JP6090849B2

JP6090849B2 - 曲率演算装置、曲率線書込装置、曲率演算方法およびプログラム

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Publication number: JP6090849B2
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Inventors: 卓前川
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Description

本発明は、曲率演算装置、曲率線書込装置、曲率演算方法およびプログラムに関する。

造船において船首部分や船尾部分の複雑な曲面形状を得るために、鋼板から切り出した平面部材に対してプレス機等で冷間曲げ加工を行い、更に、ガストーチ等で線状加熱してから水をかけて急冷して他方向に曲げるという工法が一般的に用いられている。このようにして鋼板を曲げる作業はぎょう鉄と呼ばれ、熟練を要する職人技となっている。

これに対し、非特許文献１では、曲面上の最大曲率と最小曲率の方向（主方向）をそれぞれ連続して追っていった２組の曲面上曲線である曲率線を、展開基線及びぎょう鉄作業における施工線とする曲率線展開法を提案している。曲率線は、測地的展開（測地的曲率を保ったまま、法曲率成分を除去して実長展開すること）すると平面に展開することができることから、曲率線展開法では、曲率線によって展開過程に仮定を設けず厳密な展開ができる、とされている。

松尾宏平、外１名、「船舶の曲り外板製造を支援する新しい外板展開システムの開発」、日本機械学会論文集（Ｃ編）、２０１０年１１月、７６巻、７７１号、ｐ．２７９７−２８０２

非特許文献１に記載の曲率線展開法において、曲率線を平面に展開する際に曲率線の曲率を求める必要があるが、非特許文献１には曲率線の曲率を求める具体的方法は示されていない。曲率線を平面に精度よく展開するために、曲率線の曲率を精度よく求めることが求められる。

本発明は、このような事情に鑑みてなされたもので、その目的は、曲率線の曲率を精度よく求めることのできる曲率演算装置、曲率線書込装置、曲率演算方法およびプログラムを提供することにある。

この発明は上述した課題を解決するためになされたもので、本発明の一態様による曲率演算装置は、曲率線を空間曲線としてみなしたときの弧長に関する２階微分の式と前記曲率線を曲面上の曲線として弧長に関して２階微分した式とが等しいと置いた式と、弧長をパラメータとして前記曲面の曲率線を示す式を弧長で微分して得られる式とに基づいて、連立方程式を解いて曲率線の曲率を算出する曲率演算部を具備することを特徴とする。

また、本発明の一態様による曲率演算装置は、上述の曲率演算装置であって、曲率線を空間曲線としてみなしたときの弧長に関する微分の式と前記曲率線を曲面上の曲線として弧長に関して微分した式とが等しいと置いた式と、弧長をパラメータとして前記曲面の曲率線を示す式を弧長で微分して得られる式とに基づいて、連立方程式を解いて曲率線の曲率の微分、捩率または捩率の微分の少なくともいずれかを算出する微分演算部を具備することを特徴とする。

また、本発明の一態様による曲率線書込装置は、曲率線を空間曲線としてみなしたときの弧長に関する２階微分の式と前記曲率線を曲面上の曲線として弧長に関して２階微分した式とが等しいと置いた式と、弧長をパラメータとして前記曲面の曲率線を示す式を弧長で微分して得られる式とに基づいて、連立方程式を解いて曲率線の曲率を算出する曲率演算部と、前記曲率演算部が算出した曲率に基づいて平面部材に曲率線を書き込む曲率線書込部と、を具備することを特徴とする。

また、本発明の一態様による曲率演算方法は、曲率線を空間曲線としてみなしたときの弧長に関する２階微分の式と前記曲率線を曲面上の曲線として弧長に関して２階微分した式とが等しいと置いた式と、弧長をパラメータとして前記曲面の曲率線を示す式を弧長で微分して得られる式とに基づいて、連立方程式を解いて曲率線の曲率を算出する曲率演算ステップを具備することを特徴とする。

また、本発明の一態様によるプログラムは、曲率線を空間曲線としてみなしたときの弧長に関する２階微分の式と前記曲率線を曲面上の曲線として弧長に関して２階微分した式とが等しいと置いた式と、弧長をパラメータとして前記曲面の曲率線を示す式を弧長で微分して得られる式とに基づいて、連立方程式を解いて曲率線の曲率を算出する曲率演算ステップを実行させるためのプログラムである。

