　　い
）によって諸室数を定義し、Ｅｌとｖｌとを既知として
、次の漸化式により、Ｅｉ＋ｒ、Ｖｉ＋１を求める。

（Ｉ）　　Ｅｉが負であれば　（Ｅｉ≦０）Ｖｉ＋ｘ　
　＝　　Ｖｉ　＋　Ｑ Ｅｉ＋１　＝　　Ｅｉ　＋　２Ｒ 卸　Ｅｉが正であれば　（Ｅ４＞０） Ｖｉ＋ｔ　　＝　Ｖｉ　＋Ｑ＋　Ｉ　　　　　　　　Ｃ
５７）！ｆ：ｉ＋ｘ　　＝　Ｅｉ　＋　２Ｒ−２Ｓ（１
）とするのである。

Ｅｉ　＝＝　Ｑを負に含めているが、これは、辺上り点
も内点に含めるからである。Ｅｉ＝　Ｑを正に含めると
辺上り点が含まれない。

（２）実施例 第１図は本発明の補間方法を実行するための補間装置の
実施例を示す。

ラッチ１．２．３は、始値Ｖｓ、終値Ｖｅ、補間区間数
Ｓを保持するためのラッチである。ここでは１６ビツト
の２進数（補数表現）とする。

インバータ４は、各ビット独立して論理反転するインバ
ータである。インバータ６．１０．１２．２０も同様で
ある。

インバータによって反転した値Ｎは、もとの値Ｎに加え
ると、全てのビットが１になるので、これＩて１を加え
ると０になる。

Ｎ＋Ｎ＋１　　＝　　０ ■の である。補数表現しているのでこのようになる。

アダー５．１５．２８．２９．３０は加算器であり、２
入力に与えられた数を相加え、結果を出力する。

このうち、アダー５．１５．２９などは、別に１を加え
ている。

マルチプレクサ８．１４．１６．１８．２Ｓ．２７．３
０．３５は、２つの入力のうち、いずれか一方を選んで
これを出力するものである。どちらを選ぶかというのは
選択人力ＳＥＬ　Ｂで決まる。実際シζは、入力が１６
ビツトあるので、１６ビツトのマルチプレクサアレイと
いうべきであるが、簡単にマルチプレクサという。

インバータ４はＶｓを反転し、アダー５）で加える。

アダー５にはＶｅも加えられ、さらに＋１されるから、
アダー５の出力は（’／ｅ　　Ｖｓ）である。

インバータ６によりこれを反転し、インクリメンタ７に
より１を加える。６．７の組合わせにより、φ９）式か
ら、符号を反転すること（−１を乗じる）ができ、　（
Ｍｅ　　Ｖｓ）を得る。

マルチプレクサ８には、（Ｖｅ　−Ｖｓ　）と−（Ｖｅ
−Ｖｓ）が与えられる。これの選択入力ＳＥＬ　Ｂは、
（Ｗｅ−Ｖｓ）のＭＳＢから得る。ＭＳＢは最上桁のビ
ットであるが、正の数であれば０１負の数であれば１で
ある。

選択入力が１であればＢ入力を選ぶようにしているので
、（Ｍｅ　−Ｖｓ　）が正であればＡ入力（ＶｅＶｓ　
）が、そのまま出力される。（Ｖｅ　　Ｖｓ）が負であ
ればＢ入力−（Ｖｅ　　Ｖｓ）が出力される。

結局、マルチプレクサ８の出力は絶対値１ｖθ−Ｖｓ　
ｌとなる。

除算器９は正の整数の除算器であり、被除数（ｄｉＶｉ
ｄｅｎｄ　）としてｌ　Ｖｅ　−Ｖｓ　ｌを入力し、除
数（ｄｉＶｉｓｏｒ　）としてＳを入力する。そして、
正の整数の商（ｑｕｏｔｉｅｎｔ　）と剰余（ｆｅｍａ
ｉｎｄｅｒ　）とを求める。

（商）はインバータ１０で、反転されるので、この出力
は−（商）−１となる。インクリメンタ１３で１を加え
るので、これの出力は−（商）となる。マルチプレクサ
１４に、これらが入力される。

剰余は、非ゼロ判定器１１に入り、剰余がＯでナイ場合
、マルチプレクサ１４の入力Ｂが選ばれる。つまり−（
２））−１が選ばれて出力される。剰余が０であれば、
−＠）が出力される。

