JP5957748B2

JP5957748B2 - コイルの交流抵抗計算方法

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Publication number: JP5957748B2
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Description

本発明は、コイルの交流抵抗を精度よく計算することができるコイルの交流抵抗計算方法に関するものである。

近年新しいワイヤレス電力伝送方式として、２００６年にＭＩＴ（Massachusetts Institute of Technology）からＷｉＴｒｉｃｉｔｙ（Wireless Electricityの造語）という非放射型の電磁界共振結合（電磁共鳴）技術が発表された。これは共鳴法により高周波で電力を給電する技術であり、二つのコイル間において、距離１ｍで効率約９０％、また、距離２ｍで効率約４５〜５０％かつ６０Ｗをワイヤレスで電力伝送できることが示された（非特許文献１参照）。

この技術を利用して、車両外部の電源からワイヤレスで充電電力を受電し、車載の蓄電装置を充電する電動車両の発明が特許文献１に開示されている。同文献中の図１に示されるように、地下に配された給電装置２００の一次自己共振コイル２４０と、電動車両１００に配された二次自己共振コイル１１０とが磁場の共鳴により磁気的に結合され、一次自己共振コイル２４０から二次自己共振コイル１１０に非接触で高周波電力が給電可能に構成されている。また、この給電装置２００の一次自己共振コイル２４０には、高周波電力ドライバ２２０に繋がる一次コイル２３０から電磁誘導によって非接触で高周波電力が送られる。また、電動車両１００の二次自己共振コイル１１０から二次コイル１２０に電磁誘導によって非接触で高周波電力が送られる。

このように使用されるこれらコイルには、一般的に銅線が用いられている。銅線のコイルは、高周波では、表皮効果および線間近接効果により交流抵抗が増加するためにＱ値が低下する。このＱ値の低下は、長距離、高効率の電力伝送の障害要因となるため、高周波におけるコイルのＱ値の向上が望まれている。

また従来から、いわゆるＲＦＩＤ（Radio Frequency IDentification）と称される個体管理を行うシステムが各種業界で注目されている。このＲＦＩＤシステムは、トランスポンダと称されて、各種データを記憶するとともに通信機能を有する小型の非接触型集積回路（Integrated Circuit；以下、ＩＣという。）デバイスと、リーダ／ライタとの間で無線通信を行うことにより、トランスポンダに対して非接触でデータの読み出しや書き込みを行うシステムである。このＲＦＩＤシステムは、例えば、トランスポンダをＩＣタグとして構成し、このＩＣタグを商品に取り付けることによって生産・物流管理を行う用途の他、トランスポンダをＩＣカードとして構成し、交通機関の料金徴収や身分証明書、さらには電子マネーといった様々な用途への適用が期待されている。

トランスポンダには、パッシブタイプと称される、リーダ／ライタの発信する高周波の電力をエネルギー源として作動するタイプのものがある。このようなパッシブタイプのトランスポンダは、例えば特許文献２に開示されているような平面内で渦巻状に巻回されたアンテナコイルを有している。このようなトランスポンダのアンテナコイルがリーダ／ライタのアンテナコイルと磁束結合して、電磁誘導によってトランスポンダに電力が給電される。トランスポンダとリーダ／ライタとの通信距離を長くするためには、トランスポンダが、リーダ／ライタから送電される高周波電力を高効率で受電する必要がある。そのため、前述した電動車両等のコイルと同様に、高周波におけるアンテナコイル（コイル）のＱ値の向上が望まれている。

コイルのＱ値を向上させるためには、コイルの交流抵抗を小さくする必要がある。この交流抵抗をコイルの設計時に計算することができれば、高いＱ値のコイルの設計に役立つ。しかしながら、コイルの表皮効果および近接効果を考慮した交流抵抗の計算方法は確立されていない。有限要素法（ＦＥＭ）による磁界解析によってコイルの交流抵抗を求めることができるが、計算に長時間を要する。

特開２００９−１０６１３６号公報特開２００３−２２４４１５号公報

アンドレ・クルス（Andre kurs）、他５名、"ワイヤレスパワートランスファーバイアストロングリィカップルドマグネティックレゾナンス（Wireless Power Transfer via Strongly Coupled Magnetic Resonances）"、[online]、２００７年７月６日、サイエンス（SCIENCE）、第３１７巻、p. ８３−８６、インターネット＜URL：http://www.sciencemag.org/cgi/reprint/317/5834/83.pdf＞

