JP5936073B2 - マルチキャスト量子ネットワーク符号化方法 - Google Patents
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Description
f1(a)=f2(a)=f4(a)=(a,a) …(1)
f3(a0,a1)=(a0(+)a1) …(2)
で与えられる。ここで(+)はdを法とする有限群上の加法を表す。終端ノードがそれぞれ復号
ft0(a0,a1)=(a0,(-a0)(+)a1) …(3)
ft1(a0,a1)=(a0(+)(-a1),a1) …(4)
を行うことで、2つの終端ノードへの入力b0,b1の送信が完了する。
1.古典プロトコルを量子ネットワーク上で形式的にシミュレートすることにより量子もつれ状態を量子ネットワーク上に構成する。
2.余計な量子もつれをフーリエ基底への観測で壊すことによって、入力量子状態を別のノードに移動させる。ここで、フーリエ基底は次式で定義される。
Uf:|a0,a1,…,aN-1>(×)|0,0,…,0>→|a0,a1,…,aN-1>(×)|f(a0,a1,…,aN-1)> …(5)
を用いることで行われる。ここで(×)はテンソル積を表す。以降の数式中においては下記の記号で表記することもある。
2.ノード1とノード2は、それぞれ、受け取った量子状態と新しい量子状態|0>を合わせてC-Xゲートを演算し、ノード1はノード3とノードt0に、ノード2はノード3とノードt1に、出力量子状態を1個ずつ送信する。
3.ノード3は、ノード1とノード2から受け取った合計2個の量子状態と新しい量子状態|0>にユニタリーゲートUf3を掛け(f3は式(2)で定義されている)、更にノード1とノード2から送られた量子状態をそれぞれフーリエ基底で観測して、観測結果(p0,p1)を得る。ここで、p0はノード1から来た量子状態の観測値、p1はノード2から来た量子状態の観測値である。ノード3は、p0をノードt0に、p1をノードt1に送信する。最後にノード3は、残った量子状態(自分で最初に用意した量子状態)をノード4に送信する。
4.ノード4は、ノード3から受け取った量子状態と新しく量子状態|0>を合わせてC-Xゲートを演算する。ノード4は、出力した2つの量子状態をノードt0とノードt1に送信する。
5.ノードt0はノード1から受信した量子状態にZp0を演算する。ノードt1もノード2から受信した量子状態にZp1を演算する。ここで、Zは式(11)で定義される。
[前提条件]
まず、この発明の前提条件を以下に示す。これらの前提条件は以降で説明するすべての実施形態で共通するものである。
・量子ネットワークが存在する。
・量子ネットワークの各ノード間で許される量子通信の容量が制限されている。
・量子ネットワークの各ノード間で行われる古典通信は本質的には制限されていない。
・量子状態のマルチキャストを行う事を目的とする。
・マルチキャストされた量子状態のフィデリティー(忠実度)は本質的に1になる。
・問題とする量子ネットワークに対応する古典ネットワーク上の対応する古典ネットワーク符号が存在する。
・対応する古典ネットワークとは、量子ネットワークにおいて量子通信が許容されているノード間を線で繋いだ場合にできるグラフと、古典ネットワークにおいて古典通信が許容されているノード間を線で繋いだ場合にできるグラフが同一のものを指す。これにより、古典ネットワーク上の端子および通信路と量子ネットワーク上の端子および通信路の間の対応関係が与えられる。
・対応する古典ネットワーク符号とは以下のものを指す。すなわち、適当な正規直交基底を量子ネットワーク上の各通信路や各ノードにおいて設定する。この時、入力量子状態を入力端子の基底の任意の一つとした時に、各ノードに存在する量子状態や通信路を通過する量子状態それぞれは、基底状態の一つになっている。この基底状態は、対応する古典ネットワーク符号の対応するノードや対応する通信路上を流れる古典情報と一対一に対応させることができる。ただし、この対応づけは入力量子状態の選び方に依存しないものとする。また、ここで言う入力とは、マルチキャストすべき量子状態の入力だけではなく、中間で利用されるサブルーチンへの入力も含む。
第一実施形態はバタフライネットワークに適用したマルチキャスト量子ネットワーク符号化方法である。バタフライネットワークにおいて援用する古典ネットワークとそれに対応する量子ネットワークの関係は、非特許文献1,2の記載と同等の関係にある。バタフライネットワークの構成については図1に示した従来技術と同様であるので、ここでは詳細な説明は省略する。
