JP5901504B2 - 宇宙船の動きを制御するシステム及び方法 - Google Patents

Description

この発明は、包括的には、宇宙船の動きを制御することに関し、より詳細には、地球の軌道から月の軌道への宇宙船の動きを制御することに関する。

１９６０年代の最初の月ミッションから、月は科学研究及び潜在的な商業開発の双方の関心対象であった。１９８０年代の間に、国の宇宙機関によって幾つかの月ミッションが打ち上げられた。月への関心は、低地球軌道(low earth orbit：低周回軌道)からの月ミッションの実施を可能にする多国籍宇宙ステーションの出現とともに増大している。しかしながら、月に対する継続的な関心及び月面基地の実現可能性は、部分的に、頻繁で経済的な月ミッションを計画する能力に依拠する。

通常の月ミッションは以下のステップを含む。最初に、宇宙船が、宇宙船を地球から月への軌道に乗せるのに十分な単位質量あたりの推力又は速度変化で、地球又は低地球軌道から打ち上げられる。通常、この軌道は、月の対地球軌道(earth-relative orbit)の半径とほぼ一致するように選択された遠地点を有する、実質的に楕円形の対地球軌道である。

宇宙船が月に近づくと、宇宙船を地球から月への軌道から対月軌道に移すための速度変化が与えられる。次に、月着陸が計画されている場合、宇宙船を対月軌道から月の表面に移すための追加の速度変化を提供することができる。地球への帰還が望まれる場合、宇宙船を、月から地球への軌道、例えば地球から月への軌道に類似した軌道に入れるのに十分な別の速度変化が与えられる。最終的に、宇宙船が地球に近づくと、宇宙船を、月から地球への軌道から、低地球軌道又は地球帰還飛行経路に移すための速度変化が必要となる。

図１は、非回転座標系における従来の月ミッションによる軌道系の説明図である。ここで、Ｘ軸１０及びＹ軸１２は、月の対地球軌道３６によって画定される平面内にあり、Ｚ軸１８はこの平面に垂直である。通常の月ミッションでは、宇宙船は、地球１６又は必ずしも円形でない低地球軌道２０から打ち上げられ、宇宙船を地球から月への軌道２２に乗せるのに十分な速度を与えられる。

月１４の近くで、宇宙船の対月エネルギーを低減し、宇宙船を、必ずしも円形でない対月軌道２４に移すための速度変化が与えられる。次に、宇宙船を、月面着陸飛行経路２５により対月軌道２４から月１４に移すための追加の速度変化が与えられる。地球帰還が望まれる場合、宇宙船を月から地球への軌道２６に乗せるのに十分な速度変化が、月の表面において直接、又は月の表面への下降でのように複数の推力を通じて与えられる。最終的に、地球１６の近くで、宇宙船の対地球エネルギーを低減し、宇宙船を低地球軌道２０に、又は地球帰還飛行経路２７を介して地球１６に返すための速度変化が与えられる。

燃料消費を最小限にし、宇宙船を特定の飛行時間量以内に月の回りの特定の軌道に届けることができる飛行経路を設計することが望ましい。通常、この問題はホーマン遷移及びパッチドコニックス手法によって解かれ、この手法は、地球を対象とした二体問題及び月を対象とした二体問題からの解決法を繋ぎ合わせる。この手法によって、僅か数日で完了することができるが、燃料消費が準最適である飛行経路が導かれる。

近年、月の重力、及びホーマン遷移に基づく飛行経路よりも少ない燃料を用いることができる飛行経路を見つけることを検討する三体問題の理解を深めるための進歩が見られている。しかしながら、三体問題はカオス的であり、初期状態の影響を非常に受けやすい。最小エネルギーレベルを上回ってはいるが、宇宙船が用いることができる多数の飛行経路が存在する。しかしながら、飛行経路のほとんどは時間がかかりすぎて役立たない。

三体系における通常の飛行経路はらせん状の飛行経路である。この特徴は、カオス系に特有である。このため、月軌道への飛行経路を見つける問題は簡単でない課題である。

三体制御問題として飛行経路を求める従来の方法は、幾つかの重要な欠点を有する。例えば、弱安定境界(ＷＳＢ)に基づく方法又は二連円形モデルに基づく方法は、物体を地球から非常に遠くに運ぶ(約１２０万ｋｍ)が、これは、幾つかの地上局の、月の軌道を超えた物体を監視する能力が限られていることに起因して望ましくない。

別の方法は、非常に大きな地球軌道から飛行経路を計算し、このため多様体遷移(manifold transfer)を直接用いていた。また、これらの方法は、特定の飛行経路を見つけることに集中し、エンドツーエンドの制御手順を設計するのに十分でない。

