JP7221536B2 - 散乱測定解析方法、散乱測定解析装置、及び散乱測定解析プログラム - Google Patents

散乱測定解析方法、散乱測定解析装置、及び散乱測定解析プログラム Download PDF

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Description

本発明は、散乱測定解析方法、散乱測定解析装置、及び散乱測定解析プログラムに関し、特に、理論散乱強度を算出する技術に関する。
近年、構造解析の手法として、散乱測定が用いられている。例えばＸ線小角散乱測定は、特に試料の構造を解析できる手法として注目されている。Ｘ線小角散乱測定では、散乱角が数度以下の散乱Ｘ線が測定されている。
散乱体の集合である試料に対する散乱測定では、当該散乱体のモデル（多粒子系散乱体の構造モデル）に基づいて理論散乱強度を散乱ベクトルｑ（又は散乱角２θ）の関数として算出し、測定散乱強度データに対して理論散乱強度によるフィッティングを施すことで、散乱体の構造情報を得ることができる。
Debye, P. J. W.、Ann. Phys.３５１、８０９－８２３頁、１９１５年
多粒子系散乱体の構造モデルの理論散乱強度Ｉ（ｑ）について説明する。理論散乱強度Ｉ（ｑ）のｑは散乱ベクトルであり、入射Ｘ線と出射Ｘ線それぞれの波数ベクトルの差である。散乱ベクトルｑの大きさは、以下に示す数式１で表すことができる。
Figure 0007221536000001
ここで、λは波長であり、２θは散乱角である。理論散乱強度Ｉ（ｑ）は、以下に示す数式２で表すことができる。
Figure 0007221536000002
ここで、多粒子系散乱体の構造モデルはＮ個（Ｎは自然数）の散乱体からなるものである。散乱ベクトルｑに対するｆｍ（ｑ）は散乱体ｍ（１≦ｍ≦Ｎを満たす任意の整数）の散乱因子（数式２にはｆｍの上にハットあり）であり、ベクトルｒｍｎは散乱体ｍの位置ベクトルと散乱体ｎ（１≦ｎ≦Ｎを満たす任意の整数）の位置ベクトルとの差である。総和記号Σｍは、散乱体ｍについて１～Ｎまで総和をすることを意味している。総和記号Σｎについても同様である。
数式２において方向平均を行うと、理論散乱強度Ｉ（ｑ）は、以下に示す数式３で表すことができ、数式３は非特許文献１に記載されている。
Figure 0007221536000003
ここで、ｑは数式１に示す散乱ベクトルｑの大きさ（スカラー量）である。ｆｍ（ｑ）は、数式２に示す散乱因子ｆｍ（ｑ）（数式２にはｆｍの上にハットあり）を方向平均した散乱因子である。ｒｍｎは散乱体ｍと散乱体ｎとの中心間距離である。なお、sin qｒｍｎをqｒｍｎで除したものは、一般に非正規化sinc関数と呼ばれる。本明細書では、数式３をＤeｂｙｅ式と称する。散乱ベクトルｑの大きさに対する理論散乱強度Ｉ（ｑ）は、多粒子系散乱体の構造モデルに対するＤｅｂｙｅ式を用いて算出される。
Ｄｅｂｙｅ式で計算される理論散乱強度は、多粒子系散乱体の構造モデルの系の大きさに依存するため、大きな系の情報を持った測定強度データを説明するためには、多粒子系散乱体の構造モデルのサイズを大きくする必要がある。しかし、多粒子系散乱体の構造モデルのサイズを大きくしていくと、それに応じてＤeｂｙｅ式の計算時間は飛躍的に増大してしまう。例えばモデルのセルサイズをＡ倍にすると、対象とするモデルの体積はＡ３倍となり、散乱体ｍと散乱体ｎそれぞれの総和を計算するので、計算時間はＡ６倍となってしまう。
本発明はかかる課題に鑑みてなされたものであり、系の大きさに対する制約が抑制された方法で理論散乱強度を算出する、散乱測定解析方法、散乱測定装置、及び散乱測定解析プログラムの提供を目的とする。
（１）上記課題を解決するために、本発明に係る散乱測定解析方法は、多粒子系散乱体の構造モデルからの理論散乱強度を取得する、理論散乱強度取得ステップを備える散乱測定解析方法であって、前記理論散乱強度取得ステップにおいては、複数の散乱体のうち、散乱体ｍと該散乱体ｍからの距離ｒにある散乱体ｎとのペアの前記理論散乱強度への寄与を、散乱体ｍと散乱体ｎとの寄与をそれぞれの散乱因子fm（ｑ）とfｎ *（ｑ）および中心間距離ｒｍｎから計算する第１計算、前記散乱体ｎの散乱因子fｎ *（ｑ）を第１代表値で代用し、かつ距離ｒに存在する散乱体の数の確率密度関数を一定値で代用する第２計算、のうち距離ｒに応じた少なくとも一方により取得する。
（２）前記理論散乱強度の計算において、前記散乱体ｍからの前記散乱体ｎの距離ｒが一定の値R未満の場合、散乱因子fm（ｑ）とfｎ *（ｑ）および中心間距離ｒｍｎから計算してよい。距離ｒがR以上の場合おいては、前記散乱体ｎの散乱因子fn（ｑ）を前記第１代表値で代用してよい。また距離ｒに存在する散乱体の数の確率密度関数を一定値で代用してよい。
（３）前記理論散乱強度の計算において、前記散乱体ｍからの前記散乱体ｎの距離ｒが大きくなるにつれて０から１へ連続的に変化する第１関数を用いた割合で、前記第１計算の計算結果と前記第２計算の計算結果とを合成してよい。
（４）前記散乱体ｎの散乱因子に代用する前記第１代表値は、前記複数の散乱体の散乱因子の平均値であってよい。
