JP3078733B2 - 三次元曲率の測定方法 - Google Patents

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【産業上の利用分野】本発明は、曲面で構成された各種
物体や地形等の三次元曲率を測定する方法に関する。

【０００２】

【従来の技術】物体の形を測定するとき、寸法計測の外
に球，立方体等といった大まかな形状を測定している。
しかし、曲率は、具体的な測定手段がないことから、実
際的には測定していないのが通常である。従来の方法で
は、二次元の曲率を測定できても、三次元の曲率を測定
することは極めて困難である。三次元曲率を測定する従
来法としては、界面からある距離だけ離れた位置に別の
曲面を仮定し、その仮想曲面の面積と元の曲面の面積と
を比較することにより、曲面の平均曲率Ｈやガウス曲率
Ｋを求めることが知られている。この場合、元の曲面の
面積をＳ₀ とすると、そのときの仮想曲面の面積Ｓは、
元の曲面からの距離ｄを用いて次式で表される。ただ
し、距離ｄは、元の曲面の表側に仮想曲面を想定すると
きは正，裏側に仮想曲面を想定するときは負とする。こ
の式から平均曲率Ｈやガウス曲率Ｋが求められる。 Ｓ＝Ｓ₀ （１±２ｄ〈Ｈ〉＋〈Ｋ〉ｄ² ）

【０００３】

【発明が解決しようとする課題】しかし、各種曲面で構
成された複雑な物体の形状を測定しようとすると、単純
な寸法計測だけでは、物体の形状を十分に表すことがで
きない。しかも、自然界には、人体，動植物，地形等を
始めとして複雑な曲面で構成された物体の方が圧倒的に
多い。そこで、これら物体の形状を把握するためには、
三次元曲面を正確に測定する必要が生じる。この点、前
掲した三次元曲率を測定する従来法では、双曲面の曲率
測定が原理的に不可能であることに加え、局部的な曲率
を求めることができないという欠点もある。本発明は、
このような問題を解消すべく案出されたものであり、曲
面上の経路を測定又は計算し、それらの経路の交点で三
次元曲率を求めることにより、物体の形状に拘らず、全
体的或いは局部的な二次元及び三次元曲率を高精度で求
めることを目的とする。

【０００４】

【課題を解決するための手段】本発明の三次元曲率の測
定方法は、その目的を達成するため、被測定対象である
物体の形状を測定して三次元形状データを得、この三次
元形状データから多角形集合体を再構成し、三次元曲率
を求める注目点ｐ（０，０）を定め、その注目点ｐ
（０，０）を通る複数の経路ｕ，ｖを想定し、経路ｕ，
ｖを表す関数式ｐ（ｕ，０），ｐ（０，ｖ）を求め、関
数式ｐ（ｕ，０），ｐ（０，ｖ）の一次微分ｐ_u （ｕ，
０），ｐ_v （０，ｖ）及び二次微分ｐ_uu（ｕ，０），ｐ
_vv（０，ｖ）から次のパラメータＥ，Ｆ，Ｇ，Ｌ，Ｎを
求め、 Ｅ＝ｐ_u ・ｐ_u ， Ｆ＝ｐ_u ・ｐ_v ， Ｇ＝ｐ_v ・ｐ_v Ｌ＝ｐ_uu・ｅ， Ｎ＝ｐ_vv・ｅ （ただし、ｅは、（ｐ_u ×ｐ_v ）／｜ｐ_u ×ｐ_v ｜で表
される法線ベクトル） パラメータＥ，Ｆ，Ｇ，Ｌ，Ｎから次式のフィッティン
グ関数を使用して平均曲率Ｈ及びガウス曲率Ｋを求める
ことを特徴とする。 ｆ（ｉ，Ｈ，Ｋ）＝４Ｆ_i ²｛Ｌ_i Ｎ_i −Ｋ（Ｅ_i Ｇ_i −Ｆ_i ²）｝² −｛Ｅ_i Ｎ_i ＋Ｇ_i Ｌ_i −２Ｈ（Ｅ_i Ｇ_i −Ｆ_i ²）｝² ・・・・（３） （ただし、ｉは、経路の組合せを示す。） 測定精度を上げるためには、注目点ｐ（０，０）を通る
３つ以上の経路を想定し、２種類以上の経路の組合せで
平均曲率Ｈ及びガウス曲率Ｋを求めることが好ましい。

