JP6358404B1 - 非線形多自由度系の動的応答解析法 - Google Patents

Abstract

計算コストが比較的低い一方で、解析の精度が比較的高い非線形多自由度系の動的応答解析法を提供する。
塑性領域におけるモード間の相互作用を無視し、モードの重ね合わせにモード重ね合わせ則を仮定した上で、弾性領域の固有振動モードにより非線形多自由度系をモード展開して、非線形一自由度系の時刻歴応答解析により作成した一定塑性率応答スペクトルから得たモード塑性率を用いることにより、各モードの最大変形を把握する。

Description

本発明は、非線形多自由度系の動的応答解析法に関する。より詳しくは、本発明は、一定塑性率応答スペクトルを用いた非線形多自由度系の動的応答解析法に関する。

地震等により弾塑性応答する機器・配管系の応答は、非線形多自由度系の応答解析により求める必要がある。非線形多自由度系の応答解析法には、応答の厳密解が得られる「直接積分法による時刻歴応答解析法」と簡易法である「等価線形化法を用いた応答スペクトル解析法」が代表的である。簡易法である「等価線形化法を用いた応答スペクトル解析法」は、系の弾塑性応答による剛性の低下と履歴減衰を、等価な線形剛性と線形減衰とで表わすことにより、非線形多自由度系をそれと等価な線形多自由度系に置き換え、線形多自由度系の応答スペクトル解析法を用いる方法である。「等価線形化法を用いた応答スペクトル解析法」については、例えば、特許文献１及び２に、等価な線形剛性と線形減衰の与え方の例が記載されている。

特開２００１−１３２９００号公報 特開２００１−２９０８４８号公報

Ｃａｕｇｈｅｙ， Ｔ． Ｋ．， Ｓｉｎｕｓｏｉｄａｌ ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｓｙｓｔｅｍ ｗｉｔｈ ｂｉｌｉｎｅａｒ ｈｙｓｔｅｒｅｓｉｓ， Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ， ＡＳＭＥ， Ｖｏｌ．２７ （１９６０ａ）， ｐｐ．６４０−６４３. Ｃａｕｇｈｅｙ， Ｔ． Ｋ．， Ｒａｎｄｏｍ ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｓｙｓｔｅｍ ｗｉｔｈ ｂｉｌｉｎｅａｒ ｈｙｓｔｅｒｅｓｉｓ， Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ， ＡＳＭＥ， Ｖｏｌ．２７ （１９６０ｂ）， ｐｐ．６４９−６５２． Ｃｈｏｐｒａ， Ａ． Ｋ．， Ｄｙｎａｍｉｃｓ ｏｆ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ， ４ｔｈ ｅｄ． （２０１１）， ｐｐ．２４４−２４５， ｐｐ． ２７６−２７８， Ｐｒｅｎｔｉｃｅ Ｈａｌｌ， Ｎｅｗ Ｊｅｒｓｅｙ， ＵＳＡ． 飯島唯司、 小野悟、 等価線形化法による配管系の簡易的な弾塑性地震応答解析、 日本機械学会論文集、 Ｃ編、 Ｖｏｌ．６８，Ｎｏ．６７３（２００２）， ｐｐ．２５４２−２５４８． Ｉｗａｎ， Ｗ． Ｄ． ａｎｄ Ｇａｔｅｓ， Ｎ． Ｃ．， Ｅｓｔｉｍａｔｉｎｇ Ｅａｒｔｈｑｕａｋｅ Ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｏｆ ｓｉｍｐｌｅ ｈｙｓｔｅｒｅｔｉｃ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ， Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｔｈｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ Ｄｉｖｉｓｉｏｎ， ＡＳＣＥ， Ｖｏｌ．１０５， Ｎｏ．３ （１９７９）， ｐｐ３９１−４０５. Ｊｅｎｎｉｎｇｓ， Ｐ． Ｃ．， Ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ Ｖｉｓｃｏｕｓ Ｄａｍｐｉｎｇ ｆｏｒ ｙｉｅｌｄｉｎｇ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ， Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ＡＳＣＥ， Ｖｏｌ．９４ （１９６８）， ｐｐ．１０３−１１６． 浪田芳郎、 川畑淳一、 市橋一郎、 福田俊彦、 弾塑性ダンパ支持配管系の耐震設計手法の開発 ： 第3報， 三次元配管モデル試験とその応答解析、 日本機械学会論文集 Ｃ編、 Ｖｏｌ．６１， Ｎｏ．５９０（１９９５）， ｐｐ．３８８１−３８８８． Ｎｅｗｍａｒｋ， Ｎ． Ｍ．， Ｉｎｅｌａｓｔｉｃ ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ ｎｕｃｌｅａｒ ｒｅａｃｔｏｒ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ａｎｄ ｉｔｓ ｉｍｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｎ ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ ｃｒｉｔｉｃａｌ ｅｑｕｉｐｍｅｎｔ， Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ｉｎ Ｒｅａｃｔｏｒ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（１９７７）， Ｋ ４/１． 田村伊知郎、 松浦真一、 地震力に対する機器・配管系の弾塑性応答評価法（一自由度系の弾塑性応答特性の考察、 日本機械学会論文集、 Ｖｏｌ．８２， Ｎｏ．８３５ （２０１６）， ＤＯＩ：１０．１２９９／ｔｒａｎｓｊｓｍｅ．１５・００４６７． Ｔａｍｕｒａ， Ｉ．， Ｍａｔｓｕｕｒａ， Ｓ． ａｎｄ Ｓｈｉｍａｚｕ， Ｒ．， Ｙｉｅｌｄ ｓｔｒｅｎｇｔｈ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｆａｃｔｏｒ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ＳＤＯＦ ｓｙｓｔｅｍｓ ｏｎ ｔｈｅ ｓｕｐｐｏｒｔｉｎｇ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ， Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ ＡＳＭＥ ２０１６ Ｐｒｅｓｓｕｒｅ Ｖｅｓｓｅｌｓ ａｎｄ Ｐｉｐｉｎｇ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ （２０１６）， Ｃａｎａｄａ， ＰＶＰ２０１６・６３９４４. Ｖｅｌｅｔｓｏｓ， Ａ． Ｓ． ａｎｄ Ｎｅｗｍａｒｋ， Ｎ． Ｍ．， Ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｉｎｅｌａｓｔｉｃ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｎ ｔｈｅ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｏｆ ｓｉｍｐｌｅ ｓｙｓｔｅｍｓ ｔｏ ｅａｒｔｈｑｕａｋｅ ｍｏｔｉｏｎｓ， Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ ２ｎｄ Ｗｏｒｌｄ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｅａｒｔｈｑｕａｋｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ， Ｖｏｌ．２ （１９６０）， ｐｐ．８９５−９１２．

しかし、「直接積分法による時刻歴応答解析法」は、厳密解が得られるものの、機器・配管系を非線形の有限要素モデルにより詳細にモデル化する必要があるため、非線形有限要素モデルの直接積分法による解析は、多くの計算量を必要とし、計算コストが大きなものとなる。

また、「等価線形化法を用いた応答スペクトル解析法」は、非線形多自由度系を等価な線形多自由度系に置き換えるため、「直接積分法による時刻歴応答解析法」に比較して、計算コストは少なくなるものの、その精度は明らかではない。

このため、非線形多自由度系の地震応答解析は、これまで、機器・配管系の耐震設計において実用化されておらず、線形多自由度系の地震応答解析法が用いられているのが現状である。