本発明は、コイルの交流抵抗を精度良く、短時間で計算することができるコイルの交流抵抗計算方法を提供することを目的とする。

前記の目的を達成するためになされた、特許請求の範囲の請求項１に記載されたコイルの交流抵抗計算方法は、Ｎ回巻きのコイルの線材の直流抵抗Ｒdcを算出する直流抵抗算出ステップと、該線材の表皮効果に起因する抵抗Ｒsを算出する表皮効果抵抗算出ステップと、該Ｎ回巻きのコイルがＮ個の１回巻きのコイルであるものとして、該１回巻きのコイルの該線材に、他の（Ｎ−１）個の該１回巻きのコイルから作用する磁界の強さＨnを算出する磁界強度算出ステップと、該磁界の強さＨnに基づいて該線材の渦電流損Ｐeを算出する渦電流損算出ステップと、渦電流損Ｐeに基づいて該線材の近接効果に起因する抵抗Ｒpを算出する近接効果抵抗算出ステップと、該直流抵抗Ｒdc、該抵抗Ｒs、該抵抗Ｒpの総和を算出してコイルの交流抵抗Ｒとする交流抵抗算出ステップとを含むことを特徴とする。

前記線材が導線であって、
前記直流抵抗算出ステップでは、下記（１）式により前記直流抵抗Ｒdcを算出し、

（式中、ρ₁：導線の抵抗率(Ωm)，ｒ₁：導線の半径(m)，ｌ：導線の長さ(m)である）
前記表皮効果抵抗算出ステップでは、下記（２）式により前記抵抗Ｒsを算出し、

（式中、ω：コイルを使用する交流の角周波数(rad/s)，μ₁：導線の透磁率(H/m)，Ｊ_n：第一種n次ベッセル関数である）
前記磁界強度算出ステップでは、前記１回巻きのコイルの番号を１からｍ（ｍは１からＮの正数）としたときに、下記（３）式により前記磁界の強さＨnを算出し、

（式中、Ｉc：コイルの励振電流(A)，ｒ_m，ｚ_m：磁界を生ずるコイル番号mの座標(m)，ｒ_n，ｚ_n：任意の点nの座標(m)，Ｋ：第1種完全楕円積分関数，Ｅ：第2種完全楕円積分関数，Ｎ：コイルの巻数(回)である）
前記渦電流損算出ステップでは、下記（４）式により前記渦電流損Ｐｅを算出し、

（式中、μ₀：真空透磁率(H/m)，μ₁：導線の透磁率(H/m)，ρ₁：導線の抵抗率(Ωm)，ｒ₁：導線の半径(m)，κ₁：式（２）中で求めた値，Ｊn：第一種n次ベッセル関数，^＊：共役複素数である）
前記近接効果抵抗算出ステップでは、下記（５）式により前記抵抗Ｒpを算出し、

（式中、Ｉc：電流(A)，ｒ_n：任意の点nの座標(m)である）
前記交流抵抗算出ステップでは、下記（６）式
により前記交流抵抗Ｒを算出することを特徴とする。

により前記交流抵抗Ｒを算出することを特徴とする。

同じく、特許請求の範囲の請求項２に記載されたコイルの交流抵抗計算方法は、Ｎ回巻きのコイルの線材の直流抵抗Ｒdcを算出する直流抵抗算出ステップと、該線材の表皮効果に起因する抵抗Ｒsを算出する表皮効果抵抗算出ステップと、該Ｎ回巻きのコイルがＮ個の１回巻きのコイルであるものとして、該１回巻きのコイルの該線材に、他の（Ｎ−１）個の該１回巻きのコイルから作用する磁界の強さＨnを算出する磁界強度算出ステップと、該磁界の強さＨnに基づいて該線材の渦電流損Ｐeを算出する渦電流損算出ステップと、渦電流損Ｐeに基づいて該線材の近接効果に起因する抵抗Ｒpを算出する近接効果抵抗算出ステップと、該直流抵抗Ｒdc、該抵抗Ｒs、該抵抗Ｒpの総和を算出してコイルの交流抵抗Ｒとする交流抵抗算出ステップとを含み、
前記線材が、磁性薄膜を表面に有する導線である場合のコイルの交流抵抗計算方法であって、
前記直流抵抗算出ステップでは、下記（７）式により前記直流抵抗Ｒdcを算出し、