【０００５】

【作用】曲面は、一般にベクトルｐ（ｕ，ｖ）としてパ
ラメータ表示される。ｕ，ｖ座標の採り方は任意であ
り、微分幾何の第１，第２基本形式のパラメータＥ，
Ｆ，Ｇ，Ｌ，Ｍ，Ｎが次のように表される。ただし、ｅ
は、（ｐ_u ×ｐ_v ）／｜ｐ_u×ｐ_v ｜で表される法線ベ
クトルであり、サブスクリプトは偏微分を意味する。 Ｅ＝ｐ_u ・ｐ_u ， Ｆ＝ｐ_u ・ｐ_v ， Ｇ＝ｐ_v ・ｐ_v Ｌ＝ｐ_uu・ｅ， Ｍ＝ｐ_uv・ｅ Ｎ＝ｐ_vv・ｅ Ｅ，Ｆ，Ｇは、注目点を曲面に沿って移動させたとき、
注目点での接平面の変化の状況に対応する。また、Ｌ，
Ｍ，Ｎは、法線ベクトルが曲面に沿ってどのように変化
していくかに対応する。これらのパラメータは、平均曲
率Ｈ，ガウス曲率Ｋ等の幾何学的パラメータを表現する
のに好適なパラメータであり、特に平均曲率Ｈ及びガウ
ス曲率ＫはＥ，Ｆ，Ｇ，Ｌ，Ｍ，Ｎで単純に書き下すこ
とができる。

【０００６】平均曲率Ｈ及びガウス曲率Ｋは、これらの
パラメータを使用して次式（１）及び（２）で表示され
る。ただし、κ₁及びκ₂は、曲面上のある点を通過する
測地線の曲率のうち、最大又は最小の主曲率である。 そこで、曲面上のある点を注目点ｐ（０，０）とし、注
目点ｐ（０，０）での曲率を算出することとする。先
ず、曲面ｐ上で注目点ｐ（０，０）を含む二つの経路
ｕ，ｖを想定する。経路ｕ，ｖは、曲面をカットし、そ
の断面上でのそれぞれｖ＝０，ｕ＝０の場合の経路とし
て定義することができる。各経路ｕ，ｖを曲線として適
当な関数でフィッティングさせることにより、曲面ｐ
（ｕ，０）及びｐ（０，ｖ）が近似的に表される。更
に、一次微分及び二次微分によってｐ_u（ｕ，０），ｐ_v
（０，ｖ），ｐ_uu（ｕ，０），ｐ_vv（０，ｖ）が求めら
れるため、注目点ｐ（０，０）におけるパラメータＥ，
Ｆ，Ｇ，Ｌ，Ｎが定まる。

【０００７】平均曲率Ｈ及びガウス曲率Ｋは、経路の選
択に影響されない曲率であることから、前掲の式（１）
及び（２）から求めることができる。たとえば、式
（１）及び（２）を変形してパラメータＭを消去すると
きにより、次式（３）をフィッティング関数としてＨ及
びＫを求める。ただし、式（３）におけるｉは、経路の
組合せを示す。 ｆ（ｉ，Ｈ，Ｋ）＝４Ｆ_i ²｛Ｌ_i Ｎ_i −Ｋ（Ｅ_i Ｇ_i −Ｆ_i ²）｝² −｛Ｅ_i Ｎ_i ＋Ｇ_i Ｌ_i −２Ｈ（Ｅ_i Ｇ_i −Ｆ_i ²）｝² ・・・・（３） このようにして、本発明によるとき、三次元的な曲面形
状を表すのに必要な平均曲率Ｈ及びガウス曲率Ｋが求め
られる。ここで、測定精度を向上させるためには、数種
類の経路を組み合わせて平均曲率Ｈ及びガウス曲率Ｋを
算出することが好ましい。具体的には、３つ以上の経路
を想定し、２種類以上の組合せで算出する。しかし、曲
面形状によっては、複数の組合せを考える必要なく、１
種類の組合せで十分に精度良く平均曲率Ｈ及びガウス曲
率Ｋを測定できる場合もある。