別の方法は、物体を安定多様体上に直接移すが、様々な軌道制約を満たす柔軟性が欠如している。

したがって、地球の回りの軌道から月の回りの軌道への低エネルギーのエンドツーエンドの飛行経路を体系的に設計することができる方法が必要とされている。

この発明の実施の形態の目的は、地球の静止移行軌道(ＧＴＯ)から月の軌道への物体の動きを制御するシステム及び方法を提供することである。例えば、１つの実施の形態の目的は、飛行経路のエンドツーエンドの低燃料設計と、特定の飛行時間量内で、ＧＴＯから月の回りの特定の軌道に物体を動かす一組の制御とを提供することである。

幾つかの実施の形態の更なる目的は、物体に搭載されたスラスターによって、飛行経路の間の有限数の点において制御を起動することができるように、離散した制御プロファイルを提供することである。幾つかの実施の形態の更なる目的は、遷移中のいかなる時点においても、物体が月の軌道よりも、数千キロメートルを超えて遠くに進行することがない制御方法を提供することである。この制約は、月の軌道を超えて物体を監視する能力が限られていることに起因して、或る用途の場合に有利である。

この発明の幾つかの実施の形態は、物体の飛行経路を求めることは、地球、月、及び物体が関与する三体問題であるという認識に基づいている。地球及び月による物体に対する影響が異なることに起因して、物体の動きは異なる空間領域において質的に異なることが更に認識される。地球と月との間に存在する動く安定多様体を用いて燃料消費を最適にすることが有利であることが更に認識される。

さらに、飛行経路を求める問題を、飛行経路を４つの制御フェーズに分割することによって最適化することができることが特に認識される。各フェーズにおいて、物体は力の特定の組合せを受け、このため、飛行経路を求めることは、この分割によって効果的に処理することができる。

この発明の様々な実施の形態では、ＧＴＯから地球の中間軌道への第１のセグメント、中間軌道から第１のラグランジュ点(Ｌ１)の安定多様体の近傍への第２のセグメント、Ｌ１点の近傍からＬ１軌道への第３のセグメント、及びＬ１軌道から月の軌道への第４のセグメントに対応する物体の動きについて４つのフェーズが求められる。最終的な制御飛行経路は、これらの４つのフェーズについて求められた飛行経路の組合せを含む。

例えば、幾つかの実施の形態は、地球の回りの中間軌道から第１のラグランジュ点(Ｌ１)の安定多様体の近傍への物体の第１の飛行経路を求める。１つの実施の形態では、この求めることは、まず、完全な飛行経路を形成するのに用いることができるゼロ燃料飛行経路の幾つかのセグメントを計算することによって達成される。これらのセグメントは、物体が地球の重力の実質的な影響範囲内にあるときの、物体に対する月の影響を近似する関数を用いて求めることができる。次に、時間制約を満たす様々なトポロジーに従って、これらのゼロ燃料飛行経路の様々な軌道極点を組み合わせることによって、第１の飛行経路の一連の初期推定値が形成される。ミッションのこのフェーズ中の飛行時間は、主に飛行経路のトポロジーによって求められることが認識される。

幾つかの実施の形態では次に、推定値に沿って連続性制約を課し、軌道極点において可能な制御入力を含めることによって、多重シューティング問題が形成される。この多重シューティング問題は、総制御入力を最小にする非線形プログラミングソフトウェアによって解かれる。この最適化問題は、最適化手順中に用いられる初期推定値の影響を非常に受けやすく、このため、初期推測を得る体系的手順を有することが不可避であることも認識される。

次に、幾つかの実施の形態は、ＧＴＯから地球の中間軌道への、例えば第１の飛行経路の初期状態への物体の第２の飛行経路を求める。月は飛行経路のこのセクションから遠く離れているので、ホーマン遷移はそのような飛行経路の良好な推測を与える。ホーマン遷移飛行経路からの軌道極点を用いることによって初期推定値を求め、連続性制約とともに用いることができ、多重シューティング問題を形成し、これを、要求される制御入力を最小にするように解くことができる。

幾つかの実施の形態は、Ｌ１の安定多様体の近傍からＬ１周期軌道への物体の第３の飛行経路を求める。第３の飛行経路の一組の初期推定値は、安定多様体の近傍から時間において前方に幾つかの飛行経路を積分し、軌道極点を記録することによって得ることができる。これらの初期状態によって通常、Ｌ１周期軌道を通って月に進むか、又は地球に戻る軌道が導かれる。

幾つかの実施の形態では、ガウス疑似スペクトル選点問題が、２つの連続した軌道極点間の飛行経路セグメントを多項式で表すことによって定式化され、これによって、制御作動に起因した軌道極点における不連続性が許容される。最終状態は、所望のＬ１周期軌道内の任意のロケーションになるように選択することができる。この選点問題は、制御入力を最小にする非線形プログラミングを用いて解くこともできる。