（式中、ρ₁：導線の抵抗率(Ωm），ρ₂：磁性薄膜の抵抗率(Ωm），ｒ₁：導線の半径(m)，ｒ₂：磁性薄膜を含めた線材の半径(m)，l：導線の長さ(m)である）
前記表皮効果抵抗算出ステップでは、下記（８）式により前記抵抗Ｒsを算出し、

（式中、ω：コイルを使用する交流の角周波数(rad/s)，μ₀：真空透磁率(H/m)，μ₁：導線の透磁率(H/m)，μ₂：磁性薄膜の透磁率(H/m)，Ｊn：第一種n次ベッセル関数，Ｋn：第二種n次変形ベッセル関数，ρ₂：磁性薄膜の抵抗率(Ωm)，ｒ₁：導線の半径(m)，ｒ₂：磁性薄膜を含めた線材の半径(m)，Ｉc：コイルの励振電流(A)である）
前記磁界強度算出ステップでは、前記１回巻きの各コイルの番号を１からｍ（ｍは１からＮの整数）としたときに、下記（９）式により前記磁界の強さＨnを算出し、

（式中、Ｉc：コイルの励振電流(A)，ｒ_m，ｚ_m：磁界を生ずるコイル番号mの座標(m)，ｒ_n，ｚ_n：任意の点nの座標(m)，Ｋ：第1種完全楕円積分関数，Ｅ：第2種完全楕円積分関数，Ｎ：コイルの巻数(回)である）
前記渦電流損算出ステップでは、下記（１０）式により前記渦電流損Ｐｅを算出し、

（式中、ρ₁：導線の抵抗率(Ωm)，ρ₂：磁性薄膜の抵抗率(Ωm)，μ₀：真空の透磁率(H/m)，μ₁：導線の透磁率(H/m)，μ₂：磁性薄膜の透磁率(H/m)，ｒ₁：導線の半径(m)，ｒ₂：磁性薄膜を含めた線材の半径(m)，κ₁，κ₂：（８）式中で求めた値，Ｊn：第一種n次ベッセル関数，Ｋn：第二種n次変形ベッセル関数，^＊：共役複素数である）
前記近接効果抵抗算出ステップでは、下記（１１）式により前記抵抗Ｒpを算出し、

（式中、Ｉc：コイルの励振電流(A) ，ｒ_n：任意の点nの座標(m)である）
前記交流抵抗算出ステップでは、下記（１２）式

により前記交流抵抗Ｒを算出することを特徴とする。

請求項３に記載されたコイルの交流抵抗計算プログラムは、請求項１または２のコイルの交流抵抗算出方法でコンピュータを演算処理させることを特徴とする。

請求項４に記載されたコイルの交流抵抗計算装置は、請求項１または２のコイルの交流抵抗算出方法で演算処理することを特徴とする。

以上の本発明によれば、コイルの直流抵抗Ｒdc、表皮効果に起因する抵抗Ｒs、線材の近接効果に起因する抵抗Ｒpを計算して、コイルの交流抵抗Ｒを精度よく、短時間で計算することができる。したがって、高いＱ値のコイルの設計に資する。

線材が導線である場合のコイルや、線材が磁性薄膜を表面に有する導線である場合のコイルの交流抵抗を計算することができる。

本発明を適用するコイルの交流抵抗計算方法のフローチャートである。本発明を適用して交流抵抗を計算するコイルを模式的に示す構造図である。コイルの表皮効果に起因する抵抗Ｒsの算出式を導出するための導出モデルである。コイルの近接効果に起因する抵抗Ｒpの算出式を導出するためのコイル構造図である。１回巻きのコイルが発生する磁界を示す図である。コイルの近接効果に起因する抵抗Ｒpの算出式を導出するための導出モデルである。実施例および参考例を示すグラフである。本発明を適用して交流抵抗を計算する他のコイルを模式的に示す構造図である。他のコイルの表皮効果に起因する抵抗Ｒsの算出式を導出するための導出モデルである。

