JPH01220074A - 素子構成の評価方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 〔産業上の利用分野〕 本発明は、多数の素子を組合せて全体を１つの系として
総合する場合に、素子特性を局所的に変更したとき、系
を評価する技術に関する。そのような評価は、系の目的
仕様に沿うように各素子の局所的変更を最適化していく
ステップにおいて逐−行なわれる。

この技術が適用できる例は、広範な分野から容易に探す
ことができる。例えば光学レンズ系の設計、制御系の設
計、電子回路の最適化などであり、系に要求される仕様
が複雑かつ高度になるにつれ、必要とされる素子数も多
くなり、多数の変数を処理するためにＣＡＤ（Ｃｏｍｐ
ｕｔｅｒ　Ａｉｄｅｄ　Ｄｅｓｉｇｎ）として知られる
技術が利用される。ＣＡＤは、物理的に系を製造しテス
トすることを繰り返して目的仕様へ到達するに要する時
間とコストを節減する重要な技術として、今日では不可
避の道具となっている。

〔従来の技術〕

以下では、光学レンズ系の設計をとりあげて説明する。

まず、目的仕様として光学系の解像度、コントラスト、
倍率や使用条件から要請される光波長、寸法およびコス
トの制約などが与えられる。

設計のスタートは、過去の設計例をサーベイして上記設
計目標に近い例をとりあげ、それに設計構想としてレン
ズ枚数などの自由度を付加してモデル化することから始
まる。近軸計算によってレンズタイプの選定とレンズ群
の屈折力の配分を設定する。このモデルに対して３次の
幾何光学収差と近軸色収差とを計算する。これらの収差
が目的仕様を満足するようになるまで、モデルの局所的
変更と近軸計算からのやりなおしを繰り返す。これが達
成されれば、つぎに厳密な光線方程式を解くことにより
、解像度の評価を行なう。この結果が目的仕様を満足し
ないときは、さらにモデルの局所的変更と評価の繰返し
計算を実行する。目的仕様に到達したと判断されたモデ
ルについては、スポットダイヤグラムやレスポンス関数
（ＯＴＦ）を計算して精密な性能評価を行なう。

上記の設計の過程において、３次の幾何光学収差と近軸
色収差の計算によってモデルの局所的変更を繰り返す過
程が、設計手順の中でも最も多量の計算を必要とする厄
介な過程である。厳密な光線方程式の計算結果をフィー
ドバックする場合は、上記収差計算に対する条件を厳し
くして収差計算によるモデルの局所的変更のループを必
ず包含させるので、やはり収差計算の負担が大きい。

設計しようとする光学レンズ系の収差と、採用する各レ
ンズのタイプ、屈折力の配分やガラスの種類の組合せと
の対応については、過去の設計例からある程度推測でき
る場合がある。しかし、レンズ段数を増やして設計の自
由度を広げると、過去の設計の常識に反する構成として
も、系全体の収差特性を向上させうるレンズの組合せを
見出す可能性が増大する。この可能性を実現する手続は
上記の収差計算によるモデルの局所的変更の最適化の手
続である。設計の目的仕様として高い解像力が要求され
るほど、この最適化の手続の重要度は増す。今日の技術
において理論限界値に近い解像力が要求される好例は、
半導体デバイスのＬＳＩ集積回路のパターンをシリコン
ウェハに焼き付けるために用いられる投影レンズである
。

他方、解像度にそれほど厳しい値が要求されない場合で
も、使用条件から要請される特性、たとえば機械的軸ず
れやワーキング距離の変動を許容した上で解像度を保証
すること、使用する光の波長に対して減衰を小さくする
こと、設計どおりの組立および軸調整を容易に行ないう
ろこと、価格の安いこと等が目的仕様に課せられる場合
には、少ないレンズ段数のもとで徹底した最適化を図る
ことが不可欠である。