マルチプレクサ１６のＡ入力には（商）が、Ｂ入力には
−（商）−１又は−（商）が入力される。

選択人力ＳＥＬ　Ｂは、アダー５の出力のＭＳＢであり
、これは（Ｍｅ　　’／ｓ）が正であれば０、負であれ
ば１である。

従って、マルチプレクサ１６の出力は、（Ｖｅ−Ｖｓ　
）が正であれば（商）になり、（Ｖｅ−Ｖｓ）が負であ
れば、剰余がＯで−（２））、剰余が正で−（商）−１
という事になる。

これをＱと書いている。これは補数表現した商である。

Ｖｅ　−Ｖｅが正であれば、単に商を求めればよいし、
負であれば、剰余を正にするため、商に（−１）を加え
たものが商Ｑとして扱われる。これに対応した操作であ
る。

剰余はインバータ１２で反転されてから、アダー１５に
よって、Ｓが加えられる。ここでさらに＋１されるので
、アダー１５の出力はＳ−Ｒとなる。

Ｒと（Ｓ−Ｒ）とは、マルチプレクサ１８のＡ入力、Ｂ
入力に加えられる。選択入力はアンドゲート１７によっ
て与えられる。

アンドゲート１７は、非ゼロ判定器１１の出力とアダー
５のＭＳＢの積を求める。アンドゲート１７の出力が１
であればＢ入力が選ばれる。

従って、（Ｖｅｘｓ）が正であれば、Ｒが出力され、（
Ｖｅ−Ｖｓ）が負であってＲが０でない場合、（Ｒ−Ｓ
）が出力されることになる。

結果として、Ｑと対になる正の剰余Ｒを得る。

（Ｒ−９）が剰余になるというのは、次のような意味で
ある。Ｖｅ−Ｖｓが負であれば、（Ｖｅ　−Ｖｓ　）　
＝ＳＱ　＋　Ｒ’　　　　　（６０）となるような、正
の剰余Ｒ′を求めるべきである。

しかし、ここでは絶対値をＳで割って（商）を求めのこ
りを剰余としているから、 （Ｖｅ−Ｖｓ　）　　＝　　Ｓ　（商）　＋　Ｒ（６１
）となっており、Ｑ＝−（商）−１であるから、Ｒ’＝
Ｓ−Ｒ となるのである。つまり、（Ｓ−Ｒ）が正の剰余という
ことになる。

インクリメンタ２２で、（Ｑ＋１）になり、ラッチ２Ｓ
に入る。ラッチ２６にはＱが入る。これらが、マルチプ
レクサ２７のＢ入力、Ａ入力に入る。

アキュムレータ２４の初期値として、Ｖｓを入れる。マ
ルチプレクサ２Ｓは、その後、アダー２８の出力をセレ
クトし、アキュムレータ２４へ入力する。アキュムレー
タ２４は入力された値を加算してゆくものである。

アキュムレータ２４はＶｉを出力するもので、初期値ｖ
ｏ＝Ｖｓから、Ｅの値により、Ｑ又はＱ＋１を加えてゆ
く。Ｑ又はＱ＋１を選ぶのがマルチプレクサ２７である
。

１ビツトシフタ１９．２１は、パスを１ビツト左ヘシフ
トし、Ｌｓｅｔ：ｏを入れるものである。つまりｘ２の
操作を行なうのである。

１ビツトシフタ１９の出力は２Ｒである。

１ビツトシフタ２１の出力は−２Ｓ−１である。

アダー２９は２Ｒ，−２Ｓ−１，１を加えるので、（２
Ｒ−２９）を出力する。これがラッチ３３に入る。

ラッチ３２には、２Ｒが入る。

アキュムレータ３１の初期値として２Ｒが選ばれる。こ
れは誤差函数Ｅｉの初期値Ｅｏを設定したということで
ある。

アキュムレータ３１は誤差函数Ｅｉを出力する。

これが、正数判定器３４に入る。

Ｅｉが負であれば、マルチプレクサ３５は２Ｒを出力し
、アダー３６でＥｉ　＋　２Ｒが求められる。これがア
キュムレータ３１に入る。Ｅｉ＋１となるわけである。

Ｅｉが負の時、マルチプレクサ２７はＱを出力し、アダ
ー２８でＶｉ　＋　Ｑが求められアキュムレータ２４に
入る。Ｖｉ＋ｘである。

Ｅｉが正であれば、マルチプレクサ３５は（２Ｒ−２Ｓ
）を選び、アダー３６はＥｉ＋２Ｒ２Ｓを求め、アキュ
ムレータ３１に入る。マルチプレクサ２７１１Ｑ＋１を
選び、アダー２ＢでＶｉ＋Ｑ＋１が計算されアキュムレ
ータ２４に入る。これがＭｉ十ｘである。

