JP6048970B2

JP6048970B2 - 電力網における電力潮流を最適化する方法

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Publication number: JP6048970B2
Application number: JP2013262497A
Authority: JP
Inventors: アーヴィンド・ユー・ラグナータン; アジト・ゴパラクリシュナン; ダニエル・エヌ・ニコヴスキ
Original assignee: Mitsubishi Electric Corp
Current assignee: Mitsubishi Electric Corp
Priority date: 2013-02-27
Filing date: 2013-12-19
Publication date: 2016-12-21
Anticipated expiration: 2033-12-19
Also published as: EP2773005A3; JP2014166132A; US20140244059A1; US9184589B2; EP2773005B1; EP2773005A2

Description

本発明は、包括的には、電力網に関し、より詳細には、エネルギー貯蔵デバイスを含むこの網における電力潮流を最適化することに関する。

電力網は、送電線路に接続されたバスを含む。これらのバスは地域毎に発電機及び負荷に接続されている。最適電力潮流（ＯＰＦ：optimal power flow）解析が、多くの場合、網の動作を監視及び制御するのに用いられる。電力潮流は、電圧の大きさ及び位相角に部分的に依存する。バス上の電力潮流及び電圧レベルは、大きさ、位相、送電される電力、発電機容量、熱損失等の制約を条件として目的関数を最小化することによって最適化される。

ほとんどの従来のＯＰＦ最適化は、以下のものを用いる。
・バスにおける位相角間の差が小さい等、仮定を単純にして、二次等式及び二次不等式を線形等式及び線形不等式に簡約化することを用いる。しかしながら、そのような仮定は、全ての網に有効であるとは限らない可能性がある。
・非線形計画法（ＮＬＰ：nonlinear programming）を用いて、配信される１キロワット時当たりの最小コストを求める。しかしながら、ＮＬＰは、効率的な動作に関する大域的に最適な電圧及び発電機レベルを保証することができない。
・二次錐計画法（ＳＯＣＰ：second-order cone programming）等の凸最適化へのＯＰＦの緩和法を用いる。しかしながら、そのような緩和された凸最適化は、元の問題の大域的最小値を有する実現可能解を保証しない。
・半正定値計画法（ＳＤＰ：semi-definite programming）へのＯＰＦの緩和法を用いる。この半正定値計画法は、網内の無損失線路の抵抗、網トポロジーに対する制限、若しくは制約を変更することを必要とするか、又は大域的最適性を確保するように網の変更を必要とする。
・ラグランジュ双対性（ＬＤ：Lagrangian duality）に基づく下界とともに分枝限定（ＢＢ：branch and bound）手順を用いる。これらの下界（lower bounds）は、全ての必要な制約を考慮するとは限らず、最適化問題の不規則性に起因してかなり遅いものである。
・任意の時点に電池において貯蔵、充電又は放電されるエネルギー量が、その時点に電池から実際に充電又は放電される量に決定的に依存することを考慮しない。
・用いられるステップ電圧調整器、変圧器又はコンデンサーバンク等の機器の経時変化を考慮しない。これらのデバイスは通常高価であり、それらの動作を頻繁に変更することによって、機器が急速に劣化し、結果としてデバイスの寿命が大幅に低減する可能性がある。
・発電機器から引き出される電力がランプ制限（ramp limit）を受けるときの経時変化を考慮しない。

したがって、複数の最適化期間を考慮して電力網を効率的かつ好都合な方法で大域的に最適化する必要性が依然として存在する。

特許文献１は、最適な電力潮流と、この最適な電力潮流に基づく電力系統の利用可能な送電能力とを求める当該電力系統を動作させるシステム及び方法を記載している。このシステムは、発電機位相角が事前に設定された値を超えないという制約条件を有する、時間関数によって規定された発電機位相角を含めて、発電機の機械的出力及び電気的出力を求めることによって発電機の初期位相角及び最大電力値に関連付けられたデータを導出する。