本発明によれば、曲率線の曲率を精度よく求めることができる。

本発明の第１の実施形態における曲率演算装置の機能構成を示す概略ブロック図である。同実施形態において、曲率演算装置が曲率を算出して出力する処理手順を示すフローチャートである。本発明の第２の実施形態における曲率演算装置の機能構成を示す概略ブロック図である。同実施形態において、曲率演算装置が曲率を算出して出力する処理手順を示すフローチャートである。

＜第１の実施形態＞
以下、図面を参照して、本発明の実施の形態について説明する。
なお、明細書の記載において、ベクトルないし行列を示す太字表記を省略する。また、「曲線」は、直線ないし線分を含む上位概念を示すものとする。
図１は、本発明の第１の実施形態における曲率演算装置の機能構成を示す概略ブロック図である。同図において、曲率演算装置１００は、曲面データ取得部１１０と、曲率線取得部１２０と、曲率演算部１３０と、演算結果出力部１９０とを具備する。

曲率演算装置１００は、曲面の曲率線（Line Of CurvatureまたはCurvature Line）を取得し、曲率線における曲率を算出する。ここで、曲率線は、曲面に固有の線であり、最大曲率線と最小曲率線とから成る。最大曲率線は、曲面において、断面の曲率（法曲率、Normal Curvature）が最大となる方向を連続して辿って得られる曲線である。最小曲率線は、曲面において、断面の曲率が最小となる方向を連続して辿って得られる曲線である。

例えば、鋼板のぎょう鉄に際して曲率演算装置１００が所望の曲面の曲率線と当該曲率線における曲率とを算出して表示することで、曲率演算装置１００のユーザは、曲率線を鋼板に展開してぎょう鉄の参考とすることができる。
但し、曲率演算装置１００の適用範囲はぎょう鉄に限らない。例えば曲面形状の評価など、曲率を参照する様々な用途に曲率演算装置１００を用いることができる。

曲面データ取得部１１０は、例えばＣＡＤ（Computer Aided Design）データなど、曲面を示すデータ（以下、「曲面データ」と称する）を取得する。
曲率線取得部１２０は、曲面データ取得部１１０が取得した曲面データの示す曲面の曲率線を取得する。例えば、曲率線取得部１２０は、曲面データ取得部１１０が取得した曲面データから、曲率線を構成する点の座標を算出する。但し、曲率線取得部１２０が曲率線を取得する方法はこれに限らず、他の装置が算出した曲率線を示すデータを取得するようにしてもよい。
曲率演算部１３０は、曲率線取得部１２０が取得した曲率線における曲率を算出する。

演算結果出力部１９０は、曲率演算部１３０が算出した曲率を出力する。例えば、演算結果出力部１９０は、液晶パネル等の表示画面を有し、所望の曲面を示す図に、曲率線取得部１２０が取得した曲率線を表示し、さらに、曲率演算部１３０が算出した曲率を数値データまたは矢印の長さ等で表示する。
但し、演算結果出力部１９０が演算結果を出力する方法は、演算結果を画面表示する方法に限らない。例えば、演算結果出力部１９０が他の装置に演算結果を送信するなど、画面表示以外の方法で演算結果を出力するようにしてもよい。

次に、曲率線取得部１２０が行う曲率線の計算や、曲率演算部１３０が行う曲率の計算について説明する。
まず、曲率線を空間曲線として把握することができる。ここでいう空間曲線とは、３次元空間に含まれる曲線である。空間曲線について、以下の性質が得られる。
弧長（曲線上の道のり）ｓをパラメータとして曲線（空間曲線）をｃ（ｓ）＝（ｘ（ｓ），ｙ（ｓ），ｚ（ｓ））と表す。

また、曲線ｃ（ｓ）の単位接ベクトル（Unit Tangent Vector）をｔ、主法線ベクトル（Principal Normal Vector）をｎ、従法線ベクトル（Binormal Vector）をｂとする。ｔ、ｎ、ｂは、この順で、フレネフレーム（Frenet Frame）と呼ばれる右手系の正規直交基底をなす。
また、曲率（curvature）をκとして、式（１）の関係が成り立つ。