以下、本発明の実施形態を詳細に説明するが、本発明の範囲はこれらの実施形態に限定されるものではない。

本発明のコイルの交流抵抗計算方法は、後述するステップＳ２〜Ｓ７に対応する計算式でコンピュータを演算処理させるためのプログラム（本発明のコイルの交流抵抗算出プログラム）をコンピュータの記憶装置に記憶させておき、コンピュータがこのプログラムに基づき演算処理して交流抵抗を計算することが好ましい。また、このプログラムにしたがって動作するコンピュータが本発明のコイルの交流抵抗計算装置に相当する。

図１のフローチャートに示すように、先ず、データ入力ステップＳ１で、オペレータは、キーボードなどを操作して、コンピュータにコイルの物理的特性及びコイルの使用条件の入力を行う。入力する物理的特性等については後述する。次に、コンピュータは、直流抵抗算出ステップＳ２を行い、Ｎ回巻きのコイルの線材の直流抵抗Ｒdcを算出する。続いて、コンピュータは、表皮効果抵抗算出ステップＳ３を行い、線材の表皮効果に起因する抵抗Ｒsを算出する。続いて、コンピュータは、磁界強度算出ステップＳ４を行い、Ｎ回巻きのコイルがＮ個の１回巻きのコイルであるものとして、１回巻きのコイルの線材に、他の（Ｎ−１）個の１回巻きのコイルから作用する磁界の強さＨnを算出する。続いて、コンピュータは、渦電流損算出ステップＳ５を行い、磁界の強さＨnに基づいて線材の渦電流損Ｐeを算出する。続いて、コンピュータは、近接効果抵抗算出ステップＳ６を行い、渦電流損Ｐeに基づいて線材の近接効果に起因する抵抗Ｒpを算出する。最後にコンピュータは、交流抵抗算出ステップＳ７を行い、直流抵抗Ｒdc、抵抗Ｒs、抵抗Ｒpの総和を算出してコイルの交流抵抗Ｒとする。以下、具体的に説明する。

[金属導線の場合]
最初に、コイルの線材が、一例として銅などの金属製の導線である場合のコイルの交流抵抗の計算方法について説明する。

図２に示すコイル１は、図の上部に示す長さｌ、半径ｒ₁の導線２を用いて、Ｎ回（図では一例として５回）巻きにした円形コイルである。なお、導線２は、線間の通電を防止するために、図示しない絶縁膜で被覆されている。

図１のデータ入力ステップＳ１では、この導線２の長さ（コイルの線長）ｌ(m)、半径ｒ₁(m)、抵抗率ρ₁(Ωm)、透磁率μ₁、巻き数Ｎを物理的特性として入力する。また、コイル１を使用する交流の角周波数ω(rad/s)、コイルに流す励磁電流Ｉc(A)を使用条件として入力する。なお、真空透磁率μ₀(H/m)をプログラム中に定数として設定しておく。また、下記の各計算式では、これら値の単位系はここに示した単位系で計算を行うが、入力時には例えば周波数ｆ(Hz)を入力して、これをプログラムで角周波数ωに変換して使用してもよい。またコイルの長さｌは、コイルを巻く径や導線を被覆する絶縁薄膜の厚さを入力して、巻き数Ｎから計算で求めるようにしてもよい。また、導線２の比透磁率μ_r1を入力して、透磁率μ₁=μ_r1×μ₀を計算して求めてもよい。

[直流抵抗Ｒdcの算出]
図１の直流抵抗算出ステップＳ２では、導線２の直流抵抗Ｒdcを、下記（１）式で算出する。

[表皮効果に起因する抵抗Ｒsの算出]
表皮効果とは、交流電流が導線２を流れるとき、電流密度が導体の表面で高く、表面から離れると低くなる現象のことである。表皮効果によって、交流周波数が高くなるほど電流が表面へ集中するので、導体の交流抵抗は大きくなる。図３に、導線２の表皮効果に起因する抵抗Ｒｓの計算式導出モデルを示す。同図中の領域IIを空気領域と考えることで、下記（２）式を導出した。表皮効果抵抗算出ステップＳ３では、この下記（２）式で抵抗Ｒｓを算出する。