本発明は、上記課題に鑑みてなされたものであり、計算コストが比較的低い一方で、解析の精度が比較的高い非線形多自由度系の動的応答解析法を提供することを目的とする。

本発明は、塑性領域におけるモード間の相互作用を無視し、モードの重ね合わせにモード重ね合わせ則を仮定した上で、弾性領域の固有振動モードにより非線形多自由度系をモード展開して、非線形一自由度系の時刻歴応答解析により作製した一定塑性率応答スペクトルから得たモード塑性率を用いることにより、各モードの最大変形を把握する、非線形多自由度系の動的応答解析法に関する。

更に、多自由度の非線形系に比べ、対応する線形系の塑性率が大きくなるか判定し、非線形応答解析の簡易法として、線形応答解析を用いることが好ましい。

また、上記の非線形多自由度系の動的応答解析法は、非線形多自由度系において、ｒ次のモード変位によりばねｉ_１ ^ｒ−ｊ_１ ^ｒから、ばねｉ_ｎ ^ｒ−ｊ_ｎ ^ｒまで順次降伏する際、ｒ次の各振動数をω_ｒ、ｒ次のモード降伏変位を

、刺激係数をβ_ｒとしたとき、

によって算出されるｒ次のモード降伏加速度が、ｒ次の固有周期をＴ_ｒ、減衰比をｈ_ｒとしたときの弾性応答スペクトルａ^ｅ（Ｔ_ｒ，ｈ_ｒ）以上であることを、多自由度系の線形応答解析を多自由度系の非線形応答解析の簡易法として用いることができる条件とすることが好ましい。

また、上記の非線形多自由度系の動的応答解析法は、線形一自由度系の塑性率を、

、剛性比をγ_ｒ、構築物床の最大応答加速度をＡ_０としたとき、構築物の一次固有周期以下の一自由度系に対して、

によって定義される想定荷重係数ε（ａ_ｒ ^ｙ）が、閾値α以上であることを、多自由度系の線形応答解析を多自由度系の非線形応答解析の簡易法として用いることができる条件とすることが好ましい。

また、上記の非線形多自由度系の動的応答解析法は、系を支持する構築物の一次固有周期をＴ_ｓ、非線形多自由度系のｒ次の固有周期をＴ_ｒとしたとき、Ｔ_ｓ≦Ｔ_ｒであることを、多自由度系の線形応答解析を多自由度系の非線形応答解析の簡易法として用いることができる条件とすることが好ましい。

本発明により、計算コストが低い一方で、解析の精度が高い非線形多自由度系の動的応答解析法を提供することが可能となる。

本発明に係る解析法と時刻歴応答解析法の関係を示す図である。 非線形一自由度系における降伏点を示す図である。 線形一自由度系における降伏点を示す図である。 島根原子力発電所２号機原子炉建物で観測した鳥取県西部地震での床応答を示す図である。 島根原子力発電所２号機原子炉建物で観測した鳥取県西部地震での一定塑性率応答スペクトルを示す図である。 弾性応答スペクトル解析法による一自由度系の最大変形の求め方を示す図である。 弾塑性応答スペクトル解析法による一自由度系の最大変形の求め方を示す図である。 非線形Ｎ自由度系のモデル図の一例である。 多直線骨格曲線で表わされる荷重・モード変位関係を示す図である。 弾性応答スペクトル解析法によって多自由度系の最大変形を求める際に用いる加速度応答スペクトルを示す図である。 弾塑性応答スペクトル解析法によって多自由度系の最大変形を求める際に用いる一定塑性率応答スペクトルを示す図である。 一定塑性率床応答スペクトル上の弾完全塑性型の系の領域を示す図である。 非線形二自由度系の解析モデルと固有振動モードを示す図である。 非線形二自由度系のモデル図である。 一定塑性率床応答スペクトルに解析モデルの固有周期を追記した図である。 Ｍｏｄｅｌ Ａの塑性率の計算結果を示す図である。 Ｍｏｄｅｌ Ｂの塑性率の計算結果を示す図である。 Ｍｏｄｅｌ Ｃの塑性率の計算結果を示す図である。

＜１．発明の概要＞
耐震設計において、機器・配管系は降伏後も剛性が低下しない仮想的な系、即ち、線形系として扱いその応答を線形応答解析により求めることが一般的である。線形多自由度系の応答解析法には、時刻歴応答解析法と応答スペクトル解析法がある。前者は系の最大応答の厳密解が得られるが、解析パラメータの変化が解析結果に及ぼす影響程度の予見性がない。後者は各モードが最大応答となる同時性について仮定し、モード重ね合わせ則を用いることにより系の最大応答が得られるため、厳密解は得られないが、解析に用いる加速度応答スペクトルから各モードの最大応答が把握でき、解析パラメータの変化が解析結果に及ぼす影響程度の予見性に優れている。また、加速度応答スペクトルへの保守性の付与も容易であり、機器・配管系の耐震設計においては、応答スペクトル解析法が広く用いられている。

弾塑性応答する機器・配管系を線形系として扱うと解析は容易になるが、系に生じる履歴減衰や塑性変形による固有周期の変化が考慮できない等の課題がある。弾塑性応答する機器・配管系を実現象に即して降伏後に剛性が低下する系、即ち非線形として扱うと、その応答を非線形応答解析により求める必要がある。非線形多自由度系の応答解析法にも、時刻歴応答解析法と応答スペクトル解析法があるが、次に述べる課題がある。前者は系の最大応答の厳密解が得られるが、線形系と同じく解析パラメータの変化が解析結果に及ぼす影響程度の予見性がない。後者の代表例に等価線形化法を用いた応答スペクトル解析法がある。この解析法は系の弾塑性応答による剛性の低下と履歴減衰を、等価な線形剛性と線形減衰で表し、加速度応答スペクトルを用いて応答スペクトル解析を行う方法である。等価な線形剛性と線形減衰の与え方は幾つかの提案がなされているが、厳密解を与える時刻歴応答解析法との理論的な関係は明らかでない（非特許文献１、５、及び６）。

発明者らは、機器・配管系の耐震設計に用いる弾塑性応答評価法を提案する。発明者らは、既に、その第一段階として、一定塑性率応答スペクトル（Ｃｏｎｓｔａｎｔ ｄｕｃｔｉｌｉｔｙ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｓｐｅｃｔｒｕｍ）を分析し、地震による床応答に対する一自由度系の弾塑性応答特性について報告した（非特許文献９）。本明細書では、その第二段階として、一定塑性率応答スペクトルを用いる非線形多自由度系の応答スペクトル解析法を提案する。一定塑性率応答スペクトルは、応答により非線形一自由度系に生じる塑性率を、ある特定の値に止めるために必要な系の降伏耐力が簡単に得られるスペクトルである（非特許文献１１）。弾塑性応答スペクトルの一つであるこの応答スペクトルには、以下の特徴がある。
（１）一自由度系の弾塑性応答は、剛性の低下や履歴減衰の影響を含め応答解析により厳密に計算されている。
（２）一自由度系の弾性応答の固有周期を横軸としており、弾塑性応答の程度に係わらず着目する系の弾性応答の固有周期により、応答スペクトル上で着目する周期を特定できる。
（３）一自由度系の降伏耐力（又はこれを系の質量で除した降伏加速度）を縦軸としており、これを与えることにより、弾性応答から弾塑性応答まで連続的に系の最大応答を塑性率という形で与える。