但し、プライム（’）は、弧長ｓでの微分を示す。
また、捩率（torsion）をτとして、式（２）の関係が成り立つ。

さらに、式（３）の関係が成り立つ。

式（１）〜式（３）は、フレネセレの公式（Frenet-Serret Formulas）を表している。
また、曲線ｃ（ｓ）の１階微分ｃ’（ｓ）について式（４）に示す関係が成り立つ。

また、曲線ｃ（ｓ）の２階微分ｃ’’（ｓ）について式（５）に示す関係が成り立つ。

但し、ｋは曲率ベクトル（Curvature Vector）を示す。
式（５）を弧長ｓで微分して式（６）を得られる。

また、式（５）より式（７）を得られる。

但し、「・」は内積（Inner Product）を示す。また、ｃ’’について「（ｓ）」の表記を省略している。
また、式（６）のｎ’を、上記のフレネセレの公式の第２式（式（２））を用いて置き換えると式（８）を得られる。

式（８）を微分して、ｔ’、ｎ’およびｂ’をフレネセレの公式を用いて置き換えると、ｃ（ｓ）の４階微分ｃ^（４）（ｓ）は式（９）のように示される。

ここで、Ｃ_４ ^ｔ、Ｃ_４ ^ｎ、Ｃ_４ ^ｂは、それぞれ式（１０）のように示される。

一般に、ｃ（ｓ）のｍ階微分は、式（１１）のように示される。

ここで、Ｃ_ｍ ^ｔ、Ｃ_ｍ ^ｎ、Ｃ_ｍ ^ｂは、それぞれκやτやそれらの微分を含む項から構成されている。
一方、曲率線は、曲面において断面の曲率が最大または最小となる方向を連続して辿って得られる曲線なので、曲率線を曲面の上の曲線（Curve On Surface）として把握することも可能である。
まず、ｕおよびｖ（０≦ｕ≦１、０≦ｖ≦１）をパラメータとして、点（ｘ，ｙ，ｚ）がｕｖ平面上の矩形領域を動くとき、式（１２）のように示される。

この曲面の単位法線ベクトル（Unit Surface Normal Vector）Ｎは、式（１３）のように示される。

但し、Ｒ_ｕはｕに関する偏微分を示し、Ｒ_ｖはｖに関する偏微分を示す。また、「×」は外積を示し、「｜｜」はベクトルのノルム（Norm）を示す。
また、曲面Ｒ（ｕ，ｖ）に含まれる曲線ｃ（ｓ）の単位接ベクトルｔと曲線の単位法線ベクトル（Unit Normal Vector）ｎとの関係は、式（１４）のように示される。

ここで、上記と同様、ｓを弧長としてｋは曲線ｃ（ｓ）の曲率ベクトル（Curvature Vector）を示す。また、ｋ_ｎは法曲率ベクトル（Normal Curvature Vector）を示し、ｋ_ｇは測地線曲率ベクトル（Geodesic Curvature Vector）を示す。法曲率ベクトルｋ_ｎは、曲率ベクトルｋの、曲面に対して直交方向の成分である。また、測地線曲率ベクトルｋ_ｇは、曲率ベクトルｋのＵ方向の成分である。但し、Ｕ＝Ｎ×ｔ（「×」は外積を示す）と定義される。
また、κ_ｎは法曲率（Normal Curvature）を示し、κ_ｇは測地線曲率（Geodesic Curvature）を示す。
点Ｐにおける法曲率κ_ｎは式（１５）のように示される。

ここで、λ＝ｄｖ／ｄｕは、点Ｐにおける曲線ｃ（ｓ）の接線方向を示す。また、Ｅ、ＦおよびＧは、第１基本形式（First Fundamental Form）における係数を示し、Ｌ、ＭおよびＮは第２基本形式（Second Fundamental Form）における係数を示す。
法曲率κ_ｎの極値（Extreme Value）は、式（１５）においてｄκ_ｎ／ｄλ＝０とすることで得られ、式（１６）のように示される。