幾つかの実施の形態は、Ｌ１周期軌道から月の回りの特定の軌道への物体の第４の飛行経路を求める。Ｌ１周期軌道におけるランダムな初期状態を、初期推定値として選択することができ、その初期状態から生じる不安定多様体は、完全な飛行経路の初期推定値としての役割を果たすことができる。飛行経路を２つのフェーズに分割することによって、ガウス疑似スペクトル選点問題を定式化することができる。第１のフェーズは、不安定多様体に沿って進行することを含み、第２のフェーズは多様体を離れて月の回りの特定の軌道上のロケーションに進行することを含む。特定の月の軌道のサイズに依拠して、第２のフェーズは必要とされない場合がある。

２つのフェーズが必要とされる場合、フェーズは、一方が第２のフェーズの開始時の制御入力であり、他方が第２のフェーズの終了時の制御入力である２つの制御入力の和であるコスト関数を最適化することによって求めることができる。第１の制御入力は、不安定多様体から離れるように物体を動かし、第２の制御入力は、物体を月の回りの軌道に乗せる。この最適化問題は、非線形プログラミングにより解くこともできる。

したがって、この発明の１つの実施の形態は、地球の静止移行軌道(ＧＴＯ)から月の軌道への物体の動きを制御する方法を開示する。この方法は、地球の中間軌道から、第１のラグランジュ点(Ｌ１)の安定多様体の近傍への物体の動きの第１の飛行経路を求めることと、ＧＴＯから中間軌道への物体の動きの第２の飛行経路を求めることと、安定多様体に対する近傍からＬ１軌道への物体の動きの第３の飛行経路を求めることと、Ｌ１軌道から月の軌道への物体の動きの第４の飛行経路を求めることと、第１の飛行経路、第２の飛行経路、第３の飛行経路、及び第４の飛行経路の組合せに基づいて、ＧＴＯから月の前記軌道への飛行経路を求めることと、を含む。

別の実施の形態は、地球の静止移行軌道(ＧＴＯ)から月の軌道への物体の動きを制御する方法を開示する。この方法は、飛行時間の関数として、地球の中間軌道から、第１のラグランジュ点(Ｌ１)の安定多様体の近傍への物体の動きの第１の飛行経路を求めることと、第１の飛行経路の一組の初期状態に基づいて、ＧＴＯから中間軌道への物体の動きの第２の飛行経路を求めることと、第１の飛行経路の一組の最終状態に基づいて、安定多様体に対する近傍からの物体の動きの第３の飛行経路を求めることと、Ｌ１軌道のサイズに基づいて、Ｌ１軌道から月の前記軌道への物体の動きの第４の飛行経路を求めることと、第１の飛行経路、第２の飛行経路、第３の飛行経路、及び第４の飛行経路の組合せとして、ＧＴＯから月の軌道への飛行経路を求めることと、を含む。この方法のステップはプロセッサによって実行することができる。

更に別の実施の形態は、地球の静止移行軌道(ＧＴＯ)から月の軌道への物体の動きを制御するシステムであって、第１の飛行経路、第２の飛行経路、第３の飛行経路、及び第４の飛行経路の組合せに基づいてＧＴＯから月の軌道への飛行経路を求めるプロセッサを備え、第１の飛行経路は、地球の中間軌道から第１のラグランジュ点(Ｌ１)の安定多様体の近傍まで物体を動かし、第２の飛行経路は、ＧＴＯから中間軌道まで物体を動かし、第３の飛行経路は、安定多様体に対する近傍からＬ１軌道に物体を動かし、第４の飛行経路は、Ｌ１軌道から月の軌道に物体を動かす、地球の静止移行軌道(ＧＴＯ)から月の軌道への物体の動きを制御するシステムを開示する。

非回転座標系における従来の月ミッションによる軌道系の概略図である。 この発明の幾つかの実施の形態によって開始軌道として用いられるＧＴＯ軌道の概略図である。 この発明の幾つかの実施の形態によって最終軌道として用いられる月軌道の概略図である。 この発明の幾つかの実施の形態による、地球のＧＴＯから月の軌道への物体の動きを制御する方法の図である。 飛行経路決定の分割及び対応する最適化原理の表である。 ゼロ燃料飛行経路のグラフである。 この発明の幾つかの実施の形態による第１の飛行経路のグラフである。 幾つかの実施の形態による第１の飛行経路を求める方法の図である。 幾つかの実施の形態による第２の飛行経路を求める方法の図である。 幾つかの実施の形態による第３の飛行経路を求める方法の図である。 幾つかの実施の形態による第４の飛行経路を求める方法の図である。 月軌道への物体の組込みの一例を示す図である。 リアプノフ軌道への物体の組込みのグラフである。 Ｌ１リアプノフ軌道の安定多様体の遠点におけるセクションのグラフである。 物体の完全な飛行経路の例示的なグラフである。 物体の完全な飛行経路の例示的なグラフである。