非線形多自由度系の等価線形化法を用いた応答スペクトル解析法は、非線形多自由度系を等価な線形多自由度系に置き換え、これをモード展開して線形一自由度系の応答解析の結果を用いるものである（非特許文献４及び７）。これに対し、提案する非線形多自由度系の応答スペクトル解析法は、非線形系から線形系への置き換えを行わず、非線形多自由度系をモード展開して非線形一自由度系の応答解析の結果を用いるものである。提案する解析法と厳密解を与える時刻歴応答解析法の関係を図１に示す。この解析法の構築に当たり用いた仮定は以下の二つであり、一つ目は解析法の基礎となる運動方程式を導出するための仮定、二つ目は応答スペクトル解析を行うための仮定である。
（１）弾性応答の固有振動モードでモード展開すると、弾塑性応答により剛性が低下した際にはモード間の相互作用を生じるが、これを無視する。
（２）一定塑性率応答スペクトルからは各モードの最大応答のみ得られるため、線形多自由度系の応答スペクトル解析と同様に、モードの重ね合わせにモード重ね合わせ則を仮定する。

提案する解析法を用いると、解析に用いる一定塑性率応答スペクトルから各モードの最大応答が把握できるため、系の固有周期や地震動の変化が解析結果へ及ぼす影響程度の予見性に優れている。また、地震による床応答に対する各モードの弾塑性応答特性は、一自由度系の弾塑性応答特性として確認されている（非特許文献９）。従って、設計に用いる一定塑性率応答スペクトルへの保守性の付与や設計に用いる系の降伏耐力等の解析パラメータの保守的な設定が容易であり、この解析法を弾塑性応答する機器・配管系の耐震設計に用いることは有効であると考える。これ以降、提案する非線形多自由度系の応答スペクトル解析法を弾塑性応答スペクトル解析法といい、従来の線形多自由度系の応答スペクトル解析法を弾性応答スペクトル解析法という。

弾塑性応答する機器・配管系を実現象に即して非線形系として扱うと、その応答を非線形応答解析により求める必要があるが、非線形応答解析より線形応答解析の結果が保守的である条件が明らかであれば、非線形応答解析の簡易法として線形応答解析を用いることができる。この非線形応答解析の簡易法としての線形応答解析は、非線形応答解析より保守的な結果が得られることを担保している点で、現在の耐震設計において線形応答解析を用いていることと意味合いが異なる。非線形応答解析の簡易法としての線形応答解析の結果に対しては、非線形応答解析の結果に対して適用する許容基準を適用することができる。著者らは、一自由度の非線形系に比べ、対応する線形系の応答が大きくなるか判定する条件を明らかにしており（非特許文献１０）、この知見に基づき、本報では多自由度の非線形系に比べ、対応する線形系の応答が大きくなるか判定する条件を提案する。非線形系に対応する線形系については後述する。

＜２．一自由度系の弾塑性応答と一定塑性率応答スペクトル＞
２．１ 一自由度系の運動方程式
荷重・変形関係が二直線骨格曲線であり移動硬化則に従う復元力特性をもつ一自由度系を考える。応答が弾性領域にある系の運動方程式は次式となる。

ここで、ｘは変形、ｍは質量、ｃは減衰係数、ｋは初期剛性、ｔは時間、Ｆ（ｔ）は外力、ｘ^ｙは降伏変形である。

変形ｘが降伏変形ｘ^ｙを超えると、系が降伏する。応答が塑性領域にある系の運動方程式は次式となる。

ここで、ｋは二次剛性である。

式（１）、（２）を質量ｍで除すと次式が得られる。

ここで、

は固有角振動数、

は二次剛性に対応した固有角振動数、

は減衰比、

は入力加速度である。

式（３）、（４）を降伏変形ｘ^ｙで除すと、系の時間依存塑性率Ｄ＝ｘ／ｘ^ｙに対する運動方程式が次の通り得られる。

ここで、ａ^ｙ＝ω_ｎ ^２ｘ^ｙは系の降伏加速度である。

式（５）、（６）より、系の塑性率μ＝ｘ^ｍａｘ／ｘ^ｙ＝ｍａｘ｛｜Ｄ（ｔ）｜｝は、与えられた外力Ｆ（ｔ）に対し4つのパラメータ:ａ^ｙ、Ｔ_ｎ、ｈ、γにより定まることがわかる。ここで、ｘ^ｍａｘは最大変形、Ｔ_ｎ＝２π／ω_ｎは固有周期、γ＝ｋ’／ｋは剛性比である。

本明細書で考える一自由度系は、剛性比の範囲が０≦γ＜１の非線形一自由度系及びこれに対応する線形一自由度系とする。ここで、対応する線形一自由度系とは、非線形一自由度系と質量、初期剛性、減衰比及び降伏点が等しく、剛性比を１とした系であり、変形が降伏変形を超えても剛性が低下しない仮想的な系である。非線形一自由度系は変形が降伏変形を超えると剛性が低下する系であるが、対応する線形一自由度系はこの剛性低下が極限まで小さくなった系と考えることができる。非線形一自由度系及び対応する線形一自由度系は、各々、図２Ａ及び図２Ｂが該当し、いずれも降伏点を有する非弾性系である。従って、非線形一自由度系及び対応する線形一自由度系ともに、降伏変形を基準に系の最大変形の大きさを表す塑性率を用いて系の最大応答を表すことができる。このように、降伏点を持つ仮想的な線形一自由度系という概念を導入することにより、非線形一自由度系と対応する線形一自由度系の塑性率による応答の比較が可能となる。なお、塑性率μは、通常、弾塑性応答する系に対して用いる（μ＞１）が、弾性応答する系に対しても用いる（０≦μ＜１）ことができる。

２．２ 一定塑性率応答スペクトル
一定塑性率応答スペクトルは、外力Ｆ（ｔ）が作用する減衰比ｈ、剛性比γの一自由度系の降伏加速度ａ^ｙを、特定の塑性率μに対して固有周期Ｔ_ｎの関数ａ^ｙ（Ｔ_ｎ，ｈ，γ，μ）として図示するものである。この図は、固有周期Ｔ_ｎ毎に、外力Ｆ（ｔ）が作用する減衰比ｈ、剛性比γの一自由度系に対して降伏加速度を変化させ時刻歴応答解析を行い、その応答が特定の塑性率μとなる系の降伏加速度ａ^ｙを収束計算により求め、作成する（非特許文献３）。島根原子力発電所２号機原子炉建物で観測した鳥取県西部地震の床応答を図３に、この一定塑性率応答スペクトルを図４に示す。なお、式（５）、（６）より、系の降伏加速度ａ^ｙと入力加速度

には次式の関係があり、一定塑性率応答スペクトルは系の降伏加速度に代えて入力加速度を変化させて計算することもできる。

系の降伏耐力ｆ^ｙとするとｆｙ＝ｍａ^ｙであるため、一定塑性率応答スペクトルを用いると、系の固有周期、減衰比、剛性比及び系に許容する塑性率から、系に必要な降伏耐力を得ることができる。また、系の降伏耐力、固有周期、減衰比及び剛性比から、系に生じる塑性率を得ることができる。一定塑性率応答スペクトルは必要耐力スペクトルともいわれ、前者の使い方をすることが多いが、本明細書では後者の使い方をする。

一定塑性率応答スペクトルａ^ｙ（Ｔ_ｎ，ｈ，γ，μ）と加速度応答スペクトルＡ（Ｔ_ｎ，ｈ）の関係を考える。加速度応答スペクトルＡ（Ｔ_ｎ，ｈ）は、外力Ｆ（ｔ）が作用する減衰比ｈの線形一自由度系の最大応答加速度Ａを、固有周期Ｔ_ｎの関数として図示するものである。系が弾性に止まるために必要な降伏加速度ａ^ｅは，塑性率μ＝１の一定塑性率応答スペクトルにより与えられる。このスペクトルを次式の通り弾性応答スペクトルａ^ｅ（Ｔ_ｎ，ｈ）と定義する。