【０００８】本発明は、たとえば図１に示す設備構成の
装置を使用し、各種物体の曲率が測定される。この三次
元曲率測定装置は、三次元形状測定装置１，その制御装
置２及び解析ユニット３から構成されている。三次元形
状測定装置１は、被測定物体４の表面の位置を三次元移
動可能な接触子５や光学的手段等によって測定する装置
である。接触子５を使用する場合、制御装置２からの信
号に従って接触子５が移動し、被測定物体４との接触／
非接触を検出する。検出信号は制御装置２に入力され、
被測定物体４の表面の位置が測定される。この操作を被
測定物体４の表面全体に対して行うことにより、被測定
物体４の表面形状が把握される。得られた形状データ
は、解析ユニット３に送られ、解析ユニット３で測定結
果から被測定物体４の形状をポリゴンと呼ばれる多角形
の集合体として再構成する。このとき、三次元曲率を測
定する注目点を選び、その注目点でのおおよその法線ベ
クトルを注目点の回りのポリゴンのそれぞれの法線ベク
トルの平均として算出し、暫定法線ベクトルを定める。

【０００９】次いで、暫定法線ベクトルと注目点を含む
面によって切り取られる形状データを経路とし、三次ス
プライン関数等の適当な関数でフィティングさせる。暫
定法線ベクトルと注目点を含む面には、暫定法線ベクト
ルの周りに関する自由度があるので、角度を変えて断面
を計算し、複数の経路とその関数形を求める。このよう
にして求めた経路の組合せから、組合せそれぞれに対し
て前述したパラメータＥ，Ｆ，Ｇ，Ｌ，Ｎを求める。そ
して、これらパラメータＥ，Ｆ，Ｇ，Ｌ，Ｎを用い、前
掲（３）式から平均曲率Ｈ及びガウス曲率Ｋをフィッテ
ィングによって求める。求められた平均曲率Ｈ及びガウ
ス曲率Ｋは、種々の分野で利用される。たとえば、平均
曲率Ｈと表面張力とを組み合わせるとき、曲面の表及び
裏に加わる圧力の差に対応する値が求められる。したが
って、平均曲率Ｈからその曲面上での負荷のかかり具合
を知ることができる。逆に、負荷の許容量が判っている
場合には、その曲面の強度を推測できる。他方、ガウス
曲率Ｋは、曲面の畳み込まれ具合を表し、地図・地形等
の解析に重要な指標として使用される。たとえば、山間
を縫うように走る道路やカーブの多い道路では、曲面が
複雑になるほど地図上の距離と実際の距離の差が大きく
なる。このような地形の解析に際しガウス曲率Ｋを使用
すると、実際の距離や左右のカーブの量が正確に解析さ
れる。