アキュムレータ３１．２４、正数判定器３４、アダー３
６．２８、マルチプレクサ３５．２７は、ｉ→１−）−
１へ移ることＫなり、内容を更新し、順に演算を続けＶ
ｓからＶｅまで、補間函数Ｖｉ１誤差函数Ｅｉを求めて
ゆ（。

ここで説明しｋものは、第８図の辺ＡＥの内点を求める
補間であって、Ｅｏ＝　２Ｒとするものである。つまり
最近接上点を求める。

第８図の辺ＡＢ、ＢＥの内点を求める補間の場合ＥＱ　
＝　２Ｒ−２Ｓとしたければならない。これは、第１図
に於て破線で示すように、アダー２９の出力を、マルチ
プレクサ３０の入力につなげばよい。

（ハ）効・果 ラスタースキャンデイスプレィにおけるフレームバッフ
ァや、レーザプリンタにおけるページバッファなど、２
次元空間にマツピングされたアドレスを持つメモリ（こ
れを空間メモリとよぶ）により、図形や文字を表示する
装置が普及している。

しかし、その解像度はまちまちである。

アウトラインを表わす多角形の塗りつぶしにより、文字
を描画するといった場合、どのような離散化したメモリ
であっても、多角形の頂点座標から、離散化された多角
形が、一意的に求められるように領域を定義したいもの
である。

この時、真の多角形の内部である離散点のみを、塗りつ
ぶし対象にするという定義は合理的である。

離散点が多角形の境界と等しくなったときの扱いを予め
定義しておけば、隣接する複数の多角形の塗やつぶしに
よってひとつの対象を表すような場合、対象のどの離散
点も２回以上描画されることはない。

このようにすれば、前記対象をひとつのソースとしてラ
スターオペレーションするような場合、副作用を生じな
い。

以上説明したように、頂点座標で表わされた多角形の内
部に含まれる離散点のみを求めることができるので、ビ
ットマツプデイスプレィやレーザプリンタなどの分野で
多角形のぬりつぶしたどに利用すると効果的である。

【図面の簡単な説明】

第１図は本発明の実施例を示す回路構成図。 第２図は画面上にある辺ＡＢｔ−Ｘ＝ｉの格子点Ｕ、Ｔ
で近似する場合の定義を示す図。 第３図は辺ＡＢを対角線とする長方形に於て格子点によ
り辺を近似してゆく場合の定義を示す図。 第４図はＢｒｅｓｅｎｈａｍのアルゴリズムに於て、格
子点の中間Ｍｉを境界線とし、ｉからｉ＋ｘへの変化に
於て線分ＡＢの一部Ｗｉ　Ｗｉｇｌが境界線を横ぎらな
いタイプ■の変化を示す図。 第５図はＢｒｅｓｅｎｈａｍのアルゴリズムに於て、格
子点の中間Ｍｉを境界線とし、１から１＋１への変化に
於て線分ＡＢの一部”ｉ　Ｗｉ＋ｘが境界線を横ぎるタ
イプ■の変化を示す図。 第６図はＢｒｅｓｅｎｈａｍのアルゴリズムにより線分
を線形補間した場合の補間函数と誤差函数とを示すグラ
フ。 第７ｇは一般の勾配を持つ場合に拡張した時に、最近接
格子点を求める操作は、Ｂｒｅｓｅｎｈａｍのアルゴリ
ズムに帰着される事を示すグラフ。 第８図は三角形ＡＢＥを最近接の内点て近似しようとす
る場合、最近接の下点を求める（ＡＢ、ＢＥ）場合と、
最近接の上点を求める場合とがある事を示す図。 第９図は最近接下点を求めるアルゴリズムを定式化する
ため境界をＶｉよりひとつ上・に設定しこれをＷｉＷｉ
＋１が横切らない場合の、ＶｅＥの変化を示すための図
。 第１０図は最近接下点を求めるアルゴリズムを定式化す
るため境界をＶｉよりひとつ上に設定し、これをＷｉ　
Ｗｉｇｌが横切る場合の、ＶｅＥの変化を示すための図
。 第１１図は最近接下点を求めるアルゴリズムを定式化す
る際の初期条件を考えるための図。 第１２図は本発明の方法により最近接下点を求める場合
の、補間函数と誤差函数の変化を例示するための図。 第１３図は本発明の方法により最近接上点を求める場合
の補間函数と誤差函数の変化を例示するための図。 １〜３・・・・・・ラッチ ４・・・・・・インバータ ５・・・・・・ ６・・・・・・ ７・・・・・・ ８・・・・・・ ９・・・・・・ １０・・・・・・ １１・・・・・・ １２・・・・・・ １３・・・・・・ １４・・・・・・ １５・・・・・・ １６・・・・・・ １７・・・・・・ １８・・・・・・ １９・・・・・・ ２０・・・・・・ ２１・・・・・・ ２２・・・・・・ ２Ｓ・・・・・・ ２４・・・・・・ アダー インバータ インクリメンタ マルチプレクサ 除算器 インバータ 非ゼロ判定器 インバータ インクリメンタ マルチプレクサ アダー マルチプレクサ アンドゲート マルチプレクサ １ビツト左シフタ インバータ １ビツト左シツク インクリメンタ マルチプレクサ アキュムレータ ２Ｓ．２６・・・・・・ ２７・・・・・・ ２８・・・・・・ ２９・・・・・・ ３０・・・・・・ ３１・・・・・・ ３２．３３・・・・・・ ３４・・・・・・ ３５・・・・・・ ３６・・・・・・ ラッチ マルチプレクサ アダー アダー マルチプレクサ アキュムレータ ラッチ 正数判定器 マルチプレクサ アダー 発明者 山 下