入力量子状態|Φin>を式(13)により定義する。
受信ノードt0と受信ノードt1のそれぞれが空間E0,F0,E1を補助空間として持ち込み、受信ノードt0に対して式(20)を満たすユニタリ演算Ut0を作用させる。ここで、E0,F0は受信ノードt0に属する補助空間であり、E1は受信ノードt1に属する補助空間である。
受信ノードt0と受信ノードt1のそれぞれにおいて、第一変換後量子状態をフーリエ基底で観測して、位相の修正をするという操作をする。このとき、以下の一般化した枠組みを利用する。
式(28)で表される第二変換後量子状態は、インデックスの付け替えにより式(29)に書き直すことができる。
受信ノードt0は、補助空間E1を使って補助空間F0を消去する。すなわち、第三変換後量子状態に対して補助空間F0をフーリエ基底で観測し、その観測結果を用いて補助空間E1へのユニタリ変換を実行する。変換後の量子状態は式(32)により表すことができる。式(32)の量子状態を第四変換後量子状態と呼ぶ。
第二実施形態は一般化されたネットワークに適用したマルチキャスト量子ネットワーク符号化方法である。一般化されたネットワークとは、N個の送信ノードとM個の受信ノードが存在し、ノード間を線で繋いだ場合にできるグラフが特定されていないネットワークである。第二実施形態では、N個の送信ノードからそれぞれ~dn値の古典情報をM個の受信ノードへマルチキャストするネットワークコーディングを行う古典プロトコルが存在する事を仮定する。ただし、~dnは式(33)で表される。
・古典ネットワークにおいて通信が許容されるノードのペアと量子ネットワークにおいて通信が許容されるノードのペアは等しい。
・古典ネットワークにおいて許容される通信の元の数と量子ネットワークにおいて許容される空間次元が等しい。
・量子ネットワークにおいて古典通信は本質的には制限されていない。
・量子ネットワークにおいて、複数の受信ノード間に通信次元に依存しない量子もつれをリソースとして共有している。量子もつれの具体的な形は後述する。
N個の送信ノードをs0,…,sN-1とし、M個の受信ノードをt0,…,tM-1とする。個々の送信ノードが配送しようとする量子状態|φn>を式(34)により定義する。
受信ノードt0が空間E0 (n),E0,1 (n),…,E0,M-1 (n)を補助空間として持ち込み、式(43)を満たすユニタリ演算U(0)を作用させる。
受信ノードtm(m=1,…,M-1)は、空間B0 (n),D0 (n)を使って空間Bm (n),Dm (n)を消去する。すなわち、第一変換後量子状態に対して空間Bm (n),Dm (n)をフーリエ基底で観測し、その観測結果を用いて空間B0 (n),D0 (n)へのユニタリ変換を実行する。変換後の量子状態は式(46)により表すことができる。式(46)の量子状態を第二変換後量子状態と呼ぶ。
式(46)で表される第二変換後量子状態は、
受信ノードtm(m=1,…,M-1)は、補助空間Em (n)を使って補助空間E0,1 (n),…,E0,M-1 (n)を消去する。すなわち、受信ノードt0が第三変換後量子状態に対して補助空間E0,1 (n),…,E0,M-1 (n)をフーリエ基底で観測し、受信ノードtmがその観測結果を用いて補助空間Em (n)へのユニタリ変換を実行する。変換後の量子状態は式(51)により表すことができる。式(51)の量子状態を第四変換後量子状態と呼ぶ。
ネットワーク符号化方法の効率はネットワークの形により大きく異なる。ネットワークの形とは通信が許容されているノード間を線で繋いだ場合にできるグラフのことである。上述の一般化されたネットワークではネットワークの形が特定されていないため、この発明による効率化の効果を数値的に示すことは困難である。そのため、ここでは一例として、第一実施形態に示したバタフライネットワークの場合において、従来技術と比較して量子通信が効率化されていることを示す。