この弾性応答スペクトルａ^ｅ（Ｔ_ｎ，ｈ）は、次式の通り加速度応答スペクトルＡ（Ｔ_ｎ，ｈ）に一致する。（厳密には弾性応答スペクトルは疑似加速度応答スペクトルと一致する。疑似加速度応答スペクトルと加速度応答スペクトルは近似的に等しい（非特許文献３）。）

一定塑性率応答スペクトルは、通常、塑性率μが１より大きい弾塑性応答する系に対して描くが、塑性率μが１以下の弾性応答に止まる系に対しても描くことができる。弾性応答に止まる系の応答は線形応答であり、また、弾塑性応答するが降伏後も剛性が低下しない仮想的な系の応答も線形応答である。系が弾性に止まるために必要な降伏加速度ａ^ｅ＝ω_ｎ ^２ｘ^ｍａｘと系の降伏加速度ａ^ｙ＝ω_ｎ ^２ｘ^ｙを用いると、線形応答する系の塑性率μ＝ｘ^ｍａｘ／ｘ^ｙは次式で与えられる。

従って、線形応答する系の一定塑性率応答スペクトルａ^ｙ（Ｔ_ｎ，γ，ｈ；μ）は、弾性応答スペクトルａ^ｅ（Ｔ_ｎ，ｈ）を用いて次式で与えられる。

２．３ 応答スペクトル解析法
弾性応答スペクトル解析法と弾塑性応答スペクトル解析法による一自由度系の最大変形の求め方を図５Ａ及び図５Ｂを用いて示す。

まず、弾性応答スペクトル解析法について説明する。図５Ａのグラフは、加速度応答スペクトルを示す。このスペクトルより、最大加速度Ａ＝Ａ（Ｔ_ｎ，ｈ）が得られる。更に、最大加速度Ａから、最大変形量ｘ^ｍａｘ＝Ａ／ω_ｎ ^２が得られる。

次に、弾塑性応答スペクトル解析法について説明する。図５Ｂのグラフは、一定塑性率応答スペクトルを示す。このスペクトルより、塑性率μ＝μ（ａ^ｙ，Ｔ_ｎ，ｈ，γ）が得られる。更に、この塑性率μから、最大変形量ｘ^ｍａｘ＝μｘ^ｙが得られる。仮に系が線形であれば、
ｘ^ｍａｘ＝μｘ^ｙ＝（ａ^ｅ／ａ^ｙ）ｘ^ｙ＝ａ^ｅ／（ω_ｎ ^２）
となる。ここで、式（１１）よりμ＝ａ^ｅ／ａ^ｙである。

なお、Ａは最大応答加速度、ａ^ｅは、弾性系に必要とされる降伏加速度、ａ^ｙは系の降伏加速度、ｈは、系の減衰比、Ｔ_ｎは系の固有周期、ｘ^ｙは、系の降伏変形量、ｘ^ｍａｘは最大変形量、μは塑性率、ω_ｎは系の固有角振動数である。

系が線形である場合、式（９）より弾性応答スペクトル解析法と弾塑性応答スペクトル解析法から得られる結果は一致する。弾塑性応答スペクトル解析法を用いると、系の降伏加速度ａ^ｙが弾性系であるために必要な降伏加速度ａ^ｅを上回る場合、下回る場合のいずれにおいても、非線形一自由度系の時刻歴応答解析により作成した一定塑性率応答スペクトルから塑性率μが得られ、これより系の最大変形を求めることができる。

＜３．非線形多自由度系の弾塑性応答スペクトル解析法＞
一定塑性率応答スペクトルは、一自由度系の弾性応答の固有周期と降伏加速度を与えることにより、弾性応答から弾塑性応答まで連続的に系の最大応答を塑性率という形で与える。この優れた特性を有する一定塑性率応答スペクトルを用いる非線形多自由度系の応答スペクトル法を考える。

線形Ｎ自由度系をモード展開すると、式（３）の形式のモード変位に対する独立したＮ個の線形一自由度系の運動方程式が得られる。これらの式に基づき、各モードの最大応答加速度を加速度応答スペクトルから読み取り、モード重ね合わせ則を用いて系の最大応答を求める解析法が、従来の弾性応答スペクトル解析法である。著者らは、非線形Ｎ自由度系をモード展開し、モード座標系において新たに定義したモード降伏変位及びモード降伏加速度を用いて、式（５）、（６）の形式の時間依存モード塑性率に対する独立したＮ個の非線形一自由度系の運動方程式を得た。これらの式に基づき、各モードのモード塑性率を一定塑性率応答スペクトルから読み取り、モード重ね合わせ則を用いて系の最大応答を求める方法を開発した。開発した弾塑性応答スペクトル解析法を以下に示す。

３．１ 線形多自由度系のモード展開
Ｎ個の質点を線形ばねで、互いに又は床と結合した線形Ｎ自由度系を考える。質点ｉの質量をｍ_ｉ、質点ｉ−ｊ間のばねｉ−ｊの剛性をｋ_ｉｊとすると、この系の運動方程式は次式となる（ｉ，ｊ＝１，２・・・Ｎ）。ただし、質点ｉ−ｉ間のばねｉ−ｉは質点ｉと床の間のばねを表す。

ここで、

｛Ｘ｝は変位ベクトル、[Ｍ]は質量行列、[Ｃ]は減衰行列、[Ｋ]は剛性行列、

は外力Ｆ（ｔ）の加速度ベクトルを示す。

ここで、行列の各列が系の固有角振動数ω_ｉに対応する固有振動モード[Φ]_ｉ＝｛φ_ｉ｝である行列[Φ]を定義する。Ｎ自由度系の変位ベクトル｛Ｘ｝はモードの重ね合わせとして、次式で表すことができる。

式（１２）と（１５）より、モード座標｛ｑ｝の運動方程式が次のように得られる。

ここで、ω_ｒ，ｈ_ｒ，β_ｒは，各々ｒ次のモード角振動数、モード減衰比及び刺激係数である。

式（１６）をβ_ｒで除すとモード座標｛η｝の運動方程式が次のように得られる。ここで、η_ｒ＝ｑ_ｒ／β_ｒである。

３．２ 非線形多自由度系のモード展開
前節の線形Ｎ自由度系のばねを非線形ばねとした非線形Ｎ自由度系を考える。非線形ばねは、荷重・変形関係が二直線骨格曲線であり移動硬化則に従う復元力特性を持つとする。一例として非線形Ｎ自由度系のモデル図を図６に示す。応答が弾性領域である系の運動方程式は、式（１２）、（１６）及び（１７）に等しい。次に、非線形Ｎ自由度系の応答が弾性領域から塑性領域に入り、ばねｉ_１−ｊ_１からばねｉ_ｎ−ｊ_ｎでまで順次降伏する運動を考える。この運動は、ばねｉ−ｊの降伏変形をｘ_ｉｊ ^ｙ、降伏したばねの二次剛性をｋ’_ｉｊとすると、以下のように記述することができる。

ばねｉ_１−ｊ_１の変形が降伏変形

となり非線形Ｎ自由度系に最初の降伏が生じる。次にばねｉ_２−ｊ_２の変形が降伏変形

となり系に２番目の降伏が生じる。そして、系の降伏が進みｎ番目の降伏がばねｉ_ｎ−ｊ_ｎで生じる。このとき、非線形Ｎ自由度系のｎ箇所が降伏し塑性領域にある運動方程式は次式となる。

ここで、

式（１８）の左辺の第３項以降のｎ＋１個の項が、ｎ箇所が降伏した系の復元力を表す。モード座標｛ｑ｝において、ばねｉ−ｊのモード降伏変位ｑ_ｒ ^{ｙ（ｉｊ）}を導入することとし、その定義は次式とする。