Claims (6)

【特許請求の範囲】
1. （１）縦横に並ぶ多数の画素に分割された画面において
   画素が横方向の座標Ｘと縦方向の座標Ｙとによつて表現
   され画素に対して色データが対応付けられており、複数
   の頂点を持つ多角形の頂点から、辺を構成する画素の座
   標或はこれら頂点の色データから辺の色データなどを求
   める補間方法であつて、多角形の辺や色データを最近接
   画素によつて補間するのではなく、最近接の内部又は辺
   上の画素あるいは色データによつて補間するために、補
   間すべき辺の始点のＸ座標と補間すべき値ＶとをＸ＿ｓ
   、Ｖ＿ｓとし、終点のＸ座標と補間すべき値ＶをＸ＿ｅ
   、Ｖ＿ｅとして、補間すべき辺又は色データに最近接の
   下点によつて補間すべき場合は、下記の（ａ）ないし（
   ｉ）のステップを順に行ない、所与の整数である始値Ｖ
   ＿ｓから整数である所与の終値Ｖ＿ｅの間を所与の補間
   区間数Ｓだけ線型近似した整数の系列Ｖ＿ｉ（０、１、
   ・・・、Ｓ）を求める事とし、 （ａ）差ΔＶ＝Ｖ＿ｅ−Ｖ＿ｓを求める （ｂ）ΔＶをＳで除算し、商Ｑとゼロ又は正の剰余Ｒを
   求める （ｃ）Ｖ＿０＝Ｖ＿ｓとする （ｄ）Ｅ＿０＝２Ｒ−２Ｓとする （ｅ）Ｖ＿ｉ、Ｅ＿ｉより下記のステップ（ｆ）ないし
   （ｉ）に従つて漸化的に次の系列Ｖ＿ｉ＿＋＿１、Ｅ＿
   ｉ＋＿１を求める（ｉ＝０、１、・・・、ｓ−１） （ｆ）Ｅ＿ｉの値が０以下か否かを判定し、その結果に
   よりステップ（ｇ）または（ｈ）を行なう（ｇ）Ｅ＿ｉ
   が０より大であれば Ｖ＿ｉ＿＋＿１＝Ｖ＿ｉ＋Ｑ＋１ Ｅ＿ｉ＿＋＿１＝Ｅ＿ｉ＋２Ｒ−２Ｓ とする （ｈ）Ｅ＿ｉが０以下であれば Ｖ＿ｉ＿＋＿１＝Ｖ＿ｉ＋Ｑ Ｅ＿ｉ＿＋＿１＝Ｅ＿ｉ＋２Ｒ とする （ｉ）ｉをインクリメントし、ステップ（ｅ）ないし（
   ｈ）をｉがｓになるまで繰返す 以上の手順により構成される事を特徴とする補間方法。
2. （２）縦横に並ぶ多数の画素に分割された画面において
   画素が横方向の座標Ｘと縦方向の座標Ｙとによつて表現
   され画素に対して色データが対応付けられており、複数
   の頂点を持つ多角形の頂点から、辺を構成する画素の座
   標或はこれら頂点の色データから辺の色データなどを求
   める補間方法であつて、多角形の辺や色データを最近接
   画素によつて補間するのではなく、最近接の内部又は辺
   上の画素あるいは色データによつて補間するために、補
   間すべき辺の始点のＸ座標と補間すべき値ＶとをＸ＿ｓ
   、Ｖ＿ｓとし、終点のＸ座標と補間すべき値ＶをＸ＿ｅ
   、Ｖ＿ｅとして、補間すべき辺又は色データに最近接の
   上点によつて補間すべき場合は、下記の（ａ）ないし（
   ｉ）のステップを順に行ない所与の整数である始値Ｖ＿