式中のJnは第一種n次ベッセル関数である。

[コイルから導線に作用する磁界の強さＨnの算出]
図４に示すように、磁界強度算出ステップＳ４では、１回巻き円形コイルがＮ個あるものとして導線２に作用するコイルの磁界の強さＨnを算出する。１回巻きの各コイルを示す番号ｍを、同図に示すように１からＮとする。

図５に、コイル番号ｍの一つの１回巻きコイルの磁界を示す。ここで、コイルの巻き軸方向をｚ軸、巻き軸に直交する方向をｒ軸としている。ｍ（ｒ_m，ｚ_m）のｍはコイル番号を表し、ｒ_m，ｚ_mはコイル番号ｍの導線２の座標を表す。ｎ（ｒ_n，ｚ_n）のｎは任意の点を表し、ｒ_n，ｚ_nは任意の点nの座標（ｍ）を表す。同図に示すように、１回巻きコイルに流れる励振電流Ｉc(A)によって、任意の点ｎ(ｒ_n，ｚ_n)に磁界の強さＨnmが生じている。この磁界の強さＨnmは、ｒ方向成分Ｈrnmとｚ方向成分Ｈznmとからなる。

Ｈrnmは、下記（１５）式で算出され、Ｈznmは下記（１６）式で算出される。

ここで、Ｋは第1種完全楕円積分関数、Ｅは第2種完全楕円積分関数である。

図６に一例として３個の１回巻き円形コイルによる近接効果モデルを示す。同図に示すように、導線Ｗ₂の円形コイルに励振電流Ｉcが流れることで、導線Ｗ₁の円形コイルに磁界の強さＨ₂₁が生じる。同様に、導線Ｗ₃の円形コイルに励振電流Ｉcが流れることで、導線Ｗ₁の円形コイルに磁界の強さＨ₃₁が生じる。したがって、導線Ｗ₁の円形コイルには、Ｈ₂₁及びＨ₃₁を合成した磁界の強さＨが生じる。ここでは、３個の円形コイルで説明したが、Ｎ個のコイルの場合、一つのコイルの導線には、他の（Ｎ−１）個のコイルが各々発生する磁界の強さが掛かり、これらを合成した磁界の強さＨnが生じる。

以下、Ｎ個の円形コイルが導線２に作る磁界の強さを求める。なお、ここでは導線２の周囲が、空気領域であると考えて各式を導出している。このように空気領域と考えることで、計算式が簡便になるため、計算時間を短くすることができる。

先ず、（１５）式および（１６）式を用いて、他の（Ｎ−１）個のコイルが、一つのコイルの導線の位置に各々生じるｒ方向成分とｚ方向成分の磁界の強さＨrnｍおよびＨznｍを各々求める。次に、各コイルの磁界の強さＨrnｍを下記（１７）式で総和演算し、各コイルの磁界の強さＨznｍを下記（１８）式で総和演算して、r方向成分とz方向成分の磁界の強さＨrnおよびＨznを求める。

次に、（１７），（１８）式で算出した磁界の強さＨrnおよびＨznを下記（１９）式で合成する。

以上で、導線２に生じる磁界の強さＨnが算出される。

[渦電流損Ｐeの算出]
図６に示すように、導線Ｗ₁の円形コイルに磁界の強さＨが生じることで導線Ｗ₁に渦電流Ｉecが流れる。この渦電流Ｉecにより導線Ｗ₁に渦電流損Ｐeが生じる。渦電流損算出ステップＳ５では、磁界強度算出ステップＳ４で算出した磁界の強さＨnから、１回巻きコイルの渦電流損Ｐeを下記（２０）式で算出する。

式中の、κ₁は式（１４）中で求めた値，Ｊn：第一種n次ベッセル関数，^＊：共役複素数である。

[導線の近接効果に起因する抵抗Ｒpの算出]
近接効果抵抗算出ステップＳ６では、渦電流損算出ステップＳ５で算出した渦電流損Ｐｅに基づいて、Ｎ回巻きのコイル１における近接効果に起因する抵抗Ｒpを下記（２１）式で算出する。

式中、ｒ_nは任意の点nの座標(m)である。

[直流抵抗Ｒdc、抵抗Ｒs、抵抗Ｒpの総和の算出]
コイル１の交流抵抗は、直流抵抗Ｒdc、該抵抗Ｒs、該抵抗Ｒpの総和であるので、交流抵抗算出ステップＳ７では、交流抵抗Ｒを下記（２２）式で算出する。