ｒ次のモード変位がｑ_ｒ ^{ｙ（ｉｊ）}となると、ｒ次の固有振動モード｛φ_ｒ｝の変位によりばねｉ−ｊが降伏する。式（１８）に式（１５）を代入し、式（１８）の各項に前から｛Φ｝^Ｔを乗じて式（２１）を用いると、モード座標｛ｑ｝の運動方程式が次のように得られる。

ここで、

である。

３．３ モード間の相互作用のない非線形多自由度系の運動方程式
前節で得たモード座標｛ｑ｝の塑性領域の運動方程式（２２）は、左辺第３項の総和のうちｓ≠ｒであるＮ−１個の項が、ｒ次モードと他のモードの相互作用を表す。また、降伏したばねｉ_１−ｊ_１からばねｉ_ｎ−ｊ_ｎは、ｒ次モードの応答のみにより降伏したものではなく、各モードの応答を重ね合わせた全応答により、各ばねがその降伏変位となり降伏したものである。

最初に、モード間の相互作用を陽に含まないモード座標｛ｑ｝の運動方程式を得るために次式の仮定をする。

この仮定を用いると、式（２２）よりモード座標｛ｑ｝の運動方程式が次のように得られる。

ここで、ω_ｒ ^２＝Ｋ_φｒ／Ｍ_φｒ、

である。

式（２５）をβ_ｒで除すと、モード座標｛η｝の運動方程式が次のように得られる。ここで、

である。

次に、ｒ次モードのみ運動する非線形Ｎ自由度系を仮想的に考える。この系の応答が弾性領域から塑性領域に入り、ばねｉ_１ ^ｒ−ｊ_１ ^ｒからばねｉ_ｎ ^ｒ−ｊ_ｎ ^ｒまで順次降伏する運動を考えると、この運動は以下のように記述することができる。

ｒ次モードによる非線形Ｎ自由度系の変位はη_ｒβ_ｒ｛φ_ｒ｝で与えられる。η_ｒを０から大きくすると、ばねｉ_１ ^ｒ−ｊ_１ ^ｒの変形が降伏変形

となり系に最初の降伏が生じる。次にばねｉ_２ ^ｒ−ｊ_２ ^ｒの変形が降伏変形

となり系の２番目の降伏が生じる。そして、系の降伏が進みｎ’番目の降伏がばねｉ_ｎ’ ^ｒ−ｊ_ｎ’ ^ｒで生じる。非線形Ｎ自由度系のｎ’箇所が降伏し塑性領域にある運動方程式は次式となる。

式（２６）と（２７）において、（ｉ_ｏｊ_ｏ）と（ｉ_ｏ ^ｒｊ_ｏ ^ｒ）は各々系のうちｏ番目に降伏が生じるばねを表す。（ｉ_ｏｊ_ｏ）は全てのモードの応答の重ね合わせにより降伏が生じるばねを表すのに対し、（ｉ_ｏ ^ｒｊ_ｏ ^ｒ）はｒ次モードのみの応答により降伏が生じるばねを表すため、両式は一般に等しくないが、式（２６）をモード間の相互作用がない、即ち各モードの運動を独立して規定する式（２７）に置き換えることとする。

式（２７）より、モード座標｛η｝の各モードは、荷重・モード変位関係が多直線骨格曲線であり移動硬化則に従う復元力特性を持つことがわかる。この復元力特性を単純化するため、多直線骨格曲線を図７に示すように弾性剛性がＫ_φｒで二次剛性がＫ”_φｒである二直線骨格曲線で近似する。この近似により式（２７）から次式が得られる。

ここで、

η_ｒ ^ｍａｘ＝ｍａｘ｛｜η_ｒ（ｔ）｜｝はｒ次のモード変位η_ｒの最大値で、Ｋ”_φｒはη_ｒ ^ｍａｘの関数となる。式（１７）と（２８）がη_ｒ ^ｍａｘを与えるためη_ｒ ^ｍａｘは収束計算により得ることができる。時間依存モード塑性率を

とすると、式（１７）と（２８）を

で除すと、時間依存モード塑性率Ｄ_ｒ（ｔ）の運動方程式が次の通り得られる。

ここで、

はモード降伏加速度である。Ｄ_ｒ（ｔ）とａ_ｒ ^ｙは各々ｒ次で最初に降伏するばねｉ_１ ^ｒ−ｊ_ｉ ^ｒの時間依存モード塑性率とモード降伏加速度であるが、これを単にｒ次の時間依存モード塑性率とモード降伏加速度という。

３．４ 弾塑性応答スペクトル解析法
式（３０）、（３１）より、ある外力に対するｒ次のモード塑性率μ_ｒ＝ｍａｘ｛｜Ｄ_ｒ（ｔ）｜｝は次式で表される。

ここで、

である。

式（３０）と（３１）は式（５）と（６）と同じ形式である。従って、ｒ次のモード塑性率μ_ｒは、モード減衰比ｈ_ｒ、モード剛性比γ_ｒの一定塑性率応答スペクトルを用いて、モード降伏加速度ａ_ｒ ^ｙと固有周期Ｔ_ｒから得ることができる。ばねｉ−ｒのｒ次の時間依存モード塑性率Ｄ_ｒ ^ｉｊ（ｔ）＝η_ｒ（ｔ）／η_ｒ ^{ｙ（ｉｊ）}及びモード塑性率μ_ｒ ^ｉｊ＝ｍａｘ｛｜Ｄ_ｒ ^ｉｊ（ｔ）｜｝は、

より次式で表すことができる。

ばねｉ−ｊの時間依存塑性率Ｄ_ｉｊ＝ｘ_ｉ−ｘ_ｊ／ｘ_ｉｊ ^ｙは、モード変位の定義式（２１）から、ばねｉ−ｊのｒ次の時間依存モード塑性率Ｄ_ｒ ^ｉｊと次の関係にあることがわかる。

従って、モード重ね合わせ則を用いると、ばねｉ−ｊの塑性率μ_ｉｊ＝ｍａｘ｛｜Ｄ_ｉｊ（ｔ）｜｝は次の通り得ることができる。

以上が、発明者らが開発した非線形多自由度系の弾塑性応答スペクトル解析法である。この解析法は、弾性領域の固有振動モードにより非線形多自由度系をモード展開し、塑性領域においてもモード間の相互作用がないとの仮定及びモード重ね合わせ則の仮定を用いて導出したものであり、線形多自由度系の応答スペクトル解析法を、一定塑性率応答スペクトルを用いて非線形多自由度系の応答スペクトル解析法に拡張したものといえる。また、解析に用いる一定塑性率応答スペクトルにあわせて、荷重・モード変位関係は多直線骨格曲線を二直線骨格曲線で近似した。二直線骨格曲線の二次剛性の違いは一定塑性率応答スペクトルにさほど大きな影響を与えないため（非特許文献９）、解析に用いる二直線骨格曲線の解析結果への影響は小さいと考える。

弾性応答スペクトル解析法と弾塑性応答スペクトル解析法による多自由度系の最大変形の求め方を図８Ａ及び図８Ｂを用いて示す。

まず、弾性応答スペクトル解析法について説明する。図８Ａのグラフは、加速度応答スペクトルを示す。このスペクトルより、ｒ次の最大加速度Ａ_ｒ＝Ａ（Ｔ_ｒ，ｈ_ｒ）が得られる。更に、ｒ次の最大加速度Ａ_ｒからｒ次のモードでの質点ｉの変位ｘ_ｉ ^ｒ＝（Ａ_ｒβ_ｒφ_ｒｉ）／ω_ｒ ^２が得られる。また、モード重ね合わせ則により、ばねｉ−ｊの最大変形量