（５）前記理論散乱強度は、散乱測定に使われるプローブのコヒーレント長に対応して導かれる、距離ｒが大きくなるにつれて１から０に単調減少する第２関数を、被積分関数の一部、又は総和の対象となる数列の一部として含んでよい。該第２関数が０となる距離ｒまでの範囲で前記被積分関数または前記総和は計算されてよい。
（６）本発明に係る散乱測定解析装置は、多粒子系散乱体の構造モデルからの理論散乱強度を取得する、理論散乱強度取得手段を、備える散乱測定解析装置であって、前記理論散乱強度取得手段は、複数の散乱体のうち、散乱体ｍと該散乱体ｍからの距離ｒにある散乱体ｎとのペアの前記理論散乱強度への寄与を、散乱体ｍと散乱体ｎとの寄与をそれぞれの散乱因子fm（ｑ）とfｎ *（ｑ）および中心間距離ｒｍｎから計算する第１計算、前記散乱体ｎの散乱因子fｎ *（ｑ）を第１代表値で代用し、かつ距離ｒに存在する散乱体の数の確率密度関数を一定値で代用する第２計算、のうち距離ｒに応じた少なくとも一方により取得する。
（７）本発明に係るプログラムは、コンピュータを、多粒子系散乱体の構造モデルからの理論散乱強度を取得する、理論散乱強度取得手段として機能させる、散乱測定解析プログラムであって、前記理論散乱強度取得手段は、複数の散乱体のうち、散乱体ｍと該散乱体ｍからの距離ｒにある散乱体ｎとのペアの前記理論散乱強度への寄与を、散乱体ｍと散乱体ｎとの寄与をそれぞれの散乱因子fm（ｑ）とfｎ *（ｑ）および中心間距離ｒｍｎから計算する第１計算、前記散乱体ｎの散乱因子fｎ *（ｑ）を第１代表値で代用し、かつ距離ｒに存在する散乱体の数の確率密度関数を一定値で代用する第２計算、のうち距離ｒに応じた少なくとも一方により取得する。
本発明により、系の大きさに対する制約が抑制された方法で理論散乱強度を算出する、散乱測定解析方法、散乱測定装置、及び散乱測定解析プログラムが提供される。
本発明の実施形態に係るＸ線小角散乱測定装置の構造を示す模式図である。 本発明の実施形態に係る散乱測定解析方法を示すフローチャートである。 本発明の実施形態に係る当該実施形態に係る散乱測定解析方法の解析結果を示す図である。 本発明の実施形態に係る散乱測定解析方法に基づくシリカエアロゲルの構造モデルを示す図である。 シリカエアロゲルを透過型電子顕微鏡（ＴＥＭ）で撮影した画像である。
以下、本発明の実施の形態について、図面を参照しながら説明する。なお、図面は説明をより明確にするため、実際の態様に比べ、寸法、形状等について模式的に表す場合があるが、あくまで一例であって、本発明の解釈を限定するものではない。また、本明細書と各図において、既出の図に関して前述したものと同様の要素には、同一の符号を付して、詳細な説明を適宜省略することがある。
本発明の実施形態に係る小角散乱測定装置は、２ピンホール光学系のＸ線小角散乱測定装置１である。図１は、当該実施形態に係るＸ線小角散乱測定装置１の構造を示す模式図である。図１に示す通り、当該実施形態に係るＸ線小角散乱測定装置１は、散乱測定部２と、散乱測定解析部３と、入力部４と、記憶部５と、表示部６と、を備えている。散乱測定部２は、Ｘ線管１１と、多層膜ミラー１２と、第１スリット１３と、第２スリット１４と、ビームストッパ１５と、試料１００を支持する支持台１６と、検出器１７と、ゴニオメータ２０と、を備えている。Ｘ線管１１から出射されるＸ線ビームが多層膜ミラー１２で集光され、第１スリット１３と第２スリット１４とを通過して、試料１００を照射する。集光されるＸ線ビームの焦点位置は、理想的には試料１００である。多層膜ミラー１２の反射面の断面は楕円形状となっており、当該楕円形状は２つの焦点を有し、一方の焦点はＸ線管１１のＸ線源に、他方の焦点は試料１００に、それぞれ位置する。試料１００より発生する散乱Ｘ線を検出器１７が検出する。
ゴニオメータ２０は、支持台１６に対して、入射側アームと散乱側アームとの２つのアームが延びている。支持台１６に対して入射側アームがθ回転し、支持台１６に対しては散乱側アームが反対向きにθ回転することにより、試料１００に入射するＸ線に対して散乱角２θの散乱Ｘ線を検出器１７が検出する。すなわち、ゴニオメータ２０はθ－θ型であるが、これに限定されることはなく、入射側アームに対して支持台１６がθ、同じ向きに散乱側アームが２θ、それぞれ回転するθ－２θ型であってもよい。小さい散乱角２θの散乱Ｘ線の散乱強度を測定するのが小角Ｘ線散乱測定であるが、２θ＝０とみなせるほど小さい散乱角２θでは、試料１００に入射するＸ線が直接検出器１７を照射する場合と区別がつけられず、検出器１７を保護するためにビームストッパ１５が２θ＝０に配置される。すなわち、散乱角２θ＝０の散乱Ｘ線を検出することはできない。なお、検出器１７は０次元検出器であるシンティレーションカウンタであるが、これに限定されることはなく、１次元検出器であっても２次元検出器であってもよい。
図２は、当該実施形態に係る散乱測定解析方法を示すフローチャートである。以下に、当該実施形態に係る散乱測定解析方法を具体的かつ詳細に説明する。当該実施形態に係る散乱測定解析方法は、当該実施形態に係るＸ線小角散乱測定装置１により実行される。すなわち、当該実施形態に係るＸ線小角散乱測定装置１は、当該実施形態に係る散乱測定解析方法を用いて、試料の構造解析を行うことが出来る散乱測定解析装置である。Ｘ線小角散乱測定装置１の散乱測定解析部３は、一般に用いられるコンピュータによって実現される。散乱測定部２は、試料１００の散乱角２θ（又は散乱ベクトルの大きさｑ）に対するＸ線小角散乱強度を測定し、測定される測定散乱強度データを入力部４へ出力する。散乱測定解析部３は、入力部４より、測定散乱強度データを取得する。散乱測定解析部３は、記憶部５に取得した測定散乱強度データを保持させてもよい。