式（１５）および式（１６）より、式（１７）を得られる。

従って、法曲率κ_ｎの極値は、式（１８）に示す連立方程式を満たす。

式（１８）の連立方程式は、ｄｕおよびｄｖに関する同次（Homogeneous）の線形連立方程式となっており、この連立方程式が自明でない解（Nontrivial Solution）を持つ必要十分条件は、式（１９）のように示される。

ここで、ｄｅｔ｜｜は行列式（Determinant）を示す。あるいは、式（１９）より式（２０）を得られる。

ガウス曲率（Gaussian Curvature）をＫで示し、平均曲率(Mean Curvature)をＨで示すと、法曲率κ_ｎの２次方程式である式（２０）は、式（２１）のように表記される。

式（２１）を解いて、式（２２）に示す解を得られる。

ここで、κ_１は最大主曲率（Maximum Principal Curvature）を示し、κ_２は最小主曲率（Minimum Principal Curvature）を示す。接平面において法曲率κ_ｎが最大値や最小値を取る方向は主方向（Principal Direction）と呼ばれる。

曲面上の曲線をｃ（ｓ）＝Ｒ（ｕ（ｓ），ｖ（ｓ））と表記し、連鎖律（Chain Rule）を用いて、曲線ｃ（ｓ）の１階微分ｃ’（ｓ）は式（２３）のように示される。

また、曲線ｃ（ｓ）の２階微分ｃ’’（ｓ）は式（２４）のように示される。

但し、Ｒ_ｕｕやＲ_ｕｖなど、Ｒに下付きのｕはｕに関する偏微分を示し、Ｒに下付きのｖはｖに関する偏微分を示す。
また、曲線ｃ（ｓ）の３階微分ｃ’’’（ｓ）は式（２５）のように示される。

また、曲線ｃ（ｓ）の４階微分ｃ^（４）（ｓ）は式（２６）のように示される。

一般に、曲線ｃ（ｓ）のｍ階微分ｃ^（ｍ）（ｓ）は式（２７）のように示される。

ここで、α_ｍは、ｕ’、ｕ’’、・・・、ｕ^{（ｍ−１）}およびｖ’、ｖ’’、・・・、ｖ^{（ｍ−１）}を含む項の和の合計を示す。

いずれの主曲率方向ベクトル（Principal Curvature Direction Vector）も上述した式（１８）を満たす。従って、式（１８）の１つ目の等式より、法曲率κ_ｎが主曲率κ_１またはκ_２のいずれかのとき、式（２８）を得られる。

ここで、ηは零でない定数であり、式（２９）に示される第１基本形式の正規化にて定められる。

式（２９）は、弧長を１にする正規化を示している。
式（２９）および式（２８）より式（３０）を得られる。

主曲率方向ベクトルは式（１８）の２つ目の等式も満たすので、式（３１）を得られる。

ここで、μは零でない定数であり、ηの場合と同様に式（３２）のように示される。

曲率線は、曲面に含まれる曲線として把握することも、空間曲線として把握することもできる。従って、式（５）および式（２４）より、式（３３）を得られる。

但し、α_２は式（３４）のように示される。

ｕ’やｖ’の値は、式（２８）または式（３１）より得られる。
式（３３）の両辺にＲ_ｕの内積を作用させて式（３５）を得られる。

また、式（３３）の両辺にＲ_ｖの内積を作用させて式（３６）を得られる。

式（３５）および式（３６）には、ｕ’’、ｖ’’およびκ_ｇの３つの未知数が含まれている。従って、連立方程式を解くには第３の等式が必要である。この等式は、式（１８）を微分して式（３７）のように得られる。

ここで、β_１およびβ（バー）_１は、式（３８）のように示される。

式（３５）、式（３６）、および、式（３７）の第１式より、式（３９）に示す連立方程式を得られる。

また、式（３５）、式（３６）、および、式（３７）の第２式より、式（４０）に示す連立方程式を得られる。

｜Ｌ＋κＥ｜≧｜Ｎ＋κＧ｜の場合、式（３９）を解くことで、測地線曲率κ_ｇを得られる。それ以外の場合は式（４０）を解くことで、測地線曲率κ_ｇを得られる。
なお、上記のように、式（３９）や式（４０）は、式（３３）および式（３７）に基づいて得られている。そして、式（３３）は、曲率線を空間曲線としてみなしたときの弧長に関する２階微分の式（式（５））と、曲率線を曲面上の曲線として弧長に関して２階微分した式（式（２４））とが等しいと置いて得られる。また、式（３７）は、弧長をパラメータとして曲面の曲率線を示す式を弧長で微分して得られる式の一例に該当する。