この発明の様々な実施の形態が、特定の時間内での、地球の静止遷移軌道(ＧＴＯ)から月の回りの軌道への物体の動きの飛行経路を求める。幾つかの実施の形態は、初期飛行経路について、地球、月、及び物体の動きを含む、円平面制限三体問題(ＰＣＲ３ＢＰ)モデルを用いる。ＰＣＲ３ＢＰモデルは、地球−月系における物体(宇宙探査機等)の動きを求めるのに用いられる数学モデルである。系は４次元系であり、系の状態は、通常、Ｘ座標及びＹ座標、並びにＸ速度及びＹ速度である４つの変数によって一意に求められる。

様々な実施の形態において、初期飛行経路における太陽の影響は無視される。しかしながら、幾つかの実施の形態は、初期飛行経路を求めた後、太陽及び他の関連する惑星の影響を含む、より正確なモデルを用いて飛行経路を精緻化する。

図２は、この発明の幾つかの実施の形態によって、開始軌道として用いられるＧＴＯ軌道２１０の概略図を示している。地球２２０の半径は６３８８ｋｍである。近地点速度２３０は１０．２ｋｍ／ｓであり、遠地点速度２４０は１．６ｋｍ／ｓである。近地点高度２３５は２５０ｋｍであり、遠地点高度２４５は３５８６３ｋｍである。

同様に、図３は、この発明の実施の形態によって最終軌道として用いられる月軌道３１０の概略図を示している。月３２０の半径は１７３８ｋｍである。近月点速度３３０は１．８ｋｍ／ｓであり、遠月点速度３４０は１．３ｋｍ／ｓである。近月点高度３３５は１００ｋｍであり、遠月点高度３４５は８００ｋｍである。

様々な実施の形態において、飛行経路のプロファイルは離散的であり、すなわち、制御は、物体に搭載されたスラスターによって、飛行経路の間の有限数のロケーションにおいて起動される。幾つかの実施の形態は、物体が、月の軌道よりも、数千キロメートルを超えて遠くに運ばれないという追加制約を用いる。この制約は、幾つかの地上局の、月の軌道を超えて物体を監視する能力が限られていることに起因する。

図４は、この発明の幾つかの実施の形態による、地球のＧＴＯから月の軌道への物体の動きを制御する方法４００のブロック図を示している。方法４００は、ＧＴＯから月の軌道への飛行経路４６０を求める。この明細書において用いられるとき、「飛行経路」とは、ミッション計画中に最適化によって得ることができる、４つの次元における座標列を指す。この列を得るのに必要な情報は、初期状態、離散的な制御入力、及びこれらの入力が適用される時刻のうちの少なくとも１つを含む。飛行経路は、ＰＣＲ３ＢＰを用いて運動方程式を積分することによって得ることができる。

方法４００は、地球の中間軌道から第１のラグランジュ点(Ｌ１)の安定多様体の近傍への物体の動きの第１の飛行経路４１５を求める(４１０)。例えば、第１の飛行経路は、時間の関数として求めることができる。次に、ＧＴＯから中間軌道への物体の動きの第２の飛行経路４２５が求められる(４２０)。例えば、第２の飛行経路は、第１の飛行経路の一組の初期状態に基づいて求めることができる。

安定多様体に対する近傍からの物体の動きの第３の飛行経路４３５が、例えば、第１の飛行経路４１５の一組の最終状態に基づいて求められる(４３０)。Ｌ１軌道から月の軌道への物体の動きの第４の飛行経路４４５が、例えば、Ｌ１軌道のサイズに基づいて求められる(４４０)。ＧＴＯから月の軌道への飛行経路４６０は、第１の飛行経路、第２の飛行経路、第３の飛行経路、及び第４の飛行経路の組合せとして求められる(４５０)。方法４００はプロセッサ４０１を用いて実施することができる。

この発明の様々な実施の形態は、飛行経路を求める問題を、飛行経路を４つの制御フェーズに分割することによって最適化することができるという認識に基づいている。各フェーズにおいて、物体は組み合わされた力を受け、このため、飛行経路を求めることは、この分割によって効果的に処理することができる。そのような分割は、物体に働く特定の力、及び地球から月への経路におけるゼロ燃料飛行経路を利用することができる。「ゼロ燃料飛行経路」とは、４次元の座標列を指し、この座標列は、有限時間のＰＣＲ３ＢＰにおける物体の飛行経路を完全に記述する。この飛行経路は、いかなる制御入力も用いず、特定の時間に対し前方又は後方に、連立方程式を初期状態で積分することによってのみ求められる。

図５は、以下でより詳細に説明するように、この発明の１つの実施の形態による、飛行経路の分割５１０、及び各セグメントの飛行経路を求める最適化５３０の対応する原理５２０の表を示している。