最適化の手続は、モデルを構成する各レンズの曲率、厚
さ、屈折率、レンズ間隔などをパラメータにとって、こ
れらのパラメータ値を１組ずつ変更（局所的変更）した
ときの収差計算結果を評価関数に見なすと、システム光
学における一般的な評価関数−パラメータの最適化問題
を解く手続と同じになる。その解法には２つの重要な局
面が含まれていなければならない。１つは、あるパラメ
ータから出発すると必ず評価関数を改善する方向へ山登
りできる局面であり、もう１つは、逐次のパラメータの
局所的変更には別の改善への山登りをスタートさせるパ
ラメータ値を設定できることを含む局面である。前者の
手続としては、例えばフレッチャー・バラエル法（Ｆｌ
ｅｔｃｈｅｒ−Ｐｏｗｅｌｌ法）がある。後者の手続に
は、シミュレーティッド・アニーリング法（特開昭５８
−８０８５３号公報参照）が開発された。

これらの最適化の手続を実行すると、パラメータの局所
的変更ごとに評価関数を計算する回数は、上記のＬＳＩ
集積回路パターンの投影用光学レンズ系の例やその次に
述べた例では、非常に多くなる。したがって、評価関数
の計算すなわち収差計算をいかに簡潔に見通し良く実行
するかが重要となる。

従来の技術では、前段レンズの出射光線の収差を含む計
算結果を次段レンズの近軸入射量として代入する計算を
縦続させる。これを、単一の波長の光を用いる場合すな
わち評価関数が３次の幾何光学収差である場合について
、数式を用いて説明する。記号の約束を説明するために
、光学レンズ系の中の１つの球面屈折面を模式的に第１
図に示す。図中の記号の意味を次のとおりである。

点Ｐ；屈折面の接平面と入射光線との交点点Ｑ：出射光
線（屈折光線）の延長と接平面との交点 点Ｒ：球面の曲率中心（半径＝ｒ） ｎｌ；入射側媒質の屈折率 ｎ２：出射側媒質の屈折率 光学系は、光線を屈折させるレンズ要素と光線が直進す
る部分（以下「光路要素」という）とから成る。１枚の
レンズは２面の屈折面とそれにはさまれている光路要素
とからなる。ドリフト空間は１つの光路要素である。

屈折面の中央を原点とし、対称軸を２軸とすると、接平
面はｘ−ｙ面となる。球面屈折面の作用は、ｘ−７面上
の点Ｐを通り傾きＵ、を持つ入射光線が屈折し、点Ｑを
通り傾きＵｔを持つ直線上を進む出射光線に変わる働き
をする。これを近軸近似のレンズ公式によって行列形式
に表わすと次式が得られる。

ただし、ＸＩは点Ｐの座標ｘ、　　ｙを表わす複素数、
Ｕｔは入射光線の２軸に対する傾きｄ　Ｘ　／　ｄ　ｚ
、ｄｙ／ｄｚを表わす複素数である。同様に、Ｘ２は点
Ｑの複素座標、Ｕ２は出射光線の傾きである。

以下、記号を簡単にするため、Ｘ、、Ｕ、は単にＸ、Ｕ
と書くことにする。

Ｘ＝ｘ＋ｊｙ Ｕ＝ｕ＋ｊｖ＝ｄｘ／ｄｚ＋ｊｄｙ／ｄｚＸｉ”ｘ、＋
　ｊ　）’ｚ Ｕｚ＝ｕｔ＋ｊ　ｖ２＝ｄ　ｘ２／ｄ　ｚ　＋　ｊ　ｄ
　ｙｚ／ｄ　ｚｊ＝（−１）”” ・・・・・（２） また、ａ、ｂ、Ａ、Ｂは次式（３）で与えられる。

ａ＝１．　　　　　ｂ＝０ Ａ＝（シー１）／ｒ、Ｂ＝ν ・・・・・（３） ただし、νは入射側と出射側の屈折率の比で、ν＝ｎｌ
／ｎ２であり、ｒは球面屈折面の曲率半径である。球面
の中心Ｒが一２側にあるときは１−＜Ｑとして表わす。