曲率線取得部１２０は、式（２８）または式（３１）に示されるｕ’を積分してｕを算出し、ｖ’を積分してｖを算出する。
例えば、曲率線取得部１２０は、曲面の境界に等間隔で初期位置を設定し、各初期位置からルンゲクッタ法などの積分法を用いて、当該初期位置を通る曲率線に含まれる点を示すパラメータｕおよびｖを順に求めていく。パラメータｕ、ｖを特定することで、曲率線取得部１２０は、曲率線に含まれる点Ｒ（ｕ，ｖ）を特定し、得られた点を結んで曲率線を取得する。
曲率線取得部１２０は、κ_１、κ_２の各々について曲率線を取得する。κ_１により最大曲率線が得られ、κ_２により最小曲率線が得られる。

曲率演算部１３０は、曲率線取得部１２０が特定した曲率線の点（曲率線に含まれる点）毎に、式（３９）または式（４０）に示される連立方程式を解いて、各点における測地線曲率κ_ｇを算出する。

次に、図２を参照して曲率演算装置１００の動作について説明する。
図２は、曲率演算装置１００が曲率を算出して出力する処理手順を示すフローチャートである。曲率演算装置１００は、曲率の演算を指示するユーザ操作を受けると同図の処理を行う。
図２の処理において、まず、曲面データ取得部１１０が、曲面データを取得する（ステップＳ１０１）。次に、曲率線取得部１２０は、曲面データ取得部１１０が取得した曲面データの示す曲面の曲率線を取得する（ステップＳ１０２）。また、曲率演算部１３０は、曲率線取得部１２０が取得した曲率線における曲率を算出する（ステップＳ１０３）。そして、演算結果出力部１９０は、曲率演算部１３０が算出した曲率を出力する（ステップＳ１０４）。

ここで、可展曲面（Developed Surface、伸び縮み無しに曲げだけで平面に展開可能な曲面）に含まれる曲線の測値線曲率κ_ｇと、接平面（Tangent Plane）に投射した曲線の曲率κとが等しいことが知られている。そこで、曲率演算装置１００のユーザ（以下、曲率演算装置のユーザを、単に「ユーザ」と表記する）は、曲面における曲率線の測地線曲率κ_ｇを、当該曲率線を平面展開して得られる曲線の曲率として用いることで、曲率線を平面に展開することができる。

具体的には、ユーザは、まず、鋼板から切り出した平面部材の端部の、曲率線取得部１２０が設定した曲率線の初期位置に対応する位置に、初期位置を設定する。そして、ユーザは、演算結果出力部１９０が表示する曲率の示す方向に平面部材を辿ることで、曲率線を得ることができる。
そして、ぎょう鉄を行う加工者は、最小曲率線に沿って冷間曲げ加工を行い、最大曲率線に沿って線状加熱による曲げ加工を行うことができる。特異点（Singular Point）以外では最小曲率線と最大曲率線とは直交するので、加工者は、最小曲率線に沿って冷間曲げ加工を行うことで、最小曲率線に直交する最大曲率線方向の大きな曲げを冷間曲げ加工にて行うことができる。そして、加工者は、最大曲率線に沿って行う線状加熱による曲げ加工にて、最大曲率線に直交する最小曲率線方向の小さな曲げを行えばよい。
また、加工者は、曲げ加工を行う際、曲率演算装置１００が算出した曲率を参照して、曲率に応じた曲げを発生させればよい。

あるいは、曲率演算装置１００（例えば曲率演算部１３０）が、曲率線を平面に展開するようにしてもよい。例えば、演算結果出力部１９０が、平面部材を示す図に、平面展開された曲率線と、曲率演算部１３０が算出した曲率とを重ねて表示するようにしてもよい。この場合、ユーザは、演算結果出力部１９０が示す曲率線を、そのまま平面部材に書き写せばよい。ユーザが曲率線を平面に展開する必要が無い点において、ユーザの負担を軽減することができる。
さらには、曲率演算装置１００を、曲率演算部１３０が算出した曲率に基づいて平面部材に曲率線を書き込む曲率線書込部を具備する曲率線書込装置として構成してもよい。この場合、ユーザは、平面部材に曲率線を書き込む必要が無く、この点においてユーザの負担をさらに軽減することができる。
ステップＳ１０４の後、図２の処理を終了する。