【００１０】

【実施例】

実施例１：本実施例では、球の三次元曲率を測定した。
測定に使用した球のデータを図２に三次元表示する。デ
ータの全体は立方体をしており、データのフレームの一
遍の長さを１とすると、球の半径は０．３である。デー
タは、６４×６４×４０個の配列データから成り立って
おり、これはレーザ走査共焦点顕微鏡で測定されたデー
タに対応している。球の表面を細かな多角形で近似し、
三次元デジタイザで球の表面をトレースし、三次元形状
を測定した。測定された三次元形状から本発明に従って
解析した三次元曲率を図３に示す。このとき、球の表面
上の点を無作為に選び、曲率測定を適用した。平均曲率
を横軸に、ガウス曲率を縦軸にとり、結果をプロットし
た。また、選択する点を１０００点とることによって、
曲率の分布を求めた。被測定物体が球であることから、
平均曲率がおおよそ３．３，ガウス曲率がおおよそ１
１．１になる筈であるが、データに多少のバラツキがみ
られた。バラツキの中心は、座標点で（３．５，１０）
近傍に位置していた。

【００１１】他方、従来の曲率測定に使用されている式
Ｓ＝Ｓ₀ （１±２ｄ〈Ｈ〉＋〈Ｋ〉ｄ² ）に従って平均
曲率及びガウス曲率を求めた。ここでは図４に示すよう
に式の変数ｄを横軸にとり、ｄを変化させて仮想曲面の
面積Ｓを測定し、平均曲率Ｈ及びガウス曲率Ｋを見積も
っている。ｄの方向としては法線ベクトルが通常用いら
れるが、一般の物体では法線ベクトルの測定が困難であ
る。そこで、デジタル化した曲面のデータからおおまか
な法線ベクトルの方向を見積もって使用したが、その精
度は十分とはいえない。すなわち、従来法では、法線ベ
クトルの情報が必要であり、一般にはその測定が困難で
ある。この対比から、従来法では法線ベクトルの精度が
重要であるが、本発明によるとき、高精度の法線ベクト
ルを必要とせず、安定した結果が得られることが判る。

【００１２】実施例２： 本実施例では、円柱の三次元曲率を測定した。測定に使
用した円柱のデータを図５に三次元表示する。データの
フレームの一遍の長さを１とすると、円柱の半径は０．
３である。円柱の長さはデータ全体であることから１で
あるが、これは三次元曲率に影響を与えない。本発明に
従って測定した三次元曲率を、実施例１と同じ形式で図
６に示す。被測定物体が円柱であることから、平均曲率
は１．３，ガウス曲率は０である。図６に示されるよう
に三次元曲率にバラツキがあるものの、分布の中心では
ほぼ正しい値になっている。この場合のバラツキは、計
算上の誤差に起因するものであり、曲面データの測定精
度によって改善される。他方、従来法で測定した三次元
曲率は、図７に示すように法線ベクトルが非常に小さい
領域において高精度で曲率を決定しているが、その範囲
が非常に狭い。これは、仮想曲面が実際の曲面から離れ
すぎると異常な値が得られることを示しており、仮想曲
面を想定すること自体が技術的な困難を含んでいること
を意味する。これに対し、本発明では、法線ベクトルを
必要としないことから、図６に示すように高精度の測定
結果が得られる。

【００１３】実施例３：本実施例では、ギロイドの三次
元曲率を測定した。測定対象のギロイドは、平均曲率が
０であるような極小曲面で周期的な三次元ネットワーク
をもつ形状であり、そのデータを図８に三次元表示す
る。本発明に従って測定した三次元曲率を、実施例１と
同じ形式で図９に示す。測定結果は、平均曲率Ｈ≒０，
ガウス曲率Ｋ≒０に分布の中心があり、信頼性の高いも
のであることが判る。他方、従来法で測定した三次元曲
率を、実施例１と同じ形式で図１０に示す。図１０で
は、法線ベクトルの長さが非常に小さい領域で良好な結
果になっているようにみられるが、実際の面積測定の結
果から信頼性のある値でないことが判った。また、法線
ベクトルの長さが大きく精度のでやすい領域では、信頼
性のない値になっていた。このように平均曲率が実質上
０になると、実曲面と仮想曲面の面積の差が非常に小さ
くなることから、従来法では測定誤差に埋もれてしま
い、正しい曲率を求めることができなくなる。以上の各
実施例から、本発明に従った測定法では、いかなる図形
に対しても一定の精度で三次元曲率を測定できることが
確認された。