   ｓから整数である所与の終値Ｖ＿ｅの間を所与の補間区
   間数Ｓだけ線型近似した整数の系列Ｖ＿ｉ（０、１、・
   ・・、Ｓ）を求める事とし、 （ａ）差ΔＶ＝Ｖ＿ｅ−Ｖ＿ｓを求める （ｂ）ΔＶをＳで除算し、商Ｑとゼロ又は正の剰余Ｒを
   求める （ｃ）Ｖ＿０＝Ｖ＿ｓとする （ｄ）Ｅ＿０＝２Ｒとする （ｅ）Ｖ＿ｉ、Ｅ＿ｉより下記のステップ（ｆ）ないし
   （ｉ）に従つて漸化的に次の系列Ｖ＿ｉ＿＋＿１、Ｅ＿
   ｉ＿＋＿１を求める（ｉ＝０、１、・・・、ｓ−１） （ｆ）Ｅ＿ｉの値が０以下か否かを判定しその結果によ
   りステップ（ｇ）または（ｈ）を行なう （ｇ）Ｅ＿ｉが０より大であれば Ｖ＿ｉ＿＋＿１＝Ｖ＿ｉ＋Ｑ＋１ Ｅ＿ｉ＿＋＿１＝Ｅ＿ｉ＋２Ｒ−２Ｓ とする （ｈ）Ｅ＿ｉが０以下であれば Ｖ＿ｉ＿＋＿１＝Ｖ＿ｉ＋Ｑ Ｅ＿ｉ＿＋＿１＝Ｅ＿ｉ＋２Ｒ とする （ｉ）ｉをインクリメントし、ステップ（ｅ）ないし（
   ｈ）をｉがＳになるまで繰返す 以上の手順により構成される事を特徴とする補間方法。
3. （３）縦横に並ぶ多数の画素に分割された画面において
   画素が横方向の座標Ｘと縦方向の座標Ｙとによつて表現
   され画素に対して色データが対応付けられており、複数
   の頂点を持つ多角形の頂点から、辺を構成する画素の座
   標或はこれら頂点の色データから辺の色データなどを求
   める補間方法であつて、多角形の辺や色データを最近接
   画素によつて補間するのではなく、最近接の内部の画素
   あるいは色データによつて補間するために、補間すべき
   辺の始点のＸ座標と補間すべき値りとをＸ＿ｓ、Ｖ＿ｓ
   とし、終点のＸ座標と補間すべき値ＶをＸ＿ｅ、Ｖ＿ｅ
   として、補間すべき辺又は色データに最近接の下点或は
   辺上の点によつて補間すべき場合は、下記の（ａ）ない
   し（ｉ）のステップを順に行ない所与の整数である始値
   Ｖ＿ｓから整数の所与の終値Ｖ＿ｅの間を所与の補間区
   間数Ｓだけ線型近似した整数の系列Ｖ＿ｉ（０、１、・
   ・・、Ｓ）を求める事とし、 （ａ）差ΔＶ＝Ｖ＿ｅ−Ｖ＿ｓを求める （ｂ）ΔＶをＳで除算し、商Ｑとゼロ又は正の剰余Ｒを
   求める （ｃ）Ｖ＿０＝Ｖ＿ｓとする （ｄ）Ｅ＿０＝２Ｒ−２Ｓとする （ｅ）Ｖ＿ｉ、Ｅ＿ｉより下記のステップ（ｆ）ないし
   （ｉ）に従つて漸化的に次の系列Ｖ＿ｉ＿＋＿１、Ｅ＿
   ｉ＿＋＿１を求める（ｉ＝０、１、・・・、Ｓ−１） （ｆ）Ｅ＿ｉの値が０より小さいか否かを判定し、その
   結果によりステップ（ｇ）または（ｈ）を行なう（ｇ）
   Ｅ＿ｉが０以上であれば Ｖ＿ｉ＿＋＿１＝Ｖ＿ｉ＋Ｑ＋１ Ｅ＿ｉ＿＋＿１＝Ｅ＿ｉ＋２Ｒ−２Ｓ とする （ｈ）Ｅ＿ｉが０より小さければ Ｖ＿ｉ＿＋＿１＝Ｖ＿ｉ＋Ｑ Ｅ＿ｉ＿＋＿１＝Ｅ＿ｉ＋２Ｒ とする （ｉ）ｉをインクリメントし、ステップ（ｅ）ないし（