以上のように、曲率演算部１３０は、曲率線を空間曲線としてみなしたときの弧長に関する２階微分の式と前記曲率線を曲面上の曲線として弧長に関して２階微分した式とが等しいと置いた式と、弧長をパラメータとして曲面の曲率線を示す式を弧長で微分して得られる式とに基づいて、連立方程式を解いて曲率線の曲率を算出する。
これにより、曲率演算部１３０は、曲率線を空間曲線として見た場合の曲率を算出することができる。演算結果出力部１９０が曲率演算部１３０の算出した曲率を表示することで、ユーザは、上記のように曲率線を平面に展開することができる。そして、ぎょう鉄を行う加工者は、最小曲率線に沿って冷間曲げ加工を行い、最大曲率線に沿って線状加熱による曲げ加工を行うことができる。

＜第２の実施形態＞
図３は、本発明の第２の実施形態における曲率演算装置の機能構成を示す概略ブロック図である。同図において、曲率演算装置２００は、曲面データ取得部１１０と、曲率線取得部１２０と、曲率演算部１３０と、微分演算部２４０と、演算結果出力部２９０とを具備する。
同図において、図１の各部に対応して同様の機能を有する部分には同一の符号（１１０、１２０、１３０）を付して説明を省略する。

微分演算部２４０は、曲率線の曲率の微分、捩率または捩率の微分の少なくともいずれかを算出する。微分演算部２４０が算出する微分は、１階微分であってもよいし、２階以上の微分であってもよい。
演算結果出力部２９０は、演算結果出力部１９０（図１）と同様、曲率演算部１３０が算出した曲率を出力する。加えて、演算結果出力部２９０は、微分演算部２４０が算出した曲率の微分や、捩率や、捩率の微分を出力する。
演算結果出力部１９０の場合と同様、演算結果出力部２９０が、演算結果（曲率や、曲率の微分や、捩率の微分）を画面表示するようにしてもよいし、他の装置に演算結果を送信するなど、画面表示以外の方法で演算結果を出力するようにしてもよい。

次に、微分演算部２４０が行う曲率や捩率の微分について説明する。
式（３３）〜式（４０）を参照して上述した曲率の場合と同様、式（８）および式（２５）より式（４１）を得られる。

ここで、Ｃ_３ ^ｔ、Ｃ_３ ^ｎ、Ｃ_３ ^ｂおよびα_３は、式（４２）のように示される。

式（４１）の両辺にＲ_ｕの内積を作用させて式（４３）を得られる。

また、式（４１）の両辺にＲ_ｖの内積を作用させて式（４４）を得られる。

さらに、式（４１）の両辺にｎの内積を作用させて式（４５）を得られる。

式（４３）、式（４４）および式（４５）には、ｕ’’’、ｖ’’’、κ’およびτの４つの未知数が含まれている。式（１８）に対して２階微分を行うことで、４つ目の等式として式（４６）を得られる。

ここで、β_２およびβ（バー）_２は、式（４７）のように示される。

式（４３）、式（４４）、式（４５）および、式（４６）の第１式より、式（４８）に示す連立方程式を得られる。

また、式（４３）、式（４４）、式（４５）および、式（４６）の第２式より、式（４９）に示す連立方程式を得られる。

｜Ｌ＋κＥ｜≧｜Ｎ＋κＧ｜の場合、式（４８）を解くことで、曲率の微分κ’および捩率τを得られる。それ以外の場合は式（４９）を解くことで、曲率の微分κ’および捩率τを得られる。