入力部４は、散乱測定部２（検出器１７）とのインターフェースに加えて、キーボードやマウスを有しており、入力部４は、散乱測定部２が出力する情報を取得し、さらに利用者が入力する情報を取得する。入力部４は取得する情報を散乱測定解析部３へ出力する。表示部６はディスプレイを有しており、散乱測定解析部３が解析する構造解析結果を表示部６へ出力し表示部６は当該結果を表示する。その際には、入力部４が散乱測定解析部３へ出力する情報を併せて表示してもよい。
当該実施形態に係るＸ線小角散乱測定装置１の散乱測定解析部３は、以下に説明する各ステップを実行する手段をそれぞれ備えている。また、当該実施形態に係る散乱測定解析プログラムは、コンピュータを、各手段として機能させるためのプログラムである。なお、このプログラムはコンピュータ読み取り可能な情報記憶媒体に格納されてよく、該媒体からコンピュータにロードされてよい。
［ステップ１（Ｓ１）：測定散乱強度データ取得ステップ］
ステップ１では、試料の測定散乱強度データが取得される。前述の通り、散乱測定部２が試料１００のＸ線小角散乱強度を測定し、測定される測定散乱強度データを、散乱測定解析部３は入力部４を介して取得する。散乱測定解析部３は、記憶部５に保持される測定散乱強度データを取得してもよい。なお、測定散乱強度データと理論散乱強度とを明確に区別するために、前者を散乱強度の測定曲線と、後者を散乱強度の理論曲線と、それぞれ呼んでもよい。
［ステップ２（Ｓ２）：モデルパラメータ取得ステップ］
ステップ２では、散乱ベクトルに対する理論散乱強度を算出するのに必要な構造モデルパラメータを取得する。かかる構造モデルパラメータは、ユーザが入力部４に入力してもよいし、少なくとも一部は自動的に設定されてもよい。かかる構造モデルパラメータの詳細は後述する。
［ステップ３（Ｓ３）：理論散乱強度取得ステップ］
ステップ３では、多粒子系散乱体の構造モデルからの理論散乱強度を取得する。ここでは、散乱測定解析部３がＤｅｂｙｅ式（数式３）を用いて理論散乱強度を算出し、それを取得しているがそれに限定されることはない。散乱測定解析部３又は外部のコンピュータが事前に算出する理論散乱強度が記憶部５に保持されており、散乱測定解析部３が記憶部５に保持される理論散乱強度を取得してもよい。当該実施形態では、Ｄｅｂｙｅ式（数式３）の計算において、次に示す計算式を用いており、それについて詳細を説明する。
散乱体ｎに対する総和において、散乱体ｍからの距離ｒｍｎが、Ｒ未満と、Ｒ以上と、の２つの場合に分けると、数式３は、次に示す数式４で表される。
Figure 0007221536000004
ここで、数式４の右辺第２項に着目する。距離rが大きくなると、距離rに存在する散乱体nの数は大きくなる。そのためＲの距離が十分に大きく、統計的に散乱体ｎの散乱因子fｎ *（ｑ）を複数（Ｎ個：Ｎは自然数）の散乱体の散乱因子の平均値ｆａｖｅ ＊（ｑ）で代用できる場合は、数式４の右辺第２項は以下に示す数式５で表される。
なお、「Rの距離が十分に大きく、統計的に散乱因子の平均値で代用できる場合」とは、例えば次のようにRの値を決定することをいう。すなわち、粒子半径の変動係数30%であることと、単位体積あたりの粒子数が0.0054個/nm^3 であることが既知の場合において、信頼水準95%で許容誤差率を5%以下となるように平均粒子半径(母平均)の推定値を求めるために必要な粒子数（標本数）は144個である。半径RからR + 1 nmの体積を4πR^2とすると、それに含まれる粒子数は0.0054×4πR^2である。0.0054×4πR^2 > 144個となるRは93 nm以上であるので、「統計的に散乱因子の平均値で代用できる場合」の距離Rは93 nm以上の値を使うことをいう。本明細書では、対象とする距離において、統計的に標本数が大きく代表値（たとえば平均値）で代用できる場合を遠方、代用できない場合を近距離と称する。
Figure 0007221536000005
なお、散乱因子ｆｎ ＊（ｑ）の平均値ｆａｖｅ ＊（ｑ）は以下に示す数式６で表される。ここでは、散乱体ｎの散乱因子fｎ *（ｑ）を複数（Ｎ個：Ｎは自然数）の散乱体の散乱因子の平均値ｆａｖｅ ＊（ｑ）で代用している。散乱体ｎの散乱因子fｎ *（ｑ）に代用する第１代表値は、数式６で表される平均値ｆａｖｅ ＊（ｑ）に限定されることはなく、散乱因子fｎ *（ｑ）をｎの値にかかわらず代表的に表すことが出来る代表値であればよい。
Figure 0007221536000006
ここで、散乱体ｍからの距離ｒ～ｒ＋ｄｒに存在する散乱体ｎの数を距離ｒの確率密度関数ρｍ（ｒ）を用いてρｍ（ｒ）dVとし、散乱体nについての和を積分で置き換えると、数式５は次に示す数式７で表される。散乱体ｍからの距離ｒ～ｒ＋ｄｒに存在する散乱体ｎの数はρｍ（ｒ）ｄVであるが、ここでは単に、散乱体ｍからの距離ｒに存在する散乱体ｎの数は距離ｒの確率密度関数ρｍ（ｒ）であるとしてよい。
Figure 0007221536000007