   ｈ）をｉがＳになるまで繰返す 以上の手順により構成される事を特徴とする補間方法。
4. （４）縦横に並ぶ多数の画素に分割された画面において
   画素が横方向の座標Ｘと縦方向の座標Ｙとによつて表現
   され画素に対して色データが対応付けられており、複数
   の頂点を持つ多角形の頂点から、辺を構成する画素の座
   標或はこれら頂点の色データから辺の色データなどを求
   める補間方法であつて、多角形の辺や色データを最近接
   画素によつて補間するのではなく、最近接の内部の画素
   あるいは色データによつて補間するために、補間すべき
   辺の始点のＸ座標と補間すべき値ＶとをＸ＿ｓ、Ｖ＿ｓ
   とし、終点のＸ座標と補間すべき値ＶをＸ＿ｅ、Ｖ＿ｅ
   として、補間すべき辺又は色データに最近接の上点又は
   辺上の点によつて補間すべき場合は、下記の（ａ）ない
   し（ｉ）のステップを順に行ない所与の整数である始値
   Ｖ＿ｓから整数である所与の終値Ｖ＿ｅの間を所与の補
   間区間数Ｓだけ線型近似した整数の系列Ｖ＿ｉ（０、１
   、・・・、Ｓ）を求める事とし （ａ）差ΔＶ＝Ｖ＿ｅ−Ｖ＿ｓを求める （ｂ）ΔＶをＳで除算し、商Ｑとゼロ又は正の剰余Ｒを
   求める （ｃ）Ｖ＿０＝Ｖ＿ｓとする （ｄ）Ｅ＿０＝２Ｒとする （ｅ）Ｖ＿ｉ、Ｅ＿ｉより下記のステップ（ｆ）ないし
   （ｉ）に従つて漸化的に次の系列Ｖ＿ｉ＿＋＿１、Ｅ＿
   ｉ＿＋＿１を求める（ｉ＝０、１、・・・、Ｓ−１） （ｆ）Ｅ＿ｉの値が０より小さいか否かを判定しその結
   果によりステップ（ｇ）または（ｈ）を行なう（ｇ）Ｅ
   ＿ｉが０以上であれば Ｖ＿ｉ＿＋＿１＝Ｖ＿ｉ＋Ｑ＋１ Ｅ＿ｉ＿＋＿１＝Ｅ＿ｉ＋２Ｒ−２Ｓ とする （ｈ）Ｅ＿ｉが０より小さければ Ｖ＿ｉ＿＋＿１＝Ｖ＿ｉ＋Ｑ Ｅ＿ｉ＿＋＿１＝Ｅ＿ｉ＋２Ｒ とする （ｉ）ｉをインクリメントし、ステップ（ｅ）ないし（
   ｈ）をｉがＳになるまで繰返す 以上の手順により構成される事を特徴とする補間方法。
5. （５）縦横に並ぶ多数の画素に分割された画面において
   、画素が横方向の座標Ｘと縦方向の座標Ｙとによつて表
   現され画素に対して色データが対応付けられており、複
   数の頂点を持つ多角形の頂点から、辺を構成する画素の
   座標或はこれら頂点の色データから辺の色データなどを
   求める補間方法であつて、多角形の辺や色データを最近
   接画素によつて補間するのではなく、最近接の内部又は
   辺上の画素あるいは色データによつて補間するために、
   補間すべき辺の始点のＸ座標と補間すべき値ＶとをＸ＿
   ｓ、Ｖ＿ｓとし、終点のＸ座標と補間すべき値ＶをＸ＿
   ｅ、Ｖ＿ｅとして、（ I ）補間すべき辺又は色データ