次に、式（４１）〜式（４９）を、曲線ｃ（ｓ）のｍ階微分ｃ^（ｍ）（ｓ）の場合に一般化する。
式（１１）および式（２７）より式（５０）を得られる。

また、式（１１）より、ｃ^（ｍ）（ｓ）における曲率κの最高階微分の係数はＣ_ｍ ^ｎの項の中に存在し１であることが分かる。一方、ｃ^（ｍ）（ｓ）における捩率τの最高階微分の係数はＣ_ｍ ^ｂの項の中に存在しκであることが分かる。
これにより、係数Ｃ（バー）_ｍ ^ｎを式（５１）のように定義する。

また、係数Ｃ（バー）_ｍ ^ｂを式（５２）のように定義する。

式（５０）の両辺にＲ_ｕの内積を作用させ、式（５１）および式（５２）より式（５３）を得られる。

また、式（５０）の両辺にＲ_ｖの内積を作用させ、式（５１）および式（５２）より式（５４）を得られる。

さらに、式（５０）の両辺にｎの内積を作用させ、式（５１）および式（５２）より式（５５）を得られる。

式（５３）、式（５４）および式（５５）には、ｕ^（ｍ）、ｖ^（ｍ）、κ^{（ｍ−２）}およびτ^{（ｍ−３）}の４つの未知数が含まれている。式（１８）に対して（ｍ−１）階微分を行うことで、４つ目の等式として式（５６）を得られる。

ここで、β_ｍ−１およびβ（バー）_ｍ−１は、式（５７）のように示される。

式（５３）、式（５４）、式（５５）および、式（５６）の第１式より、式（５８）に示す連立方程式を得られる。

また、式（５３）、式（５４）、式（５５）および、式（５６）の第２式より、式（５９）に示す連立方程式を得られる。

｜Ｌ＋κＥ｜≧｜Ｎ＋κＧ｜の場合、式（５８）を解くことで、曲率の微分κ^{（ｍ−２）}および捩率の微分τ^{（ｍ−３）}を得られる。それ以外の場合は式（５９）を解くことで、曲率の微分κ^{（ｍ−２）}および捩率の微分τ^{（ｍ−３）}を得られる。
なお、上記のように、式（５８）や式（５９）は、式（５０）および式（５６）に基づいて得られている。そして、式（５０）は、曲率線を空間曲線としてみなしたときの弧長に関する微分（ｍ階微分）の式（式（１１））と、曲率線を曲面上の曲線として弧長に関して微分（ｍ階微分）した式（式（２７））とが等しいと置いて得られる。また、式（５６）は、弧長をパラメータとして曲面の曲率線を示す式を弧長で微分して得られる式の一例に該当する。
微分演算部２４０は、式（５８）または式（５９）を解いて、曲率κの微分や、捩率τまたはその微分を算出する。

次に、図４を参照して曲率演算装置２００の動作について説明する。
図４は、曲率演算装置２００が曲率を算出して出力する処理手順を示すフローチャートである。曲率演算装置２００は、曲率の演算を指示するユーザ操作を受けると同図の処理を行う。
図４のステップＳ２０１〜Ｓ２０３は、図２のステップＳ１０１〜Ｓ１０３と同様である。

ステップＳ２０３の後、微分演算部２４０は、曲率線の曲率の微分、捩率または捩率の微分の少なくともいずれかを算出する（ステップＳ２０４）。
そして、演算結果出力部２９０は、曲率演算部１３０が算出した曲率や、微分演算部２４０が算出した曲率の微分や、捩率や、捩率の微分を出力する（ステップＳ２０５）。
その後、図４の処理を終了する。

以上のように、微分演算部２４０は、曲率線を空間曲線としてみなしたときの弧長に関する微分の式と前記曲率線を曲面上の曲線として弧長に関して微分した式とが等しいと置いた式と、弧長をパラメータとして曲面の曲率線を示す式を弧長で微分して得られる式とに基づいて、連立方程式を解いて曲率線の曲率の微分、捩率または捩率の微分の少なくともいずれかを算出する。
これにより、微分演算部２４０は、曲率線の曲率の微分や、捩率や、捩率の微分を算出することができる。演算結果出力部２９０が微分演算部２４０の演算結果を表示することで、ユーザは、曲率線上での最大の曲率や、捩れがどこにあるか等を把握して、より適切に曲率線を平面に展開することができる。例えば、ユーザは、κの最大値を把握することで、曲りの一番大きいところに最大曲率線を引くなど、様々に引くことのできる最大曲率線や最小曲率線のうち、いずれの最大曲率線や最小曲率線を引くべきかの選択に用いることができる。