第１の飛行経路
この実施の形態による第１のステップは、地球の回りの中間軌道から第１のラグランジュ点(Ｌ１)の安定多様体の近傍までの物体の第１の飛行経路を求める。

このステップは、まずゼロ燃料飛行経路の幾つかのセグメントを求めて完全な飛行経路を形成することによって達成することができる。これらのセグメントは、物体が地球の影響範囲内にあるときの、物体に対する月の重力の影響を近似するキック関数Ｆを用いて求めることができる。

１つの実施の形態では、関数Ｆは

であり、ここで、
ω_ｉ＝ｉ番目の反復における遠点の角度、
Ｋ_ｉ＝ｉ番目の反復におけるケプラーエネルギー、
μ＝ＰＣＲ３ＢＰの質量パラメーター、
である。

関数Ｆは、地球の回りを１周する間の、遠点の角度の近似展開、及び物体の軌道長半径を与える。関数Ｆは、非摂動ケプラー軌道にわたる月の重力の摂動を積分することによってあらかじめ求めることができる。

図６は、ａ−w(すなわち軌道長半径対遠点角度)平面におけるゼロ燃料飛行経路の例を、様々な共振とともに示している。６３０の後、月の重力による通常の影響を受け、これによって軌道長半径が増大することになる。２つの連続する遠点間の進行は６１０等のセグメントによって示されている。Ｌ１リアプノフ軌道の様々な安定多様体が、６２２、６２４、６２６、６２８として示されている。

第１の飛行経路の一連の初期推定値が、時間制約を満たす様々なトポロジーに従って、ゼロ燃料飛行経路の様々な軌道極点を組み合わせることによって形成される。このフェーズ中の時間は、主に飛行経路のトポロジーによって決まることが認識される。

連続性制約及び推定値を強制し、軌道極点において可能な制御入力を含めることによって、次に多重シューティング問題を形成する。

各軌道極点において、以下のベクトルが解かれる。

ただし、連続性制約

を条件とする。

関数φ_ｔは、所与の初期状態を用いた時間ｔマッピングを表す。様々なＸ_ｉは、種々のロケーションにおけるベクトルを表す。

この多重シューティング問題は、総制御入力を最小にする非線形計画法によって解かれる。この最適化問題は、最適化中に用いられる初期推定値の影響を受けやすく、初期推定値を得るために体系的手順を用いることが有利である。

図７は、Ｌ１(の回りの周期軌道)の安定多様体との第１の交点まで、ゼロ燃料飛行経路について求められた第１の飛行経路の例を示している。ロケーション７１０の後に、月からの通常の最適化された影響を受け、これによって軌道長半径が増大することになる。２つの連続した遠点間の飛行経路は、７２０等のセグメントによって示される。遠点面を有するＬ１リアプノフ軌道の安定多様体の第１のカットの近くの飛行の経路のセグメントが７３０として示されている。

図８は、幾つかの実施の形態による第１の飛行経路を求める方法のブロック図を示している。この方法は、地球の一組の軌道からＬ１安定多様体の近傍への、一組のゼロ燃料飛行経路８１５を求めること(８１０)を含む。飛行経路８１５は、例えば、月の重力による動きの摂動の近似マッピングを用いて求めることができる。飛行時間８０５を最適にするゼロ燃料飛行経路８２５が選択され(８２０)、燃料消費を最適にしながら飛行時間に対する制約を満たすようにゼロ燃料飛行経路８２５を変更すること(８３０)に基づいて第１の飛行経路８７０が求められる。

例えば、１つの実施の形態は、ゼロ燃料飛行経路を再帰的に変更する(８８０)。この実施の形態は、ゼロ燃料飛行経路のトポロジー及び時間の関数に基づいて第１の飛行経路のトポロジーを求め(８４０)、そのトポロジーに従って、ゼロ燃料飛行経路における近点及び遠点のロケーションを選択する。次に、近点及び遠点のロケーションにおいて物体に適用される制御のコスト関数が求められ(８５０)、コスト関数を、式(２)の連続性制約を条件として最適化することによって第１の飛行経路が更新される(８６０)。

第２の飛行経路
１つの実施の形態では、ＧＴＯから中間軌道への物体の第２の飛行経路は、第１の飛行経路の一組の初期状態に基づいて求められる。月は飛行経路のこのセクションから遠く離れているので、ホーマン遷移はそのような飛行経路の良好な推定を提供する。ホーマン遷移飛行経路からの軌道極点を用いることによって求められる初期推定値は、連続性制約とともに用いられ、多重シューティング問題が形成され、上記のように、必要とされる制御入力を最小にするように解かれる。

図９は、幾つかの実施の形態による第１の飛行経路を求める方法のブロック図を示している。この方法は、初期状態としてＧＴＯ９２０を有し、最終状態として第１の飛行経路の一組の初期状態９１５を有するホーマン遷移解を用いて、第２の飛行経路９３０を初期化する(９１０)。

次に、この方法は、第２の飛行経路の近点及び遠点において物体に適用された制御のコスト関数を求め(９４０)、コスト関数を、連続性制約９６０を条件として最適化することによって第２の飛行経路を更新する(９５０)。