   に最近接の下点によつて補間すべき場合は、下記の（ａ
   ）ないし（ｉ）のステップを順に行ない所与の整数であ
   る始値Ｖ＿ｓから整数である所与の終値Ｖ＿ｅの間を所
   与の補間区間数Ｓだけ線型近似した整数の系列Ｖ＿ｉ（
   ０、１、・・・、Ｓ）を求める事とし （ａ）差ΔＶ＝Ｖ＿ｅ−Ｖ＿ｓを求める （ｂ）ΔＶをＳで除算し、商Ｑとゼロ又は正の剰余Ｒを
   求める （ｃ）Ｖ＿０＝Ｖ＿ｓとする （ｄ）Ｅ＿０＝２Ｒ−２Ｓとする （ｅ）Ｖ＿ｉ、Ｅ＿ｉより下記のステップ（ｆ）ないし
   （ｉ）に従つて漸化的に次の系列Ｖ＿ｉ＿＋＿１、Ｅ＿
   ｉ＿＋＿１を求める（ｉ＝０、１、・・・、Ｓ−１） （ｆ）Ｅ＿ｉの値が０以下か否かを判定し、その結果に
   よりステップ（ｇ）または（ｈ）を行なう（ｇ）Ｅ＿ｉ
   が０より大であれば Ｖ＿ｉ＿＋＿１＝Ｖ＿ｉ＋Ｑ＋１ Ｅ＿ｉ＿＋＿１＝Ｅ＿ｉ＋２Ｒ−２Ｓ とする （ｈ）Ｅ＿ｉが０以下であれば Ｖ＿ｉ＿＋＿１＝Ｖ＿ｉ＋Ｑ Ｅ＿ｉ＿＋＿１＝Ｅ＿ｉ＋２Ｒ とする （ｉ）ｉをインクリメントし、ステップ（ｅ）ないし（
   ｈ）をｉがＳになるまで繰返す （II）補間すべき辺又は色データに最近接の上点によつ
   て補間すべき場合は、下記の（ａ′）ないし（ｉ′）の
   ステップを順に行ない所与の整数である始値Ｖ＿ｓから
   整数である所与の終値Ｖ＿ｅの間を所与の補間区間数Ｓ
   だけ線型近似した整数の系列Ｖ＿ｉ（０、１、・・・、
   Ｓ）を求める事とし、 （ａ′）差ΔＶ＝Ｖ＿ｅ−Ｖ＿ｓを求める （ｂ′）ΔＶをＳで除算し、商Ｑとゼロ又は正の剰余Ｒ
   を求める （ｃ′）Ｖ＿０＝Ｖ＿ｓとする （ｄ′）Ｅ＿０＝２Ｒとする （ｅ′）Ｖ＿ｉ、Ｅ＿ｉより下記のステップ（ｆ）ない
   し（ｉ）に従つて漸化的に次の系列Ｖ＿ｉ＿＋＿１、Ｅ
   ＿ｉ＿＋＿１を求める（ｉ＝０、１、・・・、Ｓ−１） （ｆ′）Ｅ＿ｉの値が０以下か否かを判定しその結果に
   よりステップ（ｇ）または（ｈ）を行なう （ｇ′）Ｅ＿ｉが０より大であれば Ｖ＿ｉ＿＋＿１＝Ｖ＿ｉ＋Ｑ＋１ Ｅ＿ｉ＿＋＿１＝Ｅ＿ｉ＋２Ｒ−２Ｓ とする （ｈ′）Ｅ＿ｉが０以下であれば Ｖ＿ｉ＿＋＿１＝Ｖ＿ｉ＋Ｑ Ｅ＿ｉ＿＋＿１＝Ｅ＿ｉ＋２Ｒ とする （ｉ′）ｉをインクリメントし、ステップ（ｅ′）ない
   し（ｈ′）をｉがＳになるまで繰返す 以上の手順により構成される事を特徴とする補間方法。
6. （６）縦横に並ぶ多数の画素に分割された画面において
   画素が横方向の座標Ｘと縦方向の座標Ｙとによつて表現
   され画素に対して色データが対応付けられており、複数
   の頂点を持つ多角形の頂点から、辺を構成する画素の座
   標或はこれら頂点の色データから辺の色データなどを求
   める補間方法であつて、多角形の辺や色データを最近接