なお、曲率演算装置１００や２００の全部または一部の機能を実現するためのプログラムをコンピュータ読み取り可能な記録媒体に記録して、この記録媒体に記録されたプログラムをコンピュータシステムに読み込ませ、実行することで各部の処理を行ってもよい。なお、ここでいう「コンピュータシステム」とは、ＯＳや周辺機器等のハードウェアを含むものとする。
また、「コンピュータシステム」は、ＷＷＷシステムを利用している場合であれば、ホームページ提供環境（あるいは表示環境）も含むものとする。
また、「コンピュータ読み取り可能な記録媒体」とは、フレキシブルディスク、光磁気ディスク、ＲＯＭ、ＣＤ−ＲＯＭ等の可搬媒体、コンピュータシステムに内蔵されるハードディスク等の記憶装置のことをいう。さらに「コンピュータ読み取り可能な記録媒体」とは、インターネット等のネットワークや電話回線等の通信回線を介してプログラムを送信する場合の通信線のように、短時間の間、動的にプログラムを保持するもの、その場合のサーバやクライアントとなるコンピュータシステム内部の揮発性メモリのように、一定時間プログラムを保持しているものも含むものとする。また上記プログラムは、前述した機能の一部を実現するためのものであっても良く、さらに前述した機能をコンピュータシステムにすでに記録されているプログラムとの組み合わせで実現できるものであっても良い。

以上、本発明の実施形態を図面を参照して詳述してきたが、具体的な構成はこの実施形態に限られるものではなく、この発明の要旨を逸脱しない範囲の設計変更等も含まれる。

１００、２００曲率演算装置
１１０曲面データ取得部
１２０曲率線取得部
１３０曲率演算部
１９０、２９０演算結果出力部
２４０微分演算部

Claims

曲率線を空間曲線としてみなしたときの弧長に関する２階微分の式と前記曲率線を曲面上の曲線として弧長に関して２階微分した式とが等しいと置いた式と、弧長をパラメータとして前記曲面の曲率線を示す式を弧長で微分して得られる式とに基づいて、連立方程式を解いて曲率線の曲率を算出する曲率演算部を具備することを特徴とする曲率演算装置。
曲率線を空間曲線としてみなしたときの弧長に関する微分の式と前記曲率線を曲面上の曲線として弧長に関して微分した式とが等しいと置いた式と、弧長をパラメータとして前記曲面の曲率線を示す式を弧長で微分して得られる式とに基づいて、連立方程式を解いて曲率線の曲率の微分、捩率または捩率の微分の少なくともいずれかを算出する微分演算部を具備することを特徴とする請求項１に記載の曲率演算装置。
曲率線を空間曲線としてみなしたときの弧長に関する２階微分の式と前記曲率線を曲面上の曲線として弧長に関して２階微分した式とが等しいと置いた式と、弧長をパラメータとして前記曲面の曲率線を示す式を弧長で微分して得られる式とに基づいて、連立方程式を解いて曲率線の曲率を算出する曲率演算部と、
前記曲率演算部が算出した曲率に基づいて平面部材に曲率線を書き込む曲率線書込部と、
を具備することを特徴とする曲率線書込装置。
曲率演算装置の曲率演算方法であって、
曲率線を空間曲線としてみなしたときの弧長に関する２階微分の式と前記曲率線を曲面上の曲線として弧長に関して２階微分した式とが等しいと置いた式と、弧長をパラメータとして前記曲面の曲率線を示す式を弧長で微分して得られる式とに基づいて、連立方程式を解いて曲率線の曲率を算出する曲率演算ステップを具備することを特徴とする曲率演算方法。
曲率演算装置としてのコンピュータに、
曲率線を空間曲線としてみなしたときの弧長に関する２階微分の式と前記曲率線を曲面上の曲線として弧長に関して２階微分した式とが等しいと置いた式と、弧長をパラメータとして前記曲面の曲率線を示す式を弧長で微分して得られる式とに基づいて、連立方程式を解いて曲率線の曲率を算出する曲率演算ステップを実行させるためのプログラム。