米国特許第６，６２５，５２０号

本発明の実施の形態は、複数の動作期間中に電力網における電力潮流を大域的に最適化するための方法を提供する。空間分枝限定（ＢＢ）手順が、大域的最適解が得られることを確実にする。このＢＢ手順は、特に、発電変数（generation variable）に対する界（bound）を分割するとともに電圧の大きさに対する制約も分割することによって、電力潮流問題の実現可能領域を分割する。これによって、収束が高速化される。最適な解に対する下界が、最小の下界を与える半正定値計画法（ＳＤＰ）によって求められる。このＳＤＰは、計算複雑度を制限する内点手順を用いる。

特に、最初に分枝限定（ＢＢ）木の変数及び制約を初期化することにより、目的関数によって表される最適化問題を解くことによって、電力網の複数の動作期間中に電力網における電力潮流が最適化される。ＢＢ木におけるノードは最適化問題の実現可能領域を表す。

目的関数における上界（upper bounds）及び下界（lower bounds）はＢＢ木を用いて解かれる。最小上界及び最小上界が更新される。最小下界と最小上界との間の差が閾値未満である場合、最小下界及び最小上界に基づいて電力潮流が出力される。

いくつかの期間から生じる大規模な問題に対応するように、ラグランジュ分解法を用いて下界問題を解く。

本発明の実施形態によって用いることができる電力網及びこの電力網を表すグラフの概略図である。本発明の実施形態によって用いられる分枝限定木を示す概略図である。本発明の実施形態によって用いられる上界及び下界のグラフである。本発明の実施形態による最適化された界のグラフである。本発明の実施形態による長方形分割の概略図である。本発明の実施形態による径方向分割の概略図である。本発明の実施形態による方法の流れ図である。本発明の実施形態によって用いられる行列のブロック図である。

電力網トポロジー及びグラフ図
図１は、本発明の実施形態を用いることができる電力網トポロジーを示している。この網は、変換器によって接続されたＡＣ成分及びＤＣ成分を含むことができる。唯一の要件は、網の動作を制御する変数及び制約が連続的に制御可能であるということである。

この網は、負荷（Ｌ）１２及び発電機（Ｇ）１４に局所的に接続されたバス１０を含む。それに加えて、バスは電池等の貯蔵デバイス（Ｂ）１５にも局所的に接続されている。これらのバスは、送電線路２０によって相互接続されている。これらの送電線路のうちの幾つかは、変圧器（Ｔ）２２に接続することができる。

発電機は、有効電力（例えばメガワット（ＭＷ：Mega Watts）で測定される）及び無効電力（メガボルトアンペアリアクティブ（ＭＶａｒ：Mega Volt Ampere Reactive）で測定される）を発電する。負荷は電力を消費する。電力は、電圧の大きさ及び位相角によって規定される。

最適化のためのパラメーターには、ブランチインピーダンス及びバス固定並列アドミタンスに基づくアドミタンス行列と、潮流容量定格（flow capacity ratings）、すなわち、熱定格（thermal ratings）によって制約される最大総電力潮流とが含まれるが、これらに限定されるものではない。

この網のトポロジーは、エッジ（送電線路）３１によって接続されたノード（発電機及び接続された負荷）３０からなるグラフＧによって表すことができる。

入力
最適化方法への入力は、以下のものを含む。
１．Ｅ個のエッジ（ｉ，ｊ）の集合によって接続されたＮ個のノードの集合を有するグラフＧ（Ｎ，Ｅ）。
２．線路のアドミタンスｙ_ｉｊ＝ｇ_ｉｊ＋ｊｂ_ｉｊ ∀（ｉ，ｊ）∈Ｅ、式中、ｇは、線路のコンダクタンスを表し、ｂは、線路のサセプタンス（アドミタンスの虚部）を表し、