以上で、線材が導体２であるコイル１の交流抵抗の計算が終了する。

なお、直流抵抗Ｒdc、抵抗Ｒs、抵抗Ｒpを算出する順番は適宜変更してもよい。

[計算結果の検討]
実施例として、前述したステップＳ１〜Ｓ７を行うプログラムを作成し、表１の計算条件でコンピュータに演算処理させて、コイルの交流抵抗特性を求めた。また、参考例として、ＦＥＭ解析ソフトウエアを使用して表２の解析条件でコンピュータに演算処理させて、コイルの抵抗特性を求めた。なお、表２中に記載のない条件は表１に記載した条件と同様である。各計算結果を図７に示す。

図７に示すように、実施例（計算値）と参考例（ＦＥＭ値）との計算結果は、良く近似している。周波数ｆ＝１３ＭＨzにおいて、実施例と参考例との交流抵抗値は１．３Ω、１．１Ωであり、実施例は参考例と比較して妥当性のある結果となった。また、実施例と参考例とを同じコンピュータを使用して計算させたが、実施例では約３秒、参考例では約４４分であり、参考例よりも遥かに短時間で計算が終了した。

[磁性薄膜付きの導線の場合]
次に、コイルの線材が、一例として銅などの金属製の導線の表面に、磁性薄膜が付されている場合のコイルの交流抵抗の計算方法について説明する。

磁性薄膜を表面に付した導線でコイルを巻くと、コイルの交流抵抗を小さくすることができる。そのため、このような線材のコイルの交流抵抗を計算することができれば、コイルの設計に有益である。磁性薄膜は、例えば、フェライト、鉄、ニッケル、コバルト、Fe-N、FE-X¹-N（X¹=Ta、Nb、またはHf）、Fe-X²-O（X²=Mg、またはAl）、NiFe、CoFe、CoNiFe、CoFeB、FeP、NiFeP、CoNiFeMoC、CoFeB、CONbZr、Fe-Siなどである。

図８に示すコイル４は、図の上部に示す長さｌの線材５を使用して、Ｎ回巻きにした円形コイルである。線材５は、銅などの金属製の導線６の周囲に、磁性薄膜７が付されたものである。導線６は半径ｒ₁であり、線材５（導線６及び磁性薄膜７）は半径ｒ₂である。なお、線材５は、線間の通電を防止するために、図示しない絶縁膜で被覆されている。

図１のデータ入力ステップＳ１では、この線材５の長さｌ(m)、導線６の半径ｒ₁(m)、線材５の半径ｒ₂(m)、導線６の抵抗率ρ₁(Ωm)、磁性薄膜７の抵抗率ρ₂(Ωm)、導線６の透磁率μ₁、磁性薄膜７の透磁率μ₂、巻き数Ｎを物理的特性として入力する。また、コイル５を使用する交流の角周波数ω(rad/s)、コイルに流す励磁電流Ｉc（A）を使用条件として入力する。なお、導線６の比透磁率μ_r1、磁性薄膜７の比透磁率μ_r2を入力して、透磁率μ₁=μ_r1×μ₀，透磁率μ₂=μ_r2×μ₀を計算して求めてもよい。

[直流抵抗Ｒdcの算出]
図１の直流抵抗算出ステップＳ２では、線材５の直流抵抗Ｒdcを、下記（２３）式で算出する。

[表皮効果に起因する抵抗Ｒｓの算出]
図９に、線材５の表皮効果に起因する抵抗Ｒｓの計算式導出モデルを示す。同図中の領域IIIを空気領域と考えることで、下記（２４）式を導出した。表皮効果抵抗算出ステップＳ３では、この下記（２４）式で抵抗Ｒｓを算出する。

式中のＪnは第一種n次ベッセル関数、Ｋnは第二種n次変形ベッセル関数である。

[コイルから導線に作用する磁界の強さＨnの算出]
磁界強度算出ステップＳ４では、１回巻き円形コイルがＮ個あるものとして線材５に作用するコイルの磁界の強さＨnを算出する。このコイル５においても、磁界の強さＨnは、線材が導線であるコイル１と同様に、図５，６から算出式が導出される。つまり、コイル１の場合と同様に（１５）〜（１９）式で磁界の強さＨnを算出する。