ここで、右辺の積分は体積積分であり、ｒ≧Ｒの範囲で体積の最大値Ｖｍａｘまで体積積分を実行することを意味している。よって、Ｄｅｂｙｅ式（数式３）は、次に示す数式８で表される。
Figure 0007221536000008
数式８における理論散乱強度Ｉ（ｑ）の計算において、距離ｒがＲ未満では散乱体ｍと散乱体ｎとの寄与をそれぞれの散乱因子fm（ｑ）とfｎ *（ｑ）および中心間距離ｒｍｎから計算し（数式８の右辺第１項（第１計算））、距離ｒがＲ以上では散乱体ｎの散乱因子を第１代表値（例えば平均値ｆａｖｅ ＊（ｑ））で代用し距離ｒに存在する散乱体の数を距離ｒの確率密度関数を用いて計算する（数式８の右辺第２項（第２計算））。なお、本実施形態においては、各種の積分値は、散乱測定解析部３で各種の数値積分のアルゴリズムを実行することにより求められる。
ここで、数式８を用いて理論散乱強度Ｉ（ｑ）を算出する場合、構造モデルパラメータは、以下に示す通りである。数式８の右辺第２項を算出するために必要な構造モデルパラメータは、散乱体ｍからの散乱体ｎの距離ｒの閾値であるＲ、試料の体積の最大値Ｖｍａｘ、全散乱因子（Ｎ個の散乱体の散乱因子）の平均値を示すｆａｖｅ ＊（ｑ）、各散乱体の散乱因子ｆｍ（ｑ）、距離ｒに散乱体が存在する数の確率密度関数ρｍ（ｒ）である。加えて、数式８の第１項を算出するために必要な構造モデルパラーメータは、散乱体ｍと散乱体ｎの散乱因子の積ｆｍ（ｑ）ｆｎ ＊（ｑ）、及び散乱体ｍと散乱体ｎの配置構造で定まる距離ｒｍｎである。
数式８の右辺第２項の体積積分において、距離ｒからｒ＋ｄｒの範囲の積分を行うときに、その体積が十分大きい場合はρｍ（ｒ）を一定値ρａとみなせる。この場合、数式８は次に示す数式９と表される。
なお、「ρｍ（ｒ）が一定値ρａとみなせるだけ、距離ｒからｒ＋ｄｒの範囲の体積が大きい場合」とは、ある距離以上でρｍ（ｒ）が計算に使用した構造モデルの単位体積あたりの平均粒子数と同じ値とみなすことができる場合を表す。その条件は、「Rの距離が十分に大きく、統計的に散乱因子の平均値で代用できる場合」と同様の方法で、距離ｒからｒ＋ｄｒの範囲の体積中に必要な粒子数（標本数）以上存在するかを計算することで決めることができる。
Figure 0007221536000009
ここで、数式９の右辺第２項の積分は距離ｒに関する１次元の積分であり、距離ｒがＲから最大値ｒｍａｘまで積分を実行することを意味している。ｒｍａｘの値を大きくすることで、多粒子散乱体の構造モデルを変更することなく、大きな系に対する理論散乱強度を計算することができる。数式９の右辺第２項に記載のΣｍｆｍ（ｑ）を、平均値ｆａｖｅ（ｑ）を用いて、次に示す数式１０で書き換える。
Figure 0007221536000010
数式１０を用いると、数式９は次に示す数式１１で表される。ここでは、散乱体ｍの散乱因子fｍ（ｑ）を複数（Ｎ個：Ｎは自然数）の散乱体の散乱因子の平均値ｆａｖｅ（ｑ）で置き換えただけで、数式９と数式１１は同じである。
Figure 0007221536000011
数式１１の右辺第１項は、複数の散乱体の配置によって変化するが、右辺第２項は変化しない。ステップ３において数式１１を用いて理論散乱強度Ｉ（ｑ）を算出する場合、ステップ２で取得される構造モデルパラメータのうち、数式８に対する構造モデルパラメータとの違いは、以下に示す通りである。数式１１の右辺第２項を算出するために必要な構造モデルパラメータは、数式８の算出における試料の体積の最大値Ｖｍａｘの代わりに試料の距離ｒの最大値ｒｍａｘ、距離ｒに散乱体が存在する数の確率密度関数ρｍ（ｒ）の代わりに一定値ρａである。ｒｍａｘの値を大きくすることで、大きな系に対する理論散乱強度を計算することができる。
数式１１では散乱体ｎの散乱体ｍからの距離ｒｍｎ＝Ｒを閾値としており、ｒｍnがＲ未満では、Ｄｅｂｙｅ式の通り散乱体ｍとｎの寄与をそれぞれの散乱因子fm（ｑ）とfｎ *（ｑ）および中心間距離ｒｍｎから算出し、ｒｍｎがＲ以上では、確率密度関数を一定値ρａとして算出している。しかし、これに限定されることはなく、０から１まで変化する関数Ｇ（ｒ）を用いて、数式１１を次に示す数式１２で置き換えることができる。
Figure 0007221536000012
ここで、関数Ｇ（ｒ）をｒ＝Ｒを閾値にｒ＜Ｒでは０でありｒ≧Ｒでは１となるステップ関数である場合は、数式１２は数式１１と一致する。また、関数Ｇ（ｒ）はｒが大きくなるにつれて０から１へ連続的に変化する関数（第１関数と定義する）であってもよく、例えばシグモイド関数である。数式１２では、関数Ｇ（ｒ）を用いて、数式９（又は数式１１）の右辺第１項と右辺第２項とを重畳的に計算している。Ｄｅｂｙｅ式を用いて算出される理論散乱強度Ｉ（ｑ）の計算において、散乱体ｎの散乱因子を第１代表値（例えば平均値ｆａｖｅ ＊（ｑ））で代用し、積分される非正規化sinc関数の部分にＧ（ｒ）を乗じて計算する第１部分（数式１２の右辺第３項）と、散乱体ｍと散乱体ｎ（ただしｍ≠ｎ）との寄与をそれぞれの散乱因子fm（ｑ）とfｎ *（ｑ）および中心間距離ｒｍｎから計算する部分に（１－Ｇ（ｒ））を乗じて計算する第２部分（数式１２の右辺第２項）と、散乱体ｍと散乱体ｎ（ｍ＝ｎ）との寄与を散乱因子fm（ｑ）から計算する第３部分（数式１２の右辺第１項）と、を加える。数式１２に示す通り、右辺第２項と右辺第３項とを、関数Ｇ（ｒ）により重みづけして計算することにより、重畳的に計算する。