である。
３．発電機が生成することができる有効電力

と、発電機が生成することができる無効電力

とに対する制約。
４．線路上を送電される皮相電力及び有効電力に対する制約。

５．バスにおける電圧の大きさに対する制限。

６．線路上での熱損失に対する制約。

出力
最適化は期間ｔ＝１，．．．，Ｔ中に実行される。各期間は持続時間Δｔを有する。

方法の出力は、バスにおける複素数値電圧Ｖ_ｉ（ｔ） ∀ｉ∈Ｎと、発電機の有効電力レベル及び無効電力レベル

と、エネルギー貯蔵デバイスの充電レベルＢ_ｉ（ｔ） ∀ｉ∈Ｎとを含む。デバイス例には、電池、変圧器、コンデンサー、インダクター及びステップ電圧調整器が含まれるが、これらに限定されるものではない。

大域的最適化は、バスにおける有効電力発電変数

と、無効電力発電変数

と、複素数値電圧Ｖ＝（Ｖ（１），．．．，Ｖ（Ｔ）），Ｖ（ｔ）＝（Ｖ_１（ｔ），．．．，Ｖ_｜Ｎ｜（ｔ））と、電池の充電率Ｒ＝（Ｒ（１），．．．，Ｒ（Ｔ）），Ｒ（ｔ）＝（Ｒ_１（ｔ），．．．，Ｒ_｜Ｎ｜（ｔ））と、電池の充電状態レベルＢ＝（Ｂ（１），．．．，Ｂ（Ｔ）），Ｂ（ｔ）＝（Ｂ_１（ｔ），．．．，Ｂ_｜Ｎ｜（ｔ））とに依存する決定関数ｆ（Ｐ^Ｇ，Ｑ^Ｇ，Ｖ，Ｂ，Ｒ）を用いる。

多期間最適電力潮流
好ましい実施形態では、関数ｆの形式は、二次であり、厳密に増加するもの、すなわち、

であり、式中、ｃは、ｃ_２ｉ，ｃ_１ｉ≧０ ∀ｉ∈Ｎである定数を示す。

決定変数に対する等式制約と、不等式制約と、界とを用いて、網の実現可能な動作の制限がモデル化される。等式制約

によって、電気網の動作がモデル化される。式中、Ｎｅは、等式制約の数を示す。

電力発電に対する制限、バスにおける電圧の大きさに対する制限、電力発電に対するランプ制限、電池の充電率に対する制限、電池の充電状態に対する制限、線路上を送電される電力及び実現可能な動作を確保する熱損失に対する制約が、不等式制約

としてモデル化される。式中、Ｎ_ｉは、不等式制約の数を示す。

バスにおける電圧及び発電機によって生成される電力を求めるために、以下の最適化問題が大域的最適性に向けて解かれる。

式中、Ｒｅ（Ｖ_ｉ）、Ｉｍ（Ｖ_ｉ）は、それぞれ複素電圧Ｖ_ｉの実部及び虚部を示し、ｈ_ｎは、等式制約を表し、ｇ_ｎは、不等式制約を表す。

多期間最適電力潮流−制約
好ましい実施形態では、等式制約

は、以下のように表される。
線路上の電力潮流

バスにおける電力平衡

電池動特性

式中、Ｓ_ｉｊ（ｔ）＝Ｐ_ｉｊ（ｔ）＋ｊＱ_ｉｊ（ｔ）は、時点ｔにバスｉからバスｊに送電される複素数値電力を示し、Ｓ_ｊｉ（ｔ）＝Ｐ_ｊｉ（ｔ）＋ｊＱ_ｊｉ（ｔ）は、時点ｔにバスｊからバスｉに送電される複素数値電力を示し、（Ｖ_ｉ（ｔ））^＊は、複素数値変数の複素共役を示し、

は、時点ｔに発電機によって生成される複素数値電力を示し、

は、複素数値電力需要量を示し、Ｒ_ｉ（ｔ）は時点ｔにバスｉに接続されている電池を充電するのに用いられる有効電力であり、

はバスｉに接続されている電池の初期充電状態であり、ηは電池の貯蔵効率である。期間の持続時間はΔｔである。線路上の電力潮流を表すこれらの変数は、便宜上用いられるものである。