[渦電流損Ｐeの算出]
コイル５は、磁性薄膜７を有している。渦電流損算出ステップＳ５では、磁性薄膜７を考慮して下記（２５）式で、渦電流損Ｐｅを算出する。

式中のκ₁，κ₂は（２４）式中で求めた値、Ｊnは第一種n次ベッセル関数、Ｋnは第二種n次変形ベッセル関数である。

[導線の近接効果に起因する抵抗Ｒpの算出]
近接効果抵抗算出ステップＳ６では、線材が導線である場合と同様に（２１）式で抵抗Ｒｐを算出する。

[直流抵抗Ｒdc、該抵抗Ｒs、該抵抗Ｒpの総和の算出]
交流抵抗算出ステップＳ７では、交流抵抗Ｒを（２２）式で算出する。以上で、コイル５の交流抵抗Ｒの計算が終了する。

１はコイル、２は導線（線材）、４はコイル、５は線材、６は導線、７は磁性薄膜、ｌは導線の長さ、ｒ₁は導線の半径、ｒ₂は線材の半径、Ｗ₁，Ｗ₂，Ｗ₃は導出モデルにおける円形コイルの導線。Ｓ１はデータ入力ステップ、Ｓ２は直流抵抗算出ステップ、Ｓ３は表皮効果抵抗算出ステップ、Ｓ４は磁界強度算出ステップ、Ｓ５は渦電流損算出ステップ、Ｓ６は近接効果抵抗算出ステップ、Ｓ７は交流抵抗算出ステップである。

Claims

Ｎ回巻きのコイルの線材の直流抵抗Ｒdcを算出する直流抵抗算出ステップと、
該線材の表皮効果に起因する抵抗Ｒsを算出する表皮効果抵抗算出ステップと、
該Ｎ回巻きのコイルがＮ個の１回巻きのコイルであるものとして、該１回巻きのコイルの該線材に、他の（Ｎ−１）個の該１回巻きのコイルから作用する磁界の強さＨnを算出する磁界強度算出ステップと、
該磁界の強さＨnに基づいて該線材の渦電流損Ｐeを算出する渦電流損算出ステップと、
渦電流損Ｐeに基づいて該線材の近接効果に起因する抵抗Ｒpを算出する近接効果抵抗算出ステップと、
該直流抵抗Ｒdc、該抵抗Ｒs、該抵抗Ｒpの総和を算出してコイルの交流抵抗Ｒとする交流抵抗算出ステップとを含み、
前記線材が導線である場合のコイルの交流抵抗計算方法であって、
前記直流抵抗算出ステップでは、下記（１）式により前記直流抵抗Ｒdcを算出し、

（式中、ρ ₁ ：導線の抵抗率(Ωm)，ｒ ₁ ：導線の半径(m)，ｌ：導線の長さ(m)である）
前記表皮効果抵抗算出ステップでは、下記（２）式により前記抵抗Ｒsを算出し、

（式中、ω：コイルを使用する交流の角周波数(rad/s)，μ ₁ ：導線の透磁率(H/m)，Ｊn：第一種n次ベッセル関数である）
前記磁界強度算出ステップでは、前記１回巻きのコイルの番号を１からｍ（ｍは１からＮの正数）としたときに、下記（３）式により前記磁界の強さＨnを算出し、

（式中、Ｉc：コイルの励振電流(A)，ｒ _m ，ｚ _m ：磁界を生ずるコイル番号mの座標(m)，ｒ _n ，ｚ _n ：任意の点nの座標(m)，Ｋ：第1種完全楕円積分関数，Ｅ：第2種完全楕円積分関数，Ｎ：コイルの巻数(回)である）
前記渦電流損算出ステップでは、下記（４）式により前記渦電流損Ｐｅを算出し、

（式中、μ ₀ ：真空透磁率(H/m)，μ ₁ ：導線の透磁率(H/m)，ρ ₁ ：導線の抵抗率(Ωm)，ｒ ₁ ：導線の半径(m)，κ ₁ ：式（２）中で求めた値，Ｊn：第一種ｎ次ベッセル関数， ^＊：共役複素数である）
前記近接効果抵抗算出ステップでは、下記（５）式により前記抵抗Ｒpを算出し、