第３の飛行経路
次に、Ｌ１の安定多様体の近傍からＬ１周期軌道へのセグメントについて、物体の第３の飛行経路が求められる。このフェーズの一組の初期推定値は、安定多様体の近傍から時間において前方に幾つかの飛行経路を積分し、軌道極点を記録することによって得ることができる。これらの初期状態によって通常、月へのＬ１周期軌道を通って進むか、又は地球に戻る飛行経路が導かれる。

幾つかの実施の形態は、疑似スペクトル選点(pseudo-spectral collocation)法を用いて第３の飛行経路を求める。例えば、ガウス疑似スペクトル選点問題は、２つの連続する軌道極点間の飛行経路セグメントを多項式で表すことによって定式化することができ、これによって、制御の起動に起因した軌道極点における不連続性が許容される。物体の状態及び制御の双方を、大域多項式を用いて近似することができる。

１つの実施の形態では、状態は、ラグランジュ補間多項式の基底を用いて近似される。すなわち、

である。ここで、
ｘ(τ)＝ ｔ＝τにおける実際の状態
Ｘ(τ)＝ ｔ＝τにおける補間された状態
Ｘ(τ_ｉ)＝補間係数
Ｌ_ｉ(τ)＝ラグランジュ多項式
である。

同様に、制御も、ラグランジュ多項式を用いて近似することができる。

次に、ルジャンドル−ガウス点、すなわちＮ次ルジャンドル多項式の根において選点が実行される。コスト関数は、ルジャンドル−ガウス点において、ガウス球積により近似される。

１つの実施の形態では、最終状態は、Ｌ１周期軌道上の点として選択される。この選点(collocation)問題は、制御入力を最小にする非線形計画法を用いて解くことができる。

図１０は、幾つかの実施の形態による、第１の飛行経路を求める方法のブロック図を示している。この方法は、第１の飛行経路の一組の最終状態１０１５及びＬ１軌道におけるロケーション１０２０に基づいて、第３の飛行経路１０３０を初期化する(１０１０)。次に、フェーズが２つの連続した軌道極点を接続するように、第３の飛行経路の軌道極点に基づいて、第３の飛行経路が一組のフェーズに分割される(１０４０)。次に、方法は、各フェーズの終了時に物体に適用される制御のコスト関数を求め(１０５０)、コスト関数を最適化することによって第３の飛行経路を更新する(１０６０)。

幾つかの実施の形態は、疑似スペクトル選点法を用いてコスト関数を最適化する。導出されるカルーシュ−キューン−タッカー(ＫＫＴ)条件は、ルジャンドル−ガウス点における一次最適性条件の離散形式と同一である。通常、これによって、他の選点方式と比較して、より高速な収束が導かれる。

図１３は、幾つかの実施の形態による、Ｌ１軌道１３２０への物体の組込み１３１０を示している。

第４の飛行経路
物体の第４の飛行経路は、Ｌ１周期軌道から月の回りの特定の軌道へのセグメントについて求められる。Ｌ１周期軌道におけるランダムな初期状態を、初期推定値として選択することができ、この初期状態から生じる不安定多様体は、完全な飛行経路の初期推定値としての役割を果たすことができる。幾つかの実施の形態は、疑似スペクトル選点法を用いて第４の飛行経路を求める。例えば、飛行経路を２つのフェーズに分割することによって、ガウス疑似スペクトル選点問題を定式化することができる。

第４の飛行経路の第１のフェーズは、不安定多様体に沿って物体の飛行経路を制御し、第２のフェーズは、多様体から月の回りの特定の軌道上のロケーションへの飛行経路を制御する。月の軌道のサイズに依拠して、第２のフェーズはオプションとすることができる。しかし一般に、２つのフェーズが必要とされ、一方が第２のフェーズの開始時の制御入力であり、他方が第２のフェーズの終了時の制御入力である２つの制御入力の和であるコスト関数を最適化することによって求められる。第１の制御入力は、物体を不安定多様体から離すように動かし、第２の制御入力は、物体を月の回りの軌道に乗せる。最適化プロセスは、物体の正しい出発ロケーション、及び正しい不安定飛行経路を選択する。最適な飛行経路の出発ロケーションは、Ｌ１軌道のサイズ／エネルギーの関数である。

図１１は、幾つかの実施の形態による第１の飛行経路を求める方法のブロック図を示している。この方法は、Ｌ１軌道の不安定多様体１１１５を用いて、Ｌ１軌道のサイズ１１２０に基づいて第４の飛行経路１１３０を初期化し(１１１０)、第４の飛行経路を一組のフェーズに分割する(１１４０)。

次に、この方法は、各フェーズの終了時に物体に適用される制御のコスト関数を求め(１１５０)、疑似スペクトル選点法を用いてコスト関数を最適化することによって第４の飛行経路を更新する。この最適化問題は、非線形プログラミングにより解くこともできる。