また、球面が反射面のときはシー−１とし、反射後は２
座標を反転すればよい。

第１図の変換の働きを３次近似のべき級数展開で表わす
と、 Ｘ、＝ａＸ＋ｂＵ＋ｃＸ”Ｘ＋ｄＸＸＵ＋ｅＸ”Ｕｔ　
ｆ　ＸＵ”＋ｇＸＵＵ＋ｈＵ”Ｕ・　・　・　・（４）
Ｕｔ　＝ＡＸ＋ＢＵ＋ＣＸ”Ｘ＋ＤＸＸＵ＋ＥＸ”ＴＴ
＋ＦＸＵ　＋ＧＸＵＵ＋ＨＵ”Ｕ・・・・（５）となる
。ここで、Ｘ、ＵはそれぞれＸ、　　Ｕの複素共役を意
味する。また、 ａ＝１．ｂ＝０．ｃ＝　（１−ν）／　（２ｒ”）ｄ＝
（１−ν）／（２ｒ）　　　　− ｅ＝ｆ＝ｇ＝ｈ＝Ｑ Ａ＝（シー１）／ｒ、Ｂ＝ν Ｃ＝　（ｐ−１）（ν”−ν＋１）／　（２ｒ’）Ｄ＝
　（Ｊ／　−１）（２ｖ”　−ｖ　＋　１）　／　（２
ｒ”）Ｅ＝ν２（シー１）／（２ｒす Ｆ＝νｔ（シー１）／　（２ｒ） Ｇ＝ｐ　（ｙ−１）（２３／＋り　／　（２ｒ）Ｈ＝ν
（ν”−１）／２ ・・・・・（６） である。

光路要素については、光路長を３１とすると、式（１）
に対応して次式が成り立つ。

収差を評価する光学系のモデル例として第２図に示すレ
ンズ系を考える。２０は物面でｚｉは像面であり、その
間に４枚の球面屈折面と５個の光路要素とが挟まれてい
る。予め設定された倍率の下で結像するように屈折力の
配分を決めるには、光路要素については式（７）の行列
を、屈折面については式（１１の行列をｚＯから順番に
ｚｉまで掛算し、その積行列の（１，１）成分が倍率に
、（１，２）成分がＯに等しくなるように諸パラメータ
（第２図中のｒｌ　＋　ｒ２＋　ｒ３＋　ｒ４＋　ｎｌ
　＋　ｎ３＋　ｓｏ＋　ｓｌ　＋　ｓ２＋　ｓ３＋　ｓ
４）を決める。このステップは上述した設計のスタート
の部分である。つぎに、収差を評価するには、ｚ。

における光線の位置と傾きＸ、Ｕを指定し、傾きＵをあ
らかじめ設定された基準面上の位置に等価的に変換する
。この量をＷで表わすことにすれば、式（４）、　（５
）、　（７）の右辺はＸおよびＷで再び分類される。こ
れらのうち３次項の係数が収差係数である。

第２図のＳＯの部分の光路要素を変換された式（７）で
追跡し、半径ｒ１の屈折面に対する入射光線の位置と傾
きを求め、この傾きを再びＷへ等価変換する。これらを
変換された式（４１，（５）の右辺へ代入してｓｌの光
路要素に対する入射光線としての位置と傾きを求める。

これから、ｓＯの場合と同様にして、半径ｒ２の屈折面
に対する入射光線量を求める。これを変換された式（４
）、　（５）へ代入する。

この場合、変換された式（４）、　（５）の近軸項（１
次項）へは入射光線の収差項（３次項）を含む総ての項
を代入するが、この（４）、　（５）式の収差項へは入
射光線の近軸項のみを代入する。したがって、屈折面の
縦続に対する収差係数は、それぞれの屈折面の収差係数
に近軸係数のかかった量の和として計算される。これら
の計算を順次ｚｉまで続ける。このようにして光学系全
体に対する収差係数が得られる。

〔発明が解決しようとする課題〕

このように、従来の技術では、収差の評価を収差係数で
行なう場合、係数の導出手順が簡明でなく、レンズ段数
が多くなるほど見通しは悪くなる。

本発明はこのような点に鑑みてなされたものであり、そ
の目的とするところは、最適化の手続において最も多量
の計算を必要とするモデルの局所的変更と評価関数の計
算の繰返しに対して、その負担を軽減させることである
。