好ましい実施形態では、期間ｔ＝１，．．．，Ｔについて、不等式制約

は、以下のように表され、
線路上を送電される皮相電力に対する制限

線路上を送電される有効電力に対する制限

線路上の熱損失に対する制限

発電の制限

電圧の大きさに対する制限

電池の充電状態に対する制限

電池の充電率又は放電率に対する制限

また、期間ｔ＝１，．．．，Ｔ−１について、以下のように表される。
発電機の発電に対するランプ制限

分枝限定
図２に示すように、分枝限定（ＢＢ）手順を用いて、空間ＢＢ木２００が探索される。この木は、ルートノードＲを含み、分割後は、子ノードＲ１及びＲ２を含む。この木は、解くのが容易であるとともに最適な目的関数値に対する下界（Ｌ）を与える、ＯＰＦ（１）に関連付けられた実現可能領域Ｒの凸緩和法を構築することによってＯＰＦの大域的最小値を求めるのに用いられる。

図３に示すように、上界（Ｕ）は、局所的最小化を用いることによって求めることができ、これは、実現可能解も与える。方法によって用いられるステップは以下で図７を参照しながら説明される。

ＢＢは、最小上界（Ｕ^ｂｅｓｔ）を、Ｕ＜Ｕ^ｂｅｓｔである場合に更新する。ＢＢは、解析されるべき木のノードと現在のノードについて得られた下界（Ｌ）とに基づいて最小下界（Ｌ^ｂｅｓｔ）を更新する。まだ解かれていないＢＢ木のノードについては、下界の推定値が用いられる。これは、通常、そのノードの派生元の親ノードの下界値である。（Ｕ^ｂｅｓｔ−Ｌ^ｂｅｓｔ）又は任意選択として（Ｕ^ｂｅｓｔ−Ｌ^ｂｅｓｔ）／Ｕ^ｂｅｓｔが或る所定の閾値τよりも小さい場合、ＢＢ手順は、現在の上界の解で終了する。

そうではなく、（Ｕ−Ｌ）又は（Ｕ−Ｌ）／Ｕ又は（Ｕ^ｂｅｓｔ−Ｌ）が或る所定の閾値τよりも小さい場合、現在のノードはＢＢ木から削除され、ＢＢ木からの別のノードが、上記の解くステップを用いて下界及び上界を更新／改善するように選択される。

図４に示すような別の状況では、実現可能領域Ｒは、Ｒ１及びＲ２に分割され、ＢＢ手順が繰り返され、以下同様に行われる。換言すれば、最適性ギャップ（optimality gap）が存在する場合、実現可能領域は、２つの部分領域に分割され、それらの部分領域にわたって、ＢＢ手順が繰り返される。下界Ｌが現在の最良の上界よりも大きいとき、ノードは削除される（分枝限定の用語では、「推測される（fathomed）」Ｘ）（図２参照）。

ＢＢ手順は、全てのノードが処理されたときに終了する。その場合、最良の上界の解が大域的最適解として返される。

図５に示すように、実現可能領域の分割は、Ｐ^Ｇ _ｉ又はＱ^Ｇ _ｉにおける長方形二分によって達成することができる。これは上述した問題では特定の時点ｔに対応する。

図６は、電圧の大きさ（ｅ^２ _ｉ＋ｆ^２ _ｉ）^０．５における径方向二分を示している。これは上述した問題では特定の時点ｔに対応する。

本明細書において説明される最適化例は最小化である。しかしながら、問題は、目的関数の正負の符号を反転することによって最大化として提起することもできることが理解されるべきである。

多期間最適電力潮流の場合の半正定値計画法に基づく下界
ＯＰＦ（１）の下界は、ＯＰＦの半正定値（ＳＤＰ）緩和法を解くことによって得られる。解かれるＳＤＰは、以下の式によって与えられる。