【００１４】

【発明の効果】以上に説明したように、本発明において
は、被測定対象である物体の注目点を通る複数の経路を
想定し、その経路上の曲面データを測定することによっ
て、物体の二次元及び三次元的な曲率を求めている。こ
の方式によるとき、曲面全体を一つの関数で表示する必
要がなく、また正確な法線の方向を知ることを必要とせ
ずに、三次元曲率という幾何学的な量をパラメータとし
て物体形状を測定，認識できる。このようにして得られ
た測定結果は、たとえば物体の構造強度の計算，地図，
地形の解析等に利用される。

【図面の簡単な説明】

【図１】 本発明を実施するための設備構成を示す例

【図２】 本発明実施例１で被測定対象として使用した
球

【図３】 実施例１の球の平均曲率とガウス曲率との関
係

【図４】 実施例１の球を従来法で測定したときの法線
ベクトル長さと平均曲率，ガウス曲率との関係

【図５】 本発明実施例２で被測定対象として使用した
円柱

【図６】 実施例２の円柱の平均曲率とガウス曲率との
関係

【図７】 実施例２の円柱を従来法で測定したときの法
線ベクトル長さと平均曲率，ガウス曲率との関係

【図８】 本発明実施例３で被測定対象として使用した
ギロイド

【図９】 実施例３のギロイドの平均曲率とガウス曲率
との関係

【図１０】 実施例３のギロイドを従来法で測定したと
きの法線ベクトル長さと平均曲率，ガウス曲率との関係

Claims (2)

(57)【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 被測定対象である物体の形状を測定して
   三次元形状データを得、この三次元形状データから多角
   形集合体を再構成し、三次元曲率を求める注目点ｐ
   （０，０）を定め、その注目点ｐ（０，０）を通る複数
   の経路ｕ，ｖを想定し、経路ｕ，ｖを表す関数式ｐ
   （ｕ，０），ｐ（０，ｖ）を求め、関数式ｐ（ｕ，
   ０），ｐ（０，ｖ）の一次微分ｐ_u （ｕ，０），ｐ_v
   （０，ｖ）及び二次微分ｐ_uu（ｕ，０），ｐ_vv（０，
   ｖ）から次のパラメータＥ，Ｆ，Ｇ，Ｌ，Ｎを求め、 Ｅ＝ｐ_u ・ｐ_u ， Ｆ＝ｐ_u ・ｐ_v ， Ｇ＝ｐ_v ・ｐ_v Ｌ＝ｐ_uu・ｅ， Ｎ＝ｐ_vv・ｅ （ただし、ｅは、（ｐ_u ×ｐ_v ）／｜ｐ_u ×ｐ_v ｜で表
   される法線ベクトル） パラメータＥ，Ｆ，Ｇ，Ｌ，Ｎから次式のフィッティン
   グ関数を使用して平均曲率Ｈ及びガウス曲率Ｋを求める
   ことを特徴とする三次元曲率の測定方法。 ｆ（ｉ，Ｈ，Ｋ）＝４Ｆ_i ²｛Ｌ_i Ｎ_i −Ｋ（Ｅ_i Ｇ_i −
   Ｆ_i ²）｝²−｛Ｅ_i Ｎ_i ＋Ｇ_i Ｌ_i −２Ｈ（Ｅ_i Ｇ_i −
   Ｆ_i ²）｝² （ただし、ｉは、経路の組合せを示す。）
2. 【請求項２】 請求項１記載の注目点ｐ（０，０）を通
   る３つ以上の経路を想定し、２種類以上の経路の組合せ
   で平均曲率Ｈ及びガウス曲率Ｋを求めることを特徴とす
   る三次元曲率の測定方法。