図１２は、Ｌ１軌道１２１０から開始して、月軌道１２３０への物体の組込み１２２０の例を示している。図１４は、Ｌ１リアプノフ軌道の安定多様体１４１０の遠点におけるセクション１４０１を示している。

図１５及び図１６はそれぞれ、慣性座標系及び地球−月回転座標系における物体の完全な飛行経路の例を示している。

この発明の上述した実施の形態は、数多くの方法のいずれにおいても実施することができる。例えば、実施の形態は、ハードウェア、ソフトウェア又はそれらの組合せを用いて実施することができる。ソフトウェアで実施される場合、ソフトウェアコードは、単一のコンピューターに設けられるのか又は複数のコンピューター間に分散されるのかにかかわらず、任意の適したプロセッサ又はプロセッサの集合体において実行することができる。そのようなプロセッサは、１つ又は複数のプロセッサを集積回路部品に有する集積回路として実装することができる。ただし、プロセッサは、任意の適したフォーマットの回路類を用いて実装することができる。

さらに、コンピューターは、ラックマウント型コンピューター、デスクトップコンピューター、ラップトップコンピューター、ミニコンピューター又はタブレットコンピューター等の複数の形態のいずれにおいても具現化できることが理解されるべきである。そのようなコンピューターは、ローカルエリアネットワーク又はワイドエリアネットワークとしてエンタープライズネットワーク又はインターネット等を含む１つ又は複数のネットワークによって任意の適した形態で相互接続することができる。そのようなネットワークは、任意の適した技術に基づくことができ、任意の適したプロトコルに従って動作することができ、無線ネットワーク、有線ネットワーク又は光ファイバーネットワークを含むことができる。

また、この明細書において概説される様々な方法又はプロセスは、様々なオペレーティングシステム又はプラットフォームのうちの任意のものを用いる１つ又は複数のプロセッサに対して実行可能なソフトウェアとして符号化することができる。加えて、そのようなソフトウェアは、複数の適切なプログラミング言語及び／又はプログラミングツール若しくはスクリプティングツールのうちの任意のものを用いて書くことができ、フレームワーク又は仮想マシン上で実行される実行可能な機械語コード又は中間コードとしてコンパイルすることもできる。

これに関して、この発明は、単数又は複数の非一時的なコンピューター可読媒体、例えばコンピュータメモリ、コンパクトディスク(ＣＤ)、光ディスク、デジタルビデオディスク(ＤＶＤ)、磁気テープ、及びフラッシュメモリとして実現することができる。「プログラム」又は「ソフトウェア」という用語は、この明細書において、一般的な意味で、上記で論考したようなこの発明の様々な態様を実施するようにコンピューター又は他のプロセッサをプログラムするのに用いることができる任意のタイプのコンピューターコード又はコンピューター実行可能命令のセットを指すように用いられる。

コンピューター実行可能命令は、１つ若しくは複数のコンピューター又は他のデバイスによって実行された、プログラムモジュール等の多くの形式をとることができる。一般に、プログラムモジュールは、特定のタスクを実行するか又は特定の抽象データタイプを実装するルーチン、プログラム、オブジェクト、コンポーネント、データ構造を含む。通常、プログラムモジュールの機能は、様々な実施の形態において所望に応じて組み合わせることも分散することもできる。

また、この発明の実施の形態は、例が提供された方法として実施することができる。方法の一部として実行される動作は、任意の適切な方法で順序付けすることができる。したがって、動作が示したものと異なる順序で実行される実施の形態を構築することができ、これには、例示の実施の形態では一連の動作として示されたにも関わらず、幾つかの動作を同時に実行することを含めることもできる。

Claims (11)