式中、Ｗ（ｔ）は２｜Ｎ｜×２｜Ｎ｜の対称行列であり、

は、行列Ｗ（ｔ）が正の半正定値でなければならないことを示し、行列演算子Ｔｒ（）は、

として定義され、行列Ｍ_ｉは、

として定義され、ここで、ζ_ｉは、第ｉ成分に１を有しそれ以外の箇所は０を有するサイズ｜Ｎ｜のベクトルを示す。

行列Ｗ（ｔ）は、電圧変数ベクトルのベクトル外積

を緩和したものである。

好ましい実施形態では、目的関数は、以下の式となる。

半正定値緩和法（式２）における等式制約は、以下のように記述される。

式中、行列

は、図８に示すように定義される。

多期間最適電力潮流の場合のラグランジュ分解に基づく下界
多期間最適電力潮流問題のＳＤＰ緩和は大規模な問題となる傾向がある。したがって、問題を効率的に解く分解方法が必要である。式（２）における時間結合制約のみを二重にすることによって、多期間最適電力潮流問題にラグランジュ分解が用いられる。制約は、電池の動特性方程式（dynamics equation）及び発電機の発電のランプ制限である。双対問題は以下となる。

式中、τ_ｉ（ｔ）は式（２）における電池動特性方程式の乗数であり、

であり、

は、式（２）における発電機の有効電力ランプ下限及び有効電力ランプ上限の乗数であり、

であり、

は、式（２）における発電機の無効電力ランプ下限及び無効電力ランプ上限の乗数であり、

であり、目的関数は以下のように定義される。

上記の目的関数及び式（３）の制約は、部分ラグランジュであり、時間で分離される。したがって、式（２）において単一の大きな問題を解く代わりに、最適化問題をＴ個のより小さなＳＤＰに分離する。部分ラグランジュ双対関数の可能な限り最良の値を得るように、以下の最適化問題が解かれる。

式中、

である。これは非平滑凹最大化問題であり、これは射影劣勾配法を用いて解くことができる。劣勾配法の各反復において、Ｔ個のより小さなＳＤＰが解かれ、単純な射影劣勾配更新を用いて乗数ξが更新される。しかしながら、劣勾配法は上昇を保証せず、最適な乗数が見つかる前に多数の反復を行う可能性がある。このため、本方法は通例、所定の反復回数の後に終了する。式（４）の最適値は本方法における下界Ｌを提供する。

ξに対して反復する最大化問題は、以下のように劣勾配手順を用いて解かれる。

式中、［］^＋は、非負の象限（orthant）上への射影を示す。
ｓ^ｋは、ステップサイズである。

は、双対化される等式制約の残差を示す。

は、双対化される不等式制約の残差を示す。

最大化問題は、バンドル法又は他の任意の非平滑最適化手順を用いて解くこともできる。電力発電変数及び電圧の大きさの下界及び上界が後述するように更新されると、適切な値が、上述した部分問題（ｉ）、（ｉｉ）及び（ｉｉｉ）において用いられる。

図７は、複数の動作期間中に電力網における電力潮流を大域的に最適化する方法について、本方法のステップを示している。ＢＢ木２００における変数及び制約７１５を初期化する（７１０）ことから開始する。変数及び制約を用いてＯＰＦの上界及び下界７２５を求め（７２０）、最小上界及び最小下界７３５を更新する（７３０）。最小上界と最小下界との間の差が閾値τ未満である場合（７４０）、電力Ｐ及び電圧Ｖ７５０を出力する。そうでない場合、ＢＢ木における対応するノードを分割又は削除して（７６０）、ステップ７２０において反復を繰り返す。

要約すると、本発明による電力潮流最適化は従来技術を上回る以下の利点を有する。本発明では、特に、電池等の貯蔵デバイスを用いるときに、経時的に存在する最適化問題間の結合を考慮する。本発明では、特に、ステップ電圧調整器、変圧器、又はコンデンサーバンク等の切り換え機器が用いられるときに、連続した時点において生じる問題間の結合を考慮する。また、本発明では、特に、発電機器から引き出された電力がランプ制限を受けるときに、連続した時点において生じる問題間の結合を考慮する。