ステップ３において数式１２を用いて理論散乱強度Ｉ（ｑ）を算出する場合、ステップ２で取得されるモデルパラメータのうち、数式１１に対するモデルパラメータと異なるパラメータは関数Ｇ（ｒ）である。それゆえ、さらに関数Ｇ（ｒ）の取得が必要である。
数式１１と数式１２において、散乱測定に使われるプローブのコヒーレント長効果を考え、以下の数式１３による畳み込みを行う。
Figure 0007221536000013
以上により、数式１１と数式１２は、以下に示す数式１４と数式１５で表される。ここで、σは装置固有の値である。
Figure 0007221536000014
Figure 0007221536000015
ただし、関数C（ｒ）は、以下の数式１６である。
Figure 0007221536000016
関数C（ｒ）は、距離ｒの増加とともに１から０に単調減少する関数(第2関数と定義する)である。数式１１と１４および数式１２と１５における違いは、非正規化sinc関数に関数C（ｒ）を乗じることと、右辺最終項の積分の終端を∞としたことである。これは、関数C（ｒ）が０となる距離で積分値が一定となるためである。これにより、数式１４および数式１５で計算される理論散乱強度は、系の大きさに対する制約が抑制されたものとみなすことができる。
なお、「関数C（ｒ）が０となる」ことに限定されることはなく、十分に関数C（ｒ）が０に近い値（たとえば10^-12以下）になるまで積分を行うことで、数式１４および数式１５で計算される理論散乱強度は、系の大きさに対する制約が抑制されたものとみなすことができる。
ステップ３において数式１４または数式１５を用いて理論散乱強度Ｉ（ｑ）を算出する場合、ステップ２で取得される構造モデルパラメータのうち、数式１１または数式１２に対するモデルパラメータと異なるパラメータは関数C（ｒ）である。それゆえ、さらに関数C（ｒ）の取得が必要である。
［ステップ４（Ｓ４）：フィッティングステップ］
ステップ４では、測定散乱強度データに対して、理論散乱強度によるフィッティングを施す。構造モデルパラメータの一部をフィッティング関数とし、フィッティング結果を評価し、結果が良好であると判断すれば終了する。結果が不良であると判断すると、フィッティング関数の値を変更して、ステップ２へ進む。これを繰り返すことにより、測定散乱強度データに適合する理論散乱強度を見つけ出し、その構造モデルパラメータにより試料に含まれる散乱体の構造が解析される。
ここでは、ステップ３において算出される理論散乱強度を用いて、ステップ４でフィッティングを施しているが、これに限定されることはない。様々な構造モデルパラメータを用いた多粒子系散乱体の構造モデルに対する理論散乱強度について事前に計算しておき、それらを記憶部５が保持していてもよい。その場合、ステップ３では、対象となる構造モデルパラメータ（の組み合わせ）の理論散乱強度を記憶部５から取得すればよい。
図３は、当該実施形態に係る当該実施形態に係る散乱測定解析方法の解析結果を示す図である。ここで、試料１００は多孔質材料としてよく知られているシリカエアロゲルの厚さ１ｍｍの板状バルク試料である。図３に、シリカエアロゲルの測定散乱強度データと、フィッティングによって得られる構造モデルパラメータの理論散乱強度とが示されている。図３に示す通り、理論散乱強度は測定散乱強度データに対して精度高くフィッティング出来ている。
多粒子系散乱体の構造モデルは、１辺２００ｎｍの立方体セル中に配置された球形粒子を想定している。各粒子の半径の値は、ガンマ分布関数で分布係数１１．１１、平均粒子半径１．２５ｎｍの確率密度関数を満たす機械乱数発生機で値を発生さている。粒子半径の値の発生回数、すなわち粒子の個数は、粒子の総体積が指定した上限値に達するまで続られる。この粒子の総体積の上限値は、シリカエアロゲルのかさ密度とシリカエアロゲル粒子の質量密度と構造モデルの立方体セルの体積とにより算出している。各粒子のセル中での位置（ｘ，ｙ，ｚ）は一様な機械乱数で発生させ、これをフィッティングに用いる構造パラメータとしている。
理論散乱強度Ｉ（ｑ）は、数式１５により算出している。粒子が存在する数の確率ρaは粒子の個数と立方体セルの体積から算出している。
σは０．００２０５５１４としている。さらに、関数Ｇ（ｒ）は、次に示す数式１７で表されるシグモイド関数である。
Figure 0007221536000017
ここで、粒子半径の平均値をＲａｖｅとすると、当該実施形態に係る散乱測定解析方法において、数式１７に記載のaは次に示す数式１８で表される。
Figure 0007221536000018
同様に、数式１７に記載のｒ０は次に示す数式１９で表される。
Figure 0007221536000019
粒子ｍの半径をＲｍ、粒子ｍの密度をρｍ、粒子が存在しない空間の密度をρ０と、それぞれすると、球形粒子である粒子ｍの散乱因子ｆｍ（ｑ）は、次に示す数式２０で表される。
Figure 0007221536000020
当該実施形態に係る散乱測定解析方法において、すべての粒子ｍの密度ρｍをシリカエアロゲルの質量密度と、粒子が存在しない空間の密度ρ０を０としている。
当該実施形態で変更される構造モデルパラメータは粒子の位置（ｘ、ｙ、ｚ）であるので、ステップ３では、構造モデルパラメータから数式９の右辺第２項のみを再計算している。