   画素によつて補間するのではなく、最近接の内部の画素
   あるいは色データによつて補間するために、補間すべき
   辺の始点のＸ座標と補間すべき値ＶとをＸ＿ｓ、Ｖ＿ｓ
   とし、終点のＸ座標と補間すべき値ＶをＸ＿ｅ、Ｖ＿ｅ
   として、 （ I ）補間すべき辺又は色データに最近接の下点或は
   辺上の点によつて補間すべき場合は、下記の（ａ）ない
   し（ｉ）のステップを順に行ない所与の整数である始値
   Ｖ＿ｓから整数の所与の終値Ｖ＿ｅの間を所与の補間区
   間数Ｓだけ線型近似した整数の系列Ｖ＿ｉ（０、１、・
   ・・、Ｓ）を求める事とし、（ａ）差ΔＶ＝Ｖ＿ｅ−Ｖ
   ＿ｓを求める （ｂ）ΔＶをＳで除算し、商Ｑとゼロ又は正の剰余Ｒを
   求める （ｃ）Ｖ＿０＝Ｖ＿ｓとする （ｄ）Ｅ＿０＝２Ｒ−２Ｓとする （ｅ）Ｖ＿ｉ、Ｅ＿ｉより下記のステップ（ｆ）ないし
   （ｉ）に従つて漸化的に次の系列Ｖ＿ｉ＿＋＿１、Ｅ＿
   ｉ＿＋＿１を求める（ｉ＝０、１、・・・、Ｓ−１） （ｆ）Ｅ＿ｉの値が０より小さいか否かを判定し、その
   結果によりステップ（ｇ）または（ｈ）を行なう（ｇ）
   Ｅ＿ｉが０以上であれば Ｖ＿ｉ＿＋＿１＝Ｖ＿ｉ＋Ｑ＋１ Ｅ＿ｉ＿＋＿１＝Ｅ＿ｉ＋２Ｒ−２Ｓ とする （ｈ）Ｅ＿ｉが０より小さければ Ｖ＿ｉ＿＋＿１＝Ｖ＿ｉ＋Ｑ Ｅ＿ｉ＿＋＿１＝Ｅ＿ｉ＋２Ｒ とする （ｉ）ｉをインクリメントし、ステップ（ｅ）ないし（
   ｈ）をｉがＳになるまで繰返す （II）補間すべき辺又は色データに最近接の上点又は辺
   上の点によつて補間すべき場合は、下記の（ａ′）ない
   し（ｉ′）のステップを順に行ない所与の整数である始
   値Ｖ＿ｓから整数である所与の終値Ｖ＿ｅの間を所与の
   補間区間数Ｓだけ線型近似した整数の系列Ｖ＿ｉ（０、
   １、・・・、Ｓ）を求める事とし（ａ′）差ΔＶ＝Ｖ＿
   ｅ−Ｖ＿ｓを求める （ｂ′）ΔＶをＳで除算し、商Ｑとゼロ又は正の剰余Ｒ
   を求める （ｃ′）Ｖ＿０＝Ｖ＿ｓとする （ｄ′）Ｅ＿０＝２Ｒとする （ｅ′）Ｖ＿ｉ、Ｅ＿ｉより下記のステップ（ｆ′）な
   いし（ｉ′）に従つて漸化的に次の系列Ｖ＿ｉ＿＋＿１
   、Ｅ＿ｉ＿＋＿１を求める（ｉ＝０、１、・・・、Ｓ−
   １） （ｆ′）Ｅ＿ｉの値が０より小さいか否かを判定しその
   結果によりステップ（ｇ）または（ｈ）を行なう（ｇ′
   ）Ｅ＿ｉが０以上であれば Ｖ＿ｉ＿＋＿１＝Ｖ＿ｉ＋Ｑ＋１ Ｅ＿ｉ＿＋＿１＝Ｅ＿ｉ＋２Ｒ−２Ｓ とする （ｈ′）Ｅ＿ｉが０より小さければ Ｖ＿ｉ＿＋＿１＝Ｖ＿ｉ＋Ｑ Ｅ＿ｉ＿＋＿１＝Ｅ＿ｉ＋２Ｒ とする （ｉ′）ｉをインクリメントし、ステップ（ｅ′）ない
   し（ｈ′）をｉがＳになるまで繰返す 以上の手順により構成される事を特徴とする補間方法。