Claims

目的関数によって表される最適化問題を解くことによって、電力網における電力潮流を最適化する方法であって、
分枝限定（ＢＢ）木の変数及び制約を初期化するステップであって、前記分枝限定木におけるノードは前記最適化問題の実現可能領域を表す、ステップと、
前記分枝限定木を用いて前記目的関数に対する上界及び下界について解くステップと、
最小下界及び最小上界を更新するステップと、
前記最小下界と前記最小上界との間の差が閾値未満であるか否かを判断するステップと、
閾値未満である場合、前記最小下界及び前記最小上界に基づいて前記電力潮流を出力し、そうでない場合、終了条件に到達するまで前記解くステップから開始することを反復するステップと、
前記出力に基づいて、１つの又は組み合わせられた複数のバスにおける複素数値電圧と、発電機の有効電力レベル及び無効電力レベルと、エネルギー貯蔵デバイスの充電状態レベルとを制御して、前記電力網の状態を制御するステップと
を含み、
各前記ステップは前記電力網の動作中に結合される複数の期間にわたってプロセッサが実行し、
前記電力網の前記複数の期間は、電力発電に対する制限、バスにおける電圧の大きさに対する制限、電力発電に対するランプ制限、電池の充電率に対する制限、電池の充電状態に対する制限、線路上を送電される電力及び熱損失に対する制約によるものである、
方法。
前記下界は半正定値計画法によって求められ、最小下界が得られる、請求項１に記載の方法。
前記解くステップはラグランジュ分解法を用いる、請求項１に記載の方法。
前記最適化のパラメーターには、ブランチインピーダンス及びバス固定並列アドミタンスに基づくアドミタンス行列と、潮流容量定格とが含まれる、請求項１に記載の方法。
前記最適化は、バスにおける有効電力発電変数と、無効電力発電変数と、複素数値電圧と、電池の充電率と、充電状態レベルとに依存する決定関数を用いる、請求項１に記載の方法。
前記決定関数は二次であり、厳密に増加している、請求項５に記載の方法。
決定変数に対する、等式制約と、不等式制約と、界とを用いて、前記電力網の実現可能な動作の制限がモデル化される、請求項１に記載の方法。
電力発電に対する制限、バスにおける電圧の大きさに対する制限、電力発電に対するランプ制限、電池の充電率に対する制限、電池の充電状態に対する制限、線路上を送電される電力に対する制約をモデリングするステップ、
を更に含む、請求項１に記載の方法。
前記上界は局所的最小化によって求められる、請求項１に記載の方法。
前記実現可能領域は、前記反復中に長方形二分によって分割される、請求項１に記載の方法。
前記実現可能領域は、前記反復中に径方向二分によって分割される、請求項１に記載の方法。
前記電力網はエネルギー貯蔵デバイスを含み、前記複数の期間は、任意の特定の時間の前記エネルギー貯蔵デバイスの充電及び放電に対応するように結合される、請求項１に記載の方法。
目的関数によって表される最適化問題を解くことによって、電力網における電力潮流を最適化する方法であって、
分枝限定（ＢＢ）木の変数及び制約を初期化するステップであって、前記分枝限定木におけるノードは前記最適化問題の実現可能領域を表す、ステップと、
前記分枝限定木を用いて前記目的関数に対する上界及び下界について解くステップと、
最小下界及び最小上界を更新するステップと、
前記最小下界と前記最小上界との間の差が閾値未満であるか否かを判断するステップと、
閾値未満である場合、前記最小下界及び前記最小上界に基づいて前記電力潮流を出力し、そうでない場合、終了条件に到達するまで前記解くステップから開始することを反復するステップと、
前記出力に基づいて、１つの又は組み合わせられた複数のバスにおける複素数値電圧と、発電機の有効電力レベル及び無効電力レベルと、エネルギー貯蔵デバイスの充電状態レベルとを制御して、前記電力網の状態を制御するステップと
を含み、
各前記ステップは前記電力網の動作中に結合される複数の期間にわたってプロセッサが実行し、
前記電力網の前記複数の期間は、ステップ電圧調整器、コンデンサーバンク、及び後続の時間ステップ間の設定における頻繁な変更に対する制限によるものである、
方法。