1. 地球の静止移行軌道(ＧＴＯ)から月の軌道への物体の動きを制御する方法であって、
   前記地球の中間軌道から、第１のラグランジュ点(Ｌ１)の安定多様体の近傍への前記物体の動きの第１の飛行経路を求めるステップと、
   前記ＧＴＯから前記中間軌道への前記物体の動きの第２の飛行経路を求めるステップと、
   前記安定多様体の前記近傍からＬ１軌道への前記物体の動きの第３の飛行経路を求めるステップと、
   前記Ｌ１軌道から前記月の軌道への前記物体の動きの第４の飛行経路を求めるステップと、
   前記第１の飛行経路、第２の飛行経路、第３の飛行経路、及び第４の飛行経路の組合せに基づいて、前記ＧＴＯから前記月の軌道への飛行経路を求めるステップと、
   を含み、
   該方法のステップはプロセッサによって実行され、
   前記第１の飛行経路を求めるステップは更に、
   前記月の重力による前記動きの摂動の近似マッピングを用いて、前記地球の一組の中間軌道から前記近傍への一組のゼロ燃料飛行経路を求めるステップと、
   移動時間を最適にするゼロ燃料飛行経路を選択するステップと、
   前記ゼロ燃料飛行経路を変更するステップであって、前記第１の飛行経路が、燃料消費を最適にしながら飛行時間に対する制約を満たすように前記第１の飛行経路を求めるものと、
   を含む、地球の静止移行軌道から月の軌道への物体の動きを制御する方法。
2. 前記各飛行経路は、一組の初期状態と、一組の最終状態と、一組の制御とを含む、請求項１に記載の方法。
3. 前記ゼロ燃料飛行経路のトポロジー及び前記飛行時間の関数に基づいて、前記第１の飛行経路のトポロジーを求めるステップと、
   前記第１の飛行経路のトポロジーに従って、前記ゼロ燃料飛行経路における近点及び遠点を選択するステップと、
   前記近点及び遠点において前記物体に適用される制御のコスト関数を求めるステップと、
   前記コスト関数を、連続性制約を条件として最適化することによって前記第１の飛行経路を更新するステップと、
   を更に含む、請求項１に記載の方法。
4. 初期状態として前記ＧＴＯを有し、最終状態として前記第１の飛行経路の一組の初期状態を有するホーマン遷移解を用いて前記第２の飛行経路を初期化するステップと、
   前記第２の飛行経路の近点及び遠点において前記物体に適用される制御のコスト関数を求めるステップと、
   前記コスト関数を、連続性制約を条件として最適化することによって前記第２の飛行経路を更新するステップと、
   を更に含む、請求項１に記載の方法。
5. 多重シューティング法を用いて前記第１の飛行経路及び前記第２の飛行経路を求めるステップを更に含む、請求項１に記載の方法。
6. 疑似スペクトル選点法を用いて前記第３の飛行経路及び前記第４の飛行経路を求めるステップを更に含む、請求項１に記載の方法。
7. 前記安定多様体の前記近傍は、該安定多様体の内部のロケーションを含む、請求項１に記載の方法。
8. 前記第１の飛行経路の一組の最終状態及び前記Ｌ１軌道における点に基づいて前記第３の飛行経路を初期化するステップと、
   フェーズが２つの連続した軌道極点を接続するように、前記第３の飛行経路の軌道極点に基づいて前記第３の飛行経路を一組のフェーズに分割するステップと、
   前記各フェーズの終了時に前記物体に適用される制御のコスト関数を求めるステップと、
   疑似スペクトル選点法を用いて前記コスト関数を最適化することによって前記第３の飛行経路を更新するステップと、
   を更に含む、請求項１に記載の方法。
9. 前記Ｌ１軌道の不安定多様体を用いて該Ｌ１軌道のサイズに基づいて前記第４の飛行経路を初期化するステップと、
   前記第４の飛行経路を一組のフェーズに分割するステップと、
   前記各フェーズの終了時に前記物体に適用される制御のコスト関数を求めるステップと、
   疑似スペクトル選点法を用いて前記コスト関数を最適化することによって前記第４の飛行経路を更新するステップと、
   を更に含む、請求項１に記載の方法。
10. 前記一組のフェーズは２つのフェーズを含む、請求項９に記載の方法。
11. 地球の静止移行軌道(ＧＴＯ)から月の軌道への物体の動きを制御する方法であって、
    飛行時間の関数として、前記地球の中間軌道から、第１のラグランジュ点(Ｌ１)の安定多様体の近傍への前記物体の動きの第１の飛行経路を求めるステップと、
    前記第１の飛行経路の一組の初期状態に基づいて、前記ＧＴＯから前記中間軌道への前記物体の動きの第２の飛行経路を求めるステップと、
    前記第１の飛行経路の一組の最終状態に基づいて、前記安定多様体の前記近傍からＬ１軌道への前記物体の動きの第３の飛行経路を求めるステップと、
    Ｌ１軌道のサイズに基づいて、前記Ｌ１軌道から前記月の軌道への前記物体の動きの第４の飛行経路を求めるステップと、
    前記第１の飛行経路、前記第２の飛行経路、前記第３の飛行経路、及び前記第４の飛行経路の組合せとして、前記ＧＴＯから前記月の軌道への飛行経路を求めるステップと、
    を含み、
    該方法のステップはプロセッサによって実行され、
    前記第１の飛行経路を求めるステップは更に、
    前記月の重力による前記動きの摂動の近似マッピングを用いて、前記地球の一組の中間軌道から前記近傍への一組のゼロ燃料飛行経路を求めるステップと、
    移動時間を最適にするゼロ燃料飛行経路を選択するステップと、
    前記ゼロ燃料飛行経路を変更するステップであって、前記第１の飛行経路が、燃料消費を最適にしながら飛行時間に対する制約を満たすように前記第１の飛行経路を求めるものと、
    を含む、地球の静止移行軌道から月の軌道への物体の動きを制御する方法。

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