〔課題を解決するための手段） このような目的を達成するために本発明は、局所的変更
の各ステップでの系の特性を計算するとき、素子特性の
入出力を多変数のべき級数展開の有限環で近似し、その
近似から得られる入出力関係をその近似次数に応じてき
まる正方行列で表現し、系の特性を各素子特性を表現す
る正方行列の積として計算する手順によって系の特性評
価を行なうようにしたものである。

〔作用〕

本発明による方法においては、多くの素子を用いて系を
構成する問題において、種々の拘束条件を満足しつつ系
の性能を最適化していく場合、個々の素子の入出力特性
を２次以上のべき級数に展開することにより得られる素
子特性を代弁する展開係数から、系全体の入出力特性の
２次以上のべき級数展開の係数を簡潔に見通し良く求め
ることができる。

〔実施例〕

光学系の収差特性は式（４）、　（５）における係数ａ
　−ｈ、Ａ−Ｈの値によって決まるのであり、入射光線
の位置と傾きの値とは別個に求まるはずのものである。

もし、物面から像面まで係数同士の演算だけで系全体に
対する収差係数を計算できる方法が存在するならば、モ
デルの局所的変更を繰り返すたびに収差計算による評価
を実行しなければならない最適化の手続において、収差
計算の負担を軽減させる効果の生ずることが期待される
。本発明はこの点に着目したものである。

本発明は、シスチムニ学における関数理論の原理を採用
し、系を構成する個々の素子の入出力特性を非線形関数
の多変数入出力関係ととらえ、出力を入力変数の２次以
上のべき級数展開で表現する方法を用いる。本発明は、
系全体の出力の展開係数を個々の素子の展開係数から求
めるとき、行列計算法によってそれを実行するものであ
る。

以下では、本発明による素子構成の評価方法の一実施例
を光学レンズ系の評価をとりあげて説明する。第１図に
示す入射光線と出射光線の変換を表わす式（４）および
（５）は次式のようにまとめられる。

・　・　・　・（８） 上式（８）の右辺には入射光線に関する８個の項、Ｘ、
Ｕ、ＸｚＸ、ＸＸＵ、Ｘ”己　ＸＵ”。

ＸＵＵ、　　Ｕ”Ｕ　・　・　・　・（９）から構成さ
れる縦ベクトルが現れる。式（８）の左辺の量について
も式（９）と同じ形式の組を構成することができる。こ
れを出射光線の縦ベクトルとすると、入射と出射の両ベ
クトルは、次に示す８×８の正方行列により変換される
。

・・・・０φ これを近似行列と呼ぶ。

球面屈折面の列から構成される系において光線を追跡す
るときは、上の屈折面ｒ１からつぎの屈折面ｒ２へ至る
ｚ軸上の光路長ｓ１の間の均質屈折率媒質中の近似行列
を介在させる必要がある。この近似行列をＭ３（ｓｌ）
とかくと、 弐〇のおよび弐〇〇を用いると、第２図に例として示し
た光学系の入出射間（ｚｏ−ｚｉ）の近似行列には、次
式で与えられる。

Ｋ＝　Ｍ３　（Ｓ４）　Ｋ３　（ｒ４）　Ｍ３　（ｓ３
）　Ｋ３　（ｒ３）・Ｍ３（Ｓ２）Ｋ３（ｒ２）Ｍ３（
ｓｌ）Ｋ３（ｒｌ）Ｍ３（ｓｏ）　・・・・Ｑ２１すな
わち、物面ｚｏから像面ｚｉまでの間に存在する光路要
素とレンズ要素のそれぞれの近似行列を順次掛算すれば
、光学系全体に対する近似行列Ｋが得られる。行列にの
第１行の要素Ｋ　（１，１）　。

Ｋ　（１，２）　、　　・・・、　Ｋ　［Ｌ８　）が系
全体の収差特性を表現する係数であり、１個のレンズ要
素における式（８）のａ、ｂ、　　・・・、ｈに対応す
る。Ｋ〔Ｌｌ　）　、　Ｋ　（１，２）　、　　・・・
、　Ｋ　（１，８）は最適化の手続における評価関数で
ある。これらが行列算法によって求められるということ
は、今日の数値計算技術における行列演算手法が高度に
発達している状況において、本発明による評価方法が効
力を発揮することを意味する。