が得られる。

次に、弾塑性応答スペクトル解析法について説明する。図８Ｂのグラフは、一定塑性率応答スペクトルを示す。このスペクトルより、ｒ次モードの塑性率μ_ｒ＝μ（ａ_ｒ ^ｙ，Ｔ_ｒ，ｈ_ｒ，γ_ｒ）が得られる。更に、この塑性率μ_ｒから、ばねｉ−ｊのｒ次モードの塑性率

が得られる。

モード重ね合わせ則により、ばねｉ−ｊの塑性率は、

となる。

塑性率μ_ｉｊから、ばねｉ−ｊの最大変形量

が得られる。

仮に系が線形であるなら、

となる。ここで、式（１１）より、

である。

なお、Ａ_ｒはｒ次モードでの最大応答加速度、ａ_ｒ ^ｅは弾性系に必要とされるｒ次モードの降伏加速度、ａ_ｒ ^ｙは系のｒ次のモード降伏加速度、ｈ_ｒは系のｒ次のモード減衰比、ｉ，ｊは質点の番号（１・・・Ｎ）、ｒはモードの次数（１・・・Ｎ）、Ｔ_ｒは系のｒ次の固有周期、ｘ_ｉ ^ｒはｒ次モードにおける質点ｉの変位、ｘ_ｉｊ ^ｍａｘは、ばねｉ−ｊの最大変形量、ｘ_ｉｊ ^ｙはばねｉ−ｊの降伏変形量、

は、モード重ね合わせ則、β_ｒは、ｒ次モードの刺激係数、γ_ｒはｒ次モードの剛性率、η_ｒ ^{ｙ（ｉｊ）}は、ばねｉ−ｊの降伏時におけるｒ次モードの変位、

は、ばねｉ_１ ^ｒ−ｊ_１ ^ｒの降伏時におけるｒ次モードの変位であり、ばねｉ_１ ^ｒ−ｊ_１ ^ｒは、ｒ次モード変位により、系において最初に降伏するばねのことである。また、μ_ｉｊは、ばねｉ−ｊの塑性率、μ_ｒはｒ次のモード塑性率、μ_ｒ ^ｉｊはばねｉ−ｊのｒ次のモード塑性率、｛φ_ｒ｝は系のｒ次の固有モード、ω_ｒは系のｒ次の固有角振動数である。

系が線形である場合、式（９）より弾性応答スペクトル解析法と弾塑性応答スペクトル解析法から得られた結果は一致する。弾塑性応答スペクトル解析法を用いると、系のモード降伏加速度ａ_ｒ ^ｙが弾性系であるために必要な降伏加速度ａ^ｅを上回る場合、下回る場合のいずれにおいても、非線形一自由度系の時刻歴応答解析により作成した一定塑性率応答スペクトルからモード塑性率μ_ｒが得られ、これより各モードの最大変形を求めることができる。

＜４．床応答による非線形系と対応する線形系の塑性率＞
地震による床応答に対して、一自由度の非線形系より対応する線形系の塑性率が大きくなるか判定する条件が確認されている（非特許文献１０）。この一自由度系の判定条件を用い、地震による床応答に対して、多自由度の非線形系より対応する線形系の塑性率が大きくなるか判定する条件を検討する。

４．１ 一自由度系の塑性率
地震による床応答により弾塑性応答する、即ち、降伏加速度ａ^ｙが

である非線形一自由度系の塑性率μと対応する線形一自由度系の塑性率

を比較する。非線形一自由度系の降伏加速度ａ^ｙ及び固有周期Ｔ_ｎが

であるとき、

が成り立つ。この関係は、構築物の床応答に対する一定塑性率応答スペクトル（以下、一定塑性率床応答スペクトルという）と構築物の床応答に対する弾性応答スペクトル（以下、弾性床応答スペクトルという）を分析した結果から得られたものである（非特許文献１０）。ここで、Ｔ_ｓは一自由度系を支持する構築物の一次固有周期、ε（ａ^ｙ）は構築物の一次固有周期以下の一自由度系に対して、次式で定義する想定荷重係数である。

ここで、Ｆ_０＝ｍａｘ｛Ｆ（ｔ）｝は外力最大値、Ａ_０は構築物床の最大応答加速度である。

想定荷重係数ε（ａ^ｙ）は、外力最大値Ｆ_０に対する想定荷重

の比を表す。想定荷重は、非線形一自由度系に対応する線形一自由度系と同じ塑性率が生じると想定した場合の荷重の大きさを表す。想定荷重係数が１より大きいということは、応答により系に作用する荷重が外力最大値Ｆ_０から増幅すると想定されることを意味し、その大きさが想定荷重の増幅の程度を表す。対応する線形一自由度系の塑性率

は次式で与えられる。

ここで、

は、弾性床応答スペクトルａ^ｅ（Ｔ_ｎ，ｈ）を拡幅率Δ（＞０）で周期軸短周期方向に拡幅したスペクトルであり、塑性率

は

に相当する床応答により、対応する線形一自由度系に生じる塑性率である。図４より、塑性率μが１より大きい一定塑性率床応答スペクトルは、弾性床応答スペクトルの応答増幅領域のうち長周期側に比べ短周期側で大きくなる傾向があり（例えば、図４の０．２ｓ付近）、弾性床応答スペクトルａ^ｅ（Ｔ_ｎ，ｈ）の周期軸短周期方向への拡幅はこれに対応するためのものである。発明者らは地震観測記録の一定塑性率床応答スペクトルを検討し、想定荷重係数の閾値 α及び拡幅率Δとして各々１．５及び０．１を推奨した（非特許文献１０）。

式（３８）の条件を満たす弾完全塑性型の系（γ＝０）の領域を図９の一定塑性率床応答スペクトル上に示す。この図で、弾性床応答スペクトルより上の領域は弾性応答領域であり、弾性応答スペクトルより下の領域は弾塑性応答領域である。弾塑性応答領域は、式（３８）の条件により領域Ｉと領域ＩＩに区分される。式（３８）の条件を満たす領域Ｉは、弾性床応答スペクトルの応答増幅領域及び構築物の一次固有周期より長周期領域を示しており、この領域にある系は

となる。一方、領域Ｉとの境界に近い領域を除く領域ＩＩにある系は

となる。また、剛性比γの系は想定荷重が降伏耐力ｆ^ｙの

倍となるため、図９の領域Ｉと領域ＩＩの境界は

となる。

なお、地震による床応答により弾性応答する、即ち、降伏加速度ａ^ｙが

である一自由度系の応答は線形応答であり、その塑性率μは式（１０）により与えられるため式（３９）を満たす。

４．２ 多自由度系の塑性率
一自由度の非線形系と対応する線形系の塑性率の関係を、多自由度の非線形系と対応する線形系のモード塑性率の関係に当てはめる。式（３７）から（４２）より、モード降伏加速度ａ_ｒ ^ｙ及び固有周期Ｔ_ｒが次の判定条件