（式中、Ｉc：電流(A)，ｒ _n ：任意の点nの座標(m)である）
前記交流抵抗算出ステップでは、下記（６）式

により前記交流抵抗Ｒを算出することを特徴とするコイルの交流抵抗算出方法。
Ｎ回巻きのコイルの線材の直流抵抗Ｒdcを算出する直流抵抗算出ステップと、
該線材の表皮効果に起因する抵抗Ｒsを算出する表皮効果抵抗算出ステップと、
該Ｎ回巻きのコイルがＮ個の１回巻きのコイルであるものとして、該１回巻きのコイルの該線材に、他の（Ｎ−１）個の該１回巻きのコイルから作用する磁界の強さＨnを算出する磁界強度算出ステップと、
該磁界の強さＨnに基づいて該線材の渦電流損Ｐeを算出する渦電流損算出ステップと、
渦電流損Ｐeに基づいて該線材の近接効果に起因する抵抗Ｒpを算出する近接効果抵抗算出ステップと、
該直流抵抗Ｒdc、該抵抗Ｒs、該抵抗Ｒpの総和を算出してコイルの交流抵抗Ｒとする交流抵抗算出ステップとを含み、
前記線材が、磁性薄膜を表面に有する導線である場合のコイルの交流抵抗計算方法であって、
前記直流抵抗算出ステップでは、下記（７）式により前記直流抵抗Ｒdcを算出し、

（式中、ρ₁：導線の抵抗率(Ωm），ρ₂：磁性薄膜の抵抗率(Ωm），ｒ₁：導線の半径(m)，ｒ₂：磁性薄膜を含めた線材の半径(m)，ｌ：導線の長さ(m)である）
前記表皮効果抵抗算出ステップでは、下記（８）式により前記抵抗Ｒsを算出し、

（式中、ω：コイルを使用する交流の角周波数(rad/s)，μ₀：真空透磁率(H/m)，μ₁：導線の透磁率(H/m)，μ₂：磁性薄膜の透磁率(H/m)，Ｊn：第一種n次ベッセル関数，Ｋn：第二種n次変形ベッセル関数，ρ₂：磁性薄膜の抵抗率(Ωm)，ｒ₁：導線の半径(m)，ｒ₂：磁性薄膜を含めた線材の半径(m)，Ｉc：コイルの励振電流(A)である）
前記磁界強度算出ステップでは、前記１回巻きの各コイルの番号を１からｍ（ｍは１からＮの整数）としたときに、下記（９）式により前記磁界の強さＨnを算出し、

（式中、Ｉc：コイルの励振電流(A)，ｒ_m，ｚ_m：磁界を生ずるコイル番号mの座標(m)，ｒ_n，ｚ_n：任意の点nの座標(m)，Ｋ：第1種完全楕円積分関数，Ｅ：第2種完全楕円積分関数，Ｎ：コイルの巻数(回)である）
前記渦電流損算出ステップでは、下記（１０）式により前記渦電流損Ｐｅを算出し、

（式中、ρ₁：導線の抵抗率(Ωm)，ρ₂：磁性薄膜の抵抗率(Ωm)，μ₀：真空の透磁率(H/m)，μ₁：導線の透磁率(H/m)，μ₂：磁性薄膜の透磁率(H/m)，ｒ₁：導線の半径(m)，ｒ₂：磁性薄膜を含めた線材の半径(m)，κ₁，κ₂：（８）式中で求めた値，Ｊn：第一種n次ベッセル関数，Ｋn：第二種n次変形ベッセル関数，^＊：共役複素数である）
前記近接効果抵抗算出ステップでは、下記（１１）式により前記抵抗Ｒpを算出し、

（式中、Ｉc：コイルの励振電流(A) ，ｒ_n：任意の点nの座標(m)である）
前記交流抵抗算出ステップでは、下記（１２）式

により前記交流抵抗Ｒを算出することを特徴とするコイルの交流抵抗算出方法。
請求項１または２のコイルの交流抵抗算出方法でコンピュータを演算処理させることを特徴とするコイルの交流抵抗計算プログラム。
請求項１または２のコイルの交流抵抗算出方法で演算処理することを特徴とするコイルの交流抵抗計算装置。