以上、光学レンズ系の設計を例にとって本発明による素
子構成の評価方法の一実施例を説明したが、多数の素子
を組合せて構成される系を評価する場合へ拡張すること
ができる。その場合、系を分割して分割要素が１本の縦
続列になるようにし、それぞれの分割要素について式（
８）が多変数の入出力関係を表現する２次以上のべき級
数展開となるように拡張しておく必要がある。それに応
じて弐〇〇、ａＯに代わる近似行列を作る。

本発明による素子構成の評価方法が、多くの素子から構
成される系を最適化する方法において用いられる位置づ
けを明らかにする説明図が第３図のフローチャートであ
る。同図において、ステップ】において最適化方法の問
題設定がなされ、系の評価関数に対する目的仕様が与え
られると共に同時に最適化をスタートさせる構成素子の
初期パラメータが設定される。ステップ２が本発明によ
る素子構成の評価方法である。ここで、設定パラメータ
値の下で系の評価関数が計算される。ステップ３におい
て評価関数の計算結果と目的仕様とが比較され、もし満
足でない場合には、最適化の手続に従って構成素子のパ
ラメータ値が局所的に変更され、ステップ２に戻る。目
的仕様が満足されたときには、ステップ４へ進んでプリ
ンタのような装置を用いて最適化された構成が結果とし
て与えられる。

第４図は、第３図のステップ２すなわち本発明による素
子構成の評価方法を実施するためのフローチャートを示
す。ステップ５では評価すべき系の構成が与えられる。

ここでは、既にその構成は上記ステップｌの問題設定に
従って縦列構成となっている。すなわち、系は多くの素
子が縦列に接続された構成を持つ。それらの個々の素子
についてステップ６では人出力関係を多変数の２次以上
のべき級数展開で表現する。このとき、入力変数の各べ
き項にかかる諸係数が考えている素子を特徴づける量で
ある。ここで得られた総ての素子の展開係数をもとにス
テップ７では各素子の近似行列を作る。ステップ８にお
いて、各素子の近似行列を系の縦列構成の順に従って掛
算することにより、系全体に対する近似行列が得られる
。系の出力がｍ個の変数であるときは、系の近似行列の
１−ｍ行の行列要素が評価関数の値である。

〔発明の効果〕

以上説明したように本発明は、素子特性の入出力を多変
数のべき級数展開の有限項で近似し、その近似から得ら
れる入出力関係をその近位次数に応じてきまる正方行列
で表現し、系の特性を各素子特性を表現する正方行列の
積として計算する手順によって系の特性評価を行なうこ
とにより、系を構成するのに用いられる素子の数が多く
なればなるほど、評価関数をより簡潔に見通し良く計算
できる効果がある。したがって、系に要求される仕様が
複雑かつ高度なため多数の変数を処理することを要求さ
れる最適化方法において最も多量の計算を必要とする評
価関数の計算ステップに本発明による素子構成の評価方
法を用いれば、効果は顕著である。

【図面の簡単な説明】

第１図は光学レンズ系の中の１つの球面屈折面を模式的
に示す模式図、第２図は収差を評価する光学系のモデル
を示す模式図、第３図は系を最適化する方法における本
発明による素子構成の評価方法の位置づけを説明するた
めのフローチャート、第４図は本発明による素子構成の
評価方法を実施するためのフローチャートである。 Ｐ、Ｑ・・・交点、Ｒ・・・曲率中心。

Claims (1)

【特許請求の範囲】
1. 相互に影響を及ぼし合う素子から構成される系に対して
   、素子特性を局所的に変更し、系の目的仕様を評価基準
   にとってその変更を最適化していく方法において、上記
   局所的変更の各ステップでの系の特性を計算するとき、
   素子特性の入出力を多変数のべき級数展開の有限項で近
   似し、その近似から得られる入出力関係をその近似次数
   に応じてきまる正方行列で表現し、系の特性を各素子特
   性を表現する正方行列の積として計算する手順によって
   系の特性評価を行なうことを特徴とする素子構成の評価
   方法。