量子演算装置は、量子コンピュータ単体で実現できる。量子コンピュータの実現する物理系としては、例えば、イオントラップを用いる方法(J. I. Cirac and P. Zoller, Quantum computations with cold trapped ions, Physical Review Letter 74;4091, 1995)、量子ビットとして光子の偏光や光路を用いる方法(Y. Nakamura, M. Kitagawa, K. Igeta, In 3-rd Proc. Asia-Pacific Phys. Comf., World Scientific, Singapore, 1988)、液体中の核スピンを用いる方法(Gershenfield, Chuang, Bulk spin resonance quantum computation, Science, 275;350, 1997)、シリコン結晶中の核スピンを用いる方法(B. E. Kane, A silicon-based nuclear spin quantum computer, Nature 393, 133, 1998.)、量子ドット中の電子スピンを用いる方法(D. Loss and D. P. DiVincenzo, Quantum computation with quantum dots, Physical Review A 57, 120-126, 1998)、超伝導素子を用いる方法(Y. Nakamura, Yu. A. Pashkin and J. S. Tsai, Coherent control of macroscopic quantum states in a single-cooper pair box, Nature 393, 786-788, 1999)等を例示できる。また、それぞれの物理系に対する量子コンピュータの実現方法については、「http://www.ipa.go.jp/security/fy11/report/contents/crypto/crypto/report/QuantumComputers/contents/doc/qc_survey.pdf」や「M. A. Nielsen and I. L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press, Chapter 7 Physical Realization」に詳しい。
S2 第一変換ステップ
S3 第二変換ステップ
S4 第三変換ステップ
S5 第四変換ステップ
Claims (4)
- Nを1以上の整数とし、Mを2以上の整数とし、N個の送信ノードs0,…,sN-1とM個の受信ノードt0,…,tM-1とを含む量子ネットワーク上で、前記送信ノードs0,…,sN-1から前記受信ノードt0,…,tM-1へ量子状態を符号化してマルチキャストするマルチキャスト量子ネットワーク符号化方法であって、
前記量子ネットワークに対応する古典ネットワーク上で、前記送信ノードs0,…,sN-1から前記受信ノードt0,…,tM-1へ古典情報を符号化してマルチキャストする古典プロトコルが存在し、
前記受信ノードt0,…,tM-1は、前記量子ネットワークの通信次元に依存せず、前記受信ノードt0と前記受信ノードt1,…,tM-1との間で非対称な量子もつれ状態を共有しており、
・!を値・の階乗とし、nを0以上N-1以下の整数とし、mを0以上M-1以下の整数とし、|φn>をn番目の送信ノードsnが送信する量子状態とし、dnを前記量子状態|φn>の次元とし、Bm (n),Dm (n)をm番目の受信ノードtmに属しn番目の送信ノードsnに対応する空間とし、SMをM元の置換群とし、j 0 (n) ,j 1 (n) ,…,j M-1 (n) を0以上d n 未満の整数とし、σ(0),σ(1),…,σ(M-1)を置換群S M の元σにより指定される0,1,…,M-1の置換先である整数とし、
とし、α j (n) を次式を満たす複素係数とし、
前記送信ノードsn(n=0,…,N-1)が用意した次式で定義される入力量子状態|Φin>を、
前記量子ネットワークに含まれる全てのノードが前記古典プロトコルを前記量子ネットワーク上でシミュレートして符号化し、前記受信ノードt 0 ,…,t M-1 へマルチキャストすることにより、次式で定義される量子状態を生成する量子状態生成ステップと、
前記受信ノードtm(m=0,…,M-1)それぞれが、前記空間Bm (n),Dm (n)に対応する量子状態と補助空間に対応する初期化した量子状態とを合わせた量子状態に対して、前記補助空間に対応する量子状態が前記空間Bm (n)に対応する量子状態を前記空間Dm (n)に対応する量子状態で指定されるインデックスにより並べ替えもしくは部分選択した状態となるように変換するユニタリ変換を実行して第一変換後量子状態を生成する第一変換ステップと、
前記受信ノードtm(m=1,…,M-1)それぞれが前記第一変換後量子状態に対して前記空間Bm (n),Dm (n)を観測し、前記受信ノードt0がその観測結果を用いて前記空間B0 (n),D0 (n)へのユニタリ変換を実行して第二変換後量子状態を生成する第二変換ステップと、