を満足するとき、非線形多自由度系のｒ次のモード塑性率μ_ｒは対応する線形多自由度系のｒ次のモード塑性率

以下となる。即ち、

が成り立つ。ここで、対応する線形多自由度系とは、非線形多自由度系の各非線形ばねを降伏後も剛性が低下しないばね、即ち剛性比１のばねとした系であり、そのモード塑性率

は次式で与えられる。

このとき、非線形多自由度系のばねｉ−ｊのｒ次のモード塑性率μ_ｒ ^ｉｊは、次式に示す通り、対応する線形多自由度系のばねｉ−ｊのｒ次のモード塑性率

以下となる。

以上より、各モードの固有周期Ｔ_ｒ及びモード降伏加速度ａ_ｒ ^ｙが式（４３）の判定条件を満たすとき、非線形多自由度系の弾塑性応答スペクトル解析法により得られるばねｉ−ｊの塑性率は、次式に示す通り、対応する線形多自由度系の弾性応答スペクトル解析により得られるばねｉ−ｊの塑性率以下となる。

従って、弾塑性応答スペクトル解析法がよい精度で解析結果を与える場合、式（４３）の判定条件により、多自由度の非線形系より、対応する線形系の塑性率が大きくなるか判定することができる。この判定条件が有効であれば、この判定条件を満たす場合、多自由度系の線形応答解析を多自由度系の非線形応答解析の簡易法として用いることができる。

＜５．床応答に対する非線形二自由度系の動的応答解析＞
機器・配管系の設計に適用する許容塑性率として、重量機器に対し１．２〜２、配管系に対し１．５〜３、鋼材の引張りと曲げに対して２．５〜１０等が提案されている（非特許文献８）。この程度の塑性率を生じる系の動的応答解析に、弾塑性応答スペクトル解析法を適用することを想定し、その有効性を確認するため、床応答に対する非線形二自由度系の塑性率を弾塑性応答スペクトル解析法及び時刻歴応答解析法により計算する。また、対応する線形二自由度系の塑性率を、拡幅率Δ＝０．１の弾性床応答スペクトルを用いて弾性応答スペクトル解析法により計算する。

５．１ 解析モデルと条件
解析する非線形二自由度系は、２個の質点を非線形ばねで、互いに又は床と結合した系とし、非線形ばねは荷重・変形関係が二直線骨格曲線であり移動硬化則に従う復元力特性を持つとする。解析モデルと固有振動モード及びモデル図を図１０、１１に示す（ｍ_１＝ｍ_２＝１ｋｇ，ｋ_１１＝ｋ_１２＝ｋ，ｋ_２２＝２ｋ，ｆ_１１ ^ｙ＝ｆ_１２ ^ｙ＝ｆ_２２ ^ｙ＝２Ｎ，γ＝０．２，ｈ＝０．０２）。外力は、図３に示す島根原子力発電所２号機原子炉建物（１次固有周期Ｔ_ｓ：０．２１ｓ，２次固有周期：０．１３ｓ)で観測した鳥取県西部地震の床応答（ＮＳ−２Ｒ／Ｂｃｈ２４を係数倍したものとした。床応答（ＮＳ−２Ｒ／Ｂｃｈ２４）の一定塑性率床応答スペクトルに解析モデルの固有周期を追記した図を図１２に示す。Ｍｏｄｅｌ Ａは建物の一次モードを超えた領域および建物の一次モードにより床応答の増幅が大きい領域（スペクトルの山領域）に固有周期を持つ系、Ｍｏｄｅｌ Ｂは建物の一次及び二次モードにより床応答の増幅が大きい領域（スペクトルの山領域）に固有周期を持つ系、Ｍｏｄｅｌ Ｃは建物の振動モードから外れ床応答の増幅が小さい領域（スペクトルの谷領域）に固有周期を持つ系である。これらのモデルで最初に降伏するばねは一次モード、二次モード共に、Ｓｐｒｉｎｇ２−２である。

５．２ 解析結果
ＭｏｄｅｌＡ，Ｂ及びＣの塑性率の計算結果を図１３Ａ〜１３Ｃに示す。ＥＰ−ＲＳＡ（棒グラフとバー付き点線）、Ｅ−ＲＳＡ（実線と一点鎖線）及びＲＨＡ（バー付き二点鎖線）は、各々、弾塑性応答スペクトル解析、弾性応答スペクトル解析及び時刻歴応答解析から得られた塑性率を示す。弾塑性応答スペクトル解析から得られた一次と二次のモード塑性率を各々棒グラフの黒と白で示しており、モード重ね合わせ則を絶対値和則とした塑性率は積み重ね棒グラフで、モード重ね合わせ則をＳＲＳＳ則とした塑性率はバー付き点線で示す。弾性応答スペクトル解析から得られた塑性率は直線であり、モード重ね合わせ則を絶対値和則とした塑性率は実線で、モード重ね合わせ則をＳＲＳＳ則とした塑性率は一点鎖線で示す。塑性率はモード重ね合わせ則を絶対値和則とした値よりＳＲＳＳ則とした値が小さい。また、ＥＬは系が弾性限界となる外力を示し、ＥＬ×１．５，２，３，６は系が弾性限界となる外力の各々１．５，２，３，６倍の外力を示す。あわせて、Ｍｏｄｅｌ Ａについては２次の想定荷重係数ε_２＝ε（ａ_２ ^ｙ）を、ＭｏｄｅｌＢ，Ｃについては１次と２次の想定荷重係数のうち値が小さい１次の想定荷重係数ε_１＝ε（ａ_１ ^ｙ）を、各ＭｏｄｅｌのＳｐｒｉｎｇ２−２の図に白丸付き点線で示した。なお、Ｍｏｄｅｌ Ａの1次固有周期はＴ_ｓ＜Ｔ_１であり想定荷重係数を定義していない周期帯にある。

５．３ 弾塑性応答スペクトル解析法の有効性
Ｍｏｄｅｌ Ａ，Ｂは、時刻歴応答解析から得られた各ばねの塑性率が弾性応答スペクトル解析から得られた塑性率より小さく、地震力の増加に対する塑性率の増加が小さい傾向にある。これは、Ｍｏｄｅｌ Ａ，Ｂが床応答の増幅が大きい領域に固有周期を持つ系であり、履歴減衰の効果が大きいためであると理解できる。Ｍｏｄｅｌ Ｃは、時刻歴応答解析から得られた各ばねの塑性率が弾性応答スペクトル解析から得られた塑性率より大きく、地震力の増加に対する塑性率の増加が大きい傾向にある。これは、Ｍｏｄｅｌ Ｃが床応答の増幅が小さい領域に固有周期を持つ系であり、履歴減衰の効果が小さいためであると理解できる。

弾性応答スペクトル解析と弾塑性応答スペクトル解析の結果を比較すると、弾塑性応答スペクトル解析の結果は、いずれのモデルにおいても時刻歴応答解析から得られた各ばねの塑性率に近く（Ｍｏｄｅｌ ＣのＳｐｒｉｎｇ１−２を除く）、前述の時刻歴応答解析から得られた地震力の増加に対する各ばねの塑性率の増加の傾向を表している。これは、弾塑性応答スペクトル解析の結果に履歴減衰等の弾塑性応答特性が適切に反映されていること、従って、非線形系の弾塑性応答を弾性領域の固有振動モードにより理解できることを示している。

線形多自由度系のモードの重ね合わせでは、絶対値和則は時刻歴応答解析の応答値以上の値を与える。しかし、非線形多自由度系の弾塑性応答スペクトル解析において絶対値和則を用いた各ばねの塑性率は、時刻歴応答解析から得られた塑性率を概ね上回るが、一部に下回るものがある。これは、この解析法の構築に当たり用いたモード間の相互作用がないと仮定した影響と考えられる。時刻歴応答解析に対する弾塑性応答スペクトル解析（モード重ね合わせ則：絶対値和則）の塑性率の比の最低値は、Ｍｏｄｅｌ Ａで０．９７（Ｓｐｒｉｎｇ２−２，ＥＬ×１．５）、Ｍｏｄｅｌ Ｂで０．８４（Ｓｐｒｉｎｇ２−２，ＥＬ×６）、そしてＭｏｄｅｌ Ｃで０．７３（Ｓｐｒｉｎｇ２−２，ＥＬ×３）である。