図４は、当該実施形態に係る散乱測定解析方法に基づくシリカエアロゲルの構造モデルを示す図である。構造モデルのセルは１辺が２００ｎｍの立方体であり、平均粒子直径２．５ｎｍの球形粒子が４３２４３個存在している。当該実施形態に係る散乱測定解析方法により各粒子の位置をモンテカルロアプローチで探査したシリカエアロゲルの構造モデルが、図４に示されている。図４の右上に円で示している正方形は、構造モデルのセルの中心付近を厚さ３０ｎｍで切り出した図である。
図５は、シリカエアロゲルを透過型電子顕微鏡（ＴＥＭ）で撮影した画像である。シリカエアロゲルの多孔構造が、図４に示すシリカエアロゲルのモデルと、図５に示すＴＥＭによるシリカエアロゲルの画像と高い精度で一致しており、当該実施形態に係る散乱測定解析方法が精度高く散乱体の構造解析ができていることを示している。
以上、本発明の実施形態に係る散乱測定解析方法、散乱測定解析装置、及び散乱測定解析プログラムについて説明した。本発明にに係る散乱測定解析方法、散乱測定解析装置、及び散乱測定解析プログラムは、上記実施形態に限定されることなく、広く適用することができる。上記実施形態では、Ｘ線小角散乱測定装置１が散乱測定解析装置であるとしたが、これに限定されることはなく、本発明に係る散乱測定解析装置は、散乱測定部２を有していなくてもいいし、散乱測定解析部３のみであってもよい。
上記実施形態では、当該実施形態に係る小角散乱測定装置は、２ピンホール光学系のＸ線小角散乱測定装置１としたが、これに限定されることはなく、他の光学系のＸ線小角散乱測定であってもいいし、Ｘ線ではなく他の線源を用いる小角散乱測定装置であってもよい。
１ Ｘ線小角散乱測定装置、２ 散乱測定部、３ 散乱測定解析部、４ 入力部、５ 記憶部、６ 表示部、１１ Ｘ線管、１２ 多層膜ミラー、１３ 第１スリット、１４ 第２スリット、１５ ビームストッパ、１６ 支持台、１７ 検出器、２０ ゴニオメータ、１００ 試料。

Claims (11)

  1. 多粒子系散乱体の構造モデルからの理論散乱強度Ｉ（ｑ）を取得する、理論散乱強度取得ステップを備える散乱測定解析方法であって、
    前記理論散乱強度取得ステップにおいては、
    複数の散乱体のうち、散乱体ｍと該散乱体ｍからの距離ｒにある散乱体ｎとのペアの前記理論散乱強度への寄与を、
    散乱体ｍと散乱体ｎとの寄与をそれぞれの散乱因子fm（ｑ）とfｎ*（ｑ）および中心間距離ｒｍｎから計算する下記の第１計算、
    Figure 0007221536000021
     及び、
    前記散乱体ｎの散乱因子fｎ*（ｑ）を散乱因子f ｎ *（ｑ）の平均値ｆ ａｖｅ *（ｑ）で代用し、かつ前記構造モデルの単位体積当たりの平均粒子数ρ ａ を用いて計算する下記の第２計算、
    Figure 0007221536000022
     により取得し、
    前記第１計算の計算結果と前記第２計算の計算結果に基づいて前記理論散乱強度Ｉ（ｑ）を取得する、
    ことを特徴とする、散乱測定解析方法。

    Ｉ（ｑ）：理論散乱強度
    ｆ ｍ （ｑ）：散乱体ｍの散乱因子
    ｆ ｎ *（ｑ）：散乱体ｎの散乱因子
    ｑ：入射波と出射波それぞれの波数ベクトルの差の大きさ
    ｒ ｍｎ ：散乱体ｍと散乱体ｎとの中心間距離
    Ｎ：散乱体の個数
    ｆ ａｖｅ （ｑ）：散乱因子ｆ ｍ （ｑ）の平均値
    ｆ ａｖｅ *（ｑ）：散乱因子ｆ ｎ *（ｑ）の平均値
    ρ ａ ：構造モデルの単位体積当たりの平均粒子数
  2. 多粒子系散乱体の構造モデルからの理論散乱強度Ｉ（ｑ）を取得する、理論散乱強度取得ステップを備える散乱測定解析方法であって、
    前記理論散乱強度取得ステップにおいては、
    前記距離ｒが一定の値Ｒ未満の場合、前記理論散乱強度Ｉ（ｑ）への寄与を前記第１計算により取得し、
    前記距離ｒが前記一定の値Ｒ以上の場合、前記理論散乱強度Ｉ（ｑ）への寄与を前記第２計算により取得し、
    前記第１計算の計算結果と前記第２計算の計算結果とを合成することにより前記理論散乱強度Ｉ（ｑ）を取得する、
    ことを特徴とする、請求項１に記載の散乱測定解析方法。
  3. 多粒子系散乱体の構造モデルからの理論散乱強度Ｉ（ｑ）を取得する、理論散乱強度取得ステップを備える散乱測定解析方法であって、
    前記理論散乱強度取得ステップにおいては、
    前記散乱体ｍからの前記散乱体ｎの距離ｒが大きくなるにつれて０から１へ連続的に増加する第１関数Ｇ（ｒ）を用いて前記第１計算及び前記第２計算を変形して導かれる下記式（１２）に基づいて、前記理論散乱強度Ｉ（ｑ）を取得する、
    ことを特徴とする、請求項１に記載の散乱測定解析方法。
    Figure 0007221536000023
     Ｇ（ｒ）：第１関数
  4. 多粒子系散乱体の構造モデルからの理論散乱強度Ｉ（ｑ）を取得する、理論散乱強度取得ステップを備える散乱測定解析方法であって、
    前記理論散乱強度取得ステップにおいては、
    散乱測定に使われるプローブのコヒーレント長に対応して導かれる、距離ｒが大きくなるにつれて１から０に単調減少する第２関数Ｃ（ｒ）を用いると共に、右辺第２項において前記構造モデルの単位体積当たりの平均粒子数ρ ａ を用いた下記式（１４）に基づいて前記理論散乱強度Ｉ（ｑ）を取得する、
    ことを特徴とする、散乱測定解析方法。
    Figure 0007221536000024
     Ｉ（ｑ）：理論散乱強度
    ｆ ｍ （ｑ）：散乱体ｍの散乱因子
    ｆ ｎ *（ｑ）：散乱体ｎの散乱因子
    ｑ：入射波と出射波それぞれの波数ベクトルの差の大きさ
    ｒ ｍｎ ：散乱体ｍと散乱体ｎとの中心間距離
    Ｃ（ｒ）：第２関数
    Ｎ：散乱体の個数
    ｆ ａｖｅ （ｑ）：散乱因子ｆ ｍ （ｑ）の平均値
    ｆ ａｖｅ *（ｑ）：散乱因子ｆ ｎ *（ｑ）の平均値
    ρ ａ ：構造モデルの単位体積当たりの平均粒子数
  5. 多粒子系散乱体の構造モデルからの理論散乱強度Ｉ（ｑ）を取得する、理論散乱強度取得ステップを備える散乱測定解析方法であって、
    前記理論散乱強度取得ステップにおいては、
    前記散乱体ｍからの前記散乱体ｎの距離ｒが大きくなるにつれて０から１へ連続的に増加する第１関数Ｇ（ｒ）と、散乱測定に使われるプローブのコヒーレント長に対応して導かれる、距離ｒが大きくなるにつれて１から０に単調減少する第２関数Ｃ（ｒ）とを用いると共に、右辺第３項において前記構造モデルの単位体積当たりの平均粒子数ρ ａ を用いた下記式（１５）に基づいて前記理論散乱強度Ｉ（ｑ）を取得する、
    ことを特徴とする、散乱測定解析方法。
    Figure 0007221536000025
     Ｉ（ｑ）：理論散乱強度
    ｆ ｍ （ｑ）：散乱体ｍの散乱因子
    ｆ ｎ *（ｑ）：散乱体ｎの散乱因子
    ｑ：入射波と出射波それぞれの波数ベクトルの差の大きさ
    ｒ ｍｎ ：散乱体ｍと散乱体ｎとの中心間距離
    Ｇ（ｒ）：第１関数
    Ｃ（ｒ）：第２関数
    Ｎ：散乱体の個数
    ｆ ａｖｅ （ｑ）：散乱因子ｆ ｍ （ｑ）の平均値
    ｆ ａｖｅ *（ｑ）：散乱因子ｆ ｎ *（ｑ）の平均値
    ρ ａ ：構造モデルの単位体積当たりの平均粒子数
  6. 多粒子系散乱体の構造モデルからの理論散乱強度Ｉ（ｑ）を取得する、理論散乱強度取得手段を備える散乱測定解析装置であって、
    前記理論散乱強度取得手段は、
    複数の散乱体のうち、散乱体ｍと該散乱体ｍからの距離ｒにある散乱体ｎとのペアの前記理論散乱強度への寄与を、
    散乱体ｍと散乱体ｎとの寄与をそれぞれの散乱因子fm（ｑ）とfｎ*（ｑ）および中心間距離ｒｍｎから計算する下記の第１計算、
    Figure 0007221536000026
    及び、
    前記散乱体ｎの散乱因子fｎ*（ｑ）を散乱因子f ｎ *（ｑ）の平均値ｆ ａｖｅ *（ｑ）で代用し、かつ前記構造モデルの単位体積当たりの平均粒子数ρ ａ を用いて計算する下記の第２計算、
    Figure 0007221536000027
     により取得し、
    前記第１計算の計算結果と前記第２計算の計算結果に基づいて前記理論散乱強度Ｉ（ｑ）を取得する、
    ことを特徴とする、散乱測定解析装置。
    Ｉ（ｑ）：理論散乱強度
    ｆ ｍ （ｑ）：散乱体ｍの散乱因子
    ｆ ｎ *（ｑ）：散乱体ｎの散乱因子
    ｑ：入射波と出射波それぞれの波数ベクトルの差の大きさ
    ｒ ｍｎ ：散乱体ｍと散乱体ｎとの中心間距離
    Ｎ：散乱体の個数
    ｆ ａｖｅ （ｑ）：散乱因子ｆ ｍ （ｑ）の平均値
    ｆ ａｖｅ *（ｑ）：散乱因子ｆ ｎ *（ｑ）の平均値
    ρ ａ ：構造モデルの単位体積当たりの平均粒子数
  7. 多粒子系散乱体の構造モデルからの理論散乱強度Ｉ（ｑ）を取得する、理論散乱強度取得手段を備える散乱測定解析装置であって、
    前記理論散乱強度取得手段においては、
    散乱測定に使われるプローブのコヒーレント長に対応して導かれる、距離ｒが大きくなるにつれて１から０に単調減少する第２関数Ｃ（ｒ）を用いると共に、右辺第２項において前記構造モデルの単位体積当たりの平均粒子数ρ ａ を用いた下記式（１４）に基づいて前記理論散乱強度Ｉ（ｑ）を取得する、
    ことを特徴とする、散乱測定解析装置。
    Figure 0007221536000028
     Ｉ（ｑ）：理論散乱強度
    ｆ ｍ （ｑ）：散乱体ｍの散乱因子
    ｆ ｎ *（ｑ）：散乱体ｎの散乱因子
    ｑ：入射波と出射波それぞれの波数ベクトルの差の大きさ
    ｒ ｍｎ ：散乱体ｍと散乱体ｎとの中心間距離
    Ｃ（ｒ）：第２関数
    Ｎ：散乱体の個数
    ｆ ａｖｅ （ｑ）：散乱因子ｆ ｍ （ｑ）の平均値
    ｆ ａｖｅ *（ｑ）：散乱因子ｆ ｎ *（ｑ）の平均値
    ρ ａ ：構造モデルの単位体積当たりの平均粒子数
  8. 多粒子系散乱体の構造モデルからの理論散乱強度Ｉ（ｑ）を取得する、理論散乱強度取得手段を備える散乱測定解析装置であって、
    前記理論散乱強度取得手段においては、
    前記散乱体ｍからの前記散乱体ｎの距離ｒが大きくなるにつれて０から１へ連続的に増加する第１関数Ｇ（ｒ）と、散乱測定に使われるプローブのコヒーレント長に対応して導かれる、距離ｒが大きくなるにつれて１から０に単調減少する第２関数Ｃ（ｒ）とを用いると共に、右辺第３項において前記構造モデルの単位体積当たりの平均粒子数ρ ａ を用いた下記式（１５）に基づいて前記理論散乱強度Ｉ（ｑ）を取得する、
    ことを特徴とする、散乱測定解析装置。
    Figure 0007221536000029
     Ｉ（ｑ）：理論散乱強度
    ｆ ｍ （ｑ）：散乱体ｍの散乱因子
    ｆ ｎ *（ｑ）：散乱体ｎの散乱因子
    ｑ：入射波と出射波それぞれの波数ベクトルの差の大きさ
    ｒ ｍｎ ：散乱体ｍと散乱体ｎとの中心間距離
    Ｇ（ｒ）：第１関数
    Ｃ（ｒ）：第２関数
    Ｎ：散乱体の個数
    ｆ ａｖｅ （ｑ）：散乱因子ｆ ｍ （ｑ）の平均値
    ｆ ａｖｅ *（ｑ）：散乱因子ｆ ｎ *（ｑ）の平均値
    ρ ａ ：構造モデルの単位体積当たりの平均粒子数
  9. コンピュータを、
    多粒子系散乱体の構造モデルからの理論散乱強度Ｉ（ｑ）を取得する、理論散乱強度取得手段、として機能させる、散乱測定解析プログラムであって、
    前記理論散乱強度取得手段は、
    複数の散乱体のうち、散乱体ｍと該散乱体ｍからの距離ｒにある散乱体ｎとのペアの前記理論散乱強度への寄与を、
    散乱体ｍと散乱体ｎとの寄与をそれぞれの散乱因子fm（ｑ）とfｎ*（ｑ）および中心間距離ｒｍｎから計算する下記の第１計算、
    Figure 0007221536000030
     及び、
    前記散乱体ｎの散乱因子fｎ*（ｑ）を散乱因子f ｎ *（ｑ）の平均値ｆ ａｖｅ *（ｑ）で代用し、かつ前記構造モデルの単位体積当たりの平均粒子数ρ ａ を用いて計算する下記の第２計算、
    Figure 0007221536000031
     により取得し、
    前記第１計算の計算結果と前記第２計算の計算結果に基づいて前記理論散乱強度Ｉ（ｑ）を取得する、
    ことを特徴とする、散乱測定解析プログラム。
    Ｉ（ｑ）：理論散乱強度
    ｆ ｍ （ｑ）：散乱体ｍの散乱因子
    ｆ ｎ *（ｑ）：散乱体ｎの散乱因子
    ｑ：入射波と出射波それぞれの波数ベクトルの差の大きさ
    ｒ ｍｎ ：散乱体ｍと散乱体ｎとの中心間距離
    Ｎ：散乱体の個数
    ｆ ａｖｅ （ｑ）：散乱因子ｆ ｍ （ｑ）の平均値
    ｆ ａｖｅ *（ｑ）：散乱因子ｆ ｎ *（ｑ）の平均値
    ρ ａ ：構造モデルの単位体積当たりの平均粒子数
  10. コンピュータを、
    多粒子系散乱体の構造モデルからの理論散乱強度Ｉ（ｑ）を取得する、理論散乱強度取得手段、として機能させる、散乱測定解析プログラムであって、
    前記理論散乱強度取得手段においては、
    散乱測定に使われるプローブのコヒーレント長に対応して導かれる、距離ｒが大きくなるにつれて１から０に単調減少する第２関数Ｃ（ｒ）を用いると共に、右辺第２項において前記構造モデルの単位体積当たりの平均粒子数ρ ａ を用いた下記式（１４）に基づいて前記理論散乱強度Ｉ（ｑ）を取得する、
    ことを特徴とする、散乱測定解析プログラム。
    Figure 0007221536000032
     Ｉ（ｑ）：理論散乱強度
    ｆ ｍ （ｑ）：散乱体ｍの散乱因子
    ｆ ｎ *（ｑ）：散乱体ｎの散乱因子
    ｑ：入射波と出射波それぞれの波数ベクトルの差の大きさ
    ｒ ｍｎ ：散乱体ｍと散乱体ｎとの中心間距離
    Ｃ（ｒ）：第２関数
    Ｎ：散乱体の個数
    ｆ ａｖｅ （ｑ）：散乱因子ｆ ｍ （ｑ）の平均値
    ｆ ａｖｅ *（ｑ）：散乱因子ｆ ｎ *（ｑ）の平均値
    ρ ａ ：構造モデルの単位体積当たりの平均粒子数
  11. コンピュータを、
    多粒子系散乱体の構造モデルからの理論散乱強度Ｉ（ｑ）を取得する、理論散乱強度取得手段、として機能させる、散乱測定解析プログラムであって、
    前記理論散乱強度取得手段においては、
    前記散乱体ｍからの前記散乱体ｎの距離ｒが大きくなるにつれて０から１へ連続的に増加する第１関数Ｇ（ｒ）と、散乱測定に使われるプローブのコヒーレント長に対応して導かれる、距離ｒが大きくなるにつれて１から０に単調減少する第２関数Ｃ（ｒ）とを用いると共に、右辺第３項において前記構造モデルの単位体積当たりの平均粒子数ρ ａ を用いた下記式（１５）に基づいて前記理論散乱強度Ｉ（ｑ）を取得する、
    ことを特徴とする、散乱測定解析プログラム。
    Figure 0007221536000033
     Ｉ（ｑ）：理論散乱強度
    ｆ ｍ （ｑ）：散乱体ｍの散乱因子
    ｆ ｎ *（ｑ）：散乱体ｎの散乱因子
    ｑ：入射波と出射波それぞれの波数ベクトルの差の大きさ
    ｒ ｍｎ ：散乱体ｍと散乱体ｎとの中心間距離
    Ｇ（ｒ）：第１関数
    Ｃ（ｒ）：第２関数
    Ｎ：散乱体の個数
    ｆ ａｖｅ （ｑ）：散乱因子ｆ ｍ （ｑ）の平均値
    ｆ ａｖｅ *（ｑ）：散乱因子ｆ ｎ *（ｑ）の平均値
    ρ ａ ：構造モデルの単位体積当たりの平均粒子数
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