前記受信ノードt0が前記第二変換後量子状態に対して前記空間B0 (n),D0 (n)を観測し、その観測結果を用いて前記受信ノードt0に属する補助空間へのユニタリ変換を実行して第三変換後量子状態を生成する第三変換ステップと、
前記受信ノードt0が前記第三変換後量子状態に対して前記受信ノードt0に属する補助空間を観測し、前記受信ノードtm(m=1,…,M-1)それぞれがその観測結果を用いて前記受信ノードtmに属する補助空間へのユニタリ変換を実行して第四変換後量子状態を生成する第四変換ステップと、
を含むマルチキャスト量子ネットワーク符号化方法。 - 請求項1に記載のマルチキャスト量子ネットワーク符号化方法であって、
Anをn番目の送信ノードsnに属する空間とし、
前記量子状態|Φin>は、次式で定義され、
前記量子もつれ状態は、次式で定義され、
前記第一変換後量子状態は、E0 (n),E0,1 (n),…,E0,M-1 (n)を受信ノードt0に属しn番目の送信ノードsnに対応する補助空間とし、Em (n)をm番目の受信ノードtmに属しn番目の送信ノードsnに対応する補助空間とし、次式で定義され、
前記第二変換後量子状態は、次式で定義され、
前記第三変換後量子状態は、次式で定義され、
前記第四変換後量子状態は、次式で定義される
ことを特徴とするマルチキャスト量子ネットワーク符号化方法。 - 1個の送信ノードsと2個の受信ノードt0,t1と4個の中継ノード1,2,3,4とを含み、送信ノードsと中継ノード1の間、送信ノードsと中継ノード2の間、中継ノード1と中継ノード3の間、中継ノード2と中継ノード3の間、中継ノード3と中継ノード4の間、中継ノード1と受信ノードt0の間、中継ノード4と受信ノードt0の間、中継ノード2と受信ノードt1の間、中継ノード4と受信ノードt1の間のそれぞれが、量子状態および古典情報を送信可能に構成されている量子ネットワーク上で、前記送信ノードsから前記受信ノードt0,t1へ量子状態を符号化してマルチキャストするマルチキャスト量子ネットワーク符号化方法であって、
前記量子ネットワークに対応する古典ネットワーク上で、前記送信ノードsから前記受信ノードt0,t1へ古典情報を符号化してマルチキャストする古典プロトコルが存在し、
前記受信ノードt0,t1は、前記量子ネットワークの通信次元に依存せず、前記受信ノードt0と前記受信ノードt1との間で非対称な量子もつれ状態を共有しており、
Am,Bm,Cm,Dmをm番目の受信ノードtmに属する空間とし、dを2以上の整数とし、aをdを法とする剰余環Zdの元とし、a 0 ,a 1 を0以上d未満の整数とし、αaを次式を満たす複素係数とし、
前記送信ノードsが用意した次式で定義される入力量子状態|Φin>を、
前記量子ネットワークに含まれる全てのノードが前記古典プロトコルを前記量子ネットワーク上でシミュレートして符号化し、前記受信ノードt 0 ,t 1 へマルチキャストすることにより、次式で定義される量子状態を生成する量子状態生成ステップと、
前記受信ノードtm(m=0,1)それぞれが、前記空間Am,Bm,Cm,Dmに対応する量子状態と補助空間に対応する初期化した量子状態とを合わせた量子状態に対して、前記補助空間に対応する量子状態が前記空間Am,Bmに対応する量子状態を前記空間Cm,Dmに対応する量子状態で指定されるインデックスにより並べ替えもしくは部分選択した状態となるように変換するユニタリ変換を実行して第一変換後量子状態を生成する第一変換ステップと、
前記受信ノードt1が前記第一変換後量子状態に対して前記空間A1,B1,C1を観測し、前記受信ノードt0がその観測結果を用いて前記空間A0,B0,D0へのユニタリ変換を実行して第二変換後量子状態を生成する第二変換ステップと、
前記受信ノードt0が前記第二変換後量子状態に対して前記空間A0,B0,C0,D0を観測し、その観測結果を用いて前記受信ノードt0に属する補助空間へのユニタリ変換を実行して第三変換後量子状態を生成する第三変換ステップと、
前記受信ノードt0が前記第三変換後量子状態に対して前記受信ノードt0に属する補助空間を観測し、前記受信ノードt1がその観測結果を用いて前記受信ノードt1に属する補助空間へのユニタリ変換を実行して第四変換後量子状態を生成する第四変換ステップと、
を含むマルチキャスト量子ネットワーク符号化方法。
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