本章で実施した非線形二自由度系の弾塑性応答スペクトル解析（モード重ね合わせ則：絶対値和則、ＳＲＳＳ則）が、以下の解析モデル、解析条件及び解析結果であることを考えると、耐震設計に弾塑性応答スペクトル解析（モード重ね合わせ則：絶対値和則、ＳＲＳＳ則）を用いる場合、塑性率の算出結果は最大３割程度非保守的になることがあると考える。
（１）系が弾性限界となる外力の６倍までの外力で加振していること
（２）Ｍｏｄｅｌ Ａ，Ｂ，Ｃは各々床応答スペクトルの特徴的な領域に固有周期を持つ系であること
（３） これらの解析結果にはばね１か所が降伏する応答、ばね２か所が降伏する応答、ばね３か所全てが降伏する応答を含んでいること
（４） 機器・配管系の耐震設計に適用する上限程度までの塑性率が系に生じていること

耐震設計において、応答値である塑性率の３割程度の過小評価は、一定塑性率応答スペクトルの拡幅や許容値に考慮する安全率等により設計上の保守性は十分担保することが可能であり、弾塑性応答スペクトル解析法は耐震設計に用いる機器・配管系の動的応答解析法として有効であると考える。

また、弾塑性応答スペクトル解析の塑性率が過小となり、比較的精度が悪くなるＭｏｄｅｌＣ、外力ＥＬ×２〜６の解析ケース（Ｓｐｒｉｎｇ２−２）は、いずれも１次の想定荷重係数ε_１が１．５以下と他の解析ケースに比べて小さい。また、Ｍｏｄｅｌ Ａ，Ｂの解析ケース（Ｓｐｒｉｎｇ２−２，ＥＬ×６）においても、想定荷重係数の低下に伴い、時刻歴応答解析の塑性率に比べ弾塑性応答スペクトル解析の塑性率が過小となる傾向がある。想定荷重係数が小さい、即ち構築物の一次固有周期以下のモードに作用する荷重の増幅が小さい場合、モード間の相互作用がないと仮定した影響により、弾塑性応答スペクトル解析法の精度が非保守側に悪くなる。

５．４ 簡易法としての線形応答解析の有効性
多自由度の非線形系より対応する線形系の塑性率が大きくなるか、判定する条件の有効性を解析結果から確認する。解析モデルと外力毎に（系が弾性限界であるＥＬ×１は除く）、判定条件式（４３）への適合性を確認した結果を表１に示す。ここでα＝１．５とした。Ｍｏｄｅｌ Ａ，Ｂの全ての外力の解析ケース及びＭｏｄｅｌ ＣのＥＬ×１．５の外力の解析ケースが判定条件式（４３）を満たす。図１３Ａ〜１３Ｃより、これら判定条件を満たす全ての解析ケースで、弾塑性応答スペクトル解析より弾性応答スペクトル解析が大きな塑性率を与える（同じモード重ね合わせ則で比較）こと、さらに、時刻歴応答解析より弾性応答スペクトル解析が大きな塑性率を与えることがわかる。なお、Ｍｏｄｅｌ Ａ，ＥＬ×１．５，２，Ｍｏｄｅｌ Ｃ，ＥＬ×1.5の弾塑性応答スペクトル解析においてモード重ね合わせ則がＳＲＳＳ則の塑性率は、時刻歴応答解析の塑性率より少し小さいが、これはＳＲＳＳ則の精度の影響と考える。

＜６ 本実施形態の効果＞
発明者らは、非線形多自由度系の動的応答解析法として弾塑性応答スペクトル解析法を開発した。この解析法は、線形多自由度系の動的応答解析法である弾性応答スペクトル解析法を、一定塑性率応答スペクトルを用いて非線形多自由度系の動的応答解析法に拡張したものであり、新たに定義した時間依存モード塑性率に対する非線形一自由度系の運動方程式を基礎とするものである。荷重・変形関係が二直線骨格曲線である非線形二自由度系について、弾塑性応答スペクトル解析法と時刻歴応答解析法により動的応答解析を行った結果は、一定の精度で合致した。弾塑性応答スペクトル解析法は、弾塑性応答する多自由度系の動的応答解析法として、また、このような系の応答を弾性領域のモード概念により理解する上で有効であると考える。

さらに発明者らは、多自由度の非線形系に比べ、対応する線形系の塑性率が大きくなるか判定することのできる判定条件を提案した。この判定条件を満たす場合、多自由度系の線形応答解析を多自由度系の非線形応答解析の簡易法として用いることができる。

とりわけ、機器・配管系は、耐震設計において降伏後も剛性が低下しない仮想的な系、即ち、線形系として扱いその応答を線形応答解析により求めることが一般的であるが、系に生じる履歴減衰を考慮できないため、過度に保守的な耐震設計となることが多い。本手法による耐震設計が可能となれば、系に生じる履歴減衰を考慮した合理的な耐震設計が可能となる。また、本解析法は地震応答解析だけでなく、非線形多自由度系の動的応答解析全般に適用可能な解析法である。

以上、本発明の好適な実施形態について説明したが、本発明は、上述した実施形態に限定されることなく、種々の形態で実施することができる。

Claims (5)

1. 塑性領域におけるモード間の相互作用を無視し、モードの重ね合わせにモード重ね合わせ則を仮定した上で、弾性領域の固有振動モードにより非線形多自由度系をモード展開して、非線形一自由度系の時刻歴応答解析により作製した一定塑性率応答スペクトルから得たモード塑性率を用いることにより、各モードの最大変形を把握する、非線形多自由度系の動的応答解析法。
2. 更に、多自由度の非線形系に比べ、対応する線形系の塑性率が大きくなると判定された場合に、多自由度系の非線形応答解析の簡易法として、多自由度系の線形応答解析を用いる、請求項１に記載の動的応答解析法。
3. 非線形多自由度系において、ばねｉ_１ ^ｒ−ｊ _１ ^ｒから、ばねｉ_ｎ ^ｒ−ｊ_ｎ ^ｒまで順次降伏する際、ｒ次の各振動数をω_ｒ、ｒ次のモード変位を
   

   

   、刺激係数をβ_ｒとしたとき、
   

   

   によって算出されるｒ次のモード降伏加速度が、ｒ次の固有周期をＴ_ｒ、減衰比をｈ_ｒとしたときの弾性応答スペクトルａ^ｅ（Ｔ_ｒ，ｈ_ｒ）以上であることを、多自由度系の線形応答解析を多自由度系の非線形応答解析の簡易法として用いることができる条件とする、請求項２に記載の動的応答解析法。
4. 線形一自由度系の塑性率を、
   

   

   
   、剛性比をγ_ｒ、構築物床の最大応答加速度をＡ_０としたとき、構築物の一次固有周期以下の一自由度系に対して、
   

   

   
   によって定義される想定荷重係数ε（ａ_ｒ ^ｙ）が、閾値α以上であることを、多自由度系の線形応答解析を多自由度系の非線形応答解析の簡易法として用いることができる条件とする、請求項２に記載の動的応答解析法。
5. 系を支持する構築物の一次固有周期をＴ_ｓ、非線形多自由度系のｒ次の固有周期をＴ_ｒとしたとき、Ｔ_ｓ≦Ｔ_ｒであることを、多自由度系の線形応答解析を多自由度系の非線形応答解析の簡易法として用いることができる条件とする、請求項２に記載の動